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1 带电粒子运动的力学基本知识 西安交通大学 康永锋

2 引言

3 电子光学第二章 (Kang P.3 引言 (, f i

4 提纲 引言 牛顿运动方程 拉格朗日方程 最小作用原理 折射率与轨迹方程 电子运动的波动性质

5 电子光学第二章 (Kang P.5 牛顿运动方程 (, f i

6 电子光学第二章 (Kang P.6 牛顿运动方程 E e 具有电荷为, 运动速度为的电子在电场强度和磁感应强度分别为 B (, f i 和的电磁场中运动, 将受到罗伦兹力的作用, 可以表示为 : F ee e B (-1 上式有两部分, 第一部分为电场力, 它对电子做功, 即改变电子的能量, 产生电子的加速和减速运动 ; 第二部分为磁场力, 对电子不做功, 它不能改变电子的能量, 只改变运动方向 利用该式可以描述电子的运动 v

7 电子光学第二章 (Kang P.7 牛顿运动方程 dp dt ee e B 非相对论情形 ( 电子速度远小于光速 dp dt 高能粒子 p d dt m ( d dt m 1 m 1 ee e B c ee e B (, f i (-

8 电子光学第二章 (Kang P.8 牛顿运动方程 d dt ( m 1 ee (, f i (-3 等式左边变换为 : dv dv m v 1 1 ( dt m dt dv d m c m 3 [(1 ] ( 3 (1 (1 1 c dt dt 1 等式右边变换为 d u d u d u dz du ee eu e( e dt dt dt z dt dt

9 电子光学第二章 (Kang P.9 牛顿运动方程 d dt ( mc eu 1 (-4 令粒子速度为零时, 电位为零 定义加速电位 U* m c e U * m c 1 动能 势能和静止能量守恒 ; 粒子在任一点动能完全由加速电位决定 粒子的运动速度 e U (1 U m e 1 U m c

10 电子光学第二章 (Kang P.9 牛顿运动方程 质子 动能 势能和静止能量守恒 ; 粒子在任一点动能完全由加速电位决定 粒子的运动速度 e U (1 U m e 1 U m c 相对论的一个重要原理是带电粒子静止质量也对应了一个静止能量 : 电子 mc.511 MeV 质子 m c 938 MeV 是否需要考虑相对论效应?? 将加速电位与粒子的静止质量对应的加速电位对比 电子 511kV 相比, 远远小于这一电位时可使用牛顿动力学方程

11 电子光学第二章 (Kang P.1 牛顿运动方程 可得 右端项 左端项 d m dt d dt ( eu d dt 1 ( m d dt 1 ( m eu

12 电子光学第二章 (Kang P.11 牛顿运动方程 ( 1 m 1 m e( U U (-4 其物理来源是 : 稳态磁场对带电粒子不做功, 电子的运动能量和速度完全取决于电场 ; 稳态电场中电子位能与运动路线无关 ; 可以直接根据场点的电位决定带电粒子的动能 动量和速度 电子运动的动能与位能之和守恒, 运动速度来自初速度和电场的加速, 直接由初速度与加速电位确定, 与磁场无关, 也与电场的具体形式无关

13 电子光学第二章 (Kang P.1 牛顿运动方程 引入加速电位 U* e m U (-5 上式表示了在低速情况下, 加速电位与电子速度之间的关系, 其中电位表示的是规范化电位, 即考虑电子动能为零作为参考点 用它可以计算电子光学仪器的电子能量 在高速情况下, 需考虑相对论

14 电子光学第二章 (Kang P.13 牛顿运动方程 ( z B z B e ee m ( z B zb e ee m ( z B B e ee z m

15 电子光学第二章 (Kang P.14 牛顿运动方程 利用坐标变换, 可建立直角坐标 和 与圆柱坐标 和 ψ 之间的关系为 : 上面的坐标对时间求微分有 : cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin

16 电子光学第二章 (Kang P.15 牛顿运动方程 将而 方向的力表示为 和 方向的力的投影, 可以得到分量形式 : F F m m m m F ( sin [ (sin ( cos F sin m cos m cos ( cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos (sin cos ] sin cos F F sin F cos m sin m cos F z 不变

17 电子光学第二章 (Kang P.16 牛顿运动方程将而 方向的力表示为 和 方向的力的投影, 可以得到分量形式 : cos sin cos sin m m F F F ( ( sin (cos sin (cos [ cos sin cos cos cos sin ( sin cos sin sin sin cos ( cos sin cos cos sin ( sin cos sin sin cos ( cos sin cos sin dt d m m m m m m m m m F F F

18 电子光学第二章 (Kang P.17 牛顿运动方程 将 和 的微分形式用 和 ψ 的微分形式代入, 上述方程可以得到圆柱 坐标方程下的牛顿方程 : F F m ( m d m ( ( dt F z mz

19 电子光学第二章 (Kang P.18 牛顿运动方程 ( ( B z B e ee m z ( ( B z zb e ee dt d m ( z B B e ee z m 因此, 将方程左端向的洛仑兹力项带入方程中, 可得

20 电子光学第二章 (Kang P.19 牛顿运动方程 对于正交曲线坐标系 ( q 1,q,q 3, 动量 p p q p q p q 其中 h 为坐标系的兰米系数 : h i ( / qi ( / qi ( z / qi

21 提纲 引言 牛顿运动方程 拉格朗日方程 最小作用原理 折射率与轨迹方程 电子运动的波动性质

22 拉格朗日方程 电子光学第二章 (Kang P.1

23 电子光学第二章 (Kang P. 拉格朗日方程 1. 牛顿运动方程能够处理给定电磁场中带电粒子运动的质点动力学的全部内容. 但是牛顿运动方程运用到曲线坐标时, 表达式比较复杂, 而且缺乏直观意义 ; 3. 而采用分析力学中的拉格朗日方程, 利用广义坐标的表达形式更为直观, 物理意义更为清晰 4. 利用广义坐标, 把粒子的速度 V 和势函数 U 和 A 用广义坐标 q 1,q 和 q 3 及其对时间的导函数表示, 则拉格朗日方程将自动产生三个标量的运动方程

24 电子光学第二章 (Kang P.3 拉格朗日方程 由于静电场为保守场, 因此可建立位函数 W 与场作用力的关系式为 : W W W F F F z z 可以利用微分的性质, 将上式中第一式的左端项写成用动能形式表示为 可得 d F m ( m dt d m ( ( ( dt d dt T W z d dt T

25 电子光学第二章 (Kang P.4 拉格朗日方程 由于动能 T 只与速度有关, 位能 W 只与坐标有关, 根据偏微分的性质, 动能 T 对坐标的微分为零, 而位能 W 对速度的微分为零, 因此用函数 L T W 带入方程中, 可以得到上式的等价方程为 : d L L dt 同理对 和 z 分量可得出类似的方程, 如果将式中的坐标用广义坐标表示 d L L dt q q i 在分析力学中已经证明, 在 q i 为任意广义坐标时上式均成立 i

26 电子光学第二章 (Kang P.5 拉格朗日方程 拉格朗日函数 静电场是位场, 因此将位能和动能函数带入到拉格朗日函数后, 得到静电场中低速运动带电粒子的拉各朗日函数 L m eu 如果把 q L i 称为广义速度, 可以称为广义的力, 而将 L T q i q i 称为广义动量, 那么 L q i q i W q i 称为位场决定的力

27 电子光学第二章 (Kang P.6 拉格朗日方程 因为磁场不是位场, 磁场作用力不能用上面的位函数微分表示力, 但可以证明存在一个对应的广义力为 : 在电场强度向量为 E 及磁感强度为电位 U 和磁矢位 A 表示为 : A E U t Q i d M M ( dt q q i i B 定义的电磁场中, 可以用 B A

28 电子光学第二章 (Kang P.7 拉格朗日方程 牛顿运动方程可以写为 : dp A ee e B e( U ( A dt t 右端式的前两项表示电位和磁位引起的电场作用, 后一项表示磁位引起的磁场作用

29 电子光学第二章 (Kang P.8 拉格朗日方程将右端项写成分量式, 并化成全微分形式有 : ( ( A z A ez A A e t A e U e dt P d z dt da e z A A A e U e z ( 其中 dt da t A z z A A A ( ( z A A A e U e z ( t A z z A A A e

30 电子光学第二章 (Kang P.9 拉格朗日方程 同理, 对 和 z 分量也存在同样的方程, 因此就有 dp da e( U e( A dt dt 令右端项后面的一项为 M 修正的拉格朗日函数为 ea m L T W M eu ea 则拉格朗日方程与牛顿方程一致

31 电子光学第二章 (Kang P.3 拉格朗日方程 静电场 考虑磁场 L mc 1 v eu c 1 v L m c eu ea c 考虑相对论修正后, 上式第一项并不代表粒子运动的动能

32 电子光学第二章 (Kang P.31 拉格朗日方程 从拉格朗日方程出发, 只要能写出动能 T, 立即可得到正交曲线坐标系的运动方程 举个例子, 在球坐标系中 h 1, h, h sin m L ( sin eu ea 从拉格朗日方程就可以直接写出球坐标系中牛顿运动方程 m u sin cos F e e B sin B e u sin cos F e sin R B m m sin d dt sin F ee eb B

33 提纲 引言 牛顿运动方程 拉格朗日方程 最小作用原理 折射率与轨迹方程 电子运动的波动性质

34 最小作用原理 电子光学第二章 (Kang P.33

35 电子光学第二章 (Kang P.34 最小作用原理 1. 自然规律的微分变化规律与整体 ( 积分 变分 规律描述 微分关系是每一时刻运动状态参量的变化 ( 速度的变化率等于外力 整体关系强调实际运动规律的函数形式区别于其它函数形式的特点. 经典力学的质点动力学问题, 除了用上面介绍的牛顿方程 拉格朗日方程表示外, 还可以采用变分原理描述 ; 3. 描述简洁, 具有高度概括性 ; 4. 变分原理的应用揭示了带电粒子运动的规律与光线光学的运动类似性, 在此基础上建立和发展了电子光学 5. 所谓变分原理的数学问题是泛函求极值问题

36 电子光学第二章 (Kang P.35 最小作用原理 我们知道函数的定义, 即, 假如一个连续变化的函数表示为 : f ( 那么称为自变量是自变量的函数, 如果一个 (, f ( 和 f( 的关系为, 成立, 则称为泛函, 与的关系类似于与的关系, 因此也 称为函数的函数 函数 v 与

37 电子光学第二章 (Kang P.36 最小作用原理 泛函求极值 同函数一样, 泛函的稳定值可以用极值描述, 即微分等于 时的值 如果函数 f ( 发生一微小变化, 即扰动时, 可以表示为 f( ( 其中 ξ( 为任意给定函数,ε 为数值参数 参量 ε 的变换意味着 函数 的连续变化 当 ε= 时, 函数 值为 f( 即

38 电子光学第二章 (Kang P.37 最小作用原理 泛函求极值 当 ε 变化时, 显然泛函 v 也随着变化 式中 (, f (, f 1 1 d d d d 1 因此为的一阶微分形式, 用表示, 称为泛函 1 的一阶变分, 称为泛函的极值, 称为二阶变分, 如此类推

39 电子光学第二章 (Kang P.38 最小作用原理 在物理问题中一个常用的泛函表示形式是下面的定积分形式的泛函, 这个积分形式的泛函极值问题, 既变分问题所描述的是能量问题 假设一个积分形式的泛函表示为 : 1 F (, d 式中 是 的连续函数, 且在该区间具有一阶 二阶导数存在, 现在研究泛函 的极值问题, 由于当存在函数 ( 时, 函数 和一阶微分可以分别表示为 : f ( ( f ( (

40 电子光学第二章 (Kang P.39 最小作用原理 因此, 泛函 v 也是 ε 的函数, 泛函取极值可以表示为 函数 d ( d, 即 的两个端点应该有定值, 为 处, 应有 1 处, 1 ( ( 1

41 电子光学第二章 (Kang P.4 最小作用原理这时泛函 V 的极值可以表示为 d F d d d d 1,, ( ( 1 d d d F d d F ( d d ( d d ( 1 d F F d d 根据端点的初始条件, 上式中代入方程中, 可得 :

42 电子光学第二章 (Kang P.41 最小作用原理将上式第二项做分部积分 ( d F d d F d F ( ( 1 ( 1 d F d d F 将两个端点值带入, 由于因此上式的第一项为零, 极值可以表示为 :

43 电子光学第二章 (Kang P.4 最小作用原理 对于任意函数 (, 上式成立的必要条件是 F d d F 该式称为欧拉方程, 变分学的一个基本方程 泛函极值的必要条件是积分函数要满足欧拉方程, 即欧拉方程成立, 也就是说, 上述定积分泛函的极值问题等价于欧拉方程 对于一个多变量泛函, 可以用多个欧拉方程分量表示, 而欧拉方程等价于牛顿运动方程, 即变分问题与牛顿运动方程是等价的

44 电子光学第二章 (Kang P.43 最小作用原理 对于多变量函数的泛函极值问题 : 对应的欧拉方程为 : t 1 t F( t, q, q, q, q, q, q dt 当 t t, t t时, q, q, q取固定值 d F F d t q q 1 1 d F F d t q q d F F d t q q 3 3

45 电子光学第二章 (Kang P.44 最小作用原理 将拉格朗日函数带入到变分式中, 即得到电磁场中粒子运动的哈密顿原理 : t 1 ( t m eu ea dt 显然哈密顿原理中的积分函数是能量形式, 满足哈密顿原理, 表示在各种运动形式中, 应满足能量最小 哈密顿原理中的积分变量为时间函数, 它表示粒子运动与时间坐标的关系, 因此它对应的是运动方程, 而对电子运动的规律研究, 我们更感兴趣的是粒子运动的轨迹, 因此希望泛函积分中的时间坐标换为空间的坐标

46 电子光学第二章 (Kang P.45 最小作用原理 根据哈密顿原理, 带电粒子在电磁场中的运动可以用下式表示 : t t 1 L d t 式中 L T U M 为拉格朗日函数 可以定义广义动量 P 为 ( 分量 p i,i=1,,3 L pi q i 因此, 广义动量 P 也可以表示为 P i p i ea i

47 电子光学第二章 (Kang P.46 最小作用原理 用速度矢量 总能量为 p m e A W p L 点乘上式两边, 可以得到 1 m eu 常数 因此, 由于上式等于常数, 满足变分为零的条件, 即可以表示为 : t 1 t ( p L dt

48 电子光学第二章 (Kang P.47 最小作用原理 可以写成两个变分的和 t1 t1 t p dt t Ldt 而第二式由哈密顿原理可知, 为零 Ldt 而第一式 dt ds, 因此, 上式可以写为 t1 p1 t p dt p p s ds 将广义动量带入 p 1 t t ( p=m v= -em U* 1 p ea s ds p 此式表示最小作用原理

49 电子光学第二章 (Kang P.48 最小作用原理 最小作用原理中的被积函数为动量, 积分元是弧长 即, 最小作用原理是将哈密顿 原理的一个能量对时间的积分求极值问题, 变换成一个动量对弧长积分的求极值 问题, 是完全等价的

50 电子光学第二章 (Kang P.49 最小作用原理 已知带电粒子在电磁场中运动, 可以用最小作用原理表示, 将被积函数用 广义动量表示, 最小作用原理可以表示为 : p 1 p ( emu 当只有电场时, 上式可以简化为 ea s ds p p 1 U ds 由于最小作用原理与带电粒子的运动方程是等价的, 因此, 可以利用最小作用原理的形式讨论带电粒子运动的规律和具有的性质 :

51 电子光学第二章 (Kang P.5 最小作用原理 1. 轨迹与荷质比的关系在不存在磁场的电场中, 被积函数不含粒子质量和电荷, 即 p p 1 U ds 可以看出, 对于不同类型的带电粒子, 上式不变, 即轨迹相同, 也就是说, 不管粒子的质量和电荷的大小, 轨迹是一样的, 即, 带电粒子在静电场中运动轨迹与粒子的荷质比 e m无关 但有磁场时, 最小作用原理表示为 : p 1 p ( em U 可以看出轨迹与荷质比 ea s e m ds 有关, 荷质比越大, 磁场的作用越强

52 电子光学第二章 (Kang P.51 最小作用原理. 轨迹与电磁场大小成比例变化无关 当仅存在电场时, 将最小作用原理的被积函数乘以一个常数, 不影响变分 为 条件的成立, 说明, 当电场增大或减小 K 倍时, 被积函数不变, 即轨迹不变 当有磁场时, 将式写成如下形式 : p1 p (1 m e U A s ds 可以看出, 电场变化 K 倍, 磁场需要变化 K 倍, 可以使轨迹保持不变

53 电子光学第二章 (Kang P.5 最小作用原理 3. 几何尺寸变化, 轨迹形状不变, 当电场和磁场的相对分布不变, 只是几何尺寸变化时, 可以表示为 : 轨迹与电磁场大小成比例变化无关 U (,, z, A (,, z 变换为 U ( K, K, Kz A( K, K, Kz 如果令坐标变量为 K 那么, 微分弧元 p 1 p ( K Kds,, ds em U Kz ea s z, 代入变分中, 有 ds 成立, 可以说明尺寸变化同样倍数, 但分布不变时, 轨迹形状不变

54 提纲 引言 牛顿运动方程 拉格朗日方程 最小作用原理 折射率与轨迹方程 电子运动的波动性质

55 电子光学第二章 (Kang P.54 折射率与轨迹方程 上节证明了最小作用原理与运动方程的等价性, 即可以采用最小作用原理描述 一个带电粒子的运动轨迹 本节证明, 描述力学问题中带电粒子运动问题最小作用原理形式相似于光线光学 中的费马原理, 从而将带电粒子运动轨迹表现形式与光线光学轨迹的表现形式 统一起来

56 电子光学第二章 (Kang P.55 折射率与轨迹方程 已知光线光学的基础是折射和反射定律 : 其中 1 n 1 1 sin1 n sin P o, op 1, op 与法线在同一平面上 和分别为入射角和反射角, 为折射角, 分别为两个介质的折射率 上式与惠更斯原理一致 n n 1 和 n 1 可以证明光学从 P 到 P 1 或 P, 在所有可能路径中, 沿满足折射 - 反射定律的实际光线路程, 光的传播时间最短 ;

57 电子光学第二章 (Kang P.56 折射率与轨迹方程 光反射情况下 : P O P O n1 ( P O OP c 1 1 和 1 为两种媒质中传播的相速度, 折射光程所需时间 : c n P O PO 1 1 n 1 c P O n c PO 1

58 电子光学第二章 (Kang P.57 折射率与轨迹方程 可以说明, 入射光程和反射光程为最短直线距离, 所需时间最短, 即光的传播时间为最短距离所需时间, 右边等于最短距离比相速, 既时间 ; 左边为每段光线的时间 一般情况下, 光在多种媒质中传播, 由下式表示 : i n c i l i 最小

59 电子光学第二章 (Kang P.58 折射率与轨迹方程 用积分表示为 P 1 nds P 最小, 即 P 1 nds P 此式为费马原理, 此式中的折射率表示为连续变化的函数 该式与电子光学中最小作用原理一致, 因此可以用光学传播的概念来描述带电粒子的运动规律 这是电子光学建立的理论基础

60 电子光学第二章 (Kang P.59 折射率与轨迹方程 通过类比的方法得到电子光学的折射率为 n em U ea s 其中 e U U *(1 U* m c 低速静电场中运动时, 折射率表示可以简化为 n 电子光学折射定律为 U U 1 sin1 sin 1 sin1 U sin

61 电子光学第二章 (Kang P.6 折射率与轨迹方程 从上式的类比, 我们可以模仿已有的光学仪器元件简历带电粒子光学元件 例如棱镜和透镜 但电子光学中建立类似的棱镜是困难的, 因为, 棱镜需要对电子透明且电位要有突变界面, 而制作突变界面工艺上是困难的, 因此建立对电子透明的 电位突变的电子棱镜将是非常有意义的研究方向

62 电子光学第二章 (Kang P.61 折射率与轨迹方程 利用折射率, 从最小作用原理可以直接得到粒子轨迹方程 从最小作用原理或费马原理得到 n( q, q ds i i 等价的欧拉方程为 : d n n ds q q i i i 1,,3

63 电子光学第二章 (Kang P.6 折射率与轨迹方程 其中 q i 表示对弧长求导函数, 如果将 z 坐标作为自变量, 将 ds 1 dz 代入方程中可得到 nds z1 z n 1 dz z1 z dz 对应的欧拉方程为 d dz d dz

64 电子光学第二章 (Kang P.63 折射率与轨迹方程折射率为 1 ( s A U ds dz A ds d A ds d A s A z 1 dz ds 其中,

65 电子光学第二章 (Kang P.64 折射率与轨迹方程 ( (1 ( z d d dz ds U A A A ds ds ds dz ( (1 z A A A U ] 1 [ A U dz d dz d ( (1 A A A U U z 展开后折射率带入欧拉方程得到轨迹方程为 :

66 电子光学第二章 (Kang P.64 折射率与轨迹方程 ( (1 A A A U U z = [ ] 1 d U A dz ( (1 A A A U U z = [ ] 1 d U A dz 另一个分量方程为 :

67 提纲 引言 牛顿运动方程 拉格朗日方程 最小作用原理 折射率与轨迹方程 电子运动的波动性质

68 电子运动的波动性质 电子光学第二章 (Kang P.67

69 电子光学第二章 (Kang P.68 电子运动的波动性质 前面讨论的电子光学原理, 基于带电粒子的粒子性, 采用的质点动力学方法描述带电粒子在电磁场中的运动规律 如同几何光学一样, 在电子光学中存在着几何像差, 但几何像差不能解释电子光学仪器的极限分辨率, 这是由于电子除了与线形光学一样的折射 反射规律外, 它同样具备干涉 衍射 偏正等现象, 即具有另一个重要的性质 波动现象 自由空间, 粒子的波函数视为满足波动方程, 其解就是德布鲁意电子波 这意味着自由电子也具备波动和随机的运动特征 其结果, 自由电子运动在遇到障碍是显现出衍射现象, 限制了电子光学仪器的分辨率 ; 在电子束束电流较小时, 电子运动随时间和空间的变化上均具有随机的 统计的性质, 这限制了电子光学仪器的信噪比或记录速度 利用电子的波动性质还可以构成电子的干涉系统和全息成像系统

70 电子光学第二章 (Kang P.69 电子运动的波动性质 目前, 高分辨电子光学系统分辨率已经达到原子尺度, 但是由于电子透镜的球 差不能克服, 使用的光阑孔径非常小, 所以衍射效应是影响系统分辨率的首要因素 之一 研究高分辨电子像的形成和电子光学系统传递函数问题 电子离子与物质的 散射作用及其与物质微观结构的问题, 利用衍射图样研究物质结构以及电子全息 技术等问题, 都要把电子离子运动作为波动过程处理

71 电子光学第二章 (Kang P.7 电子运动的波动性质 1. 电子波动性质的严格分析计算要使用薛定谔方程 在自由空间, 粒子视为满足波动方程, 与光波的传播处理类似, 基本原理是惠更斯 - 菲涅尔原理. 自由电子和离子运动, 可以视为德布罗意波, 其动量 能量和波动参量的关系为 : E h p k h h 式中 h 为普朗克常量, γ 为波动频率 Ω=πγ 为角频率 λ 为波长,k =π/λ, 波数

72 电子光学第二章 (Kang P.71 电子运动的波动性质 带电粒子的波长为 : h m 低速运动粒子 h m v 1 c 相对论速度运动粒子 考虑到带电粒子的能量和速度完全由加速电位决定, 上式可写为 : h em U * 低速运动粒子 eu * h / em U *(1 mc 相对论速度运动粒子

73 电子光学第二章 (Kang P.7 电子运动的波动性质 对于电子, 代入各个常数, 可得 / U nm U U *(1.983*1 U* 举例 : 当 5 U* 1 伏特时, 波长.37nm 由此可见, 电子波长比可见光短几个数量级, 具有更高的分辨率 对于离子, 其质量比电子重得多, 其波长还要短很多

74 电子光学第二章 (Kang P.73 电子运动的波动性质 当平行电子束通过一个圆孔光阑时, 在光阑后面的屏幕上, 出现明暗交替 的圆环条纹, 这就是圆孔光阑的夫琅和费衍射现象 图. 圆孔衍射

75 电子光学第二章 (Kang P.74 电子运动的波动性质 在自由空间, 可不用解薛定谔方程, 而近似的利用惠根斯 - 菲涅尔原理 根据惠更斯假说, 波阵面上的每一个点均可看成产生球面子波的次级波源, 以后任何时刻的波阵面都是由这些子波所形成的包络 菲涅尔补充道 : 假定这些次级波相互干涉, 说明了衍射现象 圆孔光阑的夫琅和费衍射 当平行电子束通过一个圆孔光阑时, 在光阑后面的屏幕上, 出现明暗交替的圆环条纹, 这就是圆孔光阑的夫琅和费衍射现象 根据惠更斯 菲涅尔原理, 把圆孔分解为一个个圆形的次级波源, 当衍射屏与圆孔的距离比圆孔直径大得多时, 可以直接利用菲涅尔公式

76 电子光学第二章 (Kang P.75 电子运动的波动性质 平行入射的电子束可以看作为平面波 在光阑处,z=, 有 ikz e 1 + (,, + a a 式中 a 为光阑孔径, 在孔的右边, 任一点电子波函数是位于光阑平面处无数小面积元激励的次级球面波的叠加, 所以在衍射屏某点的波函数为 式中 C iks e s cos( d d 为次级波传播的方向与 z 轴的夹角

77 电子光学第二章 (Kang P.76 电子运动的波动性质 由于 z s ( z ( 将 s 展开为 : s= 在夫琅和费衍射条件下, 只考虑前两项 由于旋转对称性, 光阑平面膜孔内 ( 激励源 和衍射屏上 ( 观察点 的点分别用极坐标 (, 和 (, 表示, 则有 cos, sin, = cos, = sin,

78 电子光学第二章 (Kang P.77 电子运动的波动性质 则 (cos cos sin sin cos( 由于夫琅和费衍射成立时,>>ρ,β 很小,cos β 近似为 1, 则波函数为 Ce ik P 点的衍射相对幅度为 : a ik cos( e d d a ik cos( E( P C e d d

79 电子光学第二章 (Kang P.78 电子运动的波动性质 上式中对 θ 的积分类似与贝塞尔函数积分 1 振幅公式可以写成 cos e i d J ( C J ( k d a d 利用贝塞尔函数的迭推公式 [ J 1( ] J ( d J ( J ( d 1 因此 C a J ( k d a J1( ka C[ ] ka

80 电子光学第二章 (Kang P.79 电子运动的波动性质 衍射花样的强度分布, 即电子束密度是电子波振幅的平方 I ( P I J ( ka 1 [ ] ka I J 1 是强度最大值 是一阶贝塞尔函数 图.3 衍射强度分布

81 电子光学第二章 (Kang P.8 电子运动的波动性质 衍射花样的强度分布, 即电子束密度是电子波振幅的平方, J1( ka I ( P I [ ] ka I 是强度最大值, J1 是一阶贝塞尔函数, 衍射图形中心强度最大, 与第一个强度为零的暗环半径对应的. 61 a 以下各暗环半径分别对应为 1.16, a a 根据上式可以计算出电子束电流的分布范围, 将此式对 积分, 可以得到, 第一个暗环半径内的电子电流占总电流的 84%

82 电子光学第二章 (Kang P.81

器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 3 电势与电势差 1 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 E p 与电荷量 q Ep 的比值叫做该点处的电势 表达式为 V 电场中两点之间的 q 电势之差叫做电势差 表达式为 UAB V A VB 2 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量

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