一 單選題 : 103 學測 板橋高中數學科祝福您順心愉快! 5 1. 請問下列哪一個選項等於 (3 ) log 2? 3 5 (3) 5log 2 log3 (4) 5(log 2 log 3) (5) 3 log 2 板 5橋高中數學科祝福您順心愉快! (1) 5log 2 (2) 3 5log

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1 一 單選題 : 03 學測. 請問下列哪一個選項等於 (3 ) log? 3 (3) log log3 (4) (log log 3) () 3 log 板 橋高中數學科祝福您順心愉快! () log () 3 log (3 ) 解 : log 3 log, 故選 () <03 學測 > 板橋高中數學科祝福您順心愉 PA快 PB!. 令 A(, 0, ) B(, 0, ) 為坐標空間中之兩點, 且令 P 為 xy 平面上滿足 3 的點 請問下列哪一個選項中的點可能為 P? () (, 0, 0) () (,, 0) (3) (0,, 0) (4) (0, 0, 0) () (0, 0, 4) <03 學測 > PA 板橋高中數學 ( x ) 科 ( y 祝 0) 福 (0 ) 您 3, 順心愉快! 解 : 設 P(x, y, 0), PB ( x ) ( y 0) (0 ) 3, ( x ) ( y 0) (0 ) ( x ) ( y 0) (0 ) 板橋 ( x ) 高 ( x 中 ) 數學科祝福您順心愉快! x 0 P(0, y, 0), 故選 (4) 3. 在坐標平面上, 以 (, ),(, ),(, ) 以及 (, ) 等四個點為頂點的正方形, 與圓 x + y + x + y + = 0 有幾個交點? () 個 () 個 (3) 3 個 (4) 4 個 () 0 個 <03 學測 > 板橋高中數學科祝福您順心愉 y 快! 解 : 利用配方法, 得 (x +x+)+(y +y+)=, (x+) +(y+) = 表圓心 ( ), 半徑為 的圓 給定正方形與圓交於 (, 0),(0, ) 兩點, 如圖 故選 () <03 學測 > (, ) (, ) O x (, ) (, ) 4. 請問滿足絕對值不等式 4x x 的實數 x 所成的區間, 其長度為下列哪一個選項? () () (3) 3 (4) 4 () 6 <03 學測 > 解 : 4x x x 4x x x 4x 6x x x 6, 故選 (4) 板橋 4x x 高中數 x 學科 x 6 祝福您順心愉快! - -

2 . 6 設 ( ) a b, 其中 a, b為整數 請問 b 等於下列哪一個選項? <03 學測 > () C C C C () C C C (3) C C C C C C C (4) C C C () C C C C a b 解 : ( ) 展開式的一般項可表為 ( ) 其中 a, b 為非負整數且 a b 板 橋 C高 中 C 數 學 C 科祝 C 福 您 C ( 順 ) 心 C ( 愉 C快 (! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) C 0( ) C ( ) C 4( ) C 6( ) C ( ) C 3( ) C ( ) ( C C C C ) ( C C C ) 故選 () 6. 某疾病可分為兩種類型 : 第一類占 70%, 可藉由藥物 A 治療, 其每一次療程的成功率 為 70%, 且每一次療程的成功與否互相獨立 ; 其餘為第二類, 藥物 A 治療方式完全無效 在不知道患者所患此疾病的類型, 且用藥物 A 第一次療程失敗的情況下, 進行第二次療程 成功的條件機率最接近下列哪一個選項? () 0. () 0.3 (3) 0.3 (4) 0.4 () 0.4 <03 學測 > 解 : 所求 P( 第二次成功第一次失敗 ) 二 多選題 : P( 第一次失敗, 第二次成功 ) P( 第一次失敗 ) 板橋高中數學第一類科祝 70% 福您順 30% 心失敗愉快! 第二類 30% 故選 () 7 7. 設坐標平面上,x 坐標與 y 坐標皆為整數的點稱為格子點 請選出圖形上有格子點的選項 () y x () 3y 9x (3) y x 解 :() 點 (, ) 為 y = x 圖形上一點 3 3 板 () 橋 y 3x高, 中當 x數 整數學 y科 整數祝 福 y 不為整數 您順心愉快! 板橋高 中數學科祝 福您順心愉快! - - () y log9 x <03 學測 > (4) x y 3 (3) 點 (3, ) 為 y = x 圖形上一點 (4) y 3 x x 0 70% A 藥治療 0% A 藥治療 00% 成功 成功 70% 30% 0% 失敗 00%, 當 x 0 y 3 ; 當 x y () log9 3 點 (3, ) 為 y log9 x 圖形上一點 故選 ()(3)() 成功 失敗 成功 失敗

3 8. 關於下列不等式, 請選出正確的選項 <03 學測 > 板橋高中數學科祝福您順心愉快! () 3 3. () (3) (4) 解 : () () 板橋 () 3.6 高.96 中數 3 學 3.6 科祝福您順心愉快! (3) ( 0 3) (4) ( 3 3) 板橋 () 高中 數學 科祝 福 0.6 您順心愉快! 3 3 故選 ()(4) 板橋高中數學科祝 9. 一物體由坐標平面中的點 (3, 6) 出發, 福您順心愉快! 沿著向量 v 所指的方向持續前進, <03 學測 > 可以進入第一象限 請選出正確的選項 () v (, ) () v (, ) (3) v (0.00, 0) (4) v (0.00, ) (4) v ( 0.00, ) 解 : 令 A( 3, 6) () ( 3, 6) 3(, ) (0, 0) 原點, 但不過第一象限 () ( 3, 6) 4(, ) (, ) 過第一象限 (3) ( 3, 6) 4000(0.00, 0) (, 6) 過第一象限 (4) ( 3, 6) 4000(0.00, ) (, 4006) 過第一象限 () ( 3, 6) 3000( 0.00, ) (0, 994) 不過第一象限 故選 ()(3)(4) A(3, 6) O y x - 3 -

4 0. 設 f(x) 為實係數二次多項式, 且已知 f()>0,f()<0,f(3)>0 <03 學測 > 板 橋 高 中, 數請選出正確的選項 學科祝福您順心愉快! 令 g( x) f ( x) ( x )( x 3) () y = f(x) 的圖形是開口向下的拋物線 () y = g(x) 的圖形是開口向下的拋物線 (3) g() > f() (4) g(x) = 0 在 與 之間恰有一個實根 () 若 為 f(x) = 0 的最大實根, 則 g() >0 解 : 設 f ( x) k( x )( x ), 其中 k 0 () y = f(x) 的圖形為開口向上的拋物線, 如圖所示 () g( x) k( x )( x ) ( x )( x 3), 其中 k 0 其圖形為開口向上的拋物線 板 g x 橋 f x高 x 中 x 數 學 g( ) 科 f ( ) 祝 ( 福 )( 3) 您 順 0 g心 ( ) f愉 ( ) 快! (3) ( ) ( ) ( )( 3) (4) g( x) f ( x) ( x )( x 3) g( ) f ( ) ( )( 3) f ( ) 0 g( ) f ( ) ( )( 3) f ( ) 0 由勘根定理知 : 在區間 (, ) 內有一實根 () g( ) f ( ) ( )( 3) 0 ( )( 3) 0 且 3 g( ) 0 故選 (3)(4). a a a a3 設 且,,, 為等差數列, 請選出正確的選項 <03 學測 > () 若 a 0, 則 a () 若 a 0, 則 a (3) 若 a 0, 則 a (4) 若 a 0, 則 a () a a 0( a a ) 解 : () a 00 a 99d 99d 0 d a00 0 a 999d () 板 () a0橋 00 a 0高 ( 0中 00 0數 ) d 0 學 99d科 0( 祝 a 福 您順心愉快! 0 0 a ) a 000 a00 a d d d a000 a (3) 可能為負 a000 a d d d 00 (4) a000 a d d d a00 a 故選 ()(3)() 999d a a 99d d a 00 可能為正 3 x

5 . 在所謂某個年齡範圍的失業率, 是指該年齡範圍的失業人數與勞動人數之比, 以百分數 表達 ( 進行統計分析時, 所有年齡以整數表示 ) 下表為去年某國四個年齡範圍的失業率, 其中的年齡範圍有所重疊 請根據上表選出正確的選項 () 在上述四個年齡範圍中, 以 40 ~ 44 歲的失業率為最高 <03 學測 > () 40 ~ 44 歲勞動力人數多於 4 ~ 49 歲勞動力人數 (3) 40 ~ 49 歲的失業率等於 % (4) 3 ~ 39 歲勞動力人數少於 40 ~ 44 歲勞動力人數 () 如果 40 ~ 44 歲的失業率降低, 則 4 ~ 49 歲的失業率會升高 3 ~ 39 歲的失業人數 ( L ) 40 ~ 44 歲的失業人數 ( L ) 解 : 失業率 9.8% ; 失業率 3.7% 3 ~ 39 ( ) 40 ~ 44 歲的勞動力人數 ( W ) 歲的勞動力人數 W 7.08% 3 4 ~ 49 歲的勞動力人數 ( W ) 3 4 ~ 49 歲的失業人數 ( L ) 3 ~ 44 歲的失業人數 ( L L ) 失業率 ; 失業率.66% 3 ~ 44 歲的勞動力人數 ( W W ) () 失業率 3.7% 為最高, 年齡層為 40 ~ 44 歲 正確 3 W W () 失業率高不代表勞動力人數多, 例 : 3.7% 7.08%, 但 ~ 49 歲的失業人數 ( L L3 ) 3.7% 7.08% (3) 40 ~ 49 歲的失業率 40 ~ 49 歲的勞動力人數 ( W W ) L L 歲失業率, 40 ~ 44歲失業率 3. 7% L 0.37W W (4) 3 ~ % L 0.098W W L L 3 ~ 44 歲的失業率.66% L L.66%( W W ) 0.098W 0.37W 0.66 W 0.66W W 86W W W () 無法得知兩個不同年齡層的失業率總和是否保持固定 故選 ()(4) 年齡範圍 失業率 3 ~ 44 歲 3 ~ 39 歲 40 ~ 44 歲 4 ~ 49 歲.66 (%) 9.80 (%) 3.7 (%) 7.08 (%) 正確 - -

6 三 選填題 : 板橋高中 OC 數 OC 學科 O 祝 A 福您順心愉快! A. 設圓 O 之半徑為 4, 6, 交圓於點, <03 學測 > OD 切圓 O 於 D 點,B 為 A 點到 OD 的垂足, 如右邊的示意圖, 則 AB 板橋高中數學科祝福您順心愉 O 快! 解 : COD 中, CD CO DO CD 0 COD 中, sin OC 6 3 板橋高中 AB 數 AB 學 科祝 40 福 0 您順心愉快! AOB 中, sin AB OA A B C D B. 坐標平面上, 若直線 y=ax+b( 其中 a,b 為實數 ) 與二次函數 y=x 的圖形點恰交於一點, 亦於二次函數 y=(x) + 的圖形恰交於一點, 則 a =? b =? <03 學測 > y ax b 解 : y x 板 橋高 x 中 ax b數 0, 學相切科 祝 ( a ) 福 4 您 ( b ) 順 0 心 a 愉 4 b 快! y ax b y ( x ), 相切 x ( a 4) x 6 b 0 ( a 4) 4 (6 b) 0 板 ( 橋 8 高 6) 中 64 數 4 0 a a b 學 ( a科 8 a祝 6) 福 64 a您 0 順 a 心 4 b 愉快! 8a 48 0 a 6 6 4b b 9 C. 小鎮 A 距離一筆直道路 6 公里, 並與道路上的小鎮 B 相距 公里 今欲在此道路上蓋一 家超級市場使其與 A B 等距, 則此超級市場與 A 的距離須為 公里 <03 學測 > 解 : ABH 中, BH AB AH 設 PA PB x PH 6 3 x PAH 中, PA AH PH 板橋高中數學科祝福您順心 x 愉快! x 6 (6 3 x) x 36 (08 3 x x ) 3 板橋高中 x 44 x 4 3 數學科祝福您順心愉快! A B x 6 P x H - 6 -

7 D. 坐標空間中有四點 A(, 0, 0) B(3, 4, ) C(, 4,0) 與 D(, 3, ) 若點 P 在直線 CD 上變動, 則內積 PA PB x t 解 : CD (,, ) CD : y 4 t, t R 之最小可能值為? <03 學測 > 板橋高中數 z 0 學 t 科祝福您順心愉快! PA (4 t, 4 t, t), PB ( t, t, t) PA PB ( t 4)( t ) t( t 4) t( t ) 板橋高 ( t 9 t 中 0) 數 ( t 學 4 t ) 科 ( t t 祝 ) 福您順心愉快! 3t t 0 3( t t ) 3( t ) E. 設 u v 為兩個長度皆為 的向量 若 u v 與 u 的夾角為 7, 則 u 與 v 的內積為 u v 對角線向量與 u 夾角為 v 與 u 夾角為 0 u v cos0 解 : u v u 與 v 所張平行四邊形必為菱形 ( ) 7 7 板橋高中數 學 3 科祝福您順心愉快! v u v 7 u <03 學測 > - 7 -

8 F. 一個房間的地面是由 個正方形所組成, 如右圖 今想用長方形瓷磚舖滿地面, 已知每一塊長方形瓷磚 可以覆蓋兩個相鄰的正方形, 即或 則用 6 塊瓷磚舖滿房間地面的方法有幾種? <03 學測 > 解 : 一橫五直 : 種 三橫三直 :4+ 種 五橫一直 :3 種 共 = 種 - 8 -

9 G. a b 已知 是一個轉移矩陣, 並且其行列式 ( 值 ) 為 則 a + d =? <03 學測 > 板 c d橋 高中數學科祝福 8 您順心愉快! a b a c 解 : A c d 為轉移矩陣 b d, 又 8 8 a b det( A) ad bc c d 8 ad ( d)( a) ad ( a d ad) a d a d H. 如圖, 正三角形 ABC 的邊長為, 並且 ==3=, A <03 學測 > 6 已知 sin, 則正三角形 DEF 的邊長為 4 AB AE BE 解 : ABE 中, sin0 sin 4 sin AE BE 板 AE橋 高 中, 數 BE 學 科祝 福您, 順心愉快! DE <03 學測 > D, E F 3 B C - 9 -

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