(x, y, z f(x, y, z (x, y, z (.,. 5.. F = R C, V F. V ( : ( : x V, x x = x = ; (2 : k F, x V, (3 : x, y V, kx = k x ; x + y x + y, V, (V, ( V,, x V x.
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- 陶 邓
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1 ?,,,. : 5.. α R n, β R m, U R m n, Uα β ( U J(U = Uα β U T U = I UU T = I (, (., J(U = Uα β U, ( U, Uα β mn,,!.,,.?,,.,,.,,,. ( m n,,.,? : 5..2 x, x < ( x = + x + x x m + (5..2 :, A n, (I A = I + A + A A m + (5..3? x <? ρ(a <.,?, ρ(a < A <, A,!,, (.,, f(x, y, z f(x = ( f x, f y, f z (
2 (x, y, z f(x, y, z (x, y, z (.,. 5.. F = R C, V F. V ( : ( : x V, x x = x = ; (2 : k F, x V, (3 : x, y V, kx = k x ; x + y x + y, V, (V, ( V,, x V x. : =, x = x. 5.. R, V, a (a >. R. : R? C V = C n R n, C n ( R n, V : ( x = max x j ( l - ; j n (2 x = n x j ( l - ; j= ( /2 n (3 x 2 = x j 2 ( l 2 ; (4 x p = ( j= /p n x j p, p (Hölder l p p-. j=, n =, 5..2 C R (., 2 Hölder p = p = 2, Hölder p. ( 3, 5.. 3, V. l p (p ( (2. (3, Minkowski ( 4 : n x j + y j p j= /p n x j p j= 3 /p n + y j p j= /p, p. (5..
3 . 5.. l ( Lebesgue 49., F l, l 2, l, l p., L, L 2, L p, L. 2. < p <, l p,, C R n V, V, 5..2 V Manhattan ( -,, d(x, y = x y.., -? -? 5..3 ( -, ( - ( : x = x 2 = 5.. x =, - -!, V,.,. - -.(?, - -??, F n n F n, A = (a ij n n, A F = n a ij 2 i,j= A = max j n A = max i n /2 = tr(a A ( Frobenius F- n a ij i= n a ij j= ( 6, F n n, F n n. 49 Henri Léon Lebesgue(875-94,, Lebesgue. 3
4 l - l -,.??, ( α F m (F = C R, A F m n. x = (x, x 2,, x n T F n, x β = Ax α, β F n (x, y R 2, (x, y = x 2 + 2y 2 2xy, 5.. R 2 (?. x 2 + 2y 2 2xy =!,!,,,,. (,,,. ( , E ij, (. F-,, n 2 n,., F ( F = C R n V.,?, C >, x V, V (, α β V. C x α x β C (5..2 α β R 2, -, -, (/2 x x x 2 x 2 x. (5..2 C
5 5..2 V (, α β V. α β C C 2, x V, x α C x β, x β C 2 x α, (5..3,, x, x 2,, x n, V ( (, v V. α β V. α β lim x n v α = n lim x n v β =. n ( {x n } v., V n, α, α 2,, α n V, x V, x x = x α + x 2 α x n α n. V x, x 2,, x n, x = ϕ(x, x 2,, x n. y = y α + y 2 α y n α n V, x i y i, ϕ(x, x 2,, x n ϕ(y, y 2,, y n. ϕ(x, x 2,, x n ϕ(y, y 2,, y n = n = x y x y = (x i y i α i i= n x i y i α i n α i 2 n x i y i 2 i= i= i= x x, x 2,, x n α β V. x =, (5..2. x, x β. 5.., x α, x β x, x 2,, x n, f(x, x 2,, x n = x α x β x, x 2,, x n. β S = {x V x β = }. S, S, f S., f S C 2 C >. x, x/ x β S, x C α = x α C 2. x β x β 33
6 C x β x α C 2 x β..,, V = C[, ] [, ]. f = f = max f(x (5..4 x f(x dx (5..5 V.? V ( f n, f =, n 2, 2nx, x 2n ; f n = 2nx + 2, 2n < x n ;, x > n. ( 9 lim f n = n lim f n =. n, 5..3.,,.,, m n mn., F n n, F n n, A, B F n n, ( AB A B (5..6 F n n.. (, AB A B,,. 2. ( A <, A k (k, (5..6,.. F-,. 34
7 A = (a ij n n, B = (b ij n n. n n AB F = a ik b kj 2 n n n ( a ik 2 ( b kj 2 = i,j= k= i,j= k= k= n n a ij 2 b ij 2 = A F B F, i,j= i,j= ( , F- -, F,. 5.., A k A k., A <, { A k }. 5.. (, I. I = I 2 I 2.,,!(? 5..3,., ( A n., Ax x A., Ax α = A x α. (5..7, A A = Ax α x α. (5..8, ai a,., A, (5..8, x., A, x Ax =, A =,. (5..8, Ax α A = sup. (5..9 x x α 5..4 x F n, F n n F n. A F n n Ax A x (
8 5..2, (V, n, A n. A = sup x F n Ax x (5..,... A, A >, V, Ax =, A =.., (, 5 A = max Ax = Ax sup Ax = sup x = x F n x x x. (5..2 (F n,, Ax x,, (5..2 sup max. A, B F n n, (A + Bx Ax + Bx A + B = sup sup x F n x x F n x Ax Bx sup + sup = A + B. x F n x x F n x. ABx y, AB = ABy. By =, By =, AB = A B, ; By, AB = ABy By By max x F n Bx A(Bx Bx Ax sup B = A B. x F n x max x = Bx.. ( 3, , - - ( - -, , - -,, -, ( F n n ; (2 F n, F n n ; (3 F n n, F n. 36
9 (3. F n n, x F n, x = xj T (5..3 J = n i= e i ( xj T = (x, x,, x x. (5..3, ( ! : - -? F- 2-?,.,, U, V, σ Hom(U, V. σ(x σ = sup x U x (5..4 Hom(U, V U, σ(x σ x., U = V,, στ σ τ (!. (5..4, U V.. U, (5..4 σ (?, σ (. U,, σ σ : (x, y T (x, T. σ =., U, V (, σ Hom(U, V. ε >, δ >, x, y U, x y < δ, σ(x σ(y < ε, σ ( 24.,,,., 5..3., V = R[x] (
10 ( σ : n a nx n n na n. σ Hom(V, R (?. 5.. R 2,?? 2.?? 3.? ( p-, (x y, x y = x y 2?? 5. A A??? 6.?? 7. (5..3? 8.? - -,?,, (V, n, x, x 2,, x k, V, α V. lim x k α = k x, x 2,, x k,, α,. lim x k = α x k α. k 5.2. V = R ( =, V = F n, 5.2. ( 25: 5.2. {x (k } F n, x (k = (x (k, x(k 2,, x(k n, k =, 2,. x = (x, x 2,, x n F n. lim k x (k = x lim k x(k i = x i, i =, 2,, n.,, ( n.,., {x (k } F n, F n, lim k x(k = x lim k x(k x =. 38
11 ,,., x x. n n 2., A m = (a (m ij n n F n n, m =, 2,. i, j, lim m a(m ij = a ij, i, j n, {A m } A = (a ij n n, {A m } ,, lim A m = A., m 5.2. {A m } F n n, F n n, lim A m = A m A m = ( m sin m ( m 2m m 2 ( cos m lim A m = m lim A m A =. m, ( e 2 2, ( A m A, B m B, {a m } a, {b m } b, a m, b m, a, b F, lim (a ma m + b m B m = aa + bb, m lim A mb m = AB. m, P, lim P A m P = P AP. m (2 lim A m = A, F n n, A m. m (3 A m A, A m A, lim m A m = A A F n n, A : (5.2., A. I, A, A 2, A 3, (
12 ( A B, A B., A Jordan ( ; (2 J = J n (λ λ n Jordan, (, s > k, C s k = J m = J λ < λ = n =. λ m Cmλ m Cmλ 2 m 2 Cm n λ m n+ λ m Cmλ m Cm n 2 λ m n+2 λ m Cm n 3 λ m n λ m. ( A C n n. A A λ : λ,, λ =, λ = Jordan.. Jordan., x S m = m k= Ak, {S m } lim k Ak =.., A C n n, C n n, ρ(a A. 9.,. ε. B = B =, lim m Bm =, 5.2.,. A + ε A, A <. A + ε lim m Bm = , B λ, A + ε λ A., λ A + ε. ε, λ A. 4
13 5.2.3 ( Neumann 5 A, A, I A (I A = I + A + A A m + = A k. (5.2.3 k= 5.2.4,., -, {A k k =,, 2, }. n, S n = n k= A k. lim S n = S, n k= A k S, k= A k = S., k= A k ( k= A k, lim A k = ; k (2 k= A k = A, k= B k = B, a F, (A k + B k = A + B, k= aa k = aa. k= A k= a ka k., k= a ka k k= a kt k A t. k= a ka k k= a kt k J λ n Jordan, f(t = k= a kt k r. λ < r, k= a kj k, f(λ f (λ 2 f (λ (n! f (n (λ f(λ f (λ (n 2! f (n 2 (λ f (λ f(λ. 5 Carl Gottfried Neumann ( ,, (5.2.3 Neumann. 4
14 S m = m k= a kj k, S m (λ = m k= a kλ k. (5.2.2, J k = λ k Ck λk Ck 2λk 2 C n k λ k n+ λ k Ck λk C n 2 k λ k n+2... C k λk λ k,, s > k, Ck s =. m a k λ k k= S m = m a k Ck λk k= m a k λ k k= m a k Ck 2λk 2 k= m a k Ck λk k= m k= m k= a k C n k λ k n+ a k C n 2 k λ k n m a k Ck λk k= m a k λ k k= = S m (λ S m(λ 2! S m(λ S m (λ S m(λ (n! S(n m (n 2! S(n 2 m S m(λ S m (λ (λ (λ. S m (t= m k= a kt k r, λ <r, S m (λ, S m(λ, S m(λ,, S m (n (λ, lim S m(λ = f(λ, lim m m S(k m (λ = f (k (λ, k =, 2,, n., lim S m = m a k J k = k= f(λ f (λ 2! f (λ (n! f (n (λ f(λ f (λ (n 2! f (n 2 (λ f (λ f(λ f(t = k= ( t 3 k, f(j, J =
15 f(t = ( t 3, 3. J 2 f(t, f(j = k= ( J 3 k f(j = f(2 f (2 2! f (2 3! f (2 f(2 f (2 2! f (2 f(2 f (2 f(2. f (t = 3 ( t 3 2, f (t = 2 9 ( t 3 3, f (t = 2 9 ( t 3 4, f(2 = 3, f (2 = 3, f (2 = 6, f (2 = 8. f(j = (Lagrange 5 -Sylvester f(t = k= a kt k, r. A Jordan λ i J J 2 λ i J =..., J i =......, i s,... Js P, A = P JP. i =, 2,, s, λ i < r, k= a ka k, f(j f(a = a k A k f(j 2 = P... P, k= f(js λ i f(j i = f(λ i f (λ i 2! f (λ i (n i! f (n i (λ i f(λ i f (λ i (n i 2! f (ni 2 (λ i f (λ i f(λ i, i =, 2,, s. 5 Joseph Louis Lagrange(736-83,, Turin (,. 43
16 5.2.6 f(t = 2 t + 2t 3, f(a, A = f(t,., f( = 3, f ( = 5, f(2 = 6, f (2 = 23, f (2 = 24, f(a = lim A nb n, lim A n, lim B n?? n n n 2. A, B, A + B, AB?. Lagrange-Sylvester,,. (z C: sin z = e z = m= z m m!, ( m z 2m (2m!, m= cos z = + ( m z2m (2m!. m=. Lagrange-Sylvester, A m m!, ( m A 2m (2m!, I + m= m= m= ( m A2m (2m!,. ( e A, sin A, cos A, A,., ( + z a = + ln( + z = m= ( m zm, z <, m m= a(a (a m + z m, z <, a, m! 44
17 ln(i + A = ( m= m Am, ρ(a <, m (I + A a = I + ρ(a A. m= a(a (a m + A m, ρ(a <, m!, e λi = e λ I, sin (λi = ( sin λi, cos (λi = ( cos λi. Lagrange-Sylvester, e A sin A n Jordan (,,, J λ n Jordan, sin A = 2! 3! 2! e A = e λ ! sin λ cos λ sin λ 2! cos λ 3! sin λ cos λ sin λ 2! (n! (n 2! sin [(2π/(n +λ] (n! sin [(2π/(n 2+λ] (n 2! sin λ cos λ sin λ 2! sin λ cos λ sin λ (5.3. ( A = ( 2, e A, sin A, cos A. A λ =, λ 2 = 2. A ( 2. λ, λ 2 α = ( (, α 2 =. 45
18 ( P = (, A = P 2 ( e A e = P e 2 ( sin sin A = P sin 2 ( P = P = ( sin sin + sin 2 = sin 2 ( cos cos A = P cos 2 P. ( ( ( e e e + e 2 e 2 = e 2 ( ( ( sin sin 2, P = ( cos cos + cos 2 cos 2., n A λ, λ 2,, λ n. e A, sin A, cos A e λ, e λ 2,, e λ n ; sin λ, sin λ 2,, sin λ n ; cos λ, cos λ 2,, cos λ n., ( A A = s λ i P i. i= f(t r > ρ(a. f(a = s f(λ i P i (5.3.3 i= A = A = 9P 9P 2, sin A = ( sin 9(P P 2. e A ( AB = BA, e A e B = e A+B = e B e A ; (2 (e A = e A ; (3 e A = e tr A. ( AB = BA,, m (A + B m = CmA k m k B k. k= 46
19 e A+B m = C m! ma k m k B k m= k= m = k!(m k! Am k B k m= k= ( A k = B j = e A e B. k! j! k= j= (2 ( B = A, e A e A = I, (e A = e A. (3 A λ, λ 2,..., λ n, e A e λ, e λ 2,..., e λn, e A = e λ e λ2 e λ n = e λ +λ 2 + +λ n = e tr A., ( ( ( Euler 52 e ia = cos A + i sin A, cos A = 2 (eia + e ia, sin A = 2i (eia e ia, cos ( A = cos A, sin ( A = sin A. (2 AB = BA, cos (A + B = cos A cos B sin A sin B, sin (A + B = sin A cos B + cos A sin B.., m n A a ij t, A, A(t = (a ij (t m n.,,, A(t = (a ij (t m n. a ij (t, i m, j n, lim a ij (t = t t a ij ( a ij C, A(t t A = (a ij m n lim A(t = A, lim B(t = B. t t t t ( A(t, B(t, lim (A(t + B(t = A + B. t t 52 Leonhard Euler(77-783,,,,,,, 22. e ia = cos A + i sin A, e iπ + =. 47
20 (2 A(t, B(t m n, n s, lim (A(tB(t = lim A(t lim B(t = AB. t t t t t t (3 k, lim (ka(t = ka = k lim A(t. t t t t 5.3.2, A(t = (a ij (t m n, A(t,. A(t, : A (t = (a ij(t m n. A(t, : b a ( b A(t d t = a a ij (t d t. m n ( (aa(t + bb(t = aa (t + bb (t; (2 (A(tB(t = A (tb(t + A(tB (t; ( t (3 A(sd s = A(t; (4 (5 a t a t a A (sd s = A(t A(a; BA(sd s = B t a A(sd s, t a A(sBd s = ( t a A(sd sb, B ( deat dt = Ae At ; d cos At (2 = A cos At, = A sin At. d sin At dt, deat dt t= = A; dt d sin At dt t= = A. (,, 34. A Jordan J n (λ = λi + N (, e Jt = e λt e Nt, de Jt dt = λe λt e Nt λt dent + e dt. dent dt = Ne Nt A t t Ae As ds = e At e At (
21 , A, t t A sin Asds = cos At cos At (5.3.5 t t A cos Asds = sin At sin At (5.3.6 t t e As ds = A (e At e At x = x(t = (x (t, x 2 (t,, x n (t T A = A(t = (A ij (t n n, x T Ax t. (x T Ax = (x T Ax + x T (Ax = (x T Ax + x T A x + x T Ax. ((x T Ax T = x T A T x = x T Ax. (x T Ax, (x T Ax = x T Ax., (x T Ax = x T A x + 2x T Ax... e A e B = e B e A?, f(x, f(af(b = f(bf(a?, A ( A? 2. e A e B, e B e A e A+B., e A e B = e B e A, e A e B = e A+B? 3., cos 2 A + sin 2 A = I? 4. (A(t 2 = 2A(tA (t? 5. A(t, (A(t? A (t? 6. A(t, A (t? , A, R t t e As ds.? Lagrange-Sylvester J = ( λ λ λ s s, e Jt = e λt 49 t t 2 2! t s (s! t t s 2 (s 2! t.
22 (2 A = P JP A Jordan J = J J 2 J s, e At = P (e J t e J 2t e J st P. (, (2 (. J = λi + N, N =......,... e Jt = e λti+tn = e λt e tn = e λt (tn k s = e λt k= t k N k. k! N k k,,. k= k! 5.4. e Jt, J = ( J J 2, J = a a a, J 2 = ( b b. 5.4., e Jt = e at t t2 2! t, e J 2t = e bt ( t., ( e Jt e J t = e J 2t = e at te at t2 e at 2! e at te at e at e bt te bt e bt N 3 Jordan, t e Ns ds = t t 2 2! t 3 3! t t 2 2! t. 5
23 A n. A m(λ = λ m + a λ m + + a s λ + a m, A I, A, A 2,, A m., f(a, m A g(a. g(t? n n +, g(a,. Lagrange-Sylvester, g(t g(t A A m(λ = (λ λ k (λ λ 2 k2 (λ λ s k s, (5.4. λ, λ 2,, λ s. f(t = k= a kt k, { f(λ, f (λ,, f (k (λ, f(λ 2, f (λ 2,, f (k 2 (λ 2,, f(λ s, f (λ s,, f (k s (λ s } (5.4.2 f(t A (Sylvester f(t = k= a kt k, g(t = k= b kt k. f(a = g(a f(t g(t A,, f(λ i = g(λ i, f (λ i = g (λ i,, f (ki (λ i = g (k i (λ i, i =, 2,, s. A Jordan P AP = J = J J s, f(a = g(a f(j = g(j f(j i = g(j i, i, Lagrange-Sylvester, A, f(a = g(a f(λ = g(λ, λ σ(a A m(λ = λ 2 (λ π. sin A = A π A2. f(t = sin t, g(t = t π t , f(t g(t A, f(a = g(a., f( = sin = = g(, f ( = cos = = g (, f(π = sin π = = g(π. sin A = f(a = g(a = A π A e At, A =
24 A λi A = λ 2 4 λ 2 3 λ = (λ (λ 22., (x (x 2 A, A m(x = (x (x 2 2. f(λ = e λt ( t, e At = f(a. g(λ = a + a λ + a 2 λ 2 ( a, a, a 2. f(λ g(λ A, e t = f( = g( = a + a + a 2, e 2t = f(2 = g(2 = a + 2a + 4a 2, te 2t = f (2 = g (2 = a + 4a 2. a = 4e t 3e 2t + 2te 2t, a = 4e t + 4e 2t 3te 2t, a 2 = e t e 2t + te 2t. e At = e 2t 2e t 2e 2t + 3te 2t 4e t + 4e 2t e 2t 3e t + 3e 2t e t.. Lagrange. ( ( Lagrange f(x n, a i, i =, 2,, n +. i =, 2,, n +, L i (x = (x a (x a i (x a i+ (x a n+ (a i a (a i a i (a i a i+ (a i a n+ (5.4.3 n+ f(x = f(a i L i (x. i= (5.4.3 n L i (x Lagrange A m(λ = (λ λ (λ λ 2 (λ λ m, f(t r > ρ(a. f(a = m f(λ i L i (A, i= L i (x, i =, 2,, m Lagrange. 52
25 ( A = 2, e At. λi A = λ 2 2 λ = (λ+(λ 3, A λ =, λ 2 = 3, f(λ = e λt, Lagrange, m(x = (x + (x 3. f(a = f(λ L (A + f(λ 2 L 2 (A, L (A = A λ 2I = ( 2 2 λ λ , L 2 (A = A λ I = ( 2 2 λ 2 λ f(λ = e t, f(λ 2 = e 3t. e At = f(a = e t ( ( e 3t ( = ( e t + e 3t e t + e 3t 2 e t + e 3t e t + e 3t. A, Lagrange Lagrange-Sylvester,,, ( Lagrange-Sylvester n A s i= k i = m n. m(λ = (λ λ k (λ λ 2 k2 (λ λ s ks, f(a = s i= ( ϕ i (A a i I + a i2 (A λ i I + + a iki (A λ i I k i, ϕ i (A = (A λ I k (A λ i I k i (A λ i+ I k i+ (A λ s I k s, i s, d j ( a ij = (j! d λ j (λ λ i k f(λ i, i s; j =, 2,, k i. m(λ λ=λ i,.,, x A, x T Ax?,. 53
26 5.5. A n, x T Ax x T x =. Lagrange L = x T Ax + λ( x T x, (L i 2 n a ij x j 2λx i. j= L 2 n a ij x j 2λx i =, i n, Ax = λx., j= x T Ax x T x =,!, Lagrange λ. L = f(x = f(x, x 2,, x n (f = ( f x, f x 2,, f x n (5.5., f(x = f(x, x 2,, x n n, f x, f( f(x = f(x, x 2,, x n n (. f (f,. f x = ( f x, f x 2,, f x n (5.5.2, (., ( f = (f, f 2,, f m T : F n F m n (, n f i, i m, f m n f f f x x 2 x n (f, f 2,, f m f 2 f 2 f (x, x 2,, x n = x x 2 2 x n (5.5.3 f m x 2 (f,f 2,,f m (x,x 2,,x n ( f Jacobian, J(f. J(f, Jacobian., f (f, f 2,, f m, ( (,,,.,., f J(f, (f f. f m x 54 f m x n
27 5.5.2 x n (, A m n, (J(x = x x = I n = xt x = J(xT ; (2J(Ax = Ax x = A, J(xT A T = xt A T x = A T f : (x, y T (a x + b y, a 2 x + b 2 y T F 2, ( a b J(f =. a 2 b 2 f!, f = (f, f 2,, f m T : F n F m, f - A m n, f ( A! ( f(x = f(x, x 2,, x n n, (= J(f = f x J(J(f f Hessian 53, H(f, H(f = J(J(f = 2 f x 2 2 f x x 2 2 f x 2 x 2 f x f x n x 2 f x n x 2 2 f x x n 2 f x 2 x n 2 f x 2 n (5.5.4, f, Hessian H(f. f(x Hessian H(f f(x f(x, y = x 2 + 2xy + y 2 x, J(f = (2x + 2y, 2x + 2y, Hessian ( 2 2 H(f = f = f(x, y = (x 2 + 2xy + y 2 x, x 2 + 2xy + y 2 + y T ( f f, f 2, Jacobian J(f J(f = ( 2x + 2y 2x + 2y, 2x + 2y 2x + 2y + Jacobian J(f =. Jacobian ( 939 C n f Jacobian J(f =, f (., Jacobian ( 48. Jacobian S.Wang ,, Ludwig Otto Hesse(8-874,, Carl Gustav Jacob Jacobi. 54 Stuart Sui-Sheng Wang(, 946-,, Oakland. 55
28 ( (, f, g n x, h(x n, p(x, q(x m, a, b F, ( ( J(af + bg = aj(f + bj(g; (2 ( J(pq T = pj(q + qj(p; (3 ( J(f/g = (gj(f fj(g/g 2 ; (4 ( J(f(h = f(h h J(hT. (4. x = (x, x 2,, x n T, h = (h, h 2,, h n. f(h(x x = (f(h, h 2,, h n = ( n i= f h i h i x, n i= f h i h i x 2,, n i= f h i h i x n., f(h h T h x = ( f, f,, f J(h T = ( h h 2 h n n i= f h i h i x, n i= f h i h i x 2,, n i= f h i h i x n... f(h h h = (h, h 2,, h n, h T h f = f(u, v, g(x, y = (x 2, ax + y 2. f(g = f(x 2, ax + y 2, J(f(g = f(g gt = J(f (x, y (x, y = ( f u, f ( 2x v = (2x f a 2y. u + a f v, 2y f v,. f = (f, f 2,, f m T g = (g, g 2,, g m T m, J(f T g 5.5.(2, 49. x T x (, 5 : x T x x x xt = xt + xt x x = 2xT ( Lagrange L x J(L = J(x T Ax + J(λ( x T x = x T J(Ax + (Ax T J(x T λj(x T x = 2x T A 2λx T, x T A = λx T, x T A x A T. 56
29 ,,,, ( x, x T, ( x = (x, x 2,, x n T, y = (x, x + x 2,, x + x n T? f(g, f n, y = g(x = (x, x + x 2,, x + x n n (. 5.,. F n n F (n 2,. F n n X = (x ij, X D(X, tr(x trx,. D(X tr(x x ij (D(X = J(D(X tr(x n 2,, J(D(X = D(X X = J(tr(X = tr(x X == D(X x D(X x 2 D(X D(X x n x 2 D(X x 22 D(X x n tr(x x tr(x x 2 D(X x n2 tr(x D(X x 2n D(X x nn tr(x x n x 2 tr(x x 22 tr(x x n tr(x x n2 tr(x x 2n tr(x x nn (5.5.6 (5.5.7 (5.5.6 (5.5.7., ( X n,,, ( x x X = 2 x 2 x 22 J(D(X = (adjx T, J(tr(X = I n (5.5.8, D(X = x x 22 x 2 x 2, ( x22 x J(D(X = 2 = (adjx T. x 2 x tr(, AXB(, A, B, J(tr(AXB = tr(axb X,
30 5.5. x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. J = (x, y, z (r, θ, φ = sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ r cos θ cos φ r cos θ sin φ r sin θ r sin θ sin φ r sin θ cos φ, J = r 2 sin θ. n f(x = f(x, x 2,, x n J(f, f(x Hessian H(f. H(f (x, x 2,, x n f(x (x, x 2,, x n., n H(f (x, x 2,, x n?, f(x p q X m n, f(x X?,, vec, ( f : F p q F m n p q, f(x = f (X f 2 (X f n (X f 2 (X f 22 (X f 2n (X f m (X f m2 (X f mn (X, X = (x ij p q, f(x mp nq J(f = f(x X = vec(f(x vecx ( f : F 2 2 F , f(x = X, J(f = vec(f(x vecx = = I 4!, ( x ( n f(x, x 2,, x n, f(x x = (x, x 2,, x n T, f(x R n R, vecx. (, ,, ( f = f(x = (f ij (x m p g = g(x = (g ij (x p q n J(f(xg(x = (g(x T I m J(f(x + (I q f(xj(g(x (5.5. J(xx T = x I n + I n x (
31 (2 A C m n, B C p q, X C n p, J(AXB = AXB X = BT A; J((AXB T = BT X T A T X = B A T = (J(AXB T. (3 A C m n, X C n m, tr(ax X = tr(xa X = AT. (4 A C n n, X C m n, tr(xax T X = X(A + A T. (5 α, β C n, X C m n, (α T X T Xβ X = X(αβ T + βα T. (6 α, β C m, X C m n, (α T XX T β X = (αβ T + βα T X. (7 X C m n, f = f(x = (f ij (X p q g = g(x = (g ij (X m n, (f(g(x X = (f(g (g g X., (, [6] : ( X R m n, f(x X ( X f(x, J(f(X = f(x X X=X = ;, f(x J(f = f(x X =. (2 f(x X, f(x ( X R m n, f(x X. X f(x c(x =, L(X, λ = f(x λc(x Lagrange. λ R, J(L X (X, λ = L(X,λ X (X,λ =, c(x =. 59
32 5..,. K CDMA, k A k, b k (= ±. : y = RAb + n (5.5.2 y, K R (, b = (b,, b k T, K n σ 2 ( n Gauss. : k m k ( ˆb k = sgn(m T k y k, K? M M = (m,, m K (5.5.3 J(M = E{ b My 2 2} (5.5.4,. ( J(M J(M = tr(i + tr(m(ra 2 R + σ 2 RM T tr(arm T tr(mra ( , J(M M ( 46, R (5.5.6 M, R, J(M M = (5.5.6 J(M M = 2M(RA2 R + σ 2 R 2AR (5.5.7 M(RA 2 R + σ 2 R = AR (5.5.8 M = A(RA 2 + σ 2 I. ( BMUD,.. α C m, β C n, J(α T Xβ = αt Xβ X =? 2. α C m, β C n, J(α T X T β = αt X T β X =? 3. X, J(X 2 =? 4. J(X = X,?? rvecx 5. Jacobian. I. -, : 6
33 u (t u m (t. x (t. x n (t. y (t y s (t 5.6. u (t,, u m (t m, y (t,, y s (t s, x (t,, x n (t n. x = x(t = (x (t,, x n (t T, u = u(t = (u (t,, u m (t T, y = y(t = (y (t,, y s (t T,, (, (. { x (t = Ax(t + Bu(t (5.6. y(t = Cx(t + Du(t A C n n, B C n m (, C C s n (, D C s m. D,, D =. A, B, C,, (A, B, C. (5.6.,., t, t t., x(t = (x (t,, x n (t, (5.6..., (5.6., ( n =, x (t = ax, x(t t=t = x(t. x = x(t e a(t t. x (t = ax + f(t, x(t t=t = x(t, f(t. t x = x(t e a(t t + e a(t s f(s d s. t, { x (t = Ax x(t t=t = x(t, (5.6.2 x = x(t = (x (t, x 2 (t,, x n (t T, x(t = (x (t, x 2 (t,, x n (t T n, A n. n 2,, ( , Taylor, : x (t = Ax x (t = A 2 x,, x (k (t = A k x, (
34 x (t = Ax(t, x (t = A 2 x(t,, x (k (t = A k x(t, (5.6.4 x(t t = t Taylor x = x(t + (t t x (t + (t t 2 2! x (t + + (t t k k! x (k (t + = x(t + (t t Ax(t + (t t 2 2! A 2 x(t + + (t t k k! A k x(t + = e A(t t x(t (5.6.5 (5.6.5 ( 55, 5.6. (5.6.2, x(t = e A(t t x(t { x (t = Ax(t, x(t t= = x(,, A = , x( =. 5.6., x(t = e At x(. e At. A Jordan J =, P =., x(t = e At x( = P e Jt P x( e t = e t te t e t = 2t + 2t + 2t + e t. 2 A = (a ij n n B = (b ij n m, u(t = (u (t, u 2 (t,..., u m (t T, x(t = (x (t, x 2 (t,..., x n (t T. { x (t = Ax(t + Bu(t (5.6.6 x(t t=t = x(t 62
35 , (5.6.6, Lagrange., (5.6.6 e At, At d x(t e e At Ax(t = e At Bu(t. (5.6.7 d t (e At x(t, ( (5.6.6, t x(t = e A(t t x(t + e A(t s Bu(s d s. t. x = e At y y = e At x { x (t = Ax(t + u(t x(t t= = (,, T, A = 3 2 2, u(t = (,, e 2t T , x(t = e At x( + t e A(t s u(s d s. e At. λi A = λ 3 2 λ λ 2 = λ(λ 2(λ 3. A 3, A. λ =, λ 2 = 2, λ 3 = 3 α = (, 5, 2 T, α 2 = (,, T, α 3 = (2,, T. P = 2 5 2, P =
36 e At x( = P = e 2t = 6 e 3t P x( e 2t + 3e 2t 8e 3t 5 + 3e 2t 4e 3t 2 4e 3t e 3t. ( t ea(t s u(s d s. t e A(t s u(s = 6 e A(t s u(s d s = 6 e 2s + 9e 2t 8e 3t s 5e 2s + 9e 2t 4e 3t s 2e 2s 4e 3t s. 2 + (9t e2t 8e 3t (9t e2t 4e 3t + 3e 2t 4e 3t. x(t = (9t e2t 6e 3t (9t e2t 8e 3t + 3e 2t 8e 3t.. : { y (n + a y (n + a 2 y (n a n y =, y (i (t t= = y (i, i n. (5.6.8 x = y, x 2 = y = x, x 3 = y (2 = x 2, x n = y (n = x n, x = x 2, x 2 = x 3, x n = x n, x n = a n x a n x 2 a x n. x(t = (x (t, x 2 (t,, x n (t T, x( = (x (, x 2 (,, x n ( T = (y, y,, y (n T. 64
37 (5.6.8 { x (t = Ax(t x(t t= = x( (5.6.9 A = a n a n a n 2 a. (5.6., A (5.6.8 r n + a r n + a 2 r n a n. 5.6., (5.6.9 x(t = e At x(. (5.6.8 (5.6.9, (5.6.8 y = (,,, x(t = (,,, e At x( y = (,,, e At y.. y (n (5.6.8 n : { y (n + a y (n + a 2 y (n a n y = u(t, y (i (t t= = y (i, i n, (5.6.. (5.6., { x (t = Ax(t + Bu(t, x(t t= = x(, x(t = (x (t, x 2 (t,, x n (t T = (y, y,, y (n T, x( = (x (, x 2 (,, x n ( T = (y, y,, y(n T, A =, B =. a n a n a n 2 a 5.6.2, (5.6. ( y(t = (,,, e At x( + 65 t e A(t s Bu(s d s..
38 5.6.4 y(t: { y (3 3y (2 6y + 8y = u(t, (y(, y (, y ( = (,,. x(t = (x (t, x 2 (t, x 3 (t T, x (t = y(t, x 2 (t = y (t, x 3 (t = y (t. x( = (,, T., ( y(t = (,, e At x( + t e A(t s Bu(s d s, A = 8 6 3, B =. A λi A = λ 3 3λ 2 6λ + 8 = (λ (λ + 2(λ 4. A Jordan J = 2, P = e At = P = e t e 2t = 8 e 4t P e t e 2t e 4t e t + 4e 2t 2e 4t 4e t 5e 2t + e 4t 2e t + e 2t + e 4t 6e t 8e 2t 8e 4t 4e t + e 2t + 4e 4t 2e t 2e 2t + 4e 4t 6e t + 6e 2t 32e 4t 4e t 2e 2t + 6e 4t 2e t + 4e 2t + 6e 4t e A(t s Bu(s = 8 u(s 2e t s + e 2(t s + e 4(t s 2e t s 2e 2(t s + 4e 4(t s 2e t s + 4e 2(t s + 6e 4(t s., ( y(t = (,, e At x( + t e A(t s Bu(s d s = 8 (4et + 5e 2t e 4t t 9 et e s u(s d s + t 8 e 2t e 2s u(s d s + 2 t 9 e4t e 4s u(s d s.. n (5.6.8,,,,, 66
39 ( (5.6. Laplace. II (5.6.. (5.6., x(t., (, y(t x(t. y(t,.,,. 5.7., [, t ] u(t ( t t, x( x(t =, x(. x(,..,, x(, ( x(t,., ( x(t =, n =, x (t = ax(t + bu(t. b ( x λ (t = λ 2 ( a x(t + b u(t, ab (A, B, C n Hermite W (, t = t e ta BB e ta d t (5.7.. : W (, t , t x(t = e At x( + e A(t t Bu(t d t. (5.7.2 u(t = B e A t W (, t x(. (
40 u(t (5.7.2 x(t = e At x( t ea(t t BB e A t W (, t x( d t ( = e At x( e At t e At BB e A t d t W (, t x( = e At x( e At W (, t W (, t x( =. u(t, x( x(t =. x(,. : α = (a, a 2,, a n T W (, t α =. (5.7.4 α W (, t α =. t α (e At BB e A t α d t =. α e At B =, t t. (5.7.5, u(t x(t =. (5.7.2, t e At x( + e A(t t Bu(t d t =. (5.7.5, x( = e At t t e A(t t Bu(t d t = e At Bu(t d t. t α x( = α e At Bu(t d t =. x( α =, α. W (, t. 5.7., (A, B, C W = (B, AB, A 2 B,, A n B n. n nm W. (A, B, C x(, u(t (5.7.2( x(t =, t e A(t t Bu(t d t = e At x( (5.7.6 x(. e At, (5.7.6 t e At Bu(t d t = x( (
41 Cayley-Hamilton, n e At n e At = a i (ta i, (5.7.7 n (A i B i= z i (t T = t t i= (a i (tu(t d t = x( (5.7.8 a i (tu(t d t, i n. z = (z (t, z (t,, z n (t T, (5.7.8 (B, AB, A 2 B,, A n Bz = x( (5.7.9 (A, B, C (5.7.9 n..? z,, (5.7.9? 5.7.2, B,. (,. (5.6., ( : { x(k + = Ax(k + Bu(k, k (5.7. y(k = Cx(k, k x(k, u(k, y(k,, (5.7.. (5.7. (A, B, C., (5.7. k x(k = A k x( + A k i Bu(i, k (5.7., i= x(n = A n x( + (B, AB,, A n B(u(n, u(n 2,, u( T ( , (A, B, C (A, B, C A = 2 2, B = 2. (A, B, C. 69
42 , (A, B, C, W = W 3, , B n, W n , W. :,,. B, W, W,, B, (B, AB,, A , [, t ] y(t x(,. y(t [, t ], ( ( (., C, C, ( x λ (t = λ 2 y(t = (a, bx(t x(t + Bu(t, C = (a, b λ λ (A, B, C n Hermite M(, t = t e A t C Ce At d t. 7
43 : y(t = Cx(t = Ce At x( + C t e A(t s Bu(s d s. Ce At x( = y(t C e A t C, t, M(, t x( = M(, t, t x( = M(, t t t ( y(t C ( y(t C e A(t s Bu(s d s. t x(,. :. y(t = Ce At x( + C t t e A(t s Bu(s d s d t. e A(t s Bu(s d s d t. x(. M(, t, α C n M(, t α =. e A(t s Bu(s d s (5.7.3 α M(, t α =. t α e A t C Ce At α d t =. y(t = Ce At (x( + α + C t e A(t s Bu(s d s. x( (5.7.3, x( + α (5.7.3., α, x(,. M(, t., (A, B, C (A, B, C, (A, B, C M = C CA. CA n n. M. 7
44 5.7.7 ( x (t = x(t + ( y(t = x(t. ( u(t,. B,. ( C M = = CA 2. 2 M 2,.,.,.,.. A Jordan J = P AP, P. z(t = P x(t x(t = P z(t, (A, B, C { z (t = Jz(t + P Bu(t y(t = CP z(t (5.7.4 (5.7.4, (A, B, C, A, P B, CP, , A A? 2. (A, B, C (5.7.4?. C n, : ( ; (2 x : x x = ; (3 x = x ; (4 x y x y. 2. : x C n, ( x 2 x n x 2 ; (2 x x n x ; (3 x x 2 n x. 3. ( R 2, p- ; (2 ; 72
45 (3 R 3 ( (2, - - ; (4 < p <, l p,. p = /2, 3/2, p < p. 4. Minkowski ( ( (2 ; x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2. (3 :, ; (4 (3 l p, , x, y, αx + βy, α, β α + β =. 5,..??.. 2. A F- a, U, AU UA F-?. 3. -, , 2- - ( 4. : ( -, -, ; ( ( ( A 2 = (ρ(a A /2, A ; (2 ; (3 A, A ρ(a; (4 V Hermite, V. 7. A 2 /3. 8. ( : ; (2 α β, p >. [( α p + ( β p ] /p? (3 (? 9. A A.? 2. ( T, A R n n. : ( T 2 = ; (2 A 2 = T A 2 ; (3. 73
46 22. A, B n, A B,. A Cond(A = A A. : A B / A ( A C m n, σ, σ 2,, σ n A. : ( Cond(A = σ (A/σ n (A, σ (A σ n (A A.( (2 A F = `P r i= σ2 i /2 = (tr(a A /2 ; (3 A 2 = σ max(a. 24. ( 5..3; (2 U, V (, σ Hom(U, V. : σ σ ! k 2 +k k 26. A k = 2 k 2 +, lim 2 ( A k. 2 k k k 27. lim k A k = A. ( A k, A? (2 A k, A? (3 A k, A? 28. lim n An = B, B A = 3. A «, X k= ( A = 2 2 (2 J = 33. ( 5.3.; A k 2 k. A. A. «, e A, sin A, cos A; 2 C A, ej, sin J, cos J. (2 (, ( A, e At : ( A A, (2 A A, (3 A A. 36. : cos A, sin A, e A : (A ; (2A ( A 2 = I. 37. A(t = sin t cos t t sin t t e t t 2 t 3 C A, t. lim t A(t, 74 d d t A(t, d 2 d t A(t. 2
47 38. A(t e 2t te t t 2 e t 2e 2t 3t A, Z 39. : ( A, e A ; (2 A Hermite, e ia. A(t d t d d t Z t 2 A(s d s Lagrange. 42. ( J n (λ n Jordan, sin Jt, cos Jt; (2 n A, sin At cos At. 43. ( A 2 A, e At, sin At, cos At; 3 «(2 A =, e At, sin At, cos At Lagrange-Sylvester.( : f(x m A (x Lagrange. 45. N n, dent dt 46. ( A = (2 A = «, R t eas ds; «, e A e At ; (3 A 2 = A, e At R t eas ds. 47. A 2 A + 2I =, e At R t eas ds. 48. ( Jacobian ; (2 Jacobian ; = Ne Nt R t ens ds. ( ( 2 Jacobian. n? 49. f = (f (x,, f n (x T g = (g (x,, g n (x T n, J(f T g ( 5.5.(2. 5. x = (x, x 2,, x n T, A n, n ( x Ax 2 2 Hessian ( 5.5.3, J(tr(AX J(tr(XB; (2 ( , (5.6.5 ( ( x (t = «x(t; (2 x (t 75 Ax(t.
48 57. x (t = Ax(t x( ( A = 2 3 «, x( = «; (2 A A, x( A. 59. ( x (t Ax(t Ae 2t. (2 x (t = Ax(t + Bu(t x(, A 6 6 A, B A, u(t =, x( 6. y + 6y + y + 6y = e t y( = y ( = y ( =. 6. ( x (t = Ax(t + γe at x(t = βe at (αi Aβ = γ, β, γ n, a C; (2 x (t = Ax(t + e 2t C, A = «, C = «, x( = «. A ( : ( A, ; (2 A Jordan, ; (3 A Frobenius ( (5.6., B e n, ,. ««2 2 (A =, B = (, T ; (2A =, B = (, T ; ««a a (3A =, B = (c, d T ; (4A =, B = (c, d T. b a ( A, ; (2 A Jordan, ; (3 A Frobenius, C e T n, ,. «a a (A =, C = (c, d T ; (2A a A, C = (c, d, f T. a a 76
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从 线 性 方 程 谈 起 ( 清 华 大 学 数 学 科 学 系 章 梅 荣 教 授 ) 烟 台 大 学 与 北 京 大 学 和 清 华 大 学 有 着 密 切 的 联 系, 我 在 北 大 读 书 时 的 不 少 同 学 朋 友 还 在 烟 台 大 学 工 作 我 应 邀 来 烟 台 大 学 作 这 个 演 讲, 受 到 了 朋 友 们 的 热 情 接 待, 我 感 到 非 常 高 兴, 也 深
( ) : ( ) (CIP) /.. :,003. () ISBN O4 44 CIP (00) : : 7 : 7007 : (09 ) : : :850 mm 68 mm / 3 :0.5 :60 :00 0
( ) ( ) : ( ) (CIP) /.. :,003. () ISBN 7 56 448 0.... O4 44 CIP (00) 007344 : : 7 : 7007 : (09 )8493844 : www.nwpup.com : :850 mm 68 mm / 3 :0.5 :60 :00 003 3 :0 006 000 :3: 00 00, ( ),,,,,,,, 003 8 (
ii
i 概 率 统 计 讲 义 原 著 : 何 书 元 课 件 制 作 : 李 东 风 2015 年 秋 季 学 期 ii 目 录 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 3 1.1 试 验 与 事 件............................ 3 1.2 古 典 概 型 与 几 何 概 型....................... 7 1.2.1 古 典 概 型.........................
d y dy P x Q x y 0. dx dx d d P x Q x C C 1y1 y dx dx d d P x Q x C 1y 1 dx dx d d P x Q x C y 0. dx dx d x 1dx F. ox1 dt dt d x1 1dx1 x 0 1 F 1 dt dt d x 1dx x 0 F dt dt d y 1dy y F 0 1 F1 y x1 x. dt
6CO2 6H 2O C6H 2O6 6O2 = = n i= P X i n H X - P X logp X i= i n X X X P i P 0 i l n i n n P i= i H X = - p log P n i= i i i + H X - P X logp X dx - 2 2 2 2 3 2 4 2 d( Q) d( Q) > 0 = 0 di di d(
證 明 : 令 φ(x f(x, ydy, 則 φ(x + x φ(x x f x (ξ, ydy f x (ξ, y f x (x, y dy f x (x, ydy f(x + x, y f(x, y d dy f x (x, ydy x f x (x, ydy, ξ ξ(y 介 於 x, x
微 分 與 積 分 的 交 換 積 分 設 f 在 [a, b] [, d] 上 連 續, 問 d dx f(x, y? f(x, ydy x 首 先 (1 式 兩 邊 必 須 有 意 義 f(x, ydy 必 須 對 x 可 導 若 f 及 x f(x, ydy 積 分 必 須 存 在 x f 在 [a, b] [, d] 上 連 續, 則 ( 及 (3 式 成 立, 下 面 的 定 理 告 訴
Microsoft Word - 实验习题N.doc
数 学 实 验 实 验 练 习 题 汇 总 实 验 数 学 建 模 初 步 实 验 目 的 通 过 解 决 简 化 的 实 际 问 题 学 习 初 步 的 数 学 建 模 方 法, 培 养 建 模 意 识 实 验 内 容. 怎 样 解 决 下 面 的 实 际 问 题? 包 括 需 要 哪 些 数 据 资 料, 要 做 些 什 么 观 察 试 验 以 及 建 立 什 么 样 的 数 学 模 型 等 :
3.2 導 函 數 其 切 線 (tangent line) 為 通 過 P, 且 其 斜 率 為 m 的 直 線, 即 y = f(a) + m(x a) (3) 其 法 線 (normal line) 為 通 過 P 且 與 切 線 垂 直 的 直 線, 即 y = f(a) 1 (x a) m
第 3 章 微 分 (Differentiation) 目 錄 3.1 切 線................................... 25 3.2 導 函 數.................................. 26 3.3 微 分 公 式................................. 28 3.4 連 鎖 律..................................
,,,,,,., Penrose i,, i j X A {i,, i j }-, X A {, 3}-, A,3 ; A Moore- Penrose A = A,2,3,4., A 5,, Moore-Penrose A {}- A, A. m n Moore-Penrose A, {}- A,
, Ax = b A m n m = n, x = A b., A, A A = UR : x = R U b 6.. A Ax = A b, A A. A = R U, A A = I n,, A, A A. n < m, AA = In m m 6..2 A n < m, AA = I m,, A = R U A. A? A, B, AB BA,., A m n F n F m. A A F m
總目186－運輸署
管 制 人 員 : 運 輸 署 署 長 會 交 代 本 總 目 下 的 開 支 二 零 一 六 至 一 七 年 度 預 算... 28.585 億 元 二 零 一 六 至 一 七 年 度 的 編 制 上 限 ( 按 薪 級 中 點 估 計 的 年 薪 值 ) 相 等 於 由 二 零 一 六 年 三 月 三 十 一 日 預 算 設 有 的 1 5 3 6 個 非 首 長 級 職 位, 增 至 二 零
標準 BIG 中文字型碼表 A 0 9 Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ 一 乙 丁 七 乃 九 了 二 人 儿 入 八 几 刀 刁 力 匕 十 卜 又 三 下 丈 上 丫 丸 凡 久 么 也 乞 于 亡 兀 刃 勺 千 叉 口 土 士 夕 大 女 子 孑 孓 寸 小 尢 尸 山 川 工 己 已 巳 巾 干 廾
標準 BIG 中文字型碼表 A 0 9 Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｂ Ｃ Ｄ ± Ｅ Ｆ A 0 9 Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ 兙 兛 兞 兝 兡 兣 嗧 瓩 糎 0 Ｂ 9 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ｃ Ⅷ Ⅸ Ⅹ 〡 〢 〣 〤 〥 〦 〧 〨 〩 十 卄 卅 Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ Ｉ Ｊ Ｋ Ｌ Ｍ Ｎ Ｏ Ｐ Ｑ Ｅ Ｒ Ｓ Ｔ Ｕ Ｖ Ｗ Ｘ Ｙ Ｚ ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ｇ Ｆ ｈ ｉ
() 求 其 能 级 和 本 征 函 数 ; V, α < ϕ < () 加 ˆ H ' = V ( ϕ ) = V, < ϕ < α 微 扰,, 其 他 求 对 最 低 的 两 能 级 的 一 级 微 扰 修 正 注 : 在 坐 标 系 中 = ( r ) + + r r r r ϕ, < x <
中 国 科 学 院 研 究 生 院 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 统 一 考 试 试 题 第 一 题 : 选 择 和 简 答 ( 5' 8 = 4' ) 试 题 名 称 : 量 子 力 学. 氢 原 子 的 基 态 电 离 能 是 3.6ev, 问 处 于 第 一 激 发 态 的 氢 原 子 电 离 能 是 ( 3.4ev) 34. 普 朗 克 常 数 h 等
( CIP).:,3.7 ISBN TB CIP (3) ( ) ISBN O78 : 3.
( CIP).:,3.7 ISBN 7 568 383 3.......... TB CIP (3) 334 3 37 ( ) 64536 www.hdlgpress.com.c 7879 6 9.75 479 3 7 3 7 45 ISBN 7 568 383 3O78 : 3. 995,.,.,.,. :,,,,.. :,,,,,,.,,,,.,,. ,,.,,,.,,,.,,,,.,.,,,
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( ) Wuhan University
Email: huangzh@whueducn, 47 Wuhan Univesity i L A TEX,, : http://affwhueducn/huangzh/ 8 4 49 7 ii : : 4 ; 8 a b c ; a b c 4 4 8 a b c b c a ; c a b x y x + y y x + y x x + y x y 4 + + 8 8 4 4 + 8 + 6 4
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) ,,, :,,,,,,, ( CIP) /. :, 2001. 9 ISBN 7-5624-2368-7.......... TU311 CIP ( 2001) 061075 ( ) : : : : * : : 174 ( A ) : 400030 : ( 023) 65102378 65105781 : ( 023) 65103686 65105565 : http: / / www. cqup.
4 A C n n, AA = A A, A,,, Hermite, Hermite,, A, A A, A, A 4 (, 4,, A A, ( A C n n, A A n, 4 A = (a ij n n, λ, λ,, λ n A n n ( (Schur λ i n
,?,,, A, A ( Gauss m n A B P Q ( Ir B = P AQ r(a = r, A Ax = b P Ax = P b, x = Qy, ( Ir y = P b (4 (4, A A = ( P Ir Q,,, Schur, Cholesky LU, ( QR,, Schur,, (,,, 4 A AA = A A Schur, U U AU = T AA = A A
在 上 述 物 理 模 型 中 ( 三 隻 猴 子 的 重 量 都 一 樣 ), 考 慮 底 下 四 個 問 題 : () 當 三 股 力 量 處 於 平 衡 狀 態, 而 且 F 點 處 於 ABC 的 內 部 時, 利 用 力 的 向 量 和 為 零 的 觀 念, 求 角 度 AFB, BFC,
許 教 授 講 故 事 許 志 農 / 國 立 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 在 數 學 教 學 中, 有 這 樣 一 道 數 學 應 用 問 題 : 在 哪 裡 建 學 校, 可 使 附 近 的 三 個 村 子 A, 與 C 的 三 位 學 生 到 學 校 所 走 路 程 的 和 最 小? 此 問 題 實 質 為 : 給 平 面 上 A, B, C 三 點, 試 尋 求 一 點 F, 使 距
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EuMath (/008 來 自 身 邊 的 四 個 小 問 題 胡 奕 偉 麗 水 學 院 數 學 系 這 是 一 組 來 自 筆 者 身 邊 的 問 題 問 題 平 凡, 問 題 簡 單, 問 題 3 略 見 抽 象, 問 題 4 則 源 遠 流 長, 被 稱 為 亞 里 斯 多 德 旋 輪 悖 論 平 凡 的 問 題 呼 喚 靈 活 的 思 維, 處 理 方 法 要 創 新 ; 貌 似 簡 單
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题 目 : 神 奇 的 矩 阵 第 二 季 ( 修 改 版 2.1) 学 校 : 哈 尔 滨 工 程 大 学 姓 名 : 黎 文 科 联 系 方 式 : QQ 群 :53937814 联 系 方 式 : [email protected] Contents CONTENTS... 2 前 言... 3 绪 论... 4 1 从 坐 标 系 谈 起... 8 2 内 积 与 范 数 的 深 入 理 解...
微积分 授课讲义
2018 10 [email protected] 1201 / 18:00-20:20 213 14:00-17:00 I II Taylor : , n R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) R; x, x y ; δ( ) ; ; ; ; ; ( ) ; ( / ) ; ; Ů(P 1,δ) P 1 U(P 0,δ) P 0 Ω P 1: 1.1 ( ). Ω
数 学 高 分 的 展 望 一 管 理 类 联 考 分 析 第 一 篇 大 纲 解 析 篇 编 写 : 孙 华 明 1 综 合 能 力 考 试 时 间 :014 年 1 月 4 日 上 午 8:30~11:30 分 值 分 配 : 数 学 :75 分 逻 辑 :60 分 作 文 :65 分 ; 总
目 录 数 学 高 分 的 展 望... 1 第 一 篇 大 纲 解 析 篇... 1 一 管 理 类 联 考 分 析... 1 二 最 新 大 纲 解 析... 1 三 考 前 复 习 资 料 及 方 法... 第 二 篇 总 结 篇... 4 1 应 用 题 考 点 总 结 与 技 巧 归 纳... 4 代 数 模 块 题 型 归 纳 及 考 点 总 结... 9 3 数 列 模 块 题 型 归
ü ü ö ä r xy = = ( x x)( y y) ( x x) ( y y) = = x y x = x = y = y rxy x y = Lxy = x x y y = xy x y ( )( ) = = = = Lxx = x x = x x x ( ) = = = Lyy = y y = y y ( ) = = = r xy Lxy = ( ) L L xx yy 0
3978 30866 4 3 43 [] 3 30 4. [] . . 98 .3 ( ) 06 99 85 84 94 06 3 0 3 9 3 0 4 9 4 88 4 05 5 09 5 8 5 96 6 9 6 97 6 05 7 7 03 7 07 8 07 8 06 8 8 9 9 95 9 0 05 0 06 30 0 .5 80 90 3 90 00 7 00 0 3
冲 压 外 圈 型 滚 针 轴 承 通 用 滚 针 与 保 持 架 组 件 连 杆 用 滚 针 与 保 持 架 组 件 车 削 型 滚 针 轴 承 -Lube 自 润 滑 车 削 型 滚 针 轴 承 附 带 分 离 型 保 持 架 滚 针 轴 承 滚 子 轴 承 推 力 轴 承 复 合 型 滚 针
滚 针 轴 承 系 列 AT- 日 本 东 晟 株 式 会 社 冲 压 外 圈 型 滚 针 轴 承 通 用 滚 针 与 保 持 架 组 件 连 杆 用 滚 针 与 保 持 架 组 件 车 削 型 滚 针 轴 承 -Lube 自 润 滑 车 削 型 滚 针 轴 承 附 带 分 离 型 保 持 架 滚 针 轴 承 滚 子 轴 承 推 力 轴 承 复 合 型 滚 针 轴 承 内 圈 凸 轮 从 动 轴 承
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常 见 支 座 形 式 及 提 供 的 反 力 : 几 何 不 变 体 系 组 成 规 律 : (1) 用 既 不 平 行 又 不 相 交 于 一 点 的 三 连 杆 连 接 两 个 刚 体 (2) 用 一 连 杆 和 不 再 同 一 直 线 上 的 铰 连 接 两 个 刚 体 (3) 不 再 同 一 直 线 上 的 铰 连 接 三 个 刚 体 (4) 一 个 刚 体 加 两 相 交 的 连 杆 拱
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[email protected] Office: 1006 Phone: 63600565 http://staff.ustc.edu.cn/~zwp/ http://fisher.stat.ustc.edu.cn 1.1................. 2 1.2,........... 9 1.3................. 13 1.4.................... 16 1.5..................
Microsoft Word - 物质结构导论E4.docx
前 言 本 书 是 我 们 在 中 国 科 学 技 术 大 学 讲 授 物 质 结 构 课 程 所 编 的 讲 义 的 基 础 上 多 次 补 充 修 改 而 成 的 目 前, 用 量 子 理 论 处 理 原 子 分 子 和 固 体 的 结 果 已 能 根 据 微 观 粒 子 的 相 互 作 用 来 解 释 和 预 言 很 多 宏 观 上 所 能 观 察 到 的 规 律 因 此, 这 门 课 的 目
:,,,, ( CIP ) /,. :, ISBN CIP ( 2001) : : 127, : : : ht t p: / / www. nwpup. com : :
:,,,, ( CIP ) /,. :, 2001. 8 ISBN 7 5612 1363 8............. 0342 CIP ( 2001) 027392 : : 127, : 710072 : 029-8493844 : ht t p: / / www. nwpup. com : : 787mm1 092mm : 19. 75 : 480 : 2001 8 1 2001 8 1 :
n B n B = 10 3 1 B n B n 78 B 10 = = 10 9 3 87 n B 10 n B 9 = 1 10 = 0. 999999999 4 n B K e V K o + 1 o + - 1 e + v e e o + 1 K e + - e 0.33% CP e K 1 o e o 1 B K CP X q + q X q +1 X q q X q 1 q q 1 1
CIP / 005 ISBN X Ⅰ Ⅱ Ⅲ - - Ⅳ G CIP ISBN X/G http / /cbs pku edu cn pku edu
CIP / 005 ISBN 7-30-08496-X Ⅰ Ⅱ Ⅲ - - Ⅳ G634 603 CIP 004 353 ISBN 7-30-08496-X/G 380 0087 http / /cbs pku edu cn 67505 58874083 67656 xxjs@pup pku edu cn 675490 787 09 6 4 75 383 005 005 9 00 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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第 一 章 數 與 坐 標 系 大 學 聯 考 試 題 與 推 薦 甄 選 試 題 第 一 類 大 學 入 學 甄 試 試 題 評 量 1. 下 列 何 者 是 2 100 除 以 10 的 餘 數? (1) 0 (2) 2 (3) 4 (4) 6 (5) 8 88 年 2. 一 個 正 三 角 形 的 面 積 為 36, 今 截 去 三 個 角 ( 如 右 圖 ), 使 成 為 正 六 邊 形,
2 68 975 466 975 34 347 972 33 25 957 27 296 958 220 978 959 30 + X2 + X3 X2 X3 = 4Y Y = Z + Z2 Z + Z2 + X3 = 7 26 + X2 + X32 X2 X23 = 4Y2 Y2 = Z23 + Z2 Z22 + Z2 + Z32 = 3 24 + X3 + X23 X3 X32 = 4Y3
Microsoft Word - chead095.doc
管 制 人 员 : 康 乐 及 文 化 事 务 署 署 长 会 交 代 本 总 目 下 的 开 支 二 O 一 O 至 一 一 年 度 预 算... 54.547 亿 元 二 O 一 O 至 一 一 年 度 的 编 制 上 限 ( 按 薪 级 中 点 估 计 的 年 薪 值 ) 相 等 于 由 二 O 一 O 年 三 月 三 十 一 日 预 算 设 有 的 8 049 个 非 首 长 级 职 位,
虎克定律實驗 楊勝斐
虎 克 定 律 實 驗 楊 勝 斐 1. 目 地 : 測 試 彈 簧 的 虎 克 定 律, 並 從 彈 簧 作 簡 諧 運 動 的 特 性, 以 求 其 彈 性 係 數. 儀 器 : 彈 簧 一 條, 砝 碼 一 組, 虎 克 定 律 儀 一 組, 碼 錶 一 個, 米 尺 一 支 圖 1. 虎 克 定 律 儀 器 全 圖 與 零 件 圖 1 圖. 彈 簧 受 外 力 產 生 反 彈 力 與 變 形
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历 年 MBA MPAcc 联 考 数 学 真 题 及 答 案 详 解 (009-0) 009 年 月 MBA 联 考 数 学 真 题 及 答 案 详 解 一 问 题 求 解 ( 本 大 题 共 小 题, 每 小 题 分, 共 分 下 列 每 题 给 出 的 五 个 选 项 中, 只 有 一 项 是 符 合 试 题 要 求 的 请 在 答 题 卡... 上 将 所 有 选 项 的 字 母 涂 黑 ).
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8.1 f G(f) 3.1.5 G(f) f G(f) f = a 1 = a 2 b 1 = b 2 8.1.1 {a, b} a, b {a} = {a, a}{a} 8.1.2 = {{a}, {a, b}} a, b a b a, b {a}, {a, b}{a} {a, b} 8.1.3
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1, : ( ),?, :,,,, ( ), 1 180,, ( ) 1 1,, 2 180 ;,, 3 180 ;, n ( n - 2 ),, ( n - 2) 180 1 1, : ( ),.,, 2, (, ) 1 , 3 x + y = 14, 2 x - y = 6 : 1 ( ) : + 5 x = 20, x = 4 x = 4 y = 2, x = 4, y = 2 2 ( ) :
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Microsoft Word - whfq fm_new_.doc
图 灵 数 学 统 计 学 丛 书 The Calculus Lifesaver:All the Tools You Need to Excel at Calculus 普 林 斯 顿 微 积 分 读 本 [ 美 ] Adrian Banher 著 杨 爽 赵 晓 婷 高 璞 译 北 京 图 书 在 版 编 目 (CIP) 数 据 普 林 斯 顿 微 积 分 读 本 / ( 美 ) 班 纳 (Banner,
-2 4 - cr 5 - 15 3 5 ph 6.5-8.5 () 450 mg/l 0.3 mg/l 0.1 mg/l 1.0 mg/l 1.0 mg/l () 0.002 mg/l 0.3 mg/l 250 mg/l 250 mg/l 1000 mg/l 1.0 mg/l 0.05 mg/l 0.05 mg/l 0.01 mg/l 0.001 mg/l 0.01 mg/l () 0.05 mg/l
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Solutions to Exercises in "Discrete Mathematics Tutorial"
1 2 (beta 10 ) 3 SOLVED AND TEXIFIED BY 4 HONORED REVIEWER BBS (lilybbs.us) 1 2002 6 1 2003 1 2 2 ( ) (E-mail: [email protected]) 3 beta 2005 11 9 ( / ) 40.97% 4 02CS chouxiaoya tedy akaru yitianxing
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26 13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 1 18 1. xy D D = {(x, y) y 2 x 4 y 2,y } x + y2 dxdy D 2 y O 4 x 2. xyz D D = {(x, y, z) x 1, y x 2, z 1, y+ z x} D 3. [, 1] [, 1] (, ) 2 f (1)
第6章
第 6 章 控 制 系 统 的 设 计 6. 引 言 我 们 已 经 在 前 面 几 章 学 习 了 分 析 控 制 系 统 的 方 法, 其 最 终 目 的 是 为 了 能 够 设 计 控 制 系 统 控 制 系 统 的 分 析 是 研 究 给 定 系 统 的 动 态 和 稳 态 特 性 控 制 系 统 的 设 计 则 是 一 个 相 反 的 过 程, 即 根 据 生 产 工 艺 的 要 求 设
高二立體幾何
008 / 009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 高 二 立 體 幾 何 參 選 編 號 :C00 學 科 名 稱 : 適 用 程 度 : 高 二 簡 介 一 本 教 學 設 計 的 目 的 高 中 立 體 幾 何 的 學 習 是 學 生 較 難 理 解 而 又 非 常 重 要 的 一 個 部 分, 也 是 高 中 教 學 中 較 難 講 授 的 一 個 部 分. 像 國 內 的 聯 校
2 目 录 2.4.1 Euler 方 法................................ 39 2.4.2 龙 格 库 塔 方 法............................ 40 2.4.3 两 点 边 值 问 题...........................
目 录 第 零 章 绪 论 5 第 一 章 计 算 机 数 和 误 差 9 1.1 计 算 机 数 及 其 表 示................................ 9 1.2 舍 入 误 差 对 计 算 的 影 响............................. 10 1.3 减 法 的 计 算.................................... 12
一、單選題 (50題 每題1分 共50分)
國 立 基 隆 高 級 中 學 97 年 度 第 學 期 第 一 次 期 中 考 二 年 級 生 物 試 題 卷 請 用 電 腻 卡 作 答 命 題 教 師 : 周 以 欣 一 單 選 題 : 每 題 分 共 54 分 0. 從 左 側 頭 頸 胸 及 腹 部 下 肢 來 的 淋 巴 最 先 匯 入 下 列 何 處? (A) 胸 管 (B) 右 淋 巴 總 管 (C) 左 鎖 骨 下 靜 脈 (D)
封面
高 中 数 学 教 师 备 课 联 盟 ( 群 刊 ) 4503 卷 首 语 教 师 要 做 师, 不 要 做 匠 叶 澜 创 新 现 在 是 一 个 非 常 流 行 的 名 词, 什 么 人 都 可 以 说, 哪 里 都 在 这 么 说. 对 于 教 育 来 讲, 创 新 创 造 创 生, 其 实 都 跟 人 的 生 命 有 关. 人 作 为 一 个 生 命 体, 要 生 存, 要 发 展, 就
Solutions to Exercises in "Discrete Mathematics Tutorial"
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才俊學校課程設計 _總目_.PDF
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1. PDE u(x, y, ) PDE F (x, y,, u, u x, u y,, u xx, u xy, ) = 0 (1) F x, y,,uu (solution) u (1) u(x, y, )(1)x, y, Ω (1) x, y, u (1) u Ω x, y, Ωx, y, (P
2008.9-2008.12 Laplace Li-Yau s Harnack inequality Cauchy Cauchy-Kowalevski H. Lewy Open problems F. John, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1982. 2002 2008 1 1. PDE u(x, y, ) PDE F (x,
1 32 a + b a + b 2 2 a b a b 2 2 2 4a 12a + 9 a 6 2 4 a 12a + 9 a 6 ( 2a 3) 2 a 6 3 1 2 4 + 2 4 8 + 3 6 12 + 1 3 9 + 2 6 18+ 3 9 27 + 1 10 1 10 ax + by = 2 cx 7y = 8 1 2 1 4 1 8 1
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药学白皮书.FIT)
目 录 (1) (12) (35) 第 一 章 药 典 (35) 第 二 章 药 物 分 析 基 础 (36) 第 三 章 物 理 常 数 测 定 法 (39) 第 四 章 滴 定 分 析 法 (40) 第 五 章 分 光 光 度 法 (41) 第 六 章 色 谱 法 (43) 第 七 章 体 内 药 物 分 析 (47) 第 八 章 药 物 的 杂 质 检 测 (48 (57) 第 一 章 绪 论
Cauchy Duhamel Cauchy Cauchy Poisson Cauchy 1. Cauchy Cauchy ( Duhamel ) u 1 (t, x) u tt c 2 u xx = f 1 (t, x) u 2 u tt c 2 u xx = f 2 (
Cauchy Duhamel Cauchy CauchyPoisson Cauchy 1. Cauchy Cauchy ( Duhamel) 1.1.......... u 1 (t, x) u tt c 2 u xx = f 1 (t, x) u 2 u tt c 2 u xx = f 2 (t, x) 1 C 1 C 2 u(t, x) = C 1 u 1 (t, x) + C 2 u 2 (t,
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Microsoft Word - 烘焙食品乙級第二部份 doc
烘 焙 食 品 乙 級 技 術 士 技 能 檢 定 術 科 參 考 資 料 試 題 編 號 :077-900201-3 審 定 日 期 : 年 月 日 修 訂 日 期 :96 年 7 月 1 日 97 年 1 月 30 日 97 年 10 月 27 日 98 年 6 月 20 日 98 年 12 月 17 日 99 年 08 月 20 日 烘 焙 食 品 乙 級 技 術 士 技 能 檢 定 術 科
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官 方 网 站 : 圣 才 学 习 网 www.xuexi.o 免 费 咨 询 热 线 :46-3-9 物 理 化 学 主 要 公 式 及 使 用 条 件 第 一 章 气 体 的 VT 关 系 主 要 公 式 及 使 用 条 件. 理 想 气 体 状 态 方 程 式 V ( / M ) RT nrt 或 V ( V / n) RT 式 中,V,T 及 n 单 位 分 别 为 Pa, 3,K 及 ol
中 华 人 民 共 和 国 国 家 标 准 混 凝 土 结 构 设 计 规 范 Code for design of concrete structures GB 50010 2002 主 编 部 门 : 中 华 人 民 共 和 国 建 设 部 批 准 部 门 : 中 华 人 民 共 和 国 建 设
UDC 中 华 人 民 共 和 国 国 家 标 准 P GB 50010 2002 混 凝 土 结 构 设 计 规 范 Code for design of concrete structures 2002 02 20 发 布 2002 04 01 实 施 中 华 人 民 共 和 国 建 设 部 联 合 发 布 国 家 质 量 监 督 检 验 检 疫 总 局 第 1 页 中 华 人 民 共 和 国
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95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 趨 勢 分 析 95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 解 析 大 公 開 4 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 趨 勢 分 析 1 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 解 析 大 公 開 13 發 行 人 : 李 枝 昌 執 行 編 輯 : 蔡 孟 秀 張 龍 慧 美 術 編 輯 : 蔡 雅 真 發 行 所 : 康 熹 文 化 事 業 股
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