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宋郭
5 years ago
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1 证明牛顿定律在伽利略交换下是协变的麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的证明根据题意不妨取如下两个参考系并取分别固着于两参考系的直角坐标系且令 t 时两坐标系对应轴重合计时开始后 Σ 系沿 Σ 系的轴以速度作直线运动根据伽利略变换有 t t t 牛顿定律在伽利略变换下是协变的以牛顿第二定律为例在 Σ 系下 d & F dt d F dt Q t,,, t t d F [ t,, ] d F dt dt 可见在 Σ 系中牛顿定律有相同的形式所以牛顿定律在伽利略变换下是协变的 Σ Σ o d F dt 麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 B 以真空中的麦氏方程为例设有一正电荷 q 位于 O 点并随 Σ 系运动 t o q 在 Σ 中 q 是静止的故 : πε B 于是方程成立 t, B 将 q πε q [ πε 写成直角分量形式 ; ] - -

2 由伽利略变换关系有在 Σ 中 q t { πε [ t ] [ t [ t q πε [ t 可见不恒为零又在 Σ 系中观察 t t ] q 以速度 ] [ 运动故产生电流 J q q 于是有磁场 B R 是场点到轴的距离 πr B 此时有 t 于是 B t 故麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的设有两根互相平行的尺在各自静止的参考系中的长度均为它们以相同的速率相对于某一参考系运动但运动方向相反且平行于尺子求站在一根尺子上测量另一根尺子的长度解根据相对论速度交换公式可得 Σ 系 Z 相对于 Σ 的速度大小是 Σ Σ 在 Σ 系中测量 Σ 系中静长为的尺子的长度为 O o o X - -

3 代入即得此即是在 Σ 系中观测到的相对于 Σ 静止的尺子的长度静止长度为的车厢以速度相对于地面 s 运行车厢的后壁以速度向前推出一个小球求地面观测者看到小球从后壁到前壁的时间解根据题意取地面为参考系 S 车厢为参考系 S 于是相对于地面参考系 S 车长车速球速故在地面参考系 S 中观察小球在此后由车后壁到车前壁 t. 一辆以速度运动的列车上的观察者在经过某一高大建筑物时看见其避雷针上跳起一脉冲电火花电光迅速传播先后照亮了铁路沿线上的两铁塔求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时间差设建筑物及两铁塔都在一直线上与列车前进方向一致铁塔到建筑物的地面距离已知都是解由题意得右示意图取地面为静止的参考系 Σ 列车为运动的参考系 Σ 取轴与轴平行同向与列车车速方向一致令 t 时刻为列车经过建筑物时并令此处为 Σ 系与 Σ 的原点如图在 Σ 系中光经过 t 的时间后同时照亮左右两塔左但在 Σ 系中观察两塔的位置为 Z 右右 - - Σ o o

4 左 d 右右 o d o 左左时间差为 t d 左 d 右 5. 有一光源 S 与接收器 R 相对静止距离为 S R 装置浸在均匀无限的液体介质静止折射率 n 中试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器收到讯号所经历的时间液体介质相对于 S R 装置静止液体沿着 S R 连线方向以速度运动液体垂直于 S R 连线方向以速度运动解液体介质相对于 S R 装置静止时 t n 液体沿着 S R 连线方向以速度运动取固着于介质的参考系 Σ Σ 系沿轴以速度运动在 Σ 系中测得光速在各个方向上均是 n 由速度变换关系得在 Σ 系中沿介质运动方向的光速 n n n R 接收到讯号的时间为 t n 液体垂直于 S R 连线方向以速度运动同中取相对于 S-R 装置静止的参考系为 Σ 系相对于介质静止的系为 Σ 系如下建立坐标 - -

5 - 5 - 可见 n t 在 Σ 系中测得方向上的速度 n n n t 6. 在坐标系 Σ 中有两个物体都以速度沿轴运动在 Σ 系看来它们一直保持距离不变今有一观察者以速度沿轴运动他看到这两个物体的距离是多少解根据题意 Σ 系取固着于观察者上的参考系又取固着于 A B 两物体的参考系为 Σ 系在 Σ 中 A,B 以速度沿轴运动相距为在 Σ 系中 A B 静止相距为有又 Σ 系相对于 Σ 以速度沿轴运动 Σ 系相对于 Σ 系以速度沿轴运动由速度合成公式 Σ 系相对于 Σ 系以速度沿轴运动在 Σ 系中看到两物体相距 7. 一把直尺相对于 Σ 系静止直尺与轴交角今有一观察者以速度沿轴运动他看到直尺与轴交角有何变化 o o s R n

6 解取固着于观察者上的参考系为 Σ 在 Σ 系中 os sn 在 Σ 系中 os tg tg sn 8. 两个惯性系 Σ 和 Σ 中各放置若干时钟同一惯性系的诸时钟同步 Σ 相对于 Σ 以速度沿轴运动设两系原点相遇时 t t 问处于 Σ 系中某点处的时钟与 Σ 系中何处时钟相遇时指示的时刻相同读数是多少解根据变换关系得 t LL LLLL LLLL t t LL 设 Σ 系中 P,,, t 处的时钟与 Σ 系中 Q,,, t 处时钟相遇时指示时间相同在式中有 t t 解得 t 代入式 Σ o P Σ o Q 得 t 相遇时 t t 即为时钟指示的时刻 9 火箭由静止状态加速到设瞬时惯性系上加速度为 & s 问按 - 6 -

7 照静止系的时钟和按火箭内的时钟加速火箭各需要多少时间解在静止系中加速火箭令静止系为 Σ 系瞬时惯性系为 Σ 系且其相对于 Σ 系的速度为可知, &, 同向并令此方向为轴方向由轴向上的速度合成有是火箭相对于 Σ 系的速度在 Σ 系中加速度为 d a d a a dt dt 本题中 a s 而 Σ 系相对于火箭瞬时静止, a d dt a.9999 d a t dt.9999 得 t 7. 5 年 a 一平面镜以速度自左向右运动一束频率为 ω 与水平线成夹角的平面光波自左向右入射到镜面上求反射光波的频率 ω 及反射角垂直入射的情况如何解平面镜水平放置取相对于平面镜静止的参考系为 Σ 系取静止系为 Σ 系并令入射光线在平面 o 内在 Σ 系中有入射光线 k k os, k k sn, k, ω ω 由变换关系得 Σ 系中的入射光线 - 7 -

8 k ν k os ω k k sn k ω ν ω k os 在 Σ 系中平面镜静止由反射定律可得反射光线满足 k k ν k os ω ; k sn k ; ω ν ω k os 代入逆变换关系得 Σ 系中的反射光线满足 k ν[ ν k os ω ν ω k os ] k os k k sn k ω ν[ ν k os ω ν ω k os ] ω π 在 Σ 系中观察到入射角反射角 ω ω ω π 若垂直入射以上结论不变镜面垂直于运动方向放置同选择参考系并建立相应坐标系在 Σ 系中入射光线满足 k k os, k k sn, k, ω ω 由变换关系得 Σ 系中的入射光线 k ν k os ω k k sn k ω ν[ ω k os ] ν ω k os 在 Σ 系中平面镜静止由反射定律可得反射光线满足 k k ν k os ω ν k os ω ; k ; ω ν ω k os 代入逆变换关系得 Σ 系中的反射光线满足 k sn - 8 -

9 k ν[ ν k os ω ν ω k os ] k k sn k ω ν[ ν k os ω ν ω k os ] ω 其中 k. 并令反射光满足反射角 tg k k sn ν [ os os ] 反射光频率 ω ν ω [ os os ] 如果垂直入射于是 Σ 系中会观察到反射光频率 ω ν ω. 在洛仑兹变换中若定义快度为 tanh 证明洛仑兹变换矩阵可写为 a ν h sh sh h 对应的速度合成公式可用快度表示为证明 a ν - 9 -

10 其中 ω th sh h h h sh Q h sh h 又 th h sh a ν h sh sh h 速度合成公式可写为 th th th th th 由定义 th, th th th 得 th th th th th,. 电偶极子 P 以速度作匀速运动求它产生得电磁势和场 ϕ, A,, B 解选随动坐标系 Σ P 在 Σ 系中 P ~ P R 产生的电磁势 ϕ ~, A πε R - -

11 - - 电磁场 ], ~ ~ ~ ~ [ 5 B R P R R R P πε 四维势, ϕ A A 由逆变换 ν ν A a A 得 ϕ ϕ A A A Σ 系中电磁势 ~ ~ R R P πε ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ A A 电磁场平行平行, B B 平行 B 平行, B B 由坐标变换 ν ν a 得 t t t 取 t 得.,,,, ~ R

12 . 设在参考系 Σ 内 B Σ 系沿 B 的方向运动问 Σ 系应以什么样的速度相对于 Σ 系运动才能使其中只有电场或只有磁场解如图 Σ 系以沿轴方向相对于 Σ 系运动由电磁场变换公式令平行平行 B 平行 B平行 B B B B B 则 B 两边同时叉乘 B 并利用矢量分析公式得 B, 取模 B B B Q < < B 即若 < B 则当 B 时 B 同理令 B 则 B 两边同时叉乘并利用矢量分析公式得 B 取模 Q < > B B B 即若 > B 则当 B 时 B 做匀速运动的点电荷所产生的电场在运动方向发生压缩这时在电荷的运动方向上电场与库仑场相比较会发生减弱如何理解这一减弱与变换公式平行平行的关系解设点电荷以速度沿 Σ 系轴方向运动选 Σ 系为的随动系在 Σ 系中平行 πε 为库仑场由变换得平行平行平行 πε 此场在 Σ 系中并非静电库仑场 - -

13 由坐标变换得平行 πε 当时 << 平行压缩为 Σ 系中库仑场 5 有一沿轴方向螺旋进动的静磁场 B B os k sn k 其中 k π λ λ 为磁场周期长度现有一沿轴以速度运动的惯性系求在该惯性系中观察到的电磁场证明当时该电磁场类似于一列频率为 k 电磁波解由电磁场变换式在 Σ 系中平行平行 B B B os k sn k B sn k os k B 平行 B 平行 B B B B os k 在该惯性系中观察到的电磁场为 ; B sn k os k sn k B [os π π k sn k B B os k sn k 当时 Q, B, B, B 该电磁场类似于一列真空中的圆偏振平面电磁波 ω 由四维矢量 k k, 的变换关系得 k aν kν k k ω k, k k, k k, ω ω k k 的圆偏振 - -

14 该圆偏振电磁波的频率为 k 6 有一无限长均匀带电直线在其静止参考系中线电荷密度为 λ 该线电荷以速度沿自身长度匀速移动在与直线相距为 d 的地方有一以同样速度平行于直线运动的点电荷分别用下列两种方法求出作用在电荷上的力 a 在直线静止系中确定力然后用四维力变换公式 b 直接计算线电荷和线电流作用在运动电荷上的电磁力 λ 解 a 在直线静止系中由高斯定理 d 处的电场强度为取 d 磁场 B λ. 受力 F B πε d πε 由四维矢量公式受到的四维力矢量为 k k, k F, F 其中为相对于直线静止的速度 k F, λ,, πε d, 根据四维力矢量的变换关系 k a 得 ν kν k k k k ϕ λ πε d k k k λ ϕ, k, K πε d λ πε d 受力 F λ K πε d b 在直线静止系中电流密度四维矢量 J J, ρ J 设直线截面面积为 S 设不变则 λ J,,, 由变换公式 J aν J ν 得 S λ ρ S - -

15 - 5 - ρ J J J S J J S J λ ρ π,,,,, S S J λ λ 在 o 系中线电荷密度为 λ 电流为 λ I 流向沿轴方向由高斯定理处场强为 d πε λ 取由安培环路定律得处磁感应强度为 d I B π 所受的洛仑兹力为 d I d B F π πε λ d d πε λ πε λ 7. 质量为 M 得静止粒子衰变为两个粒子和求粒子的动量和能量解衰变前粒子的动量为能量为 M w 衰变后设两粒子动量为, 能量分别为, w w 由动量守恒和能量守恒得 M 由得代入解得 ] ][ [ M M M 粒子的能量为 ] [ M M 8. 已知某一粒子衰变成质量为和动量为和两者方向夹角为的两个

16 - 6 - 粒子求该粒子的质量解由动量守恒得 os 为的动量由能量守恒代入得 ] os [ 9. 设和是粒子体系在实验室参考系 Σ 中的总能量和总动量与轴方向夹角为证明在另一参考系 Σ 相对于 Σ 以速度沿轴方向运动中的粒子体系总能量和总动量满足,, os sn tg 某光源发出的光束在两个惯性系中与轴的夹角分别为和证明 os os os os sn sn 考虑在 Σ 系内立体角为 φ d d d os Ω 的光束证明当变换到另一惯性系 Σ 时立体角变为 os Ω Ω d d 证明四维动量矢量, 满足洛仑兹变换在 Σ 系中与轴的夹角满足 os sn os sn tg

17 ω 四维波矢量 k k, 对沿轴方向的特殊洛仑兹变换有在两个惯性系中有 ω k os 代入 * 式得 k k ω k k k k ω ω k ω ω ω k os * os os os,os os os sn os sn sn os os 在另一个惯性系中 dω d os dφ 对沿轴方向得特殊洛仑兹变换有 os os os 中已证且 os d os d φ dφ d os d os os dω dω d os dφ os d os os. 考虑一个质量为能量为的粒子射向另一质量为的静止粒子的体系通常在高能物理中选择质心参考系有许多方便之处在该参考系中总动量为零求质心系相对于实验室系的速度求质心系中每个粒子的动量能量和总能量已知电子静止质量. 5MV 北京正负电子对撞机 BPC 的设计能量为.GVGV MV. 估计一下若用单束电子入射于静止靶要用多大的能量才能达到与对撞机相同的相对运动能量解设质心系中两粒子动量分别为, 且 - 7 -

18 - 8 - 能量为, 实验室系中,, 由特殊洛仑兹变换得得得为质心系相对于实验室系的速度 M M M 总能量 M 其中 M 实验室系中 ], ], [ 质心系中 ] [, ], [ ν 由不变量 ν ν 得

19 .9 GV. 电荷为质量为的粒子在均匀电场内运动初速度为零试确定粒子的运动轨迹与时间的关系并研究非相对论情况解相对论情况 dp 力学方程为, P dt 分量式为 dp dt dp dp,, dt dt 由题意 P P 当 t 时 P P t 粒子能量 w P P dp 由 dt P P w t 设粒子从运动则 t tdt [ t [ ] ] 非相对论情况 dp 力学方程, P dt dp 分量式 dt dp dp,, dt dt 由题意 P P 当 t 时 P P t dp 由 dt P t 设粒子从运动则 t tdt t - 9 -

20 . 利用洛仑兹变换试确定粒子在互相垂直的均匀电场规律设粒子初速度为零解设 Σ 系 o 以沿轴运动 t 时 o, o 重合 Q > B 当 B 时在 Σ 内 B 此时平行平行 B B 即 B 和磁场 B > B 内的运动由题结果粒子在 Σ 系中的运动轨迹与时间的关系为 [ t ],, 由洛仑兹变换 t 得 t t t t t 在互相垂直得均匀电磁场中的运动规律为 [ t ],, t, 其中 B,. 已知 t 时点电荷 q 位于原点 q 静止于轴,, 上 q 以速度沿轴匀速运动试分别求出 q q 各自所受的力如何解释两力不是等值反向解选参考系 Σ 固定在粒子 q 上在 Σ 系观察时粒子静止只有静电场电磁场强度 - -

21 为, B πε 在 Σ 系中观察 q 以速度沿轴方向运动由速度变换关系得在 q 处 q 受力 F, πε πε B B πε πε [ q, B πε q qq B πε q 同理 q 产生场, B πε q q 处, B πε 在 q 受力 F q qq B πε ] πε B πε B. 试比较下列两种情况下两个电荷的相互作用力两个静止电荷 q 位于轴上相距为两个电荷都以相同的速度平行于轴匀速运动解此属于静电场情况两电荷之间的静电库仑为 F q 为排斥力 πε 由上题求得原点处 q 在处产生的电磁场为 q B πε 处 q 受洛仑兹力为 - -

22 F q q B q q q πε F < q πε 5. 频率为 ω 的光子能量为 h ω 动量为 k h 碰在静止的电子上试证明电子不可能吸收光子否则能量和动量守恒定律不能满足电子可以散射这个光子散射后光子频率 ω 比散射前光子频率 ω 小不同于经典理论中散射光频率不变的结论证明设电子可以吸收这个光子反应后它的动量为反应前光子能量 h ω 电子能量由动量守恒反应后能量为 h k h k 能量守恒 h ω 式代入式得 h ω hk hω h ω 显然此式不成立所以电子不可能吸收光子否则能量和动量守恒定律不能满足电子可散射这个光子散射后的频率为 ω 电子的动量变为由动量守恒定律得 h k hk hk hk h kk os 由能量守恒定律得 hω hω h ω ω Q > h ω ω > 即 ω > ω 散射后频率降低 6. 动量为 k h 能量为 h ω 的光子撞在静止的电子上散射到与入射方向夹角为的方向上 h 证明散射光子的频率变换量为 ω ω ωω sn 亦即散射光波长 - -

23 πh λ λ sn λ 为散射前光子波长 π k 解设碰撞后光子动量变为 k h 能量变为 ω h 为电子的静止质量电子碰撞后动量为能量为 w 四维动量, ω 由碰撞前后动量守恒得 hk hk, hω hω, 对式由余弦定理 hk hk h kk os hω h ω h ωω os 代入式得 hω hω hω hω h ωω os 平方整理得 ω ω hωω sn 代入 ω π π, ω λ λ 得 πh λ λ sn 7. 一个总质量为 M 的激发原子对所选定的坐标系静止它在跃迁到能量比之低 w 的基态时发射一个光子能量为 h ω 动量为 k h 同时受到光子的反冲因此光子的频 w w w 率不能正好是 ν 而要略小一些证明这个频率 ν h h M 证明设基态原子静止质量为 M 跃迁前四维动量为, M 跃迁后基态原子反冲动量为跃迁后四维动量为 hk, hω M hk, 由四维动量守恒 M hω M, - -

24 ω 由得 h k h 又 M M w h ω M w M 代入得 M hω h ω M w 整理得 M hω M hν M w w w w 光子频率 ν h M 8. 一个处于基态的原子吸收能量为 h ν 的光子跃迁到激发态基态能量比激发态能量低 w 求光子的频率解设原子基态静止质量为 M 激发态静止质量为 M 光子能量为 h ν hω h k 原子吸收光子后动量为设原子基态时静止吸收前四维动量为 h k, M hω 吸收后四维动量为, M hk, 由四维动量守恒 M hω M, 由得又 M ω h k h 得 M w 得 M h ω M w 代入得 M hω h ω M w 动量为整理得 M hω M hν M w w w w 光子频率 ν h M - -

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Microsoft Word - 第二十六讲.doc 第二十六讲上次课 : 绝对时空观的困难 ( 麦 - 莫实验 ) 相对时空观,Loentz 变换, 四维空间, x ' 标量矢量张量 = α x ν ν 4. 速度及四维速度矢量 d 假定在 S 系中考察一个物体的运动, 其速度的定义是 = 现在假定 S 系 dt d ' 相对 S 系以速度 v 沿着 x 轴运动, 则在 S 系中同一粒子的速度定义为 = 因 dt ' 为在相对论时空观中, 时间和空间是一起变换的,