6 7 Linear Transformation of General Vector Space 我們也可考慮 ordered basis B = (p (x), p (x), p 3 (x)) 其中 p (x) = (x )(x + ), p (x) = (/)x(x + ) and p 3 (

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1 75 Coordinatization 6 basis ([ 所以一般在談論 [ ) ([ ordered [ ) basis 時, 我們會用 (v,,v n ) 來表示, 以強調其順序 舉例 來說, 和, 就是 R 中兩組不同的 ordered basis 有時為了方便起見, 給了一組 ordered basis 後, 我們會用一個符號來表示這一組 ordered basis 例如給定 B = (v,,v n ) 為 V 的一組 ordered basis, 我們就會 B 來表示這一組 ordered basis (v,,v n ) 對於 R n 的 standard basis, 我們通常用 E 來表示 (e,,e n ) 這一 組 ordered basis 有了 vector space V 的一組 ordered basis B = (v,,v n ) 後, 我們就可以將 V 中的元 素 坐標化 (coordinatization) 意思就是對任意 v V, 我們利用 B 這一組 ordered basis 將 v 寫成 v = v + + v n 後, 就是利用 B 將 v 坐標化後所得的坐標表示法 為 了方便, 我們就用 B[v 來表示利用 B 將 v 坐標化後所得的坐標 坐標化的好處是, 我們可 以將 B[v 看成是 R n 中的一個向量 這樣我們就可以將較抽象的 vector space 中的元素, 看 成是 R n 中的向量來處理 Example 75 我們看看前面提過的幾個 vector space 坐標化的情形 (A) 考慮 M 及其 ordered basis ([ [ E =, [, [, [ a b ( 通常我們稱這一組 basis 為 M 的 standard basis) 對於任意 M 中的元素 由於 [ [ [ [ [ a b = a + b + c + d, [ a b 我們得利用 E 所得的坐標表示法為 c 例如我們有 d [ a b E [ [ E [ 3 4 a = b c d = 3 4 (B) 在 P (R) 中通常我們會稱 x,x, 這組 basis 為 standard basis 考慮 E = (x,x,) 這 組 ordered basis 很容易看出 x 3x + 4 用 E 所得的坐標為 3, 所以我們有 4 E [x 3x + 4 = 3 4 ),

2 6 7 Linear Transformation of General Vector Space 我們也可考慮 ordered basis B = (p (x), p (x), p 3 (x)) 其中 p (x) = (x )(x + ), p (x) = (/)x(x + ) and p 3 (x) = (/)x(x ) ( 參見 Example 75, Example 73) 由於 p () =, p () = p ( ) = ; p () =, p () = p ( ) = ; p 3 ( ) =, p 3 () = p 3 () =, 若 x 3x+4 = p (x)+c p (x)+c 3 p 3 (x), 則分別代 x =,,, 可得 = 4,c = 3,c 3 = 9 故 4 B[x 3x + 4 = 3 9 (C) 我們也可將 R n 中的向量用不同的 ordered basis 坐標化 例如在 R 3 中考慮 ordered basis B = (,, ) 若要求向量 以 B 為 ordered basis 的坐標表示, 我們要求 3 出,c,c 3 R 滿足 = + c + c 3 = c 3 c 3 解聯立方程組得, =,c =,c 3 =, 故得 B[ = 3 要注意這裡我們有 E [ =, 其中 E 為 R 3 的 standard ordered basis (e,e,e 3 ) 這是 3 3 因為我們原來就是用 standard ordered basis E 來將所有 R 3 的向量的坐標化 給定 V 的一組 ordered basis B = (v,,v n ), 將 V 中的元素利用 B 坐標化, 其實就定出 了一個從 V 到 R n 的函數 T B : V R n, 其中對任意 v V, 我們有 T B (v) = B [v 為什麼這是 一個函數呢? 因為 v,,v n 為 V 的一組 basis, 所以由 {v,,v n } 是 V 的 spanning set, 可 得任意的 v V 確實都存在,, R 使得 v = v + + v n 所以 T B 確實可以將每 個定義域中的元素 v 對應到對應域 R n 中的向量 而且這個對應關係是 well-defined, 也就是說不會有將同一個 v 對應到 R n 中兩個不同向量的情況 這是因為 v,,v n 為 linearly independent, 所以每個 v V, 僅有一組,, R 會使得 v = v + + v n 既然 T B : V R n 是一個 well-defined 的函數, 那它會是 linear transformation 嗎? 答案 是肯定的 考慮 v,w V 且假設 v = v + + v n, w = d v + + d n v n, 其中,, 與 d,,d n 皆為實數 依定義我們有 T B (v) = B [v = and T B (w) = B [w = d d n

3 75 Coordinatization 63 對於任意 r R, 由於 我們有 v + rw = ( v + + v n ) + r(d v + + d n v n ) = ( + rd )v + + ( + rd n )v n, + rd T B (v + rw) = B [v + rw = = + r + rd n 得證 T B : V R n 為 linear transformation d d n = T B (v) + rt B (w) T B : V R n 不只是 linear transformation, 事實上它是 V 和 R n 之間的 isomorphism 也就是說 T B : V R n 是 one-to-one 且 onto 要檢查 T B 為 one-to-one, 我們僅要檢查 ker(t B ) = {O} 即可 ( 參見 Proposition 749) 然而若 v ker(t B ), 表示 v 用 B 的坐標表 示法是 R n 中的零向量, 亦即 v = v + + v n, 其中 = = = 很自然的, 這表示 v = O, 故知 ker(t B ) = {O} 要檢查 T B 為 onto, 我們可以利用 T B (v i ) = e i, i =,,n, 故 得證 T B (V ) = Span(T B (v ),,T B (v n )) = Span(e,,e n ) = R n ( 參見 Proposition 748), 即 T B 為 onto 我們證得了以下的定理 Theorem 75 假設 V 為 vector space, dim(v ) = n 且 B 為 V 的一組 ordered basis 考 慮 T B : V R n 定義為 T B (v) = B [v, v V 則 T B 為 V 到 R n 的 isomorphism 知道 T B : V R n 為 isomorphism 的好處就是, 以後我們要探討 V 中元素的性質, 我 們可以利用 T B, 將問題轉換成大家熟悉的 R n 中的向量的性質 例如我們要判斷 V 中 的元素 w,,w k 是否為 linearly independent 我們可以先找到一組 V 的 ordered basis B, 然後考慮 B[w,, B [w k, 這一組 R n 中的向量 利用我們熟悉的判斷 R n 中向量是 否為 linearly independent 的方法判斷 B[w,, B [w k 是否為 linearly independent 由 於對於 i =,,k, B [w i = T B (w i ), 因此由 T B 為 isomorphism 知 w,,w k 為 linearly independent 若且唯若 B[w,, B [w k 為 linearly independent ( 參見 Proposition 74) 因此我們可以由 B[w,, B [w k 是否為 linearly independent, 來決定 w,,w k 是否為 linearly independent 我們看以下的例子 Example 753 我們看利用坐標化來處理一般 vector space 是否 linear independent 的問 題 (A) 考慮 P (R) 中 3 個非零多項式 f (x), f (x), f (x), 其 f (x), f (x), f (x) 分別為次數為,, 的多項式 假設 f (x) = ax + bx + c, f (x) = dx + e, f (x) = r 其中 a,d,r 皆不等於 我們利用 P (R) 的 standard ordered basis E = (x,x,), 可得 a E [ f (x) = b, E [ f (x) = d and E [ f (x) = c e r 由於 a,d,r 皆不等於, 很容易看出矩陣 a b d c e r

4 64 7 Linear Transformation of General Vector Space 的 rank 為 3, 亦即 E [ f (x), E [ f (x), E [ f (x) 為 linearly independet 因此得證 f (x), f (x), f (x) 為 linearly independent 再由 dim(p (R)) = 3, 得證 f (x), f (x), f (x) 為 P (R) 的一組 basis 我們可以將這個結果推廣到 P n (R) 也就是說考慮 P n (R) 中 n + 個非零多項式 f (x),, f n (x), 其中對於 i =,,n, f i (x) 是次數為 i 的多項式 利用對 standard ordered basis E = (x n,,x,) 坐標化, 我們可得 f (x),, f n (x) 為 P n (R) 的一組 basis (B) 假設 V 為 vector space, 且 v,v,v 3,v 4 V 為 linearly independent 令 w = v v +v 3 +v 4 w = v v +4v 3 +v 4 w 3 = v +v 3 +v 4 w 4 = v +v 4 w 5 = v +v v 3 我們要找出 W = Span(w,w,w 3,w 4,w 5 ) 的一組 basis 考慮 U = Span(v,v,v 3,v 4 ), 因為 v,v,v 3,v 4 為 linearly independent, 我們知 v,v,v 3,v 4 為 U 的一組 basis 由於 w,,w 5 U, 我們知 W 為 U 的 subspace 我們的想法是利用 B = (v,v,v 3,v 4 ) 這組 U 的 ordered basis 將 U 的元素坐標化 由於 w,,w 5 U, 我們 可以將 w,,w 5 坐標化, 得 B[w,, B [w 5 這 5 個 R 4 中的向量 利用過去我們知道求 R 4 中 Span( B [w,, B [w 5 ) 的 basis 的方法求出 Span( B [w,, B [w 5 ) 的一組 basis 再 將它們還原成 U 中的元素, 就得到 W 的一組 basis 現由於 B[w =, B[w = 4, B[w 3 =, B[w 4 =, B[w 5 = 我們考慮以它們為 column 的 4 5 matrix 並利用 elementary row operations 將之化為 echelon form 得 4 由於 echelon form 的 -st, 3-rd, 4-th column 為 pivot 所在位置, 故知 B[w, B [w 3, B [w 4 為 Span( B [w,, B [w 5 ) 的一組 basis ( 參見 Proposition 566) 由於 T B 為 isomprphism 保持 spanning set 以及 linearly independent 的性質, 我們得 w,w 3,w 4 為 W 的一組 basis Question 74 考慮 Example 753 (B) 中的 v,v,v 3,v 4 以及 w,w,w 3,w 4,w 5 dim(span(w,w,w 3,w 4,w 5 )) 為何? 並將 w,w 5 寫成 w,w 3,w 4 的 linear combination 試問

5 76 Matrix Representation Matrix Representation 當 V,W 分別為 dimension 為 n,m 的 vector space 我們可以透過 V,W 的 ordered basis, 將 V,W 的元素轉換成 R n 和 R m 的 vector 因此我們可以將 V 到 W 的 linear transformation T 視為 R n 到 R m 的 linear transformation, 而談論 T 的 matrix representation 分別給定 V,W 的一組 ordered basis B = (v,,v n ) 以及 β = (w,,w m ) 令 T B : V R n 與 T β : W R m 分別為利用 B 以及 β 將 V, W 的元素坐標化的 linear transformation 回 顧一下, 這裡 T B,T β 皆為 isomorphism 對於任意 V 到 W 的 linear transformation T, 我們 考慮合成函數 T β T T B : Rn R m 由於 T β, T 以及 T B 皆為 linear transformation, 所以 T β T TB 是一個 R n 到 R m 的 linear transformation (Proposition 744) 因此 T β T TB 有一個 standard matrix representation, 我們定義這個 standard matrix representation 為 T 相對於 B, β 這兩組 ordered basis 所得的 matrix representation, 並用 β [T B 來表示 到 底 β [T B 是怎樣的矩陣呢? 依定義它是一個 m n matrix, 且對於 i =,,n, β [T B 的 i-th column 應為 T β T T B (e i) 由於 T B (v i ) = e i, 所以 T B (e i) = v i 因此得 T β T T B (e i) = T β (T (T B (e i))) = T β (T (v i )) = β [T (v i ) 也就是說 β [T B 的 i-th column 就是將 ordered basis B = (v,,v n ) 的第 i 個元素 v i 代入 T 中所得的 T (v i ) W, 再利用 β 將其坐標化所得的 R m 中的向量 我們大致上有以下的表 示法 β [T B = β [T (v ) β [T (v ) β [T (v n ) Example 76 考慮 P (R) 上的 standard ordered basis E = (x,x,) 以及 P 3 (R) 上的 standard ordered basis ε = (x 3,x,x,) 考慮函數 T : P (R) P 3 (R) 定義為, 對任意 p(x) P (R), T (p(x)) = (x+)p(x ) 我們先驗證 T 為 linear transformation 對任意 p(x),q(x) P (R) 以及 r R, 我們有 T (p(x) + rq(x)) = (x + )(p(x ) + rq(x )) = (x + )p(x ) + r(x + )q(x ) = T (p(x)) + rt (q(x)) 得證 T 為 linear transformation 接下來我們要求 T 對於 E,ε 的 matrix representation ε[t E 依照前面的探討, 我們知 ε[t E 的 -st column 應該就是將 x 代入 T, 得 T (x ) = (x + )(x ) 再利用 ε 將 (x + )(x ) 坐標化寫成 R 3 的向量 由於 (x + )(x ) = x 3 x x +, 所以得 ε[t E 的 -st column 為 ε[t (x ) = ε [(x + )(x ) = ε [x 3 x x + =

6 66 7 Linear Transformation of General Vector Space 同理我們有 ε[t E 的 -nd, 3-rd column 分別為 因此得 ε[t (x) = ε [(x + )(x ) = ε [x = ε[t E = 我們更換 P (R) 以及 P 3 (R) 的 ordered basis, ε[t () = ε [x + = 回顧在 Example 75 以及 Example 73 中利用 Lagrange interpolation polynomial 在,, 的情形, 我們可以考慮 P (R) 的一組 basis p (x), p (x), p 3 (x), 其中 p ( ) = p () = p () = p ( ) = p () = p () = p 3 ( ) = p 3 () = p 3 () = 令 B = (p (x), p (x), p 3 (x)) 為 P (R) 的 ordered basis 同樣的利用 Lagrange interpolation polynomial 在,,, 的情形我們考慮 P 3 (R) 的一組 basis q (x),q (x),q 3 (x),q 4 (x), 其中 q ( ) = q () = q () = q () = q ( ) = q () = q () = q () = q 3 ( ) = q 3 () = q 3 () = q 3 () = q 4 ( ) = q 4 () = q 4 () = q 4 () = 令 β = (q (x),q (x),q 3 (x),q 4 (x)) 為 P 3 (R) 的 ordered basis 我們要得到 T 對於 B,β 的 matrix representation β [T B 首先 β [T B 的 -st column 為 T (p (x)) = (x + )p (x ) 利 用 β 坐標化所得 R 3 的向量 現若 (x + )p (x ) = q (x) + c q (x) + c 3 q 3 (x) + c 4 q 4 (x) 將 x 分別代,,,, 我們得到 = ( + )p ( ) =,c = ( + )p ( ) =,c 3 = ( + )p () =,c 4 = ( + )p () = 也就是說 β [T B 的 -st column 為 β [T (p (x)) = β [(x + )p (x ) = 同樣的方法我們可以得到 β [T B 的 -nd, 3-rd column 分別為 β [T (p (x)) = β [(x + )p (x ) =, β [T (p 3 (x)) = β [(x + )p 3 (x ) = 3 因此得 β [T B = 3

7 76 Matrix Representation 67 由 Example 76 我們知道同樣的 linear transformation 用不同的 ordered basis 會有不同的 matrix representation 也因此要注意當要寫下 matrix representation 時一定要表明定義域和對應域的 ordered basis 為何 到底 matrix representation 有何用處呢? 就如同在 R n 上的 standard matrix representation, 利用 matrix representation 可以很快的幫我們求出 linear transformation 在定義域的每個元素的取值 通常我們會利用圖示來幫助我們了解較複雜的函數合成問題 給定 V,W 的 ordered basis B,β, 以及一個 V 到 W 的 linear transformation T, 我們可以圖示如下 : T B V B R n T T W T β T β R m 這樣的圖示一般稱為 commutative diagram 它表示底下 R n 到 R m 的函數為 T β T T B, 亦即先利用 T B 將 R n 映射到 V, 再利用 T 將 V 映射到 W, 最後利用 T β 將 W 映射到 R m Commutative diagram 的好處是幫助我們看出這些函數合成後如何取值 事實上 commutative diagram 指的就是圖形上任一點到另一點若有不同的可行路徑, 經由這兩種路 徑所得的結果會相同 例如在上圖中, 從 V 到 W 有兩個路徑 : 一個是直接利用 T ; 另一個 是從 V 先經由 T B 到 R n, 接著藉由 T β T TB 從 R n 到 R m, 最後從 R m 藉由 T β 到達 W 也就是說對任意 v V, 我們可以由 T 得到 T (v) 也可先由 T B 得到 T B (v), 接著利用 T β T TB 至 T β 將 T B (v) 送至 T β T TB (T B(v)) = T β (T (v)), 最後再利用 T β 將 T β (T (v)) 送 (T β (T (v))) = T (v) 利用 V R n 接 R n R m 再接 R m W 這樣的路徑來表示原本 T 從 V 到 W 這 樣的路徑到底有何好處呢? 主要的原因是 R n R m 這一段的路徑, 有 standard matrix representation, 即 β [T B 也就是說對於任意 R n 的向量, 我們只要左邊乘上 β [T B 就可以 知道會被映射到哪一個 R m 的向量 所以對任意 v V, 我們可以先利用 B 將 v 坐標化得 T B (v) = B [v 接著由於 B[v R n, 故將之代入 T β T TB 就是將 B[v 左邊乘上 β [T B 這一個 matrix 也就是說 T β T TB ( B[v) 就是 β [T B B [v 最後再利用 W 的 ordered basis β 將 β [T B B [v 這個 R m 中的向量還原回 W 的元素 T β ( β [T B B [v), 就是 T (v) 之值 因此我們有以下之結果 Proposition 76 假設 V,W 為 vector space 且 B = (v,,v n ), β = (w,,w m ) 分別為 V,W 的 ordered basis 設 T : V W 為 linear transformation 且 β [T B M m n 為 T 相對 於 B,β 的 matrix representation 對於任意 v V, 若 v = v + + v n 且 β [T B = d d m, 則 T (v) = d w + + d m w m

8 68 7 Linear Transformation of General Vector Space Proof 因 v = v + + v n, 依定義 v 利用 B 坐標化所得 R n 的向量 T B (v) 為 由前面所述 T β T T B (T B(v)) = T β (T (v)) 就是將 d 故由 T β (T (v)) = d m d d m 可得 T (v) = d w + + d m w m 故 左邊乘上 β [T B 所得的 R m 中向量 Example 763 我們考慮 Example 76 的例子, 即考慮 T : P (R) P 3 (R), 其中對於任意 p(x) P (R), T (p(x)) = (x +)p(x ) 考慮 p(x) = x 的情形 因 p(x ) = (x ), 依 T 的定義得 T (p(x)) = (x + )p(x ) = (x + )((x ) ) = x 3 x x 當考慮 P (R) 的 ordered basis E = (x,x,) 以及 P 3 (R) 的 ordered basis ε = (x 3,x,x,), 我 們知道 T 對於 E,ε 的 matrix representation 為 ε[t E = 故由 E [p(x) = E [x = 得 即 T (p(x)) = x 3 x x ε[t (p(x)) = =, 當然我們也可以利用 Example 76 中 V 的 ordered basis B = (p (x), p (x), p 3 (x)) 以 及 W 的 ordered basis β = (q (x),q (x),q 3 (x),q 4 (x)) 求出 T (x ) 此時若 p(x) = x = p (x)+c p (x)+c 3 p 3 (x), 則代 x =,, 得 =, c =, c 3 =, 亦即 B[p(x) = 故將 B[p(x) 左邊乘上 T 對於 B,β 的 representation matrix β [T B 得 β [T (p(x)) = = 3 得知 T (p(x)) = q 3 (x) 由於 q 3 ( ) = q 3 () = q 3 () = 以及 q 3 () =, 我們有 q 3 (x) = (x + )x(x )/( ), 故得 T (p(x)) = (x + )x(x ) = x 3 x x 當 T : R n R m 是 linear transformation 時, 我們可以利用 T 的 standard matrix representation [T 的 null space 來決定 T 的 kernel, 也可利用 [T 的 column space 來決定 T 的

9 76 Matrix Representation 69 range 同樣的, 當 T : V W, 為 linear transformation, 我們也可利用 T 的 matrix representation 來決定 T 的 kernel 和 range 分別選定 V 和 W 的 ordered basis B = (v,,v n ) 和 β = (w,,w m ) 由前面的 commutative diagram, 利用 V W 接著 W R m 的路徑以 及 V R n 接著 R n R m 的路徑, 對於任意 v = v + + v n V, 我們有 β [T (v) = β [T B (74) 現若 v ker(t ), 表示 T (v) = O, 因此由 β [T (v) = β [O =, 得 β [T B = B [v 為 β [T B 的 null space 的向量 反之, 若 的向量, 表示 β [T B = =, 亦即 R n 為 β [T B 的 null space 故由式子 (74) 知, 當 v = v + + v n 時, 我們有 β [T (v) = 此即表示 T (v) = O, 得證 v = v + + v n ker(t ) 另一方面, 若 w = d w + + d m w m T (V ), 表示存在 v = v + + v n V, 使得 T (v) = w 因此由式子 (74) 知, column space 的向量 反之, 若 R n 使得 β [T (v) = d d m d d m = β [T B d d m d = β [T (v) = β [T B d m, 亦即 d d m 是 β [T B 的 R m 為 β [T B 的 column space 的向量, 表示存在 故由式子 (74) 知, 若令 v = v + + v n, 我們有, 得證 d w + + d m v m = T (v) T (V ) 我們證得了以下的結果 Proposition 764 假設 V,W 為 vector space 且 B = (v,,v n ), β = (w,,w m ) 分別為 V,W 的 ordered basis 設 T : V W 為 linear transformation 且 β [T B M m n 為 T 相對 於 B,β 的 matrix representation 則 v + + v n ker(t ) 若且唯若 的 null space 而 d w + + d m w m T (V ) 若且唯若 d d m 屬於 β [T B 屬於 β [T B 的 column space

10 7 7 Linear Transformation of General Vector Space 分別給定 B = (v,,v n ), β = (w,,w m ) 為 V,W 的 ordered basis, 我們知道 T B : V R n, T β : W R m 為 isomorphism, 因此由 Proposition 764 我們知道 T B 會將 ker(t ) 的一組 basis 送至 β [T B 的 null space 的一組 basis 且 T β 會將 T 的 range T (V ) 的一組 basis 送至 β [T B 的 column space 的一組 basis ( 參見 Theorem 74) 所以我們有 dim(ker(t )) = null( β [T B ) 以及 dim(t (V )) = rank( β [T B ) 因為這個原因, 一般我們也稱 T 的 range 的維度為 T 的 rank, 而 T 的 kernel 的維度稱為 T 的 nullity 利用此一結果我們 得到以下的 Dimension Theorem Theorem 765 (Dimension Theorem for Linear Transformation) 假設 V,W 為 finite dimensional vector space 且 T : V W 為 linear transformation 則 dim(t (V )) + dim(ker(t )) = dim(v ) Proof 考慮 V,W 的 ordered basis B = (v,,v n ),β = (w,,w m ) 由於 T 對於 B,β 的 matrix representation β [T B 為 m n matrix, 由 Theorem 56 我們知 rank( β [T B ) + null(β[t B ) = n 故套用前述 dim(ker(t )) = null( β [T B ) 以及 dim(t (V )) = rank( β [T B ), 得 證本定理 Example 766 我們考慮 Example 76 的例子, 當考慮 P (R) 的 ordered basis E = (x,x,) 以及 P 3 (R) 的 ordered basis ε = (x 3,x,x,), 我們知道 T 對於 E,ε 的 matrix representation ε [T E 利用 elementary row operations 化為 echelon form 可得 由於 pivot 的個數等於 column 的個數, 我們知 ε[t E 的 null space 為 { }, 故知 ker(t ) = {O}, 亦即 T 為 one-to-one 另一方面 ε[t E 的 rank 為 3, 故 {,, } 為 column space 的一組 basis 因此得 {x 3 x x +,x,x + } 為 T (P (R)) 的一組 basis 由於 dim(p 3 (R)) = 4 dim(t (P (R))) = 3, 我們知 T (P (R)) P 3 (R), 故 T 不是 onto 最後驗證 Dimension Theorem, 我們有 dim(t (P (R))) + dim(ker(t )) = 3 + = 3 = dim(p (R)) Example 767 考慮 M 所形成的 vector space ( 參見 Example 74 (A)) 考慮函數 T : M M 定義為 T (A) = A A T, A M 我們可得 T 為 linear transformation 這是因為對任意 A,B M 以及 r R, 我們有 T (A + rb) = (A + rb) (A + rb) T = A + rb A T rb T = (A A T ) + r(b B T ) = T (A) + rt (B)

11 76 Matrix Representation 7 ([ 考慮 M 的 ordered basis E = [ T ( [ T ( [ ) = [ ) = [, [, T ( [, [, T ( 我們得 T 對於 E,E 的 matrix representation 為 E [T E = 利用 elementary row operation 將 E [T E 化為 echelon form [, [ ) = [ ) =,, ) 由於 得到 E [T E 的 null space [ [ [ 的一組 basis 為 {,, }, 因此得 {,, } 為 ker(t ) 的一組 [ basis 又 E [T E 的 column space 的一組 basis 為 { }, 故得 { } 為 T 的 range T (M ) 的一組 basis 注意我們有 dim(t (M )) + dim(ker(t )) = + 3 = 4 = dim(m ) 另外若 A ker(t ) 表示 T (A) = A A T = O, 亦即 A = A T 反之亦然, 也就是說 A ker(t ) 若且唯若 A 為 symmetric matrix 因此由 dim(ker(t )) = 3, 我們知所有 的 symmetric matrices 所成的 subspace 的維度為 3 Question 75 試求所有 3 3 的 symmetric matrices 所成的 subspace 的維度為何? 當 T,T 皆為 R n 到 R m 的 linear transformation 時, 對任意,c R, 我們知道 T + c T 的 standard matrix representation [ T + c T 和 T,T 的 standard matrix representations [T,[T 的關係為 [ T + c T = [T + c [T ( 參見 Lemma 44) 這對於一般的 linear transformations T : V W 以及 T : V W 的 matrix representations 也是對的 不過要特別注意, 一般的 linear transformation 的 matrix representation 是和定義域以及對應域的 ordered basis 有關, 所以只有當 T, T 都考慮對應相同的 ordered basis 所得的 matrix representation, 這樣的矩陣運算才有意義 也就是說當分別給定 V,W 的 ordered basis, B,β, 我們會有 β [ T + c T B = β [T B + c β [T B 對於合成函數也有類似的情況, 若 T : V W, T : W U 為 linear transformations 若分別給定 V,W,U 的 ordered basis B,β,γ, 我們有以下的圖示

12 7 7 Linear Transformation of General Vector Space T B V B R n T T W T β T β R m T β W β T R m T U T γ T γ R k 這裡由於 T 的對應域和 T 的定義域相同, 所以我們可以考慮合成函數 T T 又由於 W 都 用固定的 ordered basis β, 所以兩邊 W 到 R m 的之間的函數相同 ( 皆為 T β ) 因此我們可以 將上面兩個 commutative diagrams 合併成一個 commutative diagram 如下 : T B V B R n T T W T β T β R m T U T Tγ γ R k 由於底部 R n R m 的 matrix representation 為 β [T B, 而 R m R k 的 matrix representation 為 γ[t β, 因此由 Lemma 44 知, 它們的合成所對應的 matrix representation 為 γ[t β β [T B 因此我們有 γ[t T B = γ [T β β [T B 特別的, 當 T : V W 為 isomorphism 時, T 的 inverse T : W V 亦為 linear transformation 且 dim(v ) = dim(w) 此時當 V 和 W 分別選定固定的 ordered basis B,β 後, 我們 有以下的 commutative diagram T B V B R n T T W T β T β R n T V T B T B R n 由於兩端 V 所用的 ordered basis 是一致的, 所以由 T T 是 V 到 V 的 identity map 知, 底部 R n R n 再接 R n R n 這個路徑是將 R n 的向量固定不動, 也就是說它們的合成所對 應的 matrix representation 為 identity matrix 亦即 B[T β β [T B = I n 同理, 由於 T T 為 W 到 W 的 identity map, 我們得 β [T B B [T β = I n 得證 B[T β 為 β [T B 的反矩陣 綜合以上的討論, 我們有以下有關 Lemma 44 的推廣 Theorem 768 假設 V,W,U 為 finite dimensional vector space 且令 B,β,γ 分別為 V,W,U 的 ordered basis () 假設 T,T 為 V 到 W 的 linear transformations 則對任意,c R, 我們有 β [ T + c T B = β [T B + c β [T B () 設 T : V W 及 T : W U 為 linear transformation 則 γ[t T B = γ [T β β [T B (3) 設 T : V W 為 linear transformation 則 T 為 isomorphism 若且唯若 β [T B 為 invertible matrix 又此時 T : W V 對應於 β,b 的 matrix representation 為 B[T β = ( β [T B )

13 76 Matrix Representation 73 我們知道一個 linear transformation, 當我們用不同的 ordered bases 所得的 matrix representation 會不同 假設 B,B 為 V 的兩組 ordered bases, 而 β,β 為 W 的兩組 ordered basis 對於 linear transformation T : V W, 其對應於這兩對 ordered bases 的 matrix representations β [T B 和 β [T B 之間會有甚麼關係呢? 首先我們考慮 identity map id : V V 注意雖然是 identity map, 但其 matrix representation 未必會是 identity matrix 事實上, 當我們定義域和對應域都選同一組 ordered basis B = {v,,v n }, 則由 於 id(v i ) = v i, 故其 matrix representation 是 identity matrix 但若定義域是使用 B 這一組 ordered basis, 而對應域選的是 B = {v,,v n} 這一組 ordered basis, identity map 對應於 B,B 的 matrix representation B [id B 其 i-th column 雖然仍和 id(v i ) = v i 有關, 不過卻是 要將 v i 寫成以 {v,,v n} 為 ordered basis 的坐標表示法 B [v i 所以當 B 和 B 相異時, B [id B 不是 identity matrix 現對任意 v V, 因 v 對於 B 的坐標表示法為 B[v, 依 matrix representation 的性質 (Proposition 76) 可得 B [id B B[v = B [id(v) = B [v 也就是說, 矩陣 B [id B 可以將 V 中元素對於 B 的坐標表示轉換成對於 B 的坐標表示, 也 因此我們稱 B [id B 為 change-of-basis matrix 要注意 id : V V 是 isomorphism, 所以由 Theorem 768 (3), 我們得 B [id B 為 invertible 且 ( B [id B ) = B [id B = B [id B (75) 也就是說將 B 的坐標表示轉換成對於 B 的坐標表示的 change-of-basis matrix 的 inverse 就是 B 的坐標表示轉換成對於 B 的坐標表示的 change-of-basis matrix 我們回到原先的問題, 假設 T : V W 為 linear transformation 且 B,B 為 V 的兩 組 ordered bases, 而 β,β 為 W 的兩組 ordered basis 我們要探討 β [T B 和 β [T B 之間 的關係 由於 id V : V V, T : V W 和 id W : W W 之合成 id W T id V : V W 仍為 T : V W, 所以由 Theorem 768 () 得 β [id W β β [T B B [id V B = β [T B 這就是所謂的 change-of basis formula, 我們將之完整敘述如下 Theorem 769 (Change-of-basis Formula) 假設 T : V W 為 linear transformation 且 B,B 為 V 的兩組 ordered bases, 而 β,β 為 W 的兩組 ordered basis, 則存在 invertible matrix P,Q 使得 β [T B = Q β [T B P, 其中 P 為將 B 的坐標表示轉換成 B 的坐標表示 的 change-of-basis matrix B [id V B, 而 Q 為將 β 的坐標表示轉換成 β 的坐標表示的 change-of-basis matrix β [id W β Example 76 在 Example 76 中我們考慮 linear transformation T : P (R) P 3 (R), 其中 T (p(x)) = (x + )p(x ), p(x) P (R) 另外我們考慮 P (R) 的兩組 ordered bases E = (x,x,), B = (p (x), p (x), p 3 (x)) 其中 p (x) = (x x), p (x) = x +, p 3 (x) = (x + x)

14 74 7 Linear Transformation of General Vector Space 以及 P 3 (R) 的兩組 ordered bases ε = (x 3,x,x,), β = (q (x),q (x),q 3 (x),q 4 (x)) 其中 q (x) = x3 + 3x x 6 在 Example 76 中我們得到 ε[t E =,q (x) = x3 x x +, β [T B =,q 3 (x) = x3 + x + x 3,q 4 (x) = x3 x 6 / / 因 E [p (x) = /, E [p (x) =, E [p 3 (x) = / 依定義 B 到 E 的 change-ofbasis / / matrix 為 E [id P (R) B = / / 另外若 x 3 = q (x)+c q (x)+c 3 q 3 (x)+ c 4 q 4 (x), 則因 q ( ) =,q ( ) = q 3 ( ) = q 4 ( ) =, 將 x = 代入前式得 =, 同 理我們可得 c =,c 3 =,c 4 = 8, 亦即 β [x 3 = 用同樣方法求 x,x, 對於 β 的坐標表 8 示法, 我們得 ε 到 β 的 change-of-basis matrix 為 β [id P3 (R) ε = 可以先寫下 β 到 ε 的 change-of-basis matrix ε [id P3 (R) β = 再取 inverse 得 β [id P3 (R) ε 最後我們驗算 β [id P3 (R) ε ε [T E E [id P (R) B = 我們也 /6 / / /6 / / /3 / /6 = β [T B 在線性代數中, 我們經常談論的一種 linear transformation 是其定義域及對應域為相同 的 vector space 這樣的 linear transformation 我們特別稱之為 linear operator 關於 linear operator 我們通常對於定義域及對應域會選同樣的一組 ordered basis 此時利用 Theorem 769, 我們得以下之結果 Corollary 76 假設 T : V V 為 linear transformation 且 B,B 為 V 的兩組 ordered bases 則存在 invertible matrix P 使得 B [T B = P B[T B P, 其中 P 為將 B 的坐標表示 轉換成 B 的坐標表示的 change-of-basis matrix B [id V B Proof 考慮 Theorem 769 其中 W = V, β = B 以及 β = B 的情形 此時 Q = B [id V B 由式子 (75), 知 Q = ( B [id V B ) = P, 得證本定理

15 77 結論 結論在本章中, 我們介紹了一般的向量空間, 發現只要符合 vector space 的基本要求, 我們也可如同 R n 的情況處理一般 vector space 的問題 這裡最重要的就是 basis 的存在性, 我們可以將一般的 vector space 利用 ordered basis 將其中所有的元素坐標化, 而得到如 R n 上的向量, 然後就可以如在 R n 上來處理這個 vector space 上的問題 也因此我們也可將一般 vector space 間的 linear transformation 如同 R n 的情況利用矩陣來更進一步了解這一個 linear transformation

16 Chapter 8 Determinant 這一章我們將介紹 determinant ( 行列式 ) 對於一個 n n matrix, 我們將它的行列式視為其 row vectors 所張成的平行多面體的 有向體積 利用這個看法, 我們探討 determinant 應有的性質, 再利用這些性質來得到 determinant 的定義 這一章中, 我們探討的 R n 向量大多以 row vector 來表示, 除非與矩陣乘法有關才會用 column vector 來表示 8 Signed Area in R and Properties of Determinant Function 我們都知道當 A 為 matrix, 其行列式 det(a) 的定義, 我們可以將它視為 A 的兩 個 row vectors 所張出的平行四邊形的 sign area 我們將用這個看法將之推廣到一般 n n matrix 的情形並探討 [ determinant 應具有的性質 a b 考慮 A =, A 的 determinant 定義為 det(a) = ad bc 考慮 R 中兩向量 u = (a, b), v = (c, d) 當 u 為零向量, 表示 a =,b =, 此時我們有 det(a) = 而當 u O, 此時將 u 逆時針轉 π/ 角得 R π/ (u) = ( b,a) 因此我們有 R π/ (u) v = ( b,a) (c,d) = ad bc = det(a) (8) 假設 u 到 v 的角度為 θ 且 θ π/ ( 如下圖所示 ) 此時 u,v 所張成的平行四邊 形, 以 u 為底的話, 此平行四邊形的高為 v sinθ 故平行四邊形的面積為 u v sinθ 由於 R π/ (u) 是將 u 逆時針轉 π/ 角, 我們有 R π/ (u) = u 且 R π/ (u) 與 v 的夾 角為 (π/) θ 因為 sinθ = cos((π/) θ), 我們得 u,v 所張成的平行四邊形面積為 u v sinθ = u v cos((π/) θ) = R π/ (u) v cos((π/) θ) = R π/ (u) v = det(a) R π/ (u) π v θ θ u 77

17 78 8 Determinant 而若 u 到 v 的角度為 θ 且 π/ < θ π, 則 u,v 所張成的平行四邊形, 以 u 為底的話, 其高仍為 v sinθ 此時 R π/ (u) 與 v 的夾角為 θ (π/) 因此由 sinθ = cos(θ (π/)) 我們仍得 u,v 所張成的平行四邊形面積為 u v sinθ = u v cos(θ (π/)) = R π/ (u) v = det(a) 現假設 u 到 v 的角度為 θ 且 π/ θ < ( 如下圖所示 ) 此時 u,v 所張成的平行四邊形, 以 u 為底的話, 此平行四邊形的高為 v sinθ 故平行四邊形的面積為 u v sinθ 由於此時 R π/ (u) 與 v 的夾角為仍為 (π/) θ 我們得 u,v 所張成的平行四邊形面積為 u v sinθ = u v cos((π/) θ) = R π/ (u) v = det(a) R π/ (u) u π θ θ v 同理當 u 到 v 的角度為 θ 且 π < θ < π/ 時, u,v 所張成的平行四邊形面積為 det(a) [ a b 由以上的討論, 我們知當 A =, 令 u = (a, b), v = (c, d) 此時 det(a) 的絕對值 會是 u,v 所張成的平行四邊形的面積 而 det(a) 為正的表示 v 在 u 的逆時針方向 反之, det(a) 為負的表示 v 在 u 的順時針方向 也就是說 det(a) 不只告訴我們有關於 u,v 所張成 的平行四邊形的面積, 且告訴我們 u,v 之間的方向性 因此我們稱 det(a) 為 u,v 所張成的 平行四邊形的 signed area 我們希望將此推廣到 n n matrix 也就是說當 A 為 n n matrix, 令 v,,v n R n 依 序為 A 的 row vectors 我們希望能定義 det(a) 使其值為 v,,v n 在 R n 所張成的 平行 多面體 的 signed volume 也就是說, 希望 det(a) 的絕對值表示 v,,v n 在 R n 所張成的 平行多面體 的體積, 而其正負號表示的是 v,,v n 的方向性 或許大家會疑惑? 當 n 4 時, R n 中 n 個向量所張的 平行多面體 是什麼樣子都不知道, 要如何去說它的體積呢? 沒 錯, 我們就是希望能延伸 R 的平行四邊形面積的概念到 R 3 的平行六面體體積 然後希望 能一直延伸下去定義出一般 R n 中 n 個向量所張的平行多面體的體積 簡言之, 我們想利用 預期一個體積應該符合哪些性質的方法, 來定義出體積 所以接下來的工作就是列出幾個和 signed area 相關的性質, 希望能定義出 determinant ( 行列式 ) 這一個從 M n n 到 R 的函數 ( 用 det 表示 ), 使得它符合這些性質 首先我們要定義體積, 應該先定義單位體積為何才能確定體積 在 R 中我們是因為定 義了 (,),(,) 所張的平行四邊形 ( 其實是正方形 ) 的面積為, 才得到其他平行四邊形的 面積 又 (,) 到 (,) 確實是逆時鐘轉 π/, 依前面的方向性應為正向 所以 det(i ) = 確 實符合我們要求 (,),(,) 所張的平行四邊形的面積為 且為正向的要求 因此要決定 R n 中的單位體積, 很自然的我們會定其 standard basis e,,e n 所張的平行多面體的體積為, 且要求 e,,e n 這樣的方向性就是正向 也就是說我們希望 e,,e n 所張的平行多面體的 signed volume 為, 亦即我們定 det(i n ) =

18 8 Signed Area in R and Properties of Determinant Function 79 至於一般 R n 中 n 個向量 v,,v n 的方向性怎麼定呢? 在 R 中, 若 u,v 為正向, 表示 v 在 u [ 的逆時鐘方向, 此時 v,u 就是負向, 因為 [ u 在 v 的順時鐘方向 而 的 determinant a b det = ad bc = (cd ad) = det 也符合這個性質 因此我們認為 R a b n 中 n 個向量 v,,v n, 若將其中兩個相鄰向量 v i,v i+ 變換順序就會改變方向性 也就是說當 A M n n, 若將 A 的相鄰兩個 row 交換所得的矩陣為 A, 則我們要求 det(a ) = det(a) 另一個改變 v,,v n 的方向性的可能就是將其中一個 v i 改為 v i 例如在 R 中, 若 u,v 為正向, 則 u,v 就是負向 反之, 若 u,v 為負向, 則 u,v 就是正向 如下圖所示 : v u u v u u 而 的 determinant [ a b det [ a b = det c d [ a b = ad + bc = (ad bc) = det 也符合這個性質 因此我們認為 R n 中 n 個向量 v,,v n, 若將其中一個 v i 改為 v i 就會 改變方向性 也就是說當 A M n n, 若將 A 的某個 row 乘上 所得的矩陣為 A, 則我們 要求 det(a ) = det(a) 至於體積我們希望有怎樣的性質呢? 首先若 r 為一個正實數, 平行多邊形若有一邊為原 來的 r 倍, 我們認為其體積應也會隨之改變為原來的 r 倍 而 的 determinant [ ra rb det [ a b = det rc rd [ a b = rad rbc = r(ad bc) = r det 也符合這個性質 因此我們認為當 r >, R n 中 n 個向量 v,,v n, 若將其中一個 v i 改為 rv i 就會改變其體積為原來的 r 倍 也就是說當 r >, 若將 A M n n 的某個 row 乘上 r 所得的矩陣為 A, 則我們要求 det(a ) = r det(a) 而若將 A 的某個 row 乘上 r 所得的矩 陣為 A, 我們可視為將該 row 先乘上 r 得到 A 再在 A 的該 row 乘上, 所以我們要求 det(a ) = det(a ) = r det(a) 換言之, 不管 r 是正實數或負實數, 若將 A 的某個 row 乘上 r 所得的矩陣為 A, 則我們都要求 det(a ) = r det(a) 最後如果 R n 中 n 個向量 v,,v n 將其中一個向量 v i 拆成兩個向量之和, 即 v i = w i +w i, 則我們認為 v,,v i,,v n 所張成的平行多面體其有向體積應為 v,,w i,,v n 所形成的 平行多面體和 v,,w i,,v n 所形成的平行多面體的有向體積之和 例如在 R 中下圖所 示 :

19 8 8 Determinant v + v v v u 注意這裡以 u 為底, u,v + v 所張的平行四邊形的高為 u,v 所張的平行四邊形和 u,v 所 張的平行四邊形的高之和 而 的 determinant [ a + a b + b det = [ (a + a )d (b + b )c = (ad bc) + (a d b a b c) = det [ det = a b c + c d + d [ a(d + d ) b(c + c ) = (ad bc) + (ad bc a b ) = det [ a b + det [ a b + det c d 也符合這個性質 因此我們要求當 A,B,C 三個 n n matrix, 其中 A 的 i-th row 是 B 和 C 的 i-th row 之和, 而 A,B,C 其他各 row 皆相等時, det(a) = det(b) + det(c) 我們將上述討論所希望 determinant 應具有的性質總結如下 : () det(i n ) = () 若將 n n matrix A 某相鄰兩個 row 交換所得的矩陣為 A, 則 det(a ) = det(a) (3) 若將 n n matrix A 某個 row 乘上非零實數 r 所得的矩陣為 A, 則 det(a ) = r det(a) (4) 若 A,B,C 三個 n n matrix, 其中 A 的 i-th row 是 B 和 C 的 i-th row 之和, 而 A,B,C 其他各 row 皆相等, 則 det(a) = det(b) + det(c) 注意 (3), (4) 兩個性質, 我們通稱為 determinant 的 multi-linear 性質 千萬不要搞錯, 它並不是說若 A = B + rc 則 det(a) = det(b) + r det(c), 而是說僅有一個 row 寫成線性組合 而其他 row 固定不動的情況之下, determinant 可保持該 row 線性組合的關係 其大致的圖 示如下 det v v i + rv i v n v = det v i + r det v n v v i v n [ ra + sa Question 8 試利用 determinant multi-linear 的性質將 det rb + sb t + uc td + ud [ ai b det i 的線性組合 c j d j, 寫成

20 8 Uniqueness of the Determinant Function 8 8 Uniqueness of the Determinant Function 上一節中我們給了 det 這個函數預期應該擁有的性質, 但是我們不知道這樣的函數存不存在 因為或許這些性質要求太多, 會互相抵觸造成符合這些性質的函數根本不存在 也有可能這些性質要求太少, 以至於有很多函數可以符合這些性質 這一節中我們將探討, 若符合這些性質的函數存在的話, 那它會是唯一的 也就是說, 不管怎麼去定這個函數如果定出的函數真能符合我們要求的性質, 那它一定就是唯一的那一個 或許大家會疑惑, 連這個函數存不存在都不知道, 為何要先探討它的唯一性呢? 其實我們在處理數學問題時經常是這樣做的 例如在解方程式時, 我們都是先假設其解存在, 然後再利用等量公理等方法解出其解可能為那些, 再將這些可能的值代回原方程式看看是否符合, 然後才找到真正的解 也就是說, 我們不可能將所有的數都代入方程式來找解, 而解方程式的過程是利用若有解的話其解需要具備的性質幫我們縮小範圍找出真正的解來 現在我們也是一樣, 想先由前一節列出的性質去推導出更多的性質, 然後得到符合這些性質的函數若存在的話僅有一個, 再由此得到這個函數可能的形式, 然後回過來驗證它真的符合我們要的性質 要注意在本節中, 由於尚未證明 det 是存在的, 所以我們推導出來的性質都是在 det 存在的假設情況才會成立 從邏輯的角度來看, 這裡推導出來的每個敘述之前都要加上 若 det 存在 這樣的假設條件 不過以後我們將會證明 det 確實存在, 所以這些敘述事實上是正確的 因此為了方便起見, 我們都略去 若 det 存在 這樣的假設條件 首先我們探討 det 在 elementary row operation 之下其取質如何改變 在 det 要求的性質 () 中我們要求當 A 的某相鄰兩個 row 交換其行列式值要變號 其實這對 A 的任兩個 row 交換也會成立 這是因為我們可以利用相鄰兩個 row 互換的方法將 A 的 i-th row 和 j-th row 交換 因為不失一般性, 假設 i < j, 我們可以先將 A 的 i-th row 和 i + -th row 互換, 接著將 i + -th row 和 i + -th row 互換, 這樣一直下去直到將原本 i-th row 換到 j -th row 注意此時原本 i + -th 到 j -th 各 row 其實都只是往上移一個 row, 而我們共做了 ( j ) i 次的相鄰兩個 row 互換的動作 接下來從 j-th row 開始, 先和 j -th row 交換 ( 此時原本的 i-th row 已換到 j-th row), 然後再依序往上用相鄰兩 row 互換的方法將原本的 j-th row 換到 i-th row 這次由下往上互換的動作從 j-th row 和 j -th row 交換一直到 i + -th row 和 i-th row 交換共做了 j i 次的相鄰兩個 row 互換的動作 所以從上而下再從下而上完成將 i-th row 和 j-th row 互換共做了 ( j i) + ( j i) = ( j i) + 次的相鄰兩個 row 互換的動作 例如 3-th row 和 6-th row 互換的動作, 我們先從上而下的先將 3-rd 和 4-th row 交換, 然後 4-th 和 5-th row 交換, 將原本的 3-rd row 換到 5-th row 的位置 此時共做了 (6 ) 3 = 次的相鄰兩個 row 互換的動作圖示如下 :

21 8 8 Determinant v 3 v 4 v 4 v 4 v 5 v 3 v 5 v 5 v 3 v 6 v 6 v 6 接著我們從下而上的將 6-th 和 5-th row 交換 ( 此時原本 3-rd 已到達 6-th row 的位置 ), 然 後 5-th 和 4-th row 交換, 最後將 4-th 和 3-rd row 交換將原本的 6-th row 換到 3-rd row 的 位置 此時共做了 6 3 = 3 次的相鄰兩個 row 互換的動作圖示如下 : v 4 v 5 v 3 v 6 v 4 v 5 v 6 v 3 v 4 v 6 v 5 v 3 v 6 v 4 v 5 v 3 由於每做一次相鄰兩 row 互換 det 會變一次號, 而 ( j ) + 為奇數, 故最後 det 還是 要變號 我們推得了以下的性質 Lemma 8 假設 A 為 n n matrix det(a ) = det(a) 若將 A 任兩個 row 交換所得的矩陣為 A, 則 回顧一下, 將 A 的 i-th 和 j-th row 交換這樣的 elementary row operation 所得的矩陣其實是將 A 的左邊乘上一個 elementary matrix E 而 E 就是將 identity matrix I n 的 i-th 和 j-th row 交換 所以依 Lemma 8, 我們有 det(e) = det(i n ) 而 det 的性質 () 告訴我們 det(i n ) =, 因此得 det(e) = 又 Lemma 8 說將 A 的 i-th 和 j-th row 交換所得的矩陣 EA 其行列式為 det(a), 因此若 E 為將 i-th 和 j-th row 交換這樣的 elementary row operation 所對應的 elementary matrix, 則 det(ea) = det(a) = det(e)det(a) 利用 Lemma 8, 如果 det 這個函數存在的話, 我們可以推得以下簡單的性質 Lemma 8 假設 A 為 n n matrix 且 A 中有兩個 row 是相等的 則 det(a) = Proof 假設 A 的 i-th row 和 j-th row 是相等的 此時若將 A 的 i-th 和 j-th row 交換所得的矩陣為 A, 則由 Lemma 8 可得 det(a ) = det(a) 但又 A = A, 所以依 det 是一個函數 ( 之假設 ) 知 det(a) = det(a ) 故由 det(a) = det(a ) = det(a) 得證 det(a) = 第二種 elementary row operation 是將矩陣的某個 row 乘上一個非零實數 這一個 elementary row operation 對行列式的影響其實就是我們要求 det 的性質 (3) 同樣的, 利用這一個 elementary row operation 將 A 的 i-th row 乘上一個非零實數 r 所得的矩陣就是將 A 的左邊乘上一個 elementary matrix E 而 E 就是將 identity matrix I n 的 i-th row 乘上 r 因此依 det 的性質 ()(3), 我們有此時 det(e) = r det(i n ) = r 而性質 (3) 又要求