学年广东省深圳市龙岗实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷

Transcription

1 学年广东省深圳市龙岗实验学校九年级 ( 上 ) 第一次 月考数学试卷 一 选择题 1. 下列命题中, 假命题是 ( ) A. 平行四边形的两组对边分别相等 B. 矩形的对角线相等 C. 两组对边分别相等四边形是平行四边形 D. 对角线相等的四边形是矩形 2. 下列说法正确的是 ( ) A. 有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 D. 对角互补的平行四边形是矩形 3. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成 3 和 5 两部分, 则该矩形的周长是 ( ) A.16 B.22 或 16 C.26 D.22 或 一元二次方程 x(x-2)=2-x 的根是 ( ) A.x=2 B.x 1 =0,x 2 = -2 C.x 1 =2,x 2 = -1 D.x= 三角形两边长分别为 6 和 5, 第三边是方程 x 2-6x+8=0 的解, 则这个三角形 的周长是 ( ) A.15 或 13 B.15 C.15 或 17 D 关于 x 的方程 (3m 2 +1)x 2 +2mx-1=0 的一个根是 1, 则 m 的值是 ( ) A.0 B. - C. D.0 或, 7. 用配方法解方程 x 2 +4x= -2 下列配方正确的是 ( ) A.(x+4) 2 =14 B.(x+2) 2 =6 C.(x+2) 2 =2 D.(x-2) 2 =2 8. 顺次连接一个四边形的各边中点, 得到了一个矩形, 则下列四边形满足条件 的是 ( ) 第 1 页 ( 共 24 页 )

2 1 平行四边形 ; 2 菱形 ; 3 等腰梯形 ; 4 对角线互相垂直的四边形. A.13 B.23 C.34 D 某公司今年一月产值 200 万元, 现计划扩大生产, 使今后两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数, 这样三年 ( 包括今年 ) 的总产值就达到了 1400 万元. 设这个百分数为 x, 则可列方程为 ( ) A.200(1+x) 2 =1400 B (1+x)+200(1+x) 2 =1400 C.1400(1-x) 2 =200 D.200(1+x) 3 = 在一个不透明的口袋中, 装有 5 个红球 3 个白球, 它们除颜色外都相同, 从中任意摸出一个球, 摸到白球的概率为 ( ) A. B. C. D. 11. 有 x 支球队参加篮球比赛, 共比赛了 45 场, 每两队之间都比赛一场, 则下列方程中符合题意的是 ( ) A. x(x-1)=45 B. x(x+1)=45 C.x(x-1)=45 D.x(x+1)= 如图, 在矩形 ABCD 中, 点 E,F 分别在边 AB,BC 上, 且 AE= AB, 将矩形沿直线 EF 折叠, 点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处, 连接 BP 交 EF 于点 Q, 对于下列结论 :1EF=2BE;2PF=2PE;3FQ=4EQ;4 PBF 是等边三角形. 其中正确的是 ( ) A.12 B.23 C.13 D.14 二 填空题 13. 已知 m 是关于 x 的方程 x 2-2x-3=0 的一个根, 则 2m 2-4m=. 14. 一只袋中装有三只完全相同的小球, 三只小球上分别标有 1, -2,3, 第一次从袋中摸出一只小球, 把这只小球的标号数字记作一次函数 y=kx+b 中的 k, 然后放回袋中搅匀后, 再摸出一只小球, 把这只小球的标号数字记作一次函数 第 2 页 ( 共 24 页 )

3 y=kx+b 中的 b. 则一次函数 y=kx+b 的图象经过一, 二, 三象限的概率. 15. 如图, 沿矩形 ABCD 的对角线折叠, 先折出折痕 AC, 再折叠 AB, 使 AB 落 在对角线 AC 上, 折痕 AE, 若 AD=8,AB=6. 则 BE=. 16. 如图, 已知四边形 ABCD 是边长为 4cm 的菱形, BAD=60, 对角线 AC 与 BD 交于点 O, 过点 O 的直线 EF 交 AD 于点 E, 交 BC 于点 F, 当 EOD=30 时, CE 的长是. 三 解答题 17. 解方程 : (1)(x+1)(2x-4)=0 (2)(x+1)(2-x)=1 (3)(20-x)(4x+20)= 在一个不透明的盒子中, 共有 一白三黑 4 个围棋子, 它们除了颜色之外没有其他区别. (1) 随机地从盒中提出 1 子, 则提出黑子的概率是多少? (2) 随机地从盒中提出两子, 请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果, 并求恰好提出 一黑一白 子的概率. 19. 梦想商店进了一批服装, 进货单价为 50 元, 如果按每件 60 元出售, 可销售 800 件, 如果每件提价 1 元出售, 其销售量就减少 20 件. (1) 现在获利 元, 且销售成本不超过 元, 问这种服装销售单价应 第 3 页 ( 共 24 页 )

4 定多少元? 这时应进多少服装? (2) 当销售单价应定多少元时, 该商店获得最大利润? 最大利润是多少元? 20. 如图, 一农户要建一个矩形猪舍, 猪舍的一边利用长为 12m 的住房墙, 另外三边用 25m 长的建筑材料围成, 为方便进出, 在垂直于住房墙的一边留一个 1m 宽的门, 所围矩形猪舍的长 宽分别为多少时, 猪舍面积为 80m 2? 21. 如图,AC 为矩形 ABCD 的对角线, 将边 AB 沿 AE 折叠, 使点 B 落在 AC 上的点 M 处, 将边 CD 沿 CF 折叠, 使点 D 落在 AC 上的点 N 处. (1) 求证 : 四边形 AECF 是平行四边形 ; (2) 若 AB=3,AC=5, 求四边形 AECF 的面积. 22. 如图, 平行四边形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O, 直线 EF 直线 EF 过点 O 与 AD BC 相交于点 E F, (1) 求证 :OE=OF. (2) 若直线 EF 与 DC BA 的延长线相交于 F E, 请为 (1) 结论是否还成立吗? 如成立, 请证明 ; 若不成立, 请说明理由. (3) 若平行四边形的面积为 20,BC=10,CD=6, 直线 EF 在绕点 O 旋转的过程中, 线段 EF 何时最短? 并求出 EF 的最小值? 23. 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形 OABC 的顶点 A 在 y 轴正半轴上, 边 AB 第 4 页 ( 共 24 页 )

5 OA(AB>OA) 的长分别是方程 x 2-11x+24=0 的两个根,D 是 AB 上的点, 且满 足. (1) 矩形 OABC 的面积是, 周长是. (2) 求直线 OD 的解析式 ; (3) 点 P 是射线 OD 上的一个动点, 当 PAD 是等腰三角形时, 求点 P 的坐标. 第 5 页 ( 共 24 页 )

6 学年广东省深圳市龙岗实验学校九年级 ( 上 ) 第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一 选择题 1. 下列命题中, 假命题是 ( ) A. 平行四边形的两组对边分别相等 B. 矩形的对角线相等 C. 两组对边分别相等四边形是平行四边形 D. 对角线相等的四边形是矩形 考点 命题与定理. 分析 利用平行四边形的判定 矩形的性质及矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项. 解答 解:A 平行四边形的两组对边分别相等, 正确, 是真命题 ; B 矩形的对角线相等, 正确, 是真命题 ; C 两组对边分别相等的四边形是平行四边形, 正确, 是真命题 ; D 对角线相等的平行四边形是矩形, 故错误, 是假命题, 故选 D. 2. 下列说法正确的是 ( ) A. 有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 D. 对角互补的平行四边形是矩形 考点 矩形的判定. 分析 利用矩形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项. 解答 解:A 有一组对角是直角的平行四边形一定是矩形, 故错误, 不符合题意 ; 第 6 页 ( 共 24 页 )

7 B 对角线互相平分的四边形是平行四边形, 故错误, 不符合题意 ; C 有一组邻角是直角的四边形也可能是直角梯形, 故错误, 不符合题意 ; D 对角互补的平行四边形是矩形, 正确, 符合题意, 故选 D. 3. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成 3 和 5 两部分, 则该矩形的周长是 ( ) A.16 B.22 或 16 C.26 D.22 或 26 考点 矩形的性质. 分析 根据矩形性质得出 AD=BC,AB=CD,AD BC, 求出 AE=AB, 分为当 AE=3 或 AE=5 两种情况, 求出即可. 解答 解 : 四边形 ABCD 是矩形, AD=BC,AB=CD,AD BC, AEB= EBC, BE 平分 ABC, ABE= EBC, AEB= ABE, AE=AB, 1 当 AE=3,DE=5 时,AD=BC=3+5=8,AB=CD=AE=3, 即矩形 ABCD 的周长是 AD+AB+BC+CD= =22; 2 当 AE=5,DE=3 时,AD=BC=3+5=8,AB=CD=AE=5, 即矩形 ABCD 的周长是 AD+AB+BC+CD= =26; 即矩形的周长是 22 或 26, 故选 D. 4. 一元二次方程 x(x - 2)=2 - x 的根是 ( ) A.x=2 B.x 1 =0,x 2 = - 2 C.x 1 =2,x 2 = - 1 D.x= - 1 第 7 页 ( 共 24 页 )

8 考点 解一元二次方程-因式分解法. 分析 先移项得到 x(x-2)+(x-2)=0, 然后利用因式分解法解方程. 解答 解:x(x-2)+(x-2)=0, (x-2)(x+1)=0, x-2=0 或 x+1=0, 所以 x 1 =2,x 2 = -1. 故选 C. 5. 三角形两边长分别为 6 和 5, 第三边是方程 x 2-6x+8=0 的解, 则这个三角形的周长是 ( ) A.15 或 13 B.15 C.15 或 17 D.13 考点 解一元二次方程-因式分解法; 三角形三边关系. 分析 先利用因式分解法解方程 x 2-6x+8=0 得到 x 1 =2,x 2 =4, 再利用三角形三边的关系得到三角形第三边为 2 或 4, 然后计算三角形的周长. 解答 解:(x-2)(x-4)=0, x-2=0 或 x-4=0, 所以 x 1 =2,x 2 =4, 当三角形第三边为 2 时, 这个三角形的周长为 2+6+5=13, 当三角形第三边为 4 时, 这个三角形的周长为 4+6+5=15. 故选 A. 6. 关于 x 的方程 (3m 2 +1)x 2 +2mx-1=0 的一个根是 1, 则 m 的值是 ( ) A.0 B. - C. D.0 或, 考点 一元二次方程的解. 分析 一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值. 即用这个数代替未知数所得式子仍然成立. 解答 解: 把 1 代入方程得 3m m-1=0, 解得 m=0 或, 故选 :D. 第 8 页 ( 共 24 页 )

9 7. 用配方法解方程 x 2 +4x= -2 下列配方正确的是 ( ) A.(x+4) 2 =14 B.(x+2) 2 =6 C.(x+2) 2 =2 D.(x-2) 2 =2 考点 解一元二次方程-配方法. 分析 两边配上一次项系数一半的平方即可得. 解答 解: x 2 +4x= -2, x 2 +4x+4= -2+4, 即 (x+2) 2 =2, 故选 :C. 8. 顺次连接一个四边形的各边中点, 得到了一个矩形, 则下列四边形满足条件的是 ( ) 1 平行四边形 ; 2 菱形 ; 3 等腰梯形 ; 4 对角线互相垂直的四边形. A.13 B.23 C.34 D.24 考点 矩形的判定; 三角形中位线定理. 分析 连接平行四边形各边的中点得平行四边形; 连接菱形 对角线互相垂直的四边形, 各边的中点得矩形, 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形推得 ; 连接等腰梯形各边的中点得菱形. 解答 解: 由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得 1 是平行四边形 ; 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形推得 24 是矩形 ; 根据四条边形等的四边形为菱形得 3 是菱形. 故选 D. 9. 某公司今年一月产值 200 万元, 现计划扩大生产, 使今后两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数, 这样三年 ( 包括今年 ) 的总产值就达到了 1400 万元. 设这个百分数为 x, 则可列方程为 ( ) A.200(1+x) 2 =1400 B (1+x)+200(1+x) 2 =1400 C.1400(1-x) 2 =200 D.200(1+x) 3 =1400 考点 由实际问题抽象出一元二次方程. 分析 三年的总产值 = 今年的产值 + 明年的产值 + 后年的产值, 要明确每一年的 第 9 页 ( 共 24 页 )

10 产值的表达式. 根据此等量关系列方程求解即可. 解答 解: 设这个百分数为 x, 则有 (1+x)+200(1+x) 2 =1400. 故选 C. 10. 在一个不透明的口袋中, 装有 5 个红球 3 个白球, 它们除颜色外都相同, 从 中任意摸出一个球, 摸到白球的概率为 ( ) A. B. C. D. 考点 概率公式. 分析 用白球的个数除以球的总个数即可求得摸到白球的概率. 解答 解: 在一个不透明的口袋中, 装有 5 个红球 3 个白球, 它们除颜色外 都相同, 从中任意摸出一个球, 摸到白球的概率为 =. 故选 D. 11. 有 x 支球队参加篮球比赛, 共比赛了 45 场, 每两队之间都比赛一场, 则下列方程中符合题意的是 ( ) A. x(x-1)=45 B. x(x+1)=45 C.x(x-1)=45 D.x(x+1)=45 考点 由实际问题抽象出一元二次方程. 分析 先列出 x 支篮球队, 每两队之间都比赛一场, 共可以比赛 x(x-1) 场, 再根据题意列出方程为 x(x-1)=45. 解答 解: 有 x 支球队参加篮球比赛, 每两队之间都比赛一场, 共比赛场数为 x(x-1), 共比赛了 45 场, x(x-1)=45, 故选 A. 第 10 页 ( 共 24 页 )

11 12. 如图, 在矩形 ABCD 中, 点 E,F 分别在边 AB,BC 上, 且 AE= AB, 将矩形沿直线 EF 折叠, 点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处, 连接 BP 交 EF 于点 Q, 对于下列结论 :1EF=2BE;2PF=2PE;3FQ=4EQ;4 PBF 是等边三角形. 其中正确的是 ( ) A.12 B.23 C.13 D.14 考点 翻折变换( 折叠问题 ); 矩形的性质. 分析 求出 BE=2AE, 根据翻折的性质可得 PE=BE, 再根据直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半求出 APE=30, 然后求出 AEP=60, 再根据翻折的性质求出 BEF=60, 根据直角三角形两锐角互余求出 EFB=30, 然后根据直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半可得 EF=2BE, 判断出 1 正确 ; 利用 30 角的正切值求出 PF= PE, 判断出 2 错误 ; 求出 BE=2EQ,EF=2BE, 然后求出 FQ=3EQ, 判断出 3 错误 ; 求出 PBF= PFB=60, 然后得到 PBF 是等边三角形, 判断出 4 正确. 解答 解 : AE= AB, BE=2AE, 由翻折的性质得,PE=BE, APE=30, AEP=90-30 =60, BEF= = =60, EFB=90-60 =30, EF=2BE, 故 1 正确 ; BE=PE, EF=2PE, EF>PF, 第 11 页 ( 共 24 页 )

12 PF<2PE, 故 2 错误 ; 由翻折可知 EF PB, EBQ= EFB=30, BE=2EQ,EF=2BE, FQ=3EQ, 故 3 错误 ; 由翻折的性质, EFB= EFP=30, BFP= =60, PBF=90 - EBQ=90-30 =60, PBF= PFB=60, PBF 是等边三角形, 故 4 正确 ; 综上所述, 结论正确的是 14. 故选 :D. 二 填空题 13. 已知 m 是关于 x 的方程 x 2-2x-3=0 的一个根, 则 2m 2-4m= 6. 考点 一元二次方程的解. 分析 根据 m 是关于 x 的方程 x 2-2x-3=0 的一个根, 通过变形可以得到 2m 2-4m 值, 本题得以解决. 解答 解: m 是关于 x 的方程 x 2-2x-3=0 的一个根, m 2-2m-3=0, m 2-2m=3, 2m 2-4m=6, 故答案为 : 一只袋中装有三只完全相同的小球, 三只小球上分别标有 1, - 2,3, 第一 第 12 页 ( 共 24 页 )

13 次从袋中摸出一只小球, 把这只小球的标号数字记作一次函数 y=kx+b 中的 k, 然后放回袋中搅匀后, 再摸出一只小球, 把这只小球的标号数字记作一次函数 y=kx+b 中的 b. 则一次函数 y=kx+b 的图象经过一, 二, 三象限的概率. 考点 列表法与树状图法; 一次函数图象与系数的关系. 分析 画树状图展示所有 9 种等可能的结果数, 再出 k>0,b>0 的结果数, 然后根据一次函数的性质和概率公式求解. 解答 解: 画树状图为 : 共有 9 种等可能的结果数, 其中 k>0,b>0 的结果数为 4, 所以一次函数 y=kx+b 的图象经过一, 二, 三象限的概率 =. 故答案为. 15. 如图, 沿矩形 ABCD 的对角线折叠, 先折出折痕 AC, 再折叠 AB, 使 AB 落 在对角线 AC 上, 折痕 AE, 若 AD=8,AB=6. 则 BE= 3. 考点 翻折变换( 折叠问题 ); 矩形的性质. 分析 如答图所示 AB 沿 AE 折叠后点 B 的对应点为 F. 利用勾股定理列式求出 AC, 设 BE=x, 表示出 CE, 根据翻折的性质可得 BE=EF,AF=AB, 再求出 CF, 然后利用勾股定理列方程求出 x 即可. 解答 解: 如图所示 :AB 沿 AE 折叠后点 B 的对应点为 F. 第 13 页 ( 共 24 页 )

14 由勾股定理得,AC= = =10. 设 BE=x, 则 CE=8-x. 由翻折的性质得 :BE=EF=x,AF=AB=6, 所以 CF=10-6=4. 在 Rt CEF 中, 由勾股定理得,EF 2 +CF 2 =CE 2, 即 x =(8-x) 2, 解得 x=3, 即 BE=3. 故答案为 : 如图, 已知四边形 ABCD 是边长为 4cm 的菱形, BAD=60, 对角线 AC 与 BD 交于点 O, 过点 O 的直线 EF 交 AD 于点 E, 交 BC 于点 F, 当 EOD=30 时, CE 的长是. 考点 菱形的性质. 分析 根据菱形的对角线平分一组对角求出 DAO=30, 然后求出 AEF=90, 然后求出 AO 的长, 再求出 EF 的长, 然后在 Rt CEF 中, 利用勾股定理列式计算即可得解. 解答 解: 四边形 ABCD 是菱形, BAD=60, DAO= BAD= 60 =30, EOD=30, AOE=90-30 =60, AEF=180 - DAO- AOE= =90, 菱形的边长为 4, DAO=30, OD= AD= 4=2, AO= =2, 第 14 页 ( 共 24 页 )

15 AE=CF=2 =3, 菱形的边长为 4, BAD=60, 高 EF=4 =2, 在 Rt CEF 中,CE= =, 故答案为 :. 三 解答题 17. 解方程 : (1)(x+1)(2x-4)=0 (2)(x+1)(2-x)=1 (3)(20-x)(4x+20)=600. 考点 解一元二次方程-因式分解法; 解一元二次方程-公式法. 分析 (1) 根据方程得出两个一元一次方程, 求出方程的解即可 ; (2) 先整理, 再代入公式求出即可 ; (3) 整理后分解因式, 即可得出两个一元一次方程, 求出方程的解即可. 解答 解:(1)(x+1)(2x-4)=0, x+1=0,2x-4=0, x 1 = -1,x 2 =2; (2)(x+1)(2 - x)=1, 整理得 :x 2 - x - 1=0, x=, 第 15 页 ( 共 24 页 )

16 x 1 =,x 2 = ; (3)(20-x)(4x+20)=600, 整理得 :x 2-15x+50=0, (x-10)(x-5)=0, x-10=0,x-5=0, x 1 =10,x 2 = 在一个不透明的盒子中, 共有 一白三黑 4 个围棋子, 它们除了颜色之外没有其他区别. (1) 随机地从盒中提出 1 子, 则提出黑子的概率是多少? (2) 随机地从盒中提出两子, 请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果, 并求恰好提出 一黑一白 子的概率. 考点 列表法与树状图法. 分析 (1) 由共有 一白三黑 4 个围棋子, 利用概率公式直接求解即可求得答案 ; (2) 首先画出树状图, 然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好提出 一黑一白 子的情况, 然后利用概率公式求解即可求得答案 解答 解:(1) 共有 一白三黑 4 个围棋子, P( 黑子 )= ; (2) 画树状图得 : 共有 12 种等可能的结果, 恰好提出 一黑一白 子的有 6 种情况, P( 一黑一白 )= =. 第 16 页 ( 共 24 页 )

17 19. 梦想商店进了一批服装, 进货单价为 50 元, 如果按每件 60 元出售, 可销售 800 件, 如果每件提价 1 元出售, 其销售量就减少 20 件. (1) 现在获利 元, 且销售成本不超过 元, 问这种服装销售单价应定多少元? 这时应进多少服装? (2) 当销售单价应定多少元时, 该商店获得最大利润? 最大利润是多少元? 考点 二次函数的应用; 一元二次方程的应用. 分析 (1) 设这种服装提价 x 元, 首先用代数式表示出每件的盈利, 以及可销售的件数, 根据每件的盈利 销售的件数 = 获利 元, 即可列方程求解 ; (2) 根据 (1) 中的等量关系, 可得出关于总利润和调高的价格的函数关系式, 然后根据函数的性质, 求出函数的最大值. 解答 解:(1) 设这种服装提价 x 元, 由题意得 :(60-50+x)=12000, 解这个方程得 :x 1 =10,x 2 =20. 当 x 1 =10 时, =600,50 600=30 000>24 000, 舍去 ; 故 x=20, =400,60+20=80. 答 : 这种服装销售单价确定为 80 元为宜, 这时应进 400 件服装 ; (2) 设利润为 y=(10+x)= -20(x-15) , 当 x=15, 定价为 60+x=75 元时, 可获得最大利润 :12500 元. 20. 如图, 一农户要建一个矩形猪舍, 猪舍的一边利用长为 12m 的住房墙, 另 外三边用 25m 长的建筑材料围成, 为方便进出, 在垂直于住房墙的一边留一个 1m 宽的门, 所围矩形猪舍的长 宽分别为多少时, 猪舍面积为 80m 2? 考点 一元二次方程的应用. 分析 设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为 xm 可以得出平行于墙的一边的长为 (25-2x+1)m. 根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了. 解答 解: 设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为 xm 可以得出平行于墙的一边的 第 17 页 ( 共 24 页 )

18 长为 (25-2x+1)m, 由题意得 x(25-2x+1)=80, 化简, 得 x 2-13x+40=0, 解得 :x 1 =5,x 2 =8, 当 x=5 时,26-2x=16>12( 舍去 ), 当 x=8 时,26-2x=10<12, 答 : 所围矩形猪舍的长为 10m 宽为 8m. 21. 如图,AC 为矩形 ABCD 的对角线, 将边 AB 沿 AE 折叠, 使点 B 落在 AC 上的点 M 处, 将边 CD 沿 CF 折叠, 使点 D 落在 AC 上的点 N 处. (1) 求证 : 四边形 AECF 是平行四边形 ; (2) 若 AB=3,AC=5, 求四边形 AECF 的面积. 考点 翻折变换( 折叠问题 ); 平行四边形的判定与性质 ; 矩形的性质. 分析 (1) 首先证明 ABE CDF, 则 DF=BE, 然后可得到 AF=EC, 依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明 AECF 是平行四边形 ; (2) 由 AB=3,AC=5, 可得 BC=4, 设 CE=x, 则 EM=4-x,CM=5-3=2, 在 Rt CEM 中, 利用勾股定理可解得 x, 由平行四边形的面积公式可得结果. 解答 解:(1) 四边形 ABCD 为矩形, AB=CD,AD BC, B= D=90, BAC= DCA. 由翻折的性质可知 : EAB= BAC, DCF= DCA. EAB= DCA. 在 ABE 和 CDF 中, ABE CDF, DF=BE. 第 18 页 ( 共 24 页 )

19 AF=EC. 又 AF EC, 四边形 AECF 是平行四边形 ; (2) AB=3,AC=5, BC= =4, 设 CE=x, 则 EM=4-x,CM=5-3=2, 在 Rt CEM 中, 依据勾股定理得 :(4-x) =x 2, 解得 :x=2.5, 四边形 AECF 的面积的面积为 :EC AB=2.5 3= 如图, 平行四边形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O, 直线 EF 直线 EF 过点 O 与 AD BC 相交于点 E F, (1) 求证 :OE=OF. (2) 若直线 EF 与 DC BA 的延长线相交于 F E, 请为 (1) 结论是否还成立吗? 如成立, 请证明 ; 若不成立, 请说明理由. (3) 若平行四边形的面积为 20,BC=10,CD=6, 直线 EF 在绕点 O 旋转的过程中, 线段 EF 何时最短? 并求出 EF 的最小值? 考点 四边形综合题. 分析 (1) 由四边形 ABCD 是平行四边形, 易证得 AOF COE(ASA), 即可得 OE=OF; (2) 由四边形 ABCD 是平行四边形, 易证得 AOE COF(AAS), 即可证得 OE=OF; (3) 根据平行线间距离最短判断出 EF BC 时,EF 最短, 最后根据平行四边形的面积即可确定出结论. 解答 解:(1) 四边形 ABCD 是平行四边形, 第 19 页 ( 共 24 页 )

20 OA=OC,AD BC, OAE= OCF, 在 AOE 和 COF 中,, AOE COF, OE=OF; (2) 成立. 理由 : 四边形 ABCD 是平行四边形, OA=OC,AB CD, E= F, 在 OAE 和 OCF 中,, AOE COF(AAS), OE=OF; (3)1 当直线 EF 在绕点 O 旋转的过程中, 直线 EF 与 AD,BC 相交时,EF BC 时,EF 最短, 平行四边形的面积为 20,BC=10, S 平行四边形 ABCD=BC EF=10 EF=20, EF=2. 直线 EF 在绕点 O 旋转的过程中,EF BC 时,EF 最短,EF 的最小值为 2. 2 当直线 EF 在绕点 O 旋转的过程中, 直线 EF 与 DC BA 的延长线相交时,EF AD 时,EF 最短, 同 1 的方法, 得出 EF 最小值为 =, 即 : 直线 EF 在绕点 O 旋转的过程中,EF BC 时,EF 最短,EF 的最小值为 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形 OABC 的顶点 A 在 y 轴正半轴上, 边 AB OA(AB>OA) 的长分别是方程 x 2-11x+24=0 的两个根,D 是 AB 上的点, 且满足. (1) 矩形 OABC 的面积是 24, 周长是 22. 第 20 页 ( 共 24 页 )

21 (2) 求直线 OD 的解析式 ; (3) 点 P 是射线 OD 上的一个动点, 当 PAD 是等腰三角形时, 求点 P 的坐标. 考点 相似形综合题; 解一元二次方程-因式分解法 ; 待定系数法求正比例函数解析式 ; 等腰三角形的判定与性质 ; 等腰直角三角形. 分析 (1) 根据边 AB OA(AB>OA) 的长分别是方程 x 2-11x+24=0 的两个根, 即可得到 AO=3,AB=8, 进而得出矩形 OABC 的面积以及矩形 OABC 的周长 ; (2) 根据,AB=8, 可得 AD=3, 再根据 AO=3, 进而得出 D( -3,3), 再根据待定系数法即可求得直线 OD 的解析式 ; (3) 根据 PAD 是等腰三角形, 分 4 种情况讨论 : 当 AD=AP 1 =3 时, 当 DA=DP 2 =3 时, 当 AP 3 =DP 3 时, 当 DA=DP 4 =3 时, 分别根据等腰直角三角形的性质, 求得点 P 的坐标. 解答 解:(1) x 2-11x+24=0, (x-3)(x-8)=0, x 1 =3,x 2 =8, AB OA(AB>OA) 的长分别是方程 x 2-11x+24=0 的两个根, AO=3,AB=8, 矩形 OABC 的面积 =3 8=24, 矩形 OABC 的周长 =2(3+8)=22, 故答案为 :24,22; (2),AB=8, AD=3, 又 AO=3, D( -3,3), 设直线 OD 解析式为 y=kx, 则 第 21 页 ( 共 24 页 )

22 3= - 3k, 即 k= - 1, 直线 OD 的解析式为 y= - x; (3) AD=AO=3, DAO=90, AOD 是等腰直角三角形, ADO=45,DO=3, 根据 PAD 是等腰三角形, 分 4 种情况讨论 : 1 如图所示, 当 AD=AP 1 =3 时, 点 P1 的坐标为 (0,0); 2 如图所示, 当 DA=DP 2 =3 时, 过 P 2 作 x 轴的垂线, 垂足为 E, 则 OP 2 =3-3, OEP 2 是等腰直角三角形, P 2 E=OE= =3-, 点 P 2 的坐标为 (-3+,3- ); 3 如图所示, 当 AP 3 =DP 3 时, DAP 3 = ADO=45, ADP 3 是等腰直角三角形, DP 3 = =, P 3 O=3 - =, 过 P 3 作 x 轴的垂线, 垂足为 F, 则 OP 3 F 是等腰直角三角形, P 3 F=OF=, 点 P 3 的坐标为 (-, ); 4 如图所示, 当 DA=DP 4 =3 时,P 4 O=3+3, 过 P 4 作 x 轴的垂线, 垂足为 G, 则 OP 4 G 是等腰直角三角形, P 4 G=OG= +3, 点 P 4 的坐标为 (-3-,3+ ); 综上所述, 当 PAD 是等腰三角形时, 点 P 的坐标为 (0,0) ( -3+,3 - ) (-, ) (-3-,3+ ). 第 22 页 ( 共 24 页 )

23 第 23 页 ( 共 24 页 )

24 2017 年 4 月 11 日 第 24 页 ( 共 24 页 )