009 年铁岭市初中毕业生学业考试 数学试卷 考试时间 0 分钟试卷满分 50 分 一 选择题 ( 下列各题的备选答案中, 只有一个是正确的, 请将正确答案的选项填在下表中相应题号下的空格内. 每小题 分, 共 4 分 ). 目前国内规划中的第一高楼上海中心大厦, 总投入约 4 800 000 000 元.4 800 000 000 元用科学记数法表示为 ( ) 9 0 9..48 0 元. 0.48 0 元..48 0 元. 4.8 0 元. 计算 ( a ) 的结果为 ( ) 5. a. 8a 6. 8a 5 6. 6a. 如图所示, 已知直线, = 5, = 45, 则 的度数为 ( ).70.80.90.00 4. 一个圆柱体钢块, 正中央被挖去了一个长方体孔, 其俯视图如 图所示, 则此圆柱体钢块的左. 视图是 ( ) 45 5 第 题图 俯视图第 4 题图.... 5. 数据,,,5,6,7 的众数 中位数分别是 ( ).,.,.,.,5 6. 为了美化环境, 某市加大对绿化的投资.007 年用于绿化投资 0 万元,009 年用于绿化投资 5 万元, 求这两年绿化投资的年平均增长率. 设这两年绿化投资的年平均增长率为 x, 根据题意所列方程为 ( ). 0x = 5. 0( + x) = 5. 0( + x) = 5. 0( + x) + 0( + x) = 5 7. 如图所示, 反比例函数 y 与正比例函数 y 的图象的一个交点坐标是 (),, 若 y y 0 > >, 则 x 的取值范围在数轴上表示为 ( )
y.. 0 0.. 0 0 O 第 7 题图 y (), y x 8. 将一等腰直角三角形纸片对折后再对折, 得到如图所示的图形, 然后将阴影部分剪掉, 把剩余部分展开后的平面图形是 ( ) 垂直.... 第 8 题图二 填空题 ( 每小题 分, 共 4 分 ) 9. 分解因式 : a 4a=. 0. 函数 y = 自变量 x 的取值范围是. x +. 小丽想用一张半径为 5cm 的扇形纸片围成一个底面半径为 4cm 的圆锥, 接缝忽略不计, 则扇形纸片的面积是 cm.( 结果用 π 表示 ). 如图所示, 小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分, 阴影部分是黑色石子, 小华随意向其内部抛一个小球, 则小球落在黑色石子区域内的概率是.. 如图所示, 为 O 的直径,P 点为其半圆上一点, PO = 40, 为另一半圆上任意一点 ( 不含 ), 则 P = 度. 第 题图 y P 40 O 第 题图 O 第 4 题图 x 4. 已知抛物线 y = ax + bx + c( a 0 ) 经过点 ( 0),, 且顶点在第一象限. 有下列三个 b 结论 : a < 0 a+ b+ c> 0 > 0. 把正确结论的序号填在 a 横线上. 5. 如图所示, 在正方形网格中, 图 经过变换 ( 填 平移 或 旋转 或 轴对称 ) 可以得到图 ; 图 是由图 经过旋转变换得到的, 其旋转中心是点 ( 填 或 或 ). 6. 如图所示, 把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上, 按照这样的规律摆下去, 则第 n 个图形需要黑色棋子的个数是. 第 5 题图
第 个图形第 个图形第 个图形第 4 个图形 三 解答题 ( 每题 8 分, 共 6 分 ) 第 6 题图 7. 计算 : 0 + + ( π). x 8. 解方程 : =. x x+ 四 解答题 ( 每题 0 分, 共 0 分 ) 9. 如图所示, 在 Rt 中, = 90, = 0. () 尺规作图 : 作线段 的垂直平分线 l ( 保留作图痕迹, 不写作法 ); () 在已作的图形中, 若 l 分别交 及 的延长线于点, 连接. 求证 : =. 0. 某市开展了党员干部 一帮一扶贫 活动. 为了解贫困群众对帮扶情况的满意程度, 有关部门在该市所管辖的两个区内, 分别随机抽取了若干名贫困群众进行问卷调查. 根据收集的信息进行了统计, 并绘制了下面尚不完整的统计图. 已知在甲区所调查的贫困群众中, 非常满意的人数占甲区所调查的总人数的 5%. 根据统计图所提供的信息解答下列问题 : () 甲区参加问卷调查的贫困群众有人 ; () 请将统计图补充完整 ; () 小红说 : 因为甲区有 0 人不满意, 乙区有 40 人不满意, 所以甲区的不满意率比乙区低. 你认为这种说法正确吗? 为什么? 人数甲乙 800 700 760 600 500 40 400 50 00 040 非常满意 满意 第 0 题图 比较满意不满意满意程度 第 9 题图
五 解答题 ( 每题 0 分, 共 0 分 ). 小明和小亮是一对双胞胎, 他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们, 小明和小亮都想先挑选. 于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选. 游戏规则是 : 在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的 4 个小球, 上面分别标有数字 4. 一人先从袋中随机摸出一个小球, 另一人再从袋中剩下的 个小球中随机摸出一个小球. 若摸出的两个小球上的数字和为奇数, 则小明先挑选 ; 否则小亮先挑选. () 用树状图或列表法求出小明先挑选的概率 ; () 你认为这个游戏公平吗? 请说明理由.. 如图所示, 已知 是半圆 O 的直径, 弦, = 0, = 6, 是 延 0 长线上一点, =. 判断直线 与半圆 O 的位置关系, 并证明你的结论. O 第 题图 六 解答题 ( 每题 0 分, 共 0 分 ). 某旅游区有一个景观奇异的望天洞, 点是洞的入口, 游人从入口进洞游览后, 可经山洞到达山顶的出口凉亭 处观看旅游区风景, 最后坐缆车沿索道 返回山脚下的 处. 在同一平面内, 若测得斜坡 的长为 00 米, 坡角 = 0, 在 处测得 的仰角 = 40, 在 处测得 的仰角 = 85, 过 点作地面 的垂线, 垂足为. () 求 的度数 ; () 求索道 的长.( 结果保留根号 ) 第 题图 4
4. 为迎接国庆六十周年, 某校团委组织了 歌唱祖国 有奖征文活动, 并设立了一 二 三等奖. 学校计划派人根据设奖情况买 50 件奖品, 其中二等奖件数比一等奖件数的 倍还 少 0 件, 三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的.5 倍. 各种奖品的单价如下表所示. 如 果计划一等奖买 x 件, 买 50 件奖品的总钱数是 w 元. () 求 w 与 x 的函数关系式及自变量 x 的 取值范围 ; () 请你计算一下, 如果购买这三种奖品所花的总钱数最少? 最少是多少元? 单价 ( 元 ) 一等奖 二等奖 0 三等奖 5 七 解答题 ( 本题 分 ) 5. 是等边三角形, 点 是射线 上的一个动点 ( 点 不与点 重合 ), 是以 为边的等边三角形, 过点 作 的平行线, 分别交射线 于点 G, 连接. () 如图 (a) 所示, 当点 在线段 上时. 求证 : ; 探究四边形 G 是怎样特殊的四边形? 并说明理由 ; () 如图 (b) 所示, 当点 在 的延长线上时, 直接写出 () 中的两个结论是否成立? () 在 () 的情况下, 当点 运动到什么位置时, 四边形 G 是菱形? 并说明理由. 图 (a) G 第 5 题图 图 (b) G 5
八 解答题 ( 本题 4 分 ) 6. 如图所示, 已知在直角梯形 O 中, O, x 轴于点, (), (,. ) 动点 P 从 O 点出发, 沿 x 轴正方向以每秒 个单位长度的速度移动. 过 P 点作 PQ 垂直于直线.. O, 垂足为 Q. 设 P 点移动的时间为 t 秒 ( 0< t < 4), OPQ 与 直角梯形 O 重叠部分的面积为 S. () 求经过 O 三点的抛物线解析式 ; () 求 S 与 t 的函数关系式 ; () 将 OPQ 绕着点 P 顺时针旋转 90, 是否存在 t, 使得 OPQ 的顶点 O 或 Q 在抛 物线上? 若存在, 直接写出 t 的值 ; 若不存在, 请说明理由. y Q O P x 第 6 题图 6
009 年铁岭市初中毕业生学业考试 数学试题参考答案及评分标准 注 : 本参考答案只给出一种或几种解法 ( 证法 ), 若用其他方法解答并正确, 可参考此 评分标准相应步骤赋分. 一 选择题 ( 每小题 分, 共 4 分 ) 题号 4 5 6 7 8 答案 二 填空题 ( 每小题 分, 共 4 分 ) 9. aa ( + )( a ) 0. x >. 0π..70 4. 5. 平移 ( 分 );( 分 ) 6. nn+ ( ) 三 ( 每题 8 分, 共 6 分 ) 或 n + n或 ( n + ) 7. 解 : 原式 = + + 6 分 = + 8 分 8. 解 : 方程两边分别乘以 ( x+ )( x ) 得 xx ( + ) ( x ) = x 分 x + x x+ = x x = 7 分 检验 : 当 x = 时, ( x+ )( x ) 0( 或分母不等于 0) x = 是原方程的根. 8 分四 ( 每题 0 分, 共 0 分 ) 9.() 直线 l 即为所求. 分 作图正确. 分 l () 证明 : 在 Rt 中, Q = 0, = 60, 又 l 为线段 的垂直平分线, =, 5 分 = = 0, = = 60, 第 9 题图 = 0 =, = 60. 又,, =. 8 分在 Rt 中, = 60, = 0, =, =. 0 分 7
0.()00 分 () 图形正确 ( 甲区满意人数有 500 人 ) 5 分 () 不正确. 6 分 0 甲区的不满意率是.5% 00 =, 40 乙区的不满意率是 700 + 760 + 500 + 40 = %, 甲区的不满意率比乙区的不满意率高. 0 分 五 ( 每题 0 分, 共 0 分 ). 解 :() 根据题意可列表或树状图如下 : 第一次第二次 4 (,) (,) (,4) (,) (,) (,4) (,) (,) (,4) 4 (4,) (4,) (4,) 5 分 第一次摸球 4 第二次摸球 4 4 (,)(,)(,4)(,)(,)(,4) 4 (,)(,)(,4)(4,)(4,)(4,) 5 分从表或树状图可以看出所有可能结果共有 种, 且每种结果发生的可能性相同, 符合条件的结果有 8 种, P ( 和为奇数 ) = 7 分 () 不公平. 8 分 小明先挑选的概率是 P ( 和为奇数 ) =, 小亮先挑选的概率是 P ( 和为偶数 ) =,, 不公平. 0 分. 直线 与半圆 O 相切. 分证明 : 法一 : 连接 O, 作 O 于点. = 6, = =. 分 0 5 O = O + = 5 + =. 分 O O 5 =, = =, O 5 O 5 第 题图 5 = O. 6 分 O O, O = O. 7 分 8
O O, 8 分 O = O = 90, O 直线 与半圆 O 相切. 0 分法二 : 连接 O, 作 O 于点, 作 G O 于点 G. = 6, = =. 在 Rt O 中, O = O = 5 = 4 分, G, O, 四边形 OG 是矩形, G = O = 4, OG = =. 0 5 5 6 O = O + = 5 + =, G = O OG = =, 5 分 6 0 在 Rt G 中, = G + G = 4 + =. 0 5 + 5 =, O + = O 8 分. 直线 与半圆 O 相切. 0 分六 ( 每题 0 分, 共 0 分 ).() 解 :, = 90. 又 = 0, = 80, 分 = 85, = 60 80 90 85 = 05. 分 G () 过点 作 G 于点 G. 分在 Rt G 中, G = 40 0 = 0, G = 90 0 = 60 4 分 又 = 00, 第 题图 G = = 00 = 50. G = cos 0 = 00 = 50. 6 分 在 Rt G 中, G = 05 60 = 45 7 分 G = G = 50, 8 分 = G + G = 50 + 50 ( 米 ) 9 分 9
答 : 索道长 50 + 50 米. 0 分 4. 解 :() ω = x+ 0(x 0) + 5[50 x (x 0)] 分 = 7x + 00. 分 x > 0 x 0> 0 由 5 分 [50 x (x 0)] > 0 5[50 x (x 0)].5 0(x 0) 得 0 x < 0 6 分 自变量的取值范围是 0 x < 0, 且 x 为整数. 7 分 () k = 7 > 0, ω 随 x 的增大而增大, 当 x = 0 时, 有 ω 最小值. 8 分最小值为 ω = 7 0 + 00 = 70. 9 分答 : 一等奖买 0 件, 二等奖买 0 件, 三等奖买 0 件时, 所花的钱数最少, 最少钱数是 70 元. 0 分七 ( 本题 分 ) 5.() 证明 : 和 都是等边三角形, =, =, = = 60. 分又 =, =, =,. 分 法一 : 由 得, G = = 60. 又 = = 60, =, 图 (a) G. 5 分第 5 题图又 G, 四边形 G 是平行四边形. 6 分法二 : 证出 G, 得 G = =. 5 分由 得. 得 = G. 四边形 G 是平行四边形. 6 分 () 都成立. 8 分 ( ) 当 = ( = 或 = 或 = 0 或 = 90 或 = 0 ) 时, 四边形 G 是菱形. 9 分理由 : 法一 : 由 得, = 0 分又 =, =. 分由 得四边形 G 是平行四边形, 四边形 G 是菱形. 分 G 图 (b) 第 5 题图 0
法二 : 由 得, =. 9 分又 四边形 G 是菱形, = 分 =. 分法三 : 四边形 G 是平行四边形, G, G, = = 60, = = 60 9 分 = = 60, 是等边三角形. 0 分又 =, 四边形 G 是菱形, = =, G 分 G = 0, = 60, = 0. 分八 解答题 ( 本题 4 分 ) 6. 解 :() 法一 : 由图象可知 : 抛物线经过原点, 设抛物线解析式为 y = ax + bx( a 0). 把 (),, (), 代入上式得 : 分 a = = a+ b 解得 分 = 9a + b + 4 b = 4 所求抛物线解析式为 y = x + x 4 分 法二 : (),, (),, 抛物线的对称轴是直线 x =. 设抛物线解析式为 y = ax ( ) + h( a 0 ) 分 把 O (0, 0), (), 代入得 0 = a(0 ) + h = a( ) + h a = 解得 分 4 h = 4 所求抛物线解析式为 y = ( x ) + x. 4 分 () 分三种情况 :
当 0< t, 重叠部分的面积是 S OPQ, 过点 作 x轴于点, (),, 在 Rt O 中, = O =, O = 45, y 在 Rt OPQ 中,OP = t, OPQ = QOP = 45, PQ = OQ = t cos 45 = t, Q O P x S 第 6 题图 = t = t. 6 分 4 y 当 < t, 设 PQ 交 于点 G, 作 GH x 轴于点 H, OPQ = QOP = 45, 则四边形 OGP 是等腰梯形, 重叠部分的面积是 S 梯形 OGP. Q G G = H = t, O H P S = ( G+ OP) = ( t+ t ) = t. 8 分 第 6 题图 当 < t < 4, 设 PQ 与 交于点 M, 交 于点 N, 重叠部分的面积是 S 五边形 OMN. x 因为 S 五边形 OMN PN 和 MN = S S (),, OP = t, 梯形 O MN. 都是等腰直角三角形, 所以重叠部分的面积是 y Q P = N = t, M M = N = ( t ) = 4 t, N O P S = ( + ) (4 t) 第 6 题图 S = t + 4t. 0 分 () 存在 t = 分 x t = 4 分