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1 公職技師工程數學年歷屆試題詳解電機高普特考技師專用書喻超凡博士喻超弘老師編著喻超凡數位企業限公司

3 目錄 I 95 年詳解年公務人員電力電子醫學工程三級高考年地方政府電力電子工程三等考試年電機技師高等考試年電子技師高等考試年調查局調查人員電子科學組特考年警察刑事鑑識人員特考 II 96 年詳解年公務人員電力電子工程三級高考年地方政府電力電子電信工程三等考試年電機技師高等考試年電子技師高等考試年調查局調查人員電子科學組特考 III 97 年詳解年公務人員電力電子醫學工程三級高考年公務人員身心障礙人員電子特考年鐵路人員電力工程三級特考年地方政府電力電子工程三等考試年電機技師高等考試年電子技師高等考試年調查局調查人員電子科學組特考 IV 98 年詳解年公務人員電力電子電信醫學工程三級高考年公務人員身心障礙人員電力電子特考年鐵路人員電力工程三級特考年國家安全局情報人員電子組特考年地方政府電力電子工程三等考試年電機技師高等考試 I

4 II 喻超凡叢書目錄年電子技師高等考試年調查局調查人員電子科學組特考 V 99 年詳解年公務人員電力電子醫學工程三級高考年公務人員身心障礙人員電力電子特考年鐵路人員電力電子工程三級特考年國家安全局情報人員電子組特考年地方政府電力工程三等考試年電機技師高等考試年電子技師高等考試年調查局調查人員電子科學組特考 VI 100 年詳解年公務人員電力電子醫學工程三級高考年公務人員身心障礙人員電力電子特考年鐵路人員電力電子工程三級特考年國家安全局情報人員電子組特考年地方政府電力電子電信三等考試年電機技師高等考試年電子技師高等考試年調查局調查人員電子科學組特考 VII 101 年詳解年公務人員電力電子電信工程三級高考年鐵路人員電力電子工程三級特考年國家安全局情報人員電子組特考年地方政府電力電子電信三等考試年電機技師高等考試年電子技師高等考試年調查局調查人員電子科學組特考

7 Part I 95 年詳解 1

9 1. 95 年公務人員電力電子醫學工程三級高考喻超凡叢書年公務人員電力電子醫學工程高考甲申論題部分 (50 分 ) e 1. 若 C 表示一個 z 1 =2 的圓, 試求圍線積分 z C z(z 4) dz (5 分 ) 喻超凡, 喻超弘 95 電力電子醫工高考解令 f(z) = 故 e z z(z 4), 故 f(z) 在 C 內具有 z =0 的一階 pole, 且 Resf(0) = ez = 1 (z 4) z=0 4 C e z z(z 4) dz =2πıResf(0) = 2πi( 1 4 )= πi 2 { 1 if x <a 2. (1) 求 F (x) = 0 if x >a (5 分 ) (2) 計算 (3) 求 0 sin(wa) cos(wx) w sin w w dw 之值 (5 分 ) 之傅立葉轉換 ( f(w) = dw (5 分 ) F (x)e iwx dx ) 解 (1) f(w) = F {F (x)} = = a F (x)e iwx dx (cos wx i sin wx) dx a

10 4 喻超凡叢書 (2) 因 a = 2 cos wx dx =2 0 = 2sinwa w sin wx w a 0 (3) 即 F (x) = F 1 { 2sinwa } w = 1 2sinwa 2π w eiwx dw = 1 sin wa (cos wx + i sin wx) dw π w = 1 sin wa cos wx dw π w 0 π ; x <a sin wa cos wx dw = 0 ; x >a w π ; x = ±a 2 sin wa w dw = 1 sin wa 2 w dw = 1 2 πf(0) = π 2 [ ] 令矩陣 A =, 試求 3 0 (1) A 之特徵值 (eigenvalues) (3 分 ) (2) A 之特徵向量 (eigenvectors) (3 分 ) (3) 計算 e A =?(4 分 ) 解 (1) 由 det(a λi) =0, 可得 A 的特徵值為 λ =4-3 (2) 將 λ =4 代回 (A λi)x =0 中可得 [ ][ x2 x 2 ] [ ] 0 = 0

11 1. 95 年公務人員電力電子醫學工程三級高考喻超凡叢書 5 可得對應的特徵向量為 X = c 1 [ 4 3 ] (c 1 0) 將 λ = 3 代回 (A λi)x =0 中可得 [ ][ x2 x 2 ] [ ] 0 = 0 可得對應的特徵向量為 X = c 2 [ 1 1 ] (c 2 0) (3) 令將 λ =4 3 代入上式, 可得 e A = aa+ bi { e 4 =4a + b e 3 = 3a + b 故則 a = 1 7 (e 4 e 3 ),b= 1 7 (3 e 4 +4e 3 ) e A = 1 7 (e 4 e 3 )A (3 e 4 +4e 3 )I 4. 有一表面 S 如下 S : x 2 + y 2 + z 2 =1,z 0, 假設有一向量函數為 #» F (x, y, z)=x #» i + y #» j + z #» #» k, 請計算 F d A #» 之值 (10 分 ) S

12 6 喻超凡叢書 z S : x 2 + y 2 + z 2 =1 S 1 : z =0 y x #» n = #» k 解令 S + S 1 所圍的區域為上半球 D ( 如圖 ), 則故因 ( #» F #» n ) da = ( F #» ) dx dy dz S+S 1 D ( F #» #» n ) da = S ( F #» ) dx dy dz = D ( F #» ) dx dy dz D D S 1 ( #» F #» n ) da (1) 3 dx dy dz = π 3 13 =2π (2) 且 S 1 : z =0,x 2 + y 2 1, 故 #» #» n = k, 則 ( #» F #» n ) da = {(x #» i + y #» j + z #» k ) ( #» k )}da S 1 S 1 = zda=0 (3) S 1 將 (2) (3) 兩式代回 (1) 中可得 ( F #» #» n) da =2π 0=2π S 5. 求出微分方程式 y +9y = x cos x 的通解 (10 分 ) 解

13 1. 95 年公務人員電力電子醫學工程三級高考喻超凡叢書 7 (1) 齊次解 : 令 y = e mx 代回 ODE 中可得 m 2 +9=0 m = ±3i 故 y h (x) =c 1 cos 3x + c 2 sin 3x (2) 特解 : (3) 通解 : y(x) =y h (x)+y p (x) y p (x) = 1 D 2 +9 x cos x = 1 x D 2 +9 cos x 2D (D 2 +9) 2 cos x = x 8 cos x sin x

14 8 喻超凡叢書乙測驗題部分 (50 分 ) 1. i = 1, 下列那一級數 (series) 收斂? 1 i n 1 (A) (B) (C) (D) n n ln n n=2 1 n 解 (B) ; 因 i n n = i 1 2 i i 5 + = i( ) ( ) ( 1) n 1 = i 2n 1 ( 1) n 1 2n 因 ( 1) n 1 2n 1 ( 1) n 1 2n 均為收斂的交錯級數, 故 i n n 收斂 #» 2. 有一個平面包含 B = #» j #» #» k 及 C = #» i + #» j + #» #» k 兩個向量, 求出向量 A = #» i 2 #» k 與該平面法線的夾角應為何? (A) θ =cos 1 0 (B) θ =cos 1 1 (C) θ =cos 1 4 (D) θ =cos 喻超凡, 喻超弘 95 電力電子醫工高考解 (C) ; 平面的法向量為 #» n = #» B #» C =( #» j #» k ) ( #» i + #» j + #» k )=2 #» i #» j #» k 故夾角為 cos θ = #» #» n #» n A A #» = 2 #» #» #» i j k 6 #» i 2 #» k 5 = 4 30

15 1. 95 年公務人員電力電子醫學工程三級高考喻超凡叢書 9 3. 下列何組向量可成為 R 2 空間的單範正交基底 (orthonormal basis)? (A) {(1/ 2, 1/ 2) T, (1, 1) T } (B) {( 1/2, 3 /2) T, ( 3/2, 1/2) T } (C) {(1, 1) T, (1, 1) T } (D) {(1/ 2, 1/ 2) T, (1/ 2, 1/ 2) T } 喻超凡, 喻超弘 95 電力電子醫工高考解 (D) ; 且 (1/ 2, 1/ 2) T (1/ 2, 1/ 2) T =0 (1/ 2, 1/ 2) T = (1/ 2, 1/ 2) T =1 #» R(t) =2t #» i cos(3t) #» j + t 3 #» k,0 t 1, 求 #» R = d R #» dt 4. 假設何? (A) 2 #» i +3sin(3t) #» j +3t 2 #» k 4+9sin 2 (B) 2 #» #» i +3sin(3t) j +3t 2 #» k (3t)+9t 4 4+9sin 2 (3t)+9t 4 方向之單位向量為 (C) 3sin(3t) #» j +3t 2 #» k 9sin 2 (3t)+9t 4 (D) 2 #» i +3sin(3t) #» j +4t 2 #» k 8+9sin 2 (3t)+7t 4 解 (B) ; 故單位向量為 #» R (t) =2 #» i +3sin(3t) #» j +3t 2 #» k #» R (t) R #» (t) = 2 #» #» i +3sin(3t) j +3t 2 #» k 4+9sin 2 (3t)+9t 4

16 10 喻超凡叢書 5. 下列敘述何者正確? (A) 如果 A 是赫米特矩陣 (Hermitian matrix), 並且 A 2 = I, I 是單位矩陣, 則 A 也是么正矩陣 (unitary matrix ) (B) 赫米特矩陣的行列式值 (determinant) 不一定是實數 (real) (C) 令 λ i (M) 表示矩陣 M 之所有特徵值 (eigenvalue) 的總和現給予 A B 兩矩陣, 則 λ i (A)+ λ i (B) λ i (A + B) (D) 如果一個矩陣有重複的 (repeated) 特徵值, 則此矩陣無法對角化 (diagonalizable) 喻超凡, 喻超弘 95 電力電子醫工高考解 (A) ; A 為赫米特矩陣, 則 A = A, 故則 A 為 unitary 矩陣 A 2 = AA = A A = I 6. 試求微分方程式 x 2 dy 2ydx = (y 2 +2x)dy 之通解, 其中 c 為任意常數 (A) y =2cos 1 (x/y)+c (C) y =2sec 1 (x/y)+c (B) y =2cot 1 (x/y)+c (D) y =2tan 1 (x/y)+c 解 (D) ; 原式可改寫成 2(ydx xdy)+(x 2 + y 2 )dy =0 2 d(xy 1 ) y 2 +(x 2 + y 2 )dy =0 即 2 1+( x d(x )+dy =0 y )2 y

17 1. 95 年公務人員電力電子醫學工程三級高考喻超凡叢書 11 兩端積分可得 2tan 1 ( x y )+y = c 7. 計算 C cosh z dz 之值, 其中 C 表示一個正方形, 其邊緣通過點 (±2, 0) 及 z 3 (0, ±2), 逆時鐘方向 (counterclockwise) (A) π (B) 0 (C) i 2π (D) iπ 喻超凡, 喻超弘 95 電力電子醫工高考解 (D) ; 令 f(z) = cosh z z 3 則 f(z) 在 C 內具有 z =0 的 3 階 poles, 且故 C Resf(0) = 1 2! lim d 2 z 0 dz 2 z3 f(z) = 1 2 cosh z z 3 dz =2πiResf(0) = 2πi 1 2 = πi 1 8. 若一系統之轉移函數為 G(s) = s 2 +3s +2, 且輸入信號為 x(t) =sin2t, 則輸出信號 y(t) 之拉氏轉換 Y (s) 為 : (A) (C) s (s +1)(s +2)(s 2 +2) s (s +1)(s +2)(s 2 +4) (B) (D) 2 (s +1)(s +2)(s 2 +2) 2 (s +1)(s +2)(s 2 +4) 解 (D) ; L {y(t)} = G(s)L {x(t)} = 2 (s +1)(s +2)(s 2 +4)

18 12 喻超凡叢書 9. 下列何者與 L {f(t) u(t a)} 相等, 其中 L { } 代表拉氏換 (Laplace transform)? (A) e at L {af(t)} (B) e at L { df dt } (D) e at L {f(t + a)} (C) e at L {af(t a)} 解 (D) ; L {f(t) u(t a)} = e at L {f(t + a)} 10. 若微分方程式 y 4y +4y =25sinx 且 y(0) = 3 y (0) = 2, 試求其解? (A) y = e 2x +2xe 2x +cosx (B) y =3e 2x 5xe 2x +sinx (C) y =2e 2x +2xe 2x +cosx +sinx (D) y = e 2x + xe 2x +3sinx +4cosx 解 (D) ; 齊次解 : 令 y = e mx 代回 ODE 中可得 m 2 4m +4=0 m =2, 2 故特解通解 y h (x) =c 1 e 2x + c 2 xe 2x y p (x) = 1 D 2 25 sin x 4D +4 = 4D (4D 3)(4D +3) sin x = 4D (16D 2 9) sin x = (4cosx +3sinx) y(x) =y h (x)+y p (x) =c 1 e 2x + c 2 xe 2x +4cosx +3sinx

19 1. 95 年公務人員電力電子醫學工程三級高考喻超凡叢書 13 再由 { y(0) = 3 = c1 +4 y (0) = 2 = 2c 1 + c 2 +3 c 1 = 1,c 2 =1 故 y(x) = e 2x + xe 2x +3sinx +4cosx 11. 下列那一函數滿足 Laplace 方程式 2 u x u y 2 =0? (A) u =sinx cos y (B) u =tan 1 (y/x) (C)u = x 2 +y 2 (D) u = sinh x cosh y 解 (B) ; 令 x = r cos θ y = r sin θ, 故故 u =tan 1 y x = θ, 則 y x =tanθ θ =tan 1 y x 2 u x u y 2 = 2 u = 2 u r u r + 1 r 2 2 u θ 2 =0 12. f(t) 是週期 2π 的函數, 在 π t<π 之間定義為 f(t) = t 將 f(t) 的傅立葉級數 (Fourier series) 表示成求 a 0 2 之值為何? f(t) = a (a n cos nt + b n sin nt) (A) π/2 (B) π (C) 2π (D) 4π 喻超凡, 喻超弘 95 電力電子醫工高考解 (A) ; a 0 2 = 1 π tdt= 1 π 0 π t2 π = π 2 0 2

20 14 喻超凡叢書 { 1/10, 0 x< 給定一個連續隨機變數 X, 它的機率密度函數為 f(x) = 0, otherwise 則條件期望值 E[X X 6] 為何? (A) 3.0 (B) 5.0 (C) 6.0 (D) 10.8 喻超凡, 喻超弘 95 電力電子醫工高考, 解 (A) ; 故 f(x x 6) = E[X X 6] = f(x, x 6) P {X 6} = xf(x x 6) dx = = dx (0 x 6) x 1 6 dx = =3 14. 二維隨機變數 X 與 Y 的聯合機率密度函數 (joint probability desity function) 為 { xy,0 x 1,0 y 2 f X,Y (x, y)= 0, otherwise 則 X 2 + Y 2 < 1 的機率為何? (A) 1/16 (B) 1/8 (C) 3/16 (D) 1/4 喻超凡, 喻超弘 95 電力電子醫工高考解 (B) ; P {X 2 + Y 2 < 1} = = r= π 2 θ=0 f X,Y (x, y) dxdy x 2 +y 2 <1 r=1 r=0 (r cos θ)(r sin θ)rdrdθ = 1 8

21 1. 95 年公務人員電力電子醫學工程三級高考喻超凡叢書 L { } 代表拉氏轉換 (Laplace trnasform), 令 f(t) =L 1 1 { s(s 2 +1) }, 則 f( π 2 ) 等於多少? 2 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2 喻超凡, 喻超弘 95 電力電子醫工高考解 (C) ; 故 f( π 2 )=1 t f(t) =L 1 1 { s(s 2 +1) } = sin tdt=(1 cos t) 令 P n 為所有次數小於 n 之多項式集合, C n [a, b] 為所有可 n 次微分之函數 f(x), x [a, b] 所成的集合 R n 表示 n 維實數向量, R n n 表示 n 階實數矩陣則下列敘述何者正確? (A) (1, 1, 0) T,(1, 0, 1) T,(1, 1, 2) T 在 R 3 線性相依 (linearly dependent) (B) x 2, x x, 此二向量在 C 1 [ 1, 1] 線性相依 [ ] [ ] [ ] (C),, 在 R 2 2 線性獨立 (linearly independent) (D) x +1,x +2,x 2 1 在 P 3 線性獨立解 (D) ; x +1 x +2 x 2 1 W (x +1,x+2,x 2 1) = 1 1 2x = 故 x +1,x +2,x 2 1 在 P 3 為線性獨立

微积分授课讲义

微积分授课讲义 2018 10 aiwanjun@sjtu.edu.cn 1201 / 18:00-20:20 213 14:00-17:00 I II Taylor : , n R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) R; x, x y ; δ( ) ; ; ; ; ; ( ) ; ( / ) ; ; Ů(P 1,δ) P 1 U(P 0,δ) P 0 Ω P 1: 1.1 ( ). Ω

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