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1 中 國 古 代 官 學 數 學 課 程 : 考 生 是 怎 樣 學 習 和 準 備 考 試 的? 蕭 文 強 香 港 大 學 數 學 系 本 章 首 先 概 述 中 國 古 代 數 學 教 育, 然 後 詳 細 討 論 唐 朝 官 學 數 學 課 程 和 科 舉 制 度 中 的 明 算 科 在 本 章 的 第 二 部 分, 作 者 運 用 " 間 接 證 據 " 重 新 建 構 了 一 些 試 題, 意 在 提 出 另 一 種 與 傳 統 觀 念 不 同 的 觀 點 以 表 明 中 國 古 代 的 數 學 學 習 並 非 是 應 試 的 和 死 記 硬 背 的 這 段 " 動 畫 式 " 歷 史 考 察, 或 將 有 助 於 進 一 步 瞭 解 東 西 方 數 學 教 育 的 比 較 研 究 1 引 言 : 儒 家 傳 統 文 化 背 景 下 的 學 習 者 悖 論 和 教 師 悖 論 自 二 十 世 紀 九 十 年 代 以 來, 教 育 工 作 者 開 始 關 注 文 化 差 異 如 何 影 響 某 些 科 目 的 教 學 與 學 習, 如 數 學 及 科 學, 這 些 科 目 的 內 容 向 來 被 視 為 具 有 不 分 地 域 的 普 遍 性 (Cai, 1995; Stevenson & Stigler, 1992; Watkins & Biggs, 1996) 在 國 際 教 育 成 就 評 估 協 會 (lea) 和 經 濟 合 作 與 發 展 組 織 (OECD) 等 團 體 發 起 的 幾 項 國 際 研 究 所 得 結 果 的 推 動 下, 這 方 面 的 研 究 有 了 更 進 一 步 的 深 化 特 別 是 過 去 十 年 中, 在 儒 家 傳 統 文 化 (CHC) 環 境 中 成 長 的 亞 洲 學 生, 其 學 習 過 程 已 經 成 為 一 項 熱 門 的 議 題 (Leung, 2001; Watkins & Biggs, 1996; Wong, 1998) 隨 之 衍 生 的, 儒 家 傳 統 文 化 課 堂 中 亞 洲 教 師 的 教 學 過 程 亦 受 到 審 視 (L. Ma, 1999; Stigler & Hiebert, 1999; Watkins & Biggs, 2001) 這 兩 個 緊 密 相 關 的 問 題 集 中 體 現 為 兩 種 悖 論, 那 就 是 : (1) 儒 家 傳 統 文 化 背 景 下 的 學 習 者 悖 論 : 儒 家 傳 統 文 化 課 堂 裏 學 生 採 用 的 學 習 策 略, 被 認 為 是 低 水 準 的 死 記 硬 背 的, 這 種 策 略 是 不 利 於 取 得 好 成 績 的 : 但 調 查 卻 表 明 他 們 屬 意 於 高 水 準 有 意 義 的 學 習 策 略, 而 且 他 們 在 國 際 評 價 中 取 得 了 比 其 他 地 區 的 學 生 更 為 優 異 的 成 績 1

2 (2) 儒 家 傳 統 文 化 背 景 下 的 教 師 悖 論 : 西 方 教 育 工 作 者 認 為 儒 家 傳 統 文 化 課 堂 缺 乏 產 生 良 好 成 果 的 條 件, 但 教 師 卻 創 造 出 了 積 極 的 學 習 效 果 本 章 通 過 對 中 國 古 代 官 學 數 學 課 程 的 研 究, 從 歷 史 的 角 度 來 看 這 些 問 題 對 中 國 古 代 數 學 教 育 作 簡 要 介 紹 後, 我 們 將 著 重 討 論 唐 朝 ( ) 國 立 大 學 課 程, 特 別 是 這 一 時 期 科 舉 制 度 中 的 明 算 科 我 們 之 所 以 選 擇 這 一 時 期, 不 僅 因 為 明 算 科 在 唐 朝 建 立 得 最 為 完 善, 而 且 這 一 制 度 在 以 後 的 各 個 朝 代 中, 不 是 成 為 範 本 便 是 被 取 消 本 章 把 大 部 分 篇 幅 放 在 科 舉 制 度 上, 是 因 為 人 們 通 常 認 為, 儒 家 傳 統 文 化 課 堂 是 由 應 試 文 化 所 主 宰, 而 應 試 文 化 卻 妨 礙 了 學 生 的 學 習 果 真 如 此 嗎? 本 章 通 過 結 合 中 國 古 代 典 籍 中 的 官 方 記 載 以 冀 合 理 重 建 唐 朝 科 舉 中 的 明 算 科 試 題 ( 因 沒 有 尚 存 的 數 學 試 題 的 文 獻 記 載 ), 我 們 提 出 如 下 問 題 : 考 試 制 度 真 的 對 學 習 有 害 嗎? 考 試 是 一 種 不 得 已 之 惡 還 是 在 某 種 程 度 上 有 利 於 學 習 過 程 呢? 科 舉 僅 僅 是 對 死 記 硬 背 學 習 的 一 種 測 試 嗎? 作 者 主 要 引 用 了 他 自 己 的 三 篇 文 章 (Siu, 1995; 2001; Siu & Volkov, 1999) 的 論 點 鑒 於 數 學 教 師 和 數 學 教 育 工 作 者 不 容 易 找 到 這 些 文 章, 本 文 綜 述 這 些 論 點, 或 有 助 於 進 一 步 瞭 解 東 西 方 數 學 教 育 的 比 較 研 究 第 一 篇 文 章 關 於 中 國 古 代 數 學 教 育, 是 一 九 九 二 年 的 一 篇 講 稿 由 於 第 二 篇 文 章 ( 與 數 學 史 學 家 Alexei Volkov 合 作 的 ) 作 了 更 深 入 的 歷 史 研 究, 前 一 篇 可 以 說 僅 是 雛 形 而 已 第 三 篇 文 章 是 一 九 九 八 年 的 一 篇 講 稿, 它 更 傾 向 於 教 學 方 面, 也 最 接 近 本 章 的 主 題 : 那 篇 文 章 發 表 於 一 九 九 八 年 在 Louvain-la-Neuve 和 Leuven 舉 行 的 第 三 屆 歐 洲 夏 季 大 學 (European Summer University) 論 文 集, 作 者 真 誠 感 謝 文 集 編 輯 Patricia Radelet-de-Grave 女 士 同 意 讓 作 者 將 文 章 收 編 到 本 章 的 第 四 五 和 六 部 分 2 中 國 古 代 的 數 學 教 育 2

3 在 人 類 文 明 史 上, 什 麼 才 算 是 數 學 的 真 正 開 端 呢? 畫 圖? 數 數? 計 算? 辯 論? 推 理? 還 是 證 明? 即 使 這 一 問 題 還 存 在 著 爭 議, 相 信 大 家 都 同 意 數 學 教 育 狹 義 地 視 為 傳 授 數 學 技 能 和 知 識 的 活 動 是 伴 隨 數 學 的 產 生 而 一 起 出 現 的 中 國 古 代 正 規 學 校 體 制 始 於 夏 朝 ( 西 元 前 二 十 一 世 紀 至 西 元 前 十 六 世 紀 ) 後 期, 約 於 西 元 前 二 年, 學 校 在 國 家 的 管 理 之 下, 是 訓 練 貴 族 子 弟 的 場 所 在 商 朝 ( 西 元 前 十 六 世 紀 至 西 元 前 1466 年 ) 和 西 周 ( 西 元 前 1466 年 至 西 元 前 771 年 ), 官 學 體 系 變 得 更 為 制 度 化 西 元 前 七 七 年, 蠻 族 入 侵, 迫 使 西 周 遷 都, 開 始 了 東 周 時 期 ( 西 元 前 770 年 至 西 元 前 256 年 ) 這 一 時 期, 由 於 周 王 朝 的 軟 弱 無 能, 群 雄 競 起, 戰 亂 不 斷 這 就 是 持 續 了 五 個 世 紀 的 春 秋 戰 國 時 代 衝 突 與 動 盪 的 困 擾, 使 得 它 是 一 段 動 亂 而 多 事 的 時 期 具 有 諷 刺 意 味 的 是, 從 中 國 歷 史 上 文 化 發 展 來 看, 它 也 是 一 段 富 有 生 機 而 繁 榮 的 時 期 一 方 面 是 官 學 衰 落, 另 一 方 面 由 一 些 有 名 學 者 主 持 的 私 學 興 盛 起 來 ( 未 必 有 固 定 場 所 ) 在 以 後 的 朝 代, 這 樣 的 私 學 以 書 院 為 名 ( 有 固 定 場 所 ), 逐 漸 發 展 成 為 教 育 體 系 中 的 重 要 組 成 部 分 ( 在 唐 朝, 書 院 最 初 只 是 一 個 整 理 和 校 勘 圖 書 的 官 方 機 構 ) 關 於 書 院 的 演 變 現 在 已 經 成 為 一 項 龐 大 的 研 究 課 題 然 而, 由 於 在 文 獻 中 不 容 易 找 到 關 於 這 些 私 學 的 數 學 課 程 的 蹤 跡, 我 們 將 不 作 深 入 的 論 述 值 得 注 意 的 是, 由 官 學 和 私 學 構 成 的 雙 軌 學 習 體 制, 在 中 國 持 續 了 兩 千 年 ( 陳 谷 嘉 鄧 洪 波, 1997; 丁 鋼 劉 琪, 1992; 趙 所 生 薛 正 興,1985; 張 正 藩, 1985) 在 漢 朝 ( 西 元 前 206 年 至 西 元 220 年 ), 儒 學 被 尊 為 最 高 的 國 家 哲 學 因 為 重 視 經 學 的 學 習, 而 經 學 中 往 往 會 提 及 一 些 數 學 知 識, 所 以 數 學 還 算 受 人 關 注 實 際 上, 高 等 教 育 課 程 中, 六 藝 包 括 禮 樂 射 御 書 數 ( 在 早 期, 算 術 與 數 字 卜 卦 緊 密 相 關 卜 卦 指 的 是 內 算, 而 我 們 今 天 所 理 解 的 數 學 指 的 是 外 算 ( 劉 鈍,1993,71 頁 )) 根 據 二 世 紀 鄭 玄 的 注 釋, 六 藝 中 的 數 進 一 步 分 成 九 章, 這 與 編 寫 於 西 元 前 一 至 西 元 一 年 之 間 的 著 名 數 學 著 作 九 章 算 術 中 九 章 的 標 題 沒 有 太 多 不 同 一 九 八 四 年, 在 挖 掘 湖 北 的 漢 王 墓 時, 發 現 了 算 數 書 竹 簡, 這 本 書 約 成 於 西 元 前 二 年 左 右, 其 內 容 與 九 章 算 術 驚 人 的 相 似 這 充 分 表 明 九 章 算 術 的 內 3

4 容 比 這 本 書 本 身 更 為 古 老 ( 彭 浩, 2001) 無 論 如 何, 這 兩 本 書 的 模 式, 在 後 來 的 一 千 五 百 年 內, 成 為 所 有 中 國 數 學 著 作 的 典 範 九 章 算 術 由 分 成 九 章 的 二 百 四 十 六 個 數 學 問 題 組 成 :(1) 方 田 ;(2) 粟 米 ;(3) 衰 分 ;(4) 少 廣 ;(5) 商 功 ;(6) 均 輸 ;(7) 盈 不 足 ; (8) 方 程 ;(9) 勾 股 書 中 先 提 出 問 題, 給 出 答 案, 再 給 出 了 一 般 的 方 法 ( 演 算 法 ), 作 為 同 種 類 型 問 題 的 解 法 值 得 注 意 的 是, 文 本 中 給 出 的 資 料 是 具 體 但 並 非 有 特 殊 意 義, 因 而 它 們 實 際 上 是 普 遍 的, 這 使 得 這 些 方 法 ( 演 算 法 ) 在 本 質 上 是 通 用 的 程 式 早 期 的 版 本 中, 對 這 些 內 容 沒 有 深 入 的 解 釋, 可 能 是 由 教 師 給 予 講 解 後 來 的 版 本 中, 由 不 同 的 學 者 注 釋 這 體 現 了 學 者 認 真 而 刻 苦 的 自 學 精 神, 也 為 後 來 各 代 讀 者 提 供 了 有 用 的 學 習 幫 助 最 有 名 的 一 位 注 釋 者, 是 三 世 紀 中 期 的 劉 徽, 他 在 前 言 中 寫 道 徽 幼 習 九 章, 長 再 詳 覽, 觀 陰 陽 之 割 裂, 總 算 術 之 根 源, 探 賾 之 暇, 遂 悟 其 意, 是 以 敢 竭 頑 魯, 采 其 所 見, 為 之 作 注 事 類 相 推, 各 有 攸 歸, 故 枝 條 雖 分 而 同 本 幹 者, 知 發 其 一 端 而 已, 又 所 析 理 以 辭, 解 體 用 圖, 庶 亦 約 而 能 周, 通 而 不 黷, 覽 之 者 思 過 半 矣 ( 英 譯 見 Siu, 1993, p.355) 這 清 楚 地 表 明, 為 了 加 強 理 解, 他 均 衡 地 運 用 了 嚴 格 論 證 和 啟 發 推 理 的 方 法 更 多 例 證, 讀 者 可 查 閱 (Siu, 1993) 全 面 的 官 學 教 育 制 度 在 隋 朝 ( ) 開 始 建 立, 並 在 唐 朝 ( ) 和 宋 朝 ( ) 得 到 了 進 一 步 鞏 固 對 於 每 一 門 設 置 的 科 目, 有 詳 盡 的 課 程 計 劃, 包 括 大 綱 和 採 用 的 教 科 書, 每 科 的 學 生 入 學 名 額 教 員 與 管 理 者 的 人 數, 學 生 入 學 的 標 準, 也 記 錄 在 案 這 些 科 目 的 考 試 定 期 舉 行, 成 功 的 考 生 將 根 據 他 們 在 考 試 中 的 優 秀 表 現 而 授 予 官 職 本 章 第 一 部 分 已 經 說 明, 我 們 將 只 限 於 討 論 典 籍 中 關 於 唐 朝 官 學 制 度 的 明 算 科 的 記 載, 這 些 內 容 將 在 第 三 部 分 和 第 五 部 分 討 論 雖 然 官 學 教 育 制 度 在 宋 朝 得 到 進 一 步 鞏 固 與 擴 展, 但 明 算 科 中 除 曆 算 和 天 文 ( 占 星 術 ) 課 程 得 到 加 強 之 外, 其 他 方 面 卻 被 忽 略 了 後 來 科 舉 制 度 更 把 明 算 科 取 消 在 宋 朝 以 後 的 幾 個 朝 代, 明 算 科 一 直 沒 有 得 到 恢 復 從 十 七 世 紀 初 開 始, 通 過 廣 泛 地 與 西 方 數 學 的 接 觸, 先 在 明 朝 ( ) 晚 期, 然 後 在 清 朝 ( ) 初 期, 再 在 清 朝 的 末 期 ( 即 十 九 世 紀 中 葉 ), 中 國 數 學 在 外 國 的 影 響 下 發 展 隨 著 中 國 數 學 4

5 進 入 現 代 時 期 並 逐 漸 與 更 為 世 界 性 的 數 學 相 融 合 ( 世 界 性 指 的 是 從 事 數 學 工 作 及 研 究 所 依 循 的 方 向 和 風 格, 與 在 世 界 政 治 及 文 化 領 域 起 著 主 導 作 用 的 國 家 相 同 ), 中 國 的 數 學 教 育 與 其 他 大 多 數 ( 西 方 的 ) 國 家 基 本 上 沒 有 太 大 區 別 關 於 中 國 古 代 數 學 教 育 的 更 多 參 考, 可 見 陳 飛,2002; 丁 石 孫 張 祖 貴,1989; 金 諍,1990; 李 弘 祺,1994; 李 儼, ; 林 炎 全,1997; 劉 鈍,1993; 馬 忠 林 王 鴻 鈞 孫 宏 安 王 玉 閣,1991; 梅 汝 莉 李 生 榮,1992;Siu, 1995; 吳 宗 國, 1997; 謝 青 湯 得 用,1995; 嚴 敦 傑,1965; 趙 良 五,1991 讀 者 可 能 會 注 意 到, 在 中 國 古 代, 數 學 知 識 不 只 是 通 過 官 學 體 制 的 管 道 傳 授 的 一 些 數 學 經 典 著 作 的 前 言 中 提 到, 學 生 可 以 向 師 傅 甚 至 向 隱 士 學 習, 也 可 以 通 過 自 學 而 獲 得 數 學 知 識 一 些 科 學 史 家 指 出, 宗 教 網 路 的 傳 播 可 能 起 了 相 當 大 的 作 用 (Needham, 1959;Volkov, 1996) 雖 然 官 學 制 度 培 養 了 成 千 上 萬 名 數 學 技 術 官 員 (mathocrats), 成 為 官 方 或 皇 家 的 天 文 學 家, 但 幾 乎 所 有 在 數 學 史 上 留 名 的 傑 出 數 學 家 似 乎 都 是 通 過 其 他 管 道 成 長 的 一 位 數 學 史 學 家 曾 經 列 舉 了 活 躍 在 西 元 前 四 世 紀 到 西 元 十 九 世 紀 末 期 間 五 十 位 有 名 的 中 國 數 學 家, 其 中 僅 有 兩 位 是 由 官 學 制 度 培 養 出 來 的 ( 郭 世 榮,1991) 結 束 這 一 部 分 之 前, 讓 我 們 再 看 一 部 不 同 尋 常 的 論 著, 它 也 許 是 中 國 最 早 的 數 學 教 育 論 文, 是 宋 朝 數 學 家 楊 輝 在 一 二 七 四 年 寫 成 的 乘 除 通 變 本 末 這 部 書 第 一 章 的 引 言 為 習 算 綱 目, 它 對 傳 統 課 程 大 綱 進 行 了 重 新 組 織, 並 列 出 了 一 個 只 需 用 二 百 六 十 天 完 成 的 綜 合 學 習 時 間 表 這 相 當 於 今 天 中 學 數 學 一 千 五 百 小 時 的 現 代 課 程 ( 比 對 一 下, 官 學 制 度 課 程 需 時 七 年! 將 在 第 三 部 分 再 作 討 論 ) 以 下 是 該 書 的 一 些 節 錄 ( 英 譯 見 Lam, 1977), 它 們 都 是 有 趣 並 富 啟 發 性 的, 很 好 地 解 釋 了 死 記 硬 背 並 不 等 於 重 複 學 習, 做 大 量 練 習 與 獲 得 深 刻 理 解 也 並 非 不 相 容 加 法, 乃 生 數 也 減 法, 乃 去 其 數 也 有 加 則 有 減 凡 且 學 減, 必 以 加 法 題 答 考 之 庶 知 其 源, 用 五 日 溫 習 足 矣 ( 卷 1, 第 1 章 ) 學 九 歸, 若 記 四 十 四 句 念 法, 非 五 七 日 不 熟 今 但 於 詳 解 九 5

6 章 演 算 法 九 歸 題 術 中, 細 看 注 文, 便 知 用 意 之 隙 而 念 法 用 法, 一 日 可 記 矣 溫 習 九 歸 題 目, 一 日 ( 卷 1, 第 1 章 ) 作 一 日 學 一 法 用 兩 月 演 習 題 目 須 討 論 用 法 之 源, 庶 久 而 無 失 忘 矣 ( 卷 1, 第 1 章 ) 夫 算 者, 題 從 法 取, 法 將 題 驗 凡 欲 見 明 一 法, 必 設 一 題 若 遇 問 題, 須 詳 取 用 或 日 用 定 數, 當 立 折 變 為 捷, 是 皆 得 其 宜 也 ( 卷 1, 第 3 章 ) 題 繁 難 見 法 理 今 撰 小 題 驗 法 理, 義 既 通 雖 用 繁 題 了 然 可 見 也 ( 卷 2) 3 唐 朝 官 學 數 學 課 程 當 明 算 被 確 立 為 唐 朝 官 學 制 度 的 一 門 學 習 科 目 時, 中 國 的 數 學 已 經 建 立 起 悠 久 的 學 術 傳 統 在 七 世 紀 中 期, 數 學 家 李 淳 風 受 詔 整 理 了 算 經 十 書, 該 書 在 六 五 六 年 被 欽 定 為 算 學 的 官 方 教 科 書 算 經 十 書 由 不 同 年 代 不 同 作 者 編 寫 的 十 本 著 作 組 成, 按 年 代 順 序 粗 略 地 列 之 於 下 :(1) 周 髀 算 經, 西 元 前 一 年 ;(2) 九 章 算 術, 西 元 前 一 年 至 西 元 一 年 ;(3) 海 島 算 經, 三 世 紀 ;(4) 五 曹 算 經, 六 世 紀 ;(5) 孫 子 算 經, 四 世 紀 ;(6) 夏 侯 陽 算 經, 五 世 紀 ;(7) 張 丘 建 算 經, 五 世 紀 ;(8) 五 經 算 術, 六 世 紀 ;(9) 緝 古 算 經, 七 世 紀 ;(10) 綴 術, 五 世 紀 綴 術 的 最 初 版 本 在 十 世 紀 左 右 失 傳 了, 宋 朝 時, 它 在 算 經 十 書 中 的 作 用 被 疑 為 成 書 於 六 世 紀 的 數 術 記 遺 所 取 代 ((1) 至 (9) 這 些 著 作 的 原 文 可 以 在 許 多 參 考 書 中 找 到, 例 如, 郭 書 春, 1993) 新 唐 書 和 唐 六 典 記 載 了 如 何 學 習 並 說 明 學 習 每 書 的 時 間 學 生 分 為 兩 個 專 業, 為 方 便 起 見, 本 章 以 縮 寫 的 A 和 B 來 表 示 專 業 A 的 學 生 學 習 (1) 至 (8), 即 孫 子 算 經 和 五 曹 算 經 一 年, 九 章 算 術 和 海 島 算 經 三 年, 張 丘 建 算 經 一 年, 夏 侯 陽 算 經 一 年, 周 髀 算 經 和 五 經 算 術 一 年 專 業 B 的 學 生 學 習 (9) 至 (10), 即 綴 術 四 年, 緝 古 算 經 ) 三 年 除 了 這 些 書 以 外, 兩 個 專 業 的 學 生 還 必 須 學 習 數 術 記 遺 和 三 等 數 ( 三 等 數 寫 在 六 世 紀 中 期 或 更 早 時 期, 但 到 宋 朝 已 失 傳 ) 七 年 的 學 習 期 間 6

7 有 定 期 考 試, 每 年 年 末 舉 行 歲 考 三 次 沒 有 通 過 考 試 或 在 算 學 館 中 待 了 九 年 的 學 生 將 被 取 消 其 資 格 從 十 四 至 十 九 歲 的 入 學 年 齡 來 進 行 判 斷, 一 個 算 學 學 生 在 二 十 二 歲 左 右 參 加 科 舉 ( 更 詳 細 的 討 論, 可 見 Siu & Volkov, 1999) 雖 然 明 算 科 被 列 為 官 學 制 度 中 的 一 門 科 目, 但 它 的 地 位 較 低 例 如, 據 新 唐 書 記 載, 算 學 專 業 A 和 專 業 B 每 年 分 別 招 收 十 五 名 學 生, 配 有 兩 名 算 學 博 士 和 一 名 算 學 助 教 但 是 在 經 學 課 程 中, 每 年 招 收 三 百 名 學 生, 配 有 五 名 博 士 和 五 名 助 教 如 果 教 員 的 數 量 和 相 應 的 學 生 人 數 沒 能 揭 示 科 目 的 重 要 性 的 話, 那 麼 教 員 的 等 級 和 薪 水 卻 能 夠 反 映 這 一 點 據 新 唐 書 記 載, 算 學 博 士 是 最 低 級 別 的 官 員 ( 三 十 級 ), 而 助 教 則 根 本 沒 有 級 別 但 經 學 博 士 有 著 較 高 的 級 別 ( 十 一 級 ), 連 經 學 助 教 也 有 著 只 是 稍 微 低 一 點 的 級 別 ( 十 七 級 )! 4 唐 朝 的 科 舉 科 舉 是 中 國 的 國 家 考 試 的 專 有 名 詞, 顧 名 思 義 科 目 舉 薦, 即 通 過 不 同 科 目 的 考 試, 推 薦 合 適 的 考 生 ( 擔 任 一 定 的 官 職 ) 一 些 史 學 家 認 為 隋 煬 帝 頒 佈 詔 令 召 集 舉 行 國 家 考 試 是 科 舉 制 度 的 開 始 而 另 一 些 史 學 家 認 為 在 六 二 二 年, 唐 高 祖 頒 佈 詔 令, 任 何 有 資 格 的 考 生 無 需 經 省 級 官 員 推 薦 也 能 參 加 國 家 考 試, 這 才 是 科 舉 制 度 的 開 始 科 舉 最 初 是 富 有 生 命 力 而 又 行 之 有 效 的 制 度, 為 國 家 挑 選 人 才, 它 並 不 考 慮 考 生 的 社 會 背 景 或 貴 族 世 襲 因 素, 只 看 重 他 們 的 學 業 成 績 但 是, 這 一 制 度 經 歷 了 長 達 近 十 三 個 世 紀 的 不 同 朝 代, 漸 漸 退 化 為 培 養 機 械 式 學 習 和 迂 腐 思 想 的 一 種 思 想 束 縛 到 了 末 代 王 朝 清 王 朝, 最 後 在 一 九 五 年, 大 清 帝 國 的 皇 帝 下 詔 取 消 了 科 舉 制 度 (Franke, 1968; 金 諍, 1990; 劉 海 峰,1996; 吳 宗 國,1997; 謝 青 湯 得 用,1995; 楊 學 為 朱 仇 美 張 海 鵬,1992) 中 國 對 世 界 最 重 要 的 貢 獻 之 一, 是 建 立 了 國 家 服 務 管 理 制 度 以 及 這 個 制 度 的 核 心 部 分, 即 是 從 六 二 二 年 至 一 九 五 年 實 行 科 舉 的 考 試 (Kracke, 1947, p.l03) 事 實 上, 早 在 十 七 世 紀 初, 耶 穌 會 教 士 7

8 利 瑪 竇 (Matteo Ricci) 在 他 的 日 記 中 稱 讚 了 中 國 在 文 學 和 科 學 方 面 取 得 的 成 就, 也 表 揚 中 國 人 行 之 有 效 的 學 術 學 位 頒 授 (Ricci, 1615 / 1953) 伏 爾 泰 (Voltaire, 即 F.M. Arouet) 在 十 八 世 紀 中 期 作 了 類 似 的 評 論 : 人 們 肯 定 不 能 想 像 一 個 比 這 更 好 的 政 府 : 所 有 事 情 都 由 互 相 隸 屬 的 裁 判 庭 來 決 定, 裁 判 庭 的 成 員 需 要 通 過 幾 次 嚴 格 的 考 核 才 能 出 仕 中 國 的 一 切 事 情 都 是 通 過 這 些 裁 判 庭 來 管 理 (Voltaire, 1756/1878, p.162) 孫 中 山 於 一 九 一 一 年 創 立 中 華 民 國, 他 在 五 權 憲 法 中 說 : 現 在 各 國 的 考 試 制 度, 差 不 多 都 是 學 英 國 的 窮 流 溯 源, 英 國 的 考 試 制 度 原 來 還 是 從 我 們 中 國 學 過 去 的 所 以 中 國 的 考 試 制 度, 就 是 世 界 上 最 早 最 好 的 制 度 (Teng, , p. 267) 孫 中 山 甚 至 創 立 了 五 權 分 立 的 政 治 學 說, 將 國 家 權 力 機 關 劃 分 為 立 法 院 行 政 院 司 法 院 考 試 院 監 察 院 有 關 科 舉 制 度 ( 唐 朝 的 ) 的 官 方 詳 細 記 錄, 在 某 些 古 代 典 籍 中 可 以 找 到, 它 們 主 要 是 : 舊 唐 書, ; 新 唐 書, ; 唐 六 典,738; 通 典, ; 唐 會 要,961 清 代 學 者 徐 松 在 一 八 三 八 年 編 寫 的 登 科 記 考 可 以 作 為 輔 助 的 二 手 資 料, 它 既 收 集 了 以 上 列 舉 的 典 籍 中 許 多 相 關 資 料 的 摘 錄, 也 包 括 不 少 有 趣 的 資 料 和 軼 聞 ( 本 節 給 出 的 許 多 軼 聞 都 能 在 此 書 找 到 ( 徐 松, )) 在 西 方 文 獻 中, 其 中 一 部 最 早 記 載 唐 朝 科 舉 制 度 的 著 作 是 著 名 法 國 漢 學 家 Edouard Biot 寫 的, 他 似 乎 對 官 學 課 程 沒 有 太 高 的 評 價 他 認 為 算 學 館 這 一 名 字, 對 這 樣 初 級 的 學 習 機 構 來 說 是 誇 大 了, 他 並 且 認 為 所 採 用 的 教 科 書 收 集 的 問 題 大 部 分 是 初 級 的, 答 案 也 沒 有 給 出 證 明 (Biot, 1847/1969, pp. 257, 262) 第 一 本 用 西 方 語 言 全 面 記 載 唐 朝 科 舉 制 度 的 著 作, 是 由 Robert des Rotours(des Rotours, 1932) 在 一 九 三 二 年 撰 寫 的, 書 內 把 相 關 文 獻 作 了 相 當 翔 實 的 翻 譯 (Chapters 44-45) 8

9 在 新 唐 書 中, 有 一 部 分 是 關 於 選 舉 和 詮 敘 的, 其 中 記 載 了 國 家 的 兩 類 考 試 :(l) 每 年 年 初 為 中 央 官 學 與 地 方 官 學 的 在 校 生 ( 生 徒 ) 或 不 在 學 校 上 學 的 知 識 青 年 ( 鄉 貢 ) 舉 行 的 常 考 ;(2) 由 皇 帝 頒 佈 詔 令 舉 行 的 制 考 第 二 類 考 試 因 當 時 的 需 要 或 皇 帝 的 一 時 興 致 而 舉 行 因 此 涉 及 更 大 範 圍 的 專 門 知 識, 也 有 頗 為 不 可 思 議 的 科 目 從 官 方 記 載 中 能 找 出 許 多 這 類 專 門 考 試 這 裏 僅 僅 列 舉 一 小 部 分, 有 : 博 學 宏 詞 科, 博 通 墳 典 達 於 教 化 科, 軍 謀 宏 遠 堪 任 將 帥 科, 賢 良 方 正 能 直 言 極 諫 科, 祥 明 政 術 可 以 理 人 科 最 有 趣 的 一 門 考 試 是 隱 居 丘 園 不 求 聞 達 科, 從 邏 輯 上 說, 這 是 當 且 僅 當 一 個 人 不 要 學 位 的 情 況 下 才 被 授 予 這 一 學 位!( 事 實 上, 據 登 科 記 考 記 載, 七 九 四 年, 有 人 拒 絕 接 受 這 一 學 位, 終 於 學 位 是 缺 席 頒 授!) 第 一 類 考 試 最 初 有 七 門 科 目 : 秀 才, 明 經, 俊 土, 進 士, 明 法, 明 書 和 明 算 秀 才 很 快 被 取 消, 而 進 士 後 來 成 為 最 受 重 視 的 科 目 據 通 典 記 載, 到 七 五 二 年 止, 進 士 大 抵 千 人 得 第 者 百 一 二 ; 明 經 倍 之, 得 第 者 十 一 二 當 時 的 資 料 表 明, 在 五 十 歲 考 上 進 士 ( 也 許 經 過 許 多 次 重 複 的 努 力 ) 仍 是 了 不 起 的, 而 在 三 十 歲 考 上 明 經 已 經 算 是 太 老 了 關 於 明 算 科 難 以 找 到 類 似 的 資 料 或 評 論, 這 也 再 一 次 表 明 明 算 科 在 各 種 科 目 中 地 位 較 低, 僅 與 明 書 ( 即 書 法 ) 同 等 從 國 立 大 學 註 冊 的 學 生 數 目 更 能 看 出 這 一 點 唐 朝 的 高 等 教 育 機 構 是 按 等 級 劃 分 的 : 最 高 的 是 國 子 學, 它 只 招 收 某 級 別 以 上 的 皇 家 貴 族 子 弟 ; 其 次 是 太 學, 它 招 收 地 位 稍 低 的 貴 族 子 弟, 再 次 是 四 門 學, 它 除 了 招 收 官 員 子 弟 外, 也 招 收 少 量 庶 民 的 子 弟 律 學 書 學 和 算 學 這 三 類 學 校 只 招 收 職 位 低 的 官 員 的 子 弟 和 庶 民 的 子 弟 根 據 新 唐 書 記 載, 唐 朝 初 期, 國 子 學 有 學 生 三 百 名, 太 學 有 學 生 五 百 名, 四 門 學 有 學 生 一 千 三 百 名, 律 學 有 學 生 五 十 名, 書 學 有 學 生 三 十 名, 算 學 有 學 生 三 十 名 有 一 段 時 期, 約 有 八 千 名 學 生 在 全 國 高 等 教 育 機 構 ( 包 括 省 級 專 科 學 院 在 內 ) 接 受 教 育, 其 中 也 有 從 鄰 國 來 的 留 學 生 在 唐 朝, 國 家 高 等 教 育 體 制 已 經 很 完 整 了 每 年 高 等 教 育 體 制 的 大 事 科 舉 考 試 對 許 多 人 而 言 是 一 段 痛 苦 的 經 歷 唐 朝 的 一 些 作 家 描 述 了 考 生 帶 著 文 具 食 物 和 水 蠟 燭 與 木 炭 ( 為 準 備 用 餐 與 取 暖 用 ), 排 成 長 長 的 隊 伍, 站 在 帶 刺 的 樹 籬 ( 類 似 現 代 帶 刺 的 鐵 絲 網 ) 圍 成 的 考 試 管 轄 區 的 入 口 處 等 待, 經 過 門 衛 點 名 9

10 搜 身 後 進 入 考 試 的 小 隔 間 的 情 景 : 為 了 防 止 考 生 隱 藏 書 稿, 他 們 被 禁 止 穿 厚 衣 服, 只 能 穿 著 單 薄 衣 裳 在 寒 冷 的 天 氣 中 直 打 哆 嗦 在 長 達 許 多 小 時 的 考 試 中, 考 生 只 能 在 小 隔 間 中 活 動, 自 己 準 備 食 物, 處 理 個 人 衛 生 考 試 失 敗 是 普 遍 的 事 考 試 失 敗 之 後, 這 段 痛 苦 的 經 歷 還 得 重 複 年 復 一 年 地 繼 續 八 六 七 年 獲 得 進 士 的 韋 承 貽, 曾 溜 進 禮 部 的 南 宮 ( 掌 管 考 試 事 務 的 辦 事 處 ), 在 牆 上 作 了 一 首 詩 : 白 蓮 千 朵 照 廊 明, 一 片 昇 平 雅 頌 聲, 才 唱 第 三 條 燭 盡, 南 宮 風 景 畫 難 成 這 首 語 帶 無 奈 的 詩, 生 動 地 描 述 了 那 些 刻 苦 的 考 生 在 三 根 照 明 蠟 燭 耗 盡 前 爭 分 奪 秒 完 成 答 卷 的 情 景 現 代 的 考 試 無 疑 比 以 前 少 了 許 多 痛 苦, 但 如 果 不 指 出 現 代 一 些 完 善 的 考 試 方 法 早 在 一 千 年 前 已 經 存 在 的 話, 便 對 唐 朝 的 祖 先 有 點 不 公 平 七 五 九 年, 主 考 官 李 揆 說 : 大 國 選 士, 但 務 得 才, 經 籍 在 此, 請 恣 尋 檢 這 也 許 是 最 早 的 開 卷 考 試 了! 七 四 二 年, 主 考 官 韋 陟 說 : 以 一 場 之 善, 登 其 科 目, 不 盡 其 才 仍 令 舉 人 自 通 所 工 詩 筆, 先 試 一 日, 知 其 所 長, 然 後 依 常 式 考 核 這 可 能 是 最 早 用 專 題 研 習 報 告 和 綜 合 學 業 記 錄 ( 行 卷 和 納 卷 ) 來 評 價 考 生 的 案 例 了! 著 名 的 行 卷 例 子 是 詩 人 白 居 易 向 主 考 官 顧 況 所 交 的 作 品 : 八 年, 白 居 易 以 罕 有 的 年 輕 歲 數 二 十 七 歲 及 第 進 士, 他 的 行 卷 就 是 傳 誦 至 今, 廣 為 流 傳 的 一 首 詩 : 離 離 原 上 草, 一 歲 一 枯 榮 野 火 燒 不 盡, 春 風 吹 又 生 ( 英 譯 見 袁 行 需 許 淵 沖,2000) 5 唐 朝 科 舉 中 的 明 算 科 在 科 舉 的 明 算 科 專 業 A 或 B 中, 有 兩 種 類 型 的 考 試 題 新 唐 書 這 樣 描 述 第 一 類 問 題 : 錄 大 義 本 條 為 問 答 明 數 造 術 詳 明 術 理 對 於 專 業 B 的 試 題, 還 附 加 註 腳 : 無 注 者 合 數 造 術 不 失 義 理 ( 對 這 條 註 腳 嘗 試 作 出 一 種 解 釋, 見 Siu & Volkov, 1999) 我 們 在 第 六 部 分 將 會 詳 細 討 論 這 類 問 題 第 二 類 問 題 稱 為 帖 讀, 是 測 試 考 生 是 否 熟 讀 經 書 從 數 術 記 遺 或 三 等 數 中 取 出 一 行, 再 用 紙 貼 蓋 住 三 個 字, 考 生 需 要 說 出 是 哪 三 個 字 這 類 問 題 類 似 現 代 的 填 充 題 值 得 注 意 的 是, 數 術 記 遺 是 一 本 只 有 九 百 三 十 四 個 字 的 短 書, 考 生 不 10

11 費 太 多 力 氣 就 能 記 住 ( 更 不 用 說 以 七 年 時 間 來 記 它!) 挑 選 這 本 書 用 來 作 為 帖 讀 很 可 能 有 其 他 方 面 的 原 因, 但 那 是 另 一 篇 文 章 的 主 題 了 ( 見 Volkov, 1994, 關 於 數 術 記 遺 內 容 的 有 趣 討 論 ) 三 等 數 到 了 宋 朝 ( ) 已 經 失 傳 了, 我 們 只 能 猜 測, 它 可 能 是 類 似 數 術 記 遺 的 一 本 書 另 外, 實 施 帖 讀 有 一 個 原 因 六 八 一 年, 主 考 官 劉 思 立 在 所 有 科 目 實 施 帖 讀, 是 為 了 糾 正 考 生 普 遍 存 在 的 不 良 學 習 習 慣 一 些 考 生 為 了 通 過 考 試, 只 學 習 以 往 考 題 的 標 準 答 案, 而 不 學 習 原 著, 帖 讀 迫 使 考 生 去 閱 讀 ( 至 少 一 些 ) 原 著 然 而, 考 試 畢 竟 是 考 試, 易 於 被 濫 用 帖 讀 變 得 越 來 越 困 難 和 不 合 理, 它 測 試 晦 澀 的 短 語, 擬 題 者 甚 至 故 意 設 置 陷 阱 來 迷 惑 考 生 為 了 通 過 這 些 不 合 理 的 考 試, 考 生 的 應 付 手 法 是 收 集 晦 澀 的 短 語 並 記 住 它 們 於 是, 本 來 鼓 勵 考 生 讀 原 著 這 樣 值 得 讚 揚 的 目 的 完 全 被 歪 曲 了 七 二 八 年, 國 家 下 詔 : 經 書 的 摘 錄 必 須 設 置 在 合 理 的 範 圍 內 從 企 圖 以 考 試 指 導 課 程 發 展 方 面 而 言, 這 是 一 個 值 得 汲 取 的 教 訓 6 一 些 重 建 的 試 題 因 為 沒 有 任 何 尚 存 的 考 題 可 尋, 我 們 將 參 考 科 舉 中 關 於 明 算 科 考 試 的 說 明 和 解 釋, 重 建 一 些 考 題 以 提 供 證 據 支 援 本 文 的 觀 點 : 唐 朝 的 數 學 課 程 並 非 是 初 等 的, 也 並 非 是 通 過 死 記 硬 背 的 方 式 學 得 的 很 難 想 像, 一 群 經 過 挑 選 的 年 輕 人 花 費 七 年 的 黃 金 歲 月, 只 是 囫 圇 吞 棗 地 逐 字 記 憶 數 學 著 作, 僅 僅 為 了 最 後 在 科 舉 中 將 答 案 背 出 來 而 已 如 果 讀 者 認 為, 在 歷 史 研 究 中 不 能 依 靠 想 像, 作 者 在 此 引 用 英 國 歷 史 哲 學 家 Collingwood(1946, p.202) 提 出 的 研 究 歷 史 的 一 種 廣 泛 ( 但 稍 具 爭 議 ) 觀 點, 插 入 一 個 ( 稍 帶 歉 意?) 自 辯, 歷 史 就 是 活 著 的 心 靈 自 我 認 識 因 為 歷 史 並 不 包 含 在 書 本 或 文 獻 中, 它 僅 僅 作 為 當 前 的 一 種 興 趣 和 追 求, 活 在 評 論 這 些 文 獻 的 歷 史 學 家 的 心 靈 中, 通 過 歷 史 文 獻 的 評 述, 歷 史 學 家 再 次 體 驗 其 所 探 究 的 心 靈 的 狀 態 Collingwood 和 應 了 義 大 利 哲 學 家 Croce(1919/1920, p.19) 提 出 的 觀 點 : 歷 史 是 活 的 編 年 史, 編 年 史 是 死 的 歷 史, 歷 史 是 當 代 的 歷 史, 編 年 史 是 過 去 的 歷 史 ; 11

12 歷 史 主 要 是 一 種 思 想 活 動, 編 年 史 主 要 是 一 種 意 志 活 動 一 切 歷 史 當 其 不 再 是 思 想 而 只 是 用 抽 象 字 句 記 錄 下 來 時, 它 變 成 了 編 年 史, 儘 管 那 些 字 句 一 度 是 具 體 及 感 人 的 舉 例 之 前, 先 看 看 一 本 典 型 的 教 科 書, 領 會 作 者 是 如 何 做 數 學 的, 對 我 們 的 討 論 有 幫 助 有 哪 本 書 比 得 上 偉 大 的 著 作 九 章 算 術 呢? 連 同 三 世 紀 數 學 家 劉 徽 所 加 的 注 釋, 這 本 教 科 書 為 本 文 的 論 點 提 供 了 更 充 分 的 間 接 證 據 九 章 算 術 的 第 五 章 給 出 了 多 種 立 體 圖 形 的 體 積 公 式, 特 別 是, 問 題 十 七 是 一 個 墓 穴 入 口 的 通 道 ( 羨 除 ) 的 體 積 公 式 用 數 學 語 言 描 述, 羨 除 是 一 個 三 面 為 梯 形 和 兩 側 面 為 三 角 形 的 幾 何 體, 這 三 個 梯 形 的 平 行 對 邊 的 長 度 分 別 為 a, b ; a, c ; b, c, 頂 部 梯 形 的 高 為, 羨 除 深 h ( 見 圖 1) 圖 1 1 書 中 給 出 了 羨 除 的 體 積 公 式 V ( a b c) h ( a, b, c 在 書 中 乃 6 具 體 數 值, 但 實 際 上 它 們 的 數 值 並 沒 有 特 殊 意 義, 是 具 有 普 遍 性 的 ) 劉 徽 在 注 釋 中 解 釋 了 如 何 算 出 體 積 他 將 羨 除 剖 分 成 一 些 標 準 的 幾 何 形 狀, 如 特 殊 的 三 棱 柱 ( 塹 堵 ) 特 殊 的 四 面 體 ( 鱉 臑 ), 或 者 以 正 方 形 為 底 的 棱 錐 ( 陽 馬 ) 如 果 你 也 試 著 做, 便 會 發 現 剖 分 的 方 法 因 a, b, c 之 間 的 大 小 關 係 不 同 而 異 例 如 若 a c b, 則 可 將 其 剖 分 為 兩 個 體 積 1 1 為 (a b) h 的 特 殊 類 型 的 四 面 體 兩 個 體 積 為 (c b) h 的 特 殊 類 型 的 四 面 體 和 一 個 體 積 為 bh 的 三 棱 柱 ( 見 圖 1) 它 們 的 體 積 之 和 為 12 12

13 1 1 (a b c) h 若 a b c, 則 可 將 其 剖 分 為 兩 個 體 積 為 (a b) h 的 特 殊 類 型 的 四 面 體, 兩 個 以 正 方 形 為 底 體 積 均 為 (b c) h 的 棱 錐 和 一 個 體 積 為 ch 的 三 棱 柱 它 們 的 體 積 之 和 也 是 (a b c) h 事 實 2 6 上, 劉 徽 在 他 的 注 釋 中 列 舉 了 除 b a c 之 外 的 所 有 八 種 不 同 情 形 下 羨 除 的 剖 分 方 法 計 算 因 剖 分 方 法 的 不 同 而 異, 但 其 基 本 思 想 則 是 一 樣 的 考 試 大 概 要 求 考 生 作 出 與 此 相 類 似, 關 於 其 他 幾 何 形 狀 的 面 積 或 體 積 公 式 的 解 釋, 其 中 幾 何 形 狀 各 邊 的 長 度 可 能 也 是 一 些 具 體 數 值, 只 要 考 生 掌 握 其 基 本 思 想, 這 樣 的 試 題 的 要 求 是 合 理 的 同 章 中, 問 題 十 是 一 個 關 於 以 正 方 形 為 底 的 亭 子 ( 方 亭 ) 的 體 積 問 題 ( 見 圖 2) 圖 2 用 數 學 語 言 描 述, 方 亭 是 一 個 以 正 方 形 為 底 的 截 棱 錐 如 果 分 別 是 方 亭 下 上 底 的 邊 長, h 是 方 亭 的 高, 則 方 亭 的 體 積 為 V ( a b ab) h 劉 徽 又 一 次 在 他 的 注 釋 中 闡 述 了 怎 樣 巧 妙 地 組 合 3 一 些 標 準 形 狀 的 幾 何 體 模 塊 ( 他 稱 為 棋 ) 得 到 方 亭, 從 而 得 到 方 亭 的 體 積 公 式 由 三 種 棋 能 組 合 成 方 亭 : 邊 長 為 a 體 積 為 a, b 3 a 的 立 方 體 ( 立 方 ); 底 面 是 邊 長 為 a 的 正 方 形, 另 一 條 長 為 a 的 棱 垂 直 於 底 面 的 棱 1 3 錐, 其 體 積 為 a ( 陽 馬 ); 底 面 是 腰 長 為 a 的 等 腰 直 角 三 角 形, 高 為 a 的 三 棱 柱, 其 體 積 為 a ( 塹 堵 ) 劉 徽 觀 察 到 截 棱 錐 可 由 一 個 立 2 方 四 個 陽 馬 和 四 個 塹 堵 組 成 ( 細 心 的 讀 者 會 發 現 這 裏 需 要 h b, 讓 我 們 可 以 運 用 標 準 形 狀 的 幾 何 體 模 塊 ) 劉 徽 接 著 觀 察 到 一 個 立 方 可 以 組 成 體 積 為 b 2 h 的 立 方 體 塊, 一 個 立 方 和 四 個 塹 堵 可 組 成 一 個 體 積 為 abh 13

14 的 長 方 體 塊, 一 個 立 方 八 個 塹 堵 和 十 二 個 陽 馬 可 組 成 一 個 體 積 為 的 長 方 體 塊 ( 細 心 的 讀 者 會 發 現, 這 裏 要 求 是 由 三 個 陽 馬 組 合 而 成 的 立 方 體 ) a 2 h h b和 a 3b, 使 得 每 個 角 在 問 題 十 五 中, 劉 徽 進 一 步 闡 述 了 怎 樣 用 無 窮 小 分 割 方 法 推 導 出 以 長 方 形 為 底, 有 著 任 意 高 的 更 一 般 的 四 棱 錐 的 體 積 公 式 (Wagner, 1979) 總 而 言 之, 三 個 立 方 十 二 個 塹 堵 和 十 二 個 陽 馬 的 體 積 之 和 為 b h abh a h, 因 而 截 棱 錐 的 體 積 是 (a b ab) h( 見 圖 3) 3 圖 3 V 劉 徽 還 用 另 一 種 剖 分 方 法 給 出 了 截 棱 錐 的 另 一 體 積 公 式 1 2 ( a b) h abh ( 見 圖 4) 3 圖 4 在 第 二 種 方 法 中, 不 必 假 設 下 底 均 為 正 方 形 的 棱 臺 h b和 a 3b, 但 它 只 適 用 於 上 14

15 a,a 1 2 和,b 1 2 這 裏 給 出 一 道 模 擬 題 : 計 算 高 為 h 下 底 和 上 底 分 別 是 邊 長 為 b 的 長 方 形 ( a1 a2, b1 b2 ) 的 亭 子 的 體 積 如 果 理 解 了 劉 徽 的 無 窮 小 分 割 方 法, 考 生 稍 加 變 動 就 能 得 到 該 問 題 的 答 案, 作 為 練 習 這 個 留 給 讀 者 ( 讀 者 也 可 以 用 當 今 學 生 都 熟 悉 的 方 法 來 解 決 該 問 題, 即 用 相 似 三 角 形 的 方 法 ), 答 案 是 V 1 1 a a2 b1b 2 ( a1b2 a2b1 ) h 如 果 考 生 僅 僅 記 住 課 本 上 的 公 式 而 不 加 以 理 解, 很 難 想 到 這 一 正 確 公 式 這 也 許 就 是 所 謂 的 造 術 ( 構 造 一 個 ( 新 的 ) 演 算 法 ) 的 意 義 而 且, 考 慮 到 考 生 在 以 後 的 職 業 生 涯 中 很 可 能 會 遇 到 他 們 在 課 本 中 所 學 問 題 的 變 式 ( 如 參 數 改 變 ), 對 他 們 作 這 樣 的 要 求 也 是 合 理 的 7 科 舉 真 的 對 學 習 這 麼 有 害 嗎? 科 舉 制 度 有 著 奇 怪 的 矛 盾 現 象, 既 被 描 述 為 一 種 豐 富 的 文 化 遺 產, 又 被 描 述 為 中 國 歷 史 上 一 種 負 面 桎 梏 科 舉 的 長 短 優 劣, 至 今 仍 是 一 個 廣 泛 引 起 爭 論 的 主 題 ( 金 諍,1990; 劉 海 峰,1996) 這 裏, 我 們 不 想 涉 足 另 一 場 冗 長 的 爭 論, 而 是 放 大 這 一 制 度 中 較 積 極 的 部 分, 以 抗 衡 中 國 古 人 只 是 通 過 機 械 記 憶 和 勤 奮 刻 板 訓 練 來 學 習 數 學 這 一 傳 統 觀 念 可 惜 的 是, 科 舉 的 積 極 部 分 被 它 的 消 極 部 分 掩 蓋, 這 一 制 度 在 明 朝 和 清 朝 的 演 變 使 消 極 作 用 更 顯 突 出 奇 怪 的 是, 通 常 人 們 仍 然 認 為 儒 家 的 學 習 等 同 於 死 記 硬 背 的 學 習 和 一 味 順 從 的 學 習, 儘 管 聖 賢 早 已 有 相 反 的 論 述 論 語 ( 西 元 前 五 世 紀 ) 中 說 : 學 而 不 思 則 罔, 思 而 不 學 則 殆 中 庸 ( 西 元 前 六 世 紀 至 西 元 前 五 世 紀 ) 中 說 : 誠 之 者, 擇 善 而 固 執 之 者 也 博 學 之, 審 問 之, 慎 思 之, 明 辨 之, 篤 行 之 在 宋 代 大 儒 朱 熹 ( ) 的 書 中, 我 們 也 可 以 讀 到 讀 書 無 疑 者, 須 教 有 疑, 有 疑 者, 卻 要 無 疑, 到 這 裏 方 是 長 進 ( 卷 11,151 頁 ) 人 們 能 稱 此 為 死 記 硬 背 的 學 習 嗎? 是 一 味 順 從 的 學 習 嗎? 朱 熹 的 著 作 讀 得 越 多, 我 們 也 許 對 西 方 觀 察 者 所 指 的 死 記 硬 背 學 習 原 來 是 怎 樣 一 回 事 理 解 得 更 深 入 朱 熹 說 : 大 抵 觀 書, 先 須 熟 讀, 使 其 言 皆 若 出 於 吾 之 口, 繼 以 精 思, 使 其 意 皆 若 出 於 吾 之 心, 然 後 可 以 有 得 也 然 熟 讀 精 思 既 曉 得 後, 又 須 疑 不 止 如 15

16 此, 庶 幾 有 進 若 以 為 止 如 此 矣, 則 終 不 復 有 進 也 ( 卷 11,135 頁 ) 朱 熹 進 一 步 指 出 : 學 便 是 讀 讀 了 又 思, 思 了 又 讀, 自 然 有 意 若 讀 而 不 思, 又 不 知 其 意 味 ; 思 而 不 讀, 縱 使 曉 得, 終 是 惴 惴 不 安 若 讀 得 熟, 而 又 思 得 精, 自 然 心 與 理 一, 永 遠 不 忘 ( 卷 10,138 頁 ) 這 段 話 明 顯 地 闡 明 了 反 覆 學 習 和 機 械 學 習 的 區 別 當 代 的 研 究 者 基 於 這 種 區 別 解 釋 了 亞 洲 學 習 者 悖 論 (Biggs, 1996;Marton, Dall'Alba & Tse, 1996) 另 一 方 面, 在 十 九 世 紀 伴 隨 著 工 業 革 命 出 現 的 西 方 現 代 教 育, 開 始 即 強 調 3Rs 讀 寫 算 在 一 八 六 二 年, 英 國 教 育 部 Robert Lowe 簽 發 的 一 部 法 規 中, 對 每 個 R 的 標 準 作 了 明 確 規 定 ( 例 如, 關 於 讀 的 標 準 I: 朗 讀 單 音 節 詞 ; 寫 的 標 準 II: 以 整 齊 書 法 臨 摹 一 行 印 刷 字 體 ; 算 的 標 準 IV: 計 算 一 則 貨 幣 題 )(Curtis, 1967, Chapter 7) 狄 更 斯 (Charles Dickens) 在 一 八 五 四 年 寫 的 小 說 艱 難 時 世, 開 頭 借 Coketown 城 的 Gradgrind 先 生 之 口 說 話, 是 對 當 時 英 國 強 調 機 械 式 學 習 的 生 動 描 述 ( 固 然, 小 說 的 話 帶 有 誇 大 的 諷 刺 意 味 ): 現 在, 我 需 要 的 是 事 實, 我 教 給 學 生 們 的 只 是 事 實, 惟 獨 事 實 是 生 活 之 所 需 這 是 我 教 育 自 己 孩 子 的 原 則, 也 是 我 教 育 這 些 孩 子 們 的 原 則 先 生, 堅 持 事 實! (Dickens, 1854/1995, p.9) 關 於 科 舉 的 準 備, 朱 熹 也 有 以 下 觀 點 : 士 人 先 要 分 別 科 舉 與 讀 書 兩 件, 孰 輕 孰 重 若 讀 書 上 有 七 分 志, 科 舉 上 有 三 分, 尤 自 可 ; 若 科 舉 七 分, 讀 書 三 分, 將 來 必 被 它 勝 卻 ( 卷 13,191 頁 ) 舉 業 亦 不 害 為 學 前 輩 何 嘗 不 應 舉 只 緣 今 人 把 心 不 定, 所 以 有 害 才 以 得 失 為 心, 理 會 文 字, 意 思 都 別 了 ( 卷 13,194 頁 ) 嘗 論 科 舉 云 : 非 是 科 舉 累 人, 自 是 人 累 科 舉 若 高 見 遠 識 之 士, 讀 聖 賢 之 書, 據 吾 所 見 而 為 文 以 應 之, 得 失 利 害 置 之 度 外, 雖 日 日 應 舉, 亦 不 累 也 居 今 之 世, 使 孔 子 復 生, 也 不 免 應 舉, 然 豈 能 累 孔 子 邪! ( 卷 13,194 頁 ) 16

17 八 百 多 年 以 前, 中 國 的 聖 賢 已 經 知 道 考 試 的 主 要 弊 端 並 非 來 自 考 試 本 身, 而 是 來 自 考 試 所 帶 來 的 利 害 關 係! 假 設 不 靠 通 過 機 械 學 習 以 求 考 試 及 格, 那 麼 考 試 可 以 帶 來 哪 些 益 處 呢? 讓 我 們 首 先 對 中 國 古 代 的 考 試 形 式 與 布 魯 姆 (Bloom, 1956) 的 現 代 評 估 理 論 作 一 下 比 較 現 代 評 估 觀 點 既 包 括 形 成 性 評 估, 也 包 括 總 結 性 評 估, 但 中 國 古 代 的 考 試 是 為 了 選 拔, 所 以 只 關 注 後 者 的 作 用 布 魯 姆 的 認 知 目 標 的 六 級 分 類 與 中 國 古 代 考 試 的 四 種 不 同 類 型 的 問 題 是 一 致 的, 即 :(1) 帖 讀 以 考 查 知 識 ;(2) 短 的 問 題 以 考 查 理 解 與 應 用 ; (3) 長 的 問 題 ( 關 於 當 代 時 事 ) 以 考 查 分 析 與 綜 合 ;(4) 作 文 與 作 詩 以 考 查 評 價 ( 劉 海 峰,1996,240 頁 ) 有 了 多 種 多 樣 的 目 標, 考 試 即 使 作 為 總 結 性 評 估 過 程, 它 對 學 生 和 教 師 都 能 產 生 有 益 的 影 響 對 學 生 而 言, 它 有 利 於 鞏 固 知 識, 加 強 理 解, 製 定 學 習 計 畫, 判 斷 學 習 重 點, 發 展 學 習 策 略, 培 養 學 習 動 機 和 自 我 提 升 意 識 對 教 師 而 言, 除 了 上 述 提 到 的 優 點 之 外, 考 試 還 可 以 用 來 檢 查 學 生 的 學 習 進 度, 判 斷 學 生 消 化 吸 收 了 多 少, 評 估 教 學 是 否 有 效 從 這 種 意 義 上 來 說, 素 質 教 育 與 應 試 教 育 不 必 是 對 立 的 Crooks 說 : 作 為 教 育 者, 我 們 應 該 在 評 估 中 確 保 對 我 們 認 為 是 最 重 要 的 技 能 知 識 和 態 度 給 予 恰 當 的 重 視 (Crooks, 1988, p.470) 從 總 結 性 評 估 的 角 度 看, 考 試 是 一 種 不 得 已 之 惡 但 從 形 成 性 評 估 的 角 度 看, 考 試 是 學 習 過 程 的 有 用 組 成 部 分 而 且, 嚴 格 地 區 分 總 結 性 評 估 和 形 成 性 評 估 是 一 種 錯 誤 的 二 分 法, 重 要 的 是 不 要 本 末 倒 置, 讓 評 估 指 揮 了 教 育 (C. Tang & Biggs, 1996, p.159) 中 國 皇 朝 的 考 試 制 度, 儘 管 具 有 良 好 的 初 始 意 願 和 長 達 一 千 二 百 八 十 七 年 的 歷 史, 但 最 終 走 向 了 消 亡, 這 是 一 個 值 得 汲 取 的 教 訓 參 考 文 獻 : 17

18 Biggs, J. B. (1996). Western misperceptions of the Confucianheritage learning culture. In D. A. Watkins & J. B. Biggs (Eds.), The Chinese Learner: Cultural, psychological and contextual influences (pp ). Hong Kong: Comparative Education Research Centre, The University of Hong Kong; Melbourne, Australia: Australian Council for Education Research. Biot, E. (1969). Essai sur l histoire de l instruction publique en Chine, et de la corporation des lettrés, depuis les anciens temps jusqu à nos jours: Ouvrage entièrement rédigé d après les documents chinois [Essay on the history of state education and the literati in China from ancient time to the present: Work written entirely depending on Chinese documents]. Paris: Benjamin Duprat. (Reprinted, 1847, Taipei: Chéng Wen Publ. Co.) Bloom, B. S. (Ed.) (1956). Taxonomy of educational objectives, The classification of educational goals, handbook I: Cognitive domain. London: Longman. Cai, J. (1995). A cognitive analysis of U.S. and Chinese students mathematical performance on tasks involving computation, simple problem solving and complex problem solving. Reston: National Council of Teachers of Mathematics. 陳 飛 (2002) 唐 代 試 策 考 述. 北 京 : 中 華 書 局 陳 穀. 鄧 洪 波 (1997). 中 國 書 院 制 度 研 究. 杭 州 : 浙 江 教 育 出 版 社 18

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21 Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics: Teachers understanding of fundamental mathematics in China and the United States. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. 馬 忠 林. 王 鴻 鈞. 孫 宏 安. 王 玉 閣. (1991). 數 學 教 育 史 簡 編. 南 寧 : 廣 西 教 育 出 版 社. Marton, F., Dall Alba, G., & Tse, L. K. (1996). Memorizing and understanding: The keys to the paradox. In D. A. Watkins & J. B. Biggs (Eds.), The Chinese learner: cultural, psychological and contextual influences (pp ). Hong Kong: Comparative Education Research Centre, The University of Hong Kong; Melbourne, Australia: Australian Council for Education Research. 梅 汝 莉, & Li, S. (1992). 中 國 科 技 教 育 史. 長 沙 : 湖 南 教 育 出 版 社. Needham, J. (with the collaboration of L. Wang). (1959). Science and civilization in China, Volume 3: Mathematics and the sciences of the heavens and the earth. Cambridge: Cambridge University Press. 彭 浩 (2001). 張 家 山 漢 簡 算 數 書 注 釋. 北 京 : 科 學 出 版 社. Ricci, M. (1953). China in the sixteenth century: The journals of Matthew Ricci, (L. J. Gallagher, Trans.). New York: Random House. (Original work complied by N. Trigault, 1615) Shen, K., Crossley, J. N., & Lun, A. W. C. (1999). The Nine Chapters on 21

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24 Comparative Education Research Centre, The University of Hong Kong; Melbourne, Australia: Australian Council for Education Research. Watkins, D. A., & Biggs, J. B. (Eds.) (2001). Teaching the Chinese learner: Psychological and pedagogical perspectives. Hong Kong: Comparative Education Research Centre, The University of Hong Kong; Melbourne, Australia: Australian Council for Education Research Wong, N. Y. (1998). In search of the CHC learner: Smarter, works harder or something more? In ICMI-EARCOME Proceedings (Vol. 1, pp ). Cheongju: Korean National University of Education. 吳 宗 國 (1997). 唐 代 科 舉 制 度. 瀋 陽 : 遼 寧 大 學 出 版 社. 謝 青 & Tang, D. (Eds.) (1995). 中 國 考 試 制 度 史. 合 肥 : 黃 山 書 社. 徐 松. (1984). 登 科 記 考. 北 京 : 中 華 書 局 ( 原 版 於 1838) 袁 行 霈. 許 淵 沖, (2000) 新 編 千 家 詩 北 京 : 中 華 書 局 Yan, D. (1965). 中 國 數 學 教 育 簡 史. 數 學 通 報, 8, 44-48; 9, 楊 學 為. 朱 仇 美. 張 海 鵬 (1992). 中 國 考 試 制 度 史 資 料 選 編. 合 肥 : 黃 山 書 社. Zhang, Z.-F. (1985). 中 國 書 院 制 度 史 略. 南 京 : 江 蘇 教 育 出 版 社. Zhao, L. (1991). A comparative study of the history of mathematics in the Oriental and Western worlds [In Chinese 中 西 數 學 史 的 比 較 ], Taipei: Commercial Press. 24

25 Zhao, S., & Xue, Z. (1995). 中 國 歷 代 書 院 志 ( 第 16 卷 ). 南 京 : 江 蘇 教 育 出 版 社. 周 東 明 (1990). 習 算 綱 目 與 楊 輝 的 數 學 教 育 思 想. 華 中 師 範 大 學 學 報 ( 自 然 科 學 版 ), 24(3), ************ 本 文 原 以 英 文 寫 成, 是 L.H. Fan, J. Cai, N.Y. Wong, S. Li 編 的 How Chinese Learn Mathematics: Perspectives From Insiders, World Scientific, 2004, 書 內 第 六 章, 頁 在 2005 年 江 蘇 教 育 出 版 社 把 全 書 翻 譯 成 中 文 本, 名 為 華 人 如 何 學 習 數 學, 此 章 的 譯 者 是 彭 愛 輝 亦 載 於 蕭 文 強 : 心 中 有 數, 九 章 出 版 社, 2009 年, ; 大 連 理 工 大 學 出 版 社, 2010 年, ] 25