定期考優良試題推介 108 學年度 10 年級定期考. 範圍 : 多項式 教育部普通高中數學學科中心. 試題資源研發小組民國 109 年 月臺北市立北一女中蘇麗敏老師臺北市立陽明高中王聖淵老師新北市光復高中周靜慧老師臺北市立成功高中陳彥宏老師臺中市立台中女中蘇彩琳老師國立華僑高中蘇啟寅老師 ( 初稿執筆 ) 國立中央大學方向教授國立中央大學單維彰教授 十二年國民基本教育課程綱要 已於 108 學年正式實施 由於數學領域的學習內容及順序均有調整, 加上計算機融入教學與評量, 相關的試題內容與命題方式勢必改變 為配合這個趨勢, 學科中心乃組成研發團隊, 向各校徵選並推介優良試題, 充實教師同仁的教學資源 本次徵題適逢第一學期期末考試, 共收到十所學校提供的試卷, 在此謹表謝意 這十份試卷的命題範圍都是 多項式 無論是選題修改或新創試題, 都可以看出命題的用心 研發小組爰依據數學課綱與課程手冊的內容與原則, 從這些試卷中挑選優良試題, 做為本次推介的主要內容 如何界定試題的優良與否, 是一個見仁見智的問題 大致而言, 不外乎以學科專業的角度, 或者以測驗專業的角度來檢視 本小組依據 多項式 的教學內容與目標, 以試題的測驗內容與目標為主要考量, 兼顧試題情境 題幹敘述 選項設計等因素, 從中選取 題, 區分為基礎重要 新穎創意與商請修訂三類, 整理於後 各類試題的屬性說明如下 一 基礎重要 : 適合測驗本單元的基礎概念, 或重要概念 二 新穎創意 : 布題或測驗方式新穎, 別具創意 三 商請修訂 : 試題已具備優良試題的特質, 若能局部修改, 則更理想 一 基礎重要試題 4 1. 若 f( ) 8 9 15 100 除以 g ( ) 的商式為 6, 餘式為 98, 則 g(7) 參考答案 :191 1
. 設 f( )=-( - 1 () -), 則 =f() 的圖形概貌為下列何者? (A) (B) (C) (D) (E) 參考答案 :C. 若 f ( ) a p滿足 f ( 5) 0, f ( ) 0, 則下列選項何者正確? (A) a 0, p 0 (B) a 0, p 0 (C) a 0, p 0 (D) a 0, p 0 (E) a 0, p 0 參考答案 :B 4. 若 f ( ) a 4 7在 附近的一次近似為 16 19, 則 a 參考答案 : 5. 已知 f ( ) a b c 的圖形過三點 (1, 0), (0,0), ( 1,0), 則 f( ) 0的解為 參考答案 : 或 1 6. 忠明旅行社舉辦阿里山鐵道深度之旅 日遊活動, 預定人數為 0 人, 每人 6000 元, 若人數達 0 人, 每多一人, 每人可以減少 100 元 ( 考慮到旅遊的品質的舒適性, 最多再收 10 人 ), 若旅行社收 a 人, 有最大的收入 b 元, 試問 :(a,b) = 參考答案 :(40, 00000) 出處 : 忠明高中 7. 若三次函數 Γ :, 已知點 P(a,b) 在 Γ 上, 由 Γ 的圖形特徵知, 下列哪一點亦必在 Γ 上? (A)(a-,b+) (B)(-a-,-b-) (C)(a+6,b+) (D)(-a-6,-b-) (E)(-a-6,-b-4) 參考答案 :E 出處 : 台灣師大附中
8. 小明通過了今年大學申請入學的第一階段篩選, 正為了第二階段的審查資料作準備, 其簡 章中審查資料的說明如下 : 審查資料 項目 : 高中 ( 職 ) 在校成績證明 讀書計畫 ( 含申請動機 ) 競賽成果 ( 或特殊表現 ) 證明 英語能力檢定證明 數理能力檢定證明 說明 :1. 競賽成果 ( 或特殊表現 ) 請條列式述明具體事實, 並檢附相關成果證明. 若無上述相關資料, 可不須上傳 所幸小明曾經代表學校參加全國數學學科能力競賽並獲得佳績, 可將此競賽成果放入自己 的審查資料 小明為了妥善保存得獎獎狀, 於是想將此張長 40 公分 寬 0 公分的獎狀放 入透明的長方形護貝套中 已知護貝套的各邊必須比獎狀的各邊皆多出 公分 (>0), 如圖 若護貝套的面積不得超過 1575 平方公分, 則 的範圍為 參考答案 : 0< 出處 : 忠明高中 9. 已知 =- + 5的圖形如右圖所示, 5 (1) 若 6 7 組 a, b, k =?(4 分 ) - + - + =- +a +b +a + k, 試求序 () 利用 (1) 的結果, 試說明如何平移 =- + 5的圖形後 得到 =- +6-7+ 的圖形 ( 分 ) () 求出 =- +6-7+ 圖形的對稱中心為?( 分 ) (4) 6 7 - + - + =- +a +b +a + k 在 =-a 附近的一次近似為?( 分 ) 參考答案 : (1) -,5, 4 () 右移 單位, 上移 4 單位 ()(,4) (4) =5-6 出處 : 忠明高中
10. 若三次函數 f a h p h k 的圖形如圖, 則下列何者最有可能為二次函數 g a p h 的圖形? (A) (B) (C) (D) (E) 參考答案 :C 出處 : 台灣師大附中 11. 已知 f ( ) b c d 為實係數三次多項式, 則下列敘述哪些正確? (1) f ( ) 的圖形可能為 1, 且不等式 f( ) 0的解為 1 () f ( ) 的圖形可能為, 且不等式 f( ) 0的解為 1 1或 () f ( ) 的圖形可能為, 且不等式 f( ) 0的解為 1 1 或 (4) f ( ) 的圖形可能為, 且不等式 f( ) 0的解為 1 1但 (5) f ( ) 的圖形可能為, 且不等式 f( ) 0的解為 1或 參考答案 :, 4 出處 : 左營高中 1 4
1. 右圖為多項式函數 f ( ) b c 的圖形, 又 g ( ) f( ), 且 g ( ) 0的解為 h k, 求 k h 參考答案 : 出處 : 左營高中 1. 二次函數 8 6的圖形上有多少個點到 軸的距離為 1? (1) 1 個 () 個 () 個 (4) 4 個 (5) 0 個 參考答案 : 4 出處 : 臺中一中 14. 設三次函數 f a 1 b 1 c 1 d 的對稱中心為 k, 且 f 的圖形在 1 附近的局部特徵近似於直線, 則下列選項中的值, 哪些必為正數? (1) a () b () c (4) d (5) f 的展開式中, 一次項的係數 參考答案 :, 4 出處 : 臺中一中 15. 設 a p 為實數, 若 (, 4) 為三次函數 f ( ) a( 1) p( 1) 上一點, 則此函數圖形必過原點 ( 是非題 ) 參考答案 : 〇出處 : 光復高中 16. 設 f ( ), g( ), 則 f( ) 與 g( ) 的函數圖形有多少個交點? (1) 0 () 1 () (4) (5) 4 參考答案 : 出處 : 華僑高中 17. 已知二次函數 f ( ) a 1 b滿足 f 1 0且 f 0, 選出正確的選項 (1) a 0 () b 0 () f 4 0 (4) f 0 (5) f 5 f 5 參考答案 :, 4 出處 : 華僑高中 18. 試解下列不等式 :(1) 10,() 4 0,() 參考答案 :(1) 7 出處 : 華僑高中,() 1 4,() or 5 5 0 5
19. 虎克定律為力學彈性理論中的一條基本定律, 其中一個常見例子是彈簧 今有一彈簧在彈性限度內, 其伸長量與所掛重量呈線性關係, 所掛物品重量為 1g 時總長度為 15cm, 0g 時總長度為 19cm, 求彈簧不掛物品時的長度為 公分 參考答案 :9 出處 : 臺東高中 0. 有一峽谷的邊緣呈拋物線狀, 函數為 6, 今想蓋一條公路, 且需通過加油站點 P 0,, 在不碰到峽谷的情況, 求此公路之斜率 m 範圍? 參考答案 : -< m 6 出處 : 臺東高中 1. 下列關於 f( ) ( ) ( ) 的敘述, 哪些選項正確? (1) f ( ) 的圖形是對稱中心為 (, ) 的點對稱圖形 () 將 g ( ) 的圖形向右平移 單位, 向下平移 單位, 會與 f ( ) 的圖形疊合 () f ( ) 的圖形與 軸交於兩點 (4) 方程式 f( ) 0有三個相異實根 (5) 多項式 f ( ) 可被 整除 參考答案 :, 4, 5 出處 : 北一女中. 已知 f ( ) 和 g ( ) 均為多項式, 且 f ( ) 和 f( ) 分別除以 g ( ) 的餘式都是 已知 g ( ) 的領導係數為 1, 則 g( ) 參考答案 : 出處 : 北一女中. 已知拋物線 f ( ) = +a+b 的圖形與 軸交 A B 兩點, AB 的長為 15, 且函數 = f( ) 與直線 = 的圖形恰相交於一點, 則拋物線 = f ( ) 圖形的對稱軸方程式為 參考答案 : = 4 出處 : 臺中女中 4. 配合題 :( 每小題 分, 共 10 分 ) 設 a 為負數,b p 為兩相異正數, 試分別就下列函數選出最適當的函數圖形 :( 請填入代號 ) 1 f ( ) a p : 6
g( ) a b p : h( ) a b p : 4 r( ) a b : 5 l ( ) p ( a)( b) : (A) (B) (C) (D) (E) (F) (G) (H) (I) (J) (K) (L) (M) (N) () (P) (Q) (R) (S) (T) 7
參考答案 :ADLR 出處 : 臺中女中 二 新穎創意試題 5. 將臺灣行政區的地圖, 加上直角坐標後, 則下列哪些選項正確? (A) 與雲林縣對稱於 軸的縣市大約會落在彰化縣 (B) 與雲林縣對稱於 軸的縣市大約會落在花蓮縣 (C) 與宜蘭縣對稱於原點的縣市大約會落在高雄市 ( 取最符合的縣市 ) (D) 與雲林縣對稱於 = 的縣市大約會落在高雄市 (E) 與綠島對稱於 軸的縣市大約會落在基隆市 參考答案 :ABD 6. 下圖為小明利用所學的多項式函數所設計的新型桌球拍, 已知她運用了 個三次函數,1 個二次函數與 1 個一次函數繪圖而成, 則下列哪些選項正確? (A) deg(f()+h( )= (B) deg(k() g( )= (C) f()- 有 + 的因式 (D) 當 R 時,f() 與 h() 的圖形對稱於 軸 (E) f() 首項係數為正數 參考答案 :BCD 8
7. 若 f( ) g( ) a b, 且圖形如下, 請選出 a 0 且 b 0 的選項 : (1) () () f ( ) g ( ) g ( ) g ( ) f ( ) (4) f ( ) (5) f ( ) f ( ) g ( ) 參考答案 :1 出處 : 左營高中 g ( ) 8. 電腦內部資料都是使用 0 與 1 來儲存的, 這種只有 0 與 1 兩種狀態的系統, 相當於二進位 ( 數字系統 ) 人類最常用的為十進位, 也是目前最常用的系統 10 有一天, 茂德想求 0816506 除以 101 10 的餘數為 R, 恰巧手邊沒有計算器及計算器 APP 應用軟體可使用, 於是向數學老師請益, 老師提示他可以利用多項式的除法, 即令 0 81 65 6 10, g 1, 找到多項式 Q 滿足除法關係式 f f g Q a b中的未知數 a b 的值, 就有機會求出餘數 R 請依題意敘述, 試回答下列問題 : 1. 若 m 為正整數且 f m 0816506 10, 則 m 值為 (1) 10 () 0 () 100 (4) 101 (5)10 ( 單選題 ). 滿足 f g Q a b的數對 ab, ( 選填題 ). 餘數 R 的值為 ( 選填題 ) 參考答案 : 1.. (51, 156). 71 出處 : 臺中一中 9
9. 將邊長為 6 公分的正方型厚紙板兩邊取相同長度 垂直往上折, 使其成為一個截面為 U 形的凹槽, 若欲使此截面 ( 圖中的陰影部分 ) 面積最大, 則兩邊折起的高度 應為 公分 參考答案 :9 出處 : 新北市光復高中 f ( ) 0. 遊樂園建造新的雲霄飛車, 工程師在坐標平面上設計一個軌道函數 5 4 f( ) 10 5 50 4 5 如右圖, 預計雲霄飛車的搭乘平台位於 (0,5), 即離地高 5 公尺 設 為與平台底部的水平距離, f( ) 為雲霄飛車的軌道高度, 試問 : 當 4 時, 軌道高度為 公尺 ( 寫成數值形式 ) 參考答案 :5 出處 : 北一女中 (0,5) 三 商請修訂的試題 1. 已知 a R, a 0, 為 a a 的圖形恆在 a 4a圖形的下方, 求 a 的範圍 參考答案 : 1 a 0 修改建議 : 本題測驗重要的概念, 並加以變化, 是一道好題目 唯由於計算步驟較複雜, 建議改為非選題並分段給分, 使學生有獲得部份分數的機會 4. 已知 f( ) 5, 求下列各問題 : (1) f ( ) () 設 f( ) 在 附近的一次近似為 g, ( ) 若 f( 1.99) g( 1.99) 10 n, n N 的最大值為, 則 n 參考答案 :(1)5 17,() 修改建議 : 本題要求學生計算函數的一次近似, 是一道好題目 但由於課綱重點在三次函數 ( 條目 F-10-), 故建議將函數 f( ) 修改為三次函數 ( 亦可節省學生計算時間 ) 10
. 下列對於右圖三個函數圖形的配對, 何者正確? (1) : : 4 : 4 1 1: : 4 1: : 4 1: : 4 1 : 4 4 () : 4 () : 4 (4) : 4 (5) : : 參考答案 : 出處 : 光復高中修改建議 : 本題測驗一次 二次 三次函數圖形的基本概念, 是一道好題目 唯學生解題時, 只需具備一次 二次函數圖形概念, 即可刪除不適當選項, 而剩下的選項就是正解 故建議修改選項中一次 二次函數的係數, 使學生必須思考三次函數的圖形, 達到測驗目標 說明 : 因為直線 Γ1 斜率小於 0, 刪去選項 (1)(5); 拋物線 Γ 頂點在 軸左方, 刪去選項 ()(4) 只剩下選項(), 本題答案正好是 () 11
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