一 多重選擇題 :( 每題 6 分, 只答錯一選項得 4 分, 只答錯兩選項得 分, 只答錯三選項得 0 分, 共 4 分 ). 關於整係數三次多項式 f ( x) a x a x a x a 的敘述, 下列何者正確? 0 () 若 x 4 f ( x), 則 a, 4 a0 () 若 f ( i )= i, 則 f ( i ) i () 方程式 f ( x) 0 至少有一實根 (4) 方程式 (5) 若 f ( i ) 0, 則 f ( i ) 0. 關於複數 a b 的運算性質, 下列敘述何者正確? f ( x ) 0 至少有一實根 () 若 a 0, 則 a a 0 () 若 a b 0, ab 0, 則 a 0, b 0 () a bi 4i, 則 a, b 4 (4) 若 a (5) 若 a b 0, 則 a > b. 若 a b 為實數且 b 0, 下列敘述何者有錯誤? 0 () a () ( ab ) 5 (4) a a a (5) ( b) b, 則 a b 0 a b () ( b ) 4 4. 已知實係數多項式函數 y f ( x) ax bx cx dx e 的圖形與 x 軸恰交於 (, 0 ) (, 0 ) 兩點, 如右圖所示 下列敘述何者正確? () a 0 () e 0 () a b c d e 0 (4) 方程式 f ( x) 0 有二實根 二共軛虛根 (5) 不等式 f ( x) 0的解為 x 二 填充題 :( 每題 6 分, 共 48 分 ) b i. 化簡 ( ) + 4 i 5 5 i =. 計算 5 4 5 0 99 學年度建國中學第一學期高一第二次期中考 ( 8 4 ) 00 之值 = 5 4. 設 f ( x) x x x x x 8, 計算 f () 之值 = 4. 設 x x 0 的兩根為 α β, 試求以 α, 為兩根的二次方程式為 β 5. 已知 f ( x ) 為一個實係數二次多項式, 若不等式 f ( x) 0的解為 x 5 或 x, 試求解 f (x ) 0 為 6. 求實數 k 的範圍, 使方程式 x kx ( k ) 0 有兩個相異實根為 ( x ) ( x ) ( x x ) 7. 求解 0 ( x ) 8. 設 deg f ( x), 若多項式 f ( x ) 除以 x 的餘式為 7, 除以 以 x 的餘式為 x b x 的餘式為 x, 試求 f ( x ) 除 y y f ( x) x
三 計算題 :( 共 8 分 ). 由於多項式函數連續, 容易求值 等特點, 我們常用它來模擬, 近似其他函數, 各種多項式的插值法因此應運而生 己知多項式 f ( x ) 滿足 f ( ) 4, f () 4, f () 6, 試回答下列問題 : () deg f ( x ) 最低為多少? () 應用 拉格朗日插值法 求此最低次多項式. 許多生活中的問題可用多項式方程式來描述, 而其實根則是我們欲求問題的解, 因此求解多項式此方程式的根是一個重要的課題 並沒有一套全能的方法來解任意多項式方程式得根 除了整係數多項式方程式的有理根 4 已知 6x x x 7x 6 0 在 (, 0 ),(, ) 各有一有理根, 試利用 牛頓定理 解之 (8 分 ). 對於求解一般方程式的根我們依舊束手無策, 因此我們發展出許多數值方法 勘根定理是一個重要工具, 可以幫助我們探勘實根可能存在的區間 但是僅依靠勘根定理提供給我們的資訊有限, 若能獲得其他函數圖形 根與係數關係 等資訊, 則可幫助我們發掘更多隱藏的事實 已知二多項式 4 4 函數 y x x 0x 0x 與 y 4x x 9x 0x 9 的圖形向交如下 : 試問 4 () x x 0x 0x 為 f ( x ) 抑或是 g( x )? y f ( x) () 方程式 f ( x) g( x) 0 有幾個實根 ( 含重根 )? () 請應用 勘根定理, 並利用右圖及根於係數關係, y 判斷方程式 f ( x) g( x) 0 在哪些相鄰整數區間內有實根? x y g( x) 並請說明您判斷的依據 ( 直接分解因式求根者不給分 )(6 分 ) 一 多重選擇題 :( 每題 6 分, 只答錯一選項得 4 分, 只答錯兩選項得 分, 只答錯三選項得 0 分, 共 4 分 ). () () (5). () (4). () () 4. () (5) 二 填充題 :( 每題 6 分, 共 48 分 )... 6 4. 5. x 6. k 或 k 6 7. x 或 x 8. 三 計算題 :( 共 8 分 ). () () f ( x) x 5x. 和. () f ( x ) () 4 實根 () 略 x x 0 x 4x
99 學年度北一女中第一學期高一第二次期中考 試題說明 : 本試卷使用符號 i, 一 單選題 ( 每題選出最適當的一個選項 ) ( 每題 4 分, 共 8 分 ). 設 a,b 均為實數, 若 4 5 i i, 則下列敘述何者正確? a bi ( A) a ( B ) a 4 ( C ) b ( D ) b 4. 設實係數多項式 f ( x) x ax bx c, 下列何者可能為不等式 f ( x) 0 之解? ( A ) x 或 x ( B ) x 且 x ( C ) x 且 x ( D ) x ( 全體實數 ) 二 多重選擇題 :( 每題 9 分, 共 6 分 錯一個選項得 6 分, 錯兩個選項得 分, 其餘得 0 分 ). 設 f ( x) x 7x 5x 50 a( x ) b( x ) c( x ) d,a,b,c,d 為常數, 下列何者正確? ( A ) b, c 5 ( B ) f (.99) 取近似值到小數點以下第二位為 0.05 ( 第三位四捨五入 ) ( C ) f ( x ) 除以 ( x ) 之餘式為 5x 5 ( D ) 當 x 時, f ( x ) 的最小值為 0 ( E ) f (00) 除以 97 的餘數為 0. 設 z 表示複數 z 的共軛複數, 試問下列敘述何者正確? ( A ) 設 a,b 為複數, 若 z a bi, 則 z a bi ( B ) 兩複數 z, z, 必滿足 z z z z z z ( C ) 兩虛數 z, z, 若 z z 與 z z 均為實數, 則 z z ( D ) 複係數二次方程式 ax bx c 0, 若 b 4ac 0, 則方程式的解為兩共軛虛根 b c ( E ) 複係數二次方程式 ax bx c 0, 若兩根為 α, β, 則 α β, αβ a a 4. 設 f ( x) x x x 5x, 下列敘述何者正確? ( A ) 方程式 f ( x) 0 在 0 與 之間恰有一個有理根 ( B ) 方程式 f ( x) 0 在 0 與 之間恰有一個無理根 ( C ) 方程式 f ( x) 0 恰有一個負根 ( D ) 方程式 f ( x) 0 有實根大於 5 E ( E ) 多項式 y f ( x) 的圖形與 x 軸恰交兩點 4. 右圖為四次多項函數 y f ( x) 之圖形, 此圖形與 x 軸的三個交點 A B C 之 x 軸依次為 4, 與 y 軸的交點坐標為 D(0, ), 且最高點 E 的坐標為 ( m, n ), 則下列敘述何者正確? ( A ) 方程式 f ( x) 0 有虛根 ( B ) 不等式 f ( x) 0的解為 4 x ( C ) 方程式 f ( x) x 0 恰有 個實根 ( D ) 多項式 f ( x ) 除以 ( x m) 的餘式為 n ( E ) 對於任意實數 x 而言, f ( x) n 恆成立 A B D C y f ( x)
二 填充題 :( 每格 6 分, 共 48 分 ). 已知 i 為實係數方程式 x ax b 0 的一根, 求數對 ( a, b). 已知多項式 f ( x ) 有因式 x, 且各項係數和為, 求 f ( x ) 除以 ( x )( x ) 之餘式為 x 6. 不等式 0 之解為 x 6 α β 4. 設方程式 x x 4 0 的兩根為 α, β, 試求 + 之值為 β α 5. 設 c 為實數, 若 x x 6 0 時, f ( x) x 4x c 有最大值為, 則 c 值為 6. 老王在岸邊高處丟出一個救生圈, 救生圈所經過的路徑為一拋物線 ( 距離海平面的高度是時間的二次函數 ), 已知在此次拋擲中, 秒後救生圈距海平面的高度為 5.0 公尺, 秒後的高度為.987 公尺,4 秒後的高度為.88 公尺, 試問老王丟出的剎那, 救生圈距離海平面公尺 7. 已知實係數三次多項式 f ( x) x ( k ) x ( k 4) x 4之圖形與 x 軸恰交於一點 P ( a, 0 ), 其中 a 為整數, 試問 : () a,() 此時 k 的範圍為 四 計算題 : 8 分. 電腦螢幕上有一個長方體, 底面為正方形, 其邊長由 5 公分開始縮小, 高度則由 0 開始增加 當底面正方形邊長縮小 x 公分時, 其高度就增加 x 公分, 直到底面正方形的邊長縮為 0 時, 這個長方體就在螢幕消失 () 試以 x 的函數表示長方體體積 ( 分 ) () 當 x 控制在何種範圍下時, 該長方體的體積可達 6 立方公分以上 ( 6 分 ) 一 單選題 :( 每題 4 分, 共 8 分 ). ( D ). ( C ) 二 多重選擇題 :( 每題 9 分, 共 6 分 錯一個選項得 6 分, 錯兩個選項得 分, 其餘得 0 分 ). ( A )( D )( E ). ( B )( C )( E ). ( A )( B )( C )( D ) 4. ( C )( D )( E ) 三 填充題 :( 每格 6 分, 共 48 分 ). (, 4 ). x 4. x 6 或 x 6 4. 6 5. 6 6. 6 7. () () 4 k 4 四 計算題 :8 分 ( 第一小題 分, 第二小題 6 分 ) () 體積為 V ( x) x(5 x), 0 x 5 () V x x x ( ) (5 ) 6 x x x 0 5 8 0 ( x )( x 8x 9) 0 ( x )[ x (4 7)][ x (4 7)] 0 4 7 x 或 x 4 7 又因 0 x 5, 故 4 7 x
一 單選題 : 每題 6 分, 共計 0 分. 設 f ( x ) 為實係數三次多項式, 則下列何者錯誤? (A) 方程式 f ( x) 必有實根 (B) 方程式 f ( x) x 必有實根 (C) 方程式 f ( x) x x 必有實根 (D) 方程式 f ( x) x x x 必有實根 (E) 方. 下列選項中何者的值最大? (A) (4 ). 若實係數二次方程式 99 學年度板橋高中第一學期高一第二次期中考 (B) ( ) 4 5 x x a (C) (0.5) (D) (E) 6 4 0 有一實根 r, 且 r, 則 a 的最大值為何? (A) (B) (C) (D) (E) 4. 已知 x, x 是實係數方程式 x kx ( k ) 0的兩實根, 求 x x 的最小值? (A) 7 (B) 0 (C) (D) 8 ( x )( x )( x ) ( x )( x )( x ) ( x )( x )( x ) ( x )( x )( x ) 5. 設 f ( x) 4 4, ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( 其中 a, b, c, d 均為實數 ), 若 g( ) 4, g(), g(), g(4), g( x) ax bx cx d 試問下列何者錯誤? (A) f ( ) 4 (B) f (4) (C) g() 4 (D) a 二 多選題 : 每題至少有一個選項是正確的, 每題全部答對得 0 分, 錯一個得 6 分, 錯兩個得 分, 錯三個或三個以上不給分, 整題未作答, 亦不給分, 共計 0 分 5 4. 設 f ( x) x ax bx cx dx 5 為整係數多項式, 且複數 i 為方程式 f ( x) 0 的一根, 試問下列敘述哪些正確? (A) 複數 i 可能為方程式 f ( x) 0 的一根 (B) f ( x ) 的各項係數和必為偶數 (C) 若 f ( i ) 6i, 則 f ( i) 6i (D) 若 f ( x ) 除以 x 的餘式為 6x 4, 則方程式 f ( x) 0 恰有三個實根 (E) 若 f () 0, 則方程式 f ( x ) 0 至少有二個負根. 設 z 是不為 0 的複數, 試問下列敘述哪些正確? (A) 若 z 是整數, 則 z 不一定是整數 z z (B) 若 z 是有理數, 則 z 必是有理數 z (C) 若 z 的實部與的實部兩者的乘積小於, 則 z 必不為實數 z (D) 若 z 的虛部與 z 的虛部均為正數, 則 z z 必大於 z (E) 若 z 是方程式 x 0 的虛根, 則 z z 是方程式 x 0 的實根
三 填充題 : 每題 6 分, 共計 4 分 0.75 4 6. 求 [( ) ] 8 4 的值為. 不等式 8x x 的解為 4 4. 設 f ( x) 8x 8x 8x 6 x a (x ) b(x ) c (x ) d (x ) e, 試求 a b c d e 的值為 4. 設 a 為實數, 若不等式 5. 設 6. 設 ax x a 4 0 無實數解, 則 a 的範圍為 4 f ( x) x 5x 0x 0x 4, 則 f ( x) 0 的解為 f ( x) x x, 則 7. 設多項式 f ( x ) 除以 的餘式為 6 f ( x ) 除以 f ( x ) 的餘式為 x 的餘式為 x, 除以 x 的餘式為 x, 試求 f ( x ) 除以 ( x )( x ) 四 計算題 : 第 題答對得 分, 第 題答對得 5 分, 共計 8 分 如圖, 已知二次函數 y f ( x) 的圖形與 x 軸交於 A,C 兩點, 其中 B 為頂 點, 且 BCA 與 BCD 的面積相等, 試求 : () 若 D 點的坐標為 ( a,0), 其中 a 0, 則 a? () 承上, 若過 A, B,C, D 四點的最低次多項式函數為 g( x ), 則 g(5)? D y C B(,4) A(,0) O y = f (x) x 一 單選題 : 每題 6 分, 共計 0 分. ( D). ( C). ( B) 4. ( C) 5. ( D) 二 多選題 : 每題至少有一個選項是正確的 每題全部答對得 0 分, 錯一個得 6 分, 錯兩個得 分, 錯三個或三個以上不給分, 整題未作答, 亦不給分, 共計 0 分. (B)(D)( E). (C)(D)( E) 三 填充題 : 每題 6 分, 共計 4 分.. x 或 x. 4 4. a 4 5. x 6. 7. x x 5 四 計算題 : 第 題答對得 分, 第 題答對得 5 分, 共計 8 分 () 5 () 0
一 多選題 (8 分 答錯一個給 6 分, 答錯兩個得 分, 錯三個以上得 0 分 ) 4. 一實係數多項式 f ( x) x x ax b 0 有一根為 i, 試問下列哪些選項為正確? () i 亦為 f ( x) 0 之一根 () a b () a b (4) f ( x) 0 之解只有二虛根 (5) f ( x) 0 之解為 R 二 填充題. a,b R, i, 則數對 ( a, b ) a bi 4i 4i (). 已知 f ( x) x 4x 5上有一點 P( a, b ), 若 Q( a, b ) 在 g( x) mx nx l 上, 則 ( m, n, l ) (). 設實係數多項式 f ( x ), 首項係數為, degf ( x) 且滿足 f ( ) f ( i) 0, 4. 99 學年度台中一中第一學期高一第二次期中考 () f ( x) ( x ) a( x ) b( x ) c, 則 ( a, b, c) () () 求 f (.97) (4) ( 四捨五入至小數點以下第二位 ) f ( x) ( x x )( x x 4) ( x x ) 的最小值 (5) 5. 已知 f ( x) (x 75x 6x 8) ( x x ) q( x) ax b, 試利用上述觀念解出 (75608) 除以 (0 0) 之餘數 (6) 6. 已知函數 f ( x) x, g( x) x, 求 x 之區域使得 f ( x ) 圖形在 g( x ) 圖形之上方 (7) 8 49 9 9 4 7. 求 f ( x) x x x x x 除以 g( x) x x 的餘式為 (8) 8. 若多項式 f ( x ) 除以 x 5x 6 x 5x 之餘式分別為 x 5x, 則 f ( x ) 除以 x 餘式為 (9) 9. 解方程式之有理根 : x 4 5x 6x 8x 0 0, x 之有理根 (0) ( x ) ( x ) ( x ) 0. 解不等式 : ( x )( x 4) 5 4 0 () x 之. 已知 6x x 4 0 之三根為 α β γ, 問 : () 以 α β 為三根之方程式為 () ( 化簡為互質之整係數, 且領導係數為正 ) γ α β γ () () 6α 4 6β 4 6γ 4 5 4. 已知 f ( x) x 6x 7x x 9x 7, f ( x) 0 有 k 個正根, 且最大正根介於 n 與 n 之間 ( n N), 問數對 ( k, n ) (4). 已知三實數 a,b, c 滿足 a b c 7, a b c, ( a b)( b c)( c a) 90, a b c, 求 ( a, b, c) (5) ( 序對 )
三 計算題 ( 每小題 7 分, 共 4 分 ) 請詳列計算過程, 無計算過程不給分. 一函數 f ( x ), 已知 A (0,0), B (,) C(, ) D (,) 皆在 f 圖形上, () 試利用插值法 ( 可用牛頓法或 Lagrange) 找出 f ( x ) 在 ( 0, ) 之間之三次近似值 (7%) k () 由 () 之近似式, 已知 α, 且 f ( α) 0, 請以二分逼近法求出 α,k N,k?(7%) 6 6 9 6859 96 67 5 565 7 ( 已知 ( ), ( ), ( ), 968 ( ), ( ) ) 8 5 8 5 8 5 8 5 8 5 一 多選題 :.( )(5) 二 填充題 :. ( - 75, 8-5 ) 4 4. 5-47 6. (, 0, 0 ). ( 5,, 5 ) 4 4.67 5. 6 8878 6. 7 x < 或 x >5 7. 8 x x 8. 9 x 9. 0,- 0. x, x, x. 4x x 6=0 0. 4 (,6 ). 5 (,, 4 ) 三 計算題 :. () x -8x + 7x () 4
99 學年度台中女中第一學期高一第二次期中考 一 多重選擇題 : 共 4 分 ( 每題的 5 個備選答案中, 至少有一個是對的 每題答對得 8 分, 答錯不倒扣, 未答者不給分 只錯一個得 5 分, 錯二個得 分, 錯三個或三個以上不給分 ). 設 f ( x ) 是實係數三次多項式, 且 f ( i ) 0, 則下列敘述何者正確? ( A ) f ( x) 0 恰有一實根 ( B ) i 為 f ( x) 0 ( C ) x 4x 7 是 f ( x ) 的因式 ( E ) 若 f (0) 0 且 f () 0, 則 f (4) 0 ( D ) 沒有實數 x 滿足 的一根 5 f ( x ) 0. 方程式 x x 5x 0 的實根, 介於下列哪兩個相鄰整數之間? ( A ) 和 ( B ) 和 0 ( C ) 0 和 ( D ) 和 ( E ) 和. 在 84 與 之間插入 6 個數 a, a, a 4, a 5, a 6, a 7, 使得 84, a, a, a 4, a 5, a 6, a 7, 形成一等比數列, 試問關於此數列下列選項何者正確? ( A ) 公比為 ( B ) 插入的第四個數為 4 ( C ) 第六項為 ( D ) 插入的六個數的總和為 64 ( E ) a 和 a 的等比中項為 7 4 二 填充題 : 每格 5 分, 共 60 分. 設 n 次多項式 f ( x ) 分別除以 ( x ), ( x ), ( x ) 的餘式依次是 7,5,9 試求 f ( x ) 除以 ( x )( x )( x ) 之餘式為 (). 已知二虛數 z 和 z 都是實係數方程式 x + ax bx 0 的根, 求 a b 之值 () x x 5. 解下列不等式 :() x x 8x 4 0 () ;() (4) x x x 4. 設 α β 為方程式 x x 4 0 之二根, 試求下列各式的值 : β α () (5) ;() ( α β ) (6) α β 5. 設方程式 x x kx 8 0 的三根成等比數列, 試求 k 之值為 (7) 6. 設 C 為單位圓, T 為 C 之外切正三角形, C 為 T 之外接圓, T 為 C 之外切正三角形, 依此類推 令 a 表 T 之面積, 則 a a a a a (8) i i 4 5 7. 多項式 f ( x ) 和 g( x ) 以 x x 除之其餘式分別為 x 及 x, 則 ( x ) f ( x) ( x ) g( x) 除以 x x 的餘式為 (9) 4 8. 設兩實係數多項式 f ( x) x x 6x ax 50 與 g( x) x ax b, 且 g( x ) 滿足 g ( i ) 0, 求 f ( i ) (0) 4 9. 設 a b c 皆為整數, 若方程式 x x bx cx 8 0 有四個相異有理根, 則此方程式之最小有理根為 () 0. 求方程式 x 之正實根之近似值正確至小數第一位 ()
三 計算證明題 : 共 6 分. 已知三次函數 y f ( x) 的圖形通過 (0, ), (, ), (,), (,8) 四點, () 求 f ( x ) ( 必須展開以降冪排列表示 ) (6 分 ) () 求 f (4) 之值 (4 分 ). 設 f ( x) x x 7x, 試證 : 存在一實數 p, p, 使得 f ( p) 4 p (6 分 ) 一 多重選擇題 :. (A) (B) (E).(A) (C) (D).(A) (B) (C) 二 填充題 :. - x 6x. 6. < x < 或 x > 4 - x < 或 x < 5 4. 5 6 - + i 5. 7 6 6. 8 0 7. 9 4x 5 8. 0 6 i 9. 4 0..4 三 計算證明題 :. () x 5x 4x () f (4) 6. 略
99 學年度台南一中第一學期高一第二次期中考 一 多重選擇題 :( 每題 7 分, 第 題 8 分, 共 5 分 ). 如右圖, 設兩直線 L : x ay b 0 L : y cx d, 則下列敘述何者正確? ( A ) a 0 ( B ) b 0 ( C ) c 0 ( D ) d 0 ( E ) ac. 已知 f ( x ) 為三次實係數多項式, 若 f (0) 0, f () 0, 且複數 i 為方程式 f ( x) 0 之一根, 則下列敘述何者正確? ( A ) f (i ) 0 ( B ) 若 f ( 4 i ) 5, 則 f ( 4 i ) 5 ( C ) f () 0 ( D ) f (4) 0 ( E ) 方程式 f ( x ) 00 必有實根二 填充題 :( 每題 5 分, 共 85 分 ). 將函數 y ax bx c 之圖形先向下平移 單位, 再向右平移 單位, 所的圖形之函數 y x x 5, 試求 a b c. 設三正數成等差數列, 其和為 0, 若三數依序加上 6 47, 則成為等比數列, 求原來三數中最小的數為. 設 α β γ 為 x x x 4 0 的三個根, 求 ( α β γ )( ) 之值為 α β γ 4. 若多項式 f ( x ) 除以 x 4 的餘式 x, 除以 x 8x 7 的餘式為 5x, 則以 x x 除 f ( x ) 的餘式為 5. 設 k 為實數, 且方程式 x ( k i ) x ( k i ) 0 有實根, 試求 k 值為 4 6. 己知數列,,,,,,,,,,, 則此數列的第 00 項為 4 7. 求解不等式 :( x x ) ( x 4x )( x x ) 0 8. 一等比數列的首項為 84, 末項為, 總和為 765, 則此數列的項數為 4 9. 設 f ( x) x x x x 5, 求 f (.99) 的近似值到小數點後第二位 ( 第三位四捨五入 ) 為 0. k 為實數, 若 kx kx k x 無實數解, 則 k 之範圍為. 求值 5 9 5 4. 設多項式 f ( x) x 4x x 0x 4x 0, 若己知 f ( i ) 0, 試求方程式 f ( x) 0 之所有實根為 a. 設數列 an 定義如下 : a n an 4( n ), 則其第 n 項 a n = ( x )( x 5) ( x 7)( x ) ( x 7)( x 5) 4. 設 f ( x) 9 9, 試求 f ( x ) 的最小值 (7 )(7 5) (5 7 )(5 ) ( 7)( 5) x 9 5. 試求滿足不等式 之整數解有個 x x 5 4 6. 設 a b 為整數, 且 x x 是 ax bx 的因式, 求數對 ( a, b ) 之值為 4 7. 求值 = k ( k ) k k k y x
一 多重選擇題 :( 每題 7 分, 第 題 8 分, 共 5 分 ). (B) (D). (D) (E) 二 填充題 :( 每題 5 分, 共 85 分 ). 5.. 4. x 5. 6. 7 57 7. x, 但 x 8. 8 9. 8.54 0. k. 0660.. 4. 5. 4 6. ( n 4 7. 4 5
一 多重選擇題 :( 每題 6 分, 共 0 分 每題全對得 6 分, 只錯一個選項可得 分, 錯兩個或超過兩個選項不給分 ). 下列敘述何者正確? ( A ) 不等式 99 學年度高師大附中第一學期高一第二次期中考 ( x 5) 6 0 之解為任意實數 ( B ) 不等式 x x 6 0 之解為 x 或 x x ( C ) 不等式 0 之解與 (x )( x ) 0 之解相同 x x x ( D ) 不等式 之解與 x x x x 之解相同 x x x ( E ) 不等式 之解與 x ( x ) 之解相同 ( x ). 已知 f ( x ) 是三次有理係數多項式又 g( x ) 是五次實係數多項式, 則下列各選項何者為正確? ( A ) f ( x ) 必有有理根 ( B ) 若 g( x) 0 有一個實根 c 且 a c b, 則 f ( a) f ( b) 0 ( C ) 若 g( 5 ) 0,則 g( 5) ( D ) f ( x) g( x) 0 必有實根 ( E ) 若 f ( i ), g( i ) i,則 f ( i ) g( i ) 6 i. 設三次函數 y=f (x) 的圖形如下圖所示, 則下列哪些正確? ( A ) f (x) ( x )( x )( x 4) ( B ) 方程式 f (x)=0 的解為 x=-,,4 ( C ) f ( x) 0 有三個相異實根 ( D ) 解不等式 f (x) 0 的解為 x 4 或 x - ( E ) 解不等式 f ( x ) > 0 的解為 x 或 x 4. 設 f (x) x x 4x a ( x ) b ( x ) c ( x ) d, 則下列哪些正確? ( A ) b = 9 ( B ) a + b + c + d =4 ( C ) f ( ) 0 ( D ) 四捨五入到小數點後第二位 f (.99) 的近似值為 5.08 ( E ) 以 ( x- ) 除 f (x) 得餘式 8x 5. 下列敘述何者正確? 99 ( A ) ( 5 i )( 7 i ) 4 i ( B ) i i i i ( C ) 8 6 6i ( D ) i i ( E ) 5 5
二 填充題 :( 答對任 9 格內, 每格 6 分, 其餘每格 4 分, 共 70 分 ) 5 8 0 8. 求 (0.5) 8 ( ) ( ) 之值 = 9 7. 根據統計, 在一個社區裡當某訊息發布後, t 小時內聽到該訊息的人口是全社區的 k t 00 ( ) %, 其中 k 為大於 0 的常數 今該社區有某訊息在發布後 小時內已經有 60% 的人口聽到該訊息, 則大約要 小時內會有 9.6% 的人口聽到該訊息 x. 方程式 (9 9 x x x ) 6( ) 6 0 之解為 4. 設多項式 f (x) 除以 x 的商式為 x 6x 5, 餘式為 x x 5 的餘式為 6x 4x 9, 試求 x f ( x) 除以 0 9 0 8 5. 設 f ( x) x x x 9x 5, 試求 f ( x ) 除以 x x 的餘式為 4 6. 設實係數多項式 f ( x) x kx lx mx 5, 若 f ( x) 0 有一根為 i 且 f ( x ) 除以 x 得餘式為 45, 試求序組 ( k, l, m ) = 7. 求 y x x 5x 4 和 y x 6x 的三個交點的坐標和為 8. 設 f ( x) x( x )( x ) ( x )( x )( x ) x( x )( x ) x( x )( x ) =0 有 a 個正實根,b 個負實根,c 個虛部不為 0 的複數根, 求序組 ( a, b, c) 9. 設 a b 為實數.已知坐標平面上拋物線 y x ax b 與 x 軸交於 P Q 兩點, 且 PQ 4 物線 y x ax (b ) 與 x 軸的兩交點為 R,S, 則 RS., 若拋 00 00 999 00 0. 解不等式 x ( x 5 ) ( x x )( x 7 ) x ( x 5 )( x 5 ) ( x x )( x 7 ), 則不等式的解為. 設 k 為實數, 若二次不等式 (7 k ) x kx k 0 沒有實數解, 求 k 的範圍為. 若方程式 x +( +i ) x -( -4i ) x- ( -i )=0 有實根, 試求所有解為. 若 f ( x ) 是通過 (,),(0, 4) 和 (, ) 的二次多項式, 求 f ( ) 一 多重選擇題 :( 每題 6 分, 共 0 分 每題全對得 6 分, 只錯一個選項可得 分, 錯兩個或超過兩個選項不給分 ). (A)(C)(D). (D). (B)(C)(D) 4. (A)(B)(D)(E) 5. (A)(B) 二 填充題 :( 答對任 9 格內, 每格 6 分, 其餘每格 4 分, 共 70 分 ).. 9. 或 0 或 4. 7x 0 5. x 4 6. (,7,7) 7. 8 8. (,,0) 9. 6 0. x 0 或 x 7. k 8. i,,.
一 填充題 ( 請依題號將答案寫在答案卷上 ) 答案須全對才給分 答對總格數 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 得分 7 4 8 5 4 49 56 6 70 75 80 85 90 95 00. 設 f ( x ) 為三次多項式, 若 f () 5, f (4) 6, f (5) 5, f (6) 44, 求 f (8). 設 a 為實數, 方程式 x ( ai) x a 4i 0 有純虛根, 求 a a b c. 設 abc 0, 且 5 6 7 k, 若, 求 k a b c 4. 若 a 0, a + a a a =4, 求 a a 4 5. 整係數方程式 x 6x bx cx 8 0 有四個相異有理根, 求 b c 4 6. k 為正整數, 若 f ( x) x x kx kx 有整係數一次因式, 求 k 7. 設 f ( x ) 為三次多項式, 若 f ( x ) 除以 x 的餘式為 x, 除以 x 之餘式為 5x 4, 求 f ( x) 4 8. 求方程式 8x x 5x 7x 7 0 的有理根 4 9. 找出方程式 f ( x) x 6x 0 的所有實根在哪些連續整數的區間 0. 設 y x mx m 的圖形恆在 y 圖形之上方, 求 m 範圍. 對所有實數 x, 不等式 4x 6x x mx m 恆成立, 求 m 範圍 4. 設 f ( x) x 5x x 9x 0 0 有複數根 i, 求不等式 f ( x) 0之解. 對所有實數 x, 不等式 ( x ) ( a ) x a( x ) 恆成立, 求實數 a 的範圍 4. f ( x ) 為實係數四次多項式, 若 f ( i ) 0, 且 f ( x) 0 的解為 x 或 x, 下列何者正確? ( A ) y f ( x)( x ) 之圖形與 x 軸有三個交點 ( B ) f ( x) 0 之解為 x 6 ( C ) a, b 為任意實數, 且 f ( a bi), 則 f ( a bi) ( D ) f ( i ) 0 ( E ) y f ( x) 之圖形與 x 軸沒有交點 5. f ( x ) 為三次實係數多項式, 若 i 為 f ( x) 0 之一解, 求下列何者正確? ( A ) f ( i ) 0 ( B ) 若 f (0) 0 且 f () 0, 則 f (5) 0 ( C ) f ( i ) 0 ( D ) 沒有實數 x 滿足 ( E ) 沒有實數 x 滿足 99 學年度鳳新高中第一學期高一第二次期中考 f ( x) x 5 f ( x ) 0 5 5.5 8 8 4 6. 化簡 ( ) ( ) ( ) (0.5) 4 6 7
一 填充題 ( 請依題號將答案寫在答案卷上 ) 答案須全對才給分 答對總格數 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 得分 7 4 8 5 4 49 56 6 70 75 80 85 90 95 00. 0. 4. 0 4. 6 97 5. 85 6. 7. x x x 8.,,, 4 7 + 7 9. ( 0, ) (, )(, 0 ) (, ) 0. < m. m. x. 0 a 4. A B C 5. A B C
一 單一選擇題 ( 共 5 分, 每題 5 分 ). (4 i )(5 i ) a bi, 5 i c di, a,b, c, d 均為實數, 則 4 i 6 7 ( A ) a 0 ( B ) b 7 ( C ) c ( D ) d ( E ) 5a c 5 5 9. x x 除以 x x x 之餘式為何? ( A ) x 4x ( B ) x 4x ( C ) x ( D ) ( E ) x 4. 下列何者不可能是多項式 f ( x) x x x x 的一次因式? ( A ) x ( B ) 6x ( C ) x ( D ) x ( E ) x 二 多重選擇題 ( 共 分, 每題 7 分, 錯一個給 4 分, 錯 個以上不給分 ). 對於二次函數 f ( x) x x 的敘述, 下列何者正確? ( A ) 頂點 (, ) ( B ) 對稱軸 x 0 ( C ) 若 x, 則 f ( x ) 之最大值為 ( D ) 若 x 0, 則 f ( x ) 之最大值 4 5 ( E ) 將 y x x 的圖形水平右移 單位所得的拋物線方程式為 y ( x ) 4. 若 a,b 為實數, 二次函數 y f ( x) a( x ) b 滿足 f ( ) 0, f ( ) 0, f ( α) f ( β) 0, 則下列何者正確? ( A ) ab 0 ( B ) α β ( C ) αβ 0 ( D ) f () 0 ( E ) f (4) 0. 設多項式 f ( x ) 除以 ( ax b), a 0, 得商式 q( x ), 餘式為 r (r 為常數 ), 則以下何者正確? b b b ( A ) f ( x ) 除以 x 得商式 q( x ) ( B ) f ( x ) 除以 x 得餘式 r ( C ) a f ( x ) 除以 x 得餘式 r x ( D ) f ( ) a a a x x 除以 x b 得商式 q( ) ( E ) f ( ) 除以 x b 得餘式 r a a 三 填充題 ( 共 54 分, 如配分表 ). 若二次函數 y f ( x) ax bx c 的圖形經過原點, 且 f ( x ) 的最大值為 6, f ( x) f ( x), 則 a b c. 設 x,y,a 為實數, 且 x y 4, 若 x y x a 的最大值為 5, 則最小值為. 設二次函數 y f ( x) x kx k 之圖形與 x 軸交於 A,B 兩點, 且 AB, 則 k 4. 設 f ( x) x x x, 若 g ( x ) f ( x), h( x ) g ( x ), 則以 x 除 f ( x) xh( x) 的餘式為 6 5 4 5. 若 f ( x) 9x 49x 78x 5x 5x 49x 7, 則 f (4) 6. 多項式 f ( x ) 以 x 99 學年度鳳山高中第一學期高一第二次期中考 x 除之餘式為 5x 6, 以 x x 0除之餘式為 x, 且 deg f ( x) 4, 則 f ( x) 除以 x 4x 5 的餘式為 7. 若 degf ( x), 且 f (009), f (00), f (0) 5, f (0), 則 f (0) 4 8. 試求 8(0.666) 54( 0.666) 6( 0.666) 9( 0.666) 5的近似值為 ( 小數點後第 4 位四捨五入到第 位 ) a
5 9. 試求 ( 9 ) 8( 9 ) 6( 9 ) 9( 9 ) 8 0. 若 α, β 為 x 4x 9 0 之二根, 試求下列各值 : () ( α 4 α )( β 4 β ) () ( α β ). 設 a 為實數, 若方程式 x (a i) x ( a i) 0 有實根, 則另一根為 i. 設 ω 6, 試求 ( 5ω ω ) 一 選擇題 :. (C). (B). (B) 二 多重選擇題 :. (C) (D). (B) (C) (D). (B) (D) (E) 三 填充題 :. 4. 4. 7 或 4. 00 5. 6. x 8 7. 9 8..0 9. 0. () 79 () 0. +i. 79
99 學年度高雄中學第一學期高一第二次期中考 一 多重選擇題 :4% ( 每題 4 分, 選項全對得 4 分, 只錯一個選項得 分 ) 0 5. 設 f ( x) (x ), g( x) ( x x ), 則下列敘述何者正確? ( A ) f ( x ) 的各項係數總和為 ( B ) f ( x) g( x ) 的常數項為 ( C ) g( x ) 的奇數次方項係數總和為 ( D ) 若 f ( x ) 除以 (4x ) 的商式為 q( x ), 則 f ( x ) 除以 (x ) 的商式為 q( x ) b r ( E ) 若 f ( x ) 以 ax b( a 0) 除之得商式為 q( x ), 餘式為 r, 則 x f ( x ) 除以 ax b 的餘式為 a. 選出正確的選項 : ( A ) 若 a 0 且 b 0, 則 a b ab ( B ) 若 a 0 且 b 0, 則 a b ( C ) 若 ab 0, 則 a b ab ( a, b R) a a ( D ) 若 ab 0, 則 b b ( a, b R) ( E ) 若 a b 0 且 ab 0, 則 a 0 且 b 0 a b. 設 a,b 為實數, c, d 為複數, x, y 為虛數, i, 則下列何者為真? ( A ) 若 c ai d bi, 則 a b 且 c d ( B ) 若 a x b y, 則 a b 且 x y ( C ) 若 c d, 則 c d 0 ( D ) 若 c d 0, 則 c d ( E ) 若 c di 0, 則 c 0 且 d 0 5 4 4. 設有理係數多項式 f ( x) 6x ax bx cx dx, 則下列何者正確? ( A ) f ( x) 0 必有實根 ( B ) 若 f ( x) 0 在 與 之間有實根, 則 f () f () 0 ( C ) 若 i 為 f ( x) 0 的根, 則 i 必為 f ( x) 0 的另一根 ( D ) 若 為 f ( x) 0 的根, 則 必為 f ( x) 0 的另一根 ( E ) x 不可能是 f ( x ) 的因式 5. 設 f ( x ) 為一實係數三次多項式且其最高次項係數為, 已知 f (), f (), f (5) 5, 則 f ( x) 0 在下列哪些範圍必定有實根? ( A ) 小於 0 ( B ) 0 與 ( C ) 與 ( D ) 與 5 ( E ) 大於 5 6. 設 f ( x ) 為三次實係數多項式, 且知複數 i 為 f ( x) 0 之一解, 則下列何者正確? ( A ) f ( i ) 0 ( B ) f ( i) 0 ( C ) 沒有實數 x 滿足 f ( x) x 5 ( D ) 沒有實數 x 滿足 f ( x ) 0 ( E ) 若 f (0) 0 且 f ( ) 0, 則 f ( 4) 0
二 填充題 :55% ( 每題 5 分 ) 994 65 9. 設 f ( x) x x 5x x x 4x, 求 x x 除以 f ( x ) 的餘式為. 設 f ( x) x 5x x, 若 f ( x ) g( x ), 則 ( x ) f ( x) xg ( x) 除以 x 之餘式為. 多項式 f ( x ) 除以 ( x ) 及 ( x ) 之餘式分別為 7x 5 及 5x, 求 f ( x ) 以 ( x )( x ) 除之的餘式 ( 答案須降次排列, 否則不予計分 ) 4 4 4. 設 6( x ) 40( x ) ( x ) 0( x ) 6 a(x ) b(x ) c(x ) d(x ) e, 求數對 ( a, b, c, d, e) 5. 已知方程式 ( i ) x ( i) x ( i ) 0 有實根, 求方程式另一虛根的絕對值為 6. 設 f ( x ) 為一多項式 若 ( x ) f ( x) 除以 x 為 x 的餘式為 x 7, 則 f ( x ) 除以 x x 的餘式 β α 7. 設 α β 為 x x 0 的二根, 求以 為二根之方程式為 α β 0i 8. 複數的共軛複數為 a bi, 求數對 ( a, b ) i i 4i 4 9. 若整係數方程式 x ax bx cx 40 0 有四個相異的正整數根, 則四根之和為 ( x )( x 5) ( x )( x 5) ( x )( x ) 0. 化簡 f ( x) 5 ( )( 5) ( )( 5) ( 5 )( 5 ). 設 f ( x ) 為一四次多項式, 以 ( x ) 除之得餘式, 以 ( x ) 除之得餘式, 則以 x 4除之得餘式為 三 計算題與證明題 :% ( 注意 : 做答過程須正確 清楚 合理, 否則不予計分 ). 已知 f ( x ) 為三次多項函數, 若 f (), f (), f (5) 7, f (7) 5, 求 f (9) ( 本題限用牛頓插值法作答, 否則不予計分 ) 6%. 設 z C, z, 求 z 5i z 5i 之值 7% b b b. 設 a a a, 而 b, b, b 為正數, 試證 : 方程式 有三個相異的實根 8% x a x a x a 一 多重選擇題 :4% ( 每題 4 分, 選項全對得 4 分, 只錯一個選項得 分 ). (A)(B)(D). (A)(D).(C) 4.(A)(C)(D) 5.(B)(D) 6.(B)(E) 二 填充題 :55% ( 每題 5 分 ). 0x.. 0 5. 5 9. 0. 6. x 5 7. x. 0 計算題與證明題 :.. 68. 略 4x 9x 4. (,7,,, ) 5 5 8. (, ) x 4x 0
99 學年度高雄女中第一學期高一第二次期中考一 是非題 :. ( ) 8. 已知 5, 故 5 i i 4. 若 f ( x) 6x bx cx dx 4 為整係數多項式, 則 f ( ) 必定不為 0 4. 實係數三次方程式 f ( x) ax bx cx 0 只有一實根 5, 則 a b c 009 00 5. 不等式 ( x ) ( x ) 0 的解 ( x ) 0 相同 6. 設 k R, 若 i 是 x (4 i) x ( k i) 0 的一根, 則另一根為 i 7. 若不等式 f ( x) 0 的解為 x 5, 則不等式 f ( x) 0 的解為 x 或 x 5 8. 設 a, b R, 若實係數方程式 f ( x) 0 在 a 與 b 之間有實根, 則 f ( a) f ( b) 0 9. 若 i 為實係數五次方程式 f ( x) 0 的二重根, 則函數 y f ( x) 的圖形與 x 軸只有 個交點 0. 已知多項式 f ( x ) 除以 (x ) 的餘式為 r, 則 ( x ) f ( x) 除以 ( x ) 的餘式為 r 二 填充題 : 4 4. 化簡 9 04 ( 答案化成最簡分數 ) 8. 若 a 0 且 a a, 則 a a x x. 解方程式 4 5 0 得 x 4. 解下列不等式 :() x 5x 7 0 () ( x ) ( x x 6x 6) 0 x y x 5. 設 x,y,z 為正數, 且滿足 8 7 8, 若 xy xz tyz, 則 t 6. 已知 a R, 若不等式 ax x a x 7 無實數解, 則 a 的範圍為 4 7. 設 a, b R, 已知 i 是方程式 f ( x) x x ax 7x b 0 的一個根, 求 () 數對 ( a, b) ;() 求 f ( x) 0 之解為 8. 設 k 0, 若 x 的方程式 ( i ) x ( k i ) x ( i ) 0 有實根, 則 k 9. 若 α,β 為實係數方程式 ( 4 5) 0 的兩個實根, 則 α + β 的最大值為 x ax a a 4 0. 若 f ( x) x 9x 7x 4x 7, 求 f ( i). 設 f ( x ) 為實係數 4 次多項式, f ( i) 0, 若 y f ( x) 的圖形通過 (0,4) 且與 x 軸相切於 (,0), 則不等式 f ( x) 0 的解為 0. 多項式 x 6x x 除以 x x 4 的餘式為. 若 f ( x ) 為實係數 次多項式, 且 f (), f ( ) 0, f () 6, f ( ) 6, 求 f () 三 計算題 :(0 分, 沒有計算過程不給分 ). 已知方程式 f ( x) x x 4x 0 有三個實根 α β γ, 且 α < β < γ, 則 () 求 β 最接近哪一個整數?(4 分 ) () 求不等式 0 的解 ( 必要時答案可以用 α, β, γ 表示,6 分 ) x α x β x γ
一 是非題 :... 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0. 二 填充題 :. 9. 0. 4. () x R () x 6 或 x x 6 或 5., i 6. a 7. ()(, 0) () x, 8. 7 9. 50 9 0. 4i. x. 6x 4. 三 計算題 :. () 0 () x a 或 x β 或 x y