標題

2 2 排列 ( 甲 ) 直線排列 (1) 直線排列的引入 : 例子 : 從建中高二某班 5 個同學中, 選出 3 人排成一列, 有幾種排法? 解法 :5 個同學以 CDE 表示, 選出 3 人排成一列, 我們將這個過程, 分成 3 個步驟, 配合樹狀圖, 可得排法共有 5 4 3 種方法 數學上, 我們將這樣的排列方法稱為在 5 個不同的事物中, 選取 3 個排成一列, 符號上以 P 5 3 來表示 即 P 5 3=5 4 3 C D E C D E E D (2) 直線排列的定義 : 從 n 個不同的事物中, 選取 m 個 (1 m n) 來排列, 共有 n(n 1)(n 2) (n m+1) 種方法 [n 往下乘 m 個 ] 我們將這樣的方法數, 用 P n m 來表示 即 P n m= n(n 1)(n 2) (n m+1) 為了方便表示, 規定 n!=1 2 3 n,0!=1 因此 P n m= n(n 1)(n 2) (n m+1)= n(n 1)(n 2) (n m+1)(n m) 2 1 = (n m) 2 1 特別 P n n= n! 0! =n! 結論 : (1) 從 n 個不同的事物中, 選取 m 個 (1 m n) 來排列, 共有 P n m 種方法 n! (2) P n m= n(n 1)(n 2) (n m+1)= (n m)! 例子 :3!=6,4!=24,5!=120,6!=720 例子 :P 6 4=6 5 4 3= 6! (6 4)! = 6! 2!,P10 4=10 9 8 7= 10! 6! [ 例題 1] 請計算下列各小題 : (1)2P n 3 =3 P n+1 2 +6P n 1, 求 n=?(2)5p 9 n =6P 10 n 1, 求 n=? ns:(1)n=5 (2)n=7 n! (n m)! ~2 2 1~

[ 例題 2] 請求出下列各小題的方法數 : (1) 甲乙丙三人在排成一列的 8 個座位中, 選坐相連的三個座位, 則有幾種坐法? (2)9 個人組成一個少棒隊, 已知三 四棒的人選已定, 而投手與捕手要安排在第七 八 九棒, 請問教練可以排出幾種不同的打擊順序? ns:(1)36 (2)720 ( 練習 1) 設 P 3 n+1 =10P 2 n 1, 求 n=? ns:n=4 或 5 ( 練習 2) 若 2P 8 n 2=P 8 n, 則 n=? ns:8 n n 1 n 1 ( 練習 3) 請證明 : P = r P + r r P r 1 這個式子可以做這樣的解釋 : 假設 50 個人中含有一人為甲, 則從 50 個人中選取 6 個之排列數為 P 50 6 利用加法原理, 可將這樣的過程分成兩類 : 不含甲之排列數為 P 49 6 與含甲的排列數為 P 6 1 P 49 5( 某甲先選座位, 剩下 5 個座位再由其他 49 人選取排列 ) 因此可得 P 50 6= P 49 6+ P 6 1 P 49 5 ( 練習 4) 某桌球隊要從 10 名選手中排出 5 名, 分別參加五場單打友誼賽,10 名選手中近況特佳的有 3 位, 教練決定任意安排他們分別在第一 三 五場出賽, 另外兩場則由其餘選手任意選出排定, 則此球隊出場比賽的名單順序一共可以有 種 ns:252 ( 練習 5) 甲 乙 丙三人在排成一列的八個座位中選坐三個座位, 但不能三個座位全相連, 共有 種坐法 ns:300 ( 練習 6) 兄弟二人在排成一列的 20 個空位中, 選坐不相鄰的兩個座位, 則有多少種不同的坐法 ns:342 (83 學科 ) ~2 2 2~

(3) 有限制條件之直線排列 : (a) 若要求 k 個人相連, 先將這 k 個人視為一整體, 排定後再排此 k 個人 (b) 若要求 k 個人分開, 則先排其他人, 在將這 k 個人安排至其他人的空隙中 (c) 男女相間隔的排列, 先排女人 ( 或男人 ), 再插排入男人 ( 或女人 ) (d) 考慮反面計算 : 全部方法 不合的方法 (e) 應用排容原理 [ 例題 3] ( 有限制條件之直線排列 ) 甲乙丙丁等 7 人排成一列, 請求出下列情形的方法數 : (1) 甲乙丙三人相鄰 (2) 甲乙丙分開 (3) 甲乙相鄰, 丙丁不相鄰 (4) 甲不排首位 (5) 甲不排首位, 乙不排尾 (6) 甲乙相鄰, 甲丙不相鄰 ns:(1)3! 5!=720 (2)4! P 5 3=1440 (3)4! 2! P 5 2=960 (4)7! 6!=4320(5)3720 (6)1200 [ 例題 4] ( 有限制條件之直線排列 ) (1) 五男四女排成一列, 男女相間隔之排法有幾種? (2) 五男五女排成一列, 男女相間隔之排法有幾種? ns:(1)5! 4! (2)2 (5!) 2 ~2 2 3~

[ 例題 5] 設 a 1,a 2,a 3,a 4,a 5 是 1,2,3,4,5 的一種排列 ( 例如 13254,15432, 等均是 1,2,3,4,5 的一種排列 ) 求滿足下列各式的排列數 : (1)(2 a 4 )(1 a 3 )=0 (2)(1 a 1 )(3 a 3 ) 0 (3) (1 a 1 )(2 a 2 )(3 a 3 )(4 a 4 )(5 a 5 ) 0 ns:(1)42 (2)78 (3)44 ( 練習 7) 一對新婚夫妻家庭有 6 人排成一列拍結婚照, 但新婚夫妻一定排在中間的兩個位置, 請問共有幾種排法? ns:48 ( 練習 8) 有 4 個女生 3 個男生排成一列, 若要求男生排在一起, 女生排在一起, 則其排列方法有 種 ; 若要求男女相間隔排列, 排列方法有 種,3 個男生要分開排列的方法有 種 ns:288,144,1440 ( 練習 9) 甲乙丙丁戊己六人排成一列, 求下列的排列數? (1) 乙丙均與甲相鄰 (2) 甲乙相鄰, 甲丙不相鄰 (3) 甲乙丙中恰二人相鄰 ns:(1)48 (2)192 (3)432 ( 練習 10) 某班一天有七節課, 每一節課均排不同的科目, 其中體育課不排第四節, 數學課不排第七節, 請問這一天的課表有幾種排法?ns:3720 ( 練習 11) 甲, 乙, 丙 等七人排成一列, 求甲不排首, 乙不排次, 丙不排三的排列數 ns:3216 ( 練習 12) 設,,C,D 等十人排成一列, 規定, 不排首,C,D 不排末之方法有幾種?ns:8! 58 [ 提示 : 全部 (, 排首 ) (C,D 排末 )+(, 排首且 C,D 排末 )] ( 練習 13) 五對夫婦參加舞會, 每個先生均不與他的太太共舞的情形有幾種? ns:44 ( 練習 14) 有,,C,D,E,F 六家, 除 與 C 外, 其餘任兩家之間均有直路相通, 且無任三家在一直線上, 今有一人自 出發, 訪問其他五家, 又返回, 但每家不得重複訪問, 則有 種方法 ns:72 [ 提示 : 若 CDEF 表示 C D E F, 以 為起點, 為 ~2 2 4~

終點, 中間,C,D,E,F 任意排列, 每一種排法對應一種走法, 但,C 相鄰需排除掉, 即,C 要分開 ] ( 乙 ) 有相同物的直線排列例子 : 四個英文字母 排成一列, 請問有幾種排法? [ 方法 ]: 先將 這三個相同的字母視為不同, 設為 1 2 3 所以先視為 1 2 3 這 4 個不同字母的排列, 共有 4! 種, 如下所示 : 1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 3 2 1 1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 3 2 1 1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 3 2 1 1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 3 2 1 但是當我們將 1 2 3 還原成 的時候 1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 3 2 1 以上 6 種排列情形, 均代表同一種 4! 換句話說 3! 種的排列要視為同一種, 因此排列方法有 3! =4 種 (1) 有相同物的直線排列 : 設有 n 件物品, 共有 k 種不同不同種類, 第一類有 m 1 個, 第二類有 m 2 個,., 第 k 類有 m k 個 ( 此處 n=m 1 +m 2 +m 3 +.+m k ), 此處此 n 件物品排成一列, n! 共有種不同的排法 m 1! m 2! m k! 例如 : 用 3 個相同的紅球,2 個相同的黃球,4 個相同的黑球, 排成一列有幾種排法? [ 解法 ]: 9! 3! 2! 4! [ 例題 6] pallmall 一字中各字母排成一列 (1) 有幾種排法?(2) 所有之 l 皆相鄰而兩個 a 分開 (3) 其中三個 l 在一起, 另一 l 分離 ns:(1)840(2)36 (3)240 ~2 2 5~

[ 例題 7] 有 2 個相同的紅球,3 個相同的白球,4 個相同的黑球分給 (1)9 人 (2)11 人每人至多一球, 球一定要分完, 請問有幾種分法? [ 例題 8] 鳴放氣笛作信號, 長鳴一次需 4 秒, 短鳴一次需 1 秒, 每次間隔時間為 1 秒, 請問 30 秒的時間可作出多少種的信號?ns:235 [ 例題 9],,C,D,E,F,G 排成一列, 求下列排列數 : (1),,C 順序不變 (2) 在,C 之前 (3) 在 之前,F 在 G 之後 (4), 在 C,D,E 之前 ns:(1)840 (2)1680 (3)1260 (4)504 ~2 2 6~

( 練習 15) %%%& 以上 8 個符號排成一列, 若 %%% 均不相鄰, 共有幾種排法? ns:1200 ( 練習 16) 用 0,0,1,2,2,,2,3,3 排成一列 (1) 形成幾個八位數? (2) 形成幾個八位偶數? (3) 形成幾個八位數且為 5 的倍數?ns:(1)1260 (2)810 (3)360 [ 提示 :(1) 可考慮反面情形的計算 (2) 偶數表示末位為 0 或 2 (3) 末位數為 0] ( 練習 17) 七本書分給 10 個人, 每人至多一本 (1) 書本相同有幾種分法? (2) 書本不同有幾種分法? ns:(1)120 (2)604800 ( 練習 18) LKKLMM 排成一列, 要求同字不相鄰, 方法有幾種? ns:30 ( 練習 19) pontoon 一字, 各字母排成一列, 求下列各排列數 : (1) 全部任意排成一列 (2) 三個 o 完全在一起 (3) 恰有兩個 o 在一起 (4) 三個 o 完全分開 ns:(1)420 (2)60 (3)240 (4)120 ( 練習 20) 甲, 乙, 丙,, 庚等 7 人排成一列, 甲在乙的左方, 且在丙的左方有種排法 ns: 1680 ( 練習 21) factoring 中各字母, 每次全取排列 (1) 母音保持 a,o,i 之順序有幾種排法? (2) 母音保持 a,o,i 之順序, 同時子音保持 f,c,t,r,n,g 之順序有幾種排法? ns:(1) 9! 3! (2) 9! 3!6! ( 練習 22) cabbage 一字, 各字母排成一列, 其中相同字母不相鄰, 有幾種排法? ns:660[ 提示 : 考慮反面情形的計算 ] ( 練習 23) 一樓梯有 8 級, 某人上樓, 每步走一級或二級或三級, 則此人上樓的方法有幾種? ns:81 ( 丙 ) 環狀排列例子 :CD 四個人圍成一個圓圈, 請問有幾種方法? [ 解法 ]: 若將 CD 四人視為直線排列, 共有 4! 種方法, 就圍成一圈的觀點 D C D C D C C D ~2 2 7~

以上的四種排列 CD DC CD CD 均視為同一種排法, 因此 CD 4! 四個人圍成一個圓圈, 共有 4 種方法 例子 : 在 6 人中選取四人圍成一個圓圈, 請問有幾種方法? [ 解法 ]: 先將在 6 人中選取 4 人作直線排列, 有 P 6 4 種方法 假設選了 CD 四個人作環狀排列, 由前面的說明可知 CD DC CD CD 均視為同一種排法, 因此每 4 個排法視為同一種, 因此在 6 人中選取四 人圍成一個圓圈共有 P 6 4 1 4 種方法 (1) 環狀排列的定義 : 自 n 個相異事物中, 每次取 m 個沿圓周或封閉曲線排列, 其排列數為 P n m 1 m [ 例題 10] 5 對夫妻圍圓桌而坐, 在下列情形中之排法有幾種? (1) 任意圍成一圓圈 (2) 男女相間隔 (3) 夫妻相鄰 (4) 夫妻相鄰且男女相間隔 (5) 男女相對 (6) 夫妻相對 ns:(1)9! (2)4! 5! (3)4! 2 5 (4)4! 2 (5)4! 2 4 5!(6)4! 2 4 [ 例題 11] 12 人圍坐下列情形之桌子, 每邊所坐人數相同, 則坐法有幾種? (1) 正三角形桌 (2) 正方形桌 (3) 正六角形桌 (4) 長方形桌長邊 4 人, 短邊 2 人 ns:(1) 12! 3 (2) 12! 4 (3) 12! 6 (4) 12! 2 ~2 2 8~

結論 : (a) 正 k 邊形之排列 : 1 正 k 邊形的桌子, 每邊坐的人數相同, 則 n 人之排列數為 k ( 直線排列數 ) (b) 長方形桌子之排列 : 長方形桌, 兩個長邊所作人數相同, 另兩短邊所作人數亦相同, 其排列數為 1 2 ( 直線排列數 ) [ 例題 12] 有紅色 藍色 綠色 紫色 4 種不同的水晶, 串成一串項鍊, 請問可以串成 幾種不同的項鍊? ns: 1 2 4! 1 4 結論 : 1 (a) 取 n 個相異的珠子串成一個項鍊, 有 2 (n 1)! 種方法 1 (b)n 個相異的珠子, 每次取 m 個串成一個項鍊, 有 2 Pn m 1 m 種方法 ( 練習 24) 爸爸, 媽媽, 哥哥, 妹妹四人參加喜宴, 與其他客人坐滿一張 12 人座位的圓桌 若四人座位相鄰, 且哥哥與妹妹夾坐於爸爸, 媽媽之間, 則共有幾種不同的坐法?ns:161280 (83 自 ) ( 練習 25) 甲乙丙丁. 等 8 人為成一個圓圈而坐, 若甲乙相鄰且丙丁相對, 有幾種排法? ns:192 ( 練習 26) 紅, 黃, 白, 等 12 顆不同色的珠子, (1) 任選 8 顆作環狀排列, 有種不同的排法 (2) 任選 8 顆 ( 含紅, 黃, 白 ) 串成一項圈, 且紅, 黃, 白三色均不得相鄰, 則可串出種不同的項圈 ns:(1) P12 8 8 =2494800(2)P9 5 1 5 P5 3 1 2 ( 練習 27) 8 人圍坐, (1) 坐一正方桌, 每邊 2 人, 有種坐法 (2) 坐一長方桌, 長邊 3 人, 短邊 1 人, 則有種坐法 8! 8! ns:(1) =10080(2) =20160 4 2 ( 練習 28),,C,D,E,F,G,H 共 8 人作環狀排列, 求下列各排列數 : (1) C 互不相鄰 (2) 恰與,C,D 之一相鄰 ~2 2 9~

ns:(1)1440 (2)2880[ 提示 : 考慮 C 相鄰 (C,C,DC,CD 之情形 )=2 6! 5! 4=960, 同理,D 相鄰也是同樣的方法 ] ( 練習 29) aaabb 作環狀排列共有幾種排法? ns:2 ( 丁 ) 重複排列例子 : 用 12345 五個字母排成一個三位數, (1) 數字可重複, 可作出幾個三位數? (2) 數字不可重複, 可作出幾個三位數? [ 解法 ]: (1) 百位數 十位數 個位數都有 5 種方法 5 3 種三位數字 ( 重複排列 ) (2) 百位數 十位數 個位數分別有 5 4 3 種方法 5 4 3 種三位數字 (1) 重複排列的定義 : 從 m 種不同之事物選取 n 個排成一列 (n,m 無大小關係 ), 但可以重複選取, 這種排列稱為重複排列, 排列方法有 m n 個 [ 例題 13] 請求出下列各小題的排列數 : (1) 有 10 位選舉人,3 位候選人, 採計名投票, 每人都要投, 請問有幾種結果? (2) 一個多重選擇題, 有,,C,D,E 五個選項, 請問答案有幾種型式? (3)10 名學生要爭奪 3 項比賽的錦標, 請問得到冠軍的可能性有幾種? (4)5 個人於十字路口話別後, 同時離開 ( 沒有 5 人同走一條路 ) 共有幾種可能情形? ns:(1)3 10 (2)2 5 1 (3)10 3 (4)4 5 4 [ 例題 14] 設有渡船 3 艘, 每船安全載量為 5 人, 求下列人數安全過渡的方法有幾種? (1)4 人 (2)6 人 (3)7 人 ns:(1)3 4 (2)3 6 3 (3)2142 ~2 2 10~

[ 例題 15] 有 5 封不同的信件, 投入甲乙丙丁 4 個不同的郵筒, 則甲乙丙三郵筒均至少投入一封郵件的投法有幾種? ns:390 ( 練習 30) 投擲 3 個不同的骰子, 請問會有幾種不同的結果? ns:216 ( 練習 31) 我國自用小汽車的牌照號碼, 前兩位為大寫英文字母, 後四位為數字, 例如 : -0950, 若最後一位數字不用 4, 且後四位數沒有 0000 這個號碼, 那麼我國可能有的自用小汽車牌照號碼有多少個 () 26 25 ( 4320-1) () 26 25 4320-1(C) 26 25 ( 5040-1)(D) 26 26 ( 9000-1)(E) 26 26 9000-1 個 ns:(d) ( 練習 32) 7 個不同的書本分贈給 4 人, 請求依下列情形分配的方法有幾種? (1) 甲至少分得一本書 (2) 甲恰得一本書 (3) 甲至少二本書 (4) 每人至少一本書 ns:(1)4 7 3 7 (2)7 3 6 (3)4 7 3 7 7 3 6 (4)4 7 4 3 7 +6 2 7 4 1 7 +1 0 7 ( 練習 33) 5 本不同的玩具, 分贈給甲乙丙 3 人, 每人至少得一件之方法有幾種? ns:150 ( 練習 34) 渡船三隻, 每船可載 6 人, 則 (1) 8 人過渡, 有種安全渡法 (2) 7 人過渡, 但甲坐 船, 有種安全渡法 ns: (1) 6510(2) 728 ~2 2 11~

( 戊 ) 排列的應用 (1) 走捷徑 : [ 例題 16] 如圖, 一人走捷徑由 到 ( 即只能走 ) (1) 走捷徑有幾種走法? (2) 若每次需經過 D, 其走法有幾種? (3) 若不經過 C 且不經過 D, 其走法有幾種? ns:(1)210 (2)100 (3)80 C D E E [ 例題 17] 如圖, 由 走到 走捷徑, 但不走斜線部分區域之路徑, 依下列情形求走法數 (1) 經 C (2) 經 D (3) 自由走但不經斜線區域 ns:(1)50 (2)8 (3)23 D C E D C ~2 2 12~

( 練習 35) 棋盤街道如右圖, 南北街道有 8 條, 東西街道有 6 條, 某人自 取捷徑走到, 下列走法各有多少種? (1) 走捷徑 (2) 必須經過 P (3) 必須經過 P 與 Q (4) 不許經過 P,Q ns:(1)792 (2)350 (3)180 (4)286 P Q ( 練習 36) 如右圖, 由 走到 取捷徑 但不許經過斜線區之方法有幾種? ns:108 ( 練習 37) 在坐標平面上, 自 ( 4, 3) 走捷徑到 (3,3), (1) 要經過第二象限, 請問有幾種走法? (2) 不經過原點有幾種走法? (2) 數字問題 : 數字排列的一些常識 : (a) 首位數字不為 0 (b) 奇數 末位數字奇數 ; 偶數 末位數字為偶數 ; 4 的倍數 末兩位為 4 的倍數 ;3(9) 的倍數 數字和為 3(9) 的倍數 5 的倍數 末位數字 0 或 5 ~2 2 13~

(c) 字典式排列數之大小, 由首位 次位數,, 之大小逐個計算 (d) 所有整數的和 =( 個位數字的和 )+( 十位數字的和 ) 10+( 百位數字的和 ) 100+... (e) 不可含某數字 : 由個位數 十位數 看各位數字之其他可能情形, 再用乘法原理, 但要注意首位數字不為 0 (f) 至少含某一個數字 = 所有情形 ( 不含某數字 ) [ 例題 18] 用 0,1,2,3,4,5 作相異數字之四位數, 請求出滿足下列要求的四位數個數? (1) 數字相異四位數 (2) 偶數 (3)3 的倍數 (4)4 的倍數 (5)5 的倍數 ns:(1)300 (2)156 (3)96 (4)72 (5)108 [ 例題 19] 以 0,1,2,3,4 不重複所作的三位數之總和為? ns:12990 ( 練習 38) 用 2,3,4,5,6 五個數字排成三位數 (1) 數字可以重複, 有多少個不同的三位數 (2) 數字不可以重複, 則所有三位數的和 =? ns:(1)125 (2)26640 ( 練習 39) 二位數中 :(1) 個位數字 > 十位數字共有幾個?(2) 十位數字 > 個位數字共右幾個? ns:(1)36 (2)45 ~2 2 14~

( 練習 40) 用 0,1,2,3,4,5 組成數字相異的四位數, 求其中小於 2345 者共有幾個? ns:92 ( 練習 41) 自 1~1000 之正整數中, 至少有一個數字 7 的共有幾個? ns:271 ( 練習 42) 用 0,1,2,3,4,5 作成四位數, (1) 數字不可重複, 則大於 2100 者有多少個? (2) 數字可重複, 則大於 2100 者有多少個? ns:(1)228 (2)827 (3) 塗色問題 : [ 例題 20] 今用 10 種不同的顏色, 試塗下列可轉動 ( 不可翻動 ) 的積木板, 但規定每一區域著不同的顏色, 問各有幾種塗法? (1) (2) (3) (4) (5) [ 分析 ]: 先固定塗色 ( 視為直線排列 ), 在除以旋轉合併數 ( 觀察每幾類旋轉視為同一種 )] ns:(1) P10 4 4 (2) P10 8 4 (3) P10 4 3 (4) P10 9 3 (5) P10 7 6 ~2 2 15~

[ 例題 21] 用 6 種顏色塗一正立方體每個面, 且各面須不同色, 有幾種不同的塗法? 結論 : 可翻轉的立體圖色 (a) 用 n 種不同的顏色塗正 y 面體 ( 每面為正 x 面體 ), 使每面不同色之塗法 = Pn y x y 定位排列數 (b) 排列數 = 平面上的旋轉 空間中的翻轉 ( 練習 43) 用 10 種不同的顏色塗下列各立體, 請問有幾種塗法? (1) (2) (3) ( 直圓柱 ) ( 正四面體 ) ( 正三角柱 ) (4) (5) ( 正四角柱, 底面正方形 ) ( 底面是長方形的長方體 ) ns:(1) P10 3 2 (2) P10 3 3 4 (3) P10 3 3 2 (4) 10 9 P8 4 4 1 2 (5) 10 9 P8 4 2 1 2 ( 練習 44) 用 9 種不同的顏色塗右圖中的 9 個區域, 每一個區域的顏色都不同, 則有幾種塗法 ( 圖形可以旋轉 ) ns:90720 ~2 2 16~

綜合練習 (1) 老師將 12 枝相同的鉛筆分給甲乙丙丁戊己六位小朋友, 其兩位分得四枝, 兩位分得兩支, 而有兩位沒分到, 則有種分法 (83 自 ) (2) 由 1,2,3,4,5,6,7,8 這八位數字中取出五個不同數字作成五位數, 且第一位, 第三位, 第五位均限用奇數, 問可作成若干不同之數? Ο Ο Ο Ο (3) 4 男 4 女排成二列, 如圖 : 求下列之排法數 : Ο Ο Ο Ο (a) 上排是男生, 下排是女生 (b) 上下兩排均是男女相間隔 (c) 上下左右均是男女相間隔 (4),,C,D,E 等 7 人排成一列, 求,,C 三人都不與 D 相鄰的排法有多少種? (5) 甲乙丙丁戊 5 人排成一列, (a) 若甲乙丙要保持順序不變 ( 不一定要相鄰 ), 則排列方法有幾種? (b) 若甲一定要排在丙丁之間, 則排列方法有幾種? (6) 設 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6 是 1,2,3,4,5,6 的任一排列, 求下列的排列數 : (a)(x 1 1)(x 2 2)(x 3 3)=0 (b) (x 1 1)(x 2 2)(x 3 3)(x 4 4) 0 (c) (x 1 1)(x 2 2)(x 3 3)(x 4 4)(x 5 5)(x 6 6) 為奇數 (7) 把 庭院深深深幾許 七個字全取而排列之, 則 : (a) 任意排列之方法有 種 (b) 使其中三個 深 字不完全連在一起的排法有 (c) 使其中三個 深 字完全分開的排法有 (d) 使其中三個 深 字至少有兩個相鄰的排法有 (e) 使其中三個 深 字恰有兩個相鄰的排法有 (8) 左下圖所示為一個含有斜線的棋盤街道圖 今某人欲從 取捷徑走至, 共有種走法 種 種 種 種 (9) 下圖共 12 格 ( 每格有編號, 以表示位置固定 ), 今以黃色塗 3 格, 紅色塗 4 格, 綠色塗 2 格, 其餘 3 格不塗色, 請問有幾種塗法? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ~2 2 17~

(10) 某地共有 9 個電視頻道, 將其分配給 3 個新聞台 4 個綜藝台及 2 個體育台共三種類型 若同類型電視台的頻道要相鄰, 而且前兩個頻道保留給體育台, 則頻道的分配方式共有種 (2006 學科 ) (11) attribute 一字, 各字母排成一列, 求下列的排列數 : (a) 子音排奇數位, 母音排偶數位 (b) 母音保持 a,i,u,e 之順序 (c) 子音保持 t,t,,r,b,t 之順序 (d) 子音母音的順序不變 (12) 鳴放氣笛作信號, 長鳴一次需 15 秒, 短鳴一次需 10 秒, 每次間隔時間為 5 秒, 請問 75 秒的時間可作出多少種的信號? (13) 空中懸吊著 C 三串珠子, 某神射手用槍彈一個個把珠子擊落, 不分 C 的順序, 任意射擊, 但每次只能打落一粒珠子, 請問 9 粒珠子全部打下來, 共有多少種方法? C (14) 黑白棋排成上下二列, 每列 9 個, 上列 3 白 6 黑, 下列 2 白 7 黑, 二列棋子一一對應, 若上下白子不相對, 請問有幾種排法? (15) 6 男 4 女圍成一圈而坐, 女性不相鄰的坐法有幾種? (16) (a) 設有 12 人分三層, 手拉手圍成三個圓圈, 內層 3 人, 中層 4 人, 外層 5 人, 則其排法有幾種? (b) 若 12 人等分為 3 組, 不分組每 4 人圍成一圈其排法有幾種? (17) 一根繩子長 100cm, 從端點開始每 20cm 染上一種顏色, 將其分乘 5 個區段, 若已知繩子粗細一樣, 有 5 種顏色可以染 : (a)5 個區段顏色均不同, 共有多少種染好的結果?( 注意 : 紅黃藍黑綠與綠黑藍黃紅算同一種染色的結果 ) (b) 相鄰區段不同色, 共有多少種染好的結果? (18) 高二有四個才藝班, 開學時, 來了五個轉學生,(a) 如果每班最多安插三個人, 則有種方法 (b) 如果五個人中, 甲, 乙兩人不分在同一班, 且每班安插的人數不限, 則有種方法 (19) 用紅 綠 黃 3 種顏色塗 5 個大小不同的木板, 每一個木板只塗一色, 要求三色都要用完, 請問有幾種塗法? (20) 在坐標平面上自 ( 3, 2) 到 (3,4) 走捷徑, 求下列情形有幾種走法? (a) 所有走法有幾種?(b) 過原點 (c) 不經過第二象限 (d) 不過 (1,1) 及 ( 2,3) (21) 0,1,2,3,4,5 等六個數字所排成的三位數中, 數字不重複者, 共有個, 其中可被 3 整除的, 共有個 ~2 2 18~

(22) 鉛印 1,2,3, 到 1000, 則排字工人共需要多少個鉛字? (23) 由 1 到 10000, 則數字 3 共寫了幾次? 進階問題 (24) 編號 1~6 之 6 個球滾入編號 1~6 的 6 個洞中, 每洞 1 球 (a) 恰有一球號與洞號相同, 方法有 種 (b) 所有球號與洞號皆不相同, 方法有 種 (25) 將右圖黑棋向右移動, 每次移動 1~3 格, 移到最右一格 共有幾種移法? (26) 將 a,a,a,b,b,c,d,e,f 全取排成一列, 相同字母不相鄰的排法有幾種? (27) 以黑白兩色塗右圖的 9 個同樣同樣大小的正方形, 每格限塗一色 (a) 將正方形旋轉 90, 若旋轉後的圖形, 與未旋轉前的圖形相同, 那麼這樣的塗法有多少種? (b) 將正方形旋轉 180, 若旋轉後的圖形, 與未旋轉前的圖形相同, 那麼這樣的塗法有多少種? (28) 用長 6 公分, 寬 3 公分的長方形 4 塊, 及邊長 3 公分正方形 1 塊, 每塊顏色互異, 則五塊拼成一正方形, 其樣式有幾種? (29) 兩人競選, 選舉得票數共 11 張, 唱票時, 一直保持領先, 且最後 恰以多一票獲勝, 則唱票的情形有多少種? ~2 2 19~

(1) (2) 480 12! 4!4!2!2! =90 綜合練習解答 (3) (a)4! 4!=576 (b)(p 4 2) 2 (P 2 2) 2 4=2304(c)P 4 4 P 4 4 2=1152 (4) 1440 [ 提示 :(a) 全 (D 相鄰或 D 相鄰或 CD 相鄰 )(b)d 排首或排尾且與 E,F,G 之一相鄰 =3 5! 2=720,D 插在 E,F,G 之間的排法有 P 3 2 5!=720] (5) (a)20 (b)40 (6) (a)5! 3 4! 3+3!=294 (b)6! [5! 4 6 4!+4 3! 2!]=362 (c)3! 3!=36 (7) (a)840(b)720(c)240(d)600(e)480 C (8) 30 [ 提示 : 考慮 C E 與 E D F 兩種路線的走法 ] D 12! (9) 2!3!4!3! =277200 F [ 提示 : 將 YYYRRRRGG 排成一列再與 1,2,..,12 一一對應, 就代表所有 的塗法 ] (10) 576 (11) (a)480 (b)2520 (c)3024 (d)126 [ 提示 :(a) 5! 3! 4!=480 (b) 9! =2520 (c)9! 3!4! 5! =3024 (d) 9! 5!4! =126] (12) 6 (13) 1260[ 提示 : 可視為 CCCC 的排列數因為打法與排法一一對應 ] (14) 1260 [ 提示 : 9! 3!2!4! =1260] (15) 5! P 6 4=43200 (16) (a)7983360=(p 3 12 1 3 ) (P9 4 1 4 ) (P5 5 1 5 ) (2)1247400=P 4 12 P 8 4 P 4 4( 1 4 )3 1 3! (17) (a) 5! 2 =60 (b)1 2 1200+80=680 [ 提示 :(a) 紅黃藍黑綠與綠黑藍黃紅算同一種染色的結果, 即 2 種算一種, 5! 因此共 2 種 (b) 考慮 5 4 3 中的塗法, 對稱的情形 (5 4 2 種 ): 紅黃藍黃紅用中間的區段作對稱還是紅黃藍黃紅, 但非對稱的情形 (5 4 4 5 4 2 ): 紅黃藍黑綠用中間的區段作對稱是綠黑藍黃紅, 因此每 2 種算 1 種, 因此共有 ~2 2 20~

1 2 (5 44 5 4 2 )+ 5 4 2 種 ] (18) (a) 960(b) 768 (19) 3 5 3 2 5 +3 1=150[ 提示 : 用排容原理, 參考例題 15] (20) (a)924 (b)350 (c)462 (d)538[ 提示 :(3) 全部 ( 經過第二象限 )] (21) 100;36 [ 提示 :(1) 首位數可從 1,2,3,4,5 中取一個數, 第二 三位數從剩下 5 5 個數取兩數排列, 共有 5 P 2 =100 種排法 (2) 在 (1) 中可被 3 整除的三位數, 必須考慮三個數字和為 3 的倍數的情況, 依含 0 與不含 0 分類如下 : 含 0 的三個數 :(0,1,2),(0,1,5),(0,2,4),(0,4,5) 不含 0 的三個數 : (1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5) 含 0 的三個數, 排成三位數有 3 種方法, 不含 0 的有 3!=6 種方法, 所以, 三位數中, 被 3 整除的有 4 3+4 6=36 個 ] (22) 2893[ 提示 :9+9 10 2+9 10 2 3+4=2893] (23) 4000 [ 提示 : 3 之個位數 3, 共出現了 000,001,,999 1000 次 ; 3 之十位數 3, 共出現了 10 3 次,..] (24) (a)264 (b)265 [ 提示 :(a)6 ( 其他 5 個號碼與洞的號碼不同 )=6 44=264 (b)6! 6 5!+15 4! 20 3!+15 2! 6 1!+0!=265] (25) 44 [ 提示 : 設每次移動 1 格 x 次, 移動 2 格 y 次, 移動 3 格 z 次, 依題意可得 x+2y+3z=7] (26) 10200 6! [ 提示 : 先排 b,b,c,d,e,f(bb 相鄰共有 5!=120 種排法,bb 不相鄰有 2! 5! =240 種排法 ), 再插入 a,a,a, 若 bb 相鄰 : c b a b d e f 1 2 P6 2=15; 若 bb 不相鄰 : c b d e b f 1 3! P7 3=35, 所以共有 120 15+240 35=10200] (27) (a)8 (b)32 [ 提示 :(a) 如圖, 當 1,3,9,7 同色,2,4,8,6 同色即可達到題目的要求 (2) 當 1,9 3,7 4,6 2,8 同色即可得到題目要求 ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (28) 108[ 提示 : 如下面所示的式樣, 可知其樣式有 4! 4+3! 2=108] ~2 2 21~

(29) 42 [ 提示 : 將 的得票數與 的得票數分別記在 x 軸,y 軸, 唱票時 一直保持領先, 故第一票為 所得, 即自 P(1,0) 出發, 第二票必是 獲得, 故由 (1,0) 移動到 (2,0), 令 的得票數分別為 a,b, 則形成點 (a,b), 其中 a>b 最後 恰以一票獲勝, 因此終點為 Q(6,5), 即自 P 點開始沿實線取捷徑走到 Q 點的方法, 會與唱票時, 一直保持領先, 且最後 恰以多一票獲勝的唱票情形一一對應 ] ~2 2 22~