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1 复旦大学课程教学大纲 课程代码 MATH 编写时间 2016 年 03 月更新 课程名称 数学分析 B(I) 注 : 本课程现主要面对技术科学大类的一年级学生, 设有约 8 个平行班 ; 采取统一命题 统一考试 统一评分的方式 每位教师的讲授会有自身风格, 但都会符合教学团队统一确定的对微积分教学的内容要求 英文名称 Mathematical Analysis B(I) 学分数 5 周学时 6 任课教师 * 谢锡麟开课院系 ** 航空航天系 ( 原力学与工程科学系 ) 预修课程仅需普通高中相关数学基础 ; 无特别先有基础要求课程性质 : 本课程可谓所有基础科学 ( 包括数学 力学 物理 化学 生物等 ) 技术科学( 包括航空航天 环境 材料 信息等 ) 等专业最为基础和重要的数学基础课程, 提供微积分的基本内容 从知识体系的发展而言, 微积分融合线性代数 ( 这点特别反映在 数学分析 B(Ⅱ) ) 作为核心基础, 一方面将为后续复变函数 实分析与泛函分析 常微分方程与偏微分方程 概率统计 微分几何等系统的数学知识体系的发展提供实质性的基础 ; 另一方面, 微积分和线性代数亦是理论力学 连续介质力学 ( 包括流体力学 弹性力学 ) 振动力学 控制力学等力学知识体系的发展的坚实基础 总体而言, 本一年制的数学分析课程将结合面对的对象 ( 适用于非数学类的几乎所有的专业 ), 提供系统的微积分知识体系, 不仅注重微积分知识体系的核心基础特点, 而且注重知识体系的现代化发展, 力求学生具有坚实的基础并具有基于其上的自我学习的能力 在教学的广度与深度上, 我们力求课程所授的知识体系具有国内外一流化水平, 且切实注重学生的实际接受水平 本课程 数学分析 (I) 将主要提供一元微积分的内容, 包括常微分方程最为基础的若干思想及方法 教学目的 : 2005 年, 学校在百年校庆时提出 走以内涵发展的道路, 以及现今所致力于探索和推广的 通识教育 精英教育 的理念, 结合力学以及数学间相辅相成 紧密相连的关系, 而考虑本门课程的具体教学 以下反映一些基本的观点, 这将指导具体的教学 虽然数学分析是数学课程, 但我们学习的是 认识自然的系统的思想和方法 许多实践和成就表明, 数学对于我们认识自然是极其有效的 许多数学机制具有鲜明的力学和物理背景 事例 1: 二阶导数联系于法向 ( 向心 ) 加速度, 故转轨设计的原则应该是保证二阶导数连续 由于二阶导数无法直观观测, 所以数学本身起到了认识自然规律的作用 事例 2: 我们在多元微分学中将严格证明众所周知的阿基米德浮力定律 所以, 正如许多著名学者所认为的, 数学并不仅仅是严密的逻辑过程, 她最为本质的一面是提供认识世界 ( 自然世界与非自然世界 ) 的思想及方法! 对于一元微积分的教学, 我们就将结合力学 物理等事例剖析数学在认知世界上的作为 第 1 页共 11 页

2 我们学习数学是需要她指导我们各种实践的, 然而数学在实践过程中所 表现出来 的作为将非常 客观 地取决于我们对于数学的认识! 籍此, 本课程教学将极力屏弃 应试的习气, 需要学生对于基本理论 ( 思想和方法 ) 及其基本应用都应努力追求 正本清源, 对于各部分知识需要知道其理论的发展以及理论所能提供的应用范畴 微积分知识体系呈 辐射性 发展 微积分的核心思想 : 通过引入极限的思想, 动态逼近程度的一种刻画方式 ( 点列极限以及函数极限 ), 就可按数学逻辑推演出整个微积分体系 ( 包括微分学 积分学以及级数 ) 我们学习微积分, 需要牢牢把握极限这一唯一的核心概念 ; 在此观点下, 导数是一种特定的极限, 积分 级数也是特定的极限, 由此这些知识的学习体现 温故而知新 的效果, 而非总是在不断地学习 全新 的内容, 这将非常有益于我们对具体知识以及整个知识体系的掌握, 有助于追求对知识体系的 融会贯通 课程基本内容简介 : 数学分析 B(I) 将主要提供一元微积分的内容, 包括一元微分学和一元积分学 一元微积分, 又可称为一维 Euclid 空间上的微积分, 主要对象为自变量空间和值域空间都为一维 Euclid 空间的函数 ( 映照 ) 另将包括常微分方程最为基础的若干知识 具体内容请见教学内容安排部分 基本要求 : 讲述上将努力做到 格物致知 正本清源, 叙述清楚理论的发展 :(1)( 抽象 ) 概念的引入 ( 数学问题归结的缘由 );(2) 核心引理或定理的严格证明 ( 数学逻辑过程 );(3) 理论的应用 在理解清楚理论的基础上努力考虑习题 大学程度的高等数学, 某种程度上而言是 一种思想的演绎 我们可以基于不同的途径开展理论, 或者经不同途径获得相同的结果 对于微积分的掌握一定程度上反映在充分理解的基础上形成自己的风格 使用知识时个人所反映出的不同风格 课程叙述中将尽量反映自己对知识本质的体会, 引导学生充分理解和掌握 基于现所用教程 : 复旦大学陈纪修等 数学分析 ( 第二版 )( 上册 ) 主要参考 : 1. 谢锡麟编著 微积分讲稿 一元微积分 : 综合参考 2. 北京大学张筑生 数学分析新讲 ( 第 1 2 册 ): 基本概念及习题参考 3. 菲赫金哥尔茨 微积分教程 : 主要参考其理论的应用事例 4. 卓里奇 数学分析 ( 上册 ): 综合参考 5. 阿黑波夫等 数学分析讲义 : 程度参考本课程的叙述讲尽量汲取上述优秀教程各自的特点和长处 ; 教学的广度和深度上希望能同上述教程相当 第 2 页共 11 页

3 教学方式 : 我们建设有课程体系网站 微积分的一流化进程, 主要服务于 数学分析 经典力学数学名著选讲 流形上的微积分 应用实变函数与泛函分析基础 等相关课程 网站主要栏目有任课老师 课程介绍 教学视频 课程教案 试卷习题 教学研究 科学研究 课程评估 友情链接 联系我们等 现课程体系网站上已经有完全可以用以自主学习的课程视频 ( 按知识点与知识要素进行剪辑 ) 数学分析 B(Ⅰ) : 一元微分学 ; 一元积分学 ; 常微分方程基础 数学分析 B(Ⅱ) : 高维微分学 ; 高维积分学 ; 级数知识体系课程视频目录微积分引论 ; 数列极限的定义与分析性质 ; 数学极限的运算性质与计算方法 ; 数列的分析结论 ; 数列极限的分析事例 ; 函数极限的定义 ; 函数极限的分析性质 ; 函数极限的运算性质 ; 函数极限的运算性质 ; 复合函数极限定理 ; 函一元微分学数的连续性 ; 函数极限的意义与 Laudau 的符号 ; 基本初等函数的低阶近似 ; 函数导数的定义 ; 函数导数的计算 Ⅰ; 函数导数的计算 Ⅱ; 函数的高阶导数 ; 平面曲线的相关研究 ; 闭区间上的连续函数 ; 函数局部行为的研究 ; 函数全局行为的研究 Ⅰ; 函数全局行为的研究 Ⅱ Riemann 积分 - 实际背景 ;Riemann 积分 - 应用理论 ;Riemann 积分 - 分析理论 Ⅰ- 可积性 ;Riemann 积分 - 分析理论 Ⅱ- 不定积分 ;Riemann 积分 - 计一元积分学算理论 Ⅰ- 不定积分 ;Riemann 积分 - 计算理论 Ⅱ- 定积分 ; 广义积分 Ⅰ- 敛散性 ; 广义积分 Ⅱ- 敛散性一阶常微分方程 - 基本方法 ; 一阶常微分方程 - 应用事例常微分方程基础 结合现有课程体系网站上的系统视频, 学生可以课前先进行自学 ; 课堂讲授无需再重复所有的 细枝末节, 而是强化思想性 强化通识性 澄清复杂性 强化方法性, 并且课堂形式可以增加师生间的互动, 提高课堂的翻转性 习题课隔周周日晚进行 ( 每次三节课 ) 教材和教学参考资料 : 作者教材名称出版社出版年月 陈纪修等 数学分析 ( 上册 ) 高等教育出版社 2009 谢锡麟 微积分讲稿 一元微积分 复旦大学出版社 2015 张筑生 数学分析新讲 ( 第 1,2 册 ) 北京大学出版社 1999 菲赫金哥尔茨等 微分分教程 ( 第 8 版 ) 俄罗斯数学教材选译 高等教育出版社 2006 第 3 页共 11 页

4 卓里奇 阿黑波夫等 数学分析 ( 上 )( 第 4 版 ) 俄罗斯数学教材选译 数学分析讲义 ( 第 3 版 ) 俄罗斯数学教材选译 高等教育出版社 2006 高等教育出版社 2006 教师教学 科研情况简介和主要社会兼职 : 学术上, 注重以知识体系研究为基础, 藉此驱动教学与科研工作 相对地, 教学与科研的提升不断地要求更为深入的知识体系, 同时也积累且深化了基于知识体系认知世界的经验 教学方面注重以知识点及知识要素构建知识体系 ; 注重通过数学通识实现同一知识体系的融会贯通以及不同知识体系之间的触类旁通 ; 注重以知识体系认知世界的过程, 基于已有的知识发展新知识的过程进行课程讲述 目前建设有 微积分的一流化进程 以及 现代连续介质力学理论及实践 二条教学路径 : 微积分的一流化进程 现代连续介质力学理论及实践 藉此进行微积分 张量分析 连续介质有限变形理论知识体系的传播, 课程的广度及深度可类比国内外具有一流水平的教程或专著, 且教与学效果优良, 受到本校师生的赞誉并开始致力于推广到其它院校 就教学研究与实践工作, 申请人作为负责人获得市教委重点课程建设项目 2 项, 重点教改项目 2 项 ; 独立获得校级教学成果奖二等奖 1 项, 作为主要贡献者及负责人获得 2013 年度高等教育上海市级教学成果一等奖 追求具有一流水平的微积分与连续介质力学基础知识体系的教研与实践 现已独立出版著述 现代张量分析及其在连续介质力学中的应用 (2014 年 ), 微积分讲稿 一元微积分 (2015 年 ) 已发表侧重知识体系及其传播的学术论文近 10 篇, 均为系统性论述 科研方面注重基于知识体系研究以发展可适合一类问题的新思想及方法 ; 注重理论联系实际 提出按几何形态区分体积及曲面形态连续介质, 并分别提出 当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论 几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 基于相关理论发展了含有可变形边界流动的涡量 - 速度势解法, 提出固定曲面上二维流动的涡量动力学理论, 并已实现了数值计算 就上述科学研究工作, 申请人作为负责人获得 3 项国家自然科学基金面上项目的资助 目前, 通过各种学术交流 推荐相关研究思想与方法, 获得业内多位专家的赞誉, 逐步开始形成特色与影响 代表性教学研究与实践成果 1. 知识体系自身的研究 Ⅰ 微积分现已建立的微积分知识体系, 主要包括 Euclid 空间上微分学与积分学 一般赋范线性空间上微分学 微分流形上微分学与积分学, 使其广度与深度可类比国内外具有一流水平的微积分教程 提出按知识点与知识要素为基本元素构建知识体系 ; 注重建立与发掘知识体系的内在相似性, 追求按共同的思想与方法获得相关结论 理念上将数学认识为认知世界的系统思想与方法而非仅是逻辑推理, 注重提取所研究事物的数学机制 / 结构, 并以此认识世界的相似性 就整个微积分知识体系都反映研究者自身的认识与体会 2. 知识体系自身的研究 Ⅱ 现代张量分析建立由高维微积分驱动体积与曲面上张量场场论, 并注重体现两种形式的场论的共性与个性 ; 提出按极限观点获得张量场沿体积与曲面上坐 第 4 页共 11 页

5 标线的变化率, 以此建立张量场微分学 ; 独立提出内蕴形式的第二类广义 Stokes 公式, 结合已有的第一类广义 Stokes 公式, 提供了曲面积分与其边界曲线积分之间的所有转化形式 通过归纳置换算子的基本性质, 澄清反称化算子 外积运算的基本性质, 以此服务于仿射量的代数性质研究 3. 知识体系自身的研究 Ⅲ 连续介质的有限变形理论提出按几何形态区分体积与曲面形态连续介质, 分别对应于 Euclid 与 Riemann 流形 就经典的体积形态连续介质提出当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论 ; 提出并已实现曲线坐标系显含时间的二维 三维不可压缩流动的涡量 - 流函数 速度势解法 ( 基于鄂维南院士相关理论 ), 获得可变形边界上涡量动力学相关理论结果 ( 基于吴介之教授相关理论 ) 独创性提出曲面形态连续介质的有限变形理论 ; 提出固定曲面上二维不可压缩 可压缩流动的涡量动力学, 并已实现数值计算可符合相关实验结果 4. 知识体系传播的研究 数学与力学两个课程体系网站课程体系网站 微积分一流化进程, 涉及一元微积分 高维微积分 一般赋范线性空间上微积分 流形上微积分等知识体系 ; 课程体系网站 现代连续介质力学理论及实践, 涉及张量代数 体积与曲面上张量场场论 体积与曲面形态连续介质的有限变形理论 两个课程体系网站都包括任课老师 课程介绍 教学视频 课程教案 试卷习题 教学研究 科学研究 课程评估 友情链接 联系我们等主要栏目 ; 目前课程体系网站已含有较为系统的教学视频 ( 按知识体系归类 ) 与课程讲稿, 已较为理想地服务于相关教学 5. 代表性著述 : 谢锡麟著 现代张量分析及其在连续介质力学中的应用. 复旦大学出版社, 本著述所涉及的体积与曲面上张量场场论以及张量代数, 从广度与深度上可覆盖西方学术界广为流行的 Aris 的同类著作 ; 亦可类比于国内郭仲衡院士 黄克智院士就张量分析方面的著述, 在汲取两者之长的基础上有自己的发展, 知识体系构建上表现为既注重数学上的严格性 清晰性与现代性, 又注重相关方法的实际应用 另一方面, 相关知识体系的构建紧密联系于高维微积分, 故已成功面对本科生传授较高层面的知识体系 6. 代表性教研项目获得 2011 年度市教委重点课程项目 数学分析 ( 一年制, 面对力学等技术科学专业 ), 负责人谢锡麟 通过此项目, 基本完成微积分教学一流化水平的知识体系及其传播的研究, 发表有会议论文 获得 2011 年度市教委高校本科重点教学改革项目 现代连续介质力学理论及实践 课程体系, 负责人谢锡麟, 合作者麻伟巍 ( 东华大学 ), 华诚 ( 复旦大学 ) 通过此项目, 基于完成 张量分析与微分几何基础 连续介质力学基础 所涉及的知识体系的研究, 发表有系统性论述的杂志论文 获得 2014 年度市教委高校本科重点教学改革项目 力学 - 数学 - 物理学相关知识体系之间互为借鉴与融合的教学研究与实践, 负责人谢锡麟, 合作者姚一隽 ( 数学 ), 徐建军 ( 物理 ), 华诚 ( 力学 ) 本项目已通过结题 获得 2015 年度市教委重点课程项目 现代张量分析及其在连续介质力学中的应用. 负责人谢锡麟, 合作者华诚 ( 力学 ). 执行期 年. 7. 代表性课程荣誉 2015 年度复旦大学精品课程立项 现代张量分析及其在连续介质力学中的应用 ( 含 张量分析与微分几何基础 连续介质力学基础 二门递进性课程 ). 负责人谢锡麟, 合作者华诚 祖迎庆. 执行期 年. 8. 代表性教学获奖获得 2013 年高等教育上海市级教学成果一等奖 追求具有一流水平的微积 第 5 页共 11 页

6 分与连续介质力学基础知识体系的教研与实践, 获奖人谢锡麟 麻伟巍 华诚 陈纪修 基本建设完成二个课程体系网站 微积分的一流化进程 现代连续介质力学理论及实践 获得 2011 年复旦大学教学成果二等奖 基于现代张量分析的连续介质力学理论及其在流体力学中的实践, 获奖人谢锡麟 学术任职复旦大学教学指导委员会委员 (2012 年起 ); 复旦大学教师教学发展委员会委员 (2015 年起 ); 中国力学学会第八届科学普及工作委员会委员 (2011 年起 ); 上海市力学学会第十一届理事会理事, 并为教育工作委员会 流体力学专业委员会副主任 (2012 年起 ); 复旦大学复旦学院任重书院导师委员会主任 ( 年 ); 复旦大学复旦学院腾飞书院导师 (2014 年起 ) 教学内容安排 : 我们将微积分 知识体系 分成若干个 知识点, 而每个知识点由若干 知识要素 组成 以下按知识体系的发展安排教学进度 可能会由于假期或者教与学的实际情况对进度稍作调整 第一部分一维 Euclid 空间上的微分学 1. 微积分研究的主要对象 基本研究思想及方法 :1 函数 ( 映照 ) 的基本概念, 她将成为微积分研究的主要对象 2 微积分知识体系的层次, 本一年制课程将主要包括一维 Euclid 空间上的微积分, 有限维 Euclid 空间上的微积分以及级数 3 主要建议学习方法 :(a) 坚持 正本清源, 要求澄清各个知识点的来龙去脉以及整个知识体系间的融会贯通 (b) 坚持 稳固而知新, 基于微积分知识体系辐射型发展的特点, 努力以已有的知识发展新的知识 (c) 坚持 将学问升华为能力, 微积分知识体系可谓我们认识自然及非自然世界系统的思想及方法之核心, 在对知识体系融会贯通的基础上追求触类旁通 这将有二方面的作用, 其一具有自我学习 ( 吸取 ) 更深入知识体系的能力, 反映为具有好的学问 ; 其二将知识体系融合精神, 使其真正成为我们认识自然及非自然世界的能力 2. 数列极限概念 : 概念引入或提取可基于阿基米德曲边梯形之面积计算过程 1 引入一维 Euclid 空间作为线性空间 ( 线性结构 ) 赋范线性空间( 范数 ) 以及由范数所诱导的距离的概念 ; 籍借距离引入球形邻域 ( 现即为开区间 ) 概念 2 基于距离及球形邻域, 引入点列 ( 数列 ) 极限的定义 3 点列极限的分析及运算性质 注 : 将一维 Euclid 空间作为一般有限维 Euclid 空间的特列进行说明, 可使得学生一开始就有个 总体性框架 : 我们将最终建立有限维 Euclid 空间上的微积分 ; 先从一维情形开始, 然后推广至有限维情形, 且此推广过程几乎就是一维情形的思想及方法的再次实践 ; 知识体系呈辐射形式发展 第 1 周 ( 叙述上述内容, 下同 ) 3. 确界 :1 上 下确界基本概念 ; 分别作为最小的上界和最大的下界 2 确界存在性定理 3 基于确界存在性定理系统获得 : 单调有界必收敛 闭区间套定理 Bolzeno-Weierstrass 定理 点列收敛的 Cauchy 原理 4 点列收敛的 Cauchy 原理的一则应用, 一维 Euclid 空间上的 Banach 压缩映照定理 ( 不动点原理 ) 及其应用 相关事例体现 高等数学 的意味 注 : 限于实际的学时, 教学具体对象及目标等, 暂不考虑实数构造理论的细节, 故承认确界存在性定理, 且籍此开展所有的分析 第 6 页共 11 页

7 4. 函数极限 :1 函数 ( 映照 ) 的概念 2 将函数极限理解为函数的某种局部行为, 给出 Cauchy 叙述及 Heine 叙述 ; 通过邻域 ( 距离 ) 加以表述, 涉及广义邻域的定义, 籍此给出数列极限统一叙述 ( 包括当自变量趋于有限值, 正 负无穷及无穷情形, 因变量趋于有限值, 正 负无穷及无穷情形 ); 需要掌握相关局部行为的图示表达 3 函数极限的 Cauchy 叙述 Heine 叙述及其等价性 ; 函数极限的 Cauchy 收敛原理 4 函数的连续性作为函数极限特殊情形处理 5 复合函数极限定理 ; 叙述统一形式并加以证明 第 2 周 5. 若干重要的函数极限 :1 主要通过不等式估计获得若干重要的函数极限 2 无限小分析的 Landau 方法 ( 带小 o 的分析 ) Landau 的无限小分析方法可谓是经典哲学观点 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾 的具体体现 注 : 现尚未引入基于无限小增量公式的系统方法, 但基本的分析思想及方法可见一斑 6. 函数导数 :1 函数的可微性定义 可微性为函数的局部行为, 其实质为基于线性映照来 逼近 因自变量变化而引起的因变量的变化, 误差为因变量变化的一阶无穷小量 由此, 首先需要澄清二个一维 Euclid 空间之间线性映照的定义及其表示形式 2 函数可微性的具体表示 :(a) 通过 Landau 符号 ; 对其几何意义的说明, 可自然引入切线的概念 (b) 通过极限 ; 由此常称导数为因变量相对于自变量的变化率 3 基于 Landau 的无限小分析获得导数的基本运算性质 ( 四则运算 ) 4 基于 Landau 的无限小分析获得基本初等函数的导数 5 基于复合函数的极限定理获得复合函数的可微性定理 基本初等函数的导数以及复合函数的可微性定理为计算复杂函数的导数提供了基本方法 6 高阶导数 : 定义为第一阶导函数的导数 第 3 周 7. 有限闭区间上连续函数的基本性质 : 相关结论隶属闭区间上连续函数的全局行为 ; 需指出, 就整个微积分知识体系而言, 所发展的相关思想及方法多数仅适合函数局部行为的研究 ( 如导数 ), 而对全局行为的研究缺乏系统的思想及方法 本部分知识体系的发展,(Ⅰ) 非导数相关结论 ( 仅有闭区间上连续 ): 闭区间套定理 ( 核心基础, 基于单调有界必收敛 ) (a) 有界性定理 ( 闭区间上连续函数必有界 ) 确界可达性定理 ( 最值定理, 函数在某些点取值即为确界值 );(b) 介质定理 ( 朴素及一般形式 ) (Ⅱ) 导数相关结论 ( 闭区间上连续, 且内部可导 ):Fermat 引理 ( 核心基础, 如函数在其极值点可导, 则导数为零 ) Rolle 定理 Lagrange 中值定理 & Cauchy 中值定理 第 4 周 8. 无限小增量公式基本理论及应用 : 无限小增量公式为研究函数局部行为的主要方法 1 无限小增量公式可源于 Cauchy 中值定理, 且具有朴素及一般形式 2 基于无限小增量公式研究函数局部行为的基本方法 其知识要素包括 :(a) 若干基本初等函数的无限小增量公式, 可通过公式直接获得 ;(b) 复合函数极限定理 ;(c) 逐项可求 以及 逐项求积 二个技术性引理 ;(d)landau 符号的运算 ( 反映抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾 ) 3 无限小增量公式的应用 主要包括以下方面 :(Ⅰ) 获得复杂函数的多项式逼近, 籍此亦成为处理复杂函数极限的重要方法 (Ⅱ) 力学或物理学等学科中往往采用 微元分析法 获得对所研究事务的控制方程 ( 现为常微分方程, 亦即可含有函数本身及其导函数的等式 ), 其分析过程可分为三步骤 : (a) 基于力学或物理学规律对 微元 建立模型 ; 所建立的模型往往含有 小量 ( 常包含 第 7 页共 11 页

8 在函数的自变量中 ) (b) 对模型中的 小量 按无限小增量公式展开, 然后在等式两边取令 小量 趋于零的极限以获得常微分方程 (c) 对所获得的常微分方程的分析 具体应用可选取 牧童绕树牵牛 机理 ; 悬链线方程推导等 第 5 周 9. 有限增量公式基本理论及应用 : 有限增量公式为研究函数全局行为的主要方法 1 有限增量公式可源于 Cauchy 中值定理, 且具有朴素及一般形式, 此时余项为 Lagrange 型 2 有限增量公式的一般形式 :(a)schlomilch-routh 型, 其特殊情况包括 Lagrange 型以及 Cauchy 型余项 ;(b) 积分型余项 3 基于有限增量公式研究函数的全局行为 主要包括以下方面 : (Ⅰ) 误差估计 主要基于对各种形式余项的估计 (Ⅱ) 函数或其某阶导函数在区间上的界的估计 其知识要素包括 :(a) 选取特殊点对建立有限增量公式, 以此获得函数或其某阶导函数的估计形式 ;(b) 一般可基于最值问题的处理方法获得上述估计形式的界 4 相关应用事例 注重同实际问题的结合 第 6 周 10. 基于导数定性研究函数的全局行为 : 主要包括以下方面 :(Ⅰ) 体现为函数定性作图 其知识要点包括 :(a) 斜渐近线 基于最值问题获得点到直线的距离公式 ; 基于上述距离公式的极限引入渐近线 ; 基于上述极限获得渐近线的确定方法 (b) 单调性同一阶导数 ( 符号 ) 间的关系 (c) 凹凸性同二阶导数 ( 符号 ) 间的关系 此处, 需给出单调性以及凹凸性的定义 (Ⅱ) 基于单调性及凹凸性获得一些重要的不等式, 包括 :(a) 凹凸性的 Jensen 不定式刻画 (b) 基于对数函数的凹凸性获得 Young 不等式, 籍此获得 Holder 不定式 Minkowskii 不等式 (c) 调和平均 几何平均和算术平均间的关系 第 7 周 11. 逆映照定理 ( 反函数定理 ):1 一维 Euclid 空间中微分同胚的概念 ; 逆映照定理实质为局部微分同胚存在性定理 2 基于一维 Euclid 空间中有界闭集上的压缩映照定理系统证明一维 Euclid 空间中的逆映照定理 先前已叙述整个一维 Euclid 空间上的压缩映照定理, 现再叙述有界闭集上压缩映照定理, 可以温故而知新 3 含参数映照的导数计算及应用 :(Ⅰ) 含参数映照导数计算的理论依据为 : 先由逆映照定理建立相应的对应关系 ( 函数形式 ), 再按复合函数求导法则 ( 复合映照可微性定理 ) 进行 (Ⅱ) 相关应用 : 一般平面运动方程的推导, 包括基于局部基 ( 沿切向及法向的单位正交基 ) 以及极坐标基二种形式 涉及一般形式曲率及曲率半径的概念及计算公式 ; 曲率亦为曲线的一种局部性质 需澄清曲率的 符号 同轨迹 ( 曲线, 以参数形式刻划 ) 局部凹凸性及运动方向间的关系 第 8 周第二部分一维 Euclid 空间上的积分学 1. 闭区间上 Riemann 积分的基本概念 :1Riemann 积分的实际来源 归纳出, 相关问题之数学模型建立的分割 选取 求和 求极限的分析过程 2Riemann 积分理解为部分和的极限定义 对此极限可按 Cauchy 叙述 Heine 叙述以及 Cauchy 收敛原理理解, 且三者等价 ( 此过程也为温故而知新 ) 第 9 周 ( 含 一维 Euclid 空间上的微分学 的书面考试 ) 2. 闭区间上 Riemann 积分的分析性质 :1Darboux 大和及小和的基本分析性质, 主要形式为 和 第 8 页共 11 页

9 谐式估计 2Riemann 积分的充分必要性条件 ( 判别法 ):(a) 基于 Darboux 和的表示 (b) 基于振幅和的表示 此处需引入振幅的概念及基本性质 ( 作为确界分析的一个事例 ) 3Riemann 积分的 Riemann 判别法 ( 充分必要性条件 ); 通过振幅和分析 4Riemann 可积函数类, 包括 : 单调函数 连续函数 连续函数复合可积函数 ( 基于 Riemann 判别法 ) 5Riemann 积分的基本分析性质, 主要包括 (Ⅰ) 分析性质, 包括 :(a) 在有限离散点上改变可积函数的取值, 则此函数仍然 Riemann 可积, 且积分值同原函数积分值一致 (b) 将任意闭区间分成若干互不相交的闭子区间, 则函数在整个区间上可积性等价于各闭子区间上的可积性, 且整个区间上的积分值等于各闭子区间上积分值的和 (c) 单调性等 (Ⅱ) 运算性质 : 四则运算性质 可基于振幅和分析获得可积性 ; 或直接基于部分和分析获得可积性及积分等式 第 10 周 3. 定积分的计算方法 : 定积分即为闭区间上的 Riemann 积分 ; 其计算方法, 按结论的获取方式可分成以下二类 :(Ⅰ) 直接基于部分和的极限定义, 表现形式有积分换元法 此时, 被积函数仅要求在闭区间上可积 (Ⅱ) 基于 Newton-Leibniz 公式, 表现形式有积分换元法, 分部积分法 (a)newton-leibniz 公式要求被积函数在闭区间 ( 积分域 ) 上连续, 由此一定存在原函数 ; 按原函数的构造形式 ( 基于变动积分上限 ) 即可获得定理的结论 (b) 基于 Newton -Leibniz 公式的积分换元法, 要求被积函数在闭区间上连续 第 11 周 4. 不定积分 : 原函数的获取往往可基于不定积分 ( 导数的逆运算 ) 求不定积分具有较为系统的方法,(Ⅰ) 按求解方式, 包括 : 第一类积分换元法, 第二类积分换元法 ( 真正意义的换元法 ), 分部积分法 (Ⅱ) 按求解策略, 可分为 :(a) 基于被积函数的特定结构 ( 可掌握若干事例 ; 一般而言, 特定技巧性较强而系统性较弱 ) (b) 有理化过程 按不定积分获得的 原函数, 可能需要再做些 修正, 而成为符合严格定义的原函数 ; 然后可基于 Newton-Leibniz 公式计算定积分 第 12 周 5. 定积分的应用理论 : 定积分的应用表现为分割 选取 求和以及求极限的数学建模过程 1 基于定积分的分析理论, 定积分的应用可以分为二类 :(Ⅰ) 数学分析所得结论可直接确认为真理 ; 此时经分割的各微元的真实几何量值之和可以由相应的 Darboux 小和和大和控制 主要包括 : 平面曲边梯形面积计算 ; 平面曲边扇形面积计算 ; 旋成体体积计算等 (Ⅱ) 数学分析所得结论需要实践检验才能确定为真理 ; 此时经分割的各微元的真实几何量值之和不能由相应的 Darboux 小和和大和控制 主要包括 : 有限维 Euclid 空间中曲线弧长 ( 折线逼近 ), 此处曲线可为以参数形式给出的一般空间光滑曲线 ; 旋成体侧面积计算 ( 利用圆台侧面积计算 ), 此处旋成体的母线可为以参数形式给出的一般平面光滑曲线 2 基于定积分的建模思想及方法, 对力学及物理学等学科方面的对象进行建模 基本的思想为获取微元上的 近似 的量, 然后对部分和取极限, 即得定积分 ; 建模的正确性往往需要经实践检验 第 13 周 6. 广义积分 :1 广义积分可分为二类 :(Ⅰ) 积分限为无穷的定积分 ;(Ⅱ) 被积函数在积分域上的某些点发生奇性的定积分, 常称为瑕积分 对于上述二类广义积分均通过引入变动积分限 第 9 页共 11 页

10 的函数, 并研究其相应的极限以定义广义积分的敛散性 2 函数极限的 Cauchy 收敛原理成为研究广义积分敛散性的基本方法 最为基本的形式可为被积函数的绝对值由某正值函数控制, 故当正值函数收敛时广义积分必收敛 进一步, 广义积分收敛性可分为绝对收敛和条件收敛 3 通过 Abel 和式推导一般形式的定积分中值定理 ; 将此联系与广义积分的 Cauchy 收敛原理, 可以获得广义积分敛散性的一般判别方法 ; 相关方法适用于收敛性的直接研究而非通过控制函数 注 : 作为一种特定技术,Abel 和式及其估计在后续的级数理论中仍将起到重要的作用 ; 由此, 我们将 Abel 和式及其估计作为 数学通识 中的一例 第 14 周第三部分常微分方程基础 1. 实变量复值映照 ( 函数 ):1 引入复数赋范线性空间, 亦即一维复空间 ; 涉及线性结构, 范数及其诱导的距离 两复数间的乘法运算成为复空间的特有性质 2 复指数函数的极限定义及其表示的 Cauchy 公式 Cauchy 公式可为微积分拓展至复空间的重要基础 3 实变量复值映照的极限, 可微性,Riemann 可积性等定义及结论 ; 即自变量空间为一维 Euclid 空间, 应变量空间为一维复空间的映照的微积分 可完全参照一维 Euclid 空间中的微积分展开 ; 此过程也作为温故而知新的实践 第 15 周 ( 含 一维 Euclid 空间上的积分学 的书面考试 ) 2. 实变量复值映照的常微分方程 :1 一阶变系数线性非齐次常微分方程的求解, 利用常数变易法的思想 2 二阶常系数线性齐次微分方程的求解, 利用算子分裂的思想 3 若干事例 可取由 Kepler 行星运动定律推导 Newton 万有引力定律 ; 由 Newton 万有引入定律推导 Kepler 行星运动定律 ; 此过程所需的平面运动方程在极坐标基的形式先前已有推导 注 : 第一学期的一元微积分以及此处的常微分方程基础将为大学物理 ( 普通物理 ) 的学习提供必要而充足的数学基础 第 16 周注 : 一般在考试周 ( 第 周 ) 安排二次集中性课程辅导, 主要内容为再次澄清知识体系, 亦即各知识要点及其所包括的知识要素 作业和考核方式 : 平时成绩, 占 30%, 包括 : 阶段性考试 Ⅰ( 一维 Euclid 空间上的微分学, 书面笔试, 约在期中进行 ); 阶段性考试 Ⅱ( 一维 Euclid 空间上的积分学, 书面笔试, 约在期末进行 ); 平时作业 课程考试, 占 70%, 一维 Euclid 空间上的微积分以及常微分方程基础 ( 本学期涉及的所有内容 ); 主要考察对相关思想及方法的掌握程度 * 如该门课为多位教师共同开设, 请在教学内容安排中注明 第 10 页共 11 页

11 ** 考虑到有时同一门课有不同院系的教师开设, 请任课教师填写此栏 第 11 页共 11 页