貳試題分析及有效教學策略舉隅題號年級學習內容學生常見迷思概念或學習困難有效教學策略此題的評量重點在科學記教師在科學記號的教學上可以採取號與百分比的混合計算以下策略 : 後, 能否正確使用科學記號 1. 雖然百分比為國小的授課範圍, 但的表示法來做記錄 % 為生活中常見數學符號,

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昌微秋
7 years ago
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1 103 年分析會考試題學生常見迷思概念 ( 或學習困難 ) 及有效教學策略數學學習領域壹分析總表題號年級學習內容難度 (P) 14 七科學記號與百分比的計算八多項式的除法運算及餘式判斷九中垂線及角平分線性質 ( 幾何性質推理 ) 九 20 八 21 九底面積高與體積的關係運用比例的變化列出方程式並得出結論尺規作圖及性質判讀三角形的邊角關係等量減法公理的應用三角形的重心性質圓與直線的關係三角形底高與面積的關係七列出不等式並求解八等差數列等差級數解二元一次聯立方程式八利用平行及條件推理, 判斷圖形的形狀九中位數部分與整體的關係九二次函數與函數圖形的關係九尺規作圖中的幾何關係相似三角形的邊長關係長方形與三角形的面積計算

2 貳試題分析及有效教學策略舉隅題號年級學習內容學生常見迷思概念或學習困難有效教學策略此題的評量重點在科學記教師在科學記號的教學上可以採取號與百分比的混合計算以下策略 : 後, 能否正確使用科學記號 1. 雖然百分比為國小的授課範圍, 但的表示法來做記錄 % 為生活中常見數學符號, 可於比科學記號但學生對於 0.3% 的表示法例的單元補強先備知識 14 七與百分比不熟悉, 可能轉換為概念發展 : 從等級的角度出發, 的計算或在計算中忽略 % 透過水果攤上的等級標示學生的年級標示屋價的等級標示等, 討論等級的想法在生活中的便利性, 以及如何紀錄最符合等級的精神和閱讀上的需求此題的評量重點在於多項教師在多項式除法的教學方面可以式除法的記錄格式對於多採取以下思維策略 : 項式除法中餘式規則的理 1. 缺項補零 : 三千又二元, 你會怎 15 八多項式的除法運算及餘式判斷解此題對學生的困難點在除式為二次式, 且缺一次項和常數項, 並且計算過程中商式會有分數, 這也是與算術麼紀錄呢? 是嗎? 2. 同類項 : x 2 和 x 算不算是同一類? 如果算的話, x 2 應該是由一些 x 加起來或減起來的, 辦得到嗎? 除法最大的不同點, 從學生 3. 多項式除法 :(1) 從多項式的直式的答題反應也可以看出這乘法觀察與除法的關係 ;(2) 從最是最大的迷思概念之一多拿多少的觀點來操作除法運算中垂線及此題的評量重點在於中垂教師在中垂線及角平分線的教學方角平分線線到線段兩端點等距離, 並面可以採取從臆測出發的策略 : 18 九性質 ( 幾依此得到等腰三角形, 以及 1. 角平分線上的一點, 到角的兩邊的何性質推角平分線的定義端點等距離, 你同意嗎? 理 ) 但學生對於將中垂線性質 2. 能在 L 上找到一個點, 讓這個點到 2

3 轉換為角相等可能較不熟 A 與到 B 距離相等嗎? 悉, 或者誤用角平分線到角的兩邊距離相等的性質此題的評量重點在於利用教師在教學方面可以採取以下策略 : 最後的水的高度比假設未 1. 將比例式與相似等幾何性質平面知數, 同時考慮到與底面積及立體圖形在教學中混在一起學的關係, 最後利用總水量不習, 成為彼此的思考工具變來列式及解方程 2. 教師在教授立體圖形單元時, 可以此題的迷思概念主要在於和學生討論動態的變化情形例 1. 底面將高度比與體積比誤認為如 : 如果底面積不停變小, 高要怎積高與一樣, 或忽略底面積不同對麼變化, 體積可以維持相同? 體積的關於體積的影響 3. 繪製圖形 : 對於情境較複雜的敘係述, 引導學生繪製簡圖, 可提供對 19 九 2. 運用比量感 ( 體積等 ) 相對大小的概觀例的變化 4. 一題多解 : 列出方程法 1: 式並得出 (3 60): (4 80): (5 100) 結論 = 9: 16: ( ) = =7.2 法 2: 設甲杯水的高度變為 3h 公分 3h 60+4h 80+5h 100=10( ) 1000h=2400 3h=7.2 h= 八 1. 尺規作圖及性質此題的評量重點在於能在圖形上判斷圓規畫弧的幾教師在三角形邊角關係教學方面可以採取以下策略 : 3

4 判讀 2. 三角形的邊角關係 3. 等量減法公理的應用何意義, 並由角度的大小推論出四個不同三角形間的邊長關係學生的迷思概念在於認為跟畫弧有關的線段通通相等, 忽略觀察半徑大小是否相同在線段中操作等量減法公理, 對學生而言也是較為陌生的學習經驗 1. 從樞紐定理談起, 第三邊最大是多少? 最小是多少? 從明確的數字開始觀察與討論 2. 從畫弧開始觀察三角形的三邊關係, 建立尺規作圖和幾何性質推理的關聯性 3. 從生活經驗或幾何物件中, 增加對等量公理概念的深刻認識此題的評量重點在於能應用重心平分面積的特點, 以及直線與圓的關係, 從而由高的長度大小判斷底的長度關係 1. 由簡圖可看出, 畫出三角形的高為解題策略中最重要的步驟之一 21 九學生的困難點在於畫重心畫補助線是幾何推理中最常見的 1. 三角形的時候是三條中線交點, 而方法, 卻也是學生感到最難以捉摸的重心性本題的切點不會恰好是中的歷程因此特別需要教師在己和質點迷思概念可能是 same A 推論的不同思維對話中帶領學生 2. 圓與直 same B, 認為和圓心的距離如何聚焦例如 : 線的關係短, 因此邊長也短 (1) 先弄清楚, 我們想知道什麼? 3. 三角形 (2) 圖形中的物件提供了哪些關係底高與或限制? 面積的關 (3) 有其他方法嗎? 係 (4) 用自己的話將討論的重點記錄下來 2. 在教學活動或遊戲中, 讓學生有更多思考過度類比的機會, 例如 : same A same B,more A more B, 面積越大, 周長也越大? 22 七列出不等此題的評量重點在於能列教師在不等式方面的教學活動可以 4

5 23 八式並求解出符合條件的不等式, 並正確求解學生的迷思概念在於選擇 A 方案不選 B 方案, 表示 A 方案較好, 因此 A>B A 方案中有每小時, 也有每人, 列示容易出錯解不等式時數字較大, 解題過程又有除不盡的狀況, 增加學生解題及判斷答案的難度此題的評量重點在於利用等差數列及等差級數的公式列出符合題意的關係式, 並正確求解學生的迷思概念包括 :(1) 認為公差一定是正的 ;(2) 1. 等差數誤用等差中項的概念解題列等差級數 2. 解二元一次聯立方程式採取以下策略 : 1. 從生活中的情境, 提供學生學習將生活話語轉換為數學關係式的豐富經驗, 讓感覺發展為知識 2. 運用數學奠基活動模組 - 小兵立大功, 讓學生在遊戲中具體感受大與小的變化 3. 讓學生學習利用表格設計數據, 作有系統地觀察, 感受了解這些數字之間的關係例如 : 如果只有一個人, 哪個方案比較划算? 每差一個人, 會有哪些變化? 教師在等差數列方面可以採取以下策略 : 1. 透過為數列分類, 觀察等差數列擁有公差的特質, 並嘗試為公差是負數的等差數列造例子 2. 觀察等差數列中的任意幾項與等差級數和的關係 3. 一題多解 : 法 1: { a+(a+8d) 2 9 = 54 (a) + (a + 3d) + (a + 6d) = 36 { a + 4d = 6 3a + 9d = 36 a+3d=12 d=-6 法 2: { a 5 = 54 9 = 6 a 4 = 36 3 = 12 d=6-12=-6 24 八利用平行及條件推此題的評量重點在於利用平行的判別性質加上兩個教師在平行四邊形判別性質方面的教學活動可以採取以下策略 : 5

6 理, 判斷邊, 判別是否為平行四邊形 4. 提供教具讓學生操作各式各樣的圖形的形的充分條件擺放可能, 判斷是否能構成平行四狀學生的迷思概念包括 :(1) 邊形誤用一組對邊平行且相等 5. 將圖形條件刪減或修改, 讓學生發的判別性質 ;(2) 忽略或混淆現或作出符合條件卻不是平行四一組對邊的條件邊形的其他四邊形 6. 從四邊形的分類, 來討論矩形等特殊四邊形與平行四邊形的包含關係此題的評量重點在於理解教師在中位數教學方面可以採取以並應用中位數的概念, 並據下策略 : 此判斷各個部分之間的數 1. 請學生將資料依大小順序排序, 找量關係出最中間的數 ( 中位數 ), 並請學生學生的迷思概念是認為與討論哪些數比中位數大, 那些數比 25 九中位數部分與整體的關係中位數有關, 所以就是分為四份, 因此把 48 除以 2 中位數小 2. 分組資料雖然組內資料不能區分大小, 但仍可將全部資料依大小排序, 以方便判斷此中位數的組別 3. 中位數概念不困難, 此題主要是在於分析整體與部分的關係, 可以在各式各樣的題材中, 學習以表格來分析資料中整體部分之間的變化與關係此題的評量重點在於以拋教師在二次函數圖形教學方面可以物線對稱的觀點二次函數採取以下策略 : 26 九二次函數與函數圖形的關係與其函數圖形的關係, 來觀察分析頂點的位置學生的迷思概念在於 :(1) 對於圖形上的點與函數的 1. 讓學生畫出一些二次函數關係的點, 來觀察猜測發現二次函數圖形的特性 2. 利用二次函數頂點關係式的特殊關係 ;(2) 將通過的點代入性, 給訂部分特條件, 請學生描繪函數得到關係式, 卻無法解可能的二次函數的圖形 6

7 出二次函數 ;(3) 繪製二次函數圖形的草圖時, 忽略頂點可能位置或開口向上向下的重要資訊 ;(4) 過度使用對稱的特質, 卻沒有注意到給定點的位置此題的評量重點在於能否教師在尺規作圖教學方面可以採取理解尺規作圖中的幾何意以下策略 : 1. 尺規作義, 並進而連結到圖形物件 1. 讓學生自行閱讀作圖方法, 並嘗試圖中的幾間的關係, 包括相似形直就內容與操作做說明, 討論理解何關係角三角形邊長關係等並據其幾何意義 2. 相似三以作適當的幾何推理或計 2. 依據教師提供的條件, 學生練習作 27 九角形的邊長關係算學生的迷思概念包括 :(1) 簡單的推理來提出盡可能多的幾何性質 3. 長方形使用直覺觀察與判斷圖形與三角形而忽略必要條件, 例如 : 把的面積計相似看為全等 ;(2) 對於延算長畫弧交點的作圖動作不清楚, 例如 : 畫弧就是長度相等參結論與建議一從上述呈現資料, 歸結出以下幾點結論 : 1. 對於數學知識語言的掌握, 學生閱讀理解能力較弱 2. 當題目包含超過一個概念時, 對於擬定解題策略的能力不足 3. 尺規的操作幾何物件間的關係幾何性質的理解, 三者的連結分析能力不足 7

8 二教學建議 1. 在教學中, 融入數學閱讀理解策略 : 辨識與擷取解釋與統整反思與批判 2. 從提問與討論, 增加一題多解的豐富經驗, 在不斷的討論中, 接受新的解題觀點, 學習提出合理合乎邏輯的證據與論述三教師培訓規劃推展數學閱讀理解策略在教學中的實作, 設計三層次的數學閱讀理解提問 8

目次 CONTENTS 1 數列與級數幾何圖形三角形的基本性質平行與四邊形

目次 CONTENTS 1 數列與級數幾何圖形三角形的基本性質平行與四邊形給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1