北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试 ( 理工类 ) ( 考试时间 0 分钟满分 0 分 ) 08 本试卷分为选择题 ( 共 40 分 ) 和非选择题 ( 共 0 分 ) 两部分 第一部分 ( 选择题共 40 分 ) 一 选择题 : 本大题共 8 小题, 每小题 分, 共 40 分 在每小题给出的四个选项中, 选出 符合题目要求的一项 已知集合 A { log }, B, 则 A B= A(,] B(, + ) C (, ) D[, + ) 在 ABC 中, π AB =, AC =, C =, 则 B 6 A 4 B 4 或 C 4 执行如图所示的程序框图, 则输出的 S 值为 D 4 或 4 A0 B C 40 D 4 在极坐标系中, 直线 l : cos si 与圆 C : cos 的位置关系为 A 相交且过圆心 B 相交但不过圆心 C 相切 D 相离 如图, 角, 均以 O 为始边, 终边与单位圆 O 分别交于点 β 终边 B y α 终边 A A, B, 则 OA OB = A si( ) B si( ) C cos( ) D cos( ) O, a, 6 已知函数 f( ), a, 则 a 0 是 函数 f( ) 在 [0, ) 上单调递增 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
7 某校象棋社团组织中国象棋比赛 采用单循环赛制, 即要求每个参赛选手必须且只须和 其他选手各比赛一场, 胜者得 分, 负者得 0 分, 平局两人各得 分 若冠军获得者得分 比其他人都多, 且获胜场次比其他人都少, 则本次比赛的参赛人数至少为 A4 B C6 D7 8 若三个非零且互不相等的实数,, 成等差数列且满足, 则称,, 成 一个 等差数列 已知集合 M 00, 数列中, 等差数列 的个数为 Z, 则由 M 中的三个元素组成的所有 A B0 C D00 第二部分 ( 非选择题共 0 分 ) 二 填空题 : 本大题共 6 小题, 每小题 分, 共 0 分 把答案填在答题卡上 9 计算 ( i) = 0 双曲线 y ( 0) 的离心率是 ; 该双曲线的两条渐近线的夹角是 若 ( ) 展开式的二项式系数之和为 8, 则, 其展开式中的含项的系数 为 ( 用数字作答 ) 已知某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥底面和三个侧面中, 直角三角形个数是 y 0, 已知不等式组 y, 在平面直角坐标系 Oy 中所表示的平 y k( ) 正视图 侧视图 面区域为 D, D 的面积为 S, 则下面结论 : 当 k 0 时,D 为三角形 ; 当 k 0 时,D 为四边形 ; 当 k 时, S 4 ; 4 当 0 k 时, S 为定值 其中正确的序号是 4 如图, 已知四面体 ABCD 的棱 AB // 平面, 且 AB, 其余的棱长均为 四面体 ABCD 以 AB 所在的直线为轴旋转 俯视图 D C A B 弧度, 且始终在水平放置的平面 的上方 如果将四面体 ABCD α
在平面 内正投影面积看成关于 的函数, 记为 S ( ), 则函数 S ( ) 的最小值为 ; S ( ) 的最小正周期为 三 解答题 : 本大题共 6 小题, 共 80 分 解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程 ( 本小题满分 分 ) 已知函数 f ( ) si (si cos ) a 的图象经过点 (,) (Ⅰ) 求 a 的值, 并求函数 f( ) 的单调递增区间 ;, ar (Ⅱ) 若当 [0, ] 时, 不等式 f ( ) m恒成立, 求实数 m 的取值范围 6( 本小题满分 分 ) 某市旅游管理部门为提升该市 6 个旅游景点的服务质量, 对该市 6 个旅游景点的交通 安全 环保 卫生 管理五项指标进行评分 每项评分最低分 0 分, 最高分 00 分 每个景 点总分为这五项得分之和 根据考核评分结果, 绘制交通得分与安全得分散点图 交通得分 与景点总分散点图如下 : 请根据图中所提供的信息, 完成下列问题 : (Ⅰ) 若从交通得分前 名的景点中任取 个, 求其安全得分大于 90 分的概率 ; (Ⅱ) 若从景点总分排名前 6 名的景点中任取 个, 记安全得分不大于 90 分的景点个数为, 求随机变量 的分布列和数学期望 ; (Ⅲ) 记该市 6 个景点的交通平均得分为, 安全平均得分为, 写出 和 的大小关 系? ( 只写出结果 ) 7( 本小题满分 4 分 ) 如图, 在四棱锥 P ABCD 中, 平面 PBC 平面 ABCD PBC 是等腰三角形, 且 PB PC ; 在梯形 ABCD 中, AB DC, AD DC, AB, AD 4, DC (Ⅰ) 求证 : AB // 面 PDC ;
(Ⅱ) 求二面角 APB C 的余弦值 ; P (Ⅲ) 在线段 AP 上是否存在点 H, 使得 BH 平面 ADP? 请说明理由 8( 本小题满分 分 ) D C 已知函数 f ( ) a a ( ar ) A B (Ⅰ) 若曲线 y f ( ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y 0, 求 a 的值 ; (Ⅱ) 当 a 0 时, 讨论函数 f( ) 的零点个数 9 ( 本小题满分 4 分 ) 已知抛物线 C : y (Ⅰ) 写出抛物线 C 的准线方程, 并求抛物线 C 的焦点到准线的距离 ; (Ⅱ) 过点 (,0) 且斜率存在的直线 l 与抛物线 C 交于不同两点 AB,, 且点 B 关于 轴的 对称点为 D, 直线 AD 与 轴交于点 M (ⅰ) 求点 M 的坐标 ; (ⅱ) 求 OAM 与 OAB 面积之和的最小值 0 ( 本小题满分 分 ) 若无穷数列 { a } * 满足 : 存在 a (,, ) p aq p qn p q, 并且只要 ap aq, 就有 a ta ( i,,, ; t 为常数 ), 则称 { a } 具有性质 T pi qi (Ⅰ) 若 { a } 具有性质 T, 且 t, a 4, a, a 4, a, a 7 a 8 a 9 6, 求 a ; (Ⅱ) 若无穷数列 { a } 的前 项和为 S, 且 不同取值, 使得数列 { a } 具有性质 T ; (Ⅲ) 设 { b } 是一个无穷数列, 数列 { a } 中存在 ap aq S b( br ), 证明存在无穷多个 b 的 * ( p, qn, p q), 且 * a b cos a ( N ) 求证 : { b } 为常数列 是 对任意正整数 a,{ } a 都具有 性质 T 的充分不必要条件 4
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试答案 ( 理工类 ) 08 一 选择题 :( 本题满分 40 分 ) 题号 4 6 7 8 答案 D D C B C A C B 二 填空题 :( 本题满分 0 分 ) 题号 9 0 4 答案 i π 4 4 π 三 解答题 :( 本题满分 80 分 ) ( 本小题满分 分 ) 解 :(Ⅰ) 根据题意得 si (si cos ) a 即 ( 0) a, 解得 a 又 f ( ) si (si cos ) si si cos si cos si( ) 4 由 k k k Z, 4 得 k k, 所以 k k, 4 4 8 8 所以函数 f( ) 的单调递增区间是 [ k, k k Z 8 8 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可知 f ( ) si( ) 4 当 [0, ] 时, [, ], 4 4 4 7 分 所以 si( ) 4 所以 f( )
当, 即 0 时, f( ) 取得最小值 4 4 因为不等式 f ( ) 所以 m m恒成立等价于 m f ( ), 最小值 故实数 m 的取值范围是 (, ] 分 6( 本小题满分 分 ) 解 :(Ⅰ) 由图可知, 交通得分前 名的景点中安全得分大于 90 分的景点有 个 故从交通得分前 名的景点中任取 个, 其安全得分大于 90 分的概率为 分 (Ⅱ) 由图可知, 景点总分前 6 名的景点中安全得分不大于 90 分的景点有 个 设从景点总分前 6 名的景点中任取 个, 安全得分不大于 90 分的个数为, 则 的取值为 0,, C4 4 所以 P( 0) ; C 0 6 CC P( ) ; 0 4 C6 CC 4 P( ) 0 4 C6 故 的分布列为 0 P 所以 E 0 0 分 (Ⅲ) 分 6
7( 本小题满分 4 分 ) 证明 :(Ⅰ) 因为 AB DC, P 又因为 AB 平面 PDC, DC 平面 PDC, D C 所以 AB // 平面 PDC 分 (Ⅱ) 取 BC 中点 F, 在 PBC 中, 因为 PB PC, 所以 PF BC 又易知 AC AB, 所以 AF BC A B P z 又因为平面 PBC 平面 ABCD, 且平面 PBC 平面 ABCD= BC, 所以 PF 平面 ABCD 所以 PF AF 以 F 为原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 F yz A D C F B y 在梯形 ABCD 中, 因为 AB DC, AD DC, AD 4, DC, AB, 所以 BC, AF 又因为 PB, 所以 PF 于是有 P(0,0,), A(,0,0), B(0,,0), C(0,,0) 所以 FA (,0,0), AB (,,0), PB (0,, ) 因为 AF 平面 PBC, 所以 FA (,0,0) 是平面 PBC 的一个法向量 设平面 PBA 的一个法向量为 m (, y, z), 则 m AB 0, m PB 0, y 0, 即 yz0 y, 所以 y z 令 y, 则 m (,, ) (, 0, 0) (,, ) 0 所以 cos FA, m 4 0 由图可知, 二面角 APB C 为锐角, 所以二面角 APB C 的余弦值 0 0 9 分 (Ⅲ) 因为 AB, DC, 且 AB (,,0), 所以 CD AB 所以 AD AB BC CD AB BC 4 8 (,,0) (0,,0) (,,0) 7
设平面 ADP 的一个法向量为 (, y, z), 则 AD 0, AP 0, 4 8 y 0, 即 z 0 y, 所以 z 令, 则 (,, ) 假设线段 AP 上存在点 H, 使得 BH 平面 ADP, 且设 AH AP( [0,]) 所以 AH AP (,0,) (,0, ) 所以 BH BA AH (,,0) (,0, ) ( ( ),, ) 因为 BH 平面 ADP, 所以 BH// ( ) 所以 显然 不存在 所以假设不成立, 故线段 AP 上不存在点 H, 使得 BH 平面 ADP 4 分 8( 本小题满分 分 ) 解 : 由题意可知 f ( ) ( )( a) (Ⅰ) 因为曲线 y f ( ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y 0, 所以 f (0) 0, f (0) 由 得 a 0 a 4 分 (Ⅱ) 当 a 0 时, 令 f ( ) ( )( a) 0 得 或 l( a) 当 l( a), 即 a (,0) 时, 当 变化时, f ( ), f( ) 的变化情况如下表 : (,l( a)) l( a) (l( a), ) (, ) f ( ) 0 0 f( ) 极大值 极小值 所以函数 f( ) 在 (l( a), ) 上单调递减, 在 (,l( a)) 和 (, ) 上单调递增 又因为 f (l( a)) al ( a) 0, f (0) 0, 8
所以函数 f( ) 有一个零点 当 l( a), 即 a 时, 当 变化时, f ( ), f( ) 的变化情况如下表 : (, ) (, ) f ( ) 0 f( ) 所以函数 f( ) 在 (,+ ) 上单调递增 f( ) a 又因为 f (0) 0, 所以函数 f( ) 有一个零点 当 l( a) 0, 即 a (, ) 时, 当 变化时, f ( ), f( ) 的变化情况如下表 : (, ) (,l( a)) l( a) (l( a), ) f ( ) 0 0 f( ) 极大值 极小值 所以函数 f( ) 在 (,l( a)) 上单调递减, 在 (, ) 和 (l( a), ) 上单调递增 又因为 f ( ) +4a 4a 0, f( ) a, f (l( a)) al ( a) 0, f (0) 0, 所以当 a (, ) 时, 此时 f( ) a 0, 函数 f( ) 有一个零点 ; 当 a 时, 此时 f ( ) 0, 函数 f( ) 有两个零点 ; 当 a (, ) 时, 此时 f( ) a 0, 函数 f( ) 有三个零点 4 当 l( a) 0, 即 a 时, 显然函数 f( ) 有两个零点 综上所述,() 当 a (,0) 时, 函数 f( ) 有一个零点 ; () 当 a {, } 时, 函数 f( ) 有两个零点 ; 9
() 当 a (, ) 时, 函数 f( ) 有三个零点 分 另外的解法提示 : f( ) ( a a, ) 易知 f(0) 0 即可考虑 g( ) a 的零点 a 9( 本小题满分 4 分 ) 解 :(Ⅰ) 由题意可知, 抛物线的准线方程为 抛物线 C 的焦点到准线的距离为 4 分 (Ⅱ) 由已知设直线 l : y k( ), 显然 k 0 ; A(, y ), B(, y ), y, 由 得 ky y 4k 0 y k( ), y y, yy 4 k 所以 (ⅰ) 因为点 BD, 关于 轴对称, 所以 D(, y) y y 所以直线 AD 的方程为 y y ( ) 令 y 0, 得 ( y y ) y ( ) y y y y y y y y y y yy ( y y ) 所以 M (,0) 0 分 (ⅱ) 记 OAM 与 OAB 面积分别为 S OAM, S OAB, 设 P (,0) S + S OM y OP ( y y ) 则 OAM OAB y y y y y y 4 当且仅当 y y, 即 y, y 时, OAM 与 OAB 面积之和的最小值是 4 4 分 0 ( 本小题满分 分 ) 解 :(Ⅰ) 因为 { a } 具有性质 T, 且 t, a a, 0
所以 a6 a, a7 a4, a8 a, a9 a6 9 a, 由 a7 a8 a9 6, 得 9a 6, 所以 a, 经检验符合题意 分 (Ⅱ) 证明 : 因为无穷数列 { a } 的前 和为 S, 且 所以 a b, 当 时, p 取 b ( pn, 且 p, p 为常数 ), S b, a 若存在 ap aq p q, 则 q 则 a p p a, 对 t p pi p, 有 a a ta ( i,,, ), pi i i 所以 { a } 具有性质 T, 且 b 的不同取值有无穷多个 8 分 (Ⅲ) 证明 : 当 { b } 为常数列时, 有 b * m( 常数 ), a mcos a( N ), 对任意的正整数 a, 因为存在 ap aq, 则由 mcos ap mcos aq, 必有 ap aq, 进而 有 a a ( i,,, ), 这时 t, a ta ( i,,, ), pi qi 所以 { a } 都具有性质 T 所以, { b } 为常数列 是 对任意正整数 a,{ } a 都具有性质 T 的充分条件 取 b pi, k, ( kn ), 对任意正整数 a, 由 a b cos a (, N ) 0, k, 得, a b cos a cos a, 因为 a 为正整数, 所以 a 0, 且 a a a b cos a 0, a 4 b cos a,, 即, 当 时, a 0, k, ( kn ), k, 对任意 pq,, 则 pq, 同为奇数或同为偶数 qi 若 pq, 同为偶数, 则 a a ( i,,, ) 成立 ; pi qi 若 pq, 同为奇数, 则 a a ( i,,, ) 成立 pi qi 所以对于任意 pq, 满足 ap aq, 则取 t, a a 故 { a } 具有性质 T, 但 { b } 不为常数列, 所以 { b } 为常数列 是 对任意正整数 a,{ } a 都具有性质 T 的不必要条件 pi qi 证毕 分