一 二元一次方程式的圖形 : 二元一次方程式的標準式為 +b = c, 則 : +b = c b =- + c =- + c b b 令 m =- b, k = c b, 則原式可改寫為 : = m + k 稱此式為直線方程式, 其中 m 即是直線方程式之斜率 m =0 的圖形 : 直線方程式 m =0 的圖形是一條平行 軸的水平直線, 如右圖所示 : o (0, k) = k m >0 的圖形 : 直線方程式 = m + k, 當 m >0 時為一條 由左而右向上傾斜的直線, 如右圖 : =+k, k>0 = =+k,k<0 m <0 的圖形 : 直線方程式 = m + k, 當 m <0 時為一條 由左而右向下傾斜的直線, 如右圖 : =+k, k>0 = 二 二元一次方程式的圖解 : + b = c 設二元一次方程式為 + b = c, 則 : =+k,k<0 b () 兩直線相交 : 當 b 時, 此聯立方程式有唯一解, 且圖形相交於一直線 b () 兩直線重合 : 當 = c = b c 時, 此聯立方程式有無限多解, 且兩條直線重合 b () 兩直線平行 : 當 = c b c 時, 此聯立方程式無實數解, 且兩條直線平行 9
如附圖, 四邊形 為矩形, 已知 點坐標為 (, ), 點坐標為 (, ), 點坐標為 (, ), 則下列四個選項 (-,) (,) 中, 何者為直線 的方程式? 90 年第一次基測 () = 0 () + = 0 () = 0 () = 0 (-,-) 重點 : 直角坐標與直線 為矩形, 點的橫坐標與 點橫坐標相等 而 點的縱坐標與 點縱坐標相等, 故 (, ) 故直線 的方程式為 = 答案選 () 如附圖, 玉山在坐標平面上的位置為 (, ) ; 已知 軸的 正向指向東方, 軸的正向指向北方, 且每個方程的邊長均為 個單位 如果飛機從玉山上空向西飛行 0 個單位, 再向北 飛行 個單位, 到達 P 點上空, 則 P 點最接近下列哪一個位置? () (, ) () ( 0, ) () (, ) () (, ) 玉山 N 重點 : 直角坐標與直線 90 年第二次基測 依題意移動, 東 北為正, 西 南為負 [ + ( 0 ), + ( ) ] = ( 0, ) 向西向北 答案選 () 若要坐標平面上的相異三條直線 L : = L : L : + 6 有共同的交點, 則 =? () () () () 重點 : 直線的交點皆滿足其直線方程式 = = 9 年第一次基測 將 L 代入 L = =, 所以有共同交點為 (, ), 並將 (, ) 代入 L + = 6 = = 答案選 () 96
+ = 9 已知二元一次聯立方程式 的解為 =, = b, 則 b =? + = 7 () () () () 6 9 年第二次基測 重點 : 解二元一次聯立方程式 + = + = 7 Λ Λ ( ) ( ) + = 6 由 ( ) 與 ( ) 可得 + = 8 Λ Λ ( ) ( ) 又 ( ) ( ) 可得 9 = 0 = 6 代回 ( ) 得 = = = b = 6 = = 6 = b 答案選 () 如附圖, 在坐標平面上, 直線 L 的方程式為 + =, 為原點, 軸的單位長均為 公分 若 點在第四象限 且在 L 上, 與 軸的距離為 公分, 則 點與 軸的距離為 多少公分? () () 8 () 8 () 重點 : 直角坐標與直線 ( ) 由第四象限屬性 ( +, ) 9 年第一次基測 而與 軸距離 公分, 所以 (, ) 為 (, ), 如下圖 ( ) 而 (, ) 滿足 + = 的關係 即 + = 96 + = 96 = = 8 = 8 ( 點的 坐標 ) ( ) 所以 點距離 軸為 8 = 8 答案選 () L : += (, ) L : += 6 小英的家在坐標平面上的位置為 P (, ) 軸的正向指向東方, 軸的正向指向北方, 如果從小英的家向東走 單位, 再向南走 單位, 就到達小華的家, 那麼下列哪一個點表 示小華家的位置? 9 年第二次基測 97
() (, ) () (, ) () G (, ) () H (, ) 重點 : 直角坐標與直線 (, ) [ +, + ( )] (, ) 7 如附圖, 直線 L 的方程式為 + = 0 請問 P Q R S, 哪一個點的坐標是此方程式的解? () P () Q () R () S 重點 : 直角坐標與直線 9 年第二次基測 R L S P Q 若要為直線 L 的方程式之解, 則其點必在其直線上 而 P 點在直線 L 上, 因此 P 點為此方程式的解 答案選 () 8 附圖為一平面圖 若以學校為原點作一坐標平面, 其中學校到游泳池的方向為 軸的正向, 學校 新生大樓 學校 到新生大樓的方向為 軸的負向, 則圖書館在此平面的第幾象限? 9 年第一次基測 () 一 () 二 () 三 () 四 游泳池 圖書館 重點 : 象限的應用與轉換 由右圖可知, 圖書館在此平面的第一象限 答案選 () 新生大樓 學校 圖書館 游泳池 9 如附圖, 若坐標平面上 P 點的坐標為 (, b ), 則 b = () 8 () () () 8 重點 : 坐標平面上的位置 ( 點 ) P (, b ) = P (, ) b = ( ) = 8 答案選 ()? 9 年第二次基測 P(,b) 98
0 坐標平面上, 若點 (,) 在直線 + = 上, 則 =? () 8 () () () 8 9 年第一次基測 重點 : 將點代入直線方程式中求解 將 (, ) 代入 + = 得 ( )+ =, + =, = 6, = 8 如圖 ( 九 ), 坐標平面上, 兩點均在 軸上, = 67 公分, 且 軸為 的中垂線 若在平面上找一點, 使得 = 公分 = 公分, 則 點可能在下列何處? () 軸 () 軸 () 第一象限 () 第三象限 9 年第二次基測 重點 : 三角形的兩邊和大於第三邊 Θ P = P 且 + = ( P + P ) = P + P > 0 點是在第二象限或第三象限 67 公分 67 公分 P 圖 ( 九 ) 在坐標平面上, 直線 L 的方程式為 = + 若 > 0, 則 L 不通過第幾象限? () 一 () 二 () 三 () 四 9 年第一次基測 重點 : 圖形的平移 = +, > 0 如右圖可知, L 不通過第三象限 答案選 () 係數為負 99
如圖 ( 五 ), 坐標平面上有 (,) (,-) 兩點 96 年第二次基測 過 兩點作直線 L 後, 判斷下列哪一點與直線 L 的 距離最短? ()(,-) ()(,) ()(0,- ) ()(0,-) 重點 : 直角座標與函數圖形 設直線 L 的方程式為 = + b, 通過 與 兩點 則 + b = Λ Λ () + b = Λ Λ = 6 6 = () 利用加減消去法, 將 ()-() 可得 : 6 6, 將 = 代入 (), 得 b = 直線 L 方程式為 = 因 (,-) (,) 與 (0,- ) 都在直線 L 外, 只有 (0,-) 在直線 L 上 所以 (0,-) 與直線 L 的距離最短 請閱讀下列的敘述後, 回答第 9 題和第 0 題 如右圖, 坐標平面有一正方形, 的坐標分別為 (,) (, ) 已知甲 乙兩人在 點第 次相遇後, 甲自 點方向以每秒 公尺的速率, 甲 (,) 乙 沿著正方形的邊以逆時針方向等速行走 ; 乙自 點以每秒 b 公尺的速率, 沿著正方形的邊以順時針方向等速行走 9 年第二次基測 (-,-) 若 = 7 b, 則甲 乙第 次相遇在何處? () (, 0 ) () ( 0, ) () ( 0, ) () (, ) 重點 : 平面直角座標綜合性質與推理 甲走 7 步, 乙走 步, 以 點為出發點, 走一次要 8 步 甲走 7 步到達 (, 0 ), 乙走 步到達 (, 0 ) 因此甲 乙第 次相遇在 (, 0 ) 7 步 7 步 7 步 甲 (,) (,0) (,-) (0,-) (-,-) (-,0) (-,) (0,) (,) 乙 (,) (,0) (,-) (0,-) (-,-) (-,0) (-,) (0,) (,) 步 步 步 答案選 () 00
若 7 b, 且甲 乙第 次相遇在 點, 則此兩人第 9 次相遇在何處? () 點 () 點 () 點 () 點 重點 : 平面直角座標綜合性質與推理 甲 乙第 次相遇在 點且甲 乙第 次相遇在 點 可推得甲 乙的速率比為 : 甲 乙第 次相遇在 點 甲 乙第 次相遇在 點 步 步 步 甲乙 (,) (,) (,-) (,-) (-,-) (-,-) (-,) (-,) (,) (,) (,-) (,-) 步 步 步 甲 乙第 次相遇在 點 甲 乙第 6 次相遇在 點 Μ Μ Μ 9 = K, 因此可知兩人第 9 次相遇在何處 點 答案選 () 6 坐標平面上, 若點 (, ) 在直線 = 上, 則 =? 模擬 9 年第一次基測 7 9 () () () () 6 重點 : 二元一次方程式的圖形 將 (, ) 代入 = ( ) = = = = 6 9 6 = 9 = 答案選 () 7 附圖為五個點 在 L : = 的直線方程式之上 今有一點 P (, ) 亦在直線 L 上且距離 點 單位, 距離 站 單位, 則下列何者表示正確? () < < () < < 0 () 0 < < 0 () 0 < < 重點 : 坐標平面的距離 因為 L : = + 所以若由 與 的距離為, 則 坐標距離為, 點 P 的 坐標可能位置為 0 ± = 或 點 P 的 坐標可能位置為 ± = 或 所以 P 的 坐標位置應該是 < < 0 答案選 () (-,0) (0,) (,) (,) (,) G G : G : = : : L: = + 0
8 在坐標平面上, 已知直線 L 的方程式為 = m + 且 L 不通過第四象限 則下列何者為真? 模擬 9 年第一次基測 () m < 0, < 0 () m < 0, > 0 () m > 0, < 0 () m > 0, > 0 重點 : 圖形的平移 L 不通過第四象限且 L : = m + 如右圖可知, m > 0, > 0 係數為正 9 如附圖, 兩點在 軸上 今甲 乙兩車分別從 兩點 同時出發, 且分別以逆時針與順時針方向分別遶著大 小兩圓周 行駛 若甲車每 分鐘繞一圈, 乙車每 0 分鐘繞一圈, 則當乙 車剛好繞完第五圈時, 甲車位於第幾象限? 模擬 9 年第一次基測 () 一 () 二 () 三 () 四 ( 乙 ) ( 甲 ) 重點 : 平面直角座標綜合性質與推理 0 0 乙車 0 = 0 分, = ( 圈 ) 6 0 = = 又 0 0 0 0 =, =, = ( 如右圖 ) 0 0 0 6 0 < <, 甲車在第三象限內 0 0 答案選 () 請閱讀下列的敘述後, 回答第 題和第 6 題 如附圖, 坐標平面有一正六邊形 已知甲 乙兩人在 點 第 次相遇後, 甲自 點方向以每秒 公尺的速率, 沿著正六邊形的邊以逆時針方向等速行走 ; 乙自 點以每秒 b 公尺的速率, 沿著正方形的邊以順時針方向等速行走 模擬 9 年第二次基測 甲 乙 0 若 = b, 則甲 乙第 次相遇在哪一點? () () () () 重點 : 平面直角座標綜合性質與推理 甲走 步, 乙走 步, 以 點為出發點, 走一次要 步 0
甲走 9 步到達, 乙走 步到達, 因此甲 乙第 次相遇在 甲再走 9 步到達, 乙再走 步到達, 此甲 乙第 次相遇在 答案選 () 甲 乙 若 b, 且甲 乙第 次相遇在 點, 則此兩人第 88 次相遇在何處? () 點 () 點 () 點 () 點 重點 : 平面直角座標綜合性質與推理 甲 乙第 次相遇在 點且甲 乙第 次相遇在 點 可推得甲 乙的速率比為 : 甲 乙第 次相遇在 點 甲 乙第 次相遇在 點 甲 乙第 次相遇在 點 甲 乙第 6 次相遇在 點 甲 乙第 7 次相遇在 點 甲 乙第 8 次相遇在 點 步 步 步 甲 乙 步 步 步 步 步 步 甲 乙 步 步 步 Μ Μ Μ 88 6 = Κ, 因此可知兩人第 88 次相遇在何處 點 ( 如右表, 甲與乙的速率比也可為 : 7 : Λ 等 ) (, ) (-,b ) 在直線 - =0 上, 則 (b, ) 在第幾象限? () 一 () 二 () 三 () 四 重點 : 直角座標系 (, ) 代入 8- =0, = 8 (-,b ) 代入 --b =0,b =- (b, )=(-, 8 ), (b, ) 在第二象限 答案選 () 0
= m - n 的函數圖形, 通過 (-6,8) (-,-) 兩點, 則 m =?, n =? 重點 : 通過直線圖形的點之幾何意義 (-6,8) 代入 -6 m - n =8 (-,-) 代入 - m - n =- - - m =, m =- 代入 - n =-, n = += 答 : m =-, n = = -, =- +8 兩函數圖形與 軸所圍成的三角形面積 =? 重點 : 直線圖形的應用 = - =- +8 0-0 0 6 8 0 =- =-+8, - 0= -, = 代入, = -= P 面積 = 8-(-) = 答 : 平方單位 如附圖, 直線 L 平行直線 M, 且通過 (0,) (,0 ), 直線 M 通過 (,0), 求 直線 M 的方程式為何? 重點 : 兩直線平行的幾何意義 設 L 的方程式為 = + b, ( 0, ) 代入 =b, (,0 ) 代入 0=-+ b, 0=-+ =, L 的方程式為 = + 直線 L 平行直線 M, 直線 M 的方程式為 = +k, (,0) 代入 0=+k k=-, 直線 M 的方程式為 = - 答 : 直線 M 的方程式為 = - 0
6 下列何者最可能是 = 與 +=0 在坐標平面上之圖形? () () () () 重點 : 直線圖形的判別 = 與 +=0, 其交點為 (,-) 落在第四象限, 所以選 () 答案選 () + = + = 7 若二元一次方程式 與 有相同的解, 請問(,b )為何? = b = 7 ( )(,- )( )(,- )( )( -,)( )(, ) 重點 : 兩直線相交的應用 有相同的解 四個方程式會相交於一點 解 = + =, 可得 : =, = 代入 + = b = 7 則 =, 可得 : =, b =, 所以 + b = 7 8 如下圖, 是坐標平面上的一個方格圖, 圖中線段 ( 縱 橫各 8 條 ) 的交點稱為格子點 為給定的格子點, 在方格圖中選擇三個格子點, 使得四邊形 的面積為最大 試問下列哪一條直線與此四邊形 的一邊疊合? () + 7 = 0 () + = 0 () + 8 = 0 () + = 0 重點 : 直線方程式的圖形與解的意義 四頂點依序為 (, ),( 7,7 ),( 7,0 ),( 0,0 ) 四邊形 的面積為最大 直線方程式 + = 0 經過 (, ),( 7,7 ) 與此四邊形 的一邊疊合 答案選 () 0
9 設點 (-,b) 在第四象限, 下列四個點 (-,b) (b,b) (-b,) (,-b), 有幾個點在第一象限? () 一 () 二 () 三 () 四 重點 : 正負號的判別與象限的位置 因為點 (-,b) 在第四象限, 所以 <0,b >0 則 : (-,b) (+,+) 在第一象限 (b,b) (+,-) 在第四象限 (-b,) (-,-) 在第三象限 (,-b) (+,+) 在第一象限 答案選 () 0 設 b 為常數, 在坐標平面上, 若點 ( b, + b ) 在第四象限內, 且直線 L 的方程式為 + b + = 0, 則直線 L 不經過第幾象限? () 一 () 二 () 三 () 四 重點 : 直線方程式截距的應用 解 : (b, + b) 在第四象限 b>0, + b<0 <0,b<0 因為 + b=, 所以 0 0 b 但 - >0,- >0 ( 因為 <0,b<0) b 圖形 ( 直線 L ) 不經過第三象限 答案選 () 06