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- 百婵 昌
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1 前 言 线 性 代 数 (linear algebra) 是 代 数 学 的 一 个 分 支, 它 以 研 究 向 量 空 间 与 线 性 映 射 为 对 象 ; 由 于 法 国 数 学 家 费 马 (Fermat, ) 和 笛 卡 儿 (Descartes, ) 的 工 作, 线 性 代 数 基 本 上 出 现 于 17 世 纪 代 数 这 一 词 在 我 国 出 现 较 晚, 在 清 代 时 才 传 入 中 国, 当 时 被 人 们 译 成 阿 尔 热 巴 拉, 直 到 1859 年, 清 代 著 名 的 数 学 家 翻 译 家 李 善 兰 ( ) 才 将 它 翻 译 成 为 代 数 学, 一 直 沿 用 至 今 历 史 上 线 性 代 数 的 第 一 个 问 题 是 关 于 解 线 性 方 程 组 的 问 题, 最 初 的 线 性 方 程 组 问 题 大 都 是 来 源 于 生 活 实 践, 正 是 实 际 应 用 问 题 刺 激 了 线 性 代 数 这 一 学 科 的 诞 生 与 发 展 一 背 景 资 料 一 行 列 式 行 列 式 (determinant) 出 现 于 线 性 方 程 组 的 求 解, 它 最 早 是 一 种 速 记 的 表 达 式, 现 在 已 经 是 数 学 中 一 种 非 常 有 用 的 工 具 而 行 列 式 的 概 念 最 早 则 是 由 日 本 数 学 家 关 孝 和 (Seki Takakazu, ) 在 1683 年 提 出 来 的, 他 在 一 部 叫 做 解 伏 题 之 法 的 著 作 ( 意 思 是 解 行 列 式 问 题 的 方 法 ) 里, 对 行 列 式 的 概 念 和 它 的 展 开 已 经 有 了 清 楚 的 叙 述, 欧 洲 第 一 个 提 出 行 列 式 概 念 的 是 德 国 数 学 家 微 积 分 学 奠 基 人 之 一 莱 布 尼 兹 (G.W.Leibnitz, ), 时 间 是 在 1693 年 4 月, 他 在 写 给 法 国 数 学 家 洛 必 达 (L Hospital, ) 的 一 封 信 中 使 用 并 给 出 了 行 列 式, 同 时 给 出 方 程 组 的 系 数 行 列 式 为 零 的 条 件 1750 年, 瑞 士 数 学 家 克 莱 姆 (G.Cramer, ) 在 其 著 作 线 性 代 数 分 析 导 引 中, 对 行 列 式 的 定 义 和 展 开 法 则 给 出 了 比 较 完 整 明 确 的 阐 述, 并 给 出 了 由 系 数 行 列 式 来 确 定 线 性 方 程 组 解 的 重 要 基 本 公 式 ( 即 人 们 熟 悉 的 克 莱 姆 法 则 ) 1764 年, 法 国 数 学 家 贝 祖 (Etienne Bezout, ) 将 确 定 行 列 式 每 一 项 符 号 的 方 法 进 行 了 系 统 化 对 给 定 了 含 n 个 未 知 量 的 n 个 齐 次 线 性 方 程 组, 他 证 明 了 系 数 行 列 式 等 于 零 是 这 方 程 组 有 非 零 解 的 条 件 1
2 总 之, 在 很 长 一 段 时 间 内, 行 列 式 知 识 作 为 解 线 性 方 程 组 的 一 种 工 具 使 用, 并 没 有 人 意 识 到 它 可 以 独 立 于 线 性 方 程 组 之 外, 单 独 形 成 一 门 理 论 加 以 研 究 在 行 列 式 的 发 展 史 上, 第 一 个 对 行 列 式 理 论 做 出 连 贯 的 逻 辑 的 阐 述, 即 把 行 列 式 理 论 与 线 性 方 程 组 求 解 相 分 离 的 人, 是 法 国 数 学 家 范 德 蒙 (A.T.Vandremonde, ), 时 间 是 1772 年, 他 给 出 了 用 二 阶 子 式 和 它 们 的 余 子 式 来 展 开 行 列 式 的 法 则 就 对 行 列 式 本 身 进 行 研 究 这 一 点 而 言, 他 是 行 列 式 理 论 的 奠 基 人 同 一 年, 法 国 数 学 家 拉 普 拉 斯 (Laplace, Pierre-Simon, ) 在 对 积 分 和 世 界 体 系 的 探 讨 中, 证 明 了 范 德 蒙 的 一 些 规 则, 并 推 广 了 他 的 展 开 行 列 式 的 方 法, 用 r 阶 子 式 及 其 余 子 式 来 展 开 行 列 式, 这 个 方 法 现 在 仍 然 以 他 的 名 字 命 名 1815 年, 法 国 数 学 家 柯 西 (A.L.Cauchy, ) 首 先 提 出 行 列 式 这 个 名 称, 他 在 一 篇 论 文 中 给 出 了 行 列 式 的 第 一 个 系 统 的 几 乎 是 近 代 的 处 理, 其 中 主 要 结 果 之 一 是 行 列 式 的 乘 法 公 式 另 外, 他 第 一 个 把 行 列 式 的 元 素 排 成 方 阵, 采 用 双 重 足 标 标 记 法 ; 改 进 并 证 明 了 拉 普 拉 斯 的 行 列 式 展 开 定 理 1841 年, 英 国 数 学 家 凯 莱 (A.Cayley, ) 首 先 创 用 了 行 列 式 记 号 继 柯 西 之 后, 在 行 列 式 理 论 方 面 最 多 产 的 人 就 是 德 国 数 学 家 雅 可 比 (Carl Gustav Jacobi, ), 他 引 进 了 函 数 行 列 式, 即 雅 可 比 行 列 式, 指 出 函 数 行 列 式 在 多 重 积 分 的 变 量 替 换 中 的 作 用, 给 出 了 函 数 行 列 式 的 导 数 公 式 1841 年, 雅 可 比 的 著 名 论 文 论 行 列 式 的 形 成 和 性 质 标 志 着 行 列 式 系 统 理 论 的 建 成 由 于 行 列 式 在 数 学 分 析 几 何 学 线 性 方 程 组 理 论 二 次 型 理 论 等 多 方 面 的 应 用, 促 使 行 列 式 理 论 自 身 在 19 世 纪 也 得 到 了 很 大 发 展 整 个 19 世 纪 都 有 行 列 式 的 新 结 果 除 了 一 般 行 列 式 的 大 量 定 理 之 外, 还 有 许 多 有 关 特 殊 行 列 式 的 其 他 定 理 相 继 得 到 二 背 景 资 料 二 矩 阵 矩 阵 (matrix) 是 数 学 中 的 一 个 重 要 的 基 本 概 念, 是 代 数 学 的 一 个 主 要 研 究 对 象, 也 是 数 学 研 究 和 应 用 的 一 个 重 要 工 具 矩 阵 ( 该 词 来 源 于 拉 丁 语, 表 示 一 2
3 排 数 的 意 思 ) 这 一 术 语 是 英 格 兰 数 学 家 西 尔 维 斯 特 (J.J.Sylvester, ) 在 1850 年 首 先 使 用 的, 他 是 为 了 将 数 字 的 矩 形 阵 列 区 别 于 行 列 式 而 发 明 了 这 个 术 语 由 于 西 尔 维 斯 是 犹 太 人, 故 他 在 取 得 剑 桥 大 学 数 学 荣 誉 会 考 第 二 名 的 优 异 成 绩 时, 仍 被 禁 止 在 剑 桥 大 学 任 教 从 1841 年 起 他 接 受 过 一 写 较 低 的 教 授 职 位, 也 担 任 过 书 记 官 和 律 师 经 过 一 些 年 的 努 力, 他 终 于 成 为 霍 布 金 斯 大 学 的 教 授, 并 于 1884 年 70 岁 时 重 返 英 格 兰 成 为 牛 津 大 学 的 教 授 他 开 创 了 美 国 纯 数 学 研 究, 并 创 办 了 美 国 数 学 杂 志 在 长 达 50 多 年 的 时 间 内, 他 是 行 列 式 和 矩 阵 论 始 终 不 渝 的 作 者 之 一 实 际 上, 矩 阵 这 个 课 题 在 诞 生 之 前 就 已 经 发 展 得 很 好 了 从 行 列 式 的 大 量 工 作 中 明 显 地 表 现 出 来, 为 了 很 多 目 的, 不 管 行 列 式 的 值 是 否 与 问 题 有 关, 方 阵 本 身 都 可 以 研 究 和 使 用, 矩 阵 的 许 多 基 本 性 质 也 是 在 行 列 式 的 发 展 中 建 立 起 来 的 在 逻 辑 上, 矩 阵 的 概 念 应 先 于 行 列 式 的 概 念, 然 而 在 历 史 上 次 序 正 好 相 反 矩 阵 作 为 线 性 方 程 组 系 数 的 排 列 形 式 可 以 追 溯 到 古 代 ( 我 国 九 章 算 术 一 书 中 已 有 类 似 形 式 ) 在 18 世 纪, 这 种 排 列 式 在 线 性 方 程 组 和 行 列 式 计 算 中 应 用 日 广 最 早 利 用 矩 阵 概 念 的 属 意 大 利 数 学 家 拉 格 朗 日 (J.L.Lagrange, , 后 移 居 法 国 ), 这 一 工 作 在 其 双 线 性 型 研 究 中 得 到 体 现 从 19 世 纪 50 年 代 开 始, 英 国 数 学 家 凯 莱 和 西 尔 维 斯 特 进 一 步 发 展 了 矩 阵 理 论, 且 把 矩 阵 作 为 极 为 重 要 的 研 究 工 具 凯 莱 一 般 被 公 认 为 是 矩 阵 论 的 创 立 者, 因 为 他 首 先 把 矩 阵 作 为 一 个 独 立 的 数 学 概 念 提 出 来, 并 首 先 发 表 了 关 于 这 个 题 目 的 一 系 列 文 章 1858 年, 他 发 表 了 关 于 这 一 课 题 的 第 一 篇 论 文 矩 阵 论 的 研 究 报 告, 系 统 地 阐 述 了 关 于 矩 阵 的 理 论 文 中 他 给 出 了 现 在 通 用 的 一 系 列 定 义, 如 两 个 矩 阵 的 相 等 零 矩 阵 单 位 矩 阵 两 个 矩 阵 的 和 一 个 数 与 一 个 矩 阵 的 数 量 积 两 个 矩 阵 的 积 矩 阵 的 逆 矩 阵 转 置 矩 阵 等 凯 莱 注 意 到 矩 阵 乘 法 是 可 结 合 的, 但 一 般 不 可 交 换 凯 莱 出 生 于 一 个 古 老 而 有 才 能 的 英 国 家 庭, 剑 桥 大 学 三 一 学 院 大 学 毕 业 后 留 校 讲 授 数 学,3 年 后 他 转 从 律 师 职 业, 工 作 卓 有 成 效, 并 利 用 业 余 时 间 研 究 数 学, 发 表 了 大 量 的 数 学 论 文 3
4 矩 阵 由 最 初 作 为 一 种 工 具 经 过 两 个 多 世 纪 的 发 展, 现 在 已 成 为 独 立 的 一 门 数 学 分 支 矩 阵 论 而 矩 阵 论 又 可 分 为 矩 阵 方 程 论 矩 阵 分 解 论 和 广 义 逆 矩 阵 论 等 矩 阵 的 现 代 理 论 矩 阵 及 其 理 论 现 已 应 用 于 自 然 科 学 工 程 技 术 社 会 科 学 等 许 多 领 域 如 在 观 测 导 航 机 器 人 的 位 移 化 学 分 子 结 构 的 稳 定 性 分 析 密 码 通 讯 模 糊 识 别 计 算 机 层 析 及 X 射 线 照 相 术 等 方 面 都 有 广 泛 的 应 用 随 着 现 代 数 字 计 算 机 的 飞 速 发 展 和 广 泛 应 用, 许 多 实 际 问 题 可 以 通 过 离 散 化 的 数 值 计 算 得 到 定 量 的 解 决 于 是 作 为 处 理 离 散 问 题 的 线 性 代 数 和 矩 阵 计 算, 成 为 从 事 科 学 研 究 和 工 程 设 计 的 科 技 人 员 必 备 的 数 学 基 础 三 背 景 资 料 三 向 量 向 量 空 间 的 几 何 背 景 是 通 常 解 析 几 何 里 的 平 面 R 2 和 空 间 R 3 在 这 里, 一 个 向 量 是 一 个 有 方 向 的 线 段, 由 长 度 和 方 向 同 时 表 征 这 样 向 量 可 以 用 来 表 示 物 理 量, 比 如 力, 它 可 以 做 加 法 也 可 以 和 标 量 做 乘 法 这 就 是 实 数 向 量 空 间 的 第 一 个 例 子 向 量 空 间 是 线 性 代 数 的 重 要 内 容, 直 到 18 世 纪 末, 它 研 究 领 域 还 只 限 于 平 面 与 空 间 19 世 纪 上 半 叶 才 完 成 了 到 n 维 向 量 空 间 的 过 渡 现 代 向 量 空 间 的 定 义 由 意 大 利 数 学 家 皮 亚 诺 (Peano,Giuseppe, ) 于 1888 年 提 出 的 德 国 数 学 家 托 普 利 茨 (Toplitz,Otto, ) 将 线 性 代 数 的 主 要 定 理 推 广 到 任 意 体 上 的 最 一 般 的 向 量 空 间 中 作 为 证 明 定 理 而 使 用 的 纯 抽 象 概 念, 向 量 空 间 ( 线 性 空 间 ) 属 于 抽 象 代 数 的 一 部 分, 而 且 已 经 非 常 好 地 溶 入 了 这 个 领 域 一 些 显 著 的 例 子 有 : 不 可 逆 线 性 映 射 或 矩 阵 的 群, 向 量 空 间 的 线 性 映 射 的 环 线 性 代 数 也 在 数 学 分 析 中 扮 演 着 重 要 角 色, 特 别 在 向 量 分 析 中 描 述 高 阶 导 数, 研 究 张 量 积 和 可 交 换 映 射 等 领 域 数 学 家 试 图 研 究 向 量 代 数, 但 在 任 意 维 数 中 并 没 有 两 个 向 量 乘 积 的 自 然 定 义 第 一 个 涉 及 一 个 不 可 交 换 向 量 积 ( 既 V W 不 等 于 W V) 的 向 量 代 数 是 由 德 国 数 学 家 格 拉 斯 曼 (Grassmann,Hermann, ) 在 他 的 线 性 扩 张 论 一 书 中 提 出 的 (1844), 从 而 产 生 了 现 在 称 为 多 项 式 环 的 结 构 这 些 成 就 对 后 来 的 4
5 数 学 发 展 有 重 大 影 响, 然 而 却 超 出 了 当 时 数 学 家 们 的 接 受 能 力 知 道 他 逝 世 前 后 才 受 到 重 视, 并 得 到 应 用 1854 年, 法 国 数 学 家 埃 尔 米 特 (C.Hermite, ) 使 用 了 正 交 矩 阵 这 一 术 语, 但 它 的 正 式 定 义 直 到 1878 年 才 由 德 国 数 学 家 费 罗 贝 尼 乌 斯 (F.G.Frobenius, ) 发 表 1879 年, 费 罗 贝 尼 乌 斯 引 入 了 矩 阵 的 秩 的 概 念 在 19 世 纪 末 美 国 数 学 物 理 学 家 吉 伯 斯 (Willard Gibbs, ) 发 表 了 关 于 向 量 分 析 基 础 的 著 名 论 述 其 后 英 国 数 学 物 理 学 家 狄 拉 克 (P.A.M.Dirac, ) 提 出 了 行 向 量 和 列 向 量 的 乘 积 为 标 量 我 们 习 惯 的 列 矩 阵 和 向 量 都 是 在 20 世 纪 由 物 理 学 家 给 出 的 四 背 景 资 料 四 线 性 方 程 组 线 性 方 程 组 (system of linear equations) 是 关 于 未 知 量 是 一 次 的 方 程 组, 这 是 最 简 单 也 是 最 重 要 的 一 类 代 数 方 程 组 线 性 方 程 组 的 解 法, 早 在 中 国 古 代 的 数 学 著 作 九 章 算 术 方 程 中 已 经 作 了 比 较 完 整 的 论 述 其 中 所 述 方 法 实 质 相 当 于 现 代 的 对 方 程 组 的 增 广 矩 阵 所 施 行 的 初 等 变 换 从 而 消 去 未 知 量 的 方 法 在 西 方, 线 性 方 程 组 的 研 究 是 在 17 世 纪 后 期 由 莱 布 尼 兹 开 创 的 他 曾 研 究 含 两 个 未 知 量 的 3 个 线 性 方 程 组 成 的 方 程 组, 证 明 了 当 方 程 组 的 结 式 等 于 零 时 方 程 有 解 大 约 在 1729 年, 英 国 数 学 家 马 克 劳 林 (Colin Maclaurin, ) 开 始 用 行 列 式 的 方 法 解 含 2 4 个 未 知 量 的 线 性 方 程 组, 得 到 了 现 在 称 为 克 莱 姆 法 则 的 结 果, 马 克 劳 林 虽 然 比 克 莱 姆 早 两 年 发 现 这 个 法 则, 但 不 及 克 莱 姆 发 现 的 规 律 明 晰 18 世 纪 60 年 代 以 后, 法 国 数 学 家 贝 祖 对 线 性 方 程 组 理 论 进 行 了 一 系 列 研 究, 证 明 了 n 元 n 个 方 程 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 的 条 件 是 系 数 行 列 式 等 于 零, 还 利 用 消 元 法 将 高 次 方 程 问 题 与 线 性 方 程 组 联 系 起 来, 提 供 了 某 些 n 次 方 程 的 解 法 大 约 在 1800 年, 德 国 数 学 家 天 文 学 家 和 物 理 学 家 高 斯 (Carl Friedrich Gauss, ) 提 出 了 高 斯 消 元 法 并 用 它 解 决 了 天 体 计 算 和 后 来 的 地 球 表 面 测 量 计 算 中 的 最 小 二 乘 法 问 题 ( 这 种 涉 及 测 量 求 取 地 球 形 状 或 当 地 精 确 位 置 的 应 用 数 学 分 支 称 为 测 地 5
6 学 ) 虽 然 高 斯 由 于 这 个 技 术 成 功 地 消 去 了 线 性 方 程 的 变 量 而 出 名, 但 早 在 几 世 纪 中 国 人 的 手 稿 中 就 出 现 了 解 释 如 何 运 用 高 斯 消 元 的 方 法 求 解 带 有 3 个 未 知 量 的 三 个 方 程 系 统 在 当 时 的 几 年 里, 高 斯 消 元 法 一 直 被 认 为 是 测 地 学 发 展 的 一 部 分, 而 不 是 数 学 在 高 斯 约 当 消 元 法 则 最 初 (1866) 是 出 现 在 由 大 地 测 量 学 家 Wilhelm Jordan 撰 写 的 测 地 学 手 册 中, 许 多 人 把 著 名 的 法 国 数 学 家 约 当 (Camille Jordan, ) 误 认 为 是 高 斯 约 当 消 元 法 中 的 约 当 到 了 19 世 纪, 英 国 数 学 家 史 密 斯 (Henry Smith, ) 和 道 奇 森 (Chasrels Lutwidge Dodgson, , 英 国 牛 津 大 学 数 学 讲 师, 虽 在 数 学 上 并 无 另 人 注 意 的 成 就, 但 他 在 儿 童 文 学 创 作 和 趣 题 及 智 力 游 戏 方 面 显 露 杰 出 的 才 华, 他 著 的 童 话 小 说 爱 丽 斯 漫 游 奇 境 记 使 他 名 垂 青 史 ) 继 续 研 究 线 性 方 程 组 理 论, 前 者 引 进 了 方 程 组 的 增 广 矩 阵 和 非 增 广 矩 阵 的 概 念, 后 者 证 明 了 n 个 未 知 量 m 个 方 程 的 方 程 组 相 容 的 冲 要 条 件 是 系 数 矩 阵 和 增 广 矩 阵 的 秩 相 同 这 正 是 现 代 方 程 组 理 论 中 的 重 要 结 果 之 一 大 量 的 科 学 技 术 问 题, 最 终 往 往 归 结 为 解 线 性 方 程 组 因 此 在 线 性 方 程 组 的 数 值 解 法 得 到 发 展 的 同 时, 线 性 方 程 组 解 的 结 构 等 理 论 性 工 作 也 取 得 了 另 人 满 意 的 进 程 现 在, 线 性 方 程 组 的 数 值 解 法 在 计 算 数 学 中 占 有 重 要 地 位 五 背 景 资 料 五 矩 阵 特 征 值 问 题 特 征 方 程 (characteristic equation) 的 概 念 最 早 隐 含 地 出 现 在 瑞 士 数 学 家 欧 拉 (Leonhard Euler, ) 的 著 作 中, 这 个 术 语 首 先 由 柯 西 明 确 地 给 出, 他 证 明 了 阶 数 超 过 3 的 矩 阵 有 特 征 值 及 任 意 阶 实 对 称 矩 阵 都 有 特 征 值 ; 给 出 了 相 似 矩 阵 的 概 念, 并 证 明 了 相 似 矩 阵 有 相 同 的 特 征 值 ; 研 究 了 代 换 理 论 柯 西 ( ) 法 国 数 学 家, 生 卒 于 巴 黎 柯 西 诞 生 于 法 国 大 革 命 时 期, 由 于 宗 教 与 政 治 信 仰 的 关 系, 幼 年 时 曾 随 家 庭 短 暂 颠 沛 他 的 家 庭 与 拉 普 拉 斯 拉 格 朗 日 关 系 较 好, 拉 格 朗 日 可 以 算 是 他 的 数 学 启 蒙 老 师 柯 西 在 分 析 学 与 数 学 物 理 卓 有 贡 献, 也 是 微 积 分 严 格 化 的 第 一 人, 是 加 固 数 学 大 厦 的 巨 匠, 历 史 6
7 上 罕 见 的 数 学 大 师 他 的 著 作 甚 丰, 共 出 版 了 7 部 著 作 和 789 篇 论 文 以 分 析 教 程 (1821), 无 穷 小 计 算 讲 义 (1823) 和 微 分 计 算 教 程 ( ) 最 为 著 名, 堪 称 数 学 史 上 划 时 代 的 著 作 挪 威 著 名 数 学 家 阿 贝 尔 (Niels Henrik Abel, ) 指 出 : 每 一 个 在 数 学 研 究 中 喜 欢 严 密 性 的 人 都 应 该 读 这 本 杰 出 的 著 作 分 析 教 程 柯 西 一 生 成 就 辉 煌, 但 也 出 现 过 失 误 特 别 是 他 当 时 作 为 数 学 权 威, 对 两 位 尚 未 成 名 的 数 学 新 秀 阿 贝 尔 和 伽 罗 瓦 (Galois,Evariste, 法 国 数 学 家, ) 的 开 创 性 论 文, 不 仅 未 及 时 作 出 结 论, 而 且 将 他 们 送 审 的 论 文 遗 失, 这 一 错 误 常 常 受 到 后 人 的 批 评 1843 年 两 度 竟 选 法 兰 西 学 院 院 长 不 成 后, 他 又 与 法 国 数 学 家 刘 维 尔 (Joseph Liouville, ) 交 恶 1855 年, 埃 尔 米 特 证 明 了 别 的 数 学 家 发 现 的 一 些 矩 阵 类 的 特 征 根 的 特 殊 性 质, 如 现 在 称 为 埃 尔 米 特 矩 阵 的 特 征 根 性 质 等 1858 年, 凯 莱 给 出 了 方 阵 的 特 征 方 程 和 特 征 根 ( 特 征 值 ) 以 及 有 关 矩 阵 的 一 些 基 本 结 果 后 来, 克 莱 伯 施 (A.Clebsch, ) 布 克 海 姆 (A.buchheim) 等 证 明 了 对 称 矩 阵 的 特 征 根 性 质 泰 伯 (H.Taber) 引 入 矩 阵 的 迹 的 概 念 并 给 出 了 一 些 有 关 的 结 论 六 背 景 资 料 六 二 次 型 二 次 型 (quadratic form) 的 系 统 研 究 是 从 18 世 纪 开 始 的, 它 起 源 于 对 二 次 曲 线 和 二 次 曲 面 的 分 类 问 题 的 讨 论, 将 二 次 曲 线 和 二 次 曲 面 的 方 程 变 形, 选 有 主 轴 方 向 的 轴 作 为 坐 标 轴 以 简 化 方 程 的 形 状 柯 西 在 其 著 作 中 给 出 结 论 : 当 方 程 是 标 准 型 时, 二 次 曲 面 用 二 次 项 的 符 号 来 进 行 分 类 然 而, 那 时 并 不 太 清 楚, 在 化 简 成 标 准 型 时, 为 何 总 是 得 到 同 样 数 目 的 正 项 和 负 项 西 尔 维 斯 特 回 答 了 这 个 问 题, 他 给 出 了 n 个 变 数 的 二 次 型 的 惯 性 定 理, 但 没 有 证 明 这 个 定 理 后 被 雅 可 比 重 新 发 现 和 证 明 1801 年, 高 斯 在 算 术 研 究 中 引 进 了 二 次 型 的 正 定 负 定 半 正 定 和 半 负 定 等 术 语 二 次 型 化 简 的 进 一 步 研 究 涉 及 二 次 型 或 矩 阵 的 特 征 方 程 的 概 念 特 征 方 程 的 概 念 隐 含 地 出 现 在 欧 拉 的 著 作 中, 拉 格 朗 日 在 其 关 于 线 性 微 分 方 程 组 的 著 作 中 首 7
8 先 明 确 地 给 出 了 这 个 概 念 而 3 个 变 数 的 二 次 型 的 特 征 值 的 实 性 则 是 由 法 国 数 学 家 阿 歇 特 (J.N.Hachette, ) 蒙 日 (G.Monge, ) 和 泊 松 (S-D Poisson, ) 建 立 的 柯 西 在 别 人 著 作 的 基 础 上, 着 手 研 究 化 简 变 数 的 二 次 型 问 题, 并 证 明 了 特 征 方 程 在 直 角 坐 标 系 的 任 何 变 换 下 的 不 变 性 后 来, 他 又 证 明 了 n 个 变 数 的 两 个 二 次 型 能 用 同 一 个 线 性 变 换 同 时 化 成 平 方 和 1851 年, 西 尔 维 斯 特 在 研 究 二 次 曲 线 和 二 次 曲 面 的 切 触 和 相 交 时 需 要 考 虑 这 种 二 次 曲 线 和 二 次 曲 面 束 的 分 类 在 他 的 分 类 方 法 中 他 引 进 了 初 等 因 子 和 不 边 因 子 的 概 念, 但 他 没 有 证 明 不 变 因 子 组 成 两 个 二 次 型 的 不 变 量 的 完 全 集 这 一 结 论 1854 年, 约 当 研 究 了 矩 阵 化 为 标 准 型 的 问 题 1858 年, 德 国 数 学 家 魏 斯 特 拉 斯 (Wilhem Weierstrass, ) 对 同 时 化 两 个 二 次 型 成 平 方 和 给 出 了 一 个 一 般 的 方 法, 并 证 明, 如 果 二 次 型 之 一 是 正 定 的, 那 么 即 使 某 些 特 征 根 相 等, 这 个 化 简 也 是 可 能 的, 魏 斯 特 拉 斯 比 较 系 统 地 完 成 了 二 次 型 的 理 论 并 将 其 推 广 到 双 线 性 型 费 罗 贝 尼 乌 斯 对 二 次 型 的 理 论 的 贡 献 是 不 可 磨 灭 的, 他 不 仅 引 进 了 矩 阵 的 秩 不 变 的 因 子 和 初 等 因 子 正 交 矩 阵 矩 阵 的 相 似 变 换 合 同 矩 阵 等 概 念, 并 讨 论 了 正 交 矩 阵 与 合 同 矩 阵 的 一 些 重 要 性 质 二 次 型 理 论 在 几 何 物 理 等 学 科 有 广 泛 应 用, 通 过 坐 标 的 正 交 变 换 所 得 标 准 形 称 为 主 轴 形 式, 它 是 解 析 几 何 问 题 的 自 然 推 广 8
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