以國中幾何角度看圓錐曲線 廖偉恩 國立台中第一高級中學 Abstract In this project, we study the conic section by the method of elementary geometry. Surprisingly we finally achieve alternative proofs of the famous Brianchon s theorem and Pascal s theorem in projective geometry. 摘要 : 本文以國中所學的幾何角度來探討圓錐曲線的性質. 出乎原本預期的, 我們成功重新證明出了攝影幾何中著名的 Brianchon 定理和 Pascal 定理. 1 研究動機 高二的課程中, 由一個單元在探討圓錐曲線. 然而和國中所學的幾何不太一樣, 高中的圓錐曲線完全是放在座標平面上, 以解析方法去研究. 所以我們以不同的觀點, 利用國中所學的幾何知識, 去推導圓錐曲線的各樣性質. 2 研究目的 對圓錐曲線的各種性質, 給出一般的幾何證明. 最終目標是以純幾何證明出 Brianchon 定理和 Pascal 定理 ( 不用投影, 射影幾何, 解析方法 ). 3 研究過程 先定義橢圓, 拋物線, 雙曲線. 橢圓, 拋物線. 雙曲線的定義有很多種, 這裡採用的定義如下 : 1. 橢圓 : 平面上到兩定點距離合為定值的點集合. 2. 拋物線 : 平面上到一定點與一線距離相等的點集合. 3. 雙曲線 : 平面上到兩定點距離差為定值的點集合. 4. 圓錐曲線的切線定義採用阿波羅尼斯的定義 : 與圓錐曲線交於一點且全在圓錐曲線外的直線. 1
由於拋物線 ( 一焦點在無限遠處的橢圓 ), 雙曲線 ( 一焦點到無窮遠, 最後從另一邊繞回來的橢圓 ) 的情形皆和橢圓類似, 這裡的圓錐曲線以橢圓作代表來說明研究過程. 首先討論光學性質 : 為何會有光學性質? 如圖 1, F 1, F 2 為兩交點. 過橢圓上一點 A 作切線. 由於切線上任一點 B 都在橢圓的外部 ( 定義 ), 因此 : F 1 A + F 2 A < F 1 B + F 2 B, 故知 A 是切線上到兩點 F 1, F 2 距離和最小的點, 因此滿足光學性質. ( 若一道光自 F 1 打到 A, 反射後的光線會過 F 2 ) 圖 1. 光學性質 如圖 2, 我們從極線和反演點的概念出發 : 自圓錐曲線外部一個已知點 P 對橢圓作兩條切線, P 的極線即為這兩個切點 P 1, P 2 所在的直線上. 另外, 極線和連心線 ( 通過 P 和圓錐曲線中心 O 之直線, 拋物線時 O 在無窮遠, 故連心線視為過 P 且垂直準線的線, 以下皆同 ) 的交點 P 稱為 P 的反演點 ( 注意 : 目前只定義 P 在圓錐曲線外部的情況 ). 圖 2. 極線與反演點 圖 3. 定理 3.1 的證明 首先, 我們有以下定理 : 定理 3.1. 對於圓錐曲線外一點, 反演點平分兩切點所形成的線段. 2
證明. 如圖 3, 假設橢圓的兩個焦點分別為 F 1, F 2, 以 F 1 為圓心, 長軸為半徑畫一圓. 設 F 1 P 1 與 F 1 P 2 分別交圓於 C 和 D, 則 C, D 分別為 F 2 對 PP 1 及 PP 2 的對稱點 ( 光學性質 ), 我們有 : S PP1 F 2 = S PP1 C, (1) S PP2 F 2 = S PP2 D. (2) 另一方面, 考慮 PP 1 F 1, PP 1 O, PP 1 F 2, 由於它們底邊相同, 高成等差數列 ( 如圖四 ), 因此 2S PP1 O = (S PP1 F 1 + S PP1 F 2 ). (3) 同理我們有 : 結合 (1), (3) 式及 (2), (4) 式, 得 2S PP2 O = (S PP2 F 1 + S PP2 F 2 ). (4) 2S PP1 O = (S PP1 F 1 + S PP1 F 2 ) = (S PP1 F 1 + S PP1 C) = S PF1 C, 2S PP2 O = (S PP2 F 1 + S PP2 F 2 ) = (S PP2 F 1 + S PP2 D) = S PF1 D. 又因為 PF 1 C = PF 1 D (SSS) ( 如圖 5) S PF1 C = S PF1 D, 即可推出 S PP1 O = S PP2 O, P 1 P = P 2 P. 圖 4 圖 5 如圖 6, 考慮 OP 與橢圓的一個交點 Q, 過 Q 的切線分別交 PP 1 於 PP 2 於 A, B, 令 A, B 為其反演點 ( 可知 A 為 AO 與 P 1 Q 的交點且 B 為 BO 與 P 2 Q 的交點 ). 由定理 3.1 我們可知 : P 1 A = A Q, (5) P 2 B = B Q. (6) 3
在三角形 PP 1 Q 中考慮截線 AO, 由孟式定理得 : P 1 A AP PO OQ QA A = 1. P 1 配合 (5) 式得 : 同理我們也有 : 由 (7), (8) 我們得知 AB P 1 P 2, 即 : P 2 B BP = OQ PO. (7) P 1 A AP = OQ PO. (8) 定理 3.2. P 的極線平行於過 Q 的切線. 圖 6. AB P 1 P 2 圖 7 另一方面 ( 如圖七 ), 由於 AQ P 1 A, 又 A 是線段 P 1 Q 的點, 因此 AP 1 A Q 為平行四邊形 (A 為 OA 與 P 1 P 交點 ). OQ PO = P 1A AP = A Q AP = A P AQ = OP OQ, ( 由 (8)) ( AP 1 A Q 為平行四邊形 ) ( QA P PAQ) 交叉相乘即得 : 定理 3.3. OQ 2 = OP OP. 現在我們引進共軛直徑的概念. 由定理二可知, 考慮圓錐曲線內任一條弦 AB, 此弦中點的與圓錐曲線中心的連線交圓錐曲線於 C, 則弦 AB 必平行於過 C 之切線. 亦即 : 4
定理 3.4. 圓錐曲線內所有平行的弦, 其中點都在同一條直線上. 稱此線為這些平行弦的共軛直徑. ( 如圖 8) 圖 8. 共軛直徑 再配合定理 3.3, 我們可以定義反演點與極線, 當給定點在圓錐曲線內的情況 : 給定圓錐曲線內一點 P, 其反演點 P 為 OP 上滿足 OP OP = OQ 2 的點 ( 其中 Q 為直線 OP 與橢圓的交點, 若為拋物線則為 PQ = QP ). 而極線即為過反演點 P 且平行於 OP 共軛直徑的直線. 可知, 若 P 的反演點為 P, 則 P 的反演點為亦為 P. 特別的, 當 P 在圓錐曲線周上時, P 的反演點就是自己, 極線就是過 P 的切線. 定理 3.5. 若 P 的極線過 Q, 則 Q 的極線也過 P. 在證明定理 3.5 之前, 先證明一個引理 ( 如圖 9): 引理. 若圓錐曲線與三角形的三邊都相切, 則分別將三個頂點與其對應邊上的切點相連, 此三線共點. 圖 9. AD, BE, CF 共點 圖 10. 引理的證明 引理的證明 ( 如圖 10): D, E, F 分別為 BC, CD, AB 上的切點. 由於 OA 過 FE 之中點, 因此 : S AOF = S AOE. 5
同理我們也有 : S BOD = S BOF, S COE = S COD. 考慮西瓦定理 : 故 AD, BE, CF 三線共點, 引理得證. AF FB BD DC CE EA = S AOF S BOF S BOD S COD S COE S AOE = 1, 圖 11. E, F, P 三點共線 回到定理 3.5 ( 如圖 11), Q 為 P 的極線 P 1 P 2 上一點, Q 的兩條切線交 PP 1 於 A, B, 交 PP 2 於 C, D. 考慮三角形 AP 2 B 與三角形 DP 1 C, 因為 AD, P 2 P 1, BC 交於一點 (Q), 由笛沙格定理得 : E, F, P 三點共線. 又由引理知 : PF 過 AD 上的切點, PE 過 BC 上的切點. 因此知道 EF 就是 Q 的極線, 所以 Q 的極線過 P, 定理 3.5 得證. ( 事實上, 上述只證了 Q 在圓錐曲線外部之情況, 再配和笛沙格定理可知 Q 在圓錐曲線內部也成立 ) 由於 AP 1 P 2 DPQ 構成完全四邊形, 立即可得 : QGP 1 P 2 成調和四元組, 因此我們得到 : 定理 3.6. 過一點 P 作一直線與圓錐曲線交於 A, B, AB 和 P 的極線相交於 Q, 則 P, Q 調和分割 A, B. 6
圖 12. QGP 1 P 2 成調和四元組 圖 13. 定理 3.6 利用定理 3.6, 我們可以證明定理 3.7: 定理 3.7. 過圓錐曲線外一點 P 作兩直線與圓錐曲線分別交於 A, B 和 C, D, AC 和 BD 交於 S, AC 和 BD 交於 R, 則 RS 為 P 的極線 ( 如圖 13). 證明. 考慮完全四邊形 ABCDPS, 我們有 : PEAB 為調和四元組, PFDC 為調和四元組. 由定理六知 E, F 皆在 P 的極線上, 故 RS 為 P 的極線. 7
圖 14. 定理 3.7 定理 3.7 直接給出了高斯作切線的方法的證明了 : 如何只用直尺作出圓錐曲線外一點對圓錐曲線的切線? 另外一方面, 配合定理五及定理七, 我們還有以下結論 : 定理 3.8. 若一個圓錐曲線與四邊形 ABCD 四邊都相切, 切點分別為 E, F, G, H, 則 AC, BD, EG, HF 四線共點. 圖 15. 定理 3.8 證明. ( 如圖 15) 設 I 為 EG 和 FH 的交點. 延長 EH, FG 交於 J, 由定理七得知 I 在 J 的極線上. 又由於 A 的極線 EH 和 C 的極線 FG 皆過 J, 由定理五知 AC 為 J 的極線, 故 I 在直線 AC 上. 同理可得 I 在直線 BD 上, 故定理 3.8 得證. 由定理 3.8, 我們就可以證明著名的 Brianchon 定理了! 定理 3.9. Brianchon 定理 : 圓錐曲線外切六邊形三條對角線必共點. 證明. ( 如圖 16) 設六個頂點分別為 A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6, 六個切點分別為 B 1, B 2, B 3, B 4, B 5, B 6. 由定理 3.8 知道 B 2 B 3, B 1 B 4, A 2 A 4 共點 ( 令為 P). 考慮 A 2 B 2 C 和 A 4 B 3 D, 由笛沙格定理的 A, Q, E 共線, 及 Brianchon 定理得證. 8
圖 16. Brianchon 定理 再由 Brianchon 定理來導 Pascal 定理 : 對六邊形 B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 來說, 三組對邊的交點 P 1, P 2, P 3 分別為 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 三條對角線的極點. 舉例來說, P 1 為 B 2 B 3 和 B 5 B 6 的交點, 因 A 3 的極線 B 2 B 3 過 P 1, A 6 的極線 B 5 B 6 也過 P 1, 所以 A 3 A 6 為 P 1 的極線. Brianchon 定理說 A 3 A 6, A 1 A 4, A 2 A 5 共點 (Q), 所以 P 1, P 2, P 3 共線 (Q 的極線 ). 定理 3.10. Pascal 定理 : ( 圓錐曲線 ) 內接六邊形中, 三條對邊的交點共線. 因此我們成功的以國中幾何的方法證明出了 Brianchon 定理和 Pascal 定理! ( 用到的迪沙格定理可用孟氏定理證明. ) 4 未來展望 此處證明了射影幾何中重要的 Brianchon 定理和 Pascal 定理, 我想繼續探討是否亦可以用國中幾何的方法來證明彭賽列閉合原理. 在三天的競賽過程中, 對彭賽列閉合原理的證明有了一些進展, 我們已經可以證明出最基本的三角形情況! 而多邊形情形還有待探討. 對彭賽列閉合原理三角形的情況 : 如圖 17. 設 A, B, C 皆在圓錐曲線 c 1 上, 且其三邊分別與圓錐曲線 c 2 相切. 對於圓錐曲線 x 1 上另外三點 D, E, F, DE, EF 與圓錐曲線 c 2 相切, 我們要證明 DF 也與圓錐曲線 c 2 相切. 首先由帕斯卡定理得 J 2, J 3, J 5 共線. 接著, 由帕普斯定理得 J 2, J 4, J 5 共線. 再一次帕普斯定理得 J 2, J 4, J 1 共線. 合併上三式得 J 2, J 3, J 1 共線. 最後, 對六邊形 I 1 I 2 J 3 I 4 I 3 I 2, 因布里昂雄定理, DF 也與圓錐曲線 c 2 相切. 這就證明了彭賽列閉合原理三角形的情況. 期待多邊形的情況也可用類似解法做出來. 9
圖 17. 彭賽列閉合原理 參考文獻 [1] 黃家禮 ; 幾何明珠, 2000 年, pp. 224-236. [2] 海因里希 - 德里 ; 100 個初等數學問題, 1999 年. 10