第 8 章 積分應用 ( 貳 ) [ Applictions of Integrtion-II ] 目錄 8.1 平面曲線之弧長.............................. 88 8. 旋轉面表面積............................... 89 8.3 力矩與質心................................ 90 8.4 Pppus 定理.............................. 91 8.5 液壓................................... 9 8.6 經濟學.................................. 9 8.7 生命科學................................. 9 8.8 機率................................... 93 (1) 以平面曲線之弧長, 旋轉面表面積, 力矩與質心等等之求法為例, 介紹如何應用積分 () 介紹 Pppus 定理 8.1 平面曲線之弧長 (Lengths of Plne Curves) 例 8.1.1. (1) 若 f 在 [, b] 上連續, 則曲線 y = f (x), x b, 的弧長 (rc length) 是 b b ( ) dy L = 1 + [f (x)] dx = 1 + dx dx () 若曲線為 x = g (y), c y d, g (y) 為連續, 則弧長為 d d L = 1 + [g (y)] dy = 1 + 例 8.1.. 求半徑為 r 之圓的圓周長 例 8.1.3. (1) 求曲線 y = 4 3 x 3 1, 0 x 1, 之弧長 () 求曲線 y = 1 (ex + e x ), 0 x, 之弧長 (3) 求曲線 y = ( x ) 3, 0 x, 之全長 c 88 c ( ) dx dy dy
8. 旋轉面表面積 例 8.1.4. (1) 求拋物線 y = x 從 (0, 0) 到 (1, 1) 的弧長 () 求半三次拋物線 (semicubicl prbol) y 3 = x 在 (1, 1) 到 (8, 4) 之間的弧長 例 8.1.5. 求曲線 y = 1 x 1 t3 + 1dt, 1 x 1 的全長 ( ) 例 8.1.6. 估計雙曲線 xy = 1 從 (1, 1) 到, 1 的弧長 定義 8.1.7. 若平滑曲線 (smooth curve) C 的方程式是 y = f (x), x b, 則從 (, f ()) 為起點的弧長函數為 s(x) = x 1 + [f (t)] dt, x [, b] 註 8.1.8. ds = 1 + [f dx (x)] = 1 + ( dy dx) 其微分可表為 ds = 1 + ( dy dx 或表為 (ds) = (dx) + (dy) 例 8.1.9. 曲線 y = x 1 8 ln x 以 P 0 (1, 1) 為起點, 求弧長函數 t 1 ) dx = 例 8.1.10. 一曲線 y = f(x) 以 (1, 1) 為起點, 到曲線上任一點 (t, f(t)) 所經過的弧長為 1 + 1 dx, 求出所有可能的 f(x) 4x 8. 旋轉面表面積 (Surfce Are for Revolution) 定義 8..1. (1) 若 f(x) 0, 且在 [, b] 上連續可微, 將曲線 y = f (x), x b 繞著 x- 軸旋轉, 得一旋轉面 (surfce of revolution), 其表面積 (surfce re) 為 S = b πf (x) 1 + [f (x)] dx = πyds () 若曲線為 x = g (y), c y d, 繞著 y- 軸旋轉, 則表面積為 d [ ] dx S = πx 1 + dy = πxds dy 例 8... 求半徑為 之球的表面積 c 例 8..3. (1) 將曲線 y = 4 x, 1 x 1, 繞 x- 軸旋轉, 求旋轉面表面積 () 曲線 y = e x, 0 x 1, 繞 x- 軸旋轉, 求旋轉面表面積 (3) 將曲線 y = x, x [1, ], 繞 x- 軸旋轉, 求旋轉面之面積 (4) 將曲線 y = x 3, x [0, 1 ], 繞 x- 軸旋轉, 求其表面積 例 8..4. (1) 將拋物線 y = x 上從 (1, 1) 到 (, 4) 的弧, 繞 y- 軸旋轉, 求旋轉面表面積 () 將直線 y = 1 x, 0 y 1, 繞 y- 軸旋轉, 生成一圓錐 求圓錐之側表面積 例 8..5. 若 > 0, 考慮曲線 3y = x( x) 所成的線圈 () 將此線圈繞 x- 軸旋轉, 求其旋轉面表面積 微積分講義, 89 1 + ( dx dy ) dy,
8.3 力矩與質心 (b) 將此線圈繞 y- 軸旋轉, 求其旋轉面表面積 x 例 8..6. 將橢圓 + y b = 1, > b 繞 x- 軸旋轉得一橢球面, 求橢球面表面積 例 8..7. 星狀線 x 3 + y 3 = 3 繞 x- 軸旋轉, 求旋轉面之表面積 例 8..8. (Gbriel horn) 將 y = 1 x, x 1 繞 x- 軸旋轉, 求 () 旋轉體體積 (b) 旋轉體表面積 (c) 若 y = 1 x p, 則 (),(b) 的答案為何? (d) 若 y = 1 x, 1 x 4 3, 則 (b) 的答案為何? 例 8..9. 將曲線 e x, x 0 繞 x- 軸旋轉, 求其旋轉面表面積 例 8..10. 設地球半徑為 R 公里, 太空梭在北極上方 H 公里處 問太空人在太空梭上, 可以看見地球表面的面積是多少? 例 8..11. 在曲線 y = x, 0 x 3 上有一堵圍牆, 在每一點 (x, y) 之高度為 y, 求圍牆的面積 8.3 力矩與質心 (Moments nd Center of Mss) 有限點的質心 例 8.3.1. 一組物件在點 ( 1, 1), (, 1) 及 (3, ), 其質量分別為 3, 4 及 8, 求力矩及質心 平面區域的質心 定義 8.3.. 假設一區域 R 是在 y = f (x), x- 軸, x = 及 x = b 之間, y = f (x) 及密度 ρ(x) 是連續函數 則 (1) 對 x- 軸的力矩 ( 一次距 ) 為 M x = b () 其質量為 m = b f (x) ρ(x)dx; 1 (f (x)) ρ(x)dx, 對 y- 軸的力矩為 M y = b xf (x) ρ(x)dx; (3) 其質心為 ( x, ȳ), x = My m = b xf(x)ρ(x)dx Mx b, ȳ = = 1 b (f(x)) ρ(x)dx f(x)ρ(x)dx m b f(x)ρ(x)dx (4) 若取 ρ(x) = 1, 則 ( x, ȳ) 為形心 (centroid) 例 8.3.3. 證明一個等密度之細桿, 其質心恰為其中心 例 8.3.4. 長 10 公尺之細桿, 其密度在長 x 處為 δ(x) = 1 + x, 求其質心 10 例 8.3.5. 求半徑為 r 之半圓的形心 例 8.3.6. (1) 求 y = cos x, y = 0, x = 0, x = π 所圍區域的形心 () 求 y = x 及 y = x 所圍區域的形心 微積分講義, 90
8.4 Pppus 定理 例 8.3.7. 一薄片置於平面上形如 y = 4 x 及 x- 軸所圍的區域, (1) 若其密度為常數 δ, 求質心 () 若 δ = x, 求質心 例 8.3.8. 一個直圓柱 x + y 16, z 0 被平面 z = 4y 切出楔形體 (wedge) () 求該立體體積 (b) 求該立體的形心 曲線的質心 例 8.3.9. 一電線形如半徑為 r 之半圓周, 求其形心 (centroid) 例 8.3.10. 一條電線形狀是圓弧 AB ( 如圖 ) () 求其質心 (b) 其質心到弦 AB 的距離為 d, 證明 d h (c) 證明 lim α 0 d h = 3 8.4 Pppus 定理 = sin α α cos α α α cos α 定理 8.4.1. ( 體積的 Pppus 定理 ) 一個平面區域 R 繞一直線 L 旋轉, 其中 L 不通過該區域的內點 則旋轉體體積為 V = πρa, 其中 A 為區域面積, ρ 為 R 之形心到旋轉軸的距離 定理 8.4.. ( 表面積的 Pppus 定理 ) 一個平滑曲線 C 繞平面一直線 L 旋轉,L 不通過該曲線的內點 則旋轉面表面積為 S = πρl, 其中 l 為曲線長, ρ 為曲線 C 之形心到旋轉軸的距離 例 8.4.3. 將半徑為 的圓繞一直線 L 旋轉, L 與圓心距離為 b (b ), 得一環狀體 (torus) () 求環狀體體積, (b) 求環狀面表面積 例 8.4.4. 利用 Pppus 定理, 求半圓 0 y x 及半圓周 y = x 的形心 例 8.4.5. (1) 求曲線 y = x 3 x 4 之線圈所圍區域的形心 () 求橢圓 x + (x + y + 1) = 1 所圍之區域的形心 例 8.4.6. 令 R 為 y = sin x, 0 x π 與 x- 軸之間的區域, 求 R 繞 8x + 6y = 15 旋轉之旋轉體體積 微積分講義, 91
8.5 液壓 8.5 液壓 (Hydrosttic Force nd Pressure) 定義 8.5.1. 面積 A m 的薄片在水深 d m 處所受的力為 F = mg = ρgad ( ρ 為液體密度, g 為重力加速度 ), 壓力為 P = F A = ρgd 註 8.5.. (1) SI 單位 : ρ =kg/m 3, g = 9.8 m/sec, d =m, P =N/m =P (pscl), 水的密度為 1000 kg/m 3 () 在液體中某一點, 其各個方向所受壓力均相同 例 8.5.3. 一個水壩為梯形, 上底 50 m, 下底 30 m, 高為 0 m 若水高距壩頂 4 m, 求水壩所受的力 例 8.5.4. 一個圓柱形的鼓, 底半徑 3 m, 橫躺在水底 10 m 處, 求鼓面所受的力 8.6 經濟學 (Economics) 定義 8.6.1. (1) 需求函數 (demnd function) p (x) 是表示當一個公司欲銷售出 x 單位產品所訂的價格 其圖形稱為需求曲線, 通常是下降的 x () 若目前所供應的量是 x, 價格為 P, 則 [p (t) P ] dt 稱為消費者剩餘 (Consumer surplus) 0 例 8.6.. 若一件產品的需求函數是 p = 100 0.x 0.0001x, 求銷售量為 500 之時的消費者剩餘 8.7 生命科學 (Biology) 例 8.7.1. (1) (The lw of lminr flow) 一根長 l, 半徑 R 的血管, 血管兩端壓力差為 P, 血液黏度 (viscosity) 為 η 則在血管中距離中心軸之長度 r 的地方, 血液流通的速度為 v (r) = P 4ηl (R r ) () 血液在單位時間通過一個截面的體積, 稱為流量 (flux of dischrge), 則流量 F = R πrv (r) dr = 0 πp R 4, 此公式稱為 Poiseuille s lw 8ηl 例 8.7.. 心臟輸出力 (Crdic output) 是每單位時間由心臟送出之血液體積 其測量方法是染料稀釋法 (dye dilution method) 將染料打入左心房, 經心臟進入動脈, 將探針插入動脈測量染料的濃度直到時間 T 染料被送完 時間 t 的染料濃度為 c (t) F 為血液的流率 (rte of flow), A 為染料的量, 則 F = c(t)dt, A 此即為心臟輸出力 T 0 例 8.7.3. 5 mg 的染料注射入右心房, 每一秒鐘動脈中的染料濃度 (mg/l) 如附表 估計心臟的輸出力 微積分講義, 9
8.8 機率 8.8 機率 (Probbility) 定義 8.8.1. (1) 某種事件的結果是屬於一個實數區間 此數值稱為連續隨機變數 X (continuous rndom vribles), 每一個隨機變數 X 都有一個機率密度函數 f(x) (probbility density function, pdf) 則 X 在 [, b] 之間的機率為 P ( X b) = b f (x) dx () 機率密度函數滿足 f (x) 0, x 及 f (x) dx = 1 (3) pdf 的平均值 (men, 期望值 ) 定義為 µ = xf (x) dx (4) 一個 pdf 的中值 (medin) 是數值 m 滿足 f (x) dx = 1 m 例 8.8.. 令 f (x) = 0.006x (10 x), 0 x 10, 驗證它是 pdf, 並求 P (4 x 8) { 0 t < 0 例 8.8.3. 等候時間通常是以 f (t) = 為模式, 稱為指數分佈 (exponentil distribution) ce ct t 0 求其平均值 例 8.8.4. 一個顧客電話的等候時間的平均值是 5 分鐘 () 求在一分鐘內接通電話的機率 (b) 求超過五分鐘接通電話的機率 例 8.8.5. 一個 pdf 滿足 f (x) = 1 σ π 均值, σ 為標準差 (stndrd devition) (x µ) e σ 稱為正規分佈 (norml distribuction), µ 為平 例 8.8.6. 一個群體的 IQ 分數是正規分佈, 平均值是 100, 標準差是 15 () IQ 分數在 85 到 115 之間的百分比是多少? (b) 超過 140 分的人數百分比為何? 微積分講義, 93