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1 數 學 傳 播 39 卷 1 期, pp 杵 臼 關 節 阿 基 米 德 多 面 體 1 蕭 文 強 1. 中 國 數 學 家 華 羅 庚 說 過 這 樣 一 段 話 : 宇 宙 之 大 粒 子 之 微 火 箭 之 速 化 工 之 巧 地 球 之 變 生 物 之 謎 日 用 之 繁 無 處 不 用 數 學 ( 華 羅 庚 科 普 著 作 選 集, 上 海 教 育 出 版 社, 1984; 原 刊 於 1959 年 5 月 28 日 人 民 日 報 ) 讓 我 就 以 一 個 數 學 應 用 例 子 來 開 始 1981 年 春 某 天, 一 位 香 港 大 學 醫 學 院 的 同 事 向 我 們 提 出 他 在 醫 學 實 驗 當 中 碰 到 的 一 個 數 學 問 題 這 個 問 題 和 它 的 解 決 方 法, 且 聽 我 慢 慢 道 來 動 物 的 骨 骼 關 節 有 好 幾 類, 其 中 一 類 叫 做 杵 臼 關 節 (ball-and-socket) 杵 凸 出 的 部 分 和 臼 凹 入 的 部 分 並 非 完 全 吻 合, 唯 其 如 此, 杵 臼 關 節 才 能 較 好 承 受 應 力 但 杵 臼 之 間 不 時 磨 擦 卻 促 使 兩 者 的 形 狀 漸 趨 吻 合, 幸 好 關 節 的 正 常 生 長 又 抵 消 了 這 種 吻 合 現 象, 這 個 此 消 彼 長 的 過 程 在 醫 學 上 叫 做 重 模 過 程 (remodelling process) 那 位 醫 學 院 同 事 的 研 究 項 目, 就 是 探 討 外 力 對 關 節 重 模 過 程 的 影 響 了 解 這 個 情 況, 對 於 醫 療 步 驟 而 言 是 有 用 的 實 驗 是 要 計 算 受 不 同 程 度 外 力 的 杵 臼 接 觸 部 分 的 面 積 在 實 驗 過 程 中, 把 關 節 剖 開, 把 臼 部 分 拍 照, 利 用 一 種 染 色 技 巧, 把 杵 臼 的 接 觸 部 分 區 別, 在 照 片 上 顯 現 如 果 要 計 算 照 片 上 著 色 區 域 的 面 積, 那 還 好 辦, 打 方 格 便 成 了 ( 見 圖 1) 數 一 數 著 色 區 域 佔 多 少 方 格, 就 能 估 計 面 積 方 格 分 得 越 細, 估 計 值 越 準 確 圖 1 1 二 十 年 前 香 港 大 學 數 學 系 創 辦 每 年 一 度 的 普 及 數 學 講 座 系 列 數 趣 漫 話, 第 一 講 由 梁 鑑 添 博 士 主 講 350 年 懸 案 : 費 馬 最 後 大 定 理 (1994 年 3 月 12 日 ), 接 著 是 這 一 講 (1994 年 3 月 26 日 ) 當 年 中 學 的 普 及 數 學 活 動 極 少, 每 次 講 座 都 吸 引 了 數 百 名 師 生 來 參 加 際 此 數 趣 漫 話 二 十 週 年, 把 這 一 講 的 文 本 刊 於 EduMath 第 37 期 (2014 年 12 月 ), 讓 多 一 些 中 小 學 師 生 可 以 讀 到, 有 些 教 師 或 者 可 以 從 中 想 到 更 好 的 教 學 活 動, 固 我 所 願 也 承 蒙 EduMath 及 數 學 傳 播 兩 本 刊 物 的 主 編 同 意, 讓 文 本 在 兩 本 刊 物 上 刊 登, 擴 大 了 讀 者 圈, 就 更 是 我 所 願 也 謝 謝 兩 位 主 編 26

2 杵 臼 關 節 阿 基 米 德 多 面 體 27 那 位 同 事 碰 到 的 困 難 是 什 麼 呢? 照 片 只 是 平 面 投 影, 他 真 正 要 計 算 的 部 分 卻 是 個 曲 面 ( 見 圖 2) 為 了 作 近 似 計 算, 不 妨 假 設 骨 臼 是 個 半 圓 球, 它 的 橫 截 面 照 片 是 半 圓 球 面 的 投 影, 是 一 個 圓 圓 內 某 些 區 域 著 了 色, 那 是 半 圓 球 面 上 著 了 色 的 區 域 的 投 影 數 學 問 題 是 : 怎 樣 從 圓 內 著 色 的 區 域 推 算 半 圓 球 面 上 相 應 區 域 的 面 積 呢? 圖 2 數 學 提 供 了 解 決 這 種 問 題 的 理 論 工 具 : 高 等 微 積 分 的 曲 面 積 分 (surface integral), 這 屬 於 大 學 一 年 級 的 數 學 課 程 範 圍 但 是, 隨 意 給 出 圓 內 某 個 區 域, 它 可 能 難 以 用 數 學 公 式 刻 畫, 怎 麼 計 算 它 上 面 的 曲 面 積 分 呢? 那 位 醫 學 院 同 事 也 不 一 定 熟 悉 高 等 微 積 分, 他 要 求 的 是 一 種 既 簡 單 又 可 以 自 己 動 手 量 度 的 方 法, 於 是 向 我 們 提 出 這 個 問 題 大 家 來 想 一 下 計 算 平 面 區 域 面 積 的 方 法, 為 什 麼 打 方 格 這 辦 法 行 得 通 呢? 關 鍵 在 於 每 一 個 方 格 的 面 積 是 相 等 的 估 計 圖 形 所 佔 方 格 的 數 目, 乘 以 每 格 面 積, 就 得 到 答 案 了 怎 樣 在 曲 面 上 做 類 似 的 事 情 呢? 請 注 意, 我 們 看 到 的 不 是 曲 面 而 是 它 的 平 面 投 影 的 照 片, 只 能 把 照 片 上 的 區 域 分 成 小 部 分, 於 是 自 然 地 提 出 以 下 的 問 題 : 怎 樣 把 照 片 劃 成 小 部 分, 每 部 分 相 應 的 曲 面 的 面 積 都 是 相 等 的? 如 果 能 這 樣 做, 就 能 估 計 曲 面 上 區 域 的 面 積 了 既 然 平 面 上 的 方 格 那 麼 有 用, 把 它 們 投 影 到 曲 面 上, 問 題 就 解 決 了 嗎? 可 惜 答 案 是 : 不! 平 面 上 的 方 格 是 等 面 積 的, 把 它 們 投 影 到 球 面 上 卻 不 再 是 等 面 積 的 位 於 中 心 附 近 的 一 格 相 應 的 曲 面 面 積, 比 起 位 於 圓 周 附 近 一 格 相 應 的 曲 面 面 積 是 小 了 ( 見 圖 3) 圖 3 不 難 看 到, 如 果 我 們 畫 一 組 等 分 圓 周 的 半 徑, 由 這 些 線 段 組 成 的 扇 形 在 曲 面 上 的 相 應 面 積 是 相 等 的 如 果 我 們 能 夠 再 適 當 地 畫 一 組 同 心 圓, 把 這 些 扇 形 分 為 小 部 分, 使 曲 面 上 的 相 應 面 積 相 等, 問 題 不 是 解 決 了 嗎 ( 見 圖 4)?

3 28 數學傳播 39 卷 1 期 民 104 年 3 月 圖4 我帶著問題回到家, 它一直在腦子裏盤旋 晚飯後我跟一歲半的兒子玩耍, 他正在把弄一 件玩具, 是一個由一組顏色不同厚度相等的球台合拼而成的圓球 (見圖 5) 瞠著那件玩具, 我忽 地靈機一動, 想到了關鍵的問題! 那套球台的厚度兩兩相等, 它們的側面積是否也兩兩相等呢? 如果的確相等, 把球台投影到通過球中心的平面, 就得到所需的同心圓了 待兒子睡著後我連忙 拿紙筆算一算, 果然不出所料, 兩個球台只要厚度相等, 它們的側面積也相等 我再翻查數學手 冊, 證實我的計算無誤 手冊上寫著, 從半徑是 R 的圓球截取一個厚度是 H 的球台, 它的側面 積是 2πRH (見圖 6) 特別地, 具相同 H 的球台有相等的側面積 圖5 圖6 利用球台側面積的性質, 我們懂得如何把圓劃分, 使每小部分相應的曲面面積相等, 如圖 所示 (見圖 7) 數一數著色區域佔多少部分便能估計半圓球上著色區域的面積 由於那組同心 圓在平面上不是均勻的, 把劃分加細時必須作出適當處理, 其中的技術細節, 就從略了 圖7

4 杵 臼 關 節 阿 基 米 德 多 面 體 雖 然 杵 臼 關 節 的 問 題 告 一 段 落, 我 意 猶 未 盡, 因 為 球 台 側 面 積 的 公 式 很 有 意 思, 十 分 漂 亮 卻 不 明 顯 如 此 優 美 的 公 式, 前 人 是 怎 樣 發 現 的 呢? 為 求 進 一 步 了 解 這 個 問 題, 我 翻 閱 書 本, 尤 其 是 古 代 希 臘 的 數 學 文 獻, 因 為 在 那 個 時 代, 幾 何 發 展 尤 其 蓬 勃 果 然, 我 在 阿 基 米 德 (Archimedes, 公 元 前 287 年 至 公 元 前 212 年 ) 的 著 述 圓 球 與 圓 柱 (On the sphere and cylinder) 裏 面 找 到 了 解 釋 阿 基 米 德 考 慮 的 是 整 個 圓 球 的 表 面 積 A, 以 今 天 的 表 達 方 式, 答 案 是 A = 4πR 2 (R 是 圓 球 的 半 徑 ), 這 是 書 中 第 三 十 三 條 定 理 的 內 容 他 也 考 慮 球 冠 的 表 面 積, 答 案 就 是 由 頂 點 至 邊 緣 的 線 段 作 為 半 徑 的 圓 的 面 積, A = πl 2 = 2πRh ( 由 於 L 2 = 2Rh, h 是 球 冠 的 高 ), 這 是 書 中 第 四 十 二 條 定 理 的 內 容 ( 見 圖 8) 一 個 球 台 可 以 看 成 是 從 一 個 大 球 冠 減 去 一 個 小 球 冠, 假 設 大 球 冠 的 高 是 h 1, 小 球 冠 的 高 是 h 2, 那 麼 球 台 的 側 面 積 是 A = 2πRh 1 2πRh 2 = 2πR(h 1 h 2 ) = 2πRH, 其 中 H 是 球 台 的 厚 度 圖 8 阿 基 米 德 運 用 窮 竭 法 (method of exhaustion) 來 證 明 這 些 定 理, 內 裏 蘊 含 後 世 微 積 分 的 極 限 (limits) 思 想, 在 這 兒 不 岔 開 話 題 了, 不 如 讓 我 用 現 代 數 學 語 言 來 解 釋 球 台 側 面 積 的 公 式 吧 一 個 球 台 可 以 看 成 是 由 眾 多 層 截 頭 圓 錐 體 近 似 地 組 成, 每 層 越 薄, 組 成 的 物 體 便 越 趨 近 於 球 台 先 來 看 一 層 典 型 的 截 頭 圓 錐 體, 頂 是 一 個 半 徑 為 r i 的 圓, 底 是 一 個 半 徑 為 r i 的 圓, 斜 長 是 l i, 高 是 h i, 從 圓 球 中 心 至 圓 錐 側 面 的 垂 直 線 長 度 是 p i 利 用 相 似 三 角 形 的 性 質 可 知 (r i +r i)/2 : p i = h i : l i, 因 此 l i (r i +r i) = 2p i h i ( 見 圖 9) 我 們 也 知 道 截 頭 圓 錐 體 的 側 面 積 是 πl i (r i +r i) ( 留 給 讀 者 作 為 習 題, 可 以 參 考 圖 9), 也 就 是 2πp i h i 把 球 台 看 成 是 由 眾 多 層 截 頭 圓 錐 體 組 成, 每 層 越 薄, p i 趨 近 於 定 值 R, 所 以 眾 多 層 截 頭 圓 錐 體 的 側 面 積 合 起 來 趨 近 於 2πRh 1 + 2πRh 2 + =

5 30 數 學 傳 播 39 卷 1 期 民 104 年 3 月 2πR(h 1 +h 2 + ) = 2πRH, 其 中 H 是 眾 h i 的 和, 等 於 球 台 的 厚 度 圖 9 3. 阿 基 米 德 的 時 代, 是 古 代 希 臘 數 學 的 高 峰, 幾 何 方 面 尤 其 發 達, 由 以 上 敘 述 的 例 子 可 見 一 斑 但 奇 怪 地, 雖 然 有 些 結 果, 一 經 提 出, 當 時 任 何 一 位 希 臘 數 學 家 完 全 不 會 感 到 陌 生, 卻 從 來 沒 有 人 提 出 過, 遑 論 證 明 了 以 下 我 們 將 要 介 紹 一 個 這 樣 的 結 果, 它 距 阿 基 米 德 二 千 年 後 才 有 人 提 出 來 並 且 試 作 解 釋 這 個 結 果 對 後 世 數 學 發 展 非 常 重 要, 可 以 說 得 上 是 數 學 史 上 的 一 個 里 程 碑 讓 我 從 一 封 書 信 開 始 敘 述 這 段 故 事 吧 1750 年 十 一 月, 瑞 士 數 學 家 歐 拉 (Leonhard Euler, ) 寫 了 一 封 信 給 德 國 數 學 家 哥 德 巴 赫 (Christian Goldbach, ), 談 及 一 些 多 邊 形 (polygon) 與 多 面 體 (polyhedron) 類 比 的 問 題 特 別 地, 對 多 邊 形 而 言 有 以 下 兩 個 熟 知 的 結 果 : (*1) 頂 點 ( 角 ) 的 數 目 等 於 邊 的 數 目 ( 記 作 N); (*2) 內 角 和 等 於 2(N 2) 個 直 角 大 家 在 初 中 數 學 課 上 都 碰 到 (*2) 吧? 對 凸 多 邊 形 (convex polygon) 容 易 證 明 這 回 事, 但 其 實 對 凹 多 邊 形 (concave polygon), 那 依 然 是 對 的, 詳 細 情 形 在 這 兒 就 不 說 了, 回 到 歐 拉 的 信 吧 他 在 信 上 引 進 幾 個 參 數 : 多 面 體 的 面 的 數 目, 現 多 記 作 F; 頂 點 的 數 目, 現 多 記 作 V; 棱 的 數 目, 現 多 記 作 E 請 注 意 一 點, 歐 拉 特 意 引 入 棱 (edge, 原 拉 丁 文 是 acies) 這 個 新 名 詞, 有 別 於 邊 (side, 拉 丁 文 是 latus), 是 有 其 用 意 的, 暫 且 按 下 不 表, 遲 些 再 談! 用 歐 拉 自 己 的 話 說 : 由 於 沒 有 公 認 的 名 稱, 我 把 它 叫 作 棱 接 著, 歐 拉 在 信 上 寫 下 了 幾 條 命 題, 他 還 說 : 命 題 六 和 命 題 十 一 是 很 重 要 的, 但 那 是 如 此 困 難, 至 今 我 還 沒 有 發 現 滿 意 的 證 明 讓 我 們 先 看 命 題 十 一 : 若 多 面 體 有 V 個 頂 點, 則 面 角 和 等 於 4(V 2) 個 直 角 嚴 格 而 言, 面 角 和 並 非 (*2) 中 內 角 和 的 真 正 類 比, 因 為 多 邊 形 的 邊 的 真 正 類 比 是 面, 所 以 多 邊 形 的 內 角 的 真 正 類 比 應 該 是 面 與 面 構 成 的 角 但 是 如 果 考 慮 面 與 面 構 成 的 角, 卻 找 不 到 較 好 的 類 比 結 果 反 而 考 慮 面 角 和, 倒 有 一 條 與 (*2) 相 似 的 公 式

6 杵 臼 關 節 阿 基 米 德 多 面 體 31 試 看 一 個 特 殊 例 子, 即 是 一 個 棱 柱 體 (prism), 它 的 底 和 面 是 相 同 的 N 邊 形, 連 接 相 應 的 點 是 N 條 垂 真 的 棱 ( 見 圖 10) 那 麼 底 和 面 的 內 角 和 各 是 2(N 2) 個 直 角, 合 起 來 是 4(N 2) 個 直 角 側 面 由 N 個 矩 形 組 成, 每 個 矩 形 的 內 角 和 是 4 個 直 角, 合 起 來 是 4N 個 直 角 因 此, 棱 柱 體 的 內 角 和 是 8N 8 個 直 角, 也 就 是 4(V 2) 個 直 角, 因 為 V 等 於 2N 反 之, 把 命 題 十 一 應 用 到 這 個 棱 柱 體 上, 可 以 得 到 (*2) 這 條 公 式 圖 10 上 面 只 是 提 供 了 一 條 線 索, 我 們 無 從 確 定 歐 拉 如 何 發 現 命 題 十 一 的 公 式 但 根 據 他 的 工 作 習 慣, 讓 我 們 試 圖 重 建 一 個 可 能 的 策 略, 就 是 考 慮 一 些 實 驗 數 據 大 家 可 不 要 小 覷 這 個 看 似 平 凡 的 策 略 呀! 以 Σ 記 作 面 角 和, V 記 作 頂 點 數 目, 收 集 一 些 例 子, 寫 下 各 例 子 的 V 和 Σ, 將 會 看 到 Σ 全 是 4 的 倍 數, 而 且 隨 V 增 大 ( 見 圖 11) 圖 11 再 仔 細 觀 察, Σ 等 於 4(V 2) 個 直 角 這 回 事, 已 經 呼 之 欲 出 了! 再 從 另 一 個 角 度 看 看 這 回 事, 可 以 加 強 對 這 個 猜 測 的 信 念, 那 就 是 看 看 面 角 和 與 4V 個 直 角 相 差 多 少 為 什 麼 看 這 個 差 呢? 面 角 和 可 以 把 每 一 面 的 內 角 相 加 而 得, 也 可 以 把 每 一 個 頂 點 上 的 面 角 相 加 而 得 如 果 多 面 體 是 個 凸 多 面 體, 每 個 頂 點 上 的 面 角 相 加 不 能 大 於 4 個 直 角 二 千 多 年 前 的 希 臘 數 學 家 也 懂 得

7 32 數 學 傳 播 39 卷 1 期 民 104 年 3 月 這 回 事, 它 是 公 元 前 三 世 紀 初 歐 幾 里 得 (Euclid, 約 公 元 前 330 至 公 元 前 275) 的 巨 著 原 本 (Elements) 裏 卷 十 一 的 第 二 十 一 條 定 理 因 此 在 凸 多 面 體, 面 角 和 Σ 不 大 於 4V 個 直 角 ( 見 圖 12), 看 看 兩 者 相 差 多 少 或 者 有 點 意 思 要 是 你 收 集 一 批 例 子, 便 會 看 到 總 有 4V Σ = 8 個 直 角 ( 見 圖 11), 於 是 便 猜 測 Σ 是 4(V 2) 個 直 角 了 雖 然 歐 拉 在 信 上 及 論 文 中 都 沒 有 聲 明, 其 實 他 只 是 考 慮 凸 多 面 體 的 情 況 不 過 如 今 我 們 曉 得 多 面 體 是 凸 是 凹 都 沒 有 關 係 你 試 找 一 個 凹 多 面 體 的 例 子 看 看, 面 角 和 還 是 4(V 2) 個 直 角 ( 見 圖 13) 圖 12 圖 13 數 學 上 難 有 巧 合, 所 謂 巧 合, 內 裏 必 有 文 章! 雖 然 歐 拉 當 時 在 信 上 並 沒 有 證 明 面 角 和 是 4(V 2) 個 直 角, 他 已 有 理 由 相 信 那 是 一 個 可 靠 的 猜 測, 因 此 提 出 了 信 上 的 命 題 十 一 這 條 命 題 完 全 以 古 代 希 臘 的 幾 何 語 言 表 達, 但 從 來 沒 有 在 古 代 希 臘 的 數 學 文 獻 上 出 現, 奇 怪 嗎? 如 果 我 們 看 看 信 上 的 命 題 六, 便 能 夠 加 深 對 這 個 問 題 的 理 解 命 題 六 是 : 多 面 體 的 面 的 數 目 和 頂 點 的 數 目 合 起 來, 比 棱 的 數 目 多 二, 即 是 說 F +V E = 2 你 有 沒 有 發 現, 命 題 六 和 命 題 十 一 都 是 描 述 同 一 回 事 呢? 假 定 F 個 面 分 別 是 E 1 邊 形 E 2 邊 形 E F 邊 形, 那 麼 面 角 和 等 於 2(E 1 2)+2(E 2 2)+ +2(E F 2) 個 直 角, 即 是 2(E 1 +E 2 + +E F ) 4F 個 直 角 多 面 體 的 每 條 邊 都 屬 於 兩 個 面, 因 此 在 E 1 +E 2 + +E F 中, 每 條 邊 都 算 了 兩 次, 所 以 E 1 +E 2 + +E F = 2E 由 此 可 見 面 角 和 等 於 4E 4F = 4(E F) 個 直 角 因 此, 面 角 和 等 於 4(V 2) 個 直 角, 相 當 於 V 2 = E F, 即 是 F +V E = 2 請 留 意, 命 題 六 的 提 法 中 完 全 不 涉 及 角 的 大 小 或 線 段 的 長 短, 雖 然 命 題 十 一 卻 涉 及 角 的 度 量! 這 一 點 與 古 代 希 臘 幾 何 的 傳 統 極 不 合 拍, 因 為 古 代 希 臘 幾 何 論 及 全 等 形 相 似 形 三 角 圓 等 等, 往 往 都 涉 及 角 和 線 段 的 度 量 像 命 題 六 這 種 結 果, 與 角 或 線 段 的 度 量 無 關, 超 越 了 古 代 希 臘 幾 何 的 範 圍 運 用 古 代 希 臘 幾 何 的 知 識, 不 足 以 駕 馭 這 種 問 題, 甚 至 根 本 不 會 提 出 這 種 問 題 ( 從 高 等 數 學 的 角 度 看, 這 兩 個 味 道 完 全 不 同 的 定 理 是 敘 述 同 一 回 事, 內 裏 蘊 含 深 刻 的 意 義 限 於 作 者 的 學 識, 不 容 易 在 這 兒 說 明 白, 只 好 暫 時 擱 下 不 表 )

8 杵臼關節 阿基米德 多面體 為什麼歐拉會提出這種問題呢? 從他的另一份文獻Elementa doctrinae solidorum (1750 年十一月在聖彼得堡科學院宣讀, 但直至 1758 年才刊印出來), 或者可見其端倪 歐拉在那篇論 文說: 在平面幾何把多邊形分類很容易, 只要看它有多少條邊, 它就有多少個角 (見圖 14) 在 立體幾何把多面體分類卻困難得多, 單看它有多少個面是不足夠的 的確, 以下所示的三個六 面體 (見圖 15), 你不會說它們是同類吧? 它們每一個的頂點數目都不同 即使它們的面的數目 和頂點的數目都各自相同, 你也不一定願意說它們是同類的, 例如以下所示的兩個六面體 (見圖 16), 各有八個頂點, 其中一個每面都是四邊形, 另一個有兩面是四邊形, 兩面是五邊形, 兩面是 三角形 為了突顯多面體的各個面的邊, 歐拉特意引入 棱 這個新術語, 與平面圖形的 邊 有 別 看來似乎他起初對 棱 寄予厚望, 以為它有助於把多面體分類 讓我們再審視上一節的實 驗數據, 看來若 F 相同與 V 相同, 則 E 也相同 對多面體分類而言, 此非妙事, 它意味 棱 的引入沒有幫助 但從另一角度看, 卻有意外收獲, 它意味 F V E 之間存在著某種關係! 這 有如 1492 年哥倫布 (Christopher Columbus, ) 本想尋找往中國和印度的海路, 卻到了美洲! 圖 14 圖 15 圖 16 E 似乎隨 F 和 V 增大, 不妨看看 E 和 F + V 的關係 從實驗數據不難得到猜測 F + V E = 2 (見圖 17), 多看一些凹多面體, 猜測依然成立 (見圖 18) 不過, 猜測始終是猜 測 ; 無論有多少數據支持, 未經嚴謹證明, 沒有滿意解釋, 它始終不能算作定理 時至今天, 我 們知道 F + V E = 2 這道公式對某一大類多面體是正確的 自歐拉以降不少數學家試圖證 明這道公式, 有些人以為證明了, 其後又有人指出證明欠善, 如此往復摸索, 直至 1847 年 (距離 歐拉發現該公式已經差不多一個世紀!) 施圖特 (K.G.C. von Staudt, ) 才給出一

9 34 數學傳播 39 卷 1 期 民 104 年 3 月 個叫人滿意的證明 圖 17 圖 18 歐拉在 1750 年十一月的信上結尾說: 我感到詫異, 就我所知前人從沒有注意到這些立體 幾何的結果 如果他指的是古代希臘數學家, 他說對了 但如果他包括所有十八世紀或以前的 人, 話就不對了 他並不曉得笛卡兒 (Rene Descartes, ) 早在 1630 年左右已經發 現並討論 F + V E = 2 這道公式, 不過笛卡兒的文稿 De solidorum elementis 直至 1860 年才重現世間, 當時歐拉作古已近八十年 今天我們習慣把這道公式叫做歐拉-笛卡兒公式, 以 紀念兩位大師的貢獻 (有數學史家考據史料, 認為笛卡兒的文稿在運送途中曾經失而復得, 在 1675 年至 1676 年間德國哲學家數學家萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz, ) 還把文稿手抄了, 但其後原稿及手抄本再度失去蹤跡, 至 1860 年才有人找回萊布尼茲的手抄 本 也有數學史家認為笛卡兒的文稿其實並沒有發現 F + V E = 2 這道公式, 只是後人誤 讀了文稿的內容 ) 歐拉在 1751 年宣讀了一篇論文, 提出了 F + V E = 2 的一個證明, 驟看去是很自 然的解釋 的確, 在十九世紀也有不少數學家接受這樣的解釋 他按次從多面體削去一個四面 體, 在過程中保持 F + V E 的值不變更 (見圖 19), 至最後剩下一個四面體, F + V E 的值是 = 2 但想深一層, 這個解釋只說明了公式對某些形狀的多面體成立 對一 般多面體而言, 可保證不了這樣的削法一帆風順! 法國數學家柯西 (Augustin Louis Cauchy, ) 在 1811 年對這道公式提出了另一個著名的證明, 中心思想相當巧妙 他把多面體 其中一個面拿掉, 將其餘的面攤開來成為一個平面圖, 於是新的 F +V E 是原來的 F +V E 減掉 1 (拿走的一面) 接著他把平面圖剖分成眾多的三角形, 過程中需要添加某些邊 (見圖 20 第三個小圖中加上的虛線), 但卻不會更改 F + V E 的值! 接著他逐一從外而內把一個一個 三角形去掉 (見圖 20 小圖中著色的部分), 過程中也不會更改 F + V E 的值 (見圖 20)! 最

10 杵臼關節 阿基米德 多面體 35 後剩下一個三角形, 即是 F 化為 1 V 化為 3 E 化為 3, 即是 F + V E 等於 1, 原來的 F + V E 就是 2. 圖 19 圖 20 歐拉和柯西提出的證明及別的人提出的一些證明後來都受到質疑, 其中某些步驟不如想像 中理所當然 漸漸越來越多奇奇怪怪的反例被提出來, 有些是穿了孔的多面體, 有些是在一條棱 上相連的兩個多面體, 有些是在一個頂點上相連的多面體 (見圖 21) 最有趣的一個例子, 靈感 源自某種雙結晶體, 是一個立方, 中心是個鏤空了的小立方 (見圖 22) 據說有人反駁說, 那其 實是兩個多面體, 猶如孕婦懷著胎兒, 你能否說那位母親有兩個頭呢? 這些反例其實極富建設 性, 它們揭示了證明的困難所在, 是定義何謂多面體, 並找出對那些多面體 F + V E = 2 這 道公式成立 當數學家弄清楚問題的癥結後, 叫人滿意的證明亦隨之出現, 不過距離歐拉提出問 題, 已經過了一個世紀了 圖 21 圖 22

11 36 數 學 傳 播 39 卷 1 期 民 104 年 3 月 也 許 我 們 應 該 用 多 面 形 代 替 多 面 體, 因 為 我 們 其 實 感 興 趣 的 只 是 多 面 體 的 表 面, 由 眾 多 多 邊 形 組 合 而 成 姑 且 從 俗, 讓 我 們 仍 然 用 多 面 體 這 個 名 稱 吧 我 們 要 考 慮 的 多 面 體, 是 個 怎 麼 樣 的 東 西 呢? 它 是 由 有 限 多 個 平 面 多 邊 形 組 成, 按 照 下 述 意 義 拼 湊 在 一 起 :(1) 若 兩 個 多 邊 形 相 交, 它 們 交 於 一 條 公 共 的 邊 ; 多 邊 形 的 每 一 條 邊 恰 好 是 另 一 個 並 且 只 是 另 一 個 多 邊 形 的 邊 (2) 對 每 個 頂 點, 那 些 包 含 它 的 多 邊 形 可 以 排 成 一 連 串 Q 1 Q 2 Q s, 使 Q 1 與 Q 2 有 一 條 公 共 邊, Q 2 與 Q 3 有 一 條 公 共 邊,, Q s 1 與 Q s 有 一 條 公 共 邊, Q s 與 Q 1 有 一 條 公 共 邊 現 在 可 以 敘 述 何 謂 歐 拉 - 笛 卡 兒 定 理 : 設 P 是 滿 足 下 列 兩 個 條 件 的 多 面 體, (a) P 的 任 何 兩 個 頂 點 可 以 用 一 連 串 棱 連 接, (b) P 上 任 何 由 線 段 ( 不 一 定 是 P 的 棱 ) 構 成 的 圈 把 P 分 劃 成 兩 片 則 對 P 來 說, F +V E = 2 讓 我 們 看 一 個 形 象 化 的 證 明, 把 棱 看 作 是 堤, 把 面 看 作 是 堤 圍 成 的 區 域, 其 中 一 面 是 湖, 其 餘 是 旱 地 每 次 打 破 一 道 堤, 唯 一 條 件 是 決 堤 後 必 須 多 了 一 塊 並 且 僅 多 了 一 塊 旱 地 被 水 淹 了 ( 見 圖 23) 如 此 這 般, 直 至 全 部 區 域 被 淹 為 止, 數 數 有 多 少 道 堤 破 掉 一 方 面, 每 打 破 一 道 堤 即 多 一 塊 旱 地 被 淹 沒, 因 此 破 掉 的 堤 的 數 目 是 F 1, 沒 破 掉 的 堤 的 數 目 是 E (F 1) = E F+1 另 一 方 面, 從 一 個 頂 點 至 另 一 個 頂 點 沿 著 旱 堤 走 有 唯 一 的 路 ( 請 讀 者 想 一 想, 為 什 麼 會 如 此? 附 錄 中 給 出 一 種 解 釋 ) 所 以 沒 給 破 掉 的 堤 的 數 目 是 V 1 ( 也 請 讀 者 想 一 想, 為 什 麼 會 如 此 附 錄 中 給 出 一 種 解 釋 ) 把 兩 種 數 法 合 起 來 看, 有 E F +1 = V 1, 即 是 F +V E = 2 圖 這 道 歐 拉 - 笛 卡 兒 公 式 的 數 學 意 義, 較 諸 它 的 實 際 內 容 和 應 用 來 得 重 要, 超 越 了 古 典 幾 何 的 範 圍, 開 闢 了 一 個 新 的 數 學 領 域 在 結 尾 這 一 節 我 只 能 把 它 簡 略 地 介 紹 一 下 先 來 看 兩 個 多 面 體 ( 見 圖 24) 第 一 個 有 F = 14 V = 16 E = 28, 故 F +V E = 2; 第 二 個 有 F = 16 V = 16 E = 32, 故 F +V E = 0 它 們 有 沒 有 相 異 之 處 呢? 把 這 兩 個 多 面 體 想 像 成 以 橡 皮 做 成 ( 或 者 以 麵 粉 或 泥 膠 搓 成 ), 第 一 個 可 以 變 為 一 個 圓 球 的 面, 第 二

12 杵 臼 關 節 阿 基 米 德 多 面 體 37 個 可 以 變 為 一 個 圓 環 ( 救 生 圈 ) 的 面 在 變 形 過 程 中, 允 許 任 意 把 面 拉 長 縮 短, 允 許 任 意 把 面 扭 曲, 但 不 允 許 把 面 撕 裂, 也 不 允 許 把 面 上 不 同 的 點 黏 合 在 一 起 如 果 兩 個 立 體 圖 形 可 以 通 過 這 種 變 換 過 程 由 一 個 變 成 另 一 個, 我 們 便 說 它 們 是 同 胚 ( 或 稱 拓 樸 等 價 ) 的 與 圓 球 同 胚 的 多 面 體 有 一 個 很 漂 亮 的 性 質, 便 是 F +V E = 2 要 把 圓 環 變 換 成 圓 球, 必 須 把 圓 環 中 間 的 各 點 黏 合 成 一 點 前 面 已 經 說 過, 這 是 不 允 許 的, 因 此 圓 環 與 圓 球 不 同 胚, 但 與 圓 環 同 胚 的 多 面 體 也 有 一 個 很 漂 亮 的 性 質, 便 是 F +V E = 0 我 們 把 F +V E 這 個 數 值 叫 做 那 類 多 面 體 的 歐 拉 示 性 數 (Euler characteristic) 歐 拉 示 性 數 是 一 個 在 同 胚 關 係 底 下 的 不 變 量, 就 是 說, 在 上 述 拉 拉 扯 扯 的 過 程 中, 這 個 數 值 是 不 變 更 的 這 種 看 法 在 古 希 臘 幾 何 中 從 來 沒 有 出 現, 因 為 古 希 臘 幾 何 涉 及 角 和 線 段 的 度 量, 在 拉 拉 扯 扯 的 過 程 中, 這 些 度 量 都 變 更 了 圖 24 這 種 看 法 導 致 數 學 家 尋 找 同 胚 關 係 底 下 別 的 不 變 量 這 方 面 的 研 究 在 十 九 世 紀 後 半 期 漸 漸 成 型, 其 中 法 國 數 學 大 師 龐 卡 萊 (Henri Poincaré, ) 的 貢 獻 至 為 重 要 歐 拉 示 性 數 的 推 廣 稱 作 歐 拉 - 龐 卡 萊 示 性 數 (Euler-Poincaré characteristic) ( 如 今 回 頭 看 看 第 三 節 開 首 的 (*1), 雖 看 似 平 凡 不 過, 卻 添 了 一 重 新 意! 它 是 說 V E = 0, 命 題 六 是 說 F +V E = 2 當 中 涉 及 的 不 變 量, 其 一 是 V E, 另 一 是 V E +F 更 一 般 的 情 況, 是 在 三 維 四 維 五 維 以 至 n 維 空 間 的 研 究, 歐 拉 - 龐 卡 萊 示 性 數 就 是 由 某 一 串 數 字 依 次 加 減 而 成 ) 這 個 新 領 域, 叫 做 拓 樸 學 (topology), 是 二 十 世 紀 數 學 發 展 的 主 要 方 向 以 下 兩 本 讀 物, 程 度 適 合 中 學 同 學, 可 供 進 一 步 了 解 歐 拉 - 笛 卡 兒 公 式 和 拓 樸 學 的 關 係 : (1) R. Courant, H. Robbins, What is Mathematics?, Oxford University Press, 1941;

13 38 數 學 傳 播 39 卷 1 期 民 104 年 3 月 修 訂 本 (I. Stewart), 1996 ( 有 中 譯 本, 數 學 是 什 麼?, 科 學 出 版 社, 1985); (2) 江 澤 涵, 多 面 形 的 歐 拉 定 理 和 閉 曲 面 的 拓 樸 分 類, 人 民 教 育 出 版 社, 1964; 香 港 版, 智 能 教 育 出 版 社, 2003 還 有 一 本 很 好 的 書, 以 師 生 對 話 形 式 討 論 歐 拉 - 笛 卡 兒 公 式 的 證 明 過 程, 旨 在 闡 述 作 者 的 數 學 哲 學 觀 點, 寓 意 深 刻 : (3) I. Lakatos, Proofs and Refutations, Cambridge University Press, 1976 ( 有 中 譯 本, 證 明 與 反 駁, 上 海 譯 文 出 版 社, 1987) 附 錄 首 先, 請 注 意 一 件 事, 從 每 一 點 必 定 能 循 某 些 剩 下 的 堤 走 去 任 何 另 一 點, 而 且 這 條 途 徑 是 唯 一 的 這 是 因 為 每 打 破 一 道 堤, 它 的 兩 個 端 點 都 仍 被 某 些 還 未 被 打 破 的 堤 點 接 點 地 連 結 著, 否 則 不 會 是 多 了 且 只 多 了 一 塊 旱 地 給 淹 沒 了! 如 果 有 至 少 兩 條 不 同 的 途 徑, 便 表 示 其 間 出 現 了 由 某 些 堤 圍 成 的 一 個 圈, 但 那 不 可 能, 因 為 那 意 味 著 還 有 一 塊 旱 地 沒 給 淹 沒 ( 見 圖 25)! 用 圖 論 (graph theory) 的 語 言, 我 們 說 剩 下 來 的 堤 構 成 一 株 樹 (tree) 既 然 如 此, 我 們 有 辦 法 把 那 V 點 和 那 些 連 結 著 它 們 的 堤 依 次 排 成 以 下 的 樣 子 : 定 了 其 中 一 點, 設 為 a, 先 考 慮 走 過 一 道 堤 便 到 達 的 點, 放 在 第 一 層, 再 考 慮 走 過 兩 道 堤 便 到 達 的 點, 放 在 第 二 層, 如 此 類 推 ( 見 圖 26) 從 圖 中 數 一 數 有 多 少 道 堤, 答 案 是 V 1 圖 25 圖 26 本 文 作 者 為 香 港 大 學 數 學 系 退 休 教 授