总线互连线电路分析的方程建立方法

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1 复旦大学政学者论文集 总线互连线电路分析的方程建立方法 刘榜 摘要 : 在超高速超深亚微米 S ( 超大规模集成电路 ) 设计中 互连线的性能主宰着整个芯片的性能 由于 互连电路规模相当庞大 快速互连电路分析已成为芯片设计的关键 总线是 S 芯片中一种典型的互连线 针对总线互连电路 本文提出了一种基于电路并行结构的电 路方程建立方法 新方法所建立的方程的系数矩阵均具有对称带状特性 且矩阵带宽大小等于互连线数目 的两倍加一 与传统的改进节点电压方法相比 由于系统矩阵的对称带状特性 新方法显著提高了总线互 连电路分析的效率 新方法可以被方便运用到现有的电路模拟工具中 如 SP PA P 等 来提高 互连电路的分析速度 第一章 绪论 研究背景 目前集成电路工艺的最小尺寸已达到 微米微处理器的时钟速度达到数千兆赫兹在超高速超深亚微米 US 甚大规模集成电路设计中互连线的性能主宰着整个芯片的性能为了精确模拟互连线的传输线行为必须采用分布式 电阻电感电容互感电路模型由于芯片中互连线数目多长度长且互连线间相互耦合因此分布式互连电路规模相当庞大电路阶数通常在 4 数量级为了在合理时间内分析互连电路的性能必须降低所需分析的互连电路的阶数同时研究快速的互连电路分析方法性能保证的互连电路降阶方法及快速互连电路分析已成为超深亚微米设计的关键在 999 年于美国加州硅谷召开的 A 物理设计国际会议上超深亚微米互连设计被列为 世纪集成电路物理设计的十大前沿问题之一在我国超深亚微米互连设计被列入国家自然科学基金十五优先发展研究课题 研究动机 互连电路的分析模拟通常包含两个步骤第一步是根据 Kchhoff 电压电流定理以及元件电学特性建立电路方程第二步是利用数值分析方法求解电路方程建立电路方程的主要方法有改进节点电压法 A 和状态变量法 ST 对于互连电路这类线性动态电路由于改进节点电压法 A 建立的系统矩阵具有一定的特殊结构例如稀疏性和对称性等因此采用 A 来建立电路方程可以在电路方程求解阶段充分利用电路方程的特殊性来加快数值求解的速度广泛应用的模拟集成电路仿真工具 Spce 中的电路仿真程序中就是应用 A 来建立电路方程的 [gao99] 为了快速分析大规模的线性动态系统近十年来出现了许多模型降阶方法这些方法都是基于传统的 A 方程适用于所有互连电路的但是线性系统的分析效率不仅仅依赖于各种数值求解方法还与系统方程本身的特性有关若系统矩阵具有一些特殊的性质例如对称性正定性带状性稀疏性上三角下三角等可以通过运用一些特殊的数值技术来显著提高系统的分析速度本文对于一类典型的互连电路即总线互连电路从该类电路的并行结构出发提出了 8

2 总线互连线电路分析的方程建立方法 一种新的应用改进节点电压方法建立方程的方法该方法的优点在于所建立的方程的矩阵均 为对称的带状矩阵且矩阵带宽大小等于互连线数目的两倍加一与传统的改进节点电压方 法相比由于系统矩阵的对称带状特性新方法显著提高了总线互连电路分析的效率 3 论文的组织结构 论文的组织如下在第二章我们将回顾传统的互连电路的 A 建立方法并分析所建立方程的非对称性在此基础上提出新的电路建立方法以使系统矩阵均具有对称性在第三章详细论述基于总线互连电路并行结构的电路方程的建立方法该方法生成的系统矩阵具有对称带状特性接着讨论矩阵的对称带状特性对数值计算效率的提高第四章中将通过几个总线互连电路模拟的实例来证实本文所提出的方程建立方法的实用性最后在第五章我们将给出总结和今后工作的展望 第二章 通用电路方程的建立 通用的电路方程建立方法主要有改进节点电压法 odfed odal Analyss A 和状态变量法 Sae arable Analyss SA 两种与 A 相比 SA 建立的电路方程对应的未知变量数比较少但是对于大规模互连电路 A 方程的系数矩阵具有特定的结构尤其是稀疏性比较强因此有利于采用稀疏矩阵处理技术来进行快速计算在本章中我们将回顾互连电路的 A 方程的通用描述及其建立方法并分析所建立方程的非对称性在此基础上提出新的方程建立方法使建立的系统矩阵均具有对称性 互连线电路的通用描述 大规模互连线电路实际上是一个包含电阻 电容 电感 互感 的 电路网络对于一个具有 个节点的互连电路可以建立以下的 A 方程 X X BU - Y T X DU - 现有的针对大规模互连线电路的研究中一般将节点电压变量与辅助的电流变量分离开来考虑则对应的变量 X 矩阵 可表示为 [PT95 ][T9 ][96][AT98] v X -3 T 式 - 可写成 : v v BU T -4 p q 这里 U Y 分别代表电路的 p 个输入独立电压源和 q 个输出需要观察的电 压或电流 v 对应于电路中的 个节点电压变量向量和 个辅助电流变量 向量 X 为电路中总的变量向量 为电容矩阵对应于电路中的电容与 互容的贡献 对应于电路中的电感和互感的贡献 为导纳矩阵对 应于电路中电阻的贡献 为关联矩阵其中仅包含 三种元素对应于 8

3 复旦大学政学者论文集 电路中电感和独立电压源的贡献 互连电路方程的通用建立方法在实际应用中一般利用贴邮票 STAP 的方法来建立上述的通用互连电路方程 STAP 方法的主要依据是 Kchhoff 电流定理即流入和流出电路中任一节点的电流总和为零对于电路中的每一个元件根据元件的电学特性可以获得它对于电路中各个节点的电流贡献对于与元件不相连的节点贡献为零对应于 A 方程表现在在系统矩阵的相关位置添加相应的值以连接在节点 与 之间的电阻 ( 如图 所示 ) 为例 其对于 A 方程的贡献可表现在系统矩阵 的以下各项中 X 大规模互连线电路是一种 网络一般只包含以下六类元件即电阻电容互容电感互感独立电流源和独立电压源对于这六类元件根据它们的电学特性可以分别获得它们对于 A 方程的贡献 3 对 A 的改进我们注意到在通用的互连电路描述方程 -4 中系统矩阵 为对称矩阵但矩阵 却是不对称的如 -3 式所示由上一节所介绍的电路建立方法中我们发现矩阵 的不对称性主要源于电路中的电感元件和独立电压源对于 A 方程贡献的不对称性针对这一现象在本节中我们将对电路建立方法加以改进使得 A 方程的矩阵均具有对称性对于电感元件对于 A 方程的贡献可表示为 [ ] [ ] [ ] B [ ] X T ] [ 满足 -- 式即 [ ] ][ [ ] ][ [ ] ][ U B X X 3-83

4 总线互连线电路分析的方程建立方法 3- (3-) 中的第三个方程即是电感电学特性的物理描述 (3-3) 若将上式改写成 3-4 将各变量前对应的系数带回矩阵中式 3 变为 3-5 将改写成 3-5 式中对应的形式 则可以明显看出 也是对称的了 对于独立电压源若假定流过电压源的电流是从节点 流向节点 的则相对应不变 S S S X B S 变为对称的 [ ] S [ ] S 经过上述的改进我们得到的 A 方程可以写成以下的形式 (3-5) BU X X (3-6) U B B v v ' 这样方程的矩阵 均具有对称的特性第三章适用于总线互连电路的 A 方程建立方法在前一章中我们给出了大规模互连线电路的通用 A 方程同时介绍了建立该方程的 STAP 方法在此基础上我们对方程建立过程进行了一些改进使得改进后的系统矩阵 均具有对称性且矩阵带宽为 为互连线的数目在本章中我们将针对一种常见的特殊的互连线电路总线互连线电路提出一种新的电路方程建立方法即从电路本身的结构出发建立改进节点电压方程使得方程的系数矩阵具有对称带状特性且矩阵的带宽为我们还将在这一部分中讨论利用系统矩阵的对称带状特性将大大提高系统数值模拟的效率 3 总线互连电路的电路方程建立方法通用的互连线电路方程如式 --4 中是将节点电压和辅助电流变量分离开来考虑的如果改变未知变量向量中元素的位置则系数矩阵 B 也将相应的发生变化如 84

5 复旦大学政学者论文集 何从电路本身的结构出发通过调整变量向量中元素的位置关系使得系数矩阵的结构变得更有规则就是接下来我们所要讨论的常见的互连线电路包括总线互连线电路时钟树电路等 总线互连线电路也是分布式的 电路图 中给出了具有 条互连线包含 段 子电路 (segen) 的总线互连线电路这类电路具有规则的电路结构即电路由 n 段 子电路连接而成每段 子电路 segen 具有相同的结构 Segen Segen Segen gnd s ou n ou s rr gnd 图 3 总线互连线电路 条总线包含 段子电路一段 子电路的结构可描述为每条线对应一个 模型其中每两条线上相同位置的电容之间存在互容相同位置的电感之间存在互感图 3 中给出了 条总线互连电路的一段 子电路结构 图 3 一段 子电路 条总线互连线 我们在这里以两条总线互连线的电路为例 介绍新的电路方程建立方法的思想 在以下 的讨论中 我们用 表示电路中的总线互连线数目 表示电路中包含的 子电路 segen 的数目 两条互连线一个子电路的情况 ( ) 对于两条线的总线互连电路一段 电路的结构如图 33 图 33 条互连线情况 一段 子电路两 在图 33 的电路中用 A 描述需要 8 个变量包括 6 个节点电压变量 和 个电感电流变量 即流过 和 的的电流 按照我们前面的定义变量 为左边界电压变量 为内部电压变量 为内部电 85

6 总线互连线电路分析的方程建立方法流变量 为右边界电压变量将变量向量 X 表示为这四组变量的连接 [ ] X 3- 同样采用第二章介绍的 A 改进建立方法可以获得如 3- 所示的电路方程可以明显看出方程的系数矩阵 均为对称的带状矩阵且半带宽为若用 分别表示左边界电压集合 ) ( ) ( ) ( ) ( 内部电压集合 内部电流集合和右边界电压集合 则对应的 A 可表示为 (3-) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (3-3) 其中 对应的矩阵具体形式为 (3-4) 条互连线一个子电路的情况 ( ) 以上分析是对于两条总线互连线电路进行的 对于 条总线互连线电路来说将变量按 个左边界电压变量 个内部电压变量 个内部电流变量 个右边界电压变量的顺序排列 ( 可以简单的理解为按照电路图中的位置纵向排列未知变量 ) 所得到的电路方程如 3- 中的系数矩阵 均为对称的带状矩阵且带宽为 这里为互连线的数目 86

7 复旦大学政学者论文集 其中 3 分别对应电路中的 个左边界节点电压 个内部节点电压 个内部辅助电流和 个右边界节点电压矩阵为单位矩阵 ; 对应于电路中的电感与互感电容与互容电阻元件对 A 方程的贡献它们的具体形式如 3-6 所示其中代表第 条线上的电阻和电感 分别表示第 条线与第 条线之间的互容和互感 (3-6) 我们可以将上述结论推广到任何总线互连线电路暂且不考虑外电路若在电路图中按照纵向顺序排列未知变量包括节点电压变量和辅助电流变量再按照上一章介绍的改进 A 方法建立的电路方程的系数矩阵 均为对称的带状矩阵且矩阵带宽为 这里为互连线的数目 如下所示 87

8 总线互连线电路分析的方程建立方法 以上的分析是在仅考虑总线互连线模型忽略互连线外电路条件下进行的在实际电路中考虑到外电路结论同样成立前提是对变量按照它们在电路中的位置纵向进行排列在总线互连电路的分析中对电路中未知变量按照它们在电路中的位置纵向排列后建立的 A 方程的矩阵矩阵具有对称带状特性这是由总线互连电路的并行结构决定的在总线互连电路中任一个节点仅和同一条线上相邻的两个节点之间或不同线上相同位置的 - 个节点之间可能存在电路元件而且任一电感元件也仅和不同线上相同位置的 - 个电感之间存在互感这样若对于电路中的所有变量进行纵向排序电路中的任一个变量仅可能和与其左右相邻的 个变量相互作用因此导致了 A 方程矩阵的带状特性 3 系统矩阵的对称带状特性对于系统分析效率的提高 在上一节中我们介绍了一种适用于总线互连线电路 基于电路结构的 A 建立方法所建立的电路方程的系数矩阵 均为对称的带状矩阵且带宽为 为互连线的数目本节将讨论系统矩阵的对称带状特征在系统分析中的作用从而体现本文介绍的方程 建立方法的优越性 对于大规模的线性系统 其系统矩阵一般都是稀疏矩阵 对称带状的系统矩阵的优点在 于矩阵中的非零元集中在带状区域 这样在矩阵运算中搜索速度会加快 从而缩短运算的时 间 加快分析的速度 而且随着矩阵规模的增加这种现象会更加明显 我们在此就求解线性方程 AX b 中一种最常见的矩阵运算 矩阵的 U 分解为例进行说 3 明 已知一个 n n 的矩阵 对这样一个矩阵进行 U 分解的复杂度是 ( n ) 相比之 3 下 对于一个半带宽为 l 的 同样是 n n 的对称带状矩阵 进行 U 分解的复杂度为 ( n ( l ) ) 对于大规模总线互连电路电路的规模一般都远远大于互连线的数目即 n >> l 则对于具有对称带状特性的矩阵进行 U 分解的复杂度近似线性复杂度 大大提高 了运算效率对于对称带状矩阵来说 进行 分解后对应的矩阵 和 也将具有一些有助于特殊 的性质 定理 3 n n 给定一带状矩阵 A 矩阵的上带宽为 p 下带宽为 q 对 A 进行 U 分解 即 AU 则下三角矩阵 具有下带宽 q 上三角矩阵 U 具有上带宽 p 定理 3 n n 给定一带状矩阵 A 矩阵的上带宽为 p 下带宽为 q 将矩阵进行形如 PA U 的分解 其中 为单位下三角矩阵 即对角线元素均为 U 为上三角矩阵 则矩 阵 U 具有上带宽 pq 系统矩阵的对称带状性不但可以缩短系统分析的时间 而且降低了对空间的需求 主要 原因在于矩阵的非零元更加集中在带状区域 更适合用稀疏矩阵进行存储 第四章实验结果本章我们将对几个总线互连电路实例采用本文提出的 A 方程建立方法建立具有对称带状的电路方程然后利用定步长后向欧拉迭代法进行求解为了便于比较我们还 88

9 复旦大学政学者论文集 对传统的 A 方程采用同样的方法进行了求解 8 硬盘 5 的 P 平台上完成 所有的模拟均在 nel P3 55z 内存 我们分别对 -bs -bs 3-bs 4-bs 5-bs 6-bs 7-bs 8-bs 的 具有 64 段 子电路的总线互连电路在时域内进行了模拟 电路方程分别由通用的 A 方程建立方法和本文提出的建立方法建立时域内的求解程序在 alab 中实现基于数值 解法中最常见的定步长后向欧拉迭代法 表 3 中给出了考虑 64 段子电路总线互连线电路的模拟结果在 4 中我们还给出 了对于 A 方法建立的电路方程和本文提出的新方法所建立的方程 方程的求解时间与电 路规模关系曲线的比较实验结果表明新方法建立的对称带状特性的方程的求解速度要 快的多互连线子电路 A 方 U 分解时间 (s) 效率 总的求解时间 (s) 效率 条数 数目 程阶数通用方法新的方法 通用方法新的方法 % % % % % % % % % % % % % % % % 表 4 包含 64 个子电路的总线互连电路的模拟结果 8 Solvng e (s) * A o Proposed ehod 5 5 rcu scale 图 4 包含 64 个子电路的总线互连电路分别用 A 方法建立的电路方程和本文提出 的新方法所建立的方程 方程的求解时间与电路规模关系曲线的比较 第五章 结论与展望 本文提出了一种适用于总线互连电路的新的电路方程建立方法 基于总线电路的并行 结构 新方法建立的电路方程的系数矩阵具有对称带状特性 从而大大提高了系统的数值分 析效率以最常用的 U 分解为例任意一个 n n 大小的矩阵的 U 分解的时间复杂度是 ( 3 n ) 而对于一个半带宽为 ( l ) 的对称带状矩阵 U 分解的时间复杂度是 ( n( l ) ) 在总线互连电路中 n 对应电路中的未知变量数目 l 对应为互连线数目 实际应用中 总 线电路的互连线数目为 左右 相对于电路的未知变量数要少得多 与传统的改进节点电 压方法相比 由于系统矩阵的对称带状特性 新方法降低了线性系统求解的复杂度 因此显 著提高了总线互连电路分析的效率新方法的可以被方便运用嵌入到现有的模拟工具中 如 SP PA P 等 通过 对电路中未知变量的重新排序来获得具有对称带状矩阵的 A 方程 在今后的工作中我们将在实际的模拟工具中实现这种新方法而且我们将对 S 89

10 总线互连线电路分析的方程建立方法 芯片中另一种常见的互连线 -- 树状互连线进行研究寻找适合的新的电路建立方法 致谢 : 感谢赵文庆副教授 曾璇教授对我研究工作的悉心指导同时感谢微电子系 AD 实验室里的全体同学们在室内共同营造了一个积极向上的学术气氛最后要深深的感谢我的父母愿将此文献给他们 A ovel Band-syerc quaon Forulaon ehod for BUS nerconnec rcus u Bang Absrac n hgh-speed very deep sub-cron S (ery arge Scale negraed crcu) desgn he nerconnec crcus donae he perforance of he whole chp Because he nuber of he nerconnec coponens s prohbvely large fas sulaon of nerconnec crcus s herefore very poran for chp desgn BUS wres are ypcal nerconnecs wdely used n S chps n hs hess a novel equaon forulaon ehod s proposed for he sulaon of BUS nerconnec crcus Band and syerc arces of he syse equaons are forulaed by ang advanage of he parallel srucure of he BUS nerconnecs The bandwdh of he band arx s one larger han he wce of he nuber of he BUS lnes opared o he convenonal odfed nodal equaon forulaon ehod he proposed ehod can rearably prove he sulaon speed of he BUS nerconnecs The proposed ehod can be easly appled o oday s sulaon ools such SP PA P ec for he nerconnec sulaons 9

器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 3 电势与电势差 1 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 E p 与电荷量 q Ep 的比值叫做该点处的电势 表达式为 V 电场中两点之间的 q 电势之差叫做电势差 表达式为 UAB V A VB 2 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量

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2 1 2 3 4 1-92 67-85 5 6 - 92 28-41 7 8 1 89 9 10 1 82 11 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 12 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 13 1. 2. 3. 4. 14 第一章導論課堂筆記 15 第一章導論課堂筆記 16 第一章導論課堂筆記 17 第一章導論課堂筆記 18

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