第 頁共 5 頁 ( 卷 ) 壹 多重選擇題 說明 : 第 -5 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個選項是正確的 請選出正確 選項, 標示在答案卡之 解答欄 每題各選項獨立計分, 每答對一個 選項, 可得 點 ; 每答錯一個選項, 倒扣 點, 完全答對得 0 點 整題未 作答者, 不給分亦不

大學入學考試中心指定科目考試研究用試卷 數學考科 ( 卷 ) 試題第一部份 作答時間 :40 分鐘作答方式 : 選擇題用 B 鉛筆在 答案卡 上作答, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液 非選擇題用黑色或藍色原子筆, 直接作答於試題所標示的答案欄內 祝考試順利 本試卷之著作權屬於財團法人大學入學考試中心基金會 本試卷 ( 含參考答案 ) 預定於 95 年 5 月 5 日公布在大考中心網站 http://www.ceec.edu.tw

第 頁共 5 頁 ( 卷 ) 壹 多重選擇題 說明 : 第 -5 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個選項是正確的 請選出正確 選項, 標示在答案卡之 解答欄 每題各選項獨立計分, 每答對一個 選項, 可得 點 ; 每答錯一個選項, 倒扣 點, 完全答對得 0 點 整題未 作答者, 不給分亦不扣分 若在備答選項以外之區域劃記, 一律倒扣 點. 設直線 L :x + 4y = 0, L :x+ 4y = 0, 請問下列敘述何者正確? () L 與 L 的距離為 () 向量 ( 4, ) 與直線 L 垂直 () 向量 ( 4,) 與 L 平行 (4) 向量 u = (,) 在 L 上的投影長度為 5 4 (5) 點 (,) 在 L 上之正射影為點, 5 5. 令 a n 和 b n 分別為複數 + i 4 4 列敘述何者正確? () a n 不等於零, 對所有的 n 皆成立 () b n 不等於零, 對所有的 n 皆成立 () 當 n 趨近無窮大時, 數列 b, b, b, 趨近零 (4) 對所有 n, 等式 4an+ + an+ + an = 0恆成立 (5) 對所有 n, 等式 4bn+ + bn+ + bn = 0恆成立 n 的實部與虛部, 其中 n 為自然數 請問下

第 頁共 5 頁 ( 卷 ). 設 a b <, 我們以 [, ] ab 表示所有滿足不等式 a x b 的範圍, f ( x) = x x+ 7是一實係數多項式, 請問下列選項何者正確? () 函數 ( ) () ( ) 0 f x 在 [,] f x = 在 [,] 上遞減 上沒有解 ( 根 ) () f( x ) = 0至少有一實根 (4) f( x ) = 0的實根都大於 (5) f( x ) = 0有三個相異實根 4. 在一個監獄裡有 n 名囚犯被手銬銬住排成一列等待偵訊 偵訊的過程中, 由 於避免串供, 要在這 n 名中取出若干不相鄰的囚犯 舉例而言, 若共有 6 名 囚犯, 編號為,,, 4,5,6, 則可取,, 6 等三人, 亦可取, 4 等兩人 單單取 其中任何一人亦可 考慮在 n 個囚犯的情形下, 共有 Fn ( ) 個取法 請問以下 哪些選項是正確的? () F() + F() + F() = 7 () 如果有 0 個囚犯, 編號為,,, 4 0, 則在選取的方法中包含 0 號的 有 F (8) + 種 () 對所有 n 而言, Fn ( ) = Fn ( ) (4) 對所有 n 而言, Fn ( ) = Fn ( ) + Fn ( ) + (5) F (4) =

第 頁共 5 頁 ( 卷 ) 5. 某一實驗測得 5 組樣本點 ( x, y ),( x, y ), (, ) 5 yi i = = 5 y = 5 i= ( xi x)( yi y) 5, ( xi x) = 64, ( yi y) i= 5 i= = 0, 請問下列敘述何者正確? () x 與 y 之相關係數為 0 () 用最小平方法求得之迴歸直線之斜率不為 0 () 用最小平方法求得之迴歸直線之截距為 (4) 迴歸直線通過點 (,) 5 i i 的最小值為 i= (5) ( y α βx ) x y, 已知 5 5 = 44, 及 5 xi i = =, 5 x = 貳 選填題 說明 :. 第 A 題, 將答案劃記在答案卡之 解答欄 所標示的列號 (6 8). 每題完全答對得 0 點, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 同時丟擲四顆完全相同的骰子, 出現的情形共有 6 7 8 種 ( 由於四顆 骰子完全相同, 我們只考慮每個點數出現的次數 例如四顆骰子分別出現 (,,,4) 與 (,,4,) 視為相同的情形, 亦即只要有二個出現, 另外二個分別出現 和 4, 都視為和 (,,,4) 相同, 因為我們都只看到兩個 點, 一個 點, 一個 4 點 )

第 4 頁共 5 頁 ( 卷 ) ( 卷 ) 試題第二部份 說明 : 此題為計算證明題, 請在非選擇題答案卷上之作答區內作答, 並從作答 區第一大題方格下方開始連續作答, 且標明你作答的題號 第一題 求證 + 是無理數 背面尚有問卷

大學入學考試中心指定科目考試研究用試卷 數學考科 ( 卷 ) 試題第一部份 作答時間 :40 分鐘作答方式 : 選擇題用 B 鉛筆在 答案卡 上作答, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液 非選擇題用黑色或藍色原子筆, 直接作答於試題所標示的答案欄內 祝考試順利 本試卷之著作權屬於財團法人大學入學考試中心基金會 本試卷 ( 含參考答案 ) 預定於 95 年 5 月 5 日公布在大考中心網站 http://www.ceec.edu.tw

第 頁共 5 頁 ( 卷 ) 壹 多重選擇題 說明 : 第 -6 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個選項是正確的 請選出正確 選項, 標示在答案卡之 解答欄 每題各選項獨立計分, 每答對一個 選項, 可得 點 ; 每答錯一個選項, 倒扣 點, 完全答對得 0 點 整題未 作答者, 不給分亦不扣分 若在備答選項以外之區域劃記, 一律倒扣 點. 設 A = 0, 而 B, C 為二階方陣, 請問下列敘述何者正確? () 若 AB = D, 則 D 與 B 有一列相同 () 若 BA= E, 則 E 與 B 有一行相同 0 0 () 若 AB = 0 0, 0 0 則 B = 0 0 0 0 (4) 若 CA = 0 0, 0 0 則 C = 0 0 0 0 (5) 若 BC = 0 0, 0 0 則 B 0 0 = 0 0 或 C = 0 0. A 袋中有 個白球 個黑球, 我們以坐標平面上的點 A 0 = (,) 記錄, 而 B 袋 中有 個白球 5 個黑球, 我們以坐標平面上的點 B 0 = (, 5) 記錄 現從袋 A 中 任選出一球放入袋 B 中, 放入之後將袋 A 及袋 B 中的白球及黑球, 仿點 A, 0 B 0 分別註記為點 A 和 B, 再從袋 B 中任選一球放入袋 A 中, 放入之後將袋 A 及袋 B 中的白球及黑球, 仿點 A0, B 0分別註記為點 A 和 B, 由此可知 : () PA= ( (,0)) = () PA= ( (,0) 且 B = (, 6)) = 0 () PA= ( (,)) = (4) 原點, A 和 B 三點形成直角三角形的機率是 (5) 原點, A 和 B 共線的機率是 0

第 頁共 5 頁 ( 卷 ). 量測 7 位同學之身高 ( 以英吋為單位 ) 及體重 ( 以磅為單位 ), 將身高及體 重分別記為 H 及 W, 資料如下 : 身高 ( H ) 65 66 66 67 68 68 69 體重 (W ) 4 6 8 4 0 6 現將身高減去 67, 體重減 0 後再除以, 將新得的這兩個度量分別記為 Y 及 X, 得到新資料如下表 : Y y = y = y = y 4 = 0 y 5 = y 6 = y 7 = X x = x = x = x 4 = x 5 = x 6 = 0 x 7 = 7 S 表 y,... y 7這組資料的標準差, 則 Sy = ( yi y) =, 另以 S x 表 x,... x 7這 7 i= 7 以 y 7 組資料的標準差, 則 Sx = ( xi x) = 4, X 與 Y 之相關係數為 0.87, 及用最小 7 i= 平方法求得 Y 為 X 之迴歸直線斜率為 0.87 4 請問下列敘述何者正確? 7 () 身高與體重之相關係數為 0.87 () 體重的標準差為 4 磅 () 體重的算術平均數為 0 磅 (4) 用最小平方法求得 H 為 W 之迴歸直線斜率為 0.5 0.87 4 7 (5) 若多測得一位身高為 69 英吋, 體重為 4 磅, 則求得之身高與體重的相關係數 會大於 0.87 4. ( ) = ( ) + 和 gx ( ) = ( x ) + 為多項式函數, 其中 f ( x ) 與 gx ( ) 的乘積 f x x x 表示為 f ( x) g( x), 請問下列敘述何者正確? () f ( x ) 除以 gx ( ) 的餘式之次數為 4 () f ( x) g( x) 的 x 項係數小於 f ( x) g( x) 的 x 項係數 () f ( x) g( x) 的 x 項係數小於零 (4) f ( x) g( x) 各項係數的和不等於 ( f ( x) g( x)) 各項係數的和 (5) ( gx ( )) 除以 f ( x ) 的餘式之次數為

第 頁共 5 頁 ( 卷 ) 5. 設 ( ) = + + 為二次實係數多項式函數, 若函數圖形通過 (,4) 且圖形 f x x ax b 與 x 軸不相交, 請問下列敘述何者正確? () a > () f ( x ) 的最小值一定小於 4 () f(0) < f( ) (4) f () > f (0) (5) f (4) > f () 6. z 是不為零的複數 請問下列敘述何者正確? () 如果 z + 是整數, 則 z z + 也是整數 z () 如果 z + 是有理數, 則 z 也是有理數 z () 如果 z 和 z 的實部相乘小於, 則 z 不是實數 (4) 如果 z 不是實數, 但 z + 是實數, 則 z = z (5) 如果 z 和 z + 的虛部都是正數, 則 z > z

第 4 頁共 5 頁 ( 卷 ) ( 卷 ) 試題第二部份 說明 : 此題為計算證明題, 請在非選擇題答案卷上之作答區內作答, 並從作答 區第一大題方格下方開始連續作答, 且標明你作答的題號 第一題 在一個監獄裡有 n 名囚犯被手銬銬住排成一列等待偵訊 偵訊的過程中, 由於 避免串供, 要在這 n 名中取出若干不相鄰的囚犯 舉例而言, 若共有 6 名囚 犯, 編號為,,, 4,5,6, 則可取,, 6 等三人, 亦可取, 4 等兩人 單單取其中 任何一人亦可 考慮在 n 個囚犯的情形下, 共有 Fn ( ) 個取法 請問 : () F() + F() + F() 是多少? () 已知 Fn ( ) = afn ( ) + bfn ( ) + c, 其中 n, 且 abc,, 為整數, 求 abc,, 之值 () 請算出 F (6) 的值 背面尚有問卷

大學入學考試中心指定科目考試研究用試卷 數學考科 ( 卷 ) 試題第一部份 作答時間 :40 分鐘作答方式 : 選擇題用 B 鉛筆在 答案卡 上作答, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液 非選擇題用黑色或藍色原子筆, 直接作答於試題所標示的答案欄內 祝考試順利 本試卷之著作權屬於財團法人大學入學考試中心基金會 本試卷 ( 含參考答案 ) 預定於 95 年 5 月 5 日公布在大考中心網站 http://www.ceec.edu.tw

第 頁共 5 頁 ( 卷 ) 壹 多重選擇題 說明 : 第 - 題, 每題有 4~5 個選項, 其中至少有一個選項是正確的 請選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄 每題各選項獨立計分, 每答對一個選項, 可得 點 ; 每答錯一個選項, 倒扣 點, 完全答對得 0 點 整題 未作答者, 不給分亦不扣分 若在備答選項以外之區域劃記, 一律倒扣 點. 設 A = 0, 而 B, C 為二階方陣, 請問下列敘述何者正確? () 若 AB = D, 則 D 與 B 有一列相同 () 若 BA= E, 則 E 與 B 有一行相同 0 0 () 若 AB = 0 0, 0 0 則 B = 0 0 0 0 (4) 若 CA = 0 0, 0 0 則 C = 0 0 0 0 (5) 若 BC = 0 0, 0 0 則 B 0 0 = 0 0 或 C = 0 0. 設 f ( x) x ax b = + + 為二次實係數多項式函數, 若函數圖形通過 (,4) 且圖形 與 x 軸不相交, 請問下列敘述何者正確? () a > () f ( x ) 的最小值一定小於 4 () f(0) < f( ) (4) f () > f (0) (5) f (4) > f ()

第 頁共 5 頁 ( 卷 ). 設直線 L :x + 4y = 0, L :x+ 4y = 0, 請問下列敘述何者正確? () L 與 L 的距離為 () 向量 ( 4, ) 與直線 L 垂直 () 向量 ( 4,) 與 L 平行 (4) 向量 u = (,) 在 L 上的投影長度為 5 4 (5) 點 (,) 在 L 上之正射影為點, 5 5 貳 選填題 說明 :. 第 A 至 C 題, 將答案劃記在答案卡之 解答欄 所標示的列號 (4 9). 每題完全答對得 0 點, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 有一個美國人腦幹中風, 全身癱瘓, 無法言語, 只剩下左眼還能眨眼 儘管如此, 此人意識相當清醒, 能清楚聽見外界的聲音 醫師訓練他能用眨眼的方式來跟外界溝通, 希望他能用眨眼的方式表達 6 個英文字母 這位病人在每一秒鐘必須決定眨眼或是不眨眼一次, 為了能表達 6 個英文字母, 每個字 母需以數秒鐘的眨眼與不眨眼之組合來表示, 試問每個字母最少需要 4 秒

第 頁共 5 頁 ( 卷 ) B. 同時丟擲四顆完全相同的骰子, 出現的情形共有 5 6 7 種 ( 由於四顆 骰子完全相同, 我們只考慮每個點數出現的次數 例如四顆骰子分別出現 (,,,4) 與 (,,4,) 視為相同的情形, 亦即只要有二個出現, 另外二個分別出現 和 4, 都視為和 (,,,4) 相同, 因為我們都只看到兩個 點, 一個 點, 一個 4 點 ) C. 有六個用鐵絲網編成的 田 字形正方形 每個正方形都是邊長 英尺的正 方形, 並且都由 4 個邊長 英尺的正方形組成, 如圖 將此六個田字形的邊連 在一起, 這六個田字形所在的平面恰為一個正立方體的六個平面 若我們將 此立方體放在空間座標中, A 頂點的座標是 ( 0,0,0 ), B 頂點的座標是 (,, ), 其他頂點座標分別為 (,0,0),(0,,0), (0,0,), (,,0), (,0,), (0,,) 有一隻螞蟻想要從方格的 A 點, 沿著立方體的外圍爬到 B 點 ( 如 圖 ) 螞蟻只能朝 x, yz, 的正向前進, 並且只能在鐵絲交會處改變方向, 而這 些交會處的 ( x, yz, ) 座標都是整數的點 例如 ( 0,, ) 或 (, 0, 0 ) 是可以改變方向 的點 則此螞蟻由 A 走到 B 共有 8 9 種走法

第 4 頁共 5 頁 ( 卷 ) ( 卷 ) 試題第二部份 說明 : 此題為計算證明題, 請在非選擇題答案卷上之作答區內作答, 並從作答 區第一大題方格下方開始連續作答, 且標明你作答的題號 第一題 在一個監獄裡有 n 名囚犯被手銬銬住排成一列等待偵訊 偵訊的過程中, 由於 避免串供, 要在這 n 名中取出若干不相鄰的囚犯 舉例而言, 若共有 6 名囚 犯, 編號為,,, 4,5,6, 則可取,, 6 等三人, 亦可取, 4 等兩人 單單取其中 任何一人亦可 考慮在 n 個囚犯的情形下, 共有 Fn ( ) 個取法 請問 : () F() + F() + F() 是多少? () 已知 Fn ( ) = afn ( ) + bfn ( ) + c, 其中 n, 且 abc,, 為整數, 求 abc,, 之值 () 請算出 F (6) 的值 背面尚有問卷

大學入學考試中心指定科目考試研究用試卷 數學考科 ( 卷 4) 作答時間 :60 分鐘作答方式 : 選擇題用 B 鉛筆在 答案卡 上作答, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液 祝考試順利 本試卷之著作權屬於財團法人大學入學考試中心基金會 本試卷 ( 含參考答案 ) 預定於 95 年 5 月 5 日公布在大考中心網站 http://www.ceec.edu.tw

第 頁共 7 頁 ( 卷 4) 壹 單選題說明 : 第 題, 選出一個最適當的選項, 劃記在答案卡之 解答欄 答對得 0 點, 答錯或劃記多於一個選項者倒扣 點, 倒扣到本大題之實得分數為 零為止 未作答者, 不給分亦不扣分. 如下圖,OSQ 為一直角三角形, SQ 切圓 O 於 R, 且 RP OQ 令 ROP = θ, 若圓 O 之半徑為, 考慮下列各線段 : (a)os (b) SR (c) RQ (d) SQ (e) PQ (f) OP (g)oq (h) RP 則與 sin θ cos θ tan θ cot θ sec θ csc θ 分別對應之上述線段依序為 : () fhcgab () hfcbga () fhcgba (4) hfcgab (5) agdhbc

第 頁共 7 頁 ( 卷 4) 貳 多重選擇題 說明 : 第 -0 每題有 5 個選項, 其中至少有一個選項是正確的 請選出正確選 項, 標示在答案卡之 解答欄 每題各選項獨立計分, 每答對一個選 項, 可得 點 ; 每答錯一個選項, 倒扣 點, 完全答對得 0 點 整題未作 答者, 不給分亦不扣分 若在備答選項以外之區域劃記, 一律倒扣 點. 下列各數何者為正? () 4 () log log () log (4) (.0) 00 (5) ( 00! ) 0 ( 0! ) 00. 請選出正確的選項? () 如果 a 是無理數, 則 a 也是無理數 () x + x+ = 0的解是無理數 () y > 0, 如果 5 y 和 (4) z 是無理數, 則 log0 y 都是有理數, 則 y 也是有理數 z 也是無理數 (5) n 為大於 的自然數, 則 n 是無理數 4. 數 z = + i下列敘述有哪些是正確的? π () z 的幅角是 6 π () z = i的幅角是 6 π π () z 00 = 00 (cos isin ) (4) 00 π π z = 00 (cos + isin ) π π (5) 若 w= sinα + icosα, 則 z w= [sin( α + ) + icos( α + )]

第 頁共 7 頁 ( 卷 4) 5. 我們以 [ ab, ] 表示所有滿足不等式 a x b的範圍, 數多項式, 請問下列選項何者正確? () 函數 ( ) () ( ) 0 f x 在 [,] f x = 在 [,] 上遞減 上沒有解 ( 根 ) () f( x ) = 0至少有一實根 (4) f( x ) = 0的實根都大於 (5) f( x ) = 0有三個相異實根 f ( x) = x x+ 7是一實係 6. L L L 及 L 4 為坐標空間中的四條直線, 其方程式如下 : L 的直線參數方程式為 x = + t, y = t, z = 5t, 其中 t R L 的直線對稱比例式為 x + = y = z L 的直線參數方程式為 x = t, y = + t, z = t, 其中 t R L 4 的直線對稱比例式為 x y z + = = 0 請問下列敘述何者正確? () L L 互為歪斜線 () L L 不相交且恰有一平面包含 L 及 L () L L 4 相交且恰有一平面包含 L 及 L 4 (4) L L 不相交且恰有一平面包含 L 及 L (5) L L 4 相交且恰有一平面包含 L 及 L 4

第 4 頁共 7 頁 ( 卷 4) 7. 將某班 9 位同學數學成績之原始數據, 用 5 分為組距畫成如下之直方圖, 請問下列敘述何者正確? 個數 0 8 6 8 0 7 4 0 55 60 65 70 75 80 85 分數 () 原始數據之中位數介於 65 至 70 之間 () 原始數據之四分位差比 5 小 ( 四分位差等於第三四分位數減去第一四分位數 ) () 原始數據之全距為 0 (4) 原始數據之算術平均數必大於 65 (5) 隨機抽取一位同學, 其成績大於 78 分之機率為 9 8. 下列為亂數表的一部份 0805 777 458 74 5 785 774 7740 46 000 455 647 948 665 696 870 766 990 6854 45 4647 56788 9697 788 甲班有 60 位同學, 編號為 ~60 號, 現在要利用上面之亂數表中的某一點, 以簡單隨機抽樣方式由甲班中抽取 4 個同學, 請問下列哪些抽樣結果是不正確的?( 由於母體個數小於 99, 所以只用亂數之個位與十位 ) ()5 4 48 4 ()5 7 8 5 ()7 0 5 5 (4)4 5 7 (5)5 7 8 74

第 5 頁共 7 頁 ( 卷 4) 9. 設直線 L :x + 4y = 0, L :x+ 4y = 0, 請問下列敘述何者正確? () L 與 L 的距離為 () 4, 是直線 L 的法向量 5 5 () 向量 ( 4,) 與 L 平行 (4) 向量 u = (,) (5) 向量 u = (,) 在 在 L 上的投影長度為 5 4 L 上之正射影為, 5 5 0. A 袋中有 個白球 個黑球, 我們以坐標平面上的點 A 0 = (,) 記錄, 而 B 袋中有 個白球 5 個黑球, 我們以坐標平面上的點 B 0 = (, 5) 記錄 現從袋 A 中任選出一球放 入袋 B 中, 放入之後將袋 A 及袋 B 中的白球及黑球, 仿點 A, 0 B 0 分別註記為點 A 和 B, 再從袋 B 中任選一球放入袋 A 中, 放入之後將袋 A 及袋 B 中的白球及黑 球, 仿點 A0, B 0分別註記為點 A 和 B, 由此可知 : () A = (,0) 的機率是 () A = (,0) 且 B = (, 6) 0 () A = (,) 的機率是 的機率是 (4) 原點, A 和 B 三點形成直角三角形的機率是 (5) 原點, A 和 B 共線的機率是 0

第 6 頁共 7 頁 ( 卷 4) 參 選填題 說明 :. 第 A 至 B 題, 將答案劃記在答案卡之 解答欄 所標示的列號 ( ). 每題完全答對得 0 點, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 有一個美國人腦幹中風, 全身癱瘓, 無法言語, 只剩下左眼還能眨眼 儘管如此, 此人意識相當清醒, 能清楚聽見外界的聲音 醫師訓練他能用眨眼的方式來跟外界溝通, 希望他能用眨眼的方式表達 6 個英文字母 這位病人在每一秒鐘必須決定眨眼或是不眨眼一次, 為了能表達 6 個英文字母, 每個字 母需以數秒鐘的眨眼與不眨眼之組合來表示, 試問每個字母最少需要 秒 B. 有一個邊長 英尺的實心立方體懸在空中, 方格的每一面都被分割成四個 平 方英尺的正方格 有一隻螞蟻想要從方格的 A 點, 沿著立方體的外圍爬到 B 點 ( 如圖 ) 若我們將此立方體放在空間座標中, A 的座標是 ( 0,0,0 ), B 的 座標是 (,, ) 螞蟻只能朝 x, yz, 的正向前進, 並且只能在 (,, ) x yz 座標都是 整數的點改變方向, 例如 ( 0,, ) 或 (, 0, 0 ) 是可以改變方向的點 則此螞蟻由 A 走到 B 共有 種走法

( )

+ p + + =, pq q p + = = p q q p q p p = + q q p p = q q p q p q = + + ( + ) ( + ) =+ 6 +=5+ 6 6 6 6

a 6 6 = b ab, b >, a 6 = a b b a b a 6 b = a 6 6 = b ab, b >, ( ) 6 6 ( 6 ) a = b a 6 = a = 6b b a = 6b a a m = ( m z) b a () 6 b = a = ( m) = 4m 6b = 4 m,b = m b b () ()() a b ab, 6 5+ 6 +

大學入學考試中心指定科目考試數學科預試卷解答 ( 卷 ) 一 選擇題答案 題號答案 4 45 4 4 5 45 6 45

二 非選擇題答案 第一題 在一個監獄裡有 n 名囚犯被手銬銬住排成一列等待偵訊 偵訊的過程中, 由於避 免串供, 要在這 n 名中取出若干不相鄰的囚犯 舉例而言, 若共有 6 名囚犯, 編 號為,,, 4,5,6, 則可取,, 6 等三人, 亦可取, 4 等兩人 單單取其中任何一人 亦可 考慮在 n 個囚犯的情形下, 共有 Fn ( ) 個取法 請問 : () F() + F() + F() 是多少? () 已知 Fn ( ) = afn ( ) + bfn ( ) + c, 其中 n, 且 abc,, 為整數, 求 abc,, 之值 () 請算出 F (6) 的值 參考解答 : () n =, F () = n =, 有 三種情形 F() = n =, 有, 四種情形 F() = 4 F() + F() + F() = + + 4 = 7 () 法一 : n = 4, 選一個人的有 4 種情形, 兩個人的有 種情形, 總共有 7 種情形 n = 5, 選一個人的有 5 種情形, 兩個人的有 6 種情形, 三個人的有 種情形, 總共有 種情形 F ( n) = af( n ) + bf( n ) + c F () = af() + bf () + c 4 = a + b + c ( 根據第一小題 ) F (4) = af () + bf () + c 7 = 4a + b + c F (5) = af(4) + bf () + c = 7a + 4b + c 解聯立方程式得 a = b= c= 法二 : 考慮 n 個囚犯的情形, 分三種情形討論 若第 n 個囚犯被選取, 則第 n 個囚犯不可被選取, 所以此時的選取方法共有 Fn ( ) 種 ( 至少選取兩個囚犯 ) 若第 n 個囚犯不被選取, 此時的選取方法共有 Fn ( ) 種取法

() 若第 n 個囚犯被選取, 考慮僅選取一個囚犯的情形 共有 n 個選取方法, 其中的 n 個選取方法已列於第二種情形 僅需加上 只取第 n 人, 其餘都不取的情形 所以 a = b= c= 法一 : 由上式可得 F(4) = F() + F() + = 4+ + = 7 F(5) = F(4) + F() + = 7 + 4 + = F(6) = F(5) + F(4) + = + 7 + = 0 法二 : n = 6, 選一個人的有 6 種情形, 兩個人的有 0 種情形, 三個人的有 4 種情形, 總共有 0 種情形

大學入學考試中心指定科目考試數學科預試卷解答 ( 卷 4) 一 選擇題答案 題號答案 4 5 4 4 5 4 6 45 7 5 8 5 9 45 0 45 5 5 4