8// hpter 特徵值與特徵向量. 特徵值與特徵向量. 人口統計與天氣預測. 矩陣對角化. 二次式 差分方程及常態模式 h_
8//. 特徵值與特徵向量 定義 : 令 為一 矩陣, 對純量 而言, 若 R 中存在有非 向量, 使得. 則稱 為矩陣 之特徵值 eigevlue, 而則稱 為對應於 之特徵向量 eigevector h_ 特徵值與特徵向量之計算 令 為一 矩陣, 純量 為其特徵值, 而 為對應於 之特徵向量, 則有, 上式可改寫成 因此 I 求解 I 將可求得矩陣 的所有特徵值 展開 I, 可得一 之多項式, 此多項式稱為矩陣 之特徵多項式 chrcteristic polyomil, 而 I 則為矩陣 之特徵方程式 chrcteristic equtio h_
8// Emple 求解下列矩陣之特徵值及特徵向量 6 首先推導矩陣的特徵多項式即 Solutio 首先推導矩陣 的特徵多項式, 即 Solutio 6 6 I 8 I 求解矩陣 之特徵方程式 h_ 因此矩陣 之特徵值為 及 or 6 6 I 將上式以線性方程式系統表示, 則得可得因此本線性方程式系統之解可表示成 6 6 可得, 因此本線性方程式系統之解可表示成 r, r, 其中 r 為純量 則與特徵值 對應之特徵向量為具下列形式之非 向量 r h_6 6 6 I 可得, 對應之特徵向量為具下列形式之非 向量, 可表示成, 其中 s 為純量 s
8// Theorem. 令 為一 矩陣, 為其特徵值, 則與 對應之所有特徵向量與零向量構成 R 的一個子空間 V, 稱為 的特徵空間 eigespce Proof 令 與 為 V 中二向量,c 為純量, 則有 及, 因此 因此 是與 對應之向量, 即 V 對向量加法封閉 此外, 由於, c 因此 c 是 V 中向量, 即 V 對純量乘積封閉 由此可證特徵空間確為一子空間 c c c h_7 Emple 求解下列矩陣之特徵值及特徵向量 Solutio I 本線性方程式系統之解可表示成 r, r, 與 r, 其中 r 為純量 I 則特徵值 之特徵空間為一維向 量空間 8 r h_8
8// 將 代入 I, 可得 I 本線性方程式系統之解可表示成 s t, s, 與 t, 其中 s 與 t 均為純量 則特徵值 之特徵空間中的向量可表示成 s t s s t t h_9 Emple 令 為一 矩陣, 其特徵值為,...,, 而對應之特徵向量依序為 X,..., X, 試證若 c 則 c 之特徵值為 c,..., c, 而對應之特徵向量則仍依序為 X,..., X Solutio 令 i 為矩陣 對應特徵向量 X i 之特徵值, 則 X i i X i, 等號兩側等乘以 c 則得 cx i c i X i 因此 c i 為矩陣 c 之特徵值, 而其對應特徵向量 X i. 此外, 由於 c 為一 矩陣, 其特徵多項式為一 次多項式, 而其特徵方程式則有 個根, 亦即 c 有 個特徵值 因此 c 之特徵值為 c,..., c, 而對應之特徵向量則仍依序為 X,..., X h_
8//. 人口統計與天氣預測 定義 : 若馬可夫鏈之轉移矩陣 P, 在某特定乘冪時所有元素均為正數, 則稱其為標準 regulr, l 而此馬可夫鏈則稱為標準馬可夫鏈 Theorem. 考量一具初始向量 及轉移矩陣 P 之標準馬可夫鏈, 則.,,,, 其中 滿足 P. P, P, P, Q, 其中 Q 為隨機矩陣, 而 Q 的每一個行向量均為 P 對應於特徵值 之特徵向量 h_ Emple 試檢視下列轉移矩陣是否標準..6 b.7 c.7. B...6 Solutio 矩陣 之所有元素均為正數, 故矩陣 是標準矩陣 b B.79.7, 因此矩陣 B 為標準矩陣.. c 計算發現.6.6,,....8.96 即右上角元素永遠都是, 因此矩陣 不是標準矩陣 h_ 6
8// Emple 試探討美國都會區與郊區間人口遷徙之長程趨勢本模式在之前的討論裡已經建立, 公元 年美國都會區與郊區之人口由向量 表示 單位為百萬人, 其後各年之人口數則由馬可夫鏈之轉移矩陣 P 推算而得 由 初始人口都會區郊區到 8 都會區.96. 都會區 P 郊區..99 郊區觀察 P 的所有元素均為正數, 因此這個馬可夫鏈為標準, 則理論 6 6. 可應用於此以推導長期趨勢 該理論告訴我們 P 必有特徵值, 且穩定狀態向量 為 之對應特徵向量, 因此 P P - I h_.96...99 展開可得線性方程式系統.... 解得, 因此本線性方程式系統之解可表示 r, 其中 r 為純量 則與特徵值 對應之特徵向量 r 為具下列形式之非 向量 r 根據上述理論, 穩定狀態向量 將具有以上型式, 假設總人口數不隨時間改變, 則 之元素和將與 相同, 因此有 r r 8 r h_ 7
8// 所以可得穩定狀態向量為 6 這意味著長期人口趨勢將為美國都會區人口 四千萬人美國郊區人口 一億六千萬人上述理論進一步提供了長期人口趨勢之相關資訊 Q 的每一個行向量均為 P 對應於特徵值 之特徵向量, 因此令 s s Q ss s 而由於為隨機矩陣, 其各行向量和應均為, 因此 s s s. h_ 則系列轉移矩陣可表示成 P P P Q.96..9..89.....99 99.8.98..97.8.8 考量由所有第, 元素所組成的數列.,.8,.,.8 這些數字分別代表一年 二年 三年 後, 人口由都會區遷至郊區的機率, 此機率逐漸增加, 最後逼近至.8, 因此 Q 即為此模式之長期轉移矩陣 log-term trsitio mtri, 而其代表的意義即為人們居住在都會區或郊區的長期機率或趨 由 勢 都會區郊區到.. Q 都會區.8.8 郊區觀察居住在都會區的長期機率為., 而居住在郊區的長期機率則為.8, 這些機率與初始居住地點無關, 而長期機率與初始狀態無關乃是標準馬可夫鏈的一項特質 h_6 8
8// Emple 研究蒐集之歷年十一月晴 雨天統計累計結果如下 給定某日雨天晴天 次日為雨天 9 天之中有 7 天 6 天之中有 8 天 因此, 一個雨天的次一日亦為雨天的機率為 7/9.6, 而一個晴天的次一日為雨天的機率則為 8/6., 由此可建 構十一月天氣形態之轉移矩陣如下, 某日 雨天晴天 次日.6. 雨天 P..87 晴天因此對十一月的每一天而言, 均可利用 P 來預測其後十一月任何一天的天氣 h_7 例來說, 如果今天是禮拜三而且下雨, 讓我們計算禮拜六為晴天的機率 禮拜六是三天之後, 因此禮拜六天氣狀況之機率值應該由 P 之元素描述, 計算可得 以兩位小數顯示 今天 禮拜三.77 P.77 雨天晴天.. 雨天 P 禮拜六.68.78 晴天.9.7.67.69.9.796.796.77.9.67.69.. Q.77.9.796.796.7.7 意指特拉維夫十一月的天氣預測應如下表所示, 特拉維夫十一月天氣之長期預測有. 的機率為雨天有.7 的機率為晴天 P h_8 9
8// Emple 某日 R S.8.. R P.7.. 次日... S 準此, 若今日為陰天, 則次日為晴天的機率為. 與特徵值 對應之特徵向量為 r 取 r /, 則得可描述長期天候預測之矩陣如下, 某日 R S R P 許久後之某日 S h_9. 矩陣對角化 定義 : 令 與 B 為大小相同之二方陣, 若存在一可逆矩陣, 使得, 則稱 B 相似於 B is similr to ; 而這種將矩陣 轉換成 B 的過程即稱為相似轉換 similrity trsformtios h_
8// Emple 考量下列矩陣 與, 其中 為可逆, 試用相似 轉換將 轉換成 B 7 Solutio 7 B 7 6 h_ Theorem. 相似矩陣具有相同的特徵值 Proof 令,, B 為相似矩陣, 因此必然存在一可逆矩陣, 使得 B B 之特徵多項式為 B I, 利用前式代入特徵多項式並運用行列式之乘法性質, 則有 B I I I I I I I I I 因此, B 之特徵多項式完全相同, 亦即兩者具有相同之特徵值 h_
8// 定義 : 一方陣 稱為可對角化 digolizble, 若存在有一矩陣, 使得 D 為一對角矩陣 Theorem. 令 為一 矩陣, 若 具有 個線性獨立特徵向量, 則其可被對角化 以此 個線性獨立特徵向量為行向量之矩陣, 可對 進行相似轉換 而得對角矩陣 D; 而 D 的對角線元素均為 之特徵值 b 若 可被對角化, 則其必具有 個線性獨立特徵向量 h_ Proof 令,, 為 之特徵值 不須完全不同, 而 v,, v 為依序與各特徵值對應之線性獨立特徵向量 並令矩陣 以 v,, v 為其行向量, [v v ] 由於 v v,, v v, 以行向量進行矩陣乘積可得 [ v v ] [ v v ] [ v v ] [ v v ] h_
8// 由於 之行向量為線性獨立, 為非奇異 可逆, 因此 由此可知, 若一 矩陣 具有 個線性獨立特徵向量, 由此 個線性獨立特徵向量為行向量之矩陣, 即可對角化矩陣, 而對角矩陣的對角線元素則均為 之特徵值 b 反向的論述可由倒述上列步驟證明之 假設矩陣 為 [v v ] 可對角化, 則必存在有純量 γ,, γ 使得 γ v γ v,..., v γ v γ 其中 v,, v 為矩陣 之特徵向量 由於 為非奇異, 其行向量應互為線性獨立, 因此, 如果一 矩陣 為可對角化, 則必具有 個線性獨立特徵向量 h_ Emple 試證明矩陣 可對角化 b 求解與 相似之對角矩陣 D c 求解可對角化 之相似轉換 Solutio 6 之特徵值及特徵向量已於第.7 節例題 求得, 為, v r,, v s 由於 為 矩陣, 且有兩線性獨立特徵向量, 因此為可對角化矩陣 b 由理論 6. 可知, 對角線元素為 d. 之對角矩陣與 類似, 即 6 與 D 類似 h_6
8// c 知道可對角化 之轉換是重要的, 我們現在進行轉換並證明其確能求得上列矩陣 D 首先選取二簡單的線性獨立特徵向量, 如 v 及 v 以為 v, v 行向量而得矩陣 可得 D # 若 經由相似轉換而與對角矩陣 D 相似, 則可以推知 K, D k k k k times k D k h_7 Emple 試由矩陣 計算 9 6 Solutio 矩陣 與上例相同, 故可直接選用上例之 及 D, 因此 9 D 9 9 D 9 9 9 6 h_8
8// Emple 試證明矩陣 無法對角化 Solutio 因此 r, r, 所以特徵向量為具有下列形式之非 向量, I I 得. h_9 量由此可知 之特徵空間為一維空間, 而 為一 矩陣, 須有二線性獨立特徵向量始能組成轉換矩陣, 因此 無法被對角化 r Theorem. 令 為一 對稱矩陣, 的所有特徵值均為實數 各特徵空間的維度由各特徵值 即特徵方程式之根 之重數決定 各特徵空間互為正交 有 個線性獨立的特徵向量 Emple i Sectio 6.: h_,,,,det t s V r V I
8// 正交對角化 定義 : 矩陣 稱為可正交對角化 orthogolly digolizble, 若存在有一正交矩陣 使得 D t 為對角矩陣 Theorem.6 令 為一方陣, 則 為可正交對角矩陣, 若且唯若 為對稱矩陣 h_ Emple 試正交對角化對稱矩陣 Solutio 之特徵值及特徵向量計算結果如下, V s ;, V r 因為 為對稱, 我們知道它可以被正交對角化成 h_ 6
8// D 接著執行轉換, 如所預期, 特徵空間 V, V 互為正交, 在兩特徵空間中各選用一單位向量來建構正交矩陣, 可得 則正交轉換可求得 D 如下 t h_. 二次式 差分方程及常態模式 座標軸旋轉 cosθ siθ 座標轉換 : y siθ cos θ y h_ 7
8// 二次式 二次式 : by cy 二次式矩陣 : Emple b b c y [ y] t 試將下式改寫成二次式 6y y Solutio 將本題與標準式 by cy 比對, 可得, b 6, c 因此上式之二次式矩陣形式為 [ y] y h_ 圓錐曲線方程式 形式 : by cy d t 矩陣形式 : d y 若 d, 則 : d / p d / p Emple 分析以下方程式, 並繪製其圖形 6 y 9y Solutio 改寫成如下的矩陣形式 6 [ y] 9 y 矩陣的特徵值及特徵向量計算結果如下, v r ;, v s h_6 8
8// 9 正規化上列特徵向量, 並寫成正交矩陣 之行向量, 可得 我們可以推知上式可轉換成以下形式我們可以推知上式可轉換成以下形式 [ ] y y y y 由座標轉換上式為在座標系統之橢圓方程式其半長軸長度為 而半 y h_7 上式為在座標系統之橢圓方程式, 其半長軸長度為, 而半短軸長度為 詳圖. 接下來要確認座標系統相對於 y 座標系統之位置, 座標旋轉係由矩陣 定義, 因此 cos si si cos θ θ θ θ h_8
8// 差分方程式 假設 令為一實數數列, 則 - 此種方程式稱為差分方程式 differece equtio 或遞迴關係式 recurrece reltioz 找出數列中第 項的表示方式, 第 項的公式稱為差分方程式之解 solutio to the differece equtio h_9 考量如下之差分方程式 p q,,,, 其中 p, q 為固定實數, 而, 為已知項次 初始條件 因為上式中每一項 i 均為一次乘冪, 因此稱為線性差分方程式 lier differece equtio; 且因 均得以前二項 即 - 與 - 表示, 故為二階 order 令以求解上式, 則有 p qb b,,,, 寫成矩陣形式, 即 p q b b,,,, p q 令 X, 則有 b X X,,,, h_
8// 因此其中 X X X X X b X 在多數應用中, 有二相異特徵值 及, 因此有二線性獨立特徵向量, 所以可用相似轉換將 對角化 令 為以 之二線性獨立特徵向量為行向量之矩陣, 則有因此 D h_ 故可得 D D D D D X X Emple 求解下列差分方程式, 其初始條件為 並用所得結果計算,...,, for, 其初始條件為,, 並用所得結果計算. Solutio 建構系統將系統改寫成矩陣形式,...,,, b h_,...,,, b b 矩陣之特徵值及特徵向量為, ;, v v
8// 令, 則., 故, b b b 因此得解為 [ ],,,,... [ ] [,78,969],9,7 h_ 費波那契數列 費波那契數列為定義如下列差分方程式之實數數列,,,,... 其中初始條件為, ; 此數列之每一項次均等於前二項次之和 費波那契數列中連續兩項次間的比值相當有趣且值得注意 當 趨近於無限大時, 被證明將趨近於 /, 這個無理數 約為.68988 稱為黃金比例 golde rtio h_
8// 振盪系統之常態模式 圖.6 h_ 線段之整體運動可表示為下列三種運動模式 modes 之組成模式一 : T cos t γ 注意 及 m 模式二 : T cos t γ 及 m 模式三 : T cos t γ m 及 b, b 及 b 受原始架構影響, 而實際的線性組合則由 b, b 及 b 之值決定, 每一項模式均為一物體之簡單簡諧運動, 這些振盪的常態模式 orml modes of oscilltio 之說明如圖.7 所示 h_6
8// h_7