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第二章平面上的坐標變換 1 平移坐標軸 ( 甲 ) 平面坐標的意義 (1) 平面坐標的意義 : 給定平面上一個定點 O 與兩個不平行的向量 e 1 e, 平面上任意點, 可以找到實數 x,y 滿足 O=x e 1 +y e, 我們稱 S (O; e 1, e ) 為平面上的一個坐標系, 而 (x,y) 稱為點相關於 S 的坐標簡記為 S 坐標, 其中 O 點稱為這個座標的基準點 ( 原點 ), 而 e 1, e 稱為 S 的基底 y x e 1 + y e e y e B x e 1 O e 1 B O A x () 直角坐標系 : 在平面上選定一個基準點 O 及一組互相垂直且長度相等的向量 i j, 當作基底, 這樣構成的坐標系稱為直角坐標系通過 O 點且包含 i 的直線定為 x 軸, 通過 O 點且包含 j 的直線定為 y 軸 [ 討論 ]: (a) 設 i =OA, j =OB, 請問 A B 的坐標如何表示? QOA=1 i +0 j, A 的坐標為 (1,0) QOB=0 i +1 j, B 的坐標為 (0,1) (b) 設 O=x i +y j, 則的坐標為 (x,y) (c) 根據向量的坐標表示法, 可以將 O i =OA, O=(x,y) i =OA=(1,0) j =OB=(0,1) j =OB 用坐標表成 ~ 1 1~

[ 例題 1] 在 ABC 中,D E F 分別在 BC AC AB 上, 且 BD:DC=:1, AE:EC=1:1,AF:FB=1:4 若取基準點為 B, e 1 =BA, e =BC, 請問 :A B C D E F 在坐標系 (B; e 1, e ) 的坐標為何? Ans:A(0,1),B(0,0),C(1,0),D( 3,0),E(1,1 ),F(0,4 5 ) F A E B D C ( 乙 ) 坐標軸的平移 ( 1) 坐標平移可以簡化方程式 : 如下圖, 觀察 Γ:y=x 3 與 Γ :y=x 3 3x +3x 1 這兩個方程式的圖形 : 這兩個圖形長相一樣, 只要將 Γ 向右平移一單位就會與 Γ 重合, 換一個說法, 若是我們將坐標原點向右移一個單位, 而基底不變, 圖形 Γ 不動, 那麼從新的坐標系來看的話,Γ 對於新坐標系的相對位置與 Γ 對於原坐標系的相對位置是一樣因此在新坐標系下 Γ 的方程式的樣子 y =(x ) 3 就會與 Γ 的方程式 y=x 3 相同總之, 平移的目的是選擇更好的觀察點, 幫助我們認識客觀的世界 ~ 1 ~

() 推導移軸公式 : 從上面的說明, 我們將這種僅改變原點的位置而基底不變 ( 即座標軸的方向和長度單位不變 ) 的坐標變換, 稱為座標軸的平移, 簡稱移軸 [ 推導移軸公式 ]: 若設點在 S (O, i, j ) 與 S (O, i, j ) 下的坐標為分別為 (x,y) (x,y ), 其中 O 在 S 坐標系下坐標為 (h,k), 則點的原坐標 (x,y) 與新坐標 (x,y ) 的關係式 x = x 為 y = y [ 過程 ]: 根據已知條件 O=x i +y j,o = x i +y j 因為 O=OO + O x i +y j = h i +k j + x i +y j (x,y)=(h,k)+(x,y ) x=x +h,y=y +k 例子 : 平移座標軸, 把原點移到點 O (,1), 試求下列各點的新坐標 :A(3,4) [ 解法 ]: 設 A 點新的坐標為 (m,n) 根據前面的結果可知 (3,4)=(,1)+(m,n) 3=m+,4=n+1 m=1,n=3 所以 A 點的新坐標為 (1,3) + h + k (x,y) y (x,y ) O (h,k) y O x x ( 練習 1) 平面上一坐標系, 若將坐標軸平移, 以 O (,1) 為新的原點, 舊坐標 (,1) ( a, b) 則請寫出下列表格 : 新坐標 (3, 4) ( a, b) ~ 1 3~

舊坐標 Ans: 新坐標 (, 1) ( 4, ) (5, 3) (3, 4) ( a, b) ( a, b 1) ( a +, b + 1) ( a, b) (3) 移軸後方程式的變化 : 考慮圓 C 方程式 x +y 4x y=0, 我們現在移軸到適當的原點 (h,k), 根據移軸公 x = x + h 式可得 (x +h) +(y +k) 4(x +h) (y +k)=0, y = y + k 經整理可得,x +y +(h 4)x +(k )y +(h +k 4h k) =0, 這是移軸後所得的方程式, 現在取新原點 O (,1), 則新的方程式中 x y 項的係數為 0, 新的方程式變為 x +y =5, 所以圓 C是一個以 O (,1) 為圓心, 半徑 5 的圓在這裡我們得到一個啟示 : 當我們移軸到適當的原點時, 可使方程式消去某些項, 幫助我們辨識方程式所繪製的圖形, 使得新的方程式比原方程式更加簡明結論 : 在平面坐標上, 若圖形 Γ 的方程式為 f(x,y)=0, 經平移坐標軸的原點至 O (h,k), 則圖形 Γ 的新方程式為 f(x +h,y + k)=0 例子 1: 平移坐標軸到新原點 O (h,k) (a) 求曲線 Γ:x 6xy+y 8x+8y+1=0 之新方程式 (b)γ 對新坐標系的方程式是否仍是二元二次方程式 (c)γ 的新方程式可以消去兩個一次項嗎? [ 解法 ]: x = x + h (a) 由移軸公式代入曲線 Γ 的方程式 y = y + k (x +h) 6(x +h)( y +k)+(y + k) 8(x +h)+8(y +k)+1=0 化簡為 (x ) 6x y +(y ) +(h 6k 8)x +( 6h+k+8)y +(h 6hk+k 8h+8k+1)=0 (b) 新的方程式仍為二元二次方程式 (c) 若 O h 6k 8 = 0 (h,k) 滿足, 此時 (h,k)=(1, 1), 6h + k + 8 = 0 即可讓新的方程式中 x y 的係數為 0 新的方程式化為 (x ) 6x y +(y ) +4=0 例子 : 平移座標軸到新原點 O (h,k) (a) 求曲線 Γ:4x 4xy+y x 4y+8=0 之新方程式 ( b)γ 對新坐標系的方程式是否仍是二元二次方程式 (c)γ 的新方程式可以消去兩個一次項嗎? [ 解法 ]: x = x + h (a) 由移軸公式代入曲線 Γ 的方程式 y = y + k 4(x +h) 4(x +h)(y +k)+(y +k) (x +h) 4(y +k)+8=0 4(x ) 4x y +(y ) +(8h 4k )x +( 4h+k 4)y +(4h 4hk+k h 4k+8)=0 ( b) 新的方程式仍為二元二次方程式 ~ 1 4~

(c) 要消去兩個一次項 8h 4k = 0, 但這個聯立方程組無解! 4h + k 4 = 0 因此無法找到 (h,k) 使得 Γ 的新方程式可以消去兩個一次項 (4) 二元二次方程式的化簡 : 從上面兩個例子, 可知移軸後, 特殊的二元二次方程式對新的坐標系的方程式仍是二元二次並且二次項的對應係數不改變, 這樣的結果對於一般的二元二次方程式 Γ :ax +bxy+cy +dx+ey+f=0 (a +b +c 0).. 是否會成立? [ 推導一般情形 ]: x = x + h 把移軸公式 : 代入 Γ 的原方程式得 y = y + k a(x +h) +b(x +h)(y +k)+c(y +k) +d(x +h)+e(y +k)+f=0 乘開後按式的形式整理得 ax +bx y +cy +d x +e y +f =0.. 其中 f = ah d = ah + bk + d e = bh + ck + e 比較可以發現 + bhk + c k + dh + ek + f 移軸後, 二元二次方程式對新坐標系的方程式仍是二元二次方程式, 並且二次項的對應係數不改變 d = ah + bk + d a b 另一方面, 考慮中 h,k 的係數行列式 e = bh + ck + e b a b 當 b c =4ac b 0 時, c ah + bk + d = 0 ( d = 0) 方程組可以解出唯一的新原點 O (h 0,k 0 ) bh + ck + e = 0 ( e = 0) 若選擇新原點 O (h 0,k 0 ) 來平移坐標軸, 可使曲線 Γ 的新方程式化簡成 Γ:ax +bx y + cy +f =0 式中的二次項的係數不改變, 並且兩個一次項同時消去, 而常數項 f 的值是將新原點 (h 0,k 0 ) 代入下列的二次式 g(x,y)= ax +bxy+cy +dx+ey+f, 即 f =g(h 0,k 0 ) [ 討論 ]: a b 若 =0 (b 4ac=0) 時, 是否可以選取坐標原點 O (h,k), 使得式中一次項 b c 的係數均為 0? ~ 1 5~

結論 : 設 g(x,y)= ax +bxy+cy +dx+ey+f, 二次曲線 Γ:g(x,y)=0, 若 b 4ac 0 時, 移軸到新原點 O ( h 0,k 0 ), 可使 Γ 的方程式消去一次項而化簡成 Γ:ax +bx y +cy +f =0, ah + bk + d = 0 其中 (h 0,k 0 ) 是方程組的解, 常數項 f =g(h 0,k 0 ) bh + ck + e = 0 [ 例題 1] 將坐標系適當的平移, 使方程式 x +xy+y +4x+5y+6=0 的 x,y 項係數為 0, 得新方程式為何? Ans:x +x y +y 1=0 [ 例題 ] 二次曲線 Γ :ax + bxy+cy +dx+ey+f=0, 若 b 4ac 0, 對移軸至新原點 O (h,k) 請證明 Γ 對稱於 O (h,k) 的新坐標系而言,Γ 的新方程式為 ax +bx y +cy +f =0, [ 證明 ]: ax +bxy+cy +dx+ey+f=0 對稱於 O (h,k) ax +bx y +cy +f =0 對稱於 (0,0) 因此只須證明 ax +bx y +cy +f =0 對稱於 (0,0) 設 (m,n) 為 ax +bx y +cy +f =0 上的一點, am +bmn+cn +f =0 a( m) +b( m)( n)+c( n) +f =0 故點對原點 (0,0) 之對稱點 Q( m, n) 亦在 ax +bx y + cy +f =0 故得證 Γ 對稱於 O (h,k) 一般而言, 二次曲線 Γ :ax +bxy+cy +dx+ey+f=0 當 b 4ac 0 時, 二次曲線 Γ 可找到對稱中心 (h,k) 就是消去一次項的平移新原點此時二次曲線 Γ 稱為有心錐線當 b 4 ac=0 時, 二次曲線 Γ 沒有對稱中心, 此時二次曲線 Γ 稱為無心錐線 ~ 1 6~

( 練習 ) 在坐標平面上, 移軸到新原點 ( 4,3), (1) 若 A 點的原坐標為 ( 3,5), 則 A 點的新坐標為 () 若 B 點的新坐標為 (1,4), 則 B 點的原坐標為 (3) 已知直線 L 的原方程式為 x 3y+4=0, 則直線 L 的新方程為 (4) 已知圓 C 的新方程式為 x +y =5, 則圓 C 的原方程式為 Ans:(1)(1,) ()( 3,7) (3)x 3y 13=0 (4) (x+4) +(y 3) =5 ( 練習 3) 設拋物線 Γ:y 4x +4y + 8 = 0, 將原坐標系平移 ( h,k ) 後,Γ 的新方程式為 y = 4 x, 求 ( h,k ) = Ans:( 1, ) ( 練習 4) 試求出 Γ:5x 6xy+5y 6x y+1=0 的對稱中心 Ans:(3,4) ( 練習 5) 請選擇適當的新原點 O (h,k), 平移坐標軸, 使得下列的二次曲線的新方程式不含一次項 x 及 y 7 (a)x +y +x= 4 (b)3x +y +6x+y+1=0 (c)y x +x+y=3 (d)xy+x+y=0 (e)x +xy+y x+3y+4=0 Ans:(a)x +y =, O ( 1,0) (b)x 1 + y 3 =1,O ( 1, 1) (c) y x 3 3 =1, O ( 1, 1 ) (d) x y =1,O ( 1, 1) (e)x +x y +y = 7 3,O ( 7 3, 8 3 ) ( 練習 6) 下列哪一方程式無法利用坐標軸平移至新原點 O (h,k) 後, 使其沒有 x y 項? (A)x +y +4x 6y+1=0 (B)y 4x 6y+1=0 (C)4x 4xy+y x 4y+8=0 (D)x 6xy+y 8x+8y+1=0(E)x +xy+y +x+y+6=0 Ans:(B)(C) ( 丙 ) 圖形的平移 (1) 圖形平移 : 方程式 f(x,y)=0 的圖形 Γ 沿著 a =(h,k) 平移可得方程式 f(x h,y k)=0 的圖形 Γ () 坐標軸平移 : 方程式 f(x h,y k)=0 的圖形 Γ 在移軸至 (h,k) 的座標 (x,y ) 下方程式為 f(x,y )=0 [ 例題 3] (1) 試畫出 x 4 + y =1 之圖形 x 4 () 利用 (1) 及坐標軸的平移畫 4 + y =1 之圖形 ~ 1 7~

[ 例題 4] 圖形 Γ:3x +y 6x 1=0 沿著向量 a =(3, ) 平移, 請問新的圖形 Γ 的方程式為何? Ans:3x +y 4x+8y+54=0 x ( 練習 7) (1) 請畫出 3 + y 4 =1 之圖形 x 1 () 利用坐標平移的方法, 畫出 3 + y+ 4 =1 之圖形 ( 練習 8) 將圖形 Γ:x +y 4=0 依平行直線 3x y =0 之方向, 向右上方移動單位後, 形成新的圖形 Γ, 請問 Γ 的方程式為何? Ans:x +y x 1y+15=0 10 綜合練習 ~ 1 8~

(1) 將坐標軸平移, 以 ( 1,1) 為新原點, 若圖形 Γ 之方程式為 x +xy+y x y 1=0, 則 Γ 之新方程式為, 又欲使新方程式不含一次項, 則此平移應以為新原點 x 5 () 方程式 y= x 3 請利用平移坐標軸的方法, 判別出這是那一種曲線? (3) 在直角坐標中, 曲線 C 的方程式為 y=cosx, 現在平移坐標軸, 將原點移至 O ( π π, ), 則在新的坐標系中, 曲線 C 的方程式為 (A)y =sinx + π (B)y = sinx + π (C)y =sinx π (D)y = sinx π (4) 方程式 Γ:(x y+3)(x+y 5)=4, 現在移軸到新原點 ( 1,4), 請問新的方程式為何? (5) 請證明圓的方程式 x +y +ax+by+c=0, 經過移軸之後半徑不變 (6) 將坐標軸平移至新原點 O (h,k) 後, 兩直線 x+3y 4=0 和 x y+1=0 對新坐標的方程式分別為 x +3y 3=0 和 x y +5=0, 試求 (h,k)=? (7) 設拋物線 Γ: y=x 上有兩點 Q, 當坐標軸平移到 O (h,k) 後, Q 的新坐標依次為 (5,7) (7,19), (a) 求新坐標 O (h,k)? (b) 求拋物線 Γ 的新方程式? (8) 下列的二次曲線, 那一條有對稱中心, 若有請求出來 ; 若無, 說明理由 (a)5x +4xy+8y x+8y 7=0 (b)7x 6xy y 6x+y+7=0 (c)4x 4xy+y +x+4y+8=0 進階問題 (9) 使拋物線 y = x x 沿直線 L 1 :y = x 方向平行移動, 求與直線 L :x + y = 1, 相切之拋物線方程式為 ( 請注意這個問題是移動圖形, 而非坐標 ) 圖形依 y=x 的方向移動, 代表圖形沿著向量 (k,k) 平移 (10) 請求出 3x + y+1 =6 的圖形所圍成之區域的面積 =? (1) x x + y +y x +y =0,( 7, 3 7 ) 綜合練習解答 () 雙曲線 [ 提示 : 將新原點置於 O (3,), 即可得新的方程式 y = 1 x ] (3) (B) (4) (x y 6)(x +y +)=4 ~ 1 9~

= + + 得新方程式 (5) 略 (6) (, 1) (7) (a) ( 3, 3) (b)y 3=(x 3) [ 提示 : x 以 x +h,y 以 y +k 代入 Γ:y=x :y +k=(x +h) 7 + k = (5 + h) 新坐標 (5,7) (7,19) 代入求 h,k, 解出 (h,k)=( 3, 3)] 19 + k = (7 + h) (8) (a) 對稱中心 (1, ) (b) 對稱中心 (1, ) (c) 因為 ( 4) 4 4 1=0, 故無對稱中心 (9) y = x 5x + 3 [ 解法 ]: 沿著斜率為的直線移動, x 以 x α,y 以 y α 代入 Γ :y = x x 得 y α = ( x α ) ( x α ) (1) 此與直線 L B B:x + y = 1 相切, 消去 y 得 1 x α = ( x α x + α ) x +α 整理得 x 4α x + α 3α 3 = 0 有二重根, 因而判別式 D B Bx ( 4α ) 4 ( α 3α 3 ) = 0 得 α = 1 代入 (1) 得 y = x 5x +3 1 (10) 1 [ 提示 :3 x x + y + 3 + y+1 =6 3 + = 3 1 ] ~ 1 10~