第一章 函數與極限
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- 爷吊 山
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1 第五章不定積分 反導微 - 簡介 定義 : 若, F, 其中 為一個區間 則稱 F 為 在 上 的一個反導微 tdervtve, 或不定積分 dete tegrl, 並以符號 d F c 其中 c 為常數 表之 [ 注意 ]: s the 唯一 dervtve o F o F s 不一定唯一 tdervtve o F o 與不定積分有關的三個問題 : 一 存在性 : 若 是定義在區間 上的任何一個函數, 試問 : 在 上是否必有反導微? 二 唯一性 : 若 是定義在區間 上的一個函數, 且 在 上卻有反導微, 試問 : 的反導微是否唯一? 三 建構性 : 若 是定義在區間 上的任何一個函數, 且 在 上卻有反導微, 試問 : 如何求出 之反導微? ANS: 一 之部分解答 :No 因為由 Dros 定理可知 : 導函數在區間上必具有中間值性質, 故凡是無中間值性質之函數 如 Drchlet 函數 高斯函數, 必不可能有反導微, 但若 在 上連續, 則 在 上必有反導微 見 F.T.C- 不定積分根本定理 Dros 定理 : 最大 最小值定理推廣, 封閉有界 設 F,, 即設 是 F 在, 上的導函數, 則 在, 上有中間值性質, 即若 k 介於, 之間, 則 c, c k 證 : 令則 G F k G F k k
2 G G k k F G k k F G 由 Fermt 定理知, c G c G 不存在, 而由 F,, 得 k c F k F c G c c, 即 k c 故 k c c, 二 之解答 :No 因為若 F 則仍成立 c F 其中 c 可為任意常數 但 在 上的任意兩個反導微之間, 至多只差一個常數 見定理 * 故若不考慮常數差, 則反導函數可視為唯一 定理 : 設 G F,, 為一個區間, 則可找到一個常數 c 使得 c G F, 證 : 即 為常數.. 由 : c G F c G F c c H M V T G F H G F H R H
3 - 基本不定積分公式. g d d g d. d 證 : d let D F DF F d F. d d. d d l c c DF o,, d e c.e 6. d s c 7.s d o R c o R k 8.sec d t c o R, k csc d cot c 9. k. t sec d sec c o R, k csc cot d csc c.. d s c o d c Eercse: 試證,, s, R. d t c o d s. d sec c sec :, k,,
4 - 變元代換法定理 : 若 d F c 則 g g d F g c [ 注意 ]: 此公式借助 微分 之符號, 可簡記如下 : g g d g dg d g F c F g c 例 : 求 d [ 解 ]: 原式 d d c c 例 : sec d [ 解 ]: sec d sec sec t d sec t sec sec t d sec t dsec t sec t d sec t c sec t c 公式 : csc d csc cot c sec d sec t c [ 分析 ]: Rs, d型式之積分, 可以照下列方式計算 若 R s, Rs, 則可令 若 Rs, Rs, 則可令 s 若 R s, Rs,
5 則可令 t 或 cot 在以上三種情形都不成立時, 則可令 t t 理由 : 以 為例, 說明如下 : 設 Rs, Rs, Rs, 則 Rs, d d R s, d R s, R s, s R, d R d [ 解 ]: sec d d d d s s d s d c s s c d d s 例 :. t d. t sec d. t sec d. t sec d.s d [ 解 ]:. 原式 s d
6 d d c c 例 :.. 原式 s s. s 6 d d d t d sec d t s d d d t c t c [ 解 ]:. 原式. 原式 c t s d t sec d t d t t d t d c s s d s 6
7 例 :. e d. d [ 解 ]:. 原式 e d e d. 原式 d d t c t c 要點 : 帶有根式之積分, 一般而言, 只有下列二型式一定可以積成初等函數 : R, R, c d d c d 此外之情形, 除非型式特殊, 否則不可能積出來 r d. r Z. Z. r Z 例 :.. 6 d 解 :. 原式 d d 6 d s c 7
8 s c. 原式 d d 再令 v, * 則 v, d vdv v dv v v dv v t v c t c t c * - 分部積分法 tegrto y prts [ 定理 ]: 設. g 均在區間 上可微, 則 g d g g d [ 注意 ]: 此公式可以記為 : dg g 或記為 : dv v vd g d, v g 例 :. e d. s d [ 解 ]:. 原式 de e e d e e c. 原式 d d d d s [ s s d] s c 8
9 [ 研究 ]: 以下三種積分均為同型之積分 : e d s d d 此型均選, 餘下之部分為 dv e s 例 :. d. s d. d. t d. d [ 研究 ]:. 代 d 或 代 s d,... 此型式, 一般取 或 s,... 餘下之部分為 dv, 進行 分部積分法. 又. 中之型式也可以考慮下法令 或 s,... 則 e, d e d, 以變元代換法解之 [ 解 ]:. d d d d d c. 原式 s d s d s 9
10 s d s c s 則 s, d d s d s s d s d 另解 : 令, 原式 d d s c s s c c. 原式 t d [ t d t ] t d t d t d d t c 6 6 例 : 設. 是均不為 之實數, 試求 e s d及 e d [ 解 ]: 設 則 e s d, J e d e [ e e e d de e e ] d d s
11 e [ e s s ] de e e s s ] e d e e s e e s [ e s e ] k [ e s e ] 若將 e [ 解 ]: 視為, 則自始至終均要將 e 視為. e d [ e de ] e e d e J J e c 又 J e d s [ e s s de ] [ e s e s d] [ e s ] J e 解 : s c 得 e s e c e s e k J [ 解 ]: 利用微導保型之概念來作 : e ps q e p p 為 之多項函數
12 均為 微導保型 之函數 設 e sd e ps q k * * 兩邊對 微 e 求 e d? s e p qs e e 由此可以解得 p p q. k [ p qs p q] p q p q q e s d e s 設 e d e c k * * 兩邊對 微 得 e e e c e [ c] c c D [ 解 ]: 利用 e s 之定義 設 e d, J e s d 則 J e e e e d d s d e A B A, B R e s A B e [ s s ] A B. 均為常數 ps q k
13 [ e s A] [ e s e [ s ] A J e [ s ] B B ] 漸化式 redcto orml 例 : 求 sec d Z 之漸化式 利用 求 sec d [ 解 ]: 設 sec d Z 則 sec d t sec sec sec sec sec sec t t d sec t t t sec sec t t t sec sec sec sec t d d d d t sec t sec t 時 由 知 : sec d sec t sec 例 : 試求 d N, 之漸化式 d 並利用之, 以求出 sec d t t c [ 研究 ]: 若 R 為一個真分式, 則 R d之計算, 經過分項分式之過程, 可化為 至多不超過 以下四種形式之組合
14 . N d c., N d. d. N d [ 解 ]: 由設 d d d d d ] [ d d ] [ 上式中, 以 取代, 得公式 ] [ 此為所求由此漸化式可知 : d ] [ ] [ c ] t [ 6 6
15 6 8 t 6 c D h e e D sh e e d [ 研究 ]: 的其他算法 [ 分析 ]: R, d 型式之積分 其中 可以令 t t, 則此積分可以化為 R s, d 之型式 R, d [ 解 ]: 令 t t 則 R t, sec sec d R d sec d sec s, d d * 8 8 * d 8 8 s s c 8 s s c 6 8 t c 6 8
16 t 6 8 c s s t t sec t 公式 : 設 t 則 s 正切之三角代換可將三角函數有理化 t s t t t 有理函數之積分 要點 : 有理函數均可借助化分項分式之方法, 化為下列四種型式之積分 : 6
17 c d, d, d, 而此種型式均可積成初等函數, 故知, 有理函數必可積成初等函數 理論上 d 例 :. d d.. d. [ 解 ]:. 首先 d 6 6 去分母, 得 A B C A B C 8 以 以 以 代入 得 A, A 代入 得 B, B 代入 得 6 C, C 故由 知, 原積分.[ 法 ] 首先設 A B C D ---- d E 去分母, 得 8 A B C D E A B [ 法 ] 首先設 其中 為一個二次函數 去分母, 得 8 A B 以 代入 得 8 B, B 兩邊對 微, 得 A A B 7
18 再以 代入上式得 B A 由 及 知 A B * 故由 知, ** 故由 * ** 及 知 d d c 原積分 p [ 研究 ]: m 可以令 d 型式之積分 其中 p 為多項函數 化為 之函數積分 Ostrogrdsky 當 m. 是比較大的數字時, 此法較分項分式為佳 [ 法 ] 令 由, 由, d d 由 代入原式得 8 d d 8 7 d 7 8 d 7 8 d 8
19 9 9 d d d. 首先設 C B A 去分母得 C B A 比較 兩邊之係數得 C A C B A B A 解之得 7 9 C B A 故由 知, 原積分 d 7 9 d d d 9 d c t 9 c t 9 c t 9. 首先令 A 其中 為一個多項函數 去分母, 得 A 以 代入 得, A A 代入 得 6 6
20 由 及 知, 再計算 原積分 d d d d d d t d d如下 : 令 t, t 則 d sec d sec ** 代入 * 即得 d d s k s k t k * ** 正餘弦之積與冪之積分 m 主題 :s d, m. Z 一 t d, Z 型式 即 s m d 滿足 m 之特別情形 方法. 利用漸化式 見例 方法. 令 t 或 cot 不論 奇或 偶 時 時 又若 奇, 也可令 s 或
21 例 : 試導 t d 之漸化式 Z 6 並應用之以求 t d cot d [ 解 ]: 設 t d 則 t t d 由, t sec d t sec d t dd t t t, 得 t 此式中之 設為 t 由 及 知, 所求之漸化式為 t t 6 故 t d 6 d 時 t t t t t t t t t c d 又 cot t cot cot 時 [ t ] cot d s cot s c cot
22 6 例 : 計算下列二積分, 但不許使用漸化式 : t d cot d 6 [ 解 ]: 一 先求 t d 令 t, t 則 d d 6 6 t d d d t c t t t c 二 cot d [ 研究 ]: d 令 cot, cot 則 d d cot d d d [ ] c cot cot cot c s 或 cot 也可以用 解之如下 : s s d s s d s d cot d d 代換
23 m 二 d 數 s 型式 m. Z 參考 p.9 此型積分, 可考慮下述方法 : 當 m, 不是很大的數時, 可觀察 m. 之奇 偶 若 m 是奇數, 可令 若 是奇數, 可令 s c 若 m 均為偶數, 可令 t 或 cot 又, 此時若 m 均為非負之偶數, 也可考慮壓低正弦之次 當 m 或 很大時, 可以利用漸化式 見定理 例 : 求下列個積分 s s d d d s [ 解 ]: 原式 s d d s d d c c s 原式 d d d d s s d s s s s d s
24 s s s s c s s c s s s d d [ 法 ] 原式 d d dv v v v d s s 則 d d d t 6 sec d t sec sec d t t d t t d t d c t t cot c [ 法 ] 令 t, t 原式 6 m [ 定理 ]: s d 之漸化式
25 m 設 m, s d, m, Z, 則 m m s m, m m 若 m 甲 m, s m, m m 乙 丙 丁 [ 証 ]: m, s m m 若 m m m m, m 若 m --- m s m m, 若 s m s s s s s s m d d s s d s m m m ms s [s m m ] d s m m m m m s m d s m d s d m m, [ m, m, ] m m, m s m, m m, m m, s m m, * m, s m, m m 若 m 由 *, m 乙 m 又由 *, m, s m m, m, s m 此式中的 改為 得, m m, 若 m m, s m m, 丁 若
26 6 例 : 利用漸化式重作上例 :, s d, s,] s [ s c s s, s d, 6 s 6,] s [ 6 s 6 s s 6,] s [ 8 c 6 s 6 s s 6, s d, s ], [ sec csc, sec sec csc c s s sec sec csc d s, d s s s d s v dv v v dv v v
27 v v c 三角代換此處我們研究下列三種型式之積分. R, d. R, d. R, d 其中 為一個不為 的常數 此三種型式可利用三角代換消除平方根 : 型式. 可令 s s 型式. 可令 sec sec 注意 : sec [, [, r t t 型式. 可令 例 : 求下列各積分. d. d. d.. d d [ 解 ]:. 原式 d d 令 s s 則 d s d
28 d d s c s c s c s c. 令 s s 則原式 s d s s d s d d d d c c c. 令 t t 則原式 sec sec sec sec d dt d. sec sec 則原式 t d sec sec 8
29 t sec t d sec t d sec d t c sec sec c c 6. 原式 d d, 令 sec sec * dsec t sec t d t sec d sec t c * c c 可有理化之代換 c 型式. R, d c d 型式 此型只要令 理由 : 令 c c d c d 由 c d r d 即可
30 由, d r d 由 知 R, d c d R r, r d R d 例 : 求下列各積分. d. d d.. d d d d 6 [ 解 ]:. 令 由, 由, d 6 d 由 知, 6 d 6 d 原式 =
31 d d. 令 由, 由, 由 知, 原式 再令 由 d d d * t t t t t t d t t t * = t t t t t t t t t t dt t t dt dt 6. 原式 令 由 d *
32 由, 6 d d 由 知, * 6 = d d * 型式 : R, c d 型式 其中,, c R, 且 此型式有一個有名之代換 :Eler 代換 若, 可令 c t 或 t t c 若 c, 可令 c t c 或 c t c c, 若 c, 可能得二實根 可令 c t 或 理由 : 以 為例, 說明如下 : 設, 令 c t t 由, c t t t c t r t t 代入 得 c r t t r t 又由, d r t dt r t dt 由 知, R, c d R r t, r t r t dt R t dt
33 = 例 : 求下列各不定積分 :. d.. d d [ 解 ]:. 令 t t 由, t t t t t t t t t t t t d dt t 代入 得 又由, 代入原式得 t t 原式 dt t t t t t t t t t dt t t t t dt = t. 令 t 由 t t t 由, t t
34 又由 得, 6t d dt t 代入原式得 原式 t 6t dt t t t t 6t dt t t t dt t t 6 dt t dt t t r 型式 : d型式 其中.. r Q, 且. 為異於 之常數此型式也有一個有名的方法 :Cheyshev 代換 若 r Z, 而 dt p p, q q q. q N, p p Z. 令 q q 即可 p * 若 Z, 而 r q N, p Z q 令 q 即可 若 r Z, r p 而 q N, p Z q 令 q 即可且除此三種情形之外, 此型式必不可能積成初等函數 Red:tegrto Fte Terms 理由 : 以 為例, 說明如下 : p 設 Z, r q q 令 由, 而 N, p Z q q
35 由, q r d r d d r d r 由 知, d p p q p q p r r d R d d d 例 : 求下列各積分 : d d d d [ 解 ]:. 原式 d * 第 種型式 令 由, 由, d d d d 由 知 * d d c
36 c. 原式 d------* 第 種型式 令 由, 由, d d d d 由 知, * d d 6 d 7 7 c 7. d d * 第 種型式 令 由, 由, d d d d 由 知,* d c d c 7 d c 型式 : R s, d型式此型若不滿足三種特別情形之一 6
37 則可令 t t 理由 : 若令 t, 則 s, d d Rs, d R, d R d 例 :. s d s d s s d s t t 則 s,, d d 原式 d d.. [ 解 ]:. 令 d d c t t t c s d s s s d s [ 令法 ]: 原式 7
38 csc d csc d csc = cot d csc cot d. 令 t t 則 s,, d d d d d d c 原式 t t c.[ 解 ]: 令 t [ 解 ]: 令 t t 則原式 d t d t d d = d [ 解 ]: 利用 Ds, D s 之關係解 設 s d, J s d s 8
39 9 則 s s c d d J 又 d J s s s s d s c 得 s c k s 同理可求 J [ 解 ]: s s s s s 其中 是滿足 s 的任何一角 原式 d s s s s d d s s d s s s s s d d c s s =
40 型式 : R e d型式此型式令 理由 : e 即可 R e e R e de e R d R e d e d R d e 例 : d e [ 解 ]: 令 e, 即, d d d d 則原式 e d e c [ 研究 ]: 若積分型式為 s, d 或 e d d t 為一般函數 亦可考慮 t 或 e 之代數 先化為 之函數再考慮下一步 例 :. e e d. d. d
41 [ 解 ]:. 令 e, 即, d d 則原式 d d sec c sec e c.[ 解 ]: 令 t, t 則 s,, d d d d 原式 d 一 若, 此時 * d * d 再令 v 由, v v 由, d vdv d vdv 由 知,** ** d
42 v v vdv dv v dv v v dv v v v v c [ 解 ]: 令 即 d d 原式 d s d d s d s s d s d s * 一 若 s 取, 即取 之範圍 則 * d s
43 d s csc d csc cot c c s c s s c s s c s = Lovlle 定理 : 設. g 均為有理函數, 而且若 e g 之反導函數亦為初等函數, 則 e g 之反導函數必具有如下型式 : e w c, 其中 w 仍為有理函數 c 為常數 換言之, 若 e g d可以積成初等函數, 則其必為 tergrd 同型 :
44 即 e g d e w 其中 w 為有理函數 e c, [ 研究例 ]: 試証 d不是初等函數 e [ 証 ]: 設 d是初等函數 數 由 Lovlle 定理可設 e d e w c 又可令 簡記為 * 其中 w 為有理函數, c 為常 p w. q q p q * 兩邊對 微, 得 e qp pq e q qp pq q q 由 知, q qp pq e p q p 為二個互質多項式 p q qp pq q pq pq 其中 qp pq pq 為一個多項式, q 故可設 q s N 其中 s 為多項式, 且 s 由 知, q t 其中 t 為多項式, 且 t 及 代入 得, 故知 s s sp sp pt pt ps sp pt ps pt sp ps s sp ps pt p t e 類題 :. 試証 e d s -- 矛盾 不是初等函數 d不是初等函數 ps. 試証... e d 可積成初等函數之
45 ! 充要條件為 :...!! 定積分 黎曼積分 一 定積分之定義 定義 : 分割 prtto 設 [, ] 是一個閉區間, p,,... 是滿足下列條件之任何一個集合 :... 則 p 稱為 [, ] 上的一個分割, 以符號 p [, ] 表 [, ] 的一切分割所成的 定義 : 分割的模 or 設 p,,... p[, ], 令,,..., 乃 p 分 [, ] 的第 個子區間之長度 D m 又定義 p m,,..., 稱 p 為 p 之模 或範數 定義 : 正規分割 sglr prtto 設 p,,... p[, ], 滿足下列條件 :..., 則 p 稱為 [, ] 上的一個 等分之 正規分割 [ 注意 ]: 若 p,..., 是 [, ] 的一個正規分割,
46 則 p, 且此時,,,,..., *** 定義 : 黎曼和 & 定積分 設 是定義在閉區間 [, ] 上的一個函數, 對任何 p,,... p[, ] 而言, D 令 p t, R R 其中 t, ], p [ 稱為 對於 p 的一個黎曼和 Rem Sm 注意 : 即使 與 p 均已知, R p 仍有無窮多個可能之數值 若存在一個實數 使得下式成立 :,, p p[, ], p R p A * 可記為 lm p A------** p R 則稱 在 [, ] 上 黎曼 可積分並且稱此極限值 A 為 在 [, ] 上之定積分 黎曼積分, 以符號 表之 [ 注意 ]: ** 亦可記為 lm t A ** m 其中,,... p[, ], 而且 t [, ], 又 ** 亦可記為,,,,... p[, ] m t A * 其中 t, ], [ 由定義知, 在 [, ] 上可積分 lm R p 存在 p lm m 亦可用如下符號表示 : 存在 *** 由定義知, 若 在 [, ] 上可積分, t d. [, ] 存在 6
47 則 D d lm t m :[, ] R. 分割 p,,... p[, ]. 取樣本 t. 取和 t. 取極限 lm t m d 定積分 例 : 設 :[, ] R 為一個常數 試問 在 [, ] 上是否可積分? 若可積分, 其積分值為何? [ 解 ]: 設 p,,... p[, ], 則 R p t, t [, ], lm R p p [ 証 ]: 設, 任取一個正數, 則 p p[, ] p R p 在 [, ] 上可積分, 且 d 即 d 二 可積分之條件 lm p R p 存在不切實際 D 可積分 在 [, ] 有界 [ ] 反例 : 在 [, ] 連續 在 [, ], Q, Q 7
48 可積分 條件 在, ] [ 有界 [, 不. 在 [, ] 有界但 在 ]. 在 [, ] 幾平處 連續 s cot o [, ].e 在點 D cot,, y, y y D 在集合 A cot, A,, y A, D y y 在集合 A 均勻連續,, A, y A, y y 補充 : 定義 : 設 定義 : 設 :[, ] R 定義 [, 在 不連續 D D ] :[, ] R 定義 在 [, ] 上幾平處 cot D 表測度, Q, Q D, D [, ] D 三 定積分之基本性質 6- [ 定理 ]: 積分函數之線性 若. g 均在 [, ] 可積分,. 為任意二常數, 則 g 在 [, ] 也可積分, 且 g [ 略証 ]: 設 在 [, ] 可積分, g 在 [, ] 可積分, 則 lm R p p g D D 8
49 lm R g p p g 而 p p[, ], R p R p R p lm R p g p g lm R p R p g g p g 在 [, ] 可積, 且 g R p 推論 :H 設 C g 且 在 c 點連續 g t t,,... 均在 [, ],,... g t 可積, R... 在 [, ] t g t R 可積, p R 在 c 點不連續 g p 在點 c 連續 在點 c 不連續 g g c D D c D D, D D * 在 [, ] 可積 在 [, ] 可積, Q :[, ] R, Q 則 [, ],, 在, ] D D 但, [, ] 在 [, ] 上為常函數, 在 [, ] 上可積分 [ 上不可積 定義 : D 故知 9
50 [ 定理 ]: 上下限之線性 若 在閉區間 可積分, 則 在 的任何閉子區間上仍可積分, 且,, c, c c * 若 c,* 成立, 則其他情形,* 一定成立 在 [, ] 可積 在 [, ] 可積 *[ 定理 ]: 積分之保號性 若 在 [, ] 上可積分 且 在 [, ] 上非負 o[, ], 意即 : [, ], 則 又條件 中的 可積分 改成 連續 則 取等號 推論 : 積分單調性 若. g 均在 [, ] 可積分 且在 [, ] 上, g 則 g 又若條件 中之 可積分, 改為 連續, 則 取等號 g 推論 : 與 之定積分 若 在 [, ] 上可積分則 在 [, ] 上也可積分 且
51 四 如何計算定積分 理論 F.T.C Lemm: 積分均值定理 若 在 [, ] 上連續, 則 c, c [ 証 ]: 設 在 [, ] 連續 由 知, 在 [, ] 上有最大值及最小值設 在 [, ] 上之最小值為 m, 最大值為 M, 則 [, ], m M 又不妨假設 m, M. [, ] 分成以下兩種情形討論之 : 一 若 m M, 此時由 知, [, ], m M 此時任取, 上的一點 c, 可得 d md m c 二 若 m M, 則由 知, md d Md m M m M 由 知, c c 介於. 之間 c 而 c 介於. 之間 c, c, c 即 c, c [ 定理 ]:
52 H :[, ] R 為一個可積分函數 H F :[, ] R 定義如下 : F C F 在 [, ] 連續 C 若 在 連續, [, ], 則 F 在 可微, 且 F [ 略証 C ]: 設 H 均成立, 則 在 [, ] 有界, H M,, M, y, F F y * 若 y, 則 * M M y M y y y y y 若 y, 則 * M M y M y 由 知, F F y M y y y y F. 在 [, ] 可積 F 在 [, ] 連續 且 F o [, ]. e. 在 [, ] 連續 F 在 [, ] 可微 且 F o [, ] [ 嚴証 ]: 設 H H 成立, 設 是 [, ] F F lm 欲証 : 上任意一點 把 固定 設, 在 連續,, * 對於此 而言, F F c 由 * 以上証得, 其中 c 介於. 之間 c
53 F F,, F F 即 lm F 在 可微分, 且 F 由於 是 [, ] 上任取的一點, F 在 [, ] 上可微分, 且 F, [, ] [ 定理 ]:F.T.C. 第 根本定理 H 在 [, ] 連續 H G 是 在 [, ] 上的一個反導函數 即 [, ], G C d G G G [ 証 ]: 設 H 均成立, H 令 F :[, ] R F 則 F, [, ] 由 F.T.C [, ], F G 由 M.V.T 知, c R, [, ], F G c d F F F G c G c G G [ 注意 ]: 由 F.T.C 知, 若 在 [, ] 連續, 則 d d 可積 求得出 之不定積分 d d d d 結論 :. 條件 :. 何種條件下 例 : 計算下列定積分. d
54 . s d [ 解 ]:. d d 7 8 s. s d d s s d s d d 例 : 求 t [ 研究 ]: 若 在區間 上連續, g 是一個可微函數, 且 d d dt rg d g 則 t dt g g d F t dt F d g d t dt F g d d 推廣之, 可知在適當條件下, 以下各結果成立 d d d d. t dt h h h g. t dt g g h h h [ 解 ]: t dt 例 : 計算 d. d d d. t t e dt t dt
55 d d. t t s d d t dt t t [ 解 ]:. 原式 e dt te dt e e t dt e t dt e d d d [s d. 原式 t t s t s [ [ t t s s s t dt t tdt s ] ] s t tdt s s t t s tdt t t t t s tdt] t tdt t s t t s tdt t s tdt t tdt 定積分之計算 [ 定理 ]: 定積分之分部積分法 若. g 均在 [, ] 可微 且.g 均在 [, ] 連續 則 [ 証 ]: g d g g d [ 注意 ]: 此公式可記為 : 例 : 計算. dv v s d vd
56 . t d [ 解 ]:. 原式 d [ d ] [ s d] d s s d. 原式 t d [ t d t [ ] d 8 d [ t ] 8 [ ] 8 ] *[ 定理 ]: 定積分的變元代換法 若 在區間 上連續, g 在 [, ] 上具有連續的導函數 g 則 rg g g d 記 g g d 法 : g g d g dg d g 6 g g [ 証 ]: 設 成立定義 F. G :[, ] R為如下之二函數 D F g t g t d G D g g d
57 由 知, F. G 均為 well-deed g [, ]rg R g [, ] R g g s cot 則由 F.T.C. 知, F g g, [, ] 且 G g g, [, ] 由. 知, F G, [, ] 故知 F G c, [, ] 其中 c 為一個常數 由 F. G 之定義知, F g t g t d g G d g 由 知, c F G 故知 [, ], F G 即 F G g g d g g d 例 : 計算 d d d d [ 解 ]: 令 sec sec, 則 原式 sec d sec sec t sec t d sec sec sec s s d d s 7
58 d s 8 令 sec sec, 則 原式 sec d sec sec t sec t d sec sec sec s d s d s d s 8 [ 討論 ]: 偶函數 令 t, t, 則 d d dt t dt t t dt t 8 d d 設 由, 由, 由 知, 原積分 d d * 令 t t, 則 8
59 8t * sec d sec 8s d d s s 原式 d------* 令 由, 由, d d 由 知, d d * d d d 9 9 定積分的一些特殊問題 一 利用漸化式之算法 : 9
60 例 : 設 s d,,,... 求 之漸化式, 並利用之以求 s 7 d, s 試証 是一個嚴格遞減且界於下之數列 証明 lm s [ 解 ]: 設 d N 即 s d [s d s [ [ s s s ] s d] 若 s d s d d 時, d] d 此即為所求 即 又 由此漸化式知, s d 故知 s d s d d 之值 6
61 s, [, ] s s s s s s o [, ] [,, 等號只有在 ] 時成立 由 知,, * 由 * 知,..., 嚴格遞減, 且 知 由 故由 ** 知, 今 lm 嚴格証 : 歸納法 ** N N N lm lm 例 : 設 在 [, ] 連續 試証 : 利用, 求 s d s d s d之值 [ 解 ]: 設 在 [, ] 連續 又設 s d 6
62 令, 則, d d s d s d s d s d s d s d s d s d s d s 由 知, d s d d d d t 習題 : 求值 s s d t d. d... d, 其中 是一個在 [,] 連續, 且滿足, [,] 之函數 e. d 6
63 6 例 : 求下列各極限之值.... lm. ] [ lm [ 研究 ]: 若 在 ], [ 上可積分則由定積分之定義知, lm d 是 對於 ], [ 的 等分正規分割的一個黎曼和 即 lm d 此結果可推廣, 例如 : lm d lm [ 解 ]:. 設... 則 其中 故知, 乃函數 對於 ], [ 的 等分正規分割的一個黎曼和而 在 ], [ 可積分 在 ], [ 連續 lm lm d d. 設 ] [ 則 ] [ ] [ ] [
64 其中 故知, 乃函數 對於 [,] 的 等分正規分割的一個黎曼和, 而 在 [,] 可積 在 [,] 連續 lm lm lm d d d d d e e lm e e e e 例 : 設 在 [, 上為連續而遞減之正函數 令...,,......,,... 試研究 lm.lm 是否存在?, 試証 lm... 存在 [ 解 ]: 設 在 [ 上為連續且遞減, D D,,...,,... 6
65 例 : 利用 Eler 常數, 求下列極限之值 lm c [ 解 ]: 設 N 定義 : 則 lm c 為 Eler 常數... lm... lm c c 設. g 均為定義在 [, ] 上之函數, 若 [, ] g 則稱 與 g 在 [, ] 上幾乎相等 g o [, ]. e [ 定理 ]: H H. g 均在 [, ] 有界 g o [, ]. e C 若 在 [, ] 可積, g 也在 [, ] 可積, 且 g 例 : 計算 [ ] d [ ] d d, 其中 :[,] R, 定義如下 : [ ], 先証明 在 [,] 上確實可積分, [ 解 ]: [ ] d [ ] d [ ] d [ ] d 6
66 d d d 令, d d 8 [ ] d 8 [ ] d 6... d d 原積分 d 8 7 [ ] d 定積分之應用 未聲明時, 本章所論函數至少是連續函數 面積 : 公式. 設 在 [, ] 上為連續之正函數, 則曲線 y 與 軸之間, 自 至 之區域, 其面積為 d 公式. 公式 之推廣 設. g 均為在 [, ] 上連續之函數, 則曲線 y 與 y g 之間, 自 至 之區域, 其面積為 g d 例 : 設., 試求曲線 所圍區域之面積 y : y [ 解 ]: 設 * 之略圖如下 66
67 67 對稱於 軸 y 軸 所圍之面積為 在第一象限的部分與兩軸所圍面積的 倍, 而在第一象限 之圖形, 即函數 之圖形故所求面積為 d d ** 令 s, s 則 ** d d d d s 若,* 即 y, 答案則為 例 : 設 為一個拋物線, 而 PQ 為 上的一弦, M 為 PQ 之中點, 過 M 作 的軸之平行線, 此線交 於點 P. 試証 PQR 之面積是 與 PQ 所圍區域面積之幾分之幾 [ 証 ]: 設 之方程式為 : c y 設, c P, c Q 為 P 的一個弦則 M 之 座標為, R 之座標為, c R 故 PQR 之面積為 c c c c c c c c 8
68 又 與 PQ 所圍區域面積為 A [ [ c 由 及 知, 例 : 試求曲線 PQR c c 8 c ] c c c c [ ] d ] d d c[ ] c[ ] c [ 6 ] 6 c 6 c c 8 c 6 面積是 與 PQ 所圍區域面積的 y s 與 y [ 解 ]: 所求為 s d s d s d s 之間, 自 至 之區域面積 s d s [ ] [ s d ] 習題 :, 求 y y 所圍之區域面積 68
69 例 : 試求拋物線 y 與曲線 y y 所圍成區域之面積 [ 解 ]: 設 : y : y y 即 : y : y y 解 及 得 與 y or y or 8 y 交於,,,,, 三點, 略圖如下 : 故知所求之面積為 y y y dy [ y y y ] dy 7- 體積 [ y * 一 截面法之體積公式 : 設 S 為一個立體, 而 L 為一條數線, 過數線上 [, ] 的任一點, 作垂直 L 之平面, 若此平面截 S 之截面積為 A A 是在 [, ] 上連續之函數 則 S 介於, 之間的區域 其體積為 A d y y ] dy. 分割 : 設 P,,,... P[, ]. 取樣本 : 由 P 所得的 S 的第 塊薄片, 其體積約為 A t t [, ] 69
70 . 取和 : S 介於 體積約為 與. 取極限 : 所求之體積為 lm m A t A t 之間的區域 A d 例 : 求 y 繞 軸之旋轉體體積 A 例 : 某立體之底面為一個橢圓形區域, y 9 橢圓之方程式為 若垂直於 軸之任何平面截此立體之截面均為正三角形, 試求此立體之體積 [ 解 ]: 設通過, 其中 而垂直於 軸之平面, 截此立體之截面積為 A 則 A 即以 為一邊邊長的正三角形面積 9 即 A s 故知, 此立體之體積為 9 9 A d d 習題 : 求兩圓柱相交之體積 As: 8 8 利用正方形先考慮第一卦限體積 d 7
71 二 旋轉體之體積 A 圓盤法 Dsc method 與圈帶法 設 是定義在 [, ] 上的連續正函數, 而 R 表 圖形與 軸之間自 至 R, y, y 即 則 R 繞 軸旋轉, 所得旋轉體 其體積為 d y d 之平面區域 之推廣 A g A g 設. g 均為定義在 [, ] 上之連續正函數, 而 R 為. g 圖形之間自 至 之平面區域 即 R, y, m, g y m, g 則 R 繞 軸旋轉, 所得旋轉體之 體積為 g d 其他推廣公式, 依此類推 例 : 試求由 9, y, 所圍區域繞 軸旋轉所得旋轉體體積 y 與 7
72 [ 解 ]: 所求為 y d 9 d [ [ [ 9 ] 86 9 d d 9 ] d] 例 : 設 R 是由拋物線 y, 直線 及 y 所圍成的區域試求 : R 繞 y 軸旋轉所得旋轉體體積 R 繞 軸旋轉所得旋轉體體積 R 繞 軸旋轉所得旋轉體體積 [ 解 ]: R 之略圖如下 : 所求為 dy y dy y y y y dy y 96 所求為 [ y dy y y y y dy y 8 所求為 [ ] d 8 9 d 8 8 7
73 B 層殼法 Shell method 薄殼法 補充概念 Blss Sm 設. g 均為定義在 [, ] 上的函數, 則對任何 P,,... P[, ] 令 B. g D, P g 其中, [, ] B. g P 為 與 g 在 [, ] 上對於分割 P 的一個 Blss 和 稱 [ 定理 ]: 若. g 均在 [, ] 連續, 則 lm B. g P g d p 設 是定義在 [, ] 上的連續正函數, 其中 而 R 表 圖形與 軸之間自 至 之區域, 即 R, y, y 則 R 繞 y 軸旋轉所得旋轉體 體積為 d yd. 分割 : 設 P,,,... P[, ]. 取樣本 : 由 P 所分 R 得的第 塊平面區域, 繞 y 軸旋轉之體積約為 t 其中 t t t t t 7
74 . 取和 : 旋轉體體積約為. 取極限 : 旋轉體體積約為 此公式可以推廣為各種形式 m t t lm t t d c- yd c - g d 例 : 試求由 y, y, 與 繞 y 軸旋轉所得旋轉體之體積 [ 解 ]: 所求為 y d d d s [ s 所圍區域 [ ] [ ] s d] 例 : 試求由 y 6 9, y,, 所圍的區域 R 繞 y 軸旋轉所得旋轉體體積 [ 解 ]: 設 : y 6 9 列表如下 : 9 7
75 由此表可知, 在 [,], 且 [,], 故知 R 的略圖如下 : 故知 R 繞 y 軸旋轉所得旋轉體體積 yd d 9 d 例 : 試求由 y, y, y, y 6 所圍區域 R 繞 軸旋轉所得旋轉體之體積 : y [ 解 ]: 設 : y 略圖如下 :. 相交於,,8,6 R 繞 軸旋轉所得的旋轉體之體積 6 6 y y y dy y y dy y y
76 弧長與旋轉面的面積 平滑函數 定義 : 設 為一個區間, 定義 在 上平滑 : R s smooth o D 在 上可微, 且 在 連續 s, 例 : : R R, 在 R 上是否可微? Yes s,, D s lm lm lm s 若 在 R 可微, 問 是否在 R 上平滑? No lm lm s 在 不連續 lm g 存在又 lm g 存在 lm 存在 不存在 在 二階可微 在 平滑 在 可微 夾擠定理 s s 取極限 76
77 一 弧長基本問題設 :[, ] R 為一個平滑函數, : y 試問 是否有長度? 若有的話, 其長度之公式為何? As: 若 在 [, ] 上 smooth, 則 y 自 至 之弧有長度 參考 Rd Prcple o Mthmtcl Aslyss 美亞 ch6 最後一個定理 且其長度公式為 d dy d d ds ds d dy 弧長單元. 分割 : 設 P,,,... P[, ]. 取樣 : 由 P 分段的第 段弧, 其長約為 y y y y t. 取和 : 此曲線之長度約為. 取極限 : 此曲線之長為 lm m t [ t t d, ] 弧長公式 : d dy d ds d ds d dy 弧長單元 77
78 g :[, ] R g, 問 : g 在 [, ] 上是否可積? As: 平滑, 連續, g 連續, g 在 [, ] 可積 例 : 試求曲線 y 由, 至, [ 解 ]: 所求為 d 令 9 間之弧長 dy d d d * d d 9 由, 由, 代入 * 得 弧長 8 8 d 7 8 d 9 9 例 : 試求曲線 6 y [ 解 ]: 設 : 6y y y 由 y 至 y 即 : y 6 y 故知 自 y 至 y 之弧長為 間的弧長 7 y y ds d dy dy y y y dy y y dy y 7 y y dy 78
79 79 二 旋轉面之表面積設 y : 其中 在 ], [ 上為一個平滑的非負函數則曲線 即 y 自 至 之弧繞 軸旋轉, 所得旋轉面的面積為 d yds d d dy y. 分割 : 設 ], [,...,, P P. 取樣本 : 由 P 所得的第 段弧繞 軸旋轉, 所得旋轉面之面積約為 y y y y y y ], [ t t t t s t s ], [. 取和 : 此旋轉面之面積約為 t t. 取極限 : 此曲線之長為 t t m lm d 例 : 設, 求橢圓 y 繞 軸旋轉所得的旋轉面面積 [ 解 ]: 所求即 y 繞 軸旋轉所得旋轉面面積
80 8 即 d d dy y yds * d dy y y ** ** 代入 * 得 * d d *** 其中 令 s, s 則 *** d s s co d s s co d s s s s s
81 8 s [ 研究 ]: lm s lm 令 y y s, s s lm s lm y y y s lm s lm s lm
第十一單元(圓方程式)
第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ
7. 基本積分公式 (8) sec u tn udu = sec u + C (9) csc u cot udu = csc u + C () tn udu = ln cos u + C = ln sec u + C () cot udu = ln sin u + C = ln csc u + C
第 7 章 積分技巧 目錄 7. 基本積分公式............................... 7 7.2 分部積分................................. 72 7.3 遞迴公式................................. 73 7.4 三角函數的冪次.............................. 74 7.5 有理函數的積分..............................
- 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 分式型無窮數列的極限 求 lim? 原式 lim 5 求 lim? 5 原式 lim 分式型無窮數列的極限 求 lim 原式 lim 求 lim 原式 lim 7 分式型無窮數列的極限 求 lim 原式? lim ( )( )( ) ( )( )( ) lim ( )
第三章微積分及其應用 微積分及其應用 - 主題一極限的概念 ( 由授課老師自行選授 ) 數列極限的概念. 無窮數列的極限值定義 () 無窮數列 { }, 當 趨近無限大時, 逼近唯一定值 α, 則稱數列 { } 收斂於 α () 稱 α 為數列 { } 之極限值, 記作 lim = α () 若數列無法收斂到唯一定值, 即數列的極限不存在, 稱該數列為發散. 極限的運算性質 設無窮數列 { } {
01.dvi
物理資優營微積分教材 1 y = f ( ) (, f ( ) ) 點的切線斜率 : =lim f ( + ) f () 若 f () = n,n 為自然數 =lim ( + ) n n 微分的基本性質 : (i) 線性 : 若 a, b 是常數 (ii) 萊布尼茲律 : n n 1 + O ( ) = n n 1 {af ()+bg ()} = a + bg {f () g ()} = g + f
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
Microsoft Word - 3-1動手動腦2.doc
台北市立陽明高中高二自然組動手動腦 單元 :- 圓的方程式 () 班級 : 座號 : 姓名 : 一 選擇題 ( 題每題 分共 分 ); 第 題為單選題 第 題為多重選擇題 ( ) x y 為實數且滿足 x y 求 x 的 最小值 ()0 () 0 ()7 () 7 有一圓通過點 P 且與 y 軸相切若此圓的半徑為 試求此圓的方程式為 ( 有兩解 ) ( ) 三直線 x y 9 0 x y 0 及 x
第 6. 節 不 定 積 分 的 基 本 公 式 我 們 可 以 把 已 經 知 道 反 導 函 數 之 所 有 函 數 都 視 為 不 定 積 分 的 基 本 公 式 基 本 公 式 涵 蓋 的 範 圍 愈 大, 我 們 求 解 積 分 就 愈 容 易, 但 有 記 憶 不 易 的 情 事 研 讀
第 6. 節 反 導 函 數 與 不 定 積 分 定 義 6.. 反 導 函 數 說 明 : 第 六 章 求 積 分 的 方 法 若 F( ) f ( ), Df, 則 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 (antierivative) () 當 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 時, 則 F( ) C,C 為 常 數, 亦 為 f( ) 之 反 導 函 數 故 若 反 導 函
6-1-1極限的概念
選 修 數 學 (I-4 多 項 式 函 數 的 極 限 與 導 數 - 導 數 與 切 線 斜 率 定 義. f ( 在 的 導 數 : f ( h 對 實 函 數 f ( 若 極 限 存 在 h h 則 稱 f ( 在 點 可 微 分 而 此 極 限 值 稱 為 f ( 在 的 導 數 以 f ( 表 示 f ( f ( 函 數 f ( 在 的 導 數 也 可 以 表 成 f ( 註 : 為 了
(Microsoft Word - chap3-\275\306\305\334\244\300\252R.doc)
Chp 複變分析 Copl Anlss - 基本觀念 在複數平面上定義一個複數 如圖所示, 其中 : 稱複數 稱為實數, 記為 R 稱為虛數, 記為 I 由圖可得, 與 r,θ 之關係可知 r osθ r snθ r osθ r snθ r osθ snθ θ r 極座標 E.. R: I: 定義 : 一個複數的絕對值 長度 r 定義 : 一個複數的共軛複數 複數加法定義 : 若 則 E.. 加法
微積分作業解答 Chap 7 pplicaions of Ingaion 7.-7. 7. -. Find h aa of h shadd gion.. d. d -. Skch h gion nclosd h givn cuvs. Dcid whh o inga wih spc o o. Daw a pical appoimaing cangl and lal is high and widh.
THE 常用的極限公式 (1) x lim 1 n n n e x (2) lim 1 nx n e n n (3) lim n 1 n 1 x 微積分的複習 c- - KE (4) lim n 1 a n n b 2 n e a (5) lim x ln x 0,α >0 x ln x (6) l
THE 常用的極限公式 () lim () lim (3) lim 微積分的複習 c KE (4) lim b (5) lim l α > l (6) lim α> FEF 微分公式 fg C f gc f gc f g C fg 3 ** 若有時 應放在 g 項 ** C m! m! m! m! m! > b bk > c ** C C ** C C 二項式定理 b C b C b C b C b
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練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒 一 有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 角度與弧度 : 1() 1() 弧度 弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角
一 有向角及其度量. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 8. 角度與弧度 : () () 弧度 57.957 弧度 = 8 只有代表弧度時為 8, 其餘皆為.4 ( D ). 角為 (A) 直角 (B) 鈍角 (C) 平角 (D) 銳角. 5 等於 5 8 弧度 角度 弧度 6 45 4 6 9 5 5 6 8 7 6 看到角度 弧度, 8 擺分母 ; 看到弧度 角度, 擺分母. 扇形的弧長與面積
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5 年台灣大學 解題老師 : 周易系所 : 醫工所 ( 甲組 ) 化工系 高分子所 食科所( 丁組 ) 科目 : 工程數學 (E). 是非題 ( 請標明題號 ()~(5), 依順序作答, 正確請寫, 不正確請寫 ): R S T 均為 階方陣, I 為 階單位方陣, 下列敘述是否正確? () 假設 R 為正交可對角化 (orthogoall diagoalizable) 矩陣, 則 R 必為對稱矩陣
翁秉仁教授 本著作除另有註明, 所有內容取材自作者翁秉仁教授所著作的微積分講義, 採用創用 CC 姓名標示 - 非商業使用 - 相同方式分享 3.0 台灣授權條款釋出
翁秉仁教授 本著作除另有註明, 所有內容取材自作者翁秉仁教授所著作的微積分講義, 採用創用 CC 姓名標示 - 非商業使用 - 相同方式分享 3.0 台灣授權條款釋出 函數與圖形方程式與平面曲線 隱函數反函數反三角函數連續函數與極限 與自然對數 函數與圖形方程式與平面曲線 隱函數反函數反三角函數連續函數與極限 與自然對數 函數與圖形方程式與平面曲線 隱函數反函數反三角函數連續函數與極限 與自然對數函數定義函數必須滿足兩個條件
１直線方程式
第 章微分 55 微分 *- 極限的概念 區間 : 若 a b 為實數, 且 a b: () 閉區間 :a, b a b () 開區間 :a, b a b () 半開區間 ( 或半閉區間 ): a, b a b a, b a b 0 老師講解學生練習 0 試以區間表示下列集合 : () 4 6 () 6 4 () 6 () 4,6 () 6, 4 () 6, 試以區間表示下列集合 : () 5 ()
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要
Microsoft PowerPoint 曲線之切線、曲率及紐率.ppt
4-5 曲線之切線 曲率及紐率 .1. 曲線切向量 切線 曲率 z r r y 曲線 L 的切線方程式 x ρ λ r + λ r 其中 λ 為切線的參數 L ρ λ r + λr ρ λ < x, y, z >+ λ< x, y, z > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > 切線的參數式方程式 x x + λx
0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1
0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0
. 雙曲線 y + y = 0 兩頂點的距離為何? 6 6. 若 log ( ) = + log, 則 =? 或 +. 若 f ( ) =, 且 f ( a) = f ( b) =, 則 f ( a + b) =? 6 8 =. 求 log ( + + )? π 6. 設 0 < θ <, 且 si
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9. 求 + + 9 =? 8. 若 + = + A B + C + D +, 則 A + B + C + D
遞迴數列
- 空間中的直線方程式 目標 i) 能以參數式或比例式表示出坐標空間中的直線 並能處理直線與直線 直線與平面的關係 ii) 除 i) 之教材外 再進一步能處理點到直線的距離 兩平行線之距離 以及兩歪斜線的距離 討論. 在坐標空間中 設 O 是原點 當 d m n) 是直線 的一個方向向量 且 A ) 是 上一個定點時 動點 P ) 在直線 上的充要條件是 AP d 其中 是一個實數 如圖所示 於是
遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
第 8 章 積分應用 ( 貳 ) [ Applications of Integration-II ] 目錄 8.1 平面曲線之弧長 旋轉面表面積 力
![第 8 章 積分應用 ( 貳 ) [ Applications of Integration-II ] 目錄 8.1 平面曲線之弧長 旋轉面表面積 力](/thumbs/103/157849687.jpg "第 8 章 積分應用 ( 貳 ) [ Applications of Integration-II ] 目錄 8.1 平面曲線之弧長 旋轉面表面積 力")
第 8 章 積分應用 ( 貳 ) [ Applictions of Integrtion-II ] 目錄 8.1 平面曲線之弧長.............................. 88 8. 旋轉面表面積............................... 89 8.3 力矩與質心................................ 90 8.4 Pppus 定理..............................
二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲
-1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式
Successful ways to cultivate high quality personnel for exhibition industry
不 定 积 分 显 然 微 分 ( 或 导 数 ) 逆 运 算 的 问 题 就 是 : 找 一 个 还 函 数 y = F (), F( ) f ( ) F( ) 的 导 数 已 知 函 数 一 不 定 积 分 的 概 念 不 定 积 分 的 定 义 : 函 数 f () 的 原 函 数 全 体 称 为 f () 的 不 定 积 分 记 作 f ( ) d F( ) C 积 分 常 数 F() 求
. 雙曲線 y + y = 0 兩頂點的距離為何? 6 (E) 6. 若 log ( ) = + log, 則 =? 或 (E) +. 若 f ( ) =, 且 f ( a) = f ( b) =, 則 f ( a + b) =? 6 8 (E) =. 求 log ( + + )? (E) π 6.
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 (E) 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9 (E). 求 + + 9 =? 8 (E). 若 + = + A B + C + D +, 則 A
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arctan lim ln +. 6 ( + ). arctan arctan + ln 6 lim lim lim y y ( ln ) lim 6 6 ( + ) y + y dy. d y yd + dy ln d + dy y ln d d dy, dy ln d, y + y y dy dy ln y+ + d d y y ln ( + ) + dy d dy ln d dy + d 7.
推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 四邊形四邊中點連線性質 : 例 ABCD E F G H AC 6 BD 8 EFGH AC BD 14 E A H B F C G D
40 3-1 推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 1 2 4 四邊形四邊中點連線性質 : 例 H 68 H 14 H 41 41 基礎題 1 ab a366b12 2 a 36 證明 10 分 10 分 P131 2 a366b12 2 1 a6b12 2 36 6b1266b126 6b186b6 36b3b1 b3b1
柯西積分公式
柯西積分公式 林延輯 台灣師範大學數學系 March 22, 2016 auchy-goursat 定理示例 Theorem (auchy-goursat) 設 R 是複數平面中的 region, 是一條簡單封閉路徑 simple closed contour, 並且 與 的內部 D 都落在 R 中 如果 f 是 R 中的解析函數, 則路徑積分 dz = 0. Example 設 為開圓盤 z
面積與二階行列式 陳清海 老師
面積與二階行列式 陳清海 老師 1 主題一 二階行列式 1. 二階行列式: 符號 即 d 稱為二階行列式,它所代表的數為 d d d.. 二階行列式具有下列性質: (1) 行列互換其值不變,如. d d () 兩行 ( 兩列 ) 對調,其值變號,如 ; d. d d d (3) 任一行 ( 列 ) 可以提出同一個數,如 k k k d d ; k. k kd d (4) 兩行 ( 兩列 ) 成比例,其值為
100 學年度四技新生基礎數學第一次測驗 已知 f (x) 為一實係數多項式, 且 f ( ) = 27, f ( ) = 8 若 f (x) (6x + x 15) 的餘式為 ax + b, 則 b a =? (A) 4 (B)8 (C)12 (D)16 (E) 20 3
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9. 求 + + 9 =? 8. 若 + = + A B + C + D +, 則 A + B + C + D
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單元名稱 : 9 三角函數的積分 教學目標 : 使學生了解三角函數的積分 三角函數積分的類型及一些積分技巧 學習時數 : 約一小時 教學內容 :. [ 第一類型 ] 六個三角函數本身的積分. [ 第二類型 ] sin n 及 os n 的積分 sin os m n. [ 第三類型 ] 的積分 4. [ 第四類型 ] n 及 ot n 的積分 5. [ 第五類型 ] n 及 s n 的積分 m 6.
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多變量微積分 (I 偏導數 (A 多變數函數 設 為所有實數所成的集合, 為所有二元有序實數組所成的集合, 即 {(,, } 若, 且對每一 (,, 在 中有唯一的 z 與之對應, 則函數 f: 稱為兩個變數的實值函數, 為函數 f 的定義域, 為函數 f 的對應域, 在 中有被對應的 z 所成的集 合, 稱為 f 之值域 中元素 (, 所對應的 z 值, 記作 f (,, 即, 稱為自變數, z
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Cateian Cylindial ˆ= xˆ o + yˆin ˆ = ˆ = xˆin+ yˆ o + = Cylindial to Cateian: ˆ ˆ x o in 0 y in o 0 = 0 0 Cateian to Cylindial: + = + xˆ yˆ o in 0 x = in o 0 y 0 0 Cylindial Spheial ˆ = ˆ + ˆ = ˆ = xˆ
經濟系微積分 (95 學年度 ) 單元 28: 對數函數的導函數 單元 28: 對數函數的導函數 ( 課本 x4.5) 一. 自然對數函數的導函數 因為 e x 與 ln x 互為反函數, 故對於 x > 0, 將兩邊對 x 微分, 得 d e ln x = x dx [eln x ] = d [x
![經濟系微積分 (95 學年度 ) 單元 28: 對數函數的導函數 單元 28: 對數函數的導函數 ( 課本 x4.5) 一. 自然對數函數的導函數 因為 e x 與 ln x 互為反函數, 故對於 x > 0, 將兩邊對 x 微分, 得 d e ln x = x dx [eln x ] = d [x](/thumbs/95/126244036.jpg "經濟系微積分 (95 學年度 ) 單元 28: 對數函數的導函數 單元 28: 對數函數的導函數 ( 課本 x4.5) 一. 自然對數函數的導函數 因為 e x 與 ln x 互為反函數, 故對於 x > 0, 將兩邊對 x 微分, 得 d e ln x = x dx [eln x ] = d [x")
單元 28: 對數函數的導函數 ( 課本 x4.5) 一. 自然對數函數的導函數 因為 e x 與 ln x 互為反函數, 故對於 x > 0, 將兩邊對 x 微分, 得 e ln x = x x [eln x ] = [x] () x 接著, 根據自然指數函數的導函數公式 由 () 式, 得 x [eu ] = e u u x 亦相當於 e ln x x [ln x] = x [ln x] = x
7.2 旋轉體體積 7.2 旋轉體體積 定義 平面上有一區域及一不與該區域內部相交的直線, 將該區域繞此直線旋轉而得一立體, 稱為旋轉體 (solid of revolution) 圓盤法 (Volumes by Slicing, Disk Method) 定理 令旋轉軸
臺灣大學開放式課程 微積分甲 - 朱樺教授 第 7 章 積分應用 (Applictions of Integrtion) 目錄 7.1 切片法求體積............................... 84 7.2 旋轉體體積................................ 85 7.3 平面曲線之弧長.............................. 86 7.4
8. e f ( e ) d = f ( t) dt, 则 ( ) b A) =, b = B) =, b = e C) =, b = D) =, b = e 9. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D). ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D). 若 f ( )
高等数学 试题 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟 一. 选择题. 当 时, y = ln( + ) 与下列那个函数不是等价的 ( ) A) y = B) y = sin C) y = cos D) y = e. 函数 f() 在点 极限存在是函数在该点连续的 ( ) A) 必要条件 B) 充分条件 C) 充要条件 D) 无关条件. 下列各组函数中, f () 和 () f
主題二十一 : 不定積分的其他技巧 O06 第十八週不定積分的其他技巧 PART : 分部積分法 分部積分法公式 : 設 u 與 v 均為變數 udv uv - vdu 解釋 : 依據乘法的微分公式 d( u v) vdu + udv d( u v) vdu + udv u v vdu + udv
第一週 主題一 : 數 主題二 : 函數 主題三 : 一元二次方程式 主題四 : 直線方程式 第二週第三週第四週第五週第六週第七週第八週第九週第十週第十一週第十二週第十三週第十四週第十五週第十六週第十七週第十八週 主題五 : 極限主題六 : 連續性主題七 : 漸近線主題八 : 導函數主題九 : 指數與對數主題十 : 指數與對數的微分主題十一 : 微分技巧延伸主題十二 : 三角函數 ( 一 ) 主題十三
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第 2 章神奇的質數 2.1.1 什麼是質數 1 1 1 打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 1 1 0 10 2 3 5 7 4 6 8 9 10 4 10000 1229 1000 168 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131
函數的微分
函數的極限與微分 f ( ) lim h 0 f ( + h) h f ( ) ( g ( f ( ) )) g ( f ( ) ) f ( ) 姓名 函數的微分 函數及其圖形. 函數之定義 : 有 A,B 兩個非空集合, 若對應 f 滿足 : A, 必在 B 中恰有一元素 y 與之對應, 即 f () y, 稱此對應為函數 稱 y 為應變數或 y 為 之函數值 ; f ( A) { f ( ) A}
章節
試 題 阿 財 每 年 年 初 存 入 銀 行 0000 元, 年 利 率 %, 每 年 計 息 一 次, () 若 依 單 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 多 少? () 若 依 複 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 約 為 多 少?( 近 似 值 :0 0 計 ) 編 碼 0044 難 易 中 出 處 高 雄 中 學 段 考 題 解 答 ()000 元
2-3 圓錐曲線的切線與法線
-3 隱函數的微分 ( 甲 ) 隱函數的微分 討論曲線的切線, 本是幾何中的一個重要題材 ; 但是, 許多曲線並不是函數圖形, 對於這 類曲線, 前面利用微分一個函數來求切線斜率的方法, 無法直接利用在這類的曲線上 而我 們知道基本上求曲線上一個點的切線, 只須要這個點附近的圖形即可, 因此可將曲線分成若 干部分, 使每一個部分都是函數圖形, 再微分通過這個切點的函數, 求出切線斜率, 進一步 求出切線的方程式
() 求值 : f ( ) 9 f () f () f () 8 Ma Min 例 4. 設 f ( ) 解 :() 求臨界點 :, 試求 ( ) f ( ) f ( ) f () 不存在 故臨界點有,, 8 () 求值 : f ( ) f () 絕對極小值 f (8) 4 絕對極大值 f 在閉區間
第三章導函數之應用 第. 節極值 個人或企業經常需面臨求極值的情況, 例如個人投資理財如何穫取最大利潤 ( 極大值 ), 企業如何降低成本 ( 極小值 )? 如何擴大營業額 ( 極大值 )? 其實這都是屬 於最佳化的問題 定義.. 絕對極值 設函數 f 定義於區間 I 上, c I () 若 f ( c) f ( ), I, 則稱 c 為 f 在 I 上之絕對極大點, 而稱 f() c 為 f( )
Chap 8: Inferences Based on a Single Sample: Tests of Hypothesis
第五講 連鎖律與隱函數微分法 Chain Rule & Implicit Dierentiation 5 - 目錄 5. :綱要 5. :合成函數 5. :連鎖律 5. :隱函數微分 5.4 :動動腦想一想 5 - 綱 要 本講將介紹連鎖律與隱函數微分法, 前者是有關合成函數之微分公式, 後者則有別於前面第四講之顯函數微分 5 - o g 合成函數 C o m p o s i t e F u n c
Paperless Printer, Job 4
三角函數 (Trigonomtric function 包含以下六個 : 正弦函數 :sin 餘弦函數 :cosin 符號 :sin 符號 :cos 正切函數 :tangnt 餘切函數 :cotangnt 符號 :tan 符號 :cot 正割函數 :scant 餘割函數 :coscant 符號 :sc 符號 :csc 銳角三角函數 : 一直角三角形, 鄰邊為 X, 對邊為, 斜邊為 Z, 斜邊和鄰邊夾角為
數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc
98 向量 4- 向量的意義 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 () 反向量
76 數 學 傳 播 9 卷 1 期 民 94 年 月 H G O 共 線 例. 以 直 角 三 角 形 的 每 邊 為 邊 向 外 作 正 方 形, 則 連 結 直 角 邊 上 正 方 形 中 心 的 線 段 和 連 結 斜 邊 上 的 正 方 形 中 心 與 直 角 頂 點 的 線 段 互 相
用 解 析 法 解 決 平 面 幾 何 問 題 優 勢 多 多 胡 紹 宗 平 面 解 析 幾 何 是 中 學 數 學 課 程 的 重 要 組 成 部 分, 它 是 以 坐 標 系 為 工 具, 用 代 數 方 法 研 究 平 面 幾 何 圖 形, 它 不 僅 是 聯 繫 中 學 數 學 各 部 分 知 識 的 紐 帶, 也 是 進 一 步 學 習 高 等 數 學 和 力 學 等 不 可 缺 少 的
本講內容 3. 單變數函數積分之回顧 3. 二重積分的定義與性質 3.3 Fubini 定理 3. 變元代換 3.5 各種不同場合之應用
d T : { u,v u,v Φ Ω Φ c o 第 3 講 d R 二重積分 k, k k k A k c a b 銘傳大學網路教學 製作人應用統計與資訊學系 o 本講內容 3. 單變數函數積分之回顧 3. 二重積分的定義與性質 3.3 Fubini 定理 3. 變元代換 3.5 各種不同場合之應用 3. 單變數函數積分之回顧 3 [ ] d A i f i n i i n i A A A A
範 例 1.1 試 解 出 下 列 微 分 方 程 dx = y. 不 嚴 謹 做 法 : 把 微 分 方 程 改 寫 為 y = dx. 兩 邊 同 時 積 分 y = 之 後 可 以 推 得 : ln y = X + C, 兩 邊 同 時 取 exp 之 後 可 以 得 到 y = Ce x.
微 分 方 程 法 蘭 克 老 師 1 微 分 方 程 1.1 可 分 離 微 分 方 程 假 設 M(x), N(y) 都 是 定 義 在 某 個 區 間 上 的 連 續 函 數 我 們 希 望 解 以 下 類 型 的 常 微 分 方 程 以 不 嚴 謹 的 方 法 我 們 可 以 把 (1.1) 改 寫 成 M(x) N(y) = 0. (1.1) dx N(y) = M(x)dx. (1.2)
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998 + + lim =.. ( + + ) ( + + + ) = lim ( ) = lim = lim =. lim + + = lim + = lim lim + =. ( ) ~ 3 ( + u) λ.u + = + + 8 + o = + 8 + o ( ) λ λ λ + u = + λu+ u + o u,,,! + + + o( ) lim 8 8 o( ) = lim + =
ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積 體積與行列式 主題一 空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與 的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下
外積體積與行列式 陳清海 老師 ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積 體積與行列式 主題一 空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與 的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下圖所示. a a a a a a a a a a a a,,. 外積
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198 FG7. 199 HG8 E 圖中,DE 為一正方形, = 及 為一邊長 1 cm 的等邊三角形, 而 為此 = 90 若 DE 的面積為 10 cm, 三角形內的任意一點 ( 如圖所示 ) 若 至三邊 求 的面積 及 的垂直距離的總和為 x cm, 求 x 的值 In the figure shown, DE is a square and is an equilateral triangle
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面
正餘弦定理 陳清海 老師 1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A 1 1 1 bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: 0 3 1 1 ABC 面積 AB AC sin A 10 8sin10 0 3. Show Axes
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高中數學學習講義 ( 配合龍騰選修數甲下 ) -1 微分 ( 第 1 頁 / 共 9 頁 ) 1 微分本節課程學習重點 : 了解導數導數的定義 能使用函數的和 差 積及 k 次方的微分公式微分公式 能求多項式函數的導函數導函數 能求過多項式函數圖形上一點或過圖形外一點的切線方程式切線方程式 能知道曲線上的切線並不是都與該曲線恰交於一點曲線上的切線並不是都與該曲線恰交於一點 了解導數在運動學運動學上的意義
目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式
給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd
<4D F736F F D20B2C43139B3E6A4B8A4CFA454A8A4A8E7BCC6>
第十九單元反三角函數 ( 甲 ) 反函數的概念 (1) 反函數的定義 : 函數 () g(y), 設,y 分別是 () g(y) 定義域內任意元素, 如果 g(())= 且 (g(y))=y 則稱 () 與 g(y) 互為反函數,() 的反函數記為 1 (), 即 g()= 1 () 此時 () g() 的定義域與值域互換, 即 () 的定義域為 1 () 的值域,() 的值域為 1 () 的定義域
第4章
第四章 不定积分 教学目的 : 理解原函数概念 不定积分的概念 掌握不定积分的基本公式 掌握不定积分的性质 掌握换元积分法 第一 第二 与分部积分法 会求有理函数 三角函数有理式和简单无理函数的积分 教学重点 : 不定积分的概念; 不定积分的性质及基本公式; 换元积分法与分部积分法 教学难点 : 换元积分法; 分部积分法; 三角函数有理式的积分 忻州师范学院高等数学课程建设组 不定积分的概念与性质
,310,022, ,382,044, % 1,270,602, ,316,653, % % % 19,720,
2006 2006 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 2.1 000520 39 39 027-85321845 85703197 027-85321845 85703197 027-85321845 027-85321845 csc-hy@tom.com csc-hy@tom.com 2.2 2006 2.2.1 3,310,022,385.31 1,382,044,309.28 139.50%
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
龍騰100-B5-習作-CH3.doc
8 第 章 不 等 式 不 等 式 - 絕 對 不 等 式. 已 知 正 數 a, b 滿 足 a+ b = 8, 求 ab 的 最 大 值 及 此 時 a, b 的 值. a+ b 解 : 由 算 幾 不 等 式 可 知 a ( b). 8 將 a+ b = 8代 入 上 式, 得 將 兩 邊 平 方, 整 理 得 ab. ab, 因 為 當 a = b時, 等 號 才 成 立, 且 a+ b =
第二节 换元积分法
第二节 换元积分法 一 第一类换元法 二 第二类换元法 三 小结 思考题 一 第一类换元法 问题 cos d ( )sin C, 解决方法利用复合函数, 设置中间变量. 过程令 cos d d d, sin cos d C sin C. 在一般情况下 : 设 F ( u) f ( u), 则 f ( u)d u F( u) C. 如果 u () ( 可微 ) d F[ ( )] f [ ( )] (
10.1 參數方程式 註 若一函數 y = f(x) 可將其參數化為 x = t, y = f(t) 則其反函數可參數化為 x = f(t), y = t 例 討論以下曲線 : (a) x = a cos t, y = a sin t, t [0, 2π] (b) x
![10.1 參數方程式 註 若一函數 y = f(x) 可將其參數化為 x = t, y = f(t) 則其反函數可參數化為 x = f(t), y = t 例 討論以下曲線 : (a) x = a cos t, y = a sin t, t [0, 2π] (b) x](/thumbs/93/111874830.jpg "10.1 參數方程式 註 若一函數 y = f(x) 可將其參數化為 x = t, y = f(t) 則其反函數可參數化為 x = f(t), y = t 例 討論以下曲線 : (a) x = a cos t, y = a sin t, t [0, 2π] (b) x")
第 10 章 參數方程與極座標 (Parametric Equations and Polar Coordinates) 目錄 10.1 參數方程式................................ 98 10.2 參數式之切線............................... 100 10.3 參數式之面積............................... 101
對數函數 陳清海 老師
對數函數 陳清海 老師 p ok 對數函數 一 對數函數. 定義:設 0,, 0,稱 為以 為底數的對數函數.. 圖形與基本性質 對數函數 yf log y log 在 與 0 時的圖形如下: 函數圖形通過點 且 y 軸為其漸近線.,0,整個圖形在 y 軸右方, p 範例 y log 在下列的方格紙中作出 y log 與 的圖形. 演練 已知 y log 的圖形與 y log 方格紙中作出 y log
極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分
微 分 2 極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分 切線的斜 率 牛頓 Newton 1642 1727 從物理觀點討論微分 瞬 時速度 微積分實際上是在研討極
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梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:83659 000 () d. 0. 000 d d t tdt si cos 0 0 0 + y + 3z (,, ). y + z. 6 F, y, z + y + 3z F F F y z (,,),,, y (,,),, 8, z (,,),, 6. y + z 6 3 y + 3y 0. C y C +. 梦飞翔考研工作室 QQ:83 p y p C 3.
章節
試題 設 f (x) ( x 3 x ) 9 (1) f (x) 的常數項為. () f (x) 的各項係數和為. 編碼 010614 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) 51;() 51 多項式 f (x) 滿足 8 f (x) 5x 6 f (x 3 ) f (x ) 18 0,則 f (x) 的常數項為. 編碼 010615 難易 易 出處 康熹自命題 解答 3 f (x) 的常數項為
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National Kaohsiung First University of Science and Technology 微積分 Chapter3 微分的應用 Infomechatronics and Power Electronics Lab. 國立高雄第一科技大學機械與自動化工程系 微分的應用 3.1 極大和極小值 3.2 均值定 3.3 導數和函數的圖形 3.4 函數圖形的描繪 3.5 最佳化問題
. 試解下列各不等式 () + x x >, 答 : () 5x 86x 6 <, 答 : () x 8x+ > x 6x, 答 : () 9x + 6 < x, 答 : 答 () < x < 5 () < x < () x 為任意實數解但 x () x 無解 5 解 () 同乘 ( ) 得 : x
- 一元二次不等式 基礎型. 試解下列各不等式 ()x+ > x, 答 : () x + x < x, 答 : () ( x+ )( x), 答 : 答 () x < () x > () x 解 ()x+ > x + > x x > x () 同乘 6 得 :( x) (x+ ) < 6(x ) 9x x < 8x 6 + 6< 8x 5x < x () 同乘 ( ) 得 : ( x+ )(x )
2.1 切線 但一般曲線上的切線不見得滿足以上條件, 現以直觀的方式來定義切線, 見下例 例 求 y = x 2 在點 (2, 4) 的斜率 (slope), 並求其切線方程式 定義 (1) f(a+h) f(a) h 稱為 f(x) 在 x = a 的 Newton 商
臺灣大學開放式課程 微積分甲 - 朱樺教授 第 2 章 微分 (Differentiation) 目錄 2.1 切線................................... 23 2.2 導函數.................................. 25 2.3 微分公式................................. 26 2.4 連鎖律..................................
一、乘法公式與多項式
一 乘法公式與多項式 多項式的乘法公式除了用來簡化多項式的乘法運算外, 還可運用於因式 分解 在本章中, 我們首先來複習已經學過的平方公式, 然後再延伸到立方公式 1-1 平方公式 二項式相乘公式 我們可利用分配律來展開 ( a+ )( c+ d) 的乘積而得到下列的公式 : ( a + )( c + d) ac + ad + c + d 公式 1 a c ac d ad c d 另一方面, 也可利用幾何圖形來解釋這個公式
1. (10%) 解微分方程 y = y(y 2 1),y 為非常數函數 1052 微乙 班期末考解答和評分標準 Solution: 題目要考慮 y 非常數函數, 即 y 不恆為零的解, 即 y 不總是為 0 或 ±1 因此透過移項可得 針對左式使用部分分式, 即考慮待定常數 A, B,
. (%) 解微分方程 y = y(y ),y 為非常數函數 5 微乙 -5 班期末考解答和評分標準 題目要考慮 y 非常數函數, 即 y 不恆為零的解, 即 y 不總是為 或 ± 因此透過移項可得 針對左式使用部分分式, 即考慮待定常數 A, B, C 滿足 dy y (y ) d = y (y ) = A y + 容易解得 A = B = C =, 因此題目的微分方程寫為 B y + + C y
农 村 环 境 保 护 系 列 _ 第 二 讲 ( 上 ) 第 二 章 自 然 资 源 的 可 持 续 利 用 与 保 护 农 村 环 境 保
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辽石化大委发[2007]33号
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中 共 辽 宁 石 油 化 工 大 学 委 员 会 组 织 部 文 件 辽 石 化 大 组 通 字 [2016]4 号 印 发 关 于 在 本 科 学 生 党 员 中 开 展 学 党 章 党 规 学 系 列 讲 话, 做 合 格 党 员 学 习 教 育 实 施 方 案 的 通 知 各 基 层 党 委 总 支 : 为 认 真 贯 彻 落 实 中 央 省 委 和 学 校 党 委 的 部 署 要 求, 现
目次 CONTENTS 1 數列與級數 幾何圖形 三角形的基本性質 平行與四邊形
給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列 本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1
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第 四 章 - 試 分 別 說 明 組 合 邏 輯 電 路 與 序 向 邏 輯 電 路 之 定 義 解 : 組 合 邏 輯 電 路 由 基 本 邏 輯 閘 所 組 成 的 此 種 邏 輯 電 路 之 輸 出 為 電 路 所 有 輸 入 的 組 合 因 此 輸 出 狀 態 可 完 全 由 目 前 之 輸 入 來 決 定 而 組 合 邏 輯 電 路 之 示 意 圖 如 圖 所 a 示 ; 而 序 向 邏
ok331 向量的幾何表示法
ok 平面向量的幾何表示法 ok 平面向量的幾何表示法 主題一 向量的幾何表示法. 將線段 AB 的 B 點處畫一箭號表示方向,像這種帶有箭頭 的線段,稱為從 A 點到 B 點的有向線段,記作 AB,其中 A 點稱為有向線段 AB 的始點, B 點稱為它的終點. AB 的 長度稱為有向線段 AB 的長度,以 AB 表示.. 我們用有向線段來代表向量,而且有向線段的方向 代表向量的方向;有向線段的長度代表向量的大小..
無投影片標題
6. 反微分 例 求 f ( x) x 的反微分 解 : 吾人要求得其微分為 f ( x) x 為 x, 故得 F( x) x, 因 但下列亦為真 : 故 d dx ( x ) 的函數 F, 吾人已確知 x x d dx ( x x d dx x x d ) ( 4 ) dx ( x ) x 吾人說 f ( x) x d dx ( x C) x C 為任意常數 的反導函數為 的導函數 F( x) x
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第七章 二次函數 壹 重點整理 1. 函數的意義 : 函數是一種對應關係, 可以一對一或多對一, 但不可一對多或一對無. 函數圖形的檢驗法 : 對 x 軸作垂線, 若與 x 軸僅交於一點, 即是函數圖形 3. 函數值的求法 : 函數 x f, 當 0 xa 時其函數值為 a 1 f 4. 二次函數 : 設 a, b, c 為常數且 a 0, 則 y f ( x) ax bx c 所表示的函數叫做二次函數,
函數的極大極小應用
極大值與極小值 第二章 導數的應用 1. 最大值 : 最小值 : 極大值 : 極小值 : 說明 :(1) 最大值又稱為絕對極大值, 最小值又稱為絕對極小值極大值也稱為相對極大值或局部極大值 () 最大值一定是極大值 ; 但極大值不一定是最大值 (3) 最大值與最小值最多只能各有一個 ; 但極大值與極小值可能有很多個 (4) 最大值一定比最小值大 ; 但極大值卻不一定比極小值大. 定理一 : 若函數
定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
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章節
試題 求 ( )7 展開式中 8 的係數 編碼 05 難易 易 出處 康熹自命題 解答 8 67 ( )7 7 7 7 ( ) 7 7 7 ( ) 7 7 7 3 ( ) 0 0 () 3 5 係數 7 5 ( ) 7 5 8 () 3 8 8 係數 7 ( )7 ( 3 ) 67 [a (b c) ] 6 展開式中 a 3 b c 係數? 0 編碼 055 難易 易 出處 康熹自命題 解答 300
Microsoft Word - 1-1泰宇解答
學校 : 學年度第學期第次段考科目名稱命題教師 : 年 班座號 : 姓名 : 得分 : 一 單選題 : ( ). 設 (x x6) (D) x Ax Bx Cx6, 則 A B C (A)6 (B) (C) 解答 :D ( ). 求 (x x x)( x x ) 的展開式中, x 項的係數為何? (A) (B) (C)6 解答 :A (D)7 9 統測 ( ). 下列何者為多項式? (A) x (B)
向量的意義 4 向量 向量的意義 : (1) 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段, 稱為向量 AB (2) 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ), 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同, 則稱此 (3) 向量的相等 : 若向量
98 4- 向量的意義 4 向量 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 零向量的長度為
untitled
CD 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 1 1 (William Harvey, 1578~1657) 1628 E CD (1405~1433) 1492 1588 (James Cook, 1728~1779) F 1 2 G CD H 312 DNA I CD J 1 3 1 4 1. 2. 3. 4. K CD 5. 6. 7. 1 5 1. L 2. 3. 4. DC
第一章
第 一 章 拉 普 拉 斯 轉 換 - 緒 言 在 求 解 數 學 問 題 時, 常 常 碰 到 需 使 用 複 雜 的 數 學 運 算, 而 使 得 求 學 過 程 變 成 相 當 困 難, 甚 至 無 法 求 解 針 對 此 一 問 題, 有 許 多 數 學 家 嘗 試 著 利 用 轉 換 (Trnform) 的 技 巧, 以 達 到 將 一 個 求 解 困 難 的 數 學 問 題 轉 換 成
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8 第 章 機 率 - 樣 本 空 間 與 事 件 列 出 擲 一 粒 骰 子 所 出 現 點 數 的 樣 本 空 間, 並 以 集 合 表 示 下 列 各 事 件 : A 是 出 現 點 數 為 偶 數 的 事 件, B 是 出 現 點 數 為 奇 數 的 事 件, C 是 出 現 點 數 大 於 的 事 件 骰 子 出 現 的 點 數 可 能 是,,, 4,5, 6, 因 此 出 現 點 數 的
_題目卷
東大附中國三數學科 :- 練習卷 年 班座號 : 姓名 : 一 單一選擇題. ( ) 如圖, 中, 分別為 上的點, 則下列哪個條件無法推得 //? () : = : () : = : () : = : () : = : 7. ( ) 如圖, 為直角三角形, 且 分別為 的中點, 已知 =, =4, 則 的面積為多少平方單位? () ( ) 8 () 4 () 48. ( ) 如圖, 中, =, =,
数学分析学习指导书》上册（吴良森、毛羽辉、韩士安、吴畏
(, ),, :, ( 5% ),,, (CIP).. :,4.8 ISBN 7-4 - 4363 -......... - -.O7 CIP (4)63573-6454588 4 8-8 - 598-88899 http:www.hep.edu.c http:www.hep.com.c 78796 6 4.5 46 8., ( ),,, :,, ; ; ; 58 ( ),,,, ( ),,, (A,
中正高工附設進修學校
數學 B 考前重點複習 重點 0 + m 設 A() B() 為數線上相異兩點, 若點 P() 在 AB 上且 AP : BP = m :, 則 = m+ 比例相加當分母, 交叉相乘再相加當分子! 重點 0 設 A() B() 為數線上相異兩點, 若點 M() 在 AB 上且 AP : BP = : 重點 03 +, 則 = 二 (-,+) 三 (-,-) 一 (+,+) 四 (+,-) 重點 04
正文封面.PDF
(1999 ) 1999 1 1 1999 12 31 1 38 2 38 3 38 4 38 5 38 6 38 7 38 8 38 9 38 10 38 11 38 12 38 13 38 14 38 15 38 16 38 1 2 17 38 3.6%2.16% 13.56%3.12% 10%6.25% 10%5.88% 10%3.70% 1.10% 12.50% 13.13% 12.13%
標題
5 反三角函數的基本概念 ( 甲 ) 反函數的概念 (1) 反函數的定義 : 函數 f() g(), 設, 分別是 f() g() 定義域內任意元素, 如果 g(f())= 且 f(g())= 則稱 f() 與 g() 互為反函數,f() 的反函數記為 f 1 (), 即 g()=f 1 () 此時 f() g() 的定義域與值域互換, 即 f() 的定義域為 f 1 () 的值域,f() 的值域為
1. Ans: 4 a a 10 a 4c 2 0 b 12 a b c 4 2 5c b 0 c 2 2. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P123~P124 第一單元 1/2 L L L 三線共點, 交於 (3,2) k=-2 不能圍成 的情況有 (2)L
. Ans: a 5 a 0 a c 0 b a b c 5c b 0 c. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P~P 第一單元 / L L L 三線共點, 交於 (,) k=- 不能圍成 的情況有 ()L //L k / () L //L k /. Ans: () () (A)(B)(C)(E) () 如右圖, 虛線為符合題意的直線 斜率最小為 m () m m 0 0 a c a c. Ans:
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(, ),, :, ( 5% ),,, (CIP) :,4 8 ISBN 7-4 - 4363 - - - O7 CIP (4)63573-6454588 4 8-8 - 598-88899 http: www hep edu c http: www hep com c 78796 6 4 5 46 8, ( ),,, :,, ; ; ; 58 ( ),,,, ( ),,, (A, B ),,,,
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除法原理的應用 建國中學 林信安老師 --3 除法原理的應用 餘式定理 我們以五次多項式 f (x)=x 5 除以 ( x- ) 所得的 餘式 為例來說明 引用綜合除法 : 商式為 x 4 +x 3 +4x +8x+16, 餘式為 5 =f () 故 f (x)=x 5 除以 ( x- ) 的 餘式 就是 f (x) 在 x= 所取的值 f (). (1) 餘式定理多項式 f(x) 除以 x a 的餘式等於
Microsoft PowerPoint - 104年說明會簡報-final-0923.ppt [相容模式]
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主 任 導 師 一 年 級 導 師 系 學 會 導 師 二 年 級 導 師 教 育 專 業 課 26 學 分 教 師 資 格 檢 定 考 試 ( 每 年 3 月 ) 中 等 學 校 教 師 證 書 學 習 護 照 ( 實 地 實 習 研 習 服 務 時 數 心 霊 美 學 與 藝 術 人 文 活 動 ) 修 畢 師 資 職 前 教 育 證 明 書 教 師 甄 試 專 門 課 程 ( 任 教 類