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應 用 GeoGebra 數 學 軟 體 於 數 學 課 程 的 教 學 Using Dynamic Mathematical Software GeoGebra in Mathematical Course 姜 正 雄 Cheng-Hsiung Chiang 玄 奘 大 學 資 訊 管 理 學 系 Department of Information Management, Hsuan Chuang University 摘 要 一 些 調 查 研 究 發 現 數 學 軟 體 可 以 提 升 學 生 在 數 學 課 程 的 學 習 效 果 GeoGebra 是 一 套 免 費 的 動 態 數 學 軟 體, 已 經 有 40 種 語 言 的 版 本 GeoGebra 可 用 於 幾 何 繪 圖 代 數 運 算 微 積 分 以 及 統 計 學 等, 並 且 可 以 撰 寫 JavaScript 程 式 用 以 控 制 繪 圖 物 件, 讓 圖 形 呈 現 動 態 效 果 本 論 文 除 了 簡 介 GeoGebra 的 基 本 功 能 外, 也 介 紹 將 GeoGebra 應 用 於 數 學 課 的 圖 解 指 數 與 對 數 函 數 單 元 求 解 聯 立 方 程 式 單 元 以 及 用 圖 解 法 求 解 線 性 規 劃 問 題 的 單 元 從 學 生 的 學 習 效 果 得 知,GeoGebra 軟 體 對 於 數 學 程 度 較 差 的 學 生 有 較 好 的 學 習 效 果, 能 夠 增 加 學 生 學 習 興 趣 並 且 建 立 信 心 關 鍵 字 :GeoGebra JavaScript 動 態 軟 體 數 學 課 程 Abstract Some research had found that mathematical software can enhance students learning effect in mathematics courses. GeoGebra is a free dynamic mathematical software, and it has been translated to 40 languages. GeoGebra can be applied to Geometrical drawing, Algebra operation, Calculus, Statistics, and so on. We also can write the JavaScript programs to control the objects for revealing the dynamic effect. This paper briefly introduces the basic functions of GeoGebra, and introduces how to apply GeoGebra to draw the exponential and logarithmic functions, to solve linear equation systems, and solve the linear programming problems with two variables. From the learning effect of students, GeoGebra can obviously enhance the learning effect of students with poor mathematical level, and it also can enhance learning interest and confidence. Keywords: GeoGebra, JavaScript, dynamic software, mathematical course. 68

1. 前 言 在 傳 統 的 數 學 課 程 中, 是 以 徒 手 的 方 式 解 決 數 學 問 題, 但 是 對 於 幾 何 作 圖 等 方 面 不 容 易 有 效 率 地 用 徒 手 繪 圖 有 些 數 學 問 題 的 求 解 過 程 較 困 難, 容 易 降 低 學 生 學 習 興 趣 並 影 響 信 心 有 不 少 學 生 對 於 數 學 缺 乏 信 心 以 及 興 趣, 提 不 起 學 習 動 機 若 能 有 一 套 數 學 軟 體 用 來 輔 助 學 生 求 解 數 學 問 題, 或 者 能 夠 畫 出 函 數 圖 形, 將 能 提 升 學 習 的 興 趣, 幫 助 對 數 學 問 題 的 理 解 有 一 些 先 前 的 研 究 指 出, 使 用 電 腦 比 傳 統 的 學 習 方 式 更 有 效, 尤 其 是 在 變 換 的 幾 何 學 多 邊 形 角 柱 體 以 及 錐 體 (Doğan & Içel,2011) 最 近 這 19 年 來 有 許 多 研 究 開 發 出 數 學 軟 體 應 用 於 教 育 中, 包 括 Logo, Geometer s Sketchpad, Cabri, Derive, Mathematica, Scientific WorkPlace (Hohenwarter & Fuchs,2004) GeoGebra 是 一 套 免 費 的 動 態 數 學 軟 體, 能 夠 被 運 用 於 從 小 學 到 大 學 的 很 多 的 數 學 主 題 ; 這 套 軟 體 結 合 代 數 幾 何 以 及 微 積 分 等, 容 易 操 作 使 用 (Akkaya et al.,2011) GeoGebra 最 早 由 Markus Hohenwarter 在 2002 年 於 奥 地 利 薩 爾 茨 堡 大 學 所 提 出 來 的 (Hohnewater,2002) GeoGebra 是 由 Java 所 撰 寫 的, 它 獲 得 了 幾 個 國 際 軟 體 獎 項, 包 括 :(GeoGebra 官 方 網 站 ) MERLOT Classics Award 2013: 學 習 和 網 路 教 學 的 多 媒 體 教 育 資 源 (Las Vegas, USA) NTLC Award 2010: 國 家 科 技 領 導 獎 (Washington D.C., USA) Tech Award 2009: 教 育 範 疇 的 桂 冠 (San Jose, California, USA) AECT Distinguished Development Award 2008: 教 育 傳 播 與 技 術 協 會 (Orlando, USA) Learnie Award 2006: 奧 地 利 教 育 軟 體 獎 (Vienna, Austria) 2. GeoGebra 簡 介 GeoGebra 是 應 用 於 各 個 教 育 階 段 的 動 態 數 學 軟 體, 它 能 夠 解 決 幾 何 代 數 表 格 繪 圖 統 計 和 微 積 分 的 問 題 GeoGebra 的 用 戶 迅 速 增 加, 幾 乎 每 個 國 家 的 使 用 者 數 量 多 達 數 百 萬 GeoGebra 已 經 成 為 動 態 數 學 軟 體 的 領 頭 軍 (GeoGebra 官 方 網 站 ) GeoGebra 目 前 已 被 翻 譯 成 40 種 不 同 語 言, 使 用 者 可 以 從 GeoGebra 官 方 網 站 免 費 下 載 這 套 軟 體, 網 址 為 http://www.geogebra.org (Saha et al., 2010) GeoGebra 提 供 數 學 物 件 的 三 種 基 本 的 視 區 : 幾 何 視 區 代 數 視 區 和 試 算 表 視 區 這 些 視 區 能 夠 將 數 學 物 件 以 三 種 不 同 形 式 的 表 徵 呈 現 : 圖 形 化 ( 例 : 點 直 線 函 數 圖 形 ) 代 數 化 ( 例 : 點 座 標 方 程 式 ) 與 試 算 表 ( 例 : 矩 陣 的 數 值 ) 中 表 列 呈 現 同 一 個 物 件 的 所 有 表 徵 會 動 態 連 結 並 且 同 步 調 整 位 於 其 它 視 區 的 表 徵 (Hohenwarter & Hohenwater,2009) 69

圖 1 GeoGebra 的 多 重 視 區 (Hohenwarter & Hohenwater,2009) 在 代 數 視 區 中, 列 出 物 件 的 數 學 式 型 態 的 定 義 例 如 點 是 以 A = (2, 3) 直 線 方 程 式 以 L: 2x + 3y = 5 的 形 態 將 其 顯 示 ( 高 雄 市 政 府 教 育 局 國 民 教 育 輔 導 團 ) 此 外, 代 數 區 也 可 以 顯 示 數 值 ( 例 :a = -2.75) 圓 形 ( 例 :d: Circle[D, E]) 三 角 形 ( 例 :poly1 = Polygon[F, G, H]) 五 角 形 ( 例 :poly2 = Polygon[L, M, N, O, P]) 函 數 ( 例 :p(x) = x 3 +3x) 等 物 件 這 些 物 件 也 能 以 圖 形 的 方 式 顯 示 在 幾 何 視 區 中, 當 代 數 視 區 的 數 值 更 改 時, 幾 何 視 區 的 圖 形 也 會 跟 著 改 變 在 圖 1 中, 工 具 列 可 以 用 來 畫 圖 ( 包 括 : 點 直 線 線 段 垂 直 線 平 行 線 多 邊 形 圓 圓 弧 曲 線 等 ), 也 可 以 用 來 計 算 夾 角 面 積 斜 率 距 離 函 數 極 大 或 極 小 值 等, 還 可 以 用 來 輸 入 文 字 以 及 加 入 按 鈕 物 件 等 圖 1 下 方 的 指 令 列 可 以 用 來 輸 入 GeoGebra 的 指 令, 也 可 以 用 來 建 立 物 件 ( 例 : 在 指 令 列 輸 入 p(x) = x^3 + 3x, 代 表 p(x) = x 3 + 3x) 圖 1 右 方 的 試 算 表 視 區 可 以 輸 入 數 值 以 建 立 矩 陣 或 表 格, 也 可 以 如 同 微 軟 的 Excel 軟 體 般 用 於 四 則 運 算 以 及 函 數 計 算 ( 例 : 輸 入 = cos(pi) 表 示 計 算 cos()) 如 果 要 撰 寫 程 式, 可 以 用 滑 鼠 在 幾 何 視 區 的 圖 形 上 點 選, 在 屬 性 視 窗 的 程 式 區 裡 可 以 撰 寫 GeoGebra 程 式 碼 或 JavaScript 程 式 程 式 可 以 控 制 圖 形, 以 動 態 的 方 式 來 展 示 3. 以 GeoGebra 輔 助 學 生 學 習 數 學 本 節 將 介 紹 應 用 GeoGebra 軟 體 於 資 訊 數 理 基 礎 課 程 以 及 管 理 數 學 課 程 的 幾 個 範 例, 包 括 : 資 訊 數 理 基 礎 的 圖 解 指 數 與 對 數 函 數 單 元, 以 及 管 理 數 學 的 求 解 聯 立 方 程 式 單 元 以 及 用 圖 解 法 求 解 線 性 規 劃 問 題 的 單 元 資 訊 數 理 基 礎 以 及 管 理 數 學 分 別 開 設 於 大 二 以 及 大 三 在 課 堂 中 首 先 講 解 這 些 單 元 的 理 論 知 識, 然 後 示 範 如 何 用 GeoGebra 解 決 這 些 數 學 問 題, 最 後 再 讓 學 生 實 際 在 電 腦 上 練 習 用 GeoGebra 解 決 問 題 70

3.1. 以 GeoGebra 圖 解 指 數 函 數 與 對 數 函 數 透 過 GeoGebra 的 數 值 滑 桿 互 動 功 能, 可 以 讓 學 生 更 容 易 了 解 指 數 函 數 與 對 數 函 數 的 特 性 指 數 函 數 與 對 數 函 數 的 公 式 如 下 : 指 數 函 數 f(x) = e bx, 其 中 b [-5, 5]; (1) 對 數 函 數 g(x) = log n x, 其 中 n = 2, 3, 4,, 30 (2) 在 平 面 直 角 坐 標 系 統 中, 學 生 可 以 透 過 設 定 不 同 的 b 以 及 n 值 ( 如 公 式 (1) 公 式 (2)), 畫 出 不 同 特 徵 函 數 圖 形 ( 如 圖 2) GeoGebra 的 數 值 滑 桿 功 能, 可 以 讓 學 生 在 滑 桿 上 控 制 變 數 數 值 ( 在 此 為 b 及 n) 大 小, 函 數 圖 形 也 會 同 時 發 生 變 化 學 生 可 以 觀 看 不 同 數 值 變 化 對 函 數 產 生 的 影 響, 熟 悉 函 數 的 特 性 以 下 提 出 幾 個 問 題 給 學 生 練 習 以 增 進 知 能 : 1. 移 動 變 數 b 及 n 的 滑 桿, 使 得 (1) f(x) 與 g(x) 相 交 於 一 點 ; (2) f(x) 與 g(x) 相 交 於 兩 點 ; (3) f(x) 與 g(x) 沒 有 交 點 2. 移 動 變 數 n 的 滑 桿, 請 說 明 g(x) 與 y = x 函 數 的 交 點 3. 移 動 變 數 b 的 滑 桿, 請 解 釋 當 b = 0,b < 0 以 及 b > 0,f(x) 有 何 變 化 圖 2 指 數 函 數 與 對 數 函 數 的 互 動 式 圖 形 71

代 數 法 求 解 聯 立 方 程 式 的 結 果 圖 解 法 求 解 聯 立 方 程 式 的 結 果 圖 3 三 個 變 數 聯 立 方 程 式 的 立 體 圖 3.2. 以 GeoGebra 求 解 聯 立 方 程 式 GeoGebra 除 了 可 以 畫 出 2D 的 圖 形 外, 也 可 以 製 作 3D 的 立 體 圖 以 下 為 三 個 變 數 的 聯 立 方 程 式 : 2x y z 1 4x 3y 2z 7 x 2y 3z 4 (3) 在 此 問 題 中, 可 以 請 學 生 畫 公 式 (3) 的 3D 立 體 圖 ( 如 圖 3), 旋 轉 立 體 圖 可 以 觀 看 不 同 角 度 的 圖 形 求 解 公 式 (3) 的 聯 立 方 程 式 有 兩 種 方 式 :(1) 圖 解 法, 利 用 GeoGebra 畫 交 點 的 功 能, 可 以 在 3D 空 間 中 點 出 三 個 平 面 ( 表 示 三 個 方 程 式 ) 的 交 點 如 圖 3 所 示, 交 點 為 (0.4, 1.8, 0) (2) 代 數 法, 首 先 在 GeoGebra 的 運 算 區 中 分 別 輸 入 公 式 (3) 的 三 個 方 程 式 然 後 利 用 求 解 的 功 能, 計 算 聯 立 方 程 式 的 解 為 x = 2/5, y = 9/5, z = 0 ( 如 圖 3) 由 於 3D 繪 圖 沒 有 提 供 數 值 滑 桿 的 功 能, 所 以 無 法 動 態 地 調 整 公 式 (3) 的 變 數 係 數 3.3. 以 GeoGebra 求 解 線 性 規 劃 問 題 線 性 規 劃 的 問 題 是 要 求 在 資 源 有 限 或 某 限 制 條 件 下, 使 得 利 潤 最 大 或 者 成 本 最 低 的 最 佳 方 案 若 只 有 兩 個 決 策 變 數 可 用 圖 解 法 求 解, 因 此 我 們 可 用 GeoGebra 繪 圖 以 互 動 方 式 找 到 最 佳 方 案 以 下 舉 財 務 規 劃 問 題 作 為 範 例 : 假 設 一 對 美 國 夫 婦 擁 有 $30,000, 想 要 投 資 有 價 證 券 投 資 經 紀 人 建 議 兩 種 投 資 標 的 : 其 一 是 有 8% 利 得 的 AAA 債 券, 另 一 是 利 得 為 12% 的 B + 債 券 經 過 考 慮 後, 這 對 夫 婦 決 定 最 多 投 資 B + 債 券 $12,000 且 至 少 投 資 AAA 債 券 $6,000; 他 們 也 希 望 AAA 債 券 的 投 資 總 額 必 須 72

超 過 B + 債 券 的 投 資 總 額 或 一 樣 多 試 問 經 紀 人 應 該 提 出 何 種 建 議, 才 能 獲 得 最 大 投 資 報 酬? 以 下 列 出 這 個 問 題 的 線 性 規 劃 模 式 ( 趙 可 南,2012): 目 標 函 數 P 0.08x 0.12y x y 30,000 y 12,000 x 6,000 限 制 條 件 x y x 0 y 0 (4) 欲 畫 出 上 述 線 性 規 劃 問 題 的 可 行 解 區 域 ( 如 圖 4), 首 先 畫 出 限 制 條 件 的 等 式 方 程 式 圖 形 ( 將 不 等 式 改 為 等 式 ) 然 後 決 定 由 這 六 條 限 制 條 件 所 交 集 圍 成 的 可 行 解 區 域, 並 且 點 畫 出 可 行 解 區 域 的 五 個 角 點 ( 每 個 角 點 有 兩 條 直 線 相 交 ) 若 目 標 函 數 為 0.18x + 0.12y = p, 我 們 可 以 建 立 p 的 數 值 滑 桿 ( 範 圍 介 於 0 至 3,000) 當 增 加 滑 桿 數 值, 目 標 函 數 P 的 圖 形 會 往 右 上 方 平 行 移 動 可 以 讓 學 生 實 際 移 動 滑 桿, 找 到 一 個 具 有 最 大 目 標 函 數 的 角 點 ( 最 佳 解 ) 以 下 幾 個 問 題 可 以 讓 學 生 練 習 回 答 : 1. 移 動 數 值 滑 桿 找 出 具 有 最 小 利 潤 以 及 最 大 利 潤 的 角 點 2. 在 不 改 變 可 行 解 區 域 的 形 狀 之 下, 試 著 用 滑 鼠 拖 曳 在 公 式 (4) 的 上 面 四 個 限 制 條 件 ( 不 包 括 x 0 以 及 y 0), 平 行 移 動 直 線 後 再 觀 察 最 大 利 潤 為 何 3. 如 果 希 望 增 加 最 大 利 潤, 則 應 該 平 行 移 動 哪 一 條 直 線 方 程 式? 圖 4 線 性 規 劃 問 題 的 圖 解 73

4. 學 生 學 習 效 果 管 理 數 學 的 課 程 分 別 開 設 於 104 學 年 度 上 學 期 的 日 間 部 三 年 級 以 及 進 修 部 三 年 級, 這 兩 個 班 級 上 課 時 都 應 用 GeoGebra 輔 助 教 學 並 且 讓 學 生 學 習 以 求 解 數 學 問 題 平 時 的 隨 堂 練 習 以 及 作 業 都 有 讓 學 生 實 際 練 習 GeoGebra 的 題 目, 期 中 考 以 及 期 末 考 也 將 GeoGebra 的 實 作 題 納 入 考 試 範 圍 這 兩 個 班 級 對 於 GeoGebra 的 學 習 態 度 以 及 效 果 不 同 進 修 部 三 年 級 的 學 生 人 數 較 少, 學 生 的 程 度 比 較 差, 數 學 的 基 礎 普 遍 不 佳 雖 然 學 生 數 學 的 計 算 能 力 較 差, 邏 輯 推 理 能 力 也 不 好, 但 是 卻 能 夠 用 GeoGebra 正 確 地 解 決 數 學 問 題 期 中 考 以 及 期 末 考 可 以 讓 學 生 選 擇 以 手 算 回 答 問 題 或 者 用 GeoGebra 得 到 問 題 解 答, 學 生 大 都 用 GeoGebra 來 解 決 問 題 使 用 GeoGebra 回 答 數 學 問 題 只 需 要 熟 悉 操 作 步 驟, 就 能 夠 得 到 解 答, 不 需 要 思 考, 也 不 需 要 數 學 計 算 因 此,GeoGebra 或 者 其 它 數 學 軟 體 能 夠 幫 助 數 學 程 度 較 差 的 學 生, 增 加 學 習 動 機 以 及 興 趣, 並 且 建 立 信 心 學 生 能 夠 容 易 使 用 GeoGebra 解 決 數 學 問 題 也 能 夠 輔 助 學 生 學 習 數 學 理 論, 以 及 驗 證 自 己 的 計 算 結 果 日 間 部 學 生 的 數 學 程 度 比 進 修 部 學 生 好, 計 算 能 力 比 較 強 期 中 考 的 題 目 包 括 手 算 題 以 及 用 GeoGeobra 求 解 的 實 作 題, 學 生 用 手 算 回 答 問 題 或 者 以 GeoGebra 求 解 問 題 的 成 績 並 無 顯 著 差 異 5. 結 論 本 論 文 簡 介 一 套 免 費 的 動 態 數 學 軟 體 :GeoGebra, 將 其 應 用 於 數 學 課 程 的 教 學 中 GeoGebra 已 被 翻 譯 成 40 種 不 同 國 家 語 言, 被 推 廣 至 全 世 界, 能 夠 用 來 解 決 幾 何 學 代 數 微 積 分 以 及 統 計 學 等 問 題 本 論 文 也 介 紹 GeoGebra 應 用 於 數 學 課 ( 包 括 資 訊 數 理 基 礎 以 及 管 理 數 學 ) 的 圖 解 指 數 與 對 數 函 數 單 元 求 解 聯 立 方 程 式 單 元 以 及 用 圖 解 法 求 解 線 性 規 劃 問 題 的 單 元 透 過 GeoGebra 的 數 值 滑 桿 等 互 動 功 能, 可 以 讓 學 生 更 清 楚 了 解 函 數 的 特 徵 以 及 問 題 的 最 佳 解 的 變 化 幫 助 學 生 更 容 易 學 習 這 些 數 學 單 元 在 管 理 數 學 課 程 中, 我 們 應 用 GeoGebra 軟 體 輔 助 學 生 學 習 數 學 由 學 生 的 學 習 效 果 得 知, GeoGebra 軟 體 可 以 幫 助 數 學 程 度 較 差 的 學 生, 培 養 對 數 學 的 興 趣 以 及 建 立 信 心 即 使 數 學 能 力 不 好, 也 能 夠 正 確 地 用 GeoGebra 解 決 數 學 問 題 和 徒 手 方 式 的 計 算 比 較, 學 生 比 較 容 易 使 用 GeoGebra 解 決 數 學 問 題 6. 參 考 文 獻 [1] 高 雄 市 政 府 教 育 局 國 民 教 育 輔 導 團, 數 學 領 域 資 訊 融 入 教 學 資 源,Geogebra 使 用 入 門 : 數 位 式 的 坐 標 平 面 系 統,http://www.ceag.kh.edu.tw/ezfiles/0/1000/img/24/40.pdf [2] 趙 可 南 譯,Michael Sullivan 作, 管 理 數 學, 臺 中 市, 滄 海 圖 書 資 訊, 民 國 101 年, 第 11 版 [3] 羅 驥 韡 許 舜 淵 彭 建 勛 呂 鳳 琳 胡 政 德 左 台 益 翻 譯,M. Hohenwarter and J. Hohenwater 作,GeoGebra 使 用 說 明,GeoGebra,http://www.geogebra.org, 民 國 98 年 10 月,3.2 版 74

[4] A. Akkaya, E. Tatar, and T. B. Kaǧizmanli, Using dynamic software in teaching of the symmetry in analytic geometry: The case of GeoGebra, Procedia- Soc. Behav. Sci., Vol. 15, pp. 2540 2544, 2011. [5] M. Doğan and R. Içel, The role of dynamic geometry software in the process of learning : GeoGebra example about triangles, Int. J. Hum. Sci., Vol. 8, No. 1, pp. 1441-1458, 2011. [6] GeoGebra 官 方 網 站, 關 於,http://www.geogebra.org/about [7] M. Hohenwarter, GeoGebra - ein Software system für dynamische Geometrie und Algebra der Ebene, Master s thesis, Universität Salzburg, 2002. [8] M. Hohenwarter and K. Fuchs, Combination of dynamic geometry, algebra and calculus in the software system GeoGebra, in Proceedings of Computer Algebra Systems and Dynamic Geometry Systems in Mathematics Teaching Conference, 2004. [9] R. A. Saha, A. F. M. Ayub, and R. A. Tarmizi, The effects of GeoGebra on mathematics achievement: Enlightening Coordinate Geometry learning, Procedia- Soc. Behav. Sci., Vol. 8, pp. 686-693, 2010. 75