Chapter Secod-Order Differetial Equatios. Prelimiary Cocepts 常微分方程式之階數為 或者 以上, 為高階常微分方程式 F( x, yy, ', y'') 0 y '' x 3 xy '' cos( y) e y'' 4 xy' y yx ( ) 6cos(4 x) 7si(4 x) is a solutio of y'' 6 y 0 for all real x 3 y( x) x cos(l( x)) is a solutio of '' 5 ' 0 0 for x 0 xy xy y R( x) y '' Pxy ( ) ' Qxy ( ) S( x) y '' pxy ( ) ' qxy ( ) f( x) x
. Theory of Solutios of y'' p( x) y' q( x) y f( x) y'' x 0 y'' x y' y''( x) dx xdx6x C 3 yx ( ) y'( xdx ) (6 x Cdx ) x CxK For ay choice of C ad K, we ca graph the itegral curves 3 y x Cx K as curves i the plae If iitial coditios y(0) 3, y '(0) y(0) K 3 y x x Cx 3 ( ) 3
Sice y '( x) 6x C, this requites that C. y x x x 3 ( ) 3 The curve passes (0,3) ad has slope - at this poit 3
.. The Homogeeous Equatio y" p x y' q x y 0 y '' pxy ( ) ' qxy ( ) f( x) ; yx ( 0) A, y'( x0 ) B Whe f x is zero, the resultig equatio y" p x y' q x y 0 is called homogeeous A liear combiatio of solutios cy x cy x y x ad y x (Thm.) Let y x ad y x be solutios of y" p x y' q x y 0 o a iterval I. The ay liear combiatio of these solutios is also a solutio. [Proof]: Let c ad c be real umbers. Substitutig y x c y x c y x ito the differetial equatio, we obtai cy cy " pxcy cy ' q xcy cy " " ' ' c y " pxy ' qxy c y " pxy ' qxy c y c y c p x y c p x y cq x y c q x y 000 because of the assumptio that y ad y are both solutios. 4
(Def.) Liear Depedece, Idepedece Two fuctios f ad g are liearly depedet o a ope iterval I if, for some costat c, f x cg x for all x i I. If f ad g are ot liearly depedet o a ope iterval I, the they are said to be liearly idepedet o the iterval A simple test to tell whether two solutios of equatio are liearly idepedet Defie the Wroskia of solutios y ad y to be ' ' W x y x y x y y x. This is the determiat W x ' ' y x y x y x y x Ex7: W x cos si x x x si cos x x x cos si 0. 5
(Thm.4) Let y ad y be liearly idepedet solutios of y" p x y' q x y 0 o a ope iterval I. The, every solutio of this differetial equatio o I is a liear combiatio of y ad y y" pxy' qxy 0; y x A, ' y x c y x c A 0 0 ' y ' x c y x c B 0 0 0 y x B. 0 Cramer s Rule c Wx Ay ' x By x 0 0, 0 c ' Wx By x Ay x 0 0 0 6
.. The Nohomogeeous Equatio y'' p( x) y' q( x) y f( x) (Thm.5) y ad y be a fudametal set of solutios of y'' p( x) y' q( x) y 0 o a ope iterval I. Let y p be ay solutio of equatio y'' p( x) y' q( x) y f( x). The, for ay solutio of equatio y'' p( x) y' q( x) y f( x), there exist umbers c ad c such that cy cy yp [Proof]: Sice ad y p are both solutios of equatio y '' pxy ( ) ' qxy ( ) f( x) p p p yp p yp q yp '' p ' q y '' py ' qy f f 0 y p '' ' 0 is a solutio of y'' py' qy 0. y c y c y cy cy y p, p 7
Exercise L : I each problem, (a) verify that y ad y are solutios of the differetial equatio, (b) show that their Wroskia is ot zero, (c) write the geeral solutio of the differetial equatio, ad (d) fid the solutio of the iitial value problem.. y y y y '' 9 0; 3 0, ' 3 cos3, si3 cos3x si 3x W 3si3x 3cos3x (c) y c cos3x c si3x y x x y x x {(b) si 3 } 3 (d) y x. y y y y y 3 '' ' 4 0; 0, ' 0 4 y x e, y x e 3x 8 x {(b) W e e 3x 8x 5 3x 8x 3e 8e e x (c) (d) y ce c e 3x 8x 7 y e e 5 5 3x 8x } 8
高階線性常微分方程式 0 y a x y... a x y' a x y R x 可根據其 R x 是否出現分成兩類 R x 不出現 : 稱其為齊性方程式 (homogeeous equatio) R x 出現 : 稱其為非齊性方程式 (ohomogeeous equatio) 求解壹 階線性非齊性 O.D.E. 0 y a x y... a x y' a x y R x 有三步驟 () 求 Homogeeous solutio y h: 0 y a x y... a x y' a x y 0之通解 y cy... c y h W y,, 0 y ) ( 其中 () 求 Particular solutio y p : 0 y a x y... a x y' a x y R x 之任一個特解 y p (3) 原 O.D.E. 之通解為 y yh yp 9
常見高階線性 O.D.E. 可分為 3 類 : () 高階線性常係數 O.D.E. 0 a y... a y' a y R x () 高階等維線性 O.D.E. 0 axy... axy' a y R x (3) 高階一般變係數之線性 O.D.E. a x y... a x y' a x y R x 0.4 The Costat Coefficiet Homogeeous Liear Equatio 常係數線性常微分方程式 : 首先考慮 時, 即求解 y'' ay' a0y 0之通解. 設解為 y mx e, 則得 y' mx me, y'' mx me. 將 y, y ', y '' 代入得 : m am a0 0( 稱為 characteristic equatio, 特徵方程式 ) 3. (). a 4a 0時, 可得兩相異實根 m, m 0 y mx e, y e mx mx W e e, 0 y ce ce mx m x mx 均為解 0
(). a 4a 0, 兩實重根 m m 0 y e mx (3). a 要找到兩個滿足線性獨立之解故此時, 缺少一個線性獨立解 可令 y xe mx mx mx 因 W e, xe 0 y c c x e 0 mx 4a 0時, 兩共軛複根 mm, i i x y e i, y e W e, e 0 i x i x y ce c e i x i x x 均為其解
Ex8: 求下列 O.D.E 之通解 : y''' 4 y''- 3 y'-8y 0 [ 解 ]: 求任意特解 yp ( x ), 方法有兩種 : () 待定係數法 () 參數變易法 待定係數法僅適用於常係數線性 O.D.E 待定係數法限制 R( x ) 之型式如下 : A( 常數 ), e ax,cosbx,sibx, x 之多項式
( 表二 ) R( x ) y ( x ) 之假設型式 k ax e p A A e ax cosax Acosax Bsi ax si ax Acosax Bsi ax ax... ax a 0 A x A x... Ax A - 0 ax ax ax e cosbx or e sibx e ( Acosbx Bsi bx) ax e ( a x... a x a ) ax 0 e A x Ax A0 cos bx( a x... a x a ) (... ) 0 0 ax e cos bx( a x... a x a ) ( A x... Ax A )cosbx ( Bx... Bx B)sibx 0 ax 0 0 Ex9: 求下列 O.D.E 之通解 : y''- y'- y e [ 解 ]: e ( A x... Ax A )cosbx ax e ( B x... BxB )sibx 3x 0 3
Ex30: 求下列 O.D.E 之通解 : y'' y'- 3y 4si( t) [ 解 ]: 4
Ex3: 求解下列方程式之通解 : y''- 5 y' 6 y e 3x [ 解 ]:. 設齊性解 yh e mx, 代入得 特徵方程式 : m -5m6 0, m,3 x 故 y ce c e h 3x. 利用 ( 表二 ), 可令 yp Ae 3x 得 yp ' 3 3x Ae, 則代入原式得 : yp '' 9Ae (9A - 5(3 A) 6 A) e e 3 x 3 x 0 e 3x 3x e ( 矛盾 ) 故 ( 表二 ) 之假設方式不適用於本題之 y ( x ) 的求解 3x p 當 yp ( x ) 之假設項與 yh( x ) 所含 個線性獨立齊性解產生 重複時, 我們必須做修正 結論 : 當使用待定係數法求 y p 時, y p 之假設項中與 y h產生重 m 複, 則可乘以 ( x ) (m 為正整數 ) 於 y p 之假設項中與 y h產生重 複者, 其中 m 為使其不產生重複之最小正整數 5
Ex3: 求解下列方程式之通解 : y''- 5 y' 6 y e [ 解 ]: 3x 6
Ex33: 求下列 O.D.E 之通解 : y''- y' y e [ 解 ]: x 7
Ex34: 求下列 O.D.E 之通解 : y''' y' si x [ 解 ]: 8
參數變易法 (Variatio Parameter Method) ( ) ( ) 利用此法求 y a ( xy )... a( xy ) ' a( xy ) Rx ( ) 0 之特解 y p, 其主要先決條件為原 O.D.E 之相應齊性 O.D.E. 的 個線性獨立解已經求得 參數變易法適用於求任何 階線性 O.D.E y'' a ( x) y' a ( x) y R( x) 0 y c y ( x) c y ( x) h 設 y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p x x y x x y x 得 yp ' y' y' ' y ' y 若令 y y ' ' 0..... () 可得 y y y p ' ' ' 且 yp yy y y '' '' '' ' ' ' ' 將 yp, yp', y p'' 代入 y'' a( x) y' a0( x) y R( x), 可得 ( y '' y '' ' y ' ' y ') a ( y' y ') a ( y y ) R( x) 0 已知 y, y 分別為 y'' ay' a0y 0之解 ( y '' a y'+ a y ) ( y '' a y ' a y ) ' y ' ' y ' R( x) 0 0 ' y ' ' y ' R( x) () 9
聯立 () 與 () 得 - Rxy ( ) ' 且 W( y, y) ' R( xy ) W( y, y ) - Rxy ( ) dx 且 W( y, y) Rxy ( ) W( y, y ) dx - Rxy ( ) Rxy ( ) y p ( x) y ( x) dx y ( x) dx (, ) (, ) W y y W y y 其中 W( y, y ) 為 Wroskia 行列式 Ex35:Fid the geeral solutio for x e y''- y' y - x [ 解 ]: 0
Exercise M:. y" y' 0y 0 x { y e c cos3x c si 3x. y" 0 y' 6y 0 } 5x { y e c cos x c si x } 3. 3 d y d y si x 5e x 3 dx dx x x { y ccxc3e cos xsi x 5xe } 4. y"' y" y' y 0 ; y(0) 3, y '(0) 0, y"(0) 3 3 x 3 x { y e e } 5. y" y' y 0cosx { 6. y" y' y xe x y ce c e x x} x x 3cos si x y ccx e x e } 6 x 3 { 7. y" y' y cosx } 5 x { y e c cos x c si x cos x si x 8. y y e x y y " 4 7 x ; (0), '(0) 3 7 x 3 x 7 x { y e e xe x} 4 4 4 4
等維線性常微分方程式 () Cauchy 等維線性 O.D.E. () Legedre 等維線性 O.D.E.5 Euler s Equatio Cauchy 等維線性 O.D.E.... ' ( ), 此為 階 Cauchy 等維線性 ( ) axy axy ay 0 Rx 常微分方程式,( a 0) 利用變數變換將其化為常係數線性 O.D.E. 解法如下 : t () 令 x e, 或 t x, 且 Dt d dt d y 其中 x xdy Dt( Dt -)( Dt - )...( Dt - ) y dx () 利用常係數線性 O.D.E. 之方法來求解 (3) t x 3
Ex36:Fid a geeral solutio for 3 x xy'' xy'- y xe [ 解 ]: 4
5
Ex37:Fid the geeral solutio for 3 xy''- xy' y x cos x [ 解 ]: 6
Legedre 等維線性 O.D.E a bxc y a bxc y a y R x 為 階 Legedre ( ) ( )... ( ) ' 0 ( ) 等維線性常微分方程式, 利用變數變換技巧轉成 Cauchy 等維線性 O.D.E. Ex38: 求解下列 O.D.E. 之通解 : [ 解 ]: (3x) y'' 3(3x ) y'- 36y 3x 4x 7
Exercise N:.. 3 " ' 6 0 { y c x c x } xy xy y xy xy y " ' 4 0 { y c cos l x c si lx } 3. xy xy y y " ' 0; () 5, '() 8 { y 3 x } 4. 5. 9 " ' 6l ; x 0 { y cxcx 3l x } x y xy y x (x) y" (x6) y' 6y y x c c l x } 8 { 6. dx dx ; y (0) 0 dy, (0) dx ( 6 9) d y dy x x (3x 9) y 0 { y 9si l3 cos l x3 9cos l3 si l x3 x 3 } 8
.3 Reductio of Order 可用因變數變更法求解二階變係數線性常微分方程式 y '' Pxy ( ) ' Qxy ( ) Rx ( ) () 觀察出齊性方程式 y '' Pxy ( ) ' Qxy ( ) 0之一個解 ux ( ) 時, 則令 y( x) u( x) v( x) () y' uv' u' v y'' u' v' uv'' u'' vu' v' u' v' uv'' u'' v 代入原式, 可得 uv'' u ' v' Puv' v( u '' Pu ' Qu) R u' Pu R v'' v' u u 可令 t v', 得 u' Pu R t' t u u 此為因變數 t 之壹階線性 O.D.E. 9
y'' 3 x y' 4 x y 0 for 0 Ex39: is oe solutio [ 解 ]: x, give y x x 30
Exercise O: x x. xy" (4 x) y ' (x ) y e { y e c x c x }. y" 0 y' 5y 0; y ( x) e 5x { y ce c xe } 5x 5x 3. si x si x si x y" y' y 3 ( 已知 ( )" ( )' 0) x x x x x si x cos x y c c 3 x x } { 3
.7 Applicatios Ex40: Determie the i (t) i the circuit. [ 解 ]: 3
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Exercise P:. Fid the curret i the followig RLC circuit. Assume zero iitial curret ad capacitor charge. ( R 0, L 0.5H, C 0.0F, Et ( ) 0si0tV ) 48 48 t 36 48 qt e te si 0t cos0t 5 5 5 5 0t 0 { 44 0t 0t 44 9 it e 96te cos 0t si 0t} 5 5 5 34