數學繪圖軟體 Geogebra 教學 臺北市華江高中吳秉鋒老師 pingfeng@tp.edu.tw 台灣各師範院校數學系推廣 GSP 軟體多年, 大部分中學數學老師接觸過 使用過, 但卻無法大量應用在教學上 GSP 軟體功能強大卻不易學習, 親和力漸漸跟不上新生代的數學軟體, 通常 3 小時的研習完,3 週後就忘光了, 想要有點生產力, 大約得學個 12~18 小時以上, 學習門檻比較高, 使人望之卻步, 更別遑論教學上使用了 另一個後起之秀 Cabri3D, 雖然易學易懂, 但能配合的數學教材僅有立體幾何單元, 使用層面較少, 且價格不菲 Geogebra 是由 Markus 在 Salzburg 大學針對學校數學教育所研發的軟體, 一般中學數學課程相關的圖形均能輕易畫出, 操作方式比 GSP 更直觀易懂, 可免費自行下載安裝, 簡單的說 Geogebra=Geo+gebra =Geometry + Algebra 即結合了幾何作圖和代數運算的繪圖軟體, 當你在繪圖區畫出圖形時, 應變物件的方程式就會出面在左邊, 反之亦然,2014 年後推出有 3D 功能的 5.0 版 利用 GeoGebra 來進行數學繪圖, 一般是要用滑鼠點選工具列中的子工具, 如點 直線 垂直線 多邊形 圓 橢圓 測量角度 線對稱 數值滑桿等來畫就好了, 或是輸入方程式或函數就可以看到相對應的圖形 一 工具使用 1-1. 使用者介面 1
1-2-1 設定有五種常用設定可選, 在畫面最右邊的小小齒輪上點選, 可快速更換設定 不過在繪圖區按下滑鼠右鍵, 也可以達到相同功能 1-2-2 幾何區可視部分的調整 (1) 使用的放大和縮小來縮放幾何區 所按下的位置會當作縮放中心 (2) 使用滑鼠上的滾輪來縮放幾何視區 (3) 使用快捷鍵 Ctrl + 和 Ctrl - 來放大 縮小 (4) 在幾何區的空白處按右鍵來指定縮放區域並拖曳滑鼠至要縮放區域的對頂角 當選好縮放區域後, 放開滑鼠, 將會自動調整幾何區的空間 (5) 選擇顯示 / 隱藏, 可以快速挑點物件 (6) 可以快速複製格式 1-2-3 用滑鼠右鍵改變物件屬性 (x,y 軸可以單獨顯示 ) 更改物件的屬性, 以符合我們想要的標籤文字 名稱 顏色式樣等 2
1-2-4 構圖按本 ( 優於舊版導播列功能 ) 通常是觀摩別人的作品, 了解其製作過程, 而能加以模仿 導播欄改到選 項 進階 設定繪圖區 顯示導播欄 勾選 二 基本作圖練習 2-1. 指定繪圖練習 a. ASA AAS SSS 作圖 ( 指定線段 角度 ) b. AAA 作圖 ( 例 : 畫出內角 58 36 86 的三角形 ) c. 畫任意線段, 將它三等分 改 7:3 呢? 用比例觀念 d. 畫一個圓, 圓心在 (2, 1), 半徑為 2 用 3 種方法試試看 e. 直線方程式 y = mx + b 使用數值滑桿 f. 二元一次聯立方程組 3
2-2. 常見平行線例題圖形繪製 2-3. 畫出三角形的重心 內心 外心 垂心 旁心 內切圓 外接圓 2-4. 慣用標記 直角符號 線段等長符號 標示長度 標示角度的小箭頭 2-5. 特殊區域塗色 2-6. 尤拉線 & 九點圓 2-7. 畫出兩圓的內外公切線 4
大圓半徑用 R, 小圓半徑用 r 表示, 如果滑桿取到 R < r 那就沒有公切線了, 作圖過程以 R- r 為半徑, 產生新的圓, 再以 O2 作此圓切線, 而公切線將平行此線 那麼 R < r 的情況, 能處理嗎? 2-8. 常見圓考題圖形 2-9. 證明兼作圖 : 另一種學習 5
2-9-2 方形內大切 3 小圓 1. 作 A 點 2. 作 B 點 3. 以 AB 為邊做正方形 ABCD 4. 以 AB 為直徑, 在正方形內作半圓 e 5. 做 AB 中垂線 f 6. AB 中點為 E 7. 半圓 e 和中垂線 f 的焦點為 G 8. 中垂線 f 和 CD 交於 F 點 9. H=F+0.8FG 10. 以 H 為圓心, 畫圓 g 過 F 11. 圓 g 交中垂線 f 於 I 點 12. G I 中點為 J 點 13. 以 J 為圓心, 畫圓 h 過 G 14. 過 G 做 f 垂直線 I 15. 以 E 焦點,i 為準線, 做拋物線 k 16.u=vector[J,G] 17. 將 E 點以 u 平移到 u' 18. 做直線 j 垂直 f 通過 E' 19. 拋物線交 j 於 L K 20. 線段 EE' 21. 線 L 為圓心,EE' 為半徑畫圓 22. 線 K 為圓心,EE' 為半徑畫圓 6
三 函數作圖 3-1 拋物線函數圖形 3-1-1 直接輸入二次函數 指令列分別輸入三次 :y = x^2-1 y = 0.5*x^2-1 y = 2*x^2-1 3-1-2 方程式 y=a(x-h) 2 +k (1) 設定 3 個數值滑桿, 名稱分別為 a h k (2) 輸入 y=a*(x-h)^2+k ( 注意 a 和 (x-h) 之間空一格表示相乘, 或用 * 代替 ) (3) 以滑鼠分別拉動滑桿 a h k 觀察圖形的變化 3-1-3 方程式 y=ax 2 +bx+c (1) 設定 3 個數值滑桿, 名稱分別為 a b c (2) 輸入 y=a*x^2+ b*x + c (3) 多設計一個滑桿控制鈕 a. 先產生一個一般的數值滑桿, 假設其名稱為 d, 再更改其屬性, 標籤 一般 的數值, 由預設 1 改為 true, 標籤文字改為滑桿, 按下關閉後, 變成 check box 的形式 b. 將步驟 (1) 的 3 個滑桿, 更改屬性, 標籤 { 進階, 顯示物件的條件, 內容填入 :d=true, 此時可由 check box 來顯示或隱藏 3 個滑桿 (4) 以滑鼠分別拉動滑桿 a b c 觀察圖形的變化 7
3-1-4 移動蹤跡 ( 參數式 ) 雖然直接在輸入欄位輸入函數關係就立即可看到圖形, 但以參數式形式輸入更能體會到函數中自變數及應變數的關係 以 f ( x) x 2 1為例 (1) 在 X 軸上任取一點 A (2) 輸入 t = x(a) (3) 輸入 P= (t, t^2-1) 在變數區會顯示 P 點將游標移至 P 點, 然後按滑鼠右鍵, 點選顯示移動蹤跡 (5) 拉動 X 軸上 A 點, 觀察 P 點軌跡的變化 如果覺得軌跡點顆粒太大, 請在屬性裡面調整大小 3-1-5 拋物線定義設點 P 為拋物線的動點,F 為焦點, 則點 P 到焦點 F 與到準線 L 等距, d(p,l) = d(p,f), 以 y 2 = 4x 為例, 準線為 L: x+1=0, 焦點為 F (1,0), 先畫出準線 L 及焦點 F, 在準線 L 上做自由點 A, 畫出線段 AF 的中垂線, 再畫出和過 A 點且和準線 L 垂直的水平直線, 兩線交於動點 P, 則 P 點軌跡即為所求 8
將游標移至 P 點, 然後按滑鼠右鍵, 點選顯示移動蹤跡 顯示軌跡的另一 種方法 : 用, 在 p 點及 A 點各點選一下, 根據定義畫圖, 也很容易畫出, 準線非平行或垂直兩軸的非標準式 3-1-6 使用系統程式指定焦點和準線之功能只要在繪圖區指定焦點和準線, 可輕鬆畫出拋物線, 並且代數區顯示出二次錐線的標準式 :ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey=f, 可讓學生了解拋物線未經旋轉之前的非標準式樣子 3-1-7 尺規作圖 -- 作拋物線的頂點 焦點 切線 9
3-2 橢圓及雙曲線 3-2-1 同心圓作圖紙這是古老的方法, 先畫出 F1 F2 兩點, 輸入指令 sequence[circle[f1, i], i, 1, 20], 可以畫出以 F1 為圓心的同心圓輸入指令 sequence[circle[f2, i], i, 1, 20], 可以畫出以 F2 為圓心的同心圓做給拋物線用的話, 輸入 x=1 ( 注意左邊的代數欄位會顯示 a : x=1) 輸入指令 sequence[line[(11-i, 0), a], i, 1, 21] 可以畫出垂直線 21 條 當然你也可以做出雙曲線, 只要根據 F 1 P-F 2 P =2a 去描繪適當的點 3-2-2 使用 Geogebra 之內建功能指定 2 焦點和曲線上任一點, 或 5 點決定一個二次曲線, 由標準式 : ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey=f 化簡成 Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey=1, 可知五個點作標代入後, 剛好解 5 元一次聯立方程式 一個焦點可替代 2 個一般點, 故 2 焦點和曲線上任一點, 或 1 焦點和曲線上任 3 點可決定此二次曲線 其實畫圓也相同道理, 平常說 3 點決定一圓, 如果有圓心, 只要再加 1 點, 因為圓心可替代 2 個一般點 10
2 2 2 2 x y x y 3-2-3 標準式 : 橢圓 1 ( 雙曲線 1) 2 b 2 2 2 a a b (1) 設定 4 個數值滑桿, 名稱分別為 a b h k (2) 輸入 (x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1 ( 改個減號變成雙曲線 ) (3) 以滑鼠分別拉動滑桿 a b h k 觀察圖形的變化 3-2-4 依圓錐曲線定義製橢圓和雙曲線 3-2-4-1 橢圓上的任意點到兩焦點的距離和為定值 : PF PF 2a, 1 2 例如 x 2 2 y 1 25 16,a=5 b=4 c=3, 即設計 PF 10 1 PF2 的圖形步驟如下 : 1. 畫出兩焦點 F 1 (-3,0),F 2 (3,0) 2. 以 F 1 為圓心, 半徑 2a=10 畫一圓 3. 在圓周上產生一個自由點, 標示為 A 4. 作線段 AF 1 AF 2 及 AF 2 的中垂線 L 5. 取 AF 1 L 的交點, 標示為 P 6. 觀察 P 點的軌跡 : (1) 在 P 上按滑鼠右鍵, 點選顯示移動痕跡 (2) 或是用, 在 P 點及 A 點各點選一下 11
3-2-4-2 雙曲線上的任意點到兩焦點的距離差為定值 : PF PF 2a, 1 2 例如 x 2 2 y 1 16 9,a=4 b=3 c=5, 即設計 PF 6 1 PF2 的圖形步驟雷同橢圓, 如下 1. 畫出兩焦點 F 1 (-5,0),F 2 (5,0) 2. 以 F 1 為圓心, 半徑 2a=6 畫一圓 3. 在圓周上產生一個自由點, 標示為 A 4. 作直線 AF 1 線段 AF 2 及 AF 2 的中垂線 L ( 這裡和橢圓不同 ) 5. 取直線 AF 1 L 的交點, 標示為 P 3-2-5 參數式 12
3-2-5-1 橢圓 x 2 2 y x 5cos 1的參數式為 0 2 25 16 y 4sin 設定兩個角度滑桿名稱分別為 a b 數值最小 0, 最大 6.28(2pi) 輸入 Curve[5 cos(θ), 4 sin(θ), θ, a, b], 並調整滑桿 a b 的大小 ( 如果先出現未定義涵數, 請立即調整滑桿 a b 的值 ) 3-2-5-2 雙曲線 x 2 2 y x 4sec 1的參數式為 0 2 16 9 y 3tan 因為沒有 sec(θ) 可用, 用倒數處理,Curve[4*1/cos(θ), 3*tan(θ), θ, a, b] 註 :4.0 版以後有 cot,sec,csc 函數可用 3-2-6 平移 3-2-6-1 橢圓平移 13
3-2-6-2 雙曲線平移 3-2-7 二次曲線延伸教學 3-2-7-1 模擬摺紙 3-2-7-2 過橢圓內部一點 P 的最大內接三角形 <= 正確, 錯誤 => 3-2-7-3 雙曲線的軌跡 14
3-2-8 尺規作圖 3-2-8-1 作橢圓中心 焦點 3-2-8-2 作雙曲線中心 焦點 3-3 對數函數及指數函數圖形在 GeoGebra 之中 y=log(x) 是代表的是自然對數, 而常用對數以 10 為底是 y=lg(x), 若底數為 2, 則要用 y=log(2,x) 註: 舊 3.2 版需要用換底公式 log c b log a b, 即輸入 y=log(x)/log(2) 來表示 y log 2 x log a c x 1 x 3-3-1 畫出 f ( x) log a x g( x) log 1 x h( x) a p( x) ( ) 四個函數圖 a a 繪圖過程如下 : (1) 設定數值滑桿 a 最小 :0.1 最大 :10, 增量 :0.1, 預設值先取 a=2 15
(2) 輸入 y=log(a,x) (3) 輸入 y=log(1/a,x) (4) 輸入 y=a^x (5) 輸入 y=(1/a)^x (6) 輸入 y=x y=0 x=0 當對稱軸用 在 f(x)=log(a,x) 上作出一個自由點 A(2, 1), 再用線對稱鈕, 找出 A 對稱於 y=0 的 B( 在函數 g(x) 上, 須自己改名 ), 找出 A 對稱於 y=x 的 C( 在函數 h(x) 上 ), 找出 C 對稱於 x=0 的 D ( 在函數 p(x) 上 ), 拉動滑桿 a 看看圖形的變化 觀察 a=2 和 a=0.5 時, 哪些點交換位置? 觀察 f(x) g(x) h(x) 和 p(x) 函數圖形的對稱關係? 3-3-2 求圖形交點數 3-3-2-1 當 a 1 20 x 求 f ( x) log x h( x) a 函數圖形交點數 a 圖形放大倍數不足的話, 看不出來交點, 好像 1 個? 16
命令列輸入 intersect[f,h], 只能得到一個交點 A=(0.66,0.14), 電腦精確度問題新增一個函數 g(x)=f(x)-h(x), 容易看出和 X 軸有 3 個交點 3-3-2-2 求 y sin x和 y log x 函數圖形交點數 [ 大學聯考, 考古題 ] 3-4 三角函數圖形 3-4-1 觀察函數 f(x)=a*sin(bx - θ) + c 圖形的週期 振幅 平移量 輸入三角函數不難, 記得把 x 軸的單位改成 π, 功能表的選項 進階 設定繪圖區 x 軸 單位 π GGB 只提供 sin,cos,tan 三個函數, 要用 cot,sec,csc 請用倒數處理 17
圖 要確實觀察各變化量, 得控制 a,b,c,θ, 每次只有一個拉桿可供比對, 如下 3-4-2 做一個 sin 圖形上方滾動的小圓 在函數 y=sinx 正上方固定距離, 設成動點當圓心, 好像有理, 圓真的放上 去就發現問題了! 圓心應該在切點垂直方向的法線上固定 ( 半徑 ) 距離, 那上面這條圓心走的路 徑還是正弦函數嗎?( 連同下面問題, 給學生當專題作業 ) 滾動的時候, 看起來很順, 如果你擺 2 個小圓上去, 有怎樣的問題呢? 3-4-3 六個三角函數圖形 ( 標籤使用動態色彩 ) 3-5 連續函數教學圖形 2 3-5-1 畫一個不連續函數圖形 f ( x) x, 當 x 0,(x=0 未定義 ) 18
若輸入 3 x f ( x), 將 A 點拖到原點時, 出現 未定義 x 假設函數 2 x f ( x) 2, 當 x 0, 當 x 0 圖形要怎麼畫? 只要輸入 If[x 0, x², 2], 將 A 點拖到原點時, 會跳到 (0, 2), 有視覺效果 3-5-2a 畫不連續函數 2 x f ( x) x 1, 當 x 0, 當 x 0 先製做 B(0, 0) 空心點, 再輸入 If[x > 0, x², x - 1], 觀察 A 點 2 x, 當 0 x 1 b 再來一個不連續函數 f ( x) 1.5, 當 x 1 x 1, 當 x 0 19
多做一個 C(1, 1.5) 空心點, 再輸入 If[x 0, x - 1, If[x > 1, 1.5, x²]], 觀察 A 點 3-5-4 多項式函數的遞增與遞減 ( 分段塗函數顏色 ) 1. 製作滑桿 a b c d e 增量 1 2. 作 f(x)=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e 調整 a b c d e 3. 作導函數 f (x)= 4a*x^3+3b*x^2+3c*x+d, 隱藏 4. 作函數 g(x)=0 5. intersect(f,g) 產生 g(x)=0 的 3 個解 A B C, 先將 ABC 三點隱藏 6. A'=(x(A),f(x(A))) B'=(x(B),f(x(B))) C'=(x(C),f(x(C))), 函數 f(x) 的相對極值點 7. h(x)=function[f, -, x(a)], 粉紅色 8. p(x)=function[f, x(a), x(b)], 藍色 9. q(x)=function[f, x(b), x(c)], 綠色 10. r(x)= Function[f, x(c), ], 土黃色 11. D=Point[f] 在函數 f(x) 上作一自由點 D 12. 過 D 作 f(x) 切線,Tangent[D, f] 13. 調整 a b c d e, 拖曳 D 點, 觀察函數的遞增 遞減與切線的關係 20
3-6 極座標圖形 3-6-1 畫極坐標函數 r sin a, 當 a=0.5 1 2 3 4 5 的圖形繪圖過程如下 : (1) 設定數值滑桿 a 最小 :0.5 最大 :5, 增量 :0.5 (2) 輸入 Curve[cos(t), sin(t), t, 0, 2pi], 先畫一個單位圓來框住目標函數 (3) 輸入 Curve[sin(a*t)*cos(t), sin(a*t)*sin(t), t, 0, 2pi] 說明 :x= sin(a*t)*cos(t),y= sin(a*t)*sin(t) 則 x 2 +y 2 = sin 2 (a*t)==> r x 2 y 2 sin at 3-6-2 動態花朵 ( 極坐標 ) 21
四 應用教學 4-1 盒狀圖 叫出試算表後, 輸入一群數值, 選取此區域數值, 按右鍵新增串列, 此時左邊變數區自動產生 list1 集合, 打開其屬性, 建議改一下集合名稱, 例如 X, 另列輸入 BoxPlot[-4,2,X], 如上圖可得中位數 a=72 用集合 + 是算表的方式, 容易修改資料, 如果不用, 可直接輸入 BoxPlot[0, 2, {72, 82, 73, 94, 65, 85, 66, 77, 87, 78, 80, 68, 94}], 如上圖可得中位數 b=78, 如果沒有數據, 只要圖的話, 直接輸入 BoxPlot[10,2,{70,75,78,80,90}], 得上圖中位數 c=78, 其語法為 BoxPolt[ 垂直偏移數, 垂直寬度,min,Q1,M,Q3,max] BoxPlot[4, 1, 10,25,50,60,100], 沒有資料, 可純畫圖 * 尾巴加參數,true 或,false 可過濾 Q1-1.5*IQR &Q3+1.5*IQR 22
4-2 畢氏定理 4-2-1 圖形組合詳細步驟 : 1. 作 AB 線段, 取 AB 中點 C, 過 A,B 作半圓, 過 C 作 AB 垂線交半圓於 D, 隱藏垂直線 半圓, 以 C 為圓心作弧 DA, 弧上取 E 點 然後隱藏半圓 弧 垂直線,C,D 點 2. 以 EB 為邊, 做正方形, 得 EBFG, 注意代數區並不存在 F G 點, 因為他們屬於正方形, 要在屬性欄才看得到 將 A 對 EB 做鏡射 ( 線對稱 ) 得 A, 過 A 作 GE 垂線 L 2 ( 須自己改名稱 ), 連接對角線 GB,L 2 交 GB 於 H 等下隱藏 L 2 GB 3. 以 AE 為邊, 做正方形, 得 AEIJ, 作 AI 線段 4. 將 A 對 G 做旋轉 ( 逆時針 90 度 ) 得 A, 連接 A B A H A B A H HB 5. 以 BA 為邊, 做正方形, 得 BAKL 6. 將 E 點以 B 為旋轉中心, 逆時針旋轉 90 度得 E, 將 H 對 B 做旋轉 ( 逆時針 90 度 ) 得 H, 將 H 對 O 做旋轉 (180 度 ) 得 H 7. 作 AL 中點 O, 將 E 對 O 做旋轉 ( 逆時針 90 度 ) 得 E, 將 E 對 O 做旋轉 ( 逆時針 90 度 ) 得 E, 將 E 對 O 做旋轉 ( 逆時針 90 度 ) 得 E4 8. 連接 E E E E E E4 E4E E L E''B H B E A E4K H K 9. 上下各有七塊圖形, 將上面七塊以多邊形方式重製, 並填上不同顏色 10. 拖曳 ABE 三點看看 11. 進階動畫, 命令列輸入參數 : C2=1,C3=3,D2=3,D3=5,E2=5, E3=7 I2=13,I3=15( 可用試算表, 參考 4-2-2) 12. poly11=polygon[j4, J5, J6, J7],( 先畫再改名 ) poly12=polygon[k4, K5, K6] 點 J4 內容 If[time < C$2, C4, If[(C$2 time) (time < C$3), C4 - (time - C$2) (C4 - C9) / (C$3 - C$2), C9]] // 讓 J4 吸附到 C4 J5,J6,J7 比照辦理點 K5 內容 If[time < D$2, D5, If[(D$2 time) (time < D$3), D5 - (time - D$2) (D5 - D10) / (D$3 - D$2), D10]] // 讓 K4 吸附到 D4 K5,K6 比照辦理 time 從 1 到 3 動第 1 塊正方形,time 從 3 到 5 動第 2 塊三角形, 其他的留給你做看看, 時間軸的第 1 秒 & 最後 1 留白,poly13=Polygon[L4, L5, L6] poly17=polygon[p4, P5, P6] 比照辦理, 以下略 23
4-2-2 畢氏定理組合 II 上一個範例切割太多塊, 作起來很煩, 換一個簡單一點的 1. A=(0,0) 2. B=(5,0) 3. C=Midpoint[A, B] 4. B =Rotate[B, 90, C] 5. c= CircularArc[C, B', A] 6. D= Point[c] 7. poly1=polygon[d, B, 4] // 產生 E,F 點 a= Segment[D, B, poly1], // b=segment[b, E, poly1],c= Segment[D, B, poly1], e=segment[d, B, poly1] 8. poly2=polygon[a, D, 4] // 產生 G,H 點,f,g,h,i 四邊 9. poly3=polygon[b, A, 4] // 產生 I,J 點,j,k,l,m 四邊 10. K=Midpoint[B, F] // 右上方形中點 11. n=line[k, j] // 直線 n ( 過 K 平行 AB) 12. p=perpendicularline[k, j] // 直線 p ( 過 K 垂直 AB) 13. L=Intersect[p, a] // 點 L 為垂直線 p 與 DB 交點 14. M=Intersect[n, e] // 點 M 為平行線 n 與 FD 交點 15. N=Intersect[p, d] // 點 N 為垂直線 p 與 EF 交點 16. O=Intersect[n, b] // 點 O 為平行線 n 與 BE 交點 17. P=Midpoint[A, J] // 下方形中點 18. Q=Midpoint[A, G] // 左上方形中點 19. tmax=7 // 隱藏數值 tmax 20. 滑桿 t //0~tMax 21. 打開試算表填入 A1~A5 值為 1~5 // 在命列分五次輸入也可以 A1=1,A2=2, 在 B1 cell 中填入 0( 或命令列輸入 B1=0), 然後在 B1 屬性定義欄填入 If[t A1, 0, If[t < A1 + 1, t - A1, 1]], 利用試算表下拉複製功能, 填滿 B2~B4 ( 關掉試算表或點取繪圖區, 工具列才會再次出現 ), 移動 t, 觀察 B1~B5 變化 22. poly4=polygon[k, M, F, N] ( 可省略 ) 23. u1=vector[k, J] 4-2-2a.ggb 24. 手動作任意四邊形 poly4, 端點改成 K, M, F, N ( 先設點再設四邊形也可以 ) 25. K 內容 K + B1*u1 (t 在 1~2 時移動 ),M 內容 M + B1*u1,F, N 同 26. poly5=polygon[k, N, E, O] ( 可省略 ) 27. u2=vector[k, I] 4-2-2b.ggb 28. 手動作任意四邊形 poly5, 端點改成 K, N, E, O 29. K 內容 K + B2*u2 (t 在 2~3 時移動 ),N 內容 N + B2*u2,E, O 同 24
4-2-2c.ggb 30. u3=vector[k, A] 31. poly6=polygon[k, O, B, L] 32. 手動作任意四邊形 poly6, 端點改成 K, O, B, L K 內容 K + B3*u3 (t 在 3~4 時移動 ),O 內容 O + B3*u3,B, L 同 4-2-2d.ggb 33. u4=vector[k, B] 34. poly7=polygon[k, L, D, M] 35. 手動作任意四邊形 poly7, 端點改成 K4, L, D, M 36. K4 內容 K + B4*u4 (t 在 4~5 時移動 ),L 內容 L + B4*u4,D, L 同 4-2-2e.ggb 37. u5=vector[a, E ] 38. poly8=polygon[a, H, G, D] 39. 手動作任意四邊形 poly8, 端點改成 A, H, G, D 40. A 內容 A + B5*u5 (t 在 5~6 時移動 ), H 內容 H + B5*u5,G, D 同 4-2-2f.ggb 41. 最後修飾 4-2-2g 成品.ggb 25
4-2-3 畢氏定理組合 III 上一個單元還要動到 5 個區塊, 再換一個變換圖形最少的吧 1. A=(0,0) 2. B=(5,0) 3. c= Semicircle[A, B] 4. C= Point[c] 5. poly1=polygon[c, B, 4] // 產生 D,E 點,a,b,d,e 四邊 6. poly2=polygon[a, C, 4] // 產生 F,G 點,f,g,h,i 四邊 7. poly3=polygon[b, A, 4] // 產生 H,I 點,j,k,l,m 四邊 8. E =Reflect[E, C] // 點對稱 E-C-E 9. u=vector[c, E'] // u= 向量 CE 10. F =Reflect[F, C] // 點對稱 F-C-F 11. v=vector[c, F'] // v= 向量 CF 12. E = Translate[E', v] // 將 E 點平移 v 13. u2=vector[e', E''] // u2= 向量 E'E'' 14. v2=vector[f', E''] // v2= 向量 F'E'' 15. n=perpendicularline[e, j] // 直線 n ( 過 E 垂直 AB, 即線段 j) 16. J=Intersect[n, l] // 點 J 為垂直線 n 與 HI 交點 17. uv3=vector[e'',j] // uv3= 向量 E''J 4-2-3b.ggb 18. 滑桿 t //0~14 19. 打開試算表填入 A1~A12 值為 1~12 // 在命列分 12 次輸入也可以 A1=1,A2=2, 20. 在試算表 B1 cell 中填入 0( 或命令列輸入 B1=0), 然後在 B1 屬性定義欄填入 If[t A1, 0, If[t < A1 + 1, t - A1, 1]], 利用試算表下拉複製功能, 填滿 B2~B12 ( 試算表關掉後, 工具列才會再次出現 ), 移動 t, 觀察 B1~B12 變化 26
4-2-3c.ggb 21. poly4=polygon[k, L, M, N] // 手動繪製四邊形, 對應在 CBDE 旁邊 22. K 內容 C + B1*u,L 內容 B + B1*u, M 內容 D + B1*u,N 內容 E + B1*u (t 在 1~2 時移動生效 ) //KLMN 對應起始點 CBDE 4-2-3d.ggb 23. 下一步,t 在 3~4 時 MN 不動,KL 移動到哪?E I K 內容修改 C + B1*u+B2*u2,L 內容修改 B + B1*u+B2*u2 4-2-3e.ggb 24. 再下一步, 圖形下移變成長方形,t 在 5~6 時 LM 不動,KN 移動到哪?J? K 內容修改 C + B1*u+B2*u2+B3*uv3,N 內容修改 E + B1*u+B3*uv3 4-2-3f.ggb 到這裡完成半邊, 剩下的自己操作看看囉 25. 4-2-3g.ggb 完成左右 2 個 poly 移動到下面 26. 4-2-3h.ggb 完成下方回復到上方動畫 27. 4-2-3i.ggb 增加按鈕 28. 4-2-3 成品.ggb 增加線條 27
4-2-4 十字架拆解成大正方形 4-2-5 正方形變正三角形 4-2-6 正三角變形正方形 問題 :II' IJ'' 嗎? 28
4-2-7 過 AB 切 X 軸的圓 應用 : 觀賞大型雕像最佳角度, 位於 L 點 29
4-2-8 畢氏定理 3D 翻轉當你漸漸熟悉公式應用時, 可以減直接下命令公式使代數區簡潔, 像 4-2-1 4-2-2 4-2-3 用了大量新點 線的代號, 那是比較直觀的作法, 適合初學者, 本例使用 5.0 版製作, 為了 3D 效果, 關閉繪圖區, 請打開副繪圖區取代 30
4-3 五邊形外角和 1. poly1= Polygon[E, A, B, C, D], 端點調空心, 藍色 2. 滑桿 t,0.5~10.5, 寬度 500, 動畫 : 遞增一次 (4-3-1a.ggb) 3. 新增 P1 點, 0.5 t 1, 向量座標 (x(e)+t*y(ea),y(e)+t*y(ea)) 定義 : (x(e) + Min[Max[t - 0, 0], 1] (x(a) - x(e)), y(e) + Min[Max[t - 0, 0], 1] (y(a) - y(e))) 新增 P2,P3,P4,P5,P6 點 4. 新增 P1 點,1 t 2, 取 t-1* 外角 BAE, 旋轉車頭前置點, 定義 : Rotate[(x(P1) + (x(a) - x(e)) / Distance[E, A], y(p1) + (y(a) - y(e)) / Distance[E, A]), Min[Max[t - 1, 0], 1] (180 - Angle[B, A, E]), P1], 新增 P2,P3,P4,P5,P6 點 5. 新增 P 點, 用 P 點來替代 P1, P2, P3, P4, P5, P6, 定義 : If[t 2, P1, If[t 4, P2, If[t 6, P3, If[t 8, P4, If[t 10, P5, P6]]]]] 6. 新增 P 點, 用 P 點來替代 P1, P2, P3, P4, P5, P6, 定義 : If[t 2, P1, If[t 4, P2, If[t 6, P3, If[t 8, P4, If[t 10, P5,P6 ]]]]] 7. u= Vector[P, P'], 然後建立 αβγδε 8. α=angle[p1',p1, (x(p1) + (x(a) - x(e)) / Distance[E, A], y(p1) + (y(a) - y(e))/ Distance[E,A])] 9. f=perpendicularline[p, u], 直線 f ( 過 P 垂直 u) (4-3-1d.ggb) 10. G=Midpoint[F, P'],v=Vector[G, P], P'''= Translate[P, v]( 後輪點 ),P''=Translate[P', v]( 前輪點 ) 11. g= Segment[A, (x(a) + (x(a) - x(e)) / Distance[E, A], y(a) + (y(a) - y(e)) / Distance[E, A])] 顯示條件 t 1, 接著新增另外 4 邊 h,i,j,k (4-3-1e.ggb) 12. a= Angle[(x(A) + (x(a) - x(e)) / Distance[E, A], y(a) + (y(a) - y(e)) / Distance[E, A]), A, B] 顯示條件 t 2, 接著新增另外 4 個角 b,c,d,e (4-3-1f.ggb) 13. 隱藏向量 u,v, 隱藏 f,g,p, 載入汽車圖片, 調整 F 點, 讓汽車在軌道適當位置 14. Angles = true, 標籤 : 顯示測量角度 15. 建立 5 個文字標籤 角度 a = ( 物件 )a 顯示條件 (t 2) Angles 接著新增另外 4 個文字標籤 16. 按鈕 button1, 樣式 :,OnClick: StartAnimation[t, true] 按鈕 button2, 樣式 :,OnClick: StartAnimation[t, false] 按鈕 button3, 樣式 :,OnClick: t=0.5 17. 最後調整一下個物件的顏色, 完工 31
4-4 圓形面積分割成長方形 4-4-1 把圓周拉成直線 1. 滑桿 m,0~1, 增量 0.01 2. c1=circle[(0, 1), 1] // m 0, 線寬 7 3. A=(sin(2π (1 - m)) / (1 - m), (1 - cos(2π (1 - m))) / (1 - m)) // 將圓周拉成直線的端點, 可留下痕跡觀察, 但是 m=1 要另外處理 4. O=(0,0) // 固定, 隱藏 O 點 5. s= CircularArc[(0, 1 / (1 - m)), O, A] // 線寬 7 6. e=segment[(0, 0), (2π, 0)] // m 1, 線寬 7 參考 4-4-1.ggb 4-4-2.ggb 4-4-3.ggb 4-4-2 圓面積 = 長 2π 寬 r 的長方形 參考 4-4-5.ggb 4-4-5.ggb 32
4-5 Lagrange 插值多項式 & 泰勒展開式 設多項式函數 y = f (x) 的圖形通過 (0,1) (1,1.5) (2, 2.25), 試求出滿足此 ( x 1)( x 2) (0 1)(0 2) ( x 0)( x 2) (1 0)(1 2) ( x 0)( x 1) (2 0)(2 1) 條件最低次的多項式 f ( x) 1 1.5 2. 25 1 2 ( 8 x 3x 8) (0,1) (1,1.5) (2, 2.25) 三點也是 y (1.5) x 圖形上的三點, 若不計算兩者 的誤差, 在區間 [0, 2.25] 內大概很難看 出有何差異, 但在 [0, 2.25] 的外面就可 明顯看出兩者的不同了 給 A(2, 4) B(3, 5) C(-3, 6) D(1, 6), 求通過此四點的最低次多項式 : 輸 入 Polynomial[{A, B, C, D}], 調整 ABCD 的坐標, 觀察圖形變化, 如果新增第 5 點 E, 則修改 f(x) 屬性, 在定義裡面將 Polynomial[{A, B, C, D}] 改成 Polynomial[{A, B, C, D, E}], 這樣變成求通過此 5 點的最低四次多項式 得到最逼近的三次函數 f(x)=0.32x 3-0.4x 2-3.02x+9.1, 若調整選項中的小數點位數為 4 位, 可得 f(x)=0.3167x 3-0.4x 2-3.0167x+9.1 4.1 板之前, 小數點只能呈現最逼近的函數,4.2 版以後使用 SurdText[] 函數, 可在幾何圖形區呈現分 19 3 2 2 181 91 數, 插值多項式為 f ( x) x x X, 60 5 60 10 步驟 : 1. f(x)=polynomial[{a, B, C, D}] 2. list1= Coefficients[f] 3. a= SurdText[Element[list1, 1]] 4. b= SurdText[Element[list1, 2]] 5. c= SurdText[Element[list1, 3]] 6. d= SurdText[Element[list1, 4]] 7. 插入文字 text1 如右圖 33
4-5-2 泰勒展開式 一個定義在開區間 (a-r, a+r) 上的無窮可微實變函數或複變函數 f 的泰勒 級數是如下的冪級數 : n 0 f ( a) ( x a) n! ( n) n 4-7 相關係數與回歸線 先畫出幾個點, 例如 5 個, 將工具選成回歸線, 然後圈選幾何區的點, 回 歸線就自動出現了, 請移動各點看看 設成集合點集 S={A,B,C,D,E}, 命令區輸入 CorrelationCoefficient[S], 則自動 算出相關係數 0.46, 輸入 Covariance[S] 得到共變數 0.6 34
相關係數 r 86 學年度推薦甄試數學 二 多重選擇題 : n ( x x)( y y) ( x x)( y y) i i i i i 1 i 1 n n 2 2 n x y ( xi x) ( yi y) i 1 i 1 n 共變數 ( xi x)( yi y) xy n 12. 下圖中, 有五組數據, 每組各有六個資料點, 設各組的相關係數由左至右分 y 別為 r 1, r2, r3, r4, r5, 則下列關係式何者為真? (1) r1 r2 (2) r2 r3 (3) r3 r4 (4) r3 r5 (5) r4 r5 y y y y x x 命令列輸入 S1={B1, B2, B3, A1, A2, A3} S2={B2, B3, A2, A3, C2, C3} S3={B2, B3, A2, A3, A1, C3} S4={C1, C2, C3, B1, B2, A1} S5={A1, A2, A3, C2, C3, D3} r1=correlationcoefficient[s1] r2=correlationcoefficient[s2] r3=correlationcoefficient[s3] r4=correlationcoefficient[s4] r5=correlationcoefficient[s5] 可得 r1=r2=0,r3=r4=r5=0.5 x x x 35
4-8 面積逼近計算 4-8-1 求右圖半徑為 2 的四分之一圓面積 ( 使用矩形來呈現函數的上 下積分和 ) 繪圖過程如下 : (1) 設定數值滑桿 n 最小 :1 最大 :100, 增量 :1 (2) 命令列輸入 a = 0, 左界 (3) 命令列輸入 b = 2, 右界 (4) 輸入 f(x) = sqrt(4-x^2) (5) 輸入下和 = LowerSum[f, a, b, n] (6) 輸入上和 = UpperSum[f, a, b, n] (7) 輸入面積 = Integral[f(x),g(x),a,b] 透過修改 a b 或 n 可看見這些參數對上和和下和的影響 改變 n 的遞增值, 讓學生觀察多大的 n 才可以有效估計 π 到小數點下第二位 4-8-2 估計 y=x 2 和 y=x 3 在 [0, 1] 之間所圍區域面積 記得要調整工具列 -- 選項的小數點位數 36
4-9 動態實驗 - 二項式定理 4-10 動態實驗 - 常態分佈 37
五 試題圖形的製作 5-1 97 年國中第一次基測第 9 題 (1). 分析三角形 --> 左 : 4 4 6, 右 : 2 2 3 (2). 以 P 為原點建立一坐標系, 7 3 (3). 求出 D 之坐標為 (, ) 2 2 (4). 其餘 C A B 由對稱之性質畫出 這個作法有何缺點? 7 解法 : 讓 A 點只能在直線 CP 上移動, 所以先作直線 AC 即可 y x 2 5-2 98 年第一次基測第 23 題 (1). 分析梯形 5 7 13 5, 其實是等腰三角形 7 7 13, 可求出高為 33 (2). 以 B 為原點建立一坐標系, 梯形上底在 y 33, 下底在 y 0 33 (3). 先作直線 AB 即可 y x, 以後 A 點在線上滑動, 個線段能依比例顯示 2 (4). 直線 AB 上定自由點 A, 調整 A 到上底 y 33 上 (5). 過 A 作垂線,B 對稱此垂線得 B', 且 BB' : B'C = 8 : 5 (6). 輸入 C = B' + 5/8 (B' - B) <------------- 剩下就簡單了, 不詳述 這個作法雖複雜, 但不會變形, 從中可學得多種幾何概念 38
5-3 97 年國中第一次基測第 12 題 有一長條型鏈子, 其外型由邊長為 1 公分的正六邊形排列而成 右圖表示此鏈之任一段花紋, 其中每個黑色六邊形與 6 個白色六邊形相鄰 若鏈子上有 35 個黑色六邊形, 則此鏈子共有幾個白色六邊形? (1). 先訂出單位點 A(0,0) B(0,1), 因為節點太多, 不需要標示 選項 - 物件標籤 - 開始不顯示 (2). 以 AB 為基準先畫出一個正六邊形, 再以逆時針方向 黏 出其他的正六邊形 (3). 每製作一次六邊形, 要點兩次 回答一個 6 enter, 步驟還是太多, 但產生的物件少 (4). 定好向量, 以六邊形為單位, 進行平移, 速度快一些, 其實程式還是以六邊形的定點逐個平移, 物件變很多個, 操作速度快一些 5-4 97 年國中第一次基測第 34 題 如圖, 圓 O1 圓 O2 圓 O3 三圓 兩兩相切, 且 AB 為圓 O1 圓 O2 的 公切線, 為 AB 弧為半圓, 且分別與三 圓各切於一點 若圓 O1 圓 O2 的半徑 均為 1, 則圓 O3 的半徑為? (1). 先訂出各點座標 O1(-1, 1) O2(1, 1) 大半圓中心在 (0, 0) (2). 算出大半圓的半徑 2 +1,O3 半徑 2-1 (3). 訂出點座標 B ( 2 +1, 0), 用對稱方法找出 A 點, 用畫圓弧方法畫半圓 (4). 座標 O3(0, 2), 半徑 2-1 畫圓 其實有簡單的畫法, 因為半徑可算出 圓心可吸附格點, 可快速畫出 O1 O2, 而 O3 圓心必 在兩圓內公切線上, 讓圓 O3 去黏 O1 O2, 同樣方法可處理大半圓 39
5-5 95 年國中第一次基測第 33 題 ( )33. 如右圖, 甲 乙 丙 丁為四個全等的六邊形, 且緊密 地圍著灰色正方形戊 若甲 乙 丙 丁 戊的每一邊 長均為 1, 則戊面積與甲面積的比值為何? (A) 1 2 (B) 1 3 (C) 1 2 (D) 1 2+1 5-6 94 數學甲第 9 題 ( )9. 有一條拋物線位於坐標平面之上半面 ( 即其 y 坐標 0), 並與 x - 軸 直線 y x 1 直線 y x 1相切 下列敘述何者正確 : ( 1) 此拋物線的對稱軸必為 y 軸 ( 2) 若此拋物線對稱軸為 y 軸, 則其焦距為 1 ( 註 : 拋物線的焦距 為焦點到頂點的距離 ) ( 3) 此拋物線的頂點必在 x 軸上 ( 4) 有不只一條拋物線滿足此條件 40
六 圖形迭代功能 6.1 相似迭代 1. 新增 A(2,5) B(2,7) C(3.6,6), 令 ABC= 度 比例 d= BC AB 2. 打開試算表 在 A1 位置輸入坐標 (5,5), 則圖形區產生 A1 點 3. 在 A2 位置輸入坐標 (5,7), 則圖形區產生 B1 點 4. 做自由點 A3, 屬性 --> 一般 --> 定義輸入 Dilate[Rotate[A1, α, A2], d, A2] 即 A1 繞 A2 旋轉 度, 由 A2 根據伸縮比例 d 產生 A3 5. 連接 A1 A2 的線段, 命名改為 B2 6. 然後拉動 A3 B2 的 cell 的右下方往下複製到 A4 B3 產生迭代 7. 同上再以滑鼠拖曳 A4 B3, 的 cell 的右下方往下複製到 A5 B4, 自動產線段 A3A4 繼續做幾個 8. 移動 C 點觀看變化 41
6.2 正方形迭代 1. 新增一個滑桿 a, 數值從 0~1, 增量 0.1, 暫時調 a=0.8 2. 打開試算表 在 A1 位置輸入坐標 (-3,1), 則圖形區產生 A1 點 3. 在 B1 位置輸入坐標 (1,1), 則圖形區產生 B1 點 4. 在 C1 位置輸入坐標 (1,5),D1 位置輸入坐標 (-3,5), 做出正方形 A1B1C1D1 5. 在 A1B1 上產生一個自由點, 命名為 A2, 屬性 --> 一般 --> 定義 -->Dilate[B1, a, A1] 6. 在試算表中, 以滑鼠拖曳 A2 cell 的右下方往右複製到 B2, 自動產生 B2 點 7. 同上再以滑鼠拖曳 B2 cell 的右下方往右複製到 C2, 自動產生 C2 點 8. D4 不能以上述方法產生, 仿步驟 5, 在 D1A1 上產生一個自由點, 命名為 D2, 屬性 --> 一般 --> 定義 -->Dilate[A1, a, D1] 9. 做出正方形 A2B2C2D2 10. 在試算表中,mark A2~D2 四個 cell, 以滑鼠拖曳 D2 cell 的右下方往右複製到 D3, 自動產生 A3 B3 C3 D3 四點, 做出正方形 A3B3C3D3 11. 同上步驟, 做出正方形 A4B4C4D4 12. 同上步驟, 做出正方形 A5B5C5D5, 可繼續做到 10 個正方形 42
七 其他圖形應用 7.1 平面框架 在一個框架裡面看物景移動, 眼睛只看到一個框框, 感覺像是裡面物體在 移動, 其實是一張背景圖片在移動 7.2 立體座標架 在平面模擬 3D 座標, 可以左右, 上下旋轉視角 43
7.3 三角測量製圖 44
7.4.1 骰子 7.4.2 兩粒骰子 & 樣本空間 45
7.5 觀察正方形內最大面積的正多邊形有何規律 1. 繪製 4 個定點 A=(0,0) B=(1,0) C=(1,1) D=(0,1), 並將圖形適當放大 2. 繪製 4 個線段 : a= Segment[A, B] b=segment[b, C] c=segment[c, D] d=segment[d, A] 3. 另外做一個折線 e=polyline[a, B, C, D, A] 4. 折線上放一個動點 P=point[e] 5. 新增數值滑桿 n, 整數 3~30 6. 將 A BCD 點依逆時針方向, 以 P 為中心旋轉 180 - (360 /n) A =Rotate[A, 180-360 / n, P] B =Rotate[B, 180-360 / n, P] C =Rotate[C, 180-360 / n, P] D =Rotate[D, 180-360 / n, P] 7. 連接線段 A B B C C D D A 8. 拉動 P 點繞一圈, 將 2 個方形相交線段的交點做出並重新命名 E_1 E_2 E_3 E_4 E_5 E_6 E_7 E_8, 這 8 個點永遠只會出現一個 9. 輸入命令 List1={a,b,c,d}, 這是原正方形 4 邊線段的集合 10. 輸入命令 List2={f,g,h,i}, 這是旋轉後正方形 4 邊線段的集合 11. 輸入命令 List3=sequence[ sequence[ intersect[ element[list1,i], element[list2,j] ],i,1,4],j,1,4] 找出所有任意兩邊之交點 ( 但只有 1 個 ), 其他 undefine List3=sequence[sequence[ intersect[element[list1,i], element[list2,j] ], i,1,4], j,1,4] 可以先觀察 List3=sequence[ intersect[element[list1,i], element[list2,1] ], i,1,4] 12. 把陣列攤平 List4 = Flatten[List3] 13. 去掉 undefine,list5=removeundefined[list4] 14. 產生新點 Q=Element[List5,2], 會出怎樣問題呢? 請先試一下修正 If[Element[List5, 1]==P, Element[List5, 2],Element[List5, 1] ] 15. E_? 的標籤都不要, 顯示 Q 的標籤, 隱藏線段 f,g,h,i, 隱藏點 A B C D 16. 做一個正多邊形 Polygon[Q, P, n] 46
在 n=3 4 的情況, 看起來是 OK 的 但是這個不是我們要的正多邊形,n>4 會跑出正方形外 事實上, 相鄰兩點並不一定都在正方形邊上 47
想要的, 跟操作的不一樣 ( 檔案 1) 所以改成兩個動點來調整, 重新開一個 ggb 檔 1. 做 4 個點 :A=(0,0) B=(1,0) C=(1,1) D=(0,1) 2. 做線段 a=segment[a, B] b=segment[b, C] c=segment[c, D] d=segment[d, A] 3. 在線段 a d 上各取一個自由點 E F:E=Point[a} F=Point[d] 4. 做一個滑桿 n, 整數,3~20 5. poly1= Polygon[F,E, n], 先拉動滑桿到 20, 產生準備用掉的字母 6. list1={e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,z}, 產生 n 個點的 List,E,F 其實不用加入 list1=sequence[point[poly1],i,1,n] - 這條失敗 7. list2=removeundefined[list1], 當拉動滑桿後, 把多餘的點清除 8. checkcount=length[list2], 要檢查的數目 9. list3=sequence[x(element[list2, i]), i, 1, checkcount] list4=sequence[y(element[list2, i]), i, 1, checkcount] checkmax_x=max[list3] checkmin_x=min[list3] checkmax_y=max[list4] checkmin_y=min[list4] 10. 顯示條件改成 (checkmax_x 1) (checkmin_x 0) (checkmax_y 1) (checkmin_y 0) 這樣在七邊形以內都可以, 但是 8 邊形以上有問題 ( 檔案 2) 修正 : 讓兩個點都可以在同一邊, 也可以不同邊 1. 新增折線 abcd= Polyline[A,B,C,D,A] 2. 將 F 點定義由 Point[d] 改成 Point[abcd], 現在 F 點可以跟 E 點同一邊上了 ( 檔案 3) 48
isinbox=if(((checkmax_x 1) (checkmin_x 0) (checkmax_y 1) (checkmin_y 0)),true,false) 49
7.6 輪胎曲面 1. 輸入坐標 A=(4,7),B=A+(1,0), 修改屬性 --> 一般 --> 勾輔助物件 2. 以 A 為圓心, 畫圓通過 B 點, 產生圓 c, 修改屬性 --> 一般 --> 勾輔助物件 3. 圓上產生控制輪胎截圓的自由點 C 控制輪胎旋轉面的自由點 D, 修改屬性 --> 一般 --> 勾輔助物件 4. 定 = BAC, = BAD, 修改屬性 --> 一般 --> 勾輔助物件 5. 輸入坐標 O=(3,4), 6. 製作真假值, 指令列輸入 a=false, 修改屬性 --> 一般 --> 顯示物件 顯示標籤 輔助物件, 標籤文字填入 3D 坐標軸 7. 指令列輸入 :b=true, 修改屬性 --> 一般 --> 顯示物件 顯示標籤 輔助物件, 標籤文字填入 坐標架控制點 8. 幾何區做出第 1 個新點, 修改屬性 --> 名稱 --> 改 x_1, 定義 O + (cos(α), sin(α) cos(β)), 第 2 個新點, 名稱改 y_1, 定義 O + (-sin(α), cos(α) cos(β)), 第 3 個新點, 名稱改 z_1, 定義 O + (0, sin(β)), 此 3 點都修改屬性 --> 進階 -- 顯示物件條件 a 9. 命令列輸入 Ox=Vector[O, x_1] Oy=Vector[O,y_1] Oz=Vector[O, z_1], 此 3 向量都修改屬性 --> 進階 -- 顯示物件條件 a 10. 命令列輸入 x_y= sin(α) cos(β) y_y= cos(α) cos(β) z_y=-cos(β), 此 3 數值都修改屬性 --> 一般 --> 勾輔助物件 11. 產生滑桿 m, 區間範圍 6~25, 增量 1 12. 命令列輸入指令 Sequence[Curve[x(O + (2 + cos(t)) cos(s) Ox + (2 + cos(t)) sin(s) Oy + sin(t) Oz), y(o + (2 + cos(t)) cos(s) Ox + (2 + cos(t)) sin(s) Oy + sin(t) Oz), t, 0, 6.28], s, 0, 6.28, 2 * 3.14 / m], 此時應變物件產生 : 集合 1={m+1 個座標 }, 幾何區出現 m 個相等之輪胎截圓面 13. 命令列輸入指令 Sequence[Curve[x(O + (2 + cos(t)) cos(s) Ox + (2 + cos(t)) sin(s) Oy + sin(t) Oz), y(o + (2 + cos(t)) cos(s) Ox + (2 + cos(t)) sin(s) Oy + sin(t) Oz), s, 0, 6.28], t, 0, 6.28, 2 * 3.14 / m], 此時應變物件產生 : 集合 2={m+1 個座標 },, 幾何區出現 m 個不等輪胎橫截面 請調整顏色 14. 在 A B C D 點 圓 c, 修改屬性 --> 進階 --> 顯示物件的條件 => b 50
7.7 證明三角恆等式 1. 令 CAB=α, CAD=β= CAE 2. 則 DAB=α-β, EAB=α+β 3. cos(α+β)=af cos(α-β)=ah 4. AG=cosβ AI=AG*cosα=cosα*cosβ 5. 2AI=AF+AH 6. 即 2cosα*cosβ=cos(α+β)+cos(α-β) X+Y X-Y 7. 或 cosx+cosy=2cos( )( ) 2 2 八 建立互動網頁 51
以 html.ggb 為例, 輸出後產生 7 個檔, 放在同一個目錄, 上傳到網頁空間即可 52
九. LaTeX 數學式 & SurdText 先從插入文字開始 讓 sin(60 ) 呈現分數 & 無理數 1. a=sin(60 ) 得到 a=0.87 2. b=suretext[sin(60 )] 得到 文字 3. 在幾何繪圖區呈現文字 53
學習單 : 三村問題 在一個三角形 ABC 中, 可以在其內部找到一個 P 點使得 PA+PB+PC 的和最 小, 是否可以利用幾何方法在三個分開的曲線中找到一點 P, 使得 P 點到三曲線 的距離和最小? 討論關於三角形平面上 到三個頂點距離之和最 小問題 ABC 平面上到三個頂點距離之和 PA+PB+PC 最小的 P 點, 必滿足 : (1) 當 ABC 最大內角小於 120 時, 則 P 滿足 BPC= CPA= APB=120 ; 解 : 在 ABC 外作正三角形 ABD 和 AEC, 這兩個正三角形的外接圓交點就是所求之點 P( 事實上該點也恰好是直線 BE 和 CD 的交點 ) (2) 當 ABC 最大內角不小於 120 時, 最大角的頂點就是使到三個頂點距 離之和 PA+PB+PC 最小的 P 點 作業 : 作任意三角形的內接正三角形 54