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1 壹 重點整理 一 多項式的基本概念與運算 : (1) 多項式的基本觀念 : (a) 多項式的次數 : 多項式 n n 1 設多項式 f()=abnbp P+aBn 1BP P+...+aB1B+aB0B, 若 abnb 0, 則 f() 的次數 =n,degf()=n (b) 多項式的相等 : 若兩個多項式次數相等, 對應的係數亦相等, 則兩個多項式相等 () 多項式的運算 : (1) 除法原理 : 設 f() g() 為兩個多項式, 則可找到兩個多項式 Q() r() 使得 f()=g() Q()+ r(), 其中 deg r()<deg g() 或 r()=0 () 綜合除法 : 綜合除法的目的就是根據被除式中的各項係數和除式中的常數項, 算出商的各項係數和餘式的值 (a) 當除式 g()= a 時, 我們介紹綜合除法去求商式 餘式 例子 : 設 f()=p P+P P+5,g()=, 求 f() 除以 g() 的商式 餘式 商式, 0 6, 6 餘式 (b) 當 f() 除以 g()=a+b 時, 利用綜合除法求餘式 r() 商式 q() [ 方法 ]: 由除法的定義 :f()=(a+b) q()+r()=(+ b a ) [aq()]+r() 可先利用綜合除法求出 f() 除 / 以 (+ b a ) 的商式 qp P()=aq() 與餘式 r(), 而要求的商式 q()= 1 a q/ (), 餘式 r() 不變 例子 :f()=p P+5P P 6+ 除以 g()= 7 ~ 多項式 1~

2 7 f ( ) = 5 6 ( + ) 7 8 q( ) = q( ) = n n 1 () 係數和 : 設 f() =abnbp P+aBn 1BP P+...+aB1B+aB0B 為一多項式, f(1)=abnb+abn 1B+...+aB1B+aB0B=( 偶次項係數和 )+( 奇次項係數和 ) f( 1)=aB0B ab1b+abb abb+...=( 偶次項係數和 ) ( 奇次項係數和 ) 各項係數和 =f(1) 偶次項係數和 = 1 (f(1)+f( 1)) 奇次項係數和 = 1 (f(1) f( 1)),0 = r( ) 二 因式定理與一次因式檢驗定理 (1) 整除的定義 : 設 f(),g() 為二多項式, 若存在多項式 h() 使得 g()=f() h(), 則稱 f() 為 g() 的因式或 g() 為 f() 的倍式 符號 :f() g() 例如 : 因為 P P 1=( 1)(P P++1), 所以 1 與 P P++1 均為 P P 1 的因式,P P 1 為 1 與 P P++1 的倍式 例如 : 1 1 因為 = ( + 1)( + ) = ( + )( + 1), 所以 +1,+, +, + 1 都是 的因式 注意 : 由上面兩個例子可知, 若 f() g(), 則 c f() g()(c 0) 因此就一般而言, 只要求出整係數的因式或倍式即可 () 性質 : 若 d() f(),d() g(), 則 d() m() f()+n() g() () 餘式定理與因式定理 : (a) 餘式定理 : 多項式 f() 除以 α 的餘式等於 f(α) 多項式 f() 除以 a+b 的餘式等於 f( b a ) ~ 多項式 ~

3 f(a) 的雙重意義 : 多項函數 f() 在 =a 的函數值 多項式 f() 除以 a 的餘式 (b) 因式定理 : α f() f(α)=0 () 求餘式的問題 : 利用 f()=g() Q()+ r() 為恆等式的概念 代入適當的數, 去求出 r() 中的未知係數 (5) 一次因式檢驗定理 : n n-1 設 f()=abnbp P+aBn-1BP P+ +ab1b+ab0b 是一個整係數的 n 次多項式, 若整係數一次式 a-b 是 f() 的因式, 且 a,b 互質, 則 a abnb,b ab0b 注意 : 一次因式檢驗定理的逆敘述不成立 例如 :f()=p P+5P P+,, 1 但 +1 不為 f() 的因式 由此定理, 可知若一次式 c d 中 c 不為 abnb 的因數或 d 不為 ab0b 的因數的話, 則 c d 必不為 f() 的因式 故只有滿足 a abnb 且 b ab0b 的一次式 a b 才有可能成為 f() 的因式, 因此我們只要從滿足 a abnb 且 b ab0b 這些 a b 去找一次因式就可以了 三 公因式 ( 最高公因式 ) 公倍式( 最低公倍式 ) (1) 公因式 最高公因式的定義 : (a) 若多項式 d() 同時為多項式 f() 與 g() 的因式, 則稱 d() 為 f(),g() 的公因式 如果多項式 f() 與 g() 除了常數外, 沒有其它的公因式, 就稱它們互質 (b) 設 f(),g() 都是多項式, 如果 d() 是它們的公因式中次數最高的, 那麼就叫做 f(),g() 的最高公因式 (H.C.F) (H.C.F 不唯一 ) () 公倍式 最低公倍式的定義 : (a) 設 f(),g() 都是非零多項式, 如果多項式 m() 同時是 f(),g() 的倍式, 那麼就稱 m() 為 f(),g() 的公倍式 (b)f(),g() 的公倍式中, 次數最小的多項式叫做最低公倍式 (L.C.M, 不唯一 ) ()HCF 的求法 : 質因式分解 輾轉相除法 因式的性質 ()LCM 的求法 :(a) 質因式分解 (b) 利用 HCF 去求 LCM ~ 多項式 ~

4 四 多項函數 : (1) 實係數多項式 abnbp f: abnbp n n P+aBn 1BP P+aBn 1BP n 1 n 1 P+ +ab1b+ab0b, 決定了一個 從 R 對應到 R 的函數 P+ +ab1b+ab0b, 我們稱函數 y=f() 為多項函數 當多項式的次數為 n 時, 稱 y=f() 為 n 次多項函數, 簡稱 n 次函數 () 二次函數的圖形 : (a) 二次函數 f()=ap P+b+c=a(+ b P+ ac b, a a )P 其中 a,b,c 為實數函數圖形頂點 ( b a,ac-b ) a (b) 當變數 的範圍有限制時,α β, 欲求此時 二次函數 f() 的最大值 最小值時, 要注意此範圍 是否包含頂點, 並比較範圍頂點的函數值, 再求出最大 小值 (c) 二次函數 f()=ap P+b+c 的圖形與 軸的交點個數等於 ap P+b+c=0 的實根個數 重要觀念 : α β 為兩相異實數 D>0 Γ 與 軸相交於二點 (α,0) (β,0) α β 為兩相等實數 D=0 Γ 與 軸相交於一點 (α,0) α β 為兩共軛虛根 D<0 Γ 與 軸沒有交點 = b a ( b a, b ac a ) (α,0) (β,0) (α,0) D>0 D=0 D<0 五 方程式的根 : (1) 實根的幾何解釋 : 例如 : (a)y=f()=p P 的圖形, 如右圖所示 : 圖形與 軸相交於兩點 ( 1,0) (,0), 其橫坐標 1 與 就是 P P =0 的實根 (b)y=g()=p P++1 的圖形, 如右圖所示 : 圖形與 軸沒有交點, 因為 y=g()=(+ 1 P+, )P ( 1,0) y O ( 0) y 所以沒有任何實數, 使得 g()=0, 故 g()=0 沒有實根 方程式 P P++1=0 的解 = 1± i ~ 多項式 ~ O

5 (c) 一般而言,n 次多項式 y=f() 的圖形是一條波浪形 平滑的連續曲線 若該曲線和 軸相交, 那麼交點 P(B0B,f(B0B)) 的橫坐標 B0B 必滿足 f(b0b)=0, 所以 B0B 是方程式 f()=0 的一個實根, 如果該曲線與 軸沒有交點, 此時任何實數均不是方程式 f()=0 的根, 因此方程式 f()=0 無實根 結論 : 實係數 n 次方程式 f()=0 的實根 α n 次函數 y=f() 的圖形與 軸交於點 (α,0) () 討論 n 次方程式, 要處理三個問題 : 有沒有解? 有多少解? 如何找出解? (a) 基本定理 ( 有沒有解? 有多少解?): 代數基本定理 : 每一個 n 次方程式, 只要 n 1, 就至少有一個複數根 n 次方程式恰有 n 個根 一般的五次或五次以上的方程式, 求解公式不存在 (b) 勘根定理 ( 如何找出解?): 設 f() 為一實係數多項式, 若 f(a)f(b)<0, 則在 a,b 之間至少有一個 f()=0 的實根 若 f(a)f(b)>0, 則在 a,b 之間可能有, 亦可能沒有 f()=0 的實根 (c) 有理根判別定理 ( 如何找出解?): n n-1 設 f()=abnbp P+aBn-1BP P+ +ab1b+ab0b 是一個整係數的 n 次多項式, b 若 a 是方程式 f()=0 的有理根, 且 a,b 互質, 則 a abnb,b ab0b 注意 : 利用 (c) 再加上綜合除法是高中範圍三次以上整係數方程式求根的重要方法 () 根的性質 : n n-1 (a) 若 f()=abnbp P+aBn-1BP P+ +ab1b+ab0b 為實係數 n 次多項式,z 為一複數, 則 f ( z) = f ( z) n n-1 (b) 設 f()=abnbp P+aBn-1BP P+ +ab1b+ab0b=0 為一實係數 n 次方程式, 若複數 z 為 f()=0 的一根, 則共軛複數 z 亦為 f()=0 的一根 (c) 奇次實係數方程式必有實根 (d) 設三次方程式 ap P+bP P+c+d=0 之三根為 α,β,γ, ~ 多項式 5~

6 根與係數之關係 :α +β +γ = b a 六 n 次不等式 (1) 一元二次不等式 :,α β +β γ +γ α =c a,α β γ = d a a,b,c 為實數且 a 0,aP P+b+c>0,aP P+b+c 0,aP P+b+c<0,aP P+b+c 0 都是一元二次不等式 () 解二次不等式 : 設不等式 ap P+b+c(>,<,, )0, 先將 a 調整為正 先解一元二次方程式 ap P+b+c=0 的二根 α β (a) 設 a>0,d=bp P ac>0,α,β (α<β) 為兩實數 因為 ap P+b+c=a( α)( β) 分段討論 ap P+b+c 的正負 : <α α<<β >β α + + β + ( α)( β) + + 解 ap P+b+c>0 >β 或 <α( 大於大的根或小於小的根 ) 解 ap P+b+c<0 α<<β ( 介於兩實根之間 ) (b) 設 a>0,d=bp P ac=0, α=β 為兩相等實數 因為 ap P+b+c=a( α)p P 分段討論 ap P+b+c 的正負 : <α >α α + ( α)p P + + 解 ap P+b+c>0 α( 或 β) [>α 或 <α] (c) 設 a>0,d=bp P ac<0,α β 均為虛數 ap P+b+c=a(+ b P+ ac b 因為 a>0 且 a a )P bp 故不管 代入那一個實數,aP P+b+c 恆正 解 ap P+b+c>0 所有實數均為解 解 ap P+b+c<0 無解 ac b P ac<0, 所以 a >0 () 二次函數恆正 ( 恆負 ) 的充要條件 : 對於所有的實數, 二次函數 ap P+b+c>0( 0) 恆成立 a>0 且 D<0 (D 0) 對於所有的實數, 二次函數 ap P+b+c<0( 0) 恆成立 a<0 且 D<0 (D 0) ~ 多項式 6~

7 貳 精選範例 一 多項式的基本概念與運算 : [ 例題 1] ( 除法原理與綜合除法 ) 試作下列二小題 : (1) 若多項式 P P+P P+5 除以 f() 的商式為 +, 餘式為 1, 則 f()=? (87 大學聯考社會組 ) () 利用綜合除法求 f()=p P P P+ 1 除以 +1 的商式與餘式 [ 答案 ]:(1) P P+ 1()P P + 5, 7 (1) 根據除法原理 : 被除式 = 除式 商式 + 餘式 P P+P P+5 =f() (+)+( 1) f() 為 (P P+P P+5 ) ( 1) 除以 (+) 的商式 = P P () 根據綜合除法 : 7 5, 5 商式 =P P + 5, 餘式 = 7 [ 例題 ] 設 f()=p P 8P P+5P P 0+8=a( )P P+b( )P P+c( )P P+d( )+e, 則 (1)(a,b,c,d,e)=? ()f(.999)=? ( 求近似值至小數點第三位 ) [ 答案 ]:(1) (1,,7,1,8) () (1) 連續利用綜合除法, 除以 ( ) a=1,b=,c=7,d=1,e= , ()f()=( )P P+( )P P+7( )P P+1( )+8 f(.999)=( 0.001)P P+( 0.001)P P+7( 0.001)P P+1( 0.001)+8 1( 0.001)+8=7.988 ~ 多項式 7~

8 P 項的係數 [ 例題 ] ( 除法原理的應用 ) 設 f()=p P 8P P+5P P 0+8, 試求 f(+ )=? [ 答案 ]:6(+ ) 想法 : 找一個二次多項式 g(), 使得 g(+ )=0, 根據除法原理 f()=g() Q()+m+n, f(+ )=g(+ ) Q(+ )+m(+ )+n f(+ )= m(+ )+n 找 g(): 令 =+ ( )P P=( )P P P P +1=0 f()=( P P +1)(P P +8)+6 f(+ )=0 ((+ )P P (+ )+8)+6(+ )=6(+ ) 5 ( 練習 1) 若多項式 P P++ 能整除 P P+P P+P P+pP P++q, 則 p= q= (9 學科能力測驗 ) [ 答案 ]:p=,q=8 ( 練習 ) 設 f()=6p P+P P 5P P +7,g()=P P+P P 5+6, 試求 (1)f()+g()= ;()f() g()= ;()f() g() 中 P [ 答案 ]:(1)6P P+6P P P P 8+1 ()6P P 10P P 11P P+1 11 () ( 練習 ) 試分別利用綜合除法計算下列各小題的商式 餘式 (1) 以 除 5P P 8P P+ 1 () 以 1 除 P P+5P P+ [ 答案 ]:(1) 商式 =5P P+7+, 餘式 =68;() 商式 =P P+P P++, 餘式 =1 ( 練習 ) 已知 P P+a+1 能整除 P P+P P+b+, 試求 a,b 之值 [ 答案 ]:a=1,b= ( 練習 5) 設 P P 7P P+15P P++0=a( )P P+b( )P P+c( )P P+d( )+e, 則求 a,b,c,d,e 之值 [ 答案 ]:a=1,b=1,c=,d=10,e= ( 練習 6) 設 f()=p P 5+6 若 f()=a(+1)p P+b(+1)P P+c(+1)+d, 試求 : (1)a,b,c,d 之值 () 求 f( 0.9) 之近似值到小數點以下第三位 [ 答案 ]:(1)a= 1 8,b= 8,c= 17 8,d=67 8 ()8.5 ~ 多項式 8~

9 P 展開式中 5 ( 練習 7) 設 f()=p P P P 7P P+P P +6, 試求 f( 1+ 5 )=? [ 答案 ]: ( 練習 8) f()=(p P P P++1)P, 試求 (1) 係數和 () 奇次項係數和 () 偶次項係數和 [ 答案 ]:(1)1 ()0 ()1 二 因式定理與一次因式檢驗定理 [ 例題 ] ( 餘式定理的應用 ) 7 5 設 f()=p P 50P P+6P P+P P+5P P 0 11, 則 f(7)=? (86 學科能力測驗 ) [ 答案 ]: 5 f(7) 直接代入計算, 不容易計算, 利用餘式定理,f(7) 為 f() 除以 7 的餘式, 因此可利用綜合除法求餘式 =f(7) [ 例題 5] ( 求餘式 ) 試求下列二小題 : (1) 一多項式 f() 以 1 除之餘式為 5, 以 除之餘式為 7, 則以 ( 1)( ) 除之餘式為 () 一多項式 f() 以 +1 除之餘式為 5, 以 P P+ 1 除之餘式為 +, 則以 (+1)(P P+ 1) 除之餘式為 [ 答案 ]:(1)+1 () P P + (1) 設 f()=( 1)( ) Q()+m+n 代 =1 5=f(1)=m+n; 代入 = 7=f( )= m+n, 可解出 m=,n=1 () 設 f()= (+1)(P P+ 1)Q()+aP P+b+c =(+1)(P P+ 1)Q()+a(P P+ 1)+( +) 代 = 1 5=f( 1)=a(1 1 1)+(1+) a= 餘式 (P P+ 1)+( +)= P P + [ 例題 6] ( 一次因式檢驗定理 ) (1) 求 f()=p P+5P P P P+5 的整係數一次因式 ~ 多項式 9~

10 P P 除以 () 設 f()=p P+aP P+bP P+c+9 為一整係數多項式, 且可表為四個相異整係數一次因式的乘積, 則 (a,b,c)=?(86 大學聯考社會組 ) [ 答案 ]:(1) 1,+ () (0, 10,0) (1) 設整係數 a b f(), 且 (a,b)=1 a 且 b a=±1 ± 且 b=±1 ± 經綜合除法檢驗可得 1 f(),+ f() () 依題意, 設 f()=( α)( β)( γ)( δ), 其中 α,β,γ,δ 為相異整數 αβγδ=9 α,β,γ,δ 為 1, 1,, f()=( 1)(+1)( )(+)= P P+aP P+bP P+c+9 (a,b,c)= (0, 10,0) ( 練習 9) 求下列二小題 : (1) 求 (P P+P P )P + 的餘式 6 5 () 設 f()=150p P-790P P 15P P+707P P+100P P+5 6, 則 f()=? [ 答案 ]:(1) 1000 ()17 ( 練習 10) f() 為一個四次實係數多項式, 已知 f( 1)=f()=f( 5 )=0,f(1)= 108,f(0)= 90, 則下列何式可整除 f()? (A) ( 1)(+)(+5) (B) ( 1)( )( 5) (C) (+1)( )( 5) (D) ( )( 5)(+6) (E) ( )( 5)( 7) (8 學科能力測驗 ) [ 答案 ]:(C) ( 練習 11) 設二多項式 f(),g() 以 P P 除之, 餘式分別為 +, +7, 則 f()+g() 以 +1 除之, 其餘式為何? [ 答案 ]: 19 ( 練習 1) f()=p P+P P+5P P 6, 求 1 除 f( ) 的餘式 [ 答案 ]: 11 ( 練習 1) 多項式 f() 以 P P + 除之餘式為, 以 P P + 除之得餘式為, 則以 P 5+6 除之餘式為 [ 答案 ]:6 9 ~ 多項式 10~

11 P P 被 P 除 ( 練習 1) 以 P P++ 除 f() 餘 +1, 以 (+1)P f() 餘 5+, 則以 (+1)( P P++) 除 f() 的餘式為 [ 答案 ]: 6P P 11 6 ( 練習 15) 求多項式 (P P++)P [ 答案 ]:10+1 P P++ 除之餘式為何? ( 練習 16) 設 f() 為三次多項式,f() 除以 P P++1 得餘式 5,f() 除以 1 餘, 且 f() 有因式, 試求多項式 f() [ 答案 ]:P P P P+ 6 ( 練習 17) p,q 為整數, 且方程式 P P P P+pP P+q+5=0 有四個相異有理根, 求其最大之有理根 [ 答案 ]:7 三 最高公因式 最低公倍式 [ 例題 7] ( 整除的性質求 HCF) 50 8 求兩多項式 p()=p P P P 1,q()=P P P P 的最高公因式 [ 答案 ]:P P+1 設 HCF=d() 50 8 d() p()=p P P P 1 且 d() q()=p P P P d() p() P Pq()=P P+P P 1=(P P 1)(P P+1) 因為 P P 1 不為 p() 的因式 P+1 p() 且 P P+1 q() [ 令 =i, 代入 p() q(), 得到 p(i)=q(i)=0] 所以 d()=p P+1 [ 例題 8] ( 整除的性質求未知係數 ) 已知 f()=p P++a 與 g()=p P+P P+ 1+a 的最低公倍式為四次式, 求整數 a 與此最低公倍式 [ 答案 ]:a=,(+1)(+)(p P+1) 根據 (f(),g()) [f(),g()]=k f()g() f(),g() 的 HCF 為一次式 令 HCF=d() d() f()=p P++a 且 d() g()=p P+P P+ 1+a d() g() f()=p P 1=(+1)(P P 1) [ 消去 a 便於因式分解 ] 因為 d() 為一次式, 所以 d()=+1 f( 1)=g( 1)=0 a= f()=(+1)(+),g()=(p P+1)(+1) LCM=(+1)(+)(P P+1) ~ 多項式 11~

12 P+BPB 是方程式 P 的最大值為多少 [ 例題 9] 整係數多項式 P P+a+,P P++b 之 H.C.F 為 +c,l.c.m 為 6P P+17P P+1+, 試求 a,b,c 之值 [ 答案 ]:a=5,b=c=1 因為 +c 6P P+17P P+1+=(+1)(+)(+1) 所以 +c=+1 c=1 +1 P P+a+ 且 +1 P P++b a=5,b=1 5 ( 練習 18) 求 P P+P P 9P P +18,P P+6P P 9+ 之最高公因式, 並求最低公倍式 7 5 [ 答案 ]:P P+ 6,P P P P+6P P 9P P+P P ( 練習 19) 若 f()=p P P P++(c+),g()=P P 6P P++(c+5) 的 HCF 為一次式, 則 c=? (8 大學聯考社會組 ) [ 答案 ]:c= ( 練習 0) 設 f()=p P+P P+a+ 與 g()=p [ 答案 ]:(a,b)=( 7, ) P+P P+b+1 之 HCF 為二次式, 則數對 (a,b)=? 四 多項函數 [ 例題 10] ( 二次函數圖形的特性 ) 設 a,b 為實數, 且二次函數 f()=a( 1)P 則下列那些敘述為真? (A)a>0 (B)b>0 (C)f( 1)>0 (D)f( )>0 (E)a+b>0 [ 答案 ]:(B)(C)(E) 根據題意, 可以知道拋物線的對稱軸為 =1 且點 (,f()) 在 軸上方,(,f()) 在 軸下方 圖形開口向下, 頂點在 軸上方 a<0,b>0 因為對稱軸為 =1 所以 f( 1)=f()>0,f( )=f()<0 f(0)=a+b>0 故應選 (B)(C)(E) P+b 滿足 f()>0,f()<0, y 1 O 1 =1 [ 例題 11] ( 二次函數配方求極值 ) 已知 B1B BB P P (k )+(kp P+k+5)=0 的兩個實數根, 則 B1PB? [ 答案 ]:18 ~ 多項式 1~

13 B1PB P+BPB 根據根與係數的關係 B1B+BB=(k ),B1B BB=kP P+k+5 又 B1B BB 為實數,D=(k )P P (kp P+k+5) 0 k P=(B1B+BB)P P B1BBB=(k )P P (kp P+k+5) = kp P 10k 6 = (k+5)p P+19 B1B BB 為實數 k, 所以 k= 時有最大值 18 注意 : 因為 k= 5 時,B1B,BB 不為實數, 所以最大值不是 19 [ 例題 1] ( 絕對值函數的圖形 ) (1) 畫出函數 y= 的圖形 () 試問此函數圖形的最低點坐標 函數值的最小值 () 方程式 =k 有實數解之充要條件為何? [ 答案 ]:()(0,), ()k (1) 將 分成,0, 1 0, 1, 來討論 y=f() 的圖形, 圖形如右 () 如圖, 最低點坐標 (0,), 函數最小值 = () 因為 所以 =k 有實數解 y=k 與 y= 兩函數圖形有交點 k ( 1,) O y (0,) (,5) ( 練習 1) 已知 y=f()=ap P+b+c 之圖形如右 : 試判別下列各數為正或零或負 (1)a()b()c()bP P ac(5)a+b+c [ 答案 ]:(1) 正 () 負 () 負 () 正 (5) 零 1 y 1 ( 練習 ) 設某沙漠地區某一時間的溫度函數為 f(t)= tp P+10t+11, 其中 1 t 10, 則這段時間內該地區的最大溫差為 (1)9 ()16 ()0 ()5 (5)6 [ 答案 ]:() (96 學科能力測驗 ) ( 練習 ) 設 a,b 均為實數, 且二次函數 f()=a( 1)P P+b 滿足 f()>0,f(5)<0, 試問下列何者為真? (A)f(0)>0 (B)f( 1)>0 (C)f( )>0 (D)f( )>0 (E)f( )>0 (87 學科能力測驗能力測驗 ) [ 答案 ]:(A)(B)(C) ~ 多項式 1~

14 ( 練習 ) 如圖所示, 正方形 ABCD 的邊長為 1, 若動點 M,N,P 分別在 AB, BC, CD 邊上, 且 AM= BN= 1 CP, 求 MNP 面積的最小值 [ 答案 ]: 1 ( 練習 5) (a) 作出 y= 的圖形 (b) 設 a 為實數, 若 =a 恰有一個實數解, 求 a 的範圍 [ 答案 ]:(a) 略 (b)a>1 或 a<0 五 方程式的根 [ 例題 1] 已知 y=( 1)(+1) 之圖形如右圖所示, 今考慮 f()=( 1)(+1)+0.01, 則方程式 f()=0 (A) 有三個實根 (B) 當 < 1 時, 恰有一實根 (C) 當 1<<0 時, 恰有一實根 (D) 當 0<<1 時, 恰有一實根 (E) 當 1< 時, 恰有一實根 [ 答案 ]:(A)(B) (88 大學聯考自然組 ) y=( 1)(+1) 之圖形上移 0.01 單位形成 f()=( 1)(+1)+0.01 的圖形 方程式 f()=0 的實根個數為函數 y=f() 的圖形與 軸交點的個數 如右圖, 可以得知方程式 f()=0 有三個實根,< 1 恰有一實根, 0<<1 有兩個實根 故選 (A)(B) y y [ 例題 1] 求解 f()=6p P 9P P+6P P+1 1=0 [ 答案 ]:= ± 根據牛頓定理 f() 且 + f() f()=( )(+)(P P +) 解 f()=0, 可得 = ± ~ 多項式 1~

15 P P [ 例題 15] 設 f()=p P P P 16P P++5, 請問 y=f() 的圖形在下列那個範圍中與 軸相交?(A) 1<<0 (B)0<<1 (C)1<< (D)<< (E)<< [ 答案 ]:(C) 根據勘根定理 f(1)f()<0, 所以 y=f() 的圖形在 1<< 間與 軸相交 [ 例題 16] f()=p P+7P P+, 試證 : 在 0 與 1 之間, 存在一定數 k, 使得 f(k)=5k+1 [ 證明 ]: ( 想法 ) 令 g()=f() (5+1), 證明 g()=0 在 0 與 1 之間有實根 k g(0)=f(0) 1= <0,g(1)=9 (5+1)=>0 g(0)g(1)<0 g()=0 在 0 與 1 之間有實根 k g(k)=0 f(k)=5k+1 [ 例題 17] a,b 為實數, 已知 1+i 為 P P P P+5P P+a+b=0 之一根, 則 (a,b)=? 又所有的根為何? [ 答案 ]:(a,b)=(, ),1±i 1± 因為 P P P P+5P P+a+b=0 為實係數的 次方程式 所以虛根會成對出現 1+i,1 i 均為 P P P P+5P P+a+b=0 的根 [ (1+i)][ (1 i)] P P P P+5P P+a+b P P + P P P P+5P P+a+b 利用長除法, 可得餘式 (a+)+(b+) a=,b= P P P P+5P P =(P P +)(P P 1) P P P+5P P =0 的所有根為 1±i 1± [ 例題 18] 設方程式 P P+ 5=0 的三根為 α β γ, 求下列各式的值 : (a) 1 α + 1 β +1 γ (b)αp P+βP P+γP [ 答案 ]:(a) 5 (b) (a) 由根與係數的關係, 可知 α+β+γ=0,αβ+βγ+γα=,αβγ=5 1 α + 1 β +1 γ = αβ+βγ+γα = αβγ 5 (b) αp P+βP P+γP P=(α+β+γ)P P (αβ+βγ+γα)= ( 練習 6) 設 f() 為實係數的多項式, 已知 f(1 i)= 5,f(i)=1+i 請計算 f(1+i)+f( i)=? [ 答案 ]: i ~ 多項式 15~

16 P P ( 練習 7) 已知方程式 P P 5P P P P+1 0=0 之一根為 1+i, 試解出此方程式其它的根 [ 答案 ]:1 i,5, ( 練習 8) 試求一有理係數之四次多項式 f(), 使其滿足 f( 1+ )=f( i)=0 且 f(0)=10 [ 答案 ]: (P P+ 1)(P P +5) ( 練習 9) 設 5 及 1+i 為實係數方程式 P P+aP P+b+c=0 之二根, 則 (A)1 i 也是方程式的一根 (B)a=7 (C)b=15 (D)c=5 (E)a+b+c= 10 [ 答案 ]:(A)(C) ( 練習 0) 已知三次方程式 P P 0P P 9 5=0 在連續正整數 n 與 n+1 之間有一個根, 那麼 n=? [ 答案 ]:6 y ( 練習 1) 已知 y=( 1)(+1) 之圖形如右圖所示, 今考慮 f()=( 1)(+1) 0.001, 則方程式 f()=0 (A) 有三個實根 (B) 當 < 1 時, 恰有一實根 (C) 當 1<<0 時, 有二實根 (D) 當 0<<1 時, 恰有一實根 (E) 當 1< 時, 恰有一實根 [ 答案 ]:(A)(C)(E) ( 練習 ) y=f() 為一多項函數, 若 f(0)>0,f(1)<1, 試證在 0,1 之間存在一實數 c, 使 得 f(c)=cp [ 證明 ]: 設 g()=f() P P, 計算 g(0)=f(0) 0P P>0,g(1)=f(1) 1P P<0 g(0) g(1)<0, 根據勘根定理 g()=0 在 0,1 之間有實根 c g(c)=0 f(c)=cp ~ 多項式 16~

17 六 n 次不等式 [ 例題 19] 解下列不等式 : (1) 解 P P +5<0 () 解 P P 8<5P P+0+0 () 解 ( 1)+5< [ 答案 ]:(1)> 或 < () 所有實數 () 無解 (1) P P +5<0 P P+ 5>0 [ ( )][ ( )]> > 或 < () P P 8<5P P+0+0 P P+0+8>0 P P+5+7>0 (+ 5 P+7 5 >0 因為 (+ 5 P+, )P )P 因此所有的實數 均滿足 P P+0+8>0 解為所有實數 () ( 1)+5< P P 5+8<0 [P P 5 +(5 6 P] <0 )P 因為 [P P 5 +(5 6 P] =71 1 >0 )P 所以沒有實數 滿足 P P 5+8<0, 故無解 [ 例題 0] 對於任意實數, 二次函數 y=f()=ap P+(a )+ 之圖形恆在直線 L:y=+ 的上方, 求實數 a 的範圍 [ 答案 ]:1<a<9 y=f()=ap P+(a )+ y=+ 二次函數 y=f()=ap P+(a )+ 之圖形恆在直線 L:y=+ 的上方 ap P+(a )+>+, 對於所有實數 均成立 ap P+(a )+1>0, 對於所有實數 均成立 D=(a )P P a<0 且 a>0 (a 1)(a 9)<0 且 a>0 1<a<9 ~ 多項式 17~

18 [ 例題 1] 不等式 P P+(t 1) (8tP P+17) 0,t 為實數, 無實數解, 求 t 的範圍 [ 答案 ]: <t<8 不等式 P P+(t 1) (8tP P+17) 0, 無實數解 P P+(t 1) (8tP P+17)<0, 對於所有實數 均成立 D=[(t 1)]P P ( 1)( 8tP P 17)<0 (t 8)(t+)<0 <t<8 [ 例題 ] 解高次不等式 : (1) 解 ( )(+)( 5)<0 () 解 P P+P P >0 () 解 (P P++)( 1)( )<0 [ 答案 ]:(1) >5 或 << () << 1 或 >1 () 1<< (1) ( )(+)( 5)<0 ( )(+)( 5)>0 < < < < < 5 ( )( + )( 5) + > 5 + 解為 >5 或 << () P P+P P >0 ( 1)(+1)(+)>0 < < < 1 1 < < 1 > 1 ( 1)( + 1)( + ) + + 解為 << 1 或 >1 () (P P++)( 1)( )<0, 因為 P P++=(+1)P P+ >0, ( 1)( )<0 1<< [ 例題 ] 解 + < [ 答案 ]:>1 或 << + < + <0 + <0 (+)( P P )<0 (+)(P P+ )>0 (+)( 1)(+)>0 >1 或 << ( 注意 : + < 不可以直接用 <(+) 去解, 因為 + 可能會小於 0) ~ 多項式 18~

19 ( 練習 ) 解下列的不等式 : (1)16P P 0 ()6 5 P P>0 ()P P +1>0 ()9P P+1 6 (5)P P +5<0 [ 答案 ]:(1) 1 8 () 6<<1() 所有實數 ()= 1 (5) 無解 ( 練習 ) 解下列的不等式 : (1)( 1)P P(P P 18)<0 () (P P++6)(P P ) 0 () P P 5P P++8< [ 答案 ]:(1) <<6 且 1 () () < 1 或 << ( 練習 5) (1) 設 ap P+b+1>0 的解為 <<, 則求 a,b 之值 () +a <b 的解為 <<6, 則求 a,b 之值 [ 答案 ]:a= 1 8,b=1 ()a=,b=10 ( 練習 6) 已知方程式 f()=p P 5P P+P P+19 0=0 有一複數根 +i, 若實數 a 滿足 f(a)<0, 試求 a 的範圍 [ 答案 ]: <a< ( 練習 7) 設 m 為實數, 若二次函數 y=mp P+10+m+6 的圖形在直線 y= 的上方, 則 m 的範圍為何? [ 答案 ]:m> + 9 ( 練習 8) + < 1 +1 的解為何? [ 答案 ]: 1<<, 但 0 ~ 多項式 19~

20 沈醫師 認為身高 叁 綜合練習 (A) 學科能力測驗 聯考試題觀摩 1. 設 f() 與 g() 為實係數多項式, 以 P P + 除 f() 得餘式, 以 1 除 g() 得餘式 5, 且 g()= (1) 試求以 1 除 f()+g() 的餘式 () 試證 f()g()=0 在 1 與 之間有實根 (85 大學聯考社會組 ). 方程式 P P P P P P++1=0 在下列哪兩個整數之間有實數根? (A) 與 之間 (B) 與 1之間 (C) 1與 0 之間 (D) 0 與 l 之間 (E) 1 與 之間 (91 指定考科乙 ). U U H( 公尺 ) 的人, 其理想體重 W( 公斤 ), 應符合公式 W = H ( 公斤 ) 一般而言, 體重在理想體重 ± 10% 範圍內, 稱為標準體重 ; 超過 10% 但不超過 0% 者, 稱為微胖 ; 超過 0% 者, 稱為肥胖 微胖及肥胖都是過重的現象 對身高 H, 體重 W 的人, 體重 U 過重 U 的充要條件為 W > ch + dh + e, 則 (c,d,e)=? (9 指定考科乙 ). 設方程式 5 = 1的五個根為 1, ω 1, ω, ω, ω, 則 ( ω 1)( ω )( ω)( ω ) = (1) 81 () 16 () 11 () (9 指定考科甲 ) 5. 設 a 為實數, 令 α, β 為二次方程式 + a + ( a ) = 0 的兩根 試問當 a 為何值時, α β 的值最小? 答 a = (9 指定考科乙 ) 6. 試問方程式 ( + + 1) + 1 = 0 有幾個相異實數解? (1) 0 個 () 1 個 () 個 () 個 (5) 6 個 (95 指定考科甲 ) 7. 設 P() 是一個五次實係數多項式 若 P() 除以 的餘式是, 且商 Q() 是一個係數均為正數的多項式, 試問下列哪些選項是正確的? (1)P()=0 與 Q()=0 有共同的實根 () 是 P()= 唯一的實根 ()P() 不能被 整除 ()P()=0 一定有小於 的實根 (5)P() 除以 ( )(+) 的餘式也是 (96 指定考科甲 ) 8. 給定二次多項式 f ( ) = + a + b, 已知多項式 除以 f () 其餘式 為 +, 多項式 + 1除以 f () 其餘式為 +1, 請選出正確的選項 (1) a = () b = 1 () 方程式 f () = 0 無實根 5 () f () 的極小值為 (5) f () 除以 ( + ) 其餘式為 1 (97 指定考科乙 ) 9. 設 f() 為實係數三次多項式, 且 f(i)=0, 則函數 y=f() 的圖形與 軸有幾個交點? ~ 多項式 0~

21 (A)0(B)1(C)(D)(E) 因 f() 的不同而異 (85 學科能力測驗 ) 10. 設 f() 為二次函數, 且不等式 f()>0 之解為 <<, 則 f()<0 之解為 (A) 1<<(B)< 1 或 >(C)< 或 >(D) <<8(E)< 或 >8 (86 學科能力測驗 ) 11. 設 f() 為一多項式, 若 (+1) f() 除以 P P++1 的餘式為 5+, 則 f() 除以 P P++1 的餘式為 (87 學科能力測驗 ) 1. 設三次方程式 P P 17P P+ 0=0 有兩複數根 a+i,1+bi, 其中 a,b 是不為 0 的實數, 試求它的實根 (89 學科能力測驗 ) 1. 設 a,b,c 為實數 若二次函數 f()=ap P+b+c 的圖形通過 (0,-1) 且與 軸相切, 則下列選項何者為真? (A) a<0(b) b>0(c) c= 1(D) bp P+ac=0(E) a+b+c 0 (90 學科能力測驗 ) 1. 若 f ( ) = + 5, 則多項式 g( ) = f( f( )) 除以 所得的餘式為多少? (A) (B) 5 (C) 7 (D) 9 (E) 11 (9 學科能力測驗 ) 15. 設 f() 為三次實係數多項式, 且知複數 1+i 為 f()=0 之一解 試問下列哪些敘述是正確的? (A)f(1 i)=0 (B)f(+i) 0 (C) 沒有實數滿足 f()=0 (D) 沒有實數滿足 f(p (E) 若 f(0)>0 且 f()<0, 則 f()<0 (9 學科能力測驗 ) 16. 學生練習計算三次多項式 f () 除以一次多項式 g () 的餘式 已知 f () 的三次項係數為, 一次項係數為 甲生在計算時把 f () 的三次項係數錯看成 ( 其它係數沒看錯 ), 乙生在計算時把 f () 的一次項係數錯看成 ( 其它係數沒看錯 ) 而甲生和乙生算出來的餘式剛好一樣 試問 g () 可能等於以下哪些一次式? (1) () 1 () () + 1 (5) + (95 學科能力測驗 ) 設 f()=ap P bp P+, 其中 a,b 為非零實數, 則 f(5) f( 5) 之值為 (1) 0 ()0 () ()0 (5) 無法確定 ( 與 a,b 有關 ) (96 學科能力測驗 ) 18. 設 f() 為一實係數三次多項式且最高次項係數為 1, 已知 f(1)=1,f()=,f(5)=5, 則 f()=0 在下列那些區間必定有實根? (1)(,0) ()(0,1) ()(1,) ()(,5) (5)(5, ) (96 學科能力測驗 ) 19. 已知實係數多項式 f() 與 g()=p P+P P 有次數大於 0 的公因式 試問下列哪些選項是正確的? (97 學科能力測驗 ) (1)g()=0 恰有一實根 ()f()=0 必有實根 P)=0 ~ 多項式 1~

22 是 () 若 f()=0 與 g()=0 有共同實根, 則此實根必為 1 () 若 f()=0 與 g()=0 有共同實根, 則 f() 與 g() 的最高公因式為一次式 (5) 若 f()=0 與 g()=0 沒有共同實根, 則 f() 與 g() 的最高公因式為二次式 0. 已知 f(),g() 是兩個實係數多項式, 且知 f() 除以 g() 的餘式為 P P 1 試問下列哪一個選項 U 不可能 U f() 與 g() 的公因式? (1) 5 () 1 ()P P 1 ()P P 1 (5) P P 1 (98 學科能力測驗 ) (B) 重要問題觀摩 1. (1) 設 f() 除以 P P + 的餘式為, 除以 ( 1)( ) 的餘式為, 則由 f() 除以 P P 5+6 得餘式 =? ()degf(), 若 f() 以 1 除之餘, 以 + 除之餘 1, 以 除之餘 1, 則以 ( 1)(+)( ) 除之的餘式為何?. 設多項式 f() 分別除以 P P+,P P 6,P P+ 1 所得餘式依次為 +,+a,+b, 試求 a,b 之值. 設 f()=6p P 7P P+aP P+b 1=0 為一整係數方程式, 已知 f()=0 的兩個有理根的和為 1 6, 求數對 (a,b)=?. a,b 為有理數, 若 P P P P P P+a+b=0 有一根 +, 求 a,b 之值並求其解 n n 1 5. 實係數多項式 f()=abnbp P+aBn 1BP P+ +ab1b+ab0b, 請問下列選項那些是正確的? (A) 若 a,b 為實數, 且 f(a)f(b)<0, 則 f()=0 在 a,b 之間有實根 (B) 若 a,b 為實數, 且 f()=0 在 a,b 之間有實根, 則 f(a)f(b)<0 (C) 若 1 5i 為 f()=0 之根, 則 1+5i 亦為 f()=0 的根 (D) 若整係數一次因式 a+b f(), 則 a abnb 且 b ab0b (E) 若 f(1 )=0, 則 f(1+ )=0 6. 已知實係數四次多項函數 f()=ap P+bP P+cP P+d+e, 若 f() 值之正負如下表 : 且 f( +i)=0 ~ 多項式 ~

23 小於 1 0 f() 值 + 下面那些結論是正確的?(A), 之間有實根 (B) 1,0 之間恰有一個實根 (C)f()=0 有四個實根 (D) f()=0 恰有一正根 (E) i 為 f()=0 的根 7. 設 f()=( a)( b)( c)( d) 9, 若 f()=0 有整數根, 其中 a,b,c,d 為不同整數, 試證明 :a+b+c+d 為 的倍數 8. 若整係數方程式 ap P+b+1=0 之兩根為相異整數, 且已知 a>0,b<0, 求 b 之值 9. 若 a + b > 0 之解為 <, 試求 a,b 之值 + b 0 0. a 為實數, 且對於所有實數, 不等式 +a 恆成立, 則求 a 值之範圍 1. 解不等式 < + 1 <5. 如右圖, 將一個無蓋容器展開, 欲使容器的容積至少為 80cmP P, 求 值的範圍 1cm 10cm ~ 多項式 ~

24 P 肆 綜合練習解答 1. [ 答案 ]:(1)() 略 (1) 根據餘式定理 : 餘式 =f(1)+g(1) f()=(p P +)QB1B()+ =( 1)( )QB1B()+ f(1)= 1 = 1 又 g(1)=5 故餘式 =f(1)+g(1)= 1+5= () 因 f()g()=0 之根為 f()=0 或 g()=0 之根且 f(1)f()=( 1) = <0 所以 f()=0 在 1, 之間有實根故 f()g()=0 在 1, 之間有實根. [ 答案 ] (D) 令 f()=p P P P P P f() 因 f(0)f(1)<0, 故 f()=0 在 0,1 之間有實數解. [ 答案 ](.,0,0) 體重過重 W> 理想體重 (1+10%) W> HP P (1.1) W>.HP. [ 答案 ]:() 5 = ( 1)( ω )( ω )( ω )( ω ) = ( 1)( ω1)( ω )( ω )( ω = 代入, ), 故所求為 [ 答案 ]: α + β = a α β = ( α + β ) αβ = a 當 a = 時 α β 有最小值 αβ = a a + 8 = ( a ) + 6. [ 答案 ]:(1) 1± ( + + 1) + 1 = = 1 1m i + + = = 0 R 所以此方程式無實數解, 選 (1) i ~ 多項式 ~

25 ( 另解 ) 當 R 時, > 0恆成立 故 ( + + 1) + 1 > 0 恆成立, 即 ( + + 1) + 1 = 0 無實數解 7. [ 答案 ]:()() (1) 設 P()=( ).Q()+, 其中 Q() 的係數均為正數, 設 α 為共同實根,P(α)=0 且 Q(α)=0,QP()=( ).Q()+, P(α)=( 與 P(α)=0 矛盾 ) ( ) () 令 Q()=, 則 P()= 有實根,0, 因此 不是 P()= 唯一的實根 ( ) ()P()=( ).Q()+>0,QQ() 的係數均為正數, Q()>0, 故 P() 不能被 整除 (Ο) () 設 α,p(α)=(α )Q(α)+>0, 因為 Q(α)>0, 故 P()=0 沒有大於等於 的實根, 又因為 P()=0 為五次的方程式, 一定有實根, 故 P()=0 一定有小於 的實根 (Ο) (5) 令 Q()=P P+1, 則 P() 除以 P P 9 的餘式為 10 8 並不是 ( ) 8. [ 答案 ]:(1)(5) ( + ) = + + = ( + a + b) Q ( ) ( + 1) = + 5 = ( + a + b) Q ( ) f () 為 + + 與 + 5 的公因式 而 + + 與 + 5 的最高公因式為 + + 1, 即 f ( ) = ± 5 故 a =, b = 1, f ( ) = 0 的實根為 = 5 5 f ( ) = = ( + ) f () 除以 ( ) 的餘式為 f ( ) = ( ) ( ) + 1 = 1, 故選 (1)(5) 9. [ 答案 ]:(B) 因為 f()=0 為實係數三次方程式所以 f()=0 有 個複數根且虛根成對又 f(i)=0 f( i)=0 所以 f()=0 有一實根, 二虛根因此 y=f() 的圖形與 軸有一個交點 故選 (B) 10. [ 答案 ]:(B) 由 之範圍 : <<, 可推出 (+)( )<0 (+)( )>0 因此可取 f()= (+)( ) 所以 f()= (+)( ) 若 f()<0 (+)( )<0 (+)( )>0 (+1)( )>0 > 或 < 1, 故選 (B) ~ 多項式 5~

26 11. [ 答案 ]:+5 設 f()=(p P++1)Q()+(a+b) (+1)f()=(+1)(P P++1)Q()+(+1)(a+b) 但已知 (+1) f() 除以 P P++1 的餘式為 5+ 所以 (+1)(a+b) 除以 P P++1 的餘式為 5+ 以長除法可得 ap P+(a+b)+b 除以 P P++1 的餘式 :b+(b a) b=5 且 b a= a=,b=5 故 f() 除以 P P++1 的餘式為 [ 答案 ]:15 因 P P 17P P+ 0=0 為實係數 次方程式所以 a+i,1+bi 為共軛虛根 a=1 且 b= 1 [ (1+i)][ (1 i)] 整除 P P 17P P+ 0 P P + P P 17P P+ 0 因此可以長除法將 P P 17P P+ 0 除以 P P + 得其商式為 ( 15) 即 P P 17P P+ 0=(P P +)( 15) P 17P P+ 0=0 有另一實根為 15 故 P 1. [ 答案 ]:(A)(C)(E) 觀察右圖, 可設 f()=ap P+b+c 與 軸相切於 A(α,0) (A) 因開口向下 a<0 ( ) (B)α= b a 可正亦可負 b 可能大於 0 亦可能小於 0 (C) 因圖形過 (0, 1), 將其代入可求得 c= 1 ( ) (D) 因圖形與 軸相切 bp P ac=0 (E) a+b+c=f(1), 而圖形與 =1 之交點必在第四象限或 軸上 a+b+c 0 ( ) 1. [ 答案 ](E) 由餘式定理可知 : g() 除以 所得的餘式 =g()=f(f())=f(p P P P +5)=f()= [ 答案 ]:(A)(B)(E) 因為 f()=0 為三次實係數方程式, 所以虛根成對 f()=0 有一個實根且二個虛根為 1+i 1 i (A) 因 f() 有虛根 1 i f(1 i)=0 ( ) (B) 因 f() 只有二虛根 1+i,1 i +i 不為其根, 所以 f(+i) 0 ( ) (C) 因 f()=0 有一實根, 所以有一實數滿足 f()=0 y O (0, 1) ~ 多項式 6~

27 (D) 因 f()=0 為三次實係數方程式 f(p P)=0 為九次實係數方程式, 因此虛根成對 至少有一實數滿足 f(p P)=0 (E) 因 f()=0 只有一實根, 所以 y=f() 的圖形與 軸只有一個交點又因 f(0)f()<0, 所以 y=f() 的圖形與 軸的交點在 0 與 之間, 所以 f() 0 我們先假設 f()>0, 可得 f()f()<0, 則 y=f() 的圖形與 軸有另一交點在 與 之間, 此與 y=f() 的圖形與 軸只有一個交點矛盾 故 f()<0 ( ) 16. [ 答案 ]:(1) () (5) 設 f ( ) = + a + + b 甲 乙兩生餘式相同, 將兩人算式相減 ( + a + b) ( + a + + b) = = ( )( + ) 除式 g () 可為 +, 故 (1) () (5) 為正確選項 17. [ 答案 ]:() [ 解答 ]: f ( 5) f ( 5) 6 6 =(a 5P P b 5P P+ 5 ) [a ( 5)P P b ( 5)P P+ ( 5) ] = 15 ( 15) = 0, 選 () 18. [ 答案 ]:()() [ 解答 ]:f() 為一實係數三次多項式已知 f ( 1) = 1, f () =, f ( 5) = 5 故 f ( ) = 0 必有 1,, 5 等三根可設 f ( ) = a( 1)( )( 5) 又 f () 之最高次項係數為 1, 故 a = 1, 得 f ( ) = ( 1)( )( 5) + 由 f ( 0) f (1) < 0 與 f ( ) f () < 0 故 ( 0,1) 與 (,) 之間都必定有實根即 ( 0,1) 與 (,5) 之間都必定有實根, 選 ()() 19. [ 答案 ]:(1)()(5) (1) 正確 :g()=( 1)(P P++),g()=0 =1 或 1±i () 錯誤 : 反例 f()=(p P+1)(P P++), 故 f()=0 無實根 () 正確 : 設實根 α, α 為 f() g() 公因式, 所以 α=1 () 錯誤 : 若 f()=( 1)(P P++)(P P+1),HCF=g() (5) 正確 : 若 f()=0 與 g()=0 沒有共同實根, 因為 f() 與 g() 有次數大於 0 的公因式, 所以最高公因式的次數 >1, 又 g()=( 1)(P P++) 且 f() 為實係數多項式 f() 與 g() 的最高公因式為二次式 0. [ 答案 ]:() 令 d () 表 f () 與 g () 的公因式, 則根據輾轉相除原理, d () 必為 1的因式 而 1可以因式分解為 1 = ( 1)( + 1)( + 1), 故 1不可能為 f () 與 g () 的公因式 1. [ 答案 ]:(1)6 9 () 11 0 P P ~ 多項式 7~

28 (1) 設 f()=(p P 5+6)Q()+a+b f()=( )( )Q()+a+b 但 f() 除以 P P + 的餘式為 f()=( 1)( )QB1B()+ f()= 同理 f() 除以 ( 1)( ) 的餘式為 f()=( 1)( )QBB()+ f()=9 a + b = 所以 a=6,b= 9 a + b = 9 故 f() 除以 P P 5+6 之餘式為 6 9 () 設 f()=( 1)(+)( )Q()+aP P+b+c 由餘式定理可知 :f(1)=,f( )=1,f()= 1 a + b + c = a b + c = 1 9a + b + c = 1 可解出 a= 11 0,b= 1 0,c=1 5 故 f() 除以 ( 1)(+)( ) 之餘式為 11 P 0 P [ 答案 ]:a=5,b= 依題意可得 f()=(p P+ )QB1B()++=( 1)(+)QB1B()++ (1) f()=(p P 6)QBB()++a=(+)( )QBB()++a () f()=(p P+ 1)QBB()++b=( )(+)QBB()++b () 由 (1) () 式可得 f( )= ( )+= ( )+a a=5 由 () () 式可得 f()= +5= +b b=. [ 答案 ]:(6,0) 由牛頓定理可知 :f()=0 之有理根可能為 ±1,± 1,± 1,± 1 6, 由根與係數的關係知 : 兩有理根之和 = 1 6 檢驗以上數字, 僅可得 ( ) = 所以 f()=0 之兩有理根為 1, 1 1 f( 1 )=0 且 f( )=0 6( ) 7( ) + a( ) + b( ) 1 = 0 a=6,b= ( ) 7( ) + a( ) + b( ) 1 = 0 1± i. [ 答案 ]::a=,b=1;, ± P P P P P+a+b=0 為一有理係數方程式且有一根為 + 因 P 所以方程式有另一根 1 6 ~ 多項式 8~

29 P [ (+ )][ ( )] 整除 P P P P P P+a+b P P +1 P P P P P P+a+b 但我們用長除法得到 P P P P P+a+b 除以 P P +1 之商式 P P++1, 餘式 (a+)+(b 1) a+=0 且 b 1=0 a=,b=1 並且原方程式可分解為 (P P +1)(P P++1)=0 =±, 1± i 5. [ 答案 ]:(A)(C) (A) 由勘根定理可知正確 ( ) (B) 舉例 :f()=( 1)( ), 則 f(0)f()>0, 但 f()=0 在 0 與 之間有實根 1, (C) 因 f()=0 為實係數方程式, 可知虛根成對, 所以若 f(1 5i)=0 f(1+5i)=0 ( ) (D) 此項敘述必須加上 (a,b)=1 的條件才成立 (E) 此項敘述必須在 f() 為有理係數方程式的條件下才成立 6. [ 答案 ]:(B)(D)(E) 因 f() 為實係數四次多項式, 所以 f()=0 之虛根成對, 又 f( +i)=0 f()=0 至少有 虛根 但由表中發現 f( 1)f(0)<0 f()=0 在 1 與 0 之間有實根綜合以上的討論可知 f()=0 有 實根 虛根當我們找尋另一實根的範圍 : 因表中的各相鄰 f() 值的乘積均大於 0, 所以另一實根不在表中相鄰整數之間故 f()=0 之另一實根必在 >0 之範圍中 f()=0 恰有一正根故本題之正解為 (B)(D)(E) 7. 設 k 為 f()=0 的整數根 f(k)=0 (k a)(k b)(k c)(k d) 9=0 即 (k a)(k b)(k c)(k d)=9 因 a,b,c,d 為不同整數, 所以 (k a),(k b),(k c),(k d) 為不同整數 (k a),(k b),(k c),(k d) 應為 1, 1,, (k a)+(k b)+(k c)+(k d)=1+( 1)++( )=0 a+b+c+d=k 故 a+b+c+d 為 的倍數 8. [ 答案 ]:b= 設整係數方程式 ap P+b+1=0 之兩相異整數根為 α,β ~ 多項式 9~

30 b α + β = LL(1) a 1 αβ = LL() a 1 () 式中的應為整數, 又 a 為正整數, 所以 a=1 或 1 a 但若 a= 1, 則 αβ=1 α=1,β=1 或 α= 1,β= 1, 與相異整數根的題意不合所以 a=1 αβ= 1 且 α+β= b>0 又 α,β 為整數 取 α=1,β=1 則 b= (α+β)= 9. [ 答案 ]:a=,b= 設 P P a+b>0 之解為 >α 或 <β,p P+b 0 之解為 n m 當聯立不等式的解為 < 時, 則上述的範圍可取其共同解為 α< m α=,m= 所以 = 為 P P a+b=0 之解且 = 為 P P+b =0 之解 a=,b= 0. [ 答案 ]: 19 a 9 因 R,P P +>0 恆成立 所以將原不等式兩邊同乘以 P P + P P+a+1 5(P P +), R 均成立 1P P (a+10)+1 0, R 均成立 D=(a+10)P P a 9 1. [ 答案 ]:<0 或 > 7 將原不等式拆成以下聯立不等式 : ( 1) > > > ( 1) + 7 < 5 < 0 < ( 1) > 0 ( + 7)( 1) < 0 [>1 或 <0] 且 [> 7 或 <1] <0 或 > 7. [ 答案 ]:1 5 5 此容器體積 V=(1 )(10 ) 80,0<<5 ( 6)( 5) 0,0<<5 P P 11P P+0 0 0,0<<5 ( 1)(P P 10+0) 0,0<< ~ 多項式 0~