數學 CIII_- 排列組合 年 班座號 姓名 一 單選題 (7 題每題 0 分共 0 分 ) ( )1. 若 P A ( ). 若 C D 8P, (A) (B)8 (C)10 (D)1 (E)8 P 8P (1)() 8 ( 1) ( 1) 8 11 C, 則 (A) (B)8 (C) 或 8 (D)10 (E)10 或 1 總 分 ( )( 1) ( 1) ( 1) 11 11 C C 1 1 ( )( 1) 1 10 0 10 或 1( 不合 ) ( ). 甲 乙 丙 丁 人任選排成一列之七個座位中的四個相連座位, 全部方法有 (A)80 種 (B)0 種 (C)10 種 (D)96 種 D 七個座位中四個相連座位有 種! 96 人可互換 ( ). 面不同的旗子, 任取一面至數面上下懸掛表示訊號, 共可表示多少種不同訊號? (A) (B)0 (C)6 (D)7 C 任選一面懸掛, 可表示 P 任選二面懸掛, 可表示 P 任選三面懸掛, 可表示 P 任選四面懸掛, 可表示 P 1 個訊號 個訊號 個訊號 個訊號 共可表示出 P1 P P P 1 6種不同訊號 ( ). 用 1 四個數字排成一四位數 ( 數字不可重複 ), 則全部四位數之總和為 (A)0 (B)0 (C)66660 (D)77770 C 千位數字是 1 的情形有 6 種, 是 的情形也均是 6 種 - 1 -
1 1 同理百位 十位 個位是 1 的情形均 6 種 總和 (1 ) (1000 100 10 1) 6 66660 ( )6. 現從 0 1 6 七個數字中, 任取四個組成一個四位數 ( 不得重複取 ), 則可得幾個不同偶數? (A)70 (B)0 (C)00 (D)0 B 偶數 個位數字為 0,,,6 0 6 10 種 100 種 100 種 6 100 種 共 10 100 100 100 0 個 ( )7. 設 A B C D E F 等 6 位小朋友排一縱行郊遊, 其中 A 因年紀較小不敢排在首 尾兩個位置, 另 C D 是好朋友, 一定要相鄰, 則其排法共有多少種? (A)7 種 (B)1 種 (C)19 種 (D)70 種 B 將 CD 視為一組,A 放入下圖間隔中 A 的排法 排法有!! 1 CD 可互換 ( )8. 由 個不同的事物, 每次選取 個作直線排列的排列數為 P B (B)10 (C)10 (D)6, 若 P 8 P, 則 P (A)60 P 8 P ( 1)( ) 8( 1) ( 1) 8, 1 7, 8 6 P P 10 ( )9.A B C 等 8 人作直線排列,A B C 三人皆不相鄰的排法有幾種? (A)1800 (B)100 (C)600 B (D)18800 先將 D E F G H 排好, 將 A B C 三人分別排在 D E F G H 之間或最左 最右等 6 個位置, 則 D E F G H 的排法有! 種 A B C 的排法有 P 6 6 種 全部排法有! P 1010 100 種 - -
( )10.A B C D E 等 8 人排成一列, 規定 A B C 必須相鄰, 但 D E 不得相鄰, 其排法有 (A)600 種 (B)0 種 (C)880 種 (D)160 種 C 將 ABC 視為一組, 將 D E 分別放入五個間隔內 ABC 可互換 排法有!! P 880 四組五個間隔取 個 ( )11.A B C 等 6 人排成一列, 規定 A 不排首 B 不排末, 但 C 必排第二, 其排法共有 (A)66 種 (B)78 種 (C)8 種 (D)96 種 B 排法 C 排第二方法 A 排首且 C 排第二方法 B 排末且 C 排第二方法 C 排第二,A 排首且 B 排末 方法!!!! 10 6 78 ( )1.8 本不同的書排放在書架上, 其中 A B C 三本書任二本均不相鄰的排法有 (A)100 種 (B)1600 A 種 (C)1600 種 (D)8800 種 6! P 100 ( )1. 若數字不許重複, 由 0 1 6 7 所構成的三位數為偶數者共有 (A)168 個 (B)10 個 B (C)1 個 (D)10 個 個位數字為 0 0 7 6 個 個位數字為 6 6 6 108個 108 10 ( )1. 個臺灣人 個美國人 個日本人排成一列, 若規定美國人必須全部相鄰, 而日本人均不得相鄰, D 其排法有 (A)6800 種 (B)700 種 (C)7600 種 (D)8600 種 將 個美國人視為同一組, 日本人放入間隔內 6 排法有!! P 10610 8600 種 ( )1. 若 P : P :, 則 (A)1 (B)10 (C)9 (D)8 D ( )( 1)( 1):( 1)( ) : 9 8 0 ( 8)( 1) 0 8 或 1( 不合 ) - -
( )16. 甲 乙 丙 等 7 人作直線排列, 規定甲不排首, 且乙不排末, 其排法有 (A)0 種 (B)780 種 (C)70 種 (D)600 種 C ( )17. 用 0 1 五個數字排成三位數 ( 數字不可重複 ), 則全部三位數之總和為 (A)1660 (B)100 C (C)1990 (D)1600 百位數字可為 1, 此時十位及個位數字排法有 1 種 百位數字和 (1 ) 100 1 1000 十位與個位數字放入 0 時, 不影響總和, 放入 1 時, 排法有 9 種 和 (1 ) 10 9 (1 ) 1 9 990 全部三位數總和 1000 990 1990 ( )18. 個臺灣人 個美國人 個日本人排成一列, 規定臺灣人排在美國人前面, 則排法有 (A)100 種 (B)1068 種 (C)970 種 (D)860 種 B 所求 日本人分開 日本人在一起!! P!! (8!) 1068 ( )19. 將六位數 的各數字任意排列, 若其中的數字 須相鄰, 但數字 不得相鄰, 試問可得多少不同的六位數?( 包含原六位數 ) (A)7 (B)60 (C)8 (D)6 D 將數字 視為同一組, 個 放入間隔中 8 P! 6 6 6! ( )0. 由一樓上二樓的樓梯共有 7 階, 某人以每步踏 1 階或至多 階上樓, 共有幾種走法? (A)17 (B)1 (C)19 (D) B 設一步踏 1 階 x 次, 階 y 次, 則 x y 7,x, y 為非負整數 x 7 1 y 0 1 7! 6!!! 共有 1種走法 7!!1!!! 1!! - -
( )1. 用 0 0 0 1 1 作成八位數, 共可作成幾個不同的八位數? (A)70 (B)0 (C)0 C (D) 全部排法 以 0 為首的排法 8! 7! 60 10 0!!!!!! ( ). 庭院深深深幾許 七個字重新排列, 三個 深 字不完全連在一起的排法有 (A)0 種 (B)70 種 (C)80 種 (D)100 種 B 7! 所求 任意排 完全相連! 70! ( ). 如圖, 從 A 取捷徑到 B, 不經過斜線區域的走法有 (A)10 種 (B)10 種 (C)108 種 (D)11 種 D 法一 APB AQB ARB AS B 6! 6!! 6!! 1!1!!!!1!!1!!1! 6 1 6 1 11 法二 共 11 種 ( ). 由一樓上二樓的樓梯共有 10 階, 某人以每步踏 1 階或 階上樓, 則全部方法有 (A)78 種 (B)8 種 (C)86 種 (D)89 種 D 設一步踏 1 階 x 次, 階 y 次, 則 x y 10,x, y 為非負整數 x 10 8 6 0 y 0 1 - -
10! 9! 8! 7! 6!! 89 種 10! 8! 6!!!!!!! ( ). paallel 字母重新排列, 其中 a 不相鄰的排法有 (A)0 種 (B)880 種 (C)0 種 (D)600 種 A 7 6! P 排法有 101 0 種!! ( )6. 如圖所示, 由 A 取捷徑到 B 的走法有 (A)0 種 (B)0 種 (C)0 種 (D)80 種 C APB AQB! 6!! 6!!!!!!!!! 10 1 10 0 10 00 0 種 ( )7. Hollywood 一字的字母重新排列, 規定 ywd 三字母必須相鄰, 則全部排法有 (A)0 種 (B)0 種 (C)160 種 (D)190 種 A 將 ywd 視為一組 7! 排法有! 0 6 0!! 種 ( )8. 甲 乙 丙 丁 戊 等 8 人作直線排列, 規定甲 乙 丙必須排在丁 戊的左邊, 則排法有 (A)0 種 (B)780 種 (C)0 種 (D)016 種 A ( )9. factoig 一字的字母重新排列, 若母音字母 (a o i) 順序保持不變, 且子音字母 (f c t g) 順序也保持不變, 則排法有 (A)1 種 (B)108 種 (C)96 種 (D)8 種 D 9! 8!6! ( )0. 某發報器長鳴一次 秒, 短鳴一次 1 秒, 相鄰兩鳴放時間為 秒, 則前後 0 秒的時間, 可發出幾種不 同的信號? (A)80 (B)70 (C)60 (D)0 A 設長鳴 x 次, 短鳴 y 次, 則有 x y 1 個間隔 x y (x y 1) 0,x, y 為非負整數 - 6 -
x y x 1 y 9 10! 8! 10 70 80 種 9!!! ( )1.6 件不同的禮物分給甲 乙 丙 人, 其中 1 人得 1 件 1 人得 件 另 1 人得 件, 則全部方法有 (A)80 種 (B)60 種 (C)10 種 (D)60 種 B 6件分成 1 件方法 1 件分給甲 乙 丙 人之方法 6! 1!!!! 606 60 ( ). 依下列各條件將甲 乙 丙 丁 戊等五人排成一列, 何種條件下的排法最多? (A) 甲 乙相鄰 (B) 丙 丁不相鄰 (C) 戊排首位 (D) 乙不排首位 D (A)!! 8 (B) P! 7 (C)! (D)!! 10 96 ( ). 三位正整數中, 恰含有一個數字 的有 (A)0 個 (B) 個 (C)0 個 (D)6 個 B 百位數字為 方法有 9 9 種 ( 數字可重複 ) 十位數字與個位數字為 的方法均為 8 9 7 種 (0 不可為百位 ) 81 7 7 ( 個 ) ( ). 用 0 1 作成大於 00 的四位數, 數字可以重複使用, 則共有 (A)7 個 (B)7 C 個 (C)7 個 (D)76 個 法一 6 6 6 1080 全部有 1080 個 1 6 6 6 16 0 6 6 6 1 6 6 6 6 6 6 0 0 1 大於 00 有 1080 16 6 6 6 1 7 個 法二 - 7 -
6 6 6 68 6 6 108 68 108 1 7 00 ( ). 自 0 1 中任取三個相異數字作成三位數 A, 剩下二個數字作成二位數 B, 則 (A, B) 有 (A)8 C 對 (B)7 對 (C)7 對 (D) 對 A 中含有 0: 1 個數字選 個 C 1 1 8 A 的排法 B 的排法 A 中不含 0: 1 個數字選 個 C 1 1 1 A 的排法 B 的排法 8 7 ( )6. 人中, 至少有 人在同一月份出生的情形有幾種? (A)0 (B)680 (C)70 (D)900 A 人在同一月份情形有 1 種 人在同一月份另 1 人在另一月份情形有 1 P C 111 8 種 1 8 0 種情形 ( )7. 若平面上有八點構成一八邊形, 則其對角線共有 (A)0 條 (B) 條 (C) 條 (D)6 條 A - 8 -
8 對角線個數 C 8 0 ( )8. 從 7 名男人 6 名女人中選取 人, 其中至少 名為男人 1 名為女人, 試問共有多少選法? (A)10 D (B)1 (C) (D) 7 6 7 6 至少 男 1 女 男 1 女 男 女 C C1 C C 10 1 ( )9. 六對夫妻中選出 人, 其中至少有 女的情形有幾種? (A)0 (B)80 (C)00 (D)60 D ( )0. 若 C 6 6 6 6 6 6 C C C1 C C 0 C 10 1 60 種情形 B 若 C m a 9 C 7, 則 P (A)0 (B)6 (C)10 (D)10 C, 則 a b 或 a b m, C 8 m b C 9 7, 即 9 7 8 P 876 6 ( )1. 由 男 女中, 選出 人組成一代表團, 所選 人至少含 1 女生的選法有 (A)6 種 (B) 種 (C)8 D 種 (D)6 種 8 人至少含 1 女生的方法 全部 人均是男生 C C 6 10 6 ( ). 某次考試, 由 10 題選做 8 題, 但規定前 題至少做 題, 則選法共有幾種? (A)0 種 (B) 種 (C)9 C 種 (D)0 種 前 題選 題, 後 6 題選 題 : C 6 C 6 前 題選 題, 後 6 題選 題 : C 6 C 11 1 共 1 9 種 ( ). 由 1,,,,,6,7,8,9 九個數字中任取二個數相乘, 其積為 6 的倍數之情形有 (A)1 種 A (B)1 種 (C)1 種 (D)11 種 6 的倍數有,,6,8 的倍數有,6,9 將 6 另外考慮 一數取 倍數 (,,8), 另一數取 倍數 (, 9) 方法 6 一數取 6 另一數可取 1,,,7,8,9 方法 1 8 8 6 8 1( 種 ) ( ). 由甲 乙 等 10 人中, 選出 人作直線排列, 則必含甲且不含乙的排法有 (A)800 種 (B)7860 A 種 (C)760 種 (D)700 種 10 人中先扣去甲 乙 人剩 8 人 - 9 -
必含甲不含乙 8 C! 7010 800 人作排列 ( ). 設 為自然數,, 若 P 70, C 10, 則 (A)1 (B)1 (C)1 (D)1 B P 70! ( )! 70 C 10!!( )! 10! 6,, 10 1 ( )6. 若 C C 1 1 m1 C m, 則 C 1 m 之值為 (A)66 (B)10 (C)0 (D)9 ( )7. 設 為自然數, 若 P 7, C 16, 則 (A) (B) (C) (D) D P 7! ( )! 7 C 16!!( )! 16 得! ( )8. 用 1 可以組成多少個沒有重複數字的四位奇數? (A) 個 (B)7 個 (C)96 個 (D)10 個 B 個位數字只能放 1 三個數字故共有 7 個四位奇數 ( )9. 甲 乙 丙 丁 戊共 個人排成一列, 甲不排首位的方法有幾種? (A) 種 (B)7 種 (C)96 種 (D)10 種 C ( 全部排法 ) ( 甲排首位 )!! 96 ( )0. 某次考試規定由 6 題中作 題, 但前二題必須作答, 選題方法有 (A) 種 (B)6 種 (C)1 種 (D)0 種 B 選題方法有 C C 6 ( )1. 正七邊形的對角線有 (A)9 條 (B)1 條 (C)1 條 (D)18 條 C - 10 -
7 正七邊形對角線有 C 717 1 ( ). 甲 乙 丙 丁等 個人排成一列, 甲與乙相鄰與否沒關係, 但甲要排在乙之前的排法總數為 (A) 1 ( 1)! (B)( 1)! (C) 1 ( 1) (D) 1! D 個人排成一列, 甲一定在乙之前或乙一定在甲之前且兩種情況的排法數相等 1 故甲在乙之前的排法有! ( ). 圖中為一棋盤形的街道, 今一人自 A 循捷徑至 B, 但必須通過 PQ 的走法數為 (A)0 種 (B) 種 (C)0 種 (D) 種 A!! A-P-Q-B: 1 0!!! ( ). 自男孩 6 人, 女孩 人中, 選出男孩 人 女孩 人排成一列的排法總數為 (A)0 (B)70 (C)10 (D) 超過 10000 D 6 C C! 0610 100 1 ( ). 若 C C, 則 (A) (B) (C)10 (D)1 A! ( 1)!!( )! ( 1)!! 1 9, 負不合, 故 ( )6. 下列各問題中, 何者的是 C 10 6 ( 其中 C k! ( k)! k! )? (A)10 位學生中任意挑選 6 位同學排 成一列, 共有幾種情形 (B)10 個不同顏色的球中任意挑選 個出來, 共有幾種情形 (C)10 張椅子排 成一列,6 位同學各自任意挑選 1 張椅子坐下, 共有幾種情形 (D)10 個相同的白色球任意挑選 個出 來, 共有幾種情形 B (A)10 位同學挑 6 位排成一列, 有 P (B)10 個不同顏色的球挑選 個, 有 C (C)10 張椅子由 6 位同學各挑 1 張, 有 P 10 6 種方法 10 10 10 10 10 6 種方法, 其中 C C C 10 6 種方法 (D)10 個白色球均相同, 任意挑 個, 只有 1 種方法 - 11 -
( )7. 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚七人排成一列 若甲 乙 丙 丁四人必排在此列的最前面四位, 且甲 乙不相鄰, 則此七人共有多少種排法? (A)6 (B)7 (C)1 (D)80 B 甲 乙不相鄰 甲 乙最後排入 先排丙丁 :! 甲 乙插入丙丁的空隙 : P 再排戊 己 庚 :! 由, 有! P! 7 種排法 二 填充題 ( 格每格 0 分共 0 分 ) 1. 用 0 1 全取作五位數, 依小到大排列, 則第 0 個數為 ( 數字不可重複 ) 01 1 以 1 開頭的五位數共! 個 0 以 0 開頭的五位數共! 6 個 第 0 個數為 0 開頭最大的數 01. 甲 乙 丙 等 7 人排成一列, 若規定甲 乙 丙 人必須分離, 則排列的方法有 種 10 除甲 乙 丙 人外之 人先排 :! 甲 乙 丙 人再排空位 60! 60 60 10. 由 1 等四個數字排成四位數, 其中大於 00 者共有 個 ( 數字不可重複 ) 16 千位放 或 : 1 1 千位放 :1 1 1 16. 由 0 1 等六個數字, 排成三位數為 的倍數者共有 個 ( 數字不可重複 ) 0 三位數為 的倍數 各位數字和為 的倍數 0 1 個 - 1 -
0 1 個 0 個 0 個 1 6 個 1 6 個 6 個 6 個 共 0 個. 甲 乙 等 6 人排成一列, 規定甲必排首, 乙不排末, 則方法有 種 96 甲必排首, 乙不排末排法 甲排首 甲排首乙排末!! 10 96 6. 用 0 1 6 作成數字相異的四位數, 其中 的倍數有 個 0 四位數為 的倍數 個位數字為 0 或 個位數字為 0 0 6 10 個位數字為 100 10 100 0 7. 將 evous 字母全取作直線排列, 若母音字母 ( 即 a e i o u) 須放偶數位, 則排法有 種 1!! 6 1 種 8. 將 educatio 字母全取排列, 若母音 ( 即 a e i o u) 須放奇數位, 則排法有 種 880!! 10 880 9. 數字相異的四位數中, 大於 000 且小於 8000 的數共有 (1) 個, 其中奇數的有 () 個 (1)0;()1 (1) - 1 -
9 8 7 0 6 7 大於 000, 小於 8000 的數共 0 0 個 () ( 可填 1 7 9) 8 7 7 67 ( 可填 1 7 9) 8 7 80 6 80 60 67 60 1 個 10.A B C D E F 等六個字母排成一列, 若 (1) 其中 A 不排首 末二位置,C D E 必相鄰, 則排法有 種 ()A B 必相鄰且 D E F 必相鄰, 則排法有 種 (1)7;()7 (1) 將 C D E 視為一組, 全部 A 排首位 A 排末位!!!!!! 1 6 6 7 種 () 將 A B 視為一組,D E F 視為一組排法!!! 6 6 7 種 11.A B C D E 等 8 人排成一列, 規定 A B 必須相鄰, 但 C D 不得相鄰, 其排法有 種 700 將 A B 視為一組 AB可互換 6 排法!! P 700 6 間隔放 C D 1. 用 0 0 作成七位數, 共可作成 (1) 個不同的七位數, 又其中奇數的有 () - 1 -
個 (1)10;()0 (1) 減去 0 開頭 7! 6!!!!!! 10 () 奇數, 只能 為個位數 只看前面六位數 6!!!!! 0 減去 0 開頭 1. 樓梯有 8 階, 某人登樓時, 每步跨 1 階或 階, 則其登樓方法有 種 設 1 階 x 次, 階 y 次, 則 x y 8,x,y 為非負整數 x 8 6 0 y 0 1 8! 7! 6!!! 方法有 171101 8! 6!!!!!! 1. 棋盤式道路如圖所示 : 由 A 取捷徑到 B 的走法有 (1) 種, 又不經過 C 的走法有 () 種 (1)8;() 1. 用 0 1 1 1 七個數字, 共可作成 個不同的七位數 60 7! 6! 0 60 60!!!! 16. 棋盤式街道, 如圖所示, 由 A 走到 C 且必經過 B 取捷徑, 則走法有 種 10 17. 我為人人, 人人為我 八個字重新排列, 規定任二個 人 字均不相鄰, 其排法有 種 0-1 -
18. 以汽笛鳴放長短音作信號, 長音一次需時 秒, 短音一次需 1 秒, 相鄰兩鳴放時間為 1 秒, 若發一信號需時 1 秒, 則有 種不同信號 7 19. 將 mosoo 的七個字母排成一列, 則 m s 不相鄰的排法有 種 00 6 6 6 6 6 6 6 0 1 6 0. C C C C C C C 0 法一 6 6 6 6 6 6 6 原式 C 0 C1 C C C C1 C 0 1610161 0 法二 6 6 6 6 6 6 6 C 0 C1 C C C C C 6 [1 ( 1)] 0 1. 凸 1 邊形的對角線共有 條 1 C 1. 圓周上 10 個點, 可決定 (1) 條弦, 又可決定 () 個四邊形 (1);()10 10 (1) C 10 10 () C. 個人中, 恰有 人在同一月份出生, 人在另一同月份出生的情形有 種 10 人中 一年有 另三人在 任選 人 1個月 另一同月份 C 1 11 10. 平面上相異 10 點, 任三點均不共線, 則此 10 點共可決定 (1) 條直線, 可決定 () 個三角 形 (1);()10. 派出所派出 名警員夜巡, 有 A B C 三社區, 每區至少 1 名, 則 名全部出巡的分配方法共有 種 10 6. 已知 P 6 且 C 6, 則 (1), () (1)8;()! 6 6 6 7. 已知 C 1 P 6 ( 1)( ) 6 8 10 10 m1 C m m, 則 P 之值 - 16 -
8. 五人中三人有駕照, 今五人乘坐一部小轎車並由一人開車, 其他四人坐在不同的四個坐位, 則有 種 坐法 7 駕駛座有 人可坐, 其餘 人依序有! 種坐法, 故共有! 7 種坐法 9. 男 女排成一列, 男女相間之排法有 種 1 男先排, 有! 種排法 女只能排在 男之間的 個空位 故共有!! 1 種排法 0. 以 0 1 共四個數字 ( 不准重複使用 ) (1) 作成三位數的偶數, 其方法有 種, () 作成三位數且為 的倍數, 其方法有 種 (1)10;()6 (1) 個位數字是 0 的有 1 6 種 個位數字是 的有 1 種 故三位偶數有 6 10 種 () 要為 的倍數, 個位數字必須為 0 故有 1 6 種 1. 從 6 男 女共 11 人中, 求下列的選法 : (1) 任選 人的選法有 種, () 選出 男或 女的選法有 種, () 選出 男與 女的選法有 種, () 選出 人中, 至少含 1 女有 種 (1)16;()0;()00;()1 11 (1) 由 11 人中選 人 C 16 種 6 ()6 男中選 男或 女中選 女 C C 0 10 0 種 6 () C C 010 00 種 11 6 () 至少含一女 ( 任意選 ) ( 人皆為男 ) C C 16 0 1 種. 某一段觀光鐵路, 在甲 乙兩站間有 8 個停車站, 則鐵路局應準備的單程普通車票有 種 90 10 10 總共有 10 站, 故車票有 P 109 90 或 C! 90種. 一袋中裝有大小相同編號不同的 個黑球 9 個白球, 今從袋中任取出 球, 其中有 個白球 個黑球的取法有 種 80 9 C C 810 80. 已知 P 6, C 6, 則 (1),() - 17 -
(1);()8 P! ( )! 6, C! ( )!! 6 6! 6! 6 故! 又 ( )! 8 6 ( 1)( ) 6 8 7 6 6. 甲 乙等 6 人排成一直列 : (1) 甲不排首的排法有 種, () 甲不排首, 乙不排末的排法有 種 (1)600;()0 (1) 甲不排首 ( 全部排法 ) ( 甲排首之排法 ) 6!! 600 () 甲不排首, 乙不排末 全 ( 甲排首或乙排末 ) ( 全部排法 ) ( 甲排首 ) ( 乙排末 ) ( 甲排首且乙排末 ) 6!!!! 70 10 10 0 三 計算題 (0 小題每小題 0 分共 0 分 ) 1. 已知 P 1P, 試求 的值 7 因為 P 1P, 所以 又 ( 1)( )( )( ) 1( 1)( ) 因為 ( 1)( ) 0 可以消去所以 ( )( ) 1 則 7 0, 即 0 或 7 因為, 所以 7. 若 P 9 9 6P 8, 試求 的值 9! 9! 由題意知 9, 根據排列的定義得 6 (9 )! (11 )! 9! 9! 6 (9 )! (11 )(10 ) (9 )! (11 )(10 ) 6 1 10 0 ( 8)( 1) 0 8 或 1 9 1 不合, 故 8-18 -
. 甲 乙 丙等共 10 人排成一列, 則 (1) 共有多少種排法? () 若甲 乙 丙必須排前三位, 有多少種排法? () 若甲 乙 丙三人一定要相鄰, 有多少種排法? ( 當數字 較大時, 答案可以! 表示, 不必算出真正數值 ) (1)10!;()6 7!;()6 8! (1)10 人全取排列有 P 種排法 10 10 10! () 甲 乙 丙 人先排前三位, 有 P! 6 種排法 7 其餘 7 人排後七位, 有 P 7 7! 種排法 由乘法原理得知 : 甲 乙 丙必須排前三位有 6 7! 種排法 8 () 將甲 乙 丙視為一體, 以 A 表示, 則 A 與其餘 7 人共 8 個事物全取排列的排法有 P 8 8! 種 在此 8! 種排法中的每一種 A 本身有甲 乙 丙三人的排法, 又有! 6 種情形 由乘法原理得知 : 甲 乙 丙三人相鄰的排法有 6 8! 種. 甲 乙 丙 丁四人選一排有 10 個位子的椅子就坐, (1) 共有多少種坐法? () 若此四人一定要相鄰的坐法有多少種? (1)00;()168 10 (1) 有 P 10987 00 種坐法 () 先從 10 張椅子中選出 張相鄰的椅子, 有 7 種選法 甲 乙 丙 丁四人坐在 張相鄰椅子的坐法有! 種坐法 故共有 7! 168 種坐法. 甲 乙 丙 丁 戊共五人排成一列, 試求下列各排列數 : (1) 甲必排首位, 戊必排末位 () 甲不得排在首位 () 甲 乙不相鄰 () 甲 乙 丙完全分開 (1)6;()96;()7;()1 (1) 固定甲與戊的位置後, 其他三人在甲 戊中間的 個位置作直線排列有! 6 種排列 () 先將甲安置在非排首的位置, 有 種排法 其餘 人在剩下的 個位置作直線排列有! 種排法 故甲不在排首的排法有! 96 種 () 先考慮甲 乙兩人相鄰的排法 - 19 -
將甲 乙兩人視為一體, 與其他 人作直線排列, 有 P! 種排法 甲 乙二人本身有 種排法 所以甲 乙二人相鄰的排法有! 8 種 故甲 乙二人不相鄰的排法有!! 10 8 7 種排法 () 先讓丁 戊二人作直線排列有! 種排法 甲 乙 丙三人分別排入 個間隔有 P! 種 故甲 乙 丙完全分開的排法有!! 1 種 6. 兒童 10 人, 放學後排成一列回家, 其中年紀最小的一位, 不敢排在最前面, 也不敢排在最後面, 問共有多少種排 法? 9 8 8! 先將排頭與排尾的二個位置, 由 9 人中選出 位排列, 共有 P 種不同方法, 再將剩下的 7 人, 增加最小 8 9 8 的一位共 8 人, 排在中間的 8 個位置, 共有 P 8 種不同方法, 所以本題共有 PP898 8! 種不同的排法 9 7. 如圖棋盤形街道, 某人欲從 A 走捷徑至 B, 且不經過 C, 試問共有幾種走法? 180 觀察圖形得知 : 縱街有 8 條, 橫街有 條, 由 A 至 B 的每一條路徑都是由向 上 次, 向 右 7 次 所組成 11!! 6! 故 A 至 B 的捷徑有種走法, 由 A-C-B 的捷徑有 種走法 7!!!!!! 故由 A 至 B 不經過 C 的捷徑走法有 11!! 6! 0 101 180 種 7!!!!!! 8. 一平面上共有 1 個點, 其中有 6 點共線, 其餘無三點共線, 試求可連成 (1) 多少條直線? () 多少個三角形? (1);()00-0 -
(1) 平面上, 每兩點可決定一條直線, 有 1 個點, 所以就有 C 但有 6 點共線, 這 6 點中任選兩點所構成的直線只能算一條 1 條直線 1 6 故共有 C C 16611 條直線 () 不共線的三點可決定一個三角形, 但要扣掉三點同在一直線上的情形 1 6 故共有 C C 0 0 00 個三角形 9. 一平面上共有 0 點, 其中有 點共線, 其餘無三點共線, 試求可連成 (1) 多少條直線? () 多少個三角形? (1)181;()110 0 (1) 直線數有 C C 1190101 181條 0 () 三角形數有 C C 110 10 110 個 10. 由 6 個男生, 個女生中選出一個 人的委員會, 但規定其中男 女生至少各有 人, 問有多少種選法? 0 依照題目的規定, 我們分兩種情形來討論 : (1) 選出 個男委員, 個女委員的方法有 C 6 C 00 1 1 6 () 選出 個男委員, 個女委員的方法有 C 6 C 10 1 1 6 6 6 所以, 總共有 C C C C 種選法 0 11. 設 為正整數, 試分別求滿足下列的 值 (1) P 10 P 1 1 () P : P : (1) 或 ;()8 (1)( 1)( 1) 10( 1)( ) 10 0 9 0 0 或 ()( )( 1)( 1):()( 1)( ) : ( )( 1) 1( 1) 1 6 9 8 0 1 或 8( 1 不合 ) 故 8 1. 若以 a 或 b 開始, 但不重複, 則字母 a b c d e f 全數排成一列的排法有多少? 0 若以 a 開始, 則 b c d e f 排成一列有 P 種排法 - 1 -
若以 b 開始, 則 a c d e f 排成一列有 P 種排法 故本題的排法有 P 0 種排法 1. 設 為自然數, 若 C 79 18 18 C 0, 試求 C 的值 若 C C 0 C C 18 18 18 18 所以,, 但 C 無意義, 故 不合 因此要將 C 18 改成 C 18 18 18 C1 18 18 18 即 C C1C 1 1 所以 1 C C 79 1. 請問正八邊形中有幾條對角線? 0 8 正八邊形的對角線有 C 8 0條 1. 如圖縱街有 7 條, 橫街有 6 條, 今由 A 到 B 走捷徑, 而不經過圖中斜線部分, 請問有多少種不同的走法? 不經過斜線部分的捷徑, 有 條路線 : A-C-B,A-D-B,A-E-B 其走法有 : 7! (1)A-C-B 有 1!! 種! 6! ()A-D-B 有 0 種!! ()A-E-B 有 1 種故共有 1 0 1 種 - -
16. 自 6 本不同的英文書, 本不同的數學書中取 本英文 本數學, 排在書架上, 問有幾種排法? 100 6 本不同的英文書中取 本有 C 種方法 本不同的數學書中取 本有 C 種方法 取出 本書排列有! 種方法 6 故本題的排法有 C C! 100 種 6 17. 個臺灣人, 個美國人, 個日本人排成一列, 規定同國籍的必須全部相鄰, 則排法有幾種? 18 將同國籍的分為同組, 共三組排法!!!! 18 種 18. 由 0 1 6 中任取相異三數作成三位數, 則不小於 0 的有多少個? 10 法一 0 1 6 任取相異三數作成三位數方法有 6 6 180 種 1 1 開頭的有 6 0 開頭的有 6 0 0 0 開頭的有 個 1 1 開頭的有 個 開頭的有 個 不小於 0 有 180 0 0 10 個 法二 6 90 6 1 6 90 1 10 19. 個臺灣人, 個美國人, 個英國人排成一列, 同國籍的人中間必須有兩個別國籍的人隔開, 則排法有幾種? 196 - -
組不同國籍排列 排法!!!! 196 種 同國籍人皆可互換排列位置 0. 用 0 1 作成數字相異的三位數, 其中偶數的有多少個? 百十個 個位數字 或 : 個位數字 0: 1 0 0 1. 用 0 1 作成數字相異的三位數, 其中 1 的倍數有多少個? 10 1 三位數是 的倍數即末二位為 的倍數 三位數是 的倍數即三個位數數字和可被 整除 0 0,0 1 1 0 10,0 1, 0 0,0 共 10 個. 棋盤式道路如圖, 由 A 取捷徑到 B, 試求 : (1) 不經過 P 點的走法有幾種? () 經過 P 點, 但不經過 Q 點的走法有幾種? - -
(1)66;() (1) 不經 P 點 全部 經 P 點 9!!! 16 60 66!!!!!! () 經 P 但不經 Q 點 經 P 點 經 P 且經 Q 點!!!!! 60 6!!!!!! 1!1!!. papaya 一字的字母全取排列, 任二個 a 均不相鄰的排法有幾種? 1! P 1!!. 庭院深深深幾許 七個字重新排列, 恰有二個 深 字相鄰的排法有幾種? 80 將三個深字分為深深 深兩組 排法! P 0 80 ( 種 ). 如圖所示 : 由 A 至 B 取捷徑,(1) 其走法有幾種? () 又由 A 經 C 至 B 的走法有幾種? (1)16;()60 9! (1) 16!! ()A C B!! 106 60!!!! 6. 一樓梯有 階, 某人欲上樓, 一步最多可跨三階, 則有多少種不同上樓方式? 1 設 1 階 x 步, 階 y 步, 階 z 步 x y z,x y z 為非負整數 - -
x 1 0 y 0 1 0 1 z 0 0 1 0 1!!!! 共有! 1 種!!!! 7.1 到 700 正整數中, 恰含有一個數字 6 的有多少個? 189 個位數字為 6 6 6 9 個 十位數字為 6 6 6 9 個 百位數字為 6 6 9 9 81 個 81 189 個 8. 三位的自然數中, 至少含有一個數字 7 的有多少個? 至少含有一個數字 7 的個數 全部 都不含數字 7 9 10 10 8 9 9 900 68 個 9. 某次段考數學試題共有三大題, 每一大題各有 小題, 規定每一大題至少做 小題, 且全部共作 10 小題, 則選題 方法有多少種? 80 (,, ) (,, ) (,, ) C C C! 600 1 C C C! 70! 1 C C C! 100! 600 70 100 80 0. 由 個相異紅球 個相異白球中, 任意選出 球, 則至少含 個紅球之選法有幾種? 0-6 -
至少含 個紅球 全部 含 1 個紅球 皆無紅球 8 C C1 C C 6 1 1 0 1 1. 設 C : C 1 :, 試求正整數 的值 6 ( )! ( 1)!( 1)! : ( )! 1 :!( )! ( 1) 1 ( 1)( 1) 10 70 1 1 8 70 1 0 66 0 11 ( 11)( 6) 0, 6 或 ( 不合 ). 由 7 男 女中, 選出 人, 組成一代表團, 則所選 人至少含 1 女性之選法有幾種? 17 10 7 C C 10 17 沒女生. 平面上相異 1 個點, 其中 A B C D E 恰巧 點共線, 其餘任意 點均不共線, 則 (1) 此 1 個點可決定多少 條直線?() 又可決定多少個三角形? (1)7;()10. 在同一平面上, 有 條相異直線, 個相異橢圓, 條相異拋物線, 則這些圖形最多有多少個交點? 16 直線與直線最多有 橢圓與橢圓最多有 拋物線與拋物線最多有 直線與橢圓最多有 直線與拋物線最多有 橢圓與拋物線最多有 C 10 個交點 C 1個交點 C 個交點 C1 C1 0個交點 10 1 0 0 8 16 C1 C1 0個交點 C1 C1 8個交點. 由五對夫婦中選出 人, 規定夫婦不得同時被選中的選法有幾種? 80 種 - 7 -
所求選法, 相當於先由五對夫婦中, 任意選出三對夫婦, 其方法有 C 種, 再由所選出的三對夫婦中, 每對夫婦各選出 1 人, 則所選 人均不為夫婦, 故得 C C1 C1 C1 10 80 所求選法共有 80 種 6. 自 cocacola 一字的字母中,(1) 任取四個字母的組合數是多少?() 又任取四個字母的排列數為多少? (1)16;()16 原字分為四類 : 個 c, 個 o, 個 a,1 個 l 組合數 1 三同一異 : C C 1 1 二同二同 : C 二同二異 : C C 1 9 排列數! 1!! 18!!! 9 108! 四異 : C 1 1! 組合數共 16 種, 排列數共 16 種 7. 若 P 10 10 P 且 10, 試求 值 10! 10! (10 )! (10 )! (1 )! (10 )! (1 )(11 ) ( )( 18) 0 但是已知 10 8. 如圖, 一人自 A 循捷徑至 B, 問有多少種不同的走法? 此題分下列步驟討論 : 自 A 經 P 至 B, 僅有 1 種走法!! 自 A 經 Q 至 B, 有 16 種!! - 8 -
! 自 A 至 R, 有 1 6 1!! 種, 同理, 自 R 至 B 亦有 種走法故自 A 經 R 至 B, 有 種由 知共有 1 16 種走法 9.1 樓至 樓共有 8 級樓梯, 某人上樓, 跨一級或跨二級, 問有多少種不同的上樓方法? 此人上樓有下列不同情形 : 跨二級 次, 即,,,, 僅有 1 種走法! 跨二級 次 一級 次, 即,,,1,1 有 10!! 種 6! 跨二級 次 一級 次, 即,,1,1,1,1 有 1!! 種 7! 跨二級 1 次 一級 6 次, 即,1,1,1,1,1,1 有 7 6! 種 跨一級 8 次, 僅有 1 種走法 綜上所述, 共有 1 10 1 7 1 種走法 1 0. 若 C C C, 試求 值 7 ( 1)!! ( )!!( 1)!!( )!!( )! ( 1)( ) ( 1) ( )( 1) 7 0 7 或 0( 不合 ) - 9 -