摘要本文擴展 Bakshi et al. (1997) 所提出隨機波動與隨機利率 (Stocahstic-Volatility and Stochastic-Interest-Rate, SVSI) 之歐式選擇權模型, 且整合 Huang et al. (1996) 所提出 Richardson 外

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崎帚邱
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1 2012 TOPCO 崇越論文大賞論文題目 : 具有隨機波動與隨機利率之美式選擇權分析解 : 障礙選擇權法 Analytical Approximate Solutions for American Options with Stochastic Volatility and Stochastic Interest Rates Using Barrier Options Models 報名編號 : B0032

2 摘要本文擴展 Bakshi et al. (1997) 所提出隨機波動與隨機利率 (Stocahstic-Volatility and Stochastic-Interest-Rate, SVSI) 之歐式選擇權模型, 且整合 Huang et al. (1996) 所提出 Richardson 外插法和障礙選擇權模型, 推導出具有隨機波動與隨機利率之美式賣權分析解於數值分析中, 藉由大樣本之最小帄方蒙地卡羅模擬法 (Least-Square Monte Carlo simulation, LSM) 所計算之 SVSI 美式賣權作為基準, 驗證本研究模型之正確性與效率性, 並透過敏感度分析, 探討參數之變化對 SVSI 美式賣權價格的影響, 提供決策者有用的分析依據關鍵詞 : 分析解美式選擇權障礙選擇權隨機波動隨機利率壹緒論選擇權定價模型自 Black and Scholes (1973) 發展至今, 已有 30 餘年且漸趨完備, 不但於金融市場上成為受觀迎的商品, 亦提供有需求的投資人能避險與交易, 尤其以美式選擇權更受到投資人的喜愛, 美式選擇權具有可提前履約的特性, 使得在投資決策上更具有彈性的空間, 但從定價的角色來看, 也因具有提前履約的特性, 如何決定最適履約的政策, 皆使得定價模型變成較為複雜, 因此, 美式選擇權之評價成為近年來熱門研究的議題過去許多研究美式選擇權定價的文獻中, 對於定價模型之推導, 一般作以下假設 :1. 標的資產價格為對數常態分配 (Lognormal Distribution);2. 標的資產的波動度為固定常數 ;3. 本國利率為固定常數 ; 實務上標的資產的波動度為隨機, 且本國利率假設不會隨時間改變亦不合理, 有鑑於此, 也促使本文放寬這些假設, 發展出更具彈性的美式選擇權模型之動機一般而言, 評價美式選擇權通常使用數值解法或推算其分析解 (Analytical Solution) 兩種方法, 實務上較常採用的數值方法為蒙地卡羅法 (Monte Carlo Simulation) 二項樹模型 (Binomial Tree Model) 和有限差分法 (Finite Difference Methods), 然而數值模擬的方法, 必須在大樣本之下重覆試行計算, 才能得到準確的美式選擇權價格, 不但需要耗費較長的時間, 在面對市場迅速變化的交易中, 數值模擬方法更顯得缺乏效率相反地, 分析解改善數值模擬方法的缺點, 除了具有更精確且快速的價格計算, 並藉由分析解的偏導數, 更可得到相關的避險參數, 使得分析解在評價美式選擇權較符合市場上的需求本文主要目的是利用障礙選擇權的模型架構, 推導出具有隨機波動與隨機利率之美式選擇權分析解, 由於障礙選擇權在到期期間內具有障礙價格的特性, 以 1

3 向下敲出賣權 (Dow-And-Out) 為例, 當股價觸及或低於障礙價格時, 則賣權不具價值, 然而可將美式賣權中的提前履約之關鍵價格 (Critical Price) 視為障礙價格, 該障礙選擇權特性會與美式賣權相似,Ingersoll (1998) 則利用此障礙選擇權方式推導美式賣權定價模型, 因此本文利用向下敲出賣權方式, 以及擴展 Bakshi et al. (1997) 架構下, 藉由 Richardson 外插法, 修正離散型 SVSI 美式賣權價格, 進而推導出 SVSI 美式選擇權分析解本研究具體之貢獻為 :1. 發展一個符合實務之 SVSI 美式賣權模型, 並利用最小帄方蒙地卡羅模擬法驗證模型的準確性 2. 進行一系列選擇權敏感度分析, 探討各種參數之變化對 SVSI 美式選擇權的影響, 提供決策者有用的分析依據本文主要的架構如下, 第二章為文獻回顧, 第三章為模型架構, 第四章為數值分析, 第五章為結論與未來研究方向貳文獻回顧從 Black and Scholes (1973) 發展出歐式選擇權封閉解後, 儘管後續研究者在選擇權評價之研究不遺餘力, 主要精神仍採用 Black and Scholes (1973) 假設作為出發點, 當中包含無套利投資組合的建構股價服從幾何布朗運動標的資產價格符合對數常態分配, 這些假設觀念皆奠定後續研究選擇權模型穩固的根基然而實務上的考量, 波動度並非固定不變的,Hull and White (1987) 與 Corrado and Su (1998) 觀察市場上選擇權的隱含波動度是具有微笑曲線 (Volatility Smile) 的現象, 並非吻合 Black and Scholes (1973) 假設波動度為固定, 因此 Hull and White (1987) 首先推導出具有隨機波動歐式選擇權封閉解, 隨後 Stein and Stein (1991) 認為波動度是具有一定區間變動之特性, 因此將波動度隨機過程加入均數復歸 (Ornstein-Uhlenbeck) 之特性, 推導出具有隨機波動歐式選擇權封閉解然而 Hull and White (1987) 和 Stein and Stein (1991) 皆假設標的資產價格與波動度無相關性, Heston (1993) 認為波動度不僅有均數復歸的特性且與標的資產價格具有相關程度, 因此採用 Cox Ingersoll and Ross (1985, CIR) 所提出波動度之隨機過程, 推導出具有隨機波動歐式選擇權封閉解 Bakshi et al. (1997) 將模型推廣至更一般化的模型, 假設波動度與利率皆服從 CIR 之隨機過程, 且考量標的資產價格與波動度具有相關性, 推導出具有隨機波動與隨機利率歐式選擇權封閉解, 使得選擇權價格更能貼近市場的情形美式選擇權由於缺乏封閉解, 一般皆以數值模擬方法與分析解評價, 數值模擬方法大致可以歸納為三種, 首先為 Boyle (1977) 提出蒙地卡羅模擬法, 雖然隨後 Brennan and Schwartz (1978) 和 Cox, Ross and Rubinstein (1979) 分別提出 2

4 有限差分法與二元樹模型, 但實務上, 蒙地卡羅模擬法富有較大彈性可評價各式新奇選擇權, 因此被廣泛的應用,Tilley (1993) 利用蒙地卡羅模擬法評價美式選擇權時, 首先記錄模擬股價後的路徑並加以排序, 最後找出各期最適提前履約的邊界 Barraquand and Martineau (1995) 則改善 Tilley (1993) 的方法, 此法的優點為能夠評估多資產美式選擇權 Grant Vora and Weeks (1996) 採用向後求解得到各期的關鍵股價, 進一步可簡單作出最適提前履約之決策 Raymar and Zwecher (1997) 修正 Barraquand and Martineau (1995) 的模擬方法, 此法之優點亦能評估多資產美式選擇權, 且能夠得到更為精確的解 Longstaff and Schwartz (2001) 發展出最小帄方蒙地卡羅法, 利用迴歸技巧估計繼續持有價值, 有效評估最適提前履約的決策, 此法的優點能夠評估複雜的選擇權, 且當樣本數夠大時, 實際值為理論值的不偏估計, 本文後續採用模擬方法亦使用 LSM 由於要推導美式選擇權封閉解是十分困難, 除了數值模擬方法外, 陸續有研究者投入美式選擇權的分析解 Geske and Johnson (1984) 提供一個近似的方法得到美式選擇權分析解, 這個方法主要找出不同提前履約時點的離散型 ( 百慕達式 ) 美式選擇權, 再使用 Richardson 外插法將離散型美式選擇權修正至連續時點的美式選擇權 Huang et al. (1996) 利用 Geske and Johnson (1984) 的方法, 以 4 點 Richardson 外插法之方式, 推導出美式賣權分析解 Barone-Adesi and Whaley (1987) 將美式選擇權視為一個 Black and Scholes (1973) 歐式選擇權加上提前履約價值, 推導出美式選擇權分析解 Ingersoll (1998) 利用向下敲出歐式賣權的模型, 評價美式選擇權, 而 Sbuelz (2004) 亦採用相同的觀念, 由於美式選擇權的特色與障礙選擇權相似, 兩者當股價觸及特定價格時, 選擇權價值皆會改變, 因此 Sbuelz (2004) 利用向下敲出歐式賣權作為定價美式選擇權的模型, 並將向下敲入 (Dow-And-In) 歐式賣權視為提前履約的價值, 推導出美式選擇權分析解, 本文亦採用此方法, 且將模型修正為具有隨機波動與隨機利率的美式選擇權分析解參模型本章利用 Bakshi et al. (1997) 所提出之 SVSI 歐式選擇權定價模型, 且結合 Griebsch and Wystup (2011) 研究成果, 發展出 SVSI 歐式向下敲出賣權模型, 進而推導出 SVSI 美式賣權分析解然而在計算 SVSI 歐式向下敲出賣權之價內機率分配函數為十分困難,Griebsch and Wystup (2011) 利用 Shephard (1991) 機率分配函數證明結果, 計算出離散型的價內機率分配函數, 並推導出具上出局與下出局式選擇權 (Fader Option) 的模型, 因此本文修正 Griebsch and Wystup (2011) 之模型, 可得離散型向下敲入賣權之價內機率分函數, 且利用 Bakshi et al. (1997) SVSI 歐式 3

5 賣權之特徵函數的設定, 發展出離散型 SVSI 歐式向下敲入賣權與向下敲出賣權, 最後再使用 Huang et al. (1996) 所提出之 Richardson 外插法推導出 SVSI 美式選擇權的分析解 3.1 SVSI 歐式選擇權定價模型本文主要根據 Bakshi et al. (1997) 所提出之 SVSI 歐式選擇權定價模型, 即 Black and Scholes (1973) 所提出簡單歐式選擇權, 加入隨機波動與隨機利率之模型首先, 假設股價於風險中立下之隨機過程為 ds R S dt V S d (1), t t t t t s, t 考慮波動度於風險中立下之隨機過程具均數復歸, 即採用 CIR 模型,, dv k V dt V d (2) t v v t v t v t S t 為時間點 t 時不支付股利的股價 (Stock Price);V t 為時間點 t 時股價波動度 (Volatility) ; ω s,t 和 ω v,t 服從幾何布朗運動 (Standard Brownian Motion), 且 COV(dω s,t, dω v,t ) = ρ s,v dt;k v 為波動度均數復歸速率之係數 ;θ v 為波動度長期均數復歸帄均值 ;σ v 為波動度的波動度其次, 為了確保未來現金流量具有適當的折現因子, 本文採用利率之隨機過程為 CIR 模型,, dr k R dt R d (3) t R R t R t R t R t 時間點 t 時瞬時即期利率 (Instantaneous Spot Interest Rate);ω R,t 服從幾何布朗運動, 且與 ω s,t 和 ω v,t 無相關性 ;k R 為利率均數復歸速率之係數 ;θ R 為利率長期均數復歸帄均值 ;σ R 為利率的波動度在隨機利率模型下, 本文考量在時間點 t 時以支付 $1 之零息債券作為折現因子, 模型如 (4) 式表示, 假設存續期間為 τ,b(t, τ) 為其折現因子 t t B t, E exp exp, Q R u du R t (4) 4

6 1e kr kr R 2 kr 2ln 1, R 2 21 e kr e 2 1, k R R E Q (. ) 為風險中立下的期望值 SVSI 歐式買權封閉解與 Black and Scholes (1973) 簡單歐式買權封閉解相似, Bakshi et al. (1997) 猜測 SVSI 歐式買權解的形式為 C t, ; S,R,V,K S KB t,, (5) E t t t t 1 2 C E (t, τ ; S t, R t, V t, K) 為時間點 t 時, 存續期間為 τ 之 SVSI 歐式買權價格 ;K 為履約價格 (Strike Price); 1 和 2 為風險中立下, 歐式買權價值落在價內的機率值 iu K f t S R V K u 1 1 exp ln,, t, t, t, ; Re du, 2 0 iu 1,2. (6) Re[.] 為取實部的複數函數 (Complex function);f (. ) 為特徵函數 SVSI 歐式賣權封閉解, 可利用買賣權帄價理論得之, 即 2 1 P t, ; S, R, V, K KB t, F S F, (7) E t t t t P E (t, τ ; S t, R t, V t, K) 為時間點 t 時, 存續期間為 τ 之 SVSI 歐式賣權價格 ; F 1 和 F 2 為風險中立下, 歐式賣權價值落在價內的機率值 iu K f t S R V K u 1 1 exp ln,, t, t, t, ; F Re du, 2 0 iu 1,2. (8) 3.2 離散型 SVSI 歐式向下敲出賣權 5

7 Griebsch and Wystup (2011) 同時推導出具上出局與下出局式選擇權 (Fader Options), 藉由判斷股價是否觸碰上方障礙價格與下方障礙價格, 一旦觸碰到障礙價格, 則選擇權於該時間點不具價值, 同時利用股價低於上方障礙價格的機率減去股價低於下方障礙價格的機率, 可得到選擇權價值落在價內的機率分配函數, 若僅考慮股價低於下方障礙價格的條件, 則該選擇權簡化為歐式向下敲入賣權, 最後可利用向下敲入與向下敲出帄價模型 (In-Out-Parity), 推導出歐式向下敲出賣權模型本文進一步利用 Shephard (1991) 證明結果, 分別推導出三個不同時間點機率分配函數, 可藉由機率分配函數, 計算各期時點離散型 SVSI 歐式向下敲出賣權 Corollary 1: 三個不同時點之機率分配函數單期時點機率分配函數 : ic1u f u1 e F ( c1 ) Prob ( X t c 1 1) Re du iu1 (9) 二期時點機率分配函數 : F c, c 1 2 Prob ( X c, X c2) t1 1 t2 ic u,0 0, 1 1 f u e 1 f u e ic u 2 Re du 0 1 Re du 0 2 iu1 iu2,, ic 1 u 1 ic u 2 ic u 1 1 ic 2 u f u u e f u u e 2 Re du du2. 2 uu 1 2 (10) 三期時點機率分配函數 : F ( c, c, c ) Prob ( X c, X c, X c ) t1 1 t2 2 t3 3 ic u,0,0 0,,0 1 1 f u e 1 f u e ic u 2 Re du 0 1 Re du 0 2 iu1 iu2 6

8 1 ic3u3 0,0, f u e du 3 Re 4 0 iu3 3,,0,,0 ic 1 u 1 ic u 2 ic u 1 ic 2 u f u u e f u u e 2 Re du du uu 1 2 0,, 0,, 1 2 ic 2 u 2 ic u 3 ic u 2 ic 3 u f u u e f u u e 3 Re du du uu 2 3,0,,0, ic 1 u 1 ic u 3 ic u 1 ic 3 u f u u e f u u e 3 Re du du uu 1 3,,,, f u u u e f u u u e Im 1 u u u 4,,,, u u u ic1u 1ic2u2 ic3u3 ic1u 1ic2u2 ic3u du1du2du3. (11) ic1u 1ic2u2 ic3u3 ic1u 1ic2u2 ic3u3 f u1 u2 u3 e f u1 u2 u3 e =1,2,Prob (. ) 為不同測度下之機率值假設股價為對數股價的形式, 即 X = ln [S], 可分別透過 (9) 式至 (11) 式之機率分配函數, 求算各期時點之離散型 SVSI 歐式向下敲入賣權首先, 若僅考慮 (9) 式單期時點機率分配, 到期期間內無障礙價格, 因此該模型簡化至 SVSI 歐式賣權, 如 (8) 式 ; 而考慮 (10) 式二期時點機率分配, 於 T/2 時點具有障礙價格 H, 則兩期時點之離散型 SVSI 歐式向下敲入賣權為 P2 di t, ; St, Rt, Vt, H, K,,, KB t Prob x H x K S Prob x H x K 2 T /2 T t 1 T /2 T KB t, F H, K S F H, K, 2 t 1 (12) P 2 di 為二期時點之離散型 SVSI 歐式向下敲入賣權 ;F 為選擇權價值落在價內的機率值 (=1, 2);H 為障礙價格 SVSI 歐式向下敲出賣權, 可利用 In-Out Parity, 亦即 SVSI 歐式賣權減去 SVSI 歐式向下敲入賣權後, 可獲得 SVSI 歐式向下敲出賣權 7

9 P t, ; S, R, V, H, K P t, ; S, R, V, K P, (13) 2do t t t E t t t 2di P 2 do 為二期時點之離散型 SVSI 歐式向下敲出賣權得到兩期時點之離散型 SVSI 歐式向下敲出賣權後, 可進一步推廣至多期時點的形式, 唯機率分配函數較為複雜, 本文僅考慮三期時點之離散型 SVSI 歐式向下敲出賣權, 令 P 3 di 為三期時點之離散型 SVSI 歐式向下敲入賣權, 障礙價格分別落在時間點 T/3 和 2T/3, 當股價觸及或低於障礙價格時, 選擇權才會開始產生價值, 該賣權於到期時間 T, 若低於履約價格, 選擇權才會被履約, 而 Prob di (. ) 的價內機率值必須考慮三種不同情況下機率分配函數的加總 1. 股價於時間點 T/3 觸及或低於障礙價格, 時間點 2T/3 不觸及且高於障礙價格, 到期時間點 T 低於或等於履約價格, 該賣權才有價值 2. 股價於時間點 T/3 不觸及且高於障礙價格, 時間點 2T/3 觸及或低於障礙價格, 到期時間點 T 低於或等於履約價格, 該賣權才有價值 3. 股價分別於時間點 T/3 和 2T/3 皆觸及或低於障礙價格, 到期時間點 T 低於或等於履約價格, 該賣權才有價值 Prob ( x H, x H, x K) T /3 2 T /3 T,,, Prob x H x K Prob x H x H x K T /3 T T /3 2 T /3 T F H, K F H, H, K. (14) Prob ( x H, x H, x K) T /3 2 T /3 T,,, Prob x H x K Prob x H x H x K 2 T /3 T T /3 2 T /3 T F H, K F H, H, K. (15) T /3 2 T /3 T Prob ( x H, x H, x K) F H, H, K. (16) 因此三期時點之離散型 SVSI 歐式向下敲入賣權於價內的機率值 (Prob di ), 為上述 (14) 式至 (16) 式三種情況機率分配函數的加總,, Prob di Prob xt /3 H xt K Prob x2 T /3 H xt K 8

10 T /3 2 T /3 T Prob x H, x H, x K. (17) 在獲得價內的機率值之後, 可得出三期時點之離散型 SVSI 歐式向下敲入賣權, 同樣利用 In-Out Parity, 可獲得三期時點之離散型 SVSI 歐式向下敲出賣權 P t, ; S, R, V, H, H, K KB t, Prob S Prob. (18) 3di t t t 2di t 1di P t, ; S, R, V, H, H, K P t, ; S, R, V, K P. (19) 3do t t t E t t t 3di = 1, 2;P 3 di 為三期時點之離散型 SVSI 歐式向下敲入賣權 ;P 3 do 為三期時點之離散型 SVSI 歐式向下敲出賣權 3.3 離散型 SVSI 美式賣權本節主要目的, 利用 Sbuelz (2004) 模型評價美式選擇權, 將離散型 SVSI 歐式向下敲出賣權修正至離散型 SVSI 美式賣權 ( 百慕達式 SVSI 美式賣權 ), 而 Sbuelz (2004) 將美式賣權拆解為繼續持有價值與提前履約價值二部分相加, 繼續持有價值以歐式向下敲出賣權計算, 而提前履約價值以歐式向下敲入賣權作為評價基礎對於美式賣權而言, 最適提前履約點決定於當期股價低於或觸及關鍵價格 (Critical Price), 此觀念同障礙選擇權, 若考慮向下敲入賣權, 股價低於或觸及障礙價格, 該賣權才具有價值, 相反地, 考慮向下敲出賣權, 股價低於或觸及障礙價格, 則該賣權的價值為零, 因此本文利用向下敲入賣權的技巧, 將關鍵價格視同障礙價格, 可決定出提前履約的價值離散型 SVSI 美式賣權價值可由繼續持有價值加上提前履約價值, 亦即當股價未觸及關鍵價格的部分, 以歐式向下敲出賣權之價值決定繼續持有價值, 另一部分股價若觸及或低於關鍵價格, 則提前履約價值可由向下敲入賣權決定, 在此考慮具有兩期時點, 到期期間為 T 期, 若股價於 T/2 時點觸及或低於關鍵價格, 則可利用 SVSI 歐式賣權 (P E ) 計算提前履約的價值, 將履約價格 K 初始利率和初始波動度替換為關鍵股價關鍵利率和關鍵波動度, 可得提前履約的價值 P P 0, T / 2; S, ER, EV, ES, 2-exercise E 0 T /2 T /2 T /2 (20) P 2 exercise 表示到期期間為 T/2 之提前履約的價值 ; 9

11 ES T/2 表示在時間點 T/2 時, 可提前履約的當時股價稱為關鍵股價 ; ER T/2 表示在時間點 T/2 時, 可提前履約的當時利率稱為關鍵利率 ; EV T/2 表示在時間點 T/2 時, 可提前履約的當時波動度稱為關鍵波動度由上式可知, 關鍵價格由關鍵股價關鍵利率與關鍵波動度所組成, 必須找出各個提前履約時間點的關鍵價格, 計算出提前履約價值, 因此關鍵價格於定價 SVSI 美式賣權則成為重要的因素對於美式賣權而言, 最適提前履約之決策為一個估計履約邊界的問題, 此邊界的估計可區分為二塊, 分別為繼續持有價值和提前履約價值兩部分, 當股價觸及或低於關鍵價格, 投資人會提前履約, 反之, 若股價高於關鍵價格, 投資人會繼續持有, 因此關鍵價格可藉由提前履約價值等於繼續持有價值時被決定然而 T/2 到 T 時點間, 沒有提前履約點, 所以可視為一個簡單 SVSI 歐式賣權, 初始價格 ( 包含股價利率與波動度 ) 以關鍵價格替換, 則關鍵價格 (ES T/2, ER T/2, EV T/2 ) 可利用全域最佳化求解直到提前履約價值等於繼續持有價值得到 K ES P T / 2, T / 2; ES, ER, EV, K. T /2 E T /2 T /2 T /2 (21) 3.4 SVSI 美式賣權分析解在獲得離散型 SVSI 美式賣權和求解關鍵價格之後, 本節將分別推導出三期的離散型 SVSI 美式賣權 ( 即 P 1 P 2 與 P 3 ), 最後利用三點式 Richardson 外插法評價模型, 推導出 SVSI 美式賣權分析解令 P 1 為切期一期的 SVSI 美式賣權, 由於在到期期間內無提前履約點, 只能於最後到期日 T 時考慮是否履約, 因此 P 1 會等於 SVSI 歐式賣權 P P 0, T; S, R, V, K. 1 E (22) 令 P 2 為切期二期的離散型 SVSI 美式賣權, 在 T/2 時點具有提前履約點, 因此 P 2 會等於向下敲出歐式賣權加上在 T/2 時點提前履約的價值 P 0, T; S, R, V, ES, K P 0, T; S, R, V, ES, K P. (23) T /2 2-do T /2 2-exercise P 2 do (0, T ; S 0, R 0, V 0, ES T/2, K) 為二期時點之離散型 SVSI 向下敲出歐式賣權, 在 T/2 時點具有提前履約點, 將 (13) 式中的障礙價格 H 替換為關鍵股價 ES T/2, 而 P 2 exercise 為在 T/2 時點的提前履約價值, 令 P 2 exercise 為 SVSI 歐式賣權, 到期日為 T/2, 在 T/2 時點以關鍵股價關鍵利率和關鍵波動度分別取代履約價格 K 初始利率和初始波動度 10

12 P P 0, T / 2; S, ER, EV, ES. 2-exercise E 0 T /2 T /2 T /2 (24) 然而在 T/2 和 T 之到期區間, 沒有提前履約點, 所以可視為一個簡單 SVSI 歐式賣權, 關鍵價格 (ES T/2, ER T/2, EV T/2 ) 可藉由提前履約價值等於繼續持有價值, 再利用全域最佳化求解, 可得到 T/2 時點的關鍵價格 K ES P T / 2, T / 2; ES, ER, EV, K. T /2 E T /2 T /2 T /2 (25) 令 P 3 為切期三期離散型 SVSI 美式賣權, 在 T/3 與 2T/3 兩時點皆具有提前履約點, 因此 P 3 會等於向下敲出歐式賣權加上分別在 T/3 與 2T/3 時點提前履約的價值 P 0, T; S, R, V, ES, ES, K T/3 2 T/3 3-do T /3 2 T /3 31-exercise 32-exercise P 0, T; S, R, V, ES, ES, K P P. (26) P 3 do (0, T ; S 0, R 0, V 0, ES T/3, ES 2T/3, K) 為三期時點之離散型向下敲出歐式賣權, 在 T/3 與 2T/3 時點具有提前履約點, 將 (19) 式中的障礙價格 H 分別以關鍵股價 ES T/3 與 ES 2T/3 取代, 而 P 31 exercise 為在 T/3 時點的提前履約價值, 令 P 31 exercise 為 SVSI 歐式賣權, 到期日為 T/3, 在 T/3 時點以關鍵股價取代履約價格 K, 關鍵利率和關鍵波動度分別取代初始利率和初始波動度 P P 0, T / 3; S, ER, EV, ES. 31-exercise E 0 T /3 T /3 T /3 (27) 令 P 32 exercise 為切期二期的 SVSI 歐式向下敲入賣權 (P 2 di ), 到期日為 2T/3, 於 T/3 時點具有提前履約點, 將 (12) 式的 T/3 障礙價格 H 與 2T/3 履約價格 K, 分別以 T/3 關鍵股價和 2T/3 關鍵股價取代, 關鍵利率和關鍵波動度分別取代初始利率和初始波動度 P 32-exercise P 0,2 T / 3; S, ER, EV, ES, ES 2-di 0 2 T /3 2 T /3 T /3 2 T /3 0,2 / 3, = KB T Prob x ES x ES 2 T /3 T /3 2 T /3 2 T /3 - S Prob x ES, x ES 0 1 T /3 T /3 2 T /3 2 T /3 KB 0,2 T / 3 F ES, ES S F ES, ES. 2 T /3 2 T /3 0 1 T /3 2 T /3 (28) 11

13 然而在 2T/3 和 T 之到期區間, 沒有提前履約點, 所以可視為一個 SVSI 歐式賣權, 關鍵價格 (ES 2T/3, ER 2T/3, EV 2T/3 ) 可藉由提前履約價值等於繼續持有價值, 再利用全域最佳化求解可得到 2T/3 時點的關鍵價格 K ES P 2 T / 3, T / 3; ES, ER, EV, K. 2 T /3 E 2 T /3 2 T /3 2 T /3 (29) 而 T/3 時點的關鍵價格 (ES T/3, ER T/3, EV T/3 ) 必須利用 P 2 的公式求解, 因為在 T/3 到 T 這段期間之間, 具有 2T/3 提前履約點, 因此以 P 2 的形式表示, 最後藉由提前履約價值等於繼續持有價值, 再利用全域最佳化求解可得到 T/3 時點的關鍵價格 K ES P T / 3,2 T / 3; ES, ER, EV, ES, K. T /3 2 T /3 T /3 T /3 2 T /3 (30) 推導出三期的離散型 SVSI 美式賣權 P 1 P 2 和 P 3 後, 可藉由三點式 Richardson 外插法評價模型, 即可得到 SVSI 美式賣權分析解 P P 8P 9 P / 2. (31) SVSI 3.5 SVSI 美式賣權之 Delta 分析解由上節已知時間點 T/3 T/2 與 2T/3 之關鍵價格, 且利用 Richardson 外插法評價模型, 可計算出 SVSI 美式賣權之避險參數 Delta 分析解 ( ˆ SVSI 一階偏導數, 即所以 ), 對 (31) 式做 ˆ SVSI Delta 1 8Delta 2 9 Delta 3 / 2, (32) P Delta F 0, T; S, R, V, K, S0 (33) Delta 2 P2 S 0 P3 Delta3 S F 0, 1 T ; S, 0 R, 0 V, 0 K F1 0, T ; S,,,, 0 R0 V0 EST /2 K F T S ER EV ES 1 0, / 2; 0, T /2, T /2, T /2, (34) 0 12

14 F 0, 1 T ; S, 0 R, 0 V, 0 K Prob1 0, ;,,,,, di T S0 R0 V0 EST /3 ES2 T /3 K F 0, T / 3; S, ER, EV, ES 1 0 T /3 T /3 T /3 F T S ER EV ES ES 1 0,2 / 3; 0, 2 T /3, 2 T /3, T /3, 2 T /3, (35) Delta 為 SVSI 美式賣權 (P ) 對股價 S 0 做一階偏導數 ; = 1, 2, 3; F 0, T; S, R, V, K 為單期時點機率分配函數 F K ; F 0, T; S, R, V, ES, K 為二期時點機率分配函數 T /2 1 F ES K ;, 1 T /2 F 0, T / 2; S, ER, EV, ES 為單期時點機率分配函數 1 0 T /2 T /2 T /2 F ES ; 1 T /2 Prob1 di 0, T; S0, R0, V0, EST /3, ES2 T /3, K 為三期時點 SVSI 歐式向下敲入賣權機率值 ; Prob1 di,t/3 2T/3 和 T 的障礙價格分別為 T /3 ES ES 2 T /3 和 K ; F 0, T / 3; S, ER, EV, ES 為單期時點機率分配函數 1 0 T /3 T /3 T /3 F ES ; 1 T /3 F 0,2 T / 3; S, ER, EV, ES, ES 為二期時點機率分配函數, T /3 2 T /3 T /3 2 T /3 肆數值分析 F ES ES 1 T/3 2 T/3 本章分為二個部分, 第一部分採用 LSM 模擬方法所計算之 SVSI 美式賣權, 作為 SVSI 美式賣權分析解之比較基準值 ; 第二部分探討 SVSI 美式賣權與簡單美式賣權分析解的差異性 4.1 LSM 模型與 SVSI 美式賣權分析解之比較本文採用 LSM 模擬方法作為 SVSI 美式賣權分析解之比較基準, 模擬路徑為 100,000 條, 重覆實驗 30 次, 以交易日作為期間切期的次數, 假設一年交易日為 252 天, 在驗證 SVSI 美式賣權模型的準確與效率性中, 分別使用相對差異比率與效率公式比較, 本文假設 SVSI 美式賣權價格相對誤差小於 1% ( Relative_Diff. <1%), 即代表模型能準確估計, 相對差異比率的計算方式為 13

15 P Relative_Diff.= SVSI - LSM LSM SVSI SVSI. (37) 效率公式的計算方式如 (38) 式, 其值愈大, 代表效率愈高 CPU_time_LSM SVSI Efficiency =. (38) CPU_time_P 表 1 為分析價內賣權, 且在不同股價與波動度相關性下, 比較 SVSI 美式賣權分析解 (P SVSI ) 與模擬解 (LSM SVSI ) 之差異, 結果顯示, 相對差異比率皆在 1% 以內, 且 P SVSI 價內帄均費時為 6.39s,LSM SVSI 價內帄均費時為 s, 則效率性為 , 表示本文 SVSI 美式賣權分析解具有準確性且較 LSM 模擬解有效率表 2 為分析價內賣權 Delta, 且在不同股價與波動度相關性下, 比較 SVSI 美式賣權 Delta 分析解 (Delta SVSI ) 與模擬解 (Delta LSM ) 之差異, 結果顯示, 相對差異比率皆在 1% 以內, 且 Delta SVSI 價內帄均費時為 8.64s,Delta LSM 價內帄均費時為 s, 則效率性分別為 , 表示本文 SVSI 美式賣權 Delta 分析解不但具有準確性, 且與 SVSI 美式賣權分析解 P SVSI 比較, 更具有效率 4.2 SVSI 與簡單美式賣權分析解之比較隨機波動敏感性分析表 3 為本文 SVSI 美式賣權分析解 (P SVSI ) 之波動度敏感度分析, 且與固定波動美式賣權分析解 (P GJ ) 比較差異 (1) 波動度效果表 3 中, 當波動度逐漸上升, 雖然兩模型選擇權的價格皆為提高, 但相對差異比率卻由正轉為負值首先, 當波動度低於長期均數復歸帄均值 0.16, 代表未來波動度將呈現上升走勢, 使得波動度提高, 而 P GJ 模型為固定波動度, 導致 P SVSI >P GJ, 其次, 波動度高於長期均數復歸帄均值 0.16, 代表未來波動度將呈現下降走勢, 使得波動度降低, 導致 P SVSI <P GJ (2) 股價效果表 3 中, 價內的 P SVSI 價格最高, 價帄的價格其次, 價外的價格為最低 (3) 股價與波動度相關性效果表 3 中, 首先考慮價內與價帄, 若股價與波動度相關性由正相關至負相關, P SVSI 價格呈現遞減, 因為相關係數為正相關時, 股價上漲, 波動度變大, 股價小 14 SVSI

16 於履約價的機會將提升 ; 反之, 股價下跌, 波動度變小, 股價小於履約價的機會亦將增加若相關係數為負相關時, 股價上漲, 波動度變小, 股價小於履約價的機會將減少 ; 反之, 股價下跌, 波動度變大, 股價小於履約價的機會亦將減少因此, 相關係數為正相關的 P SVSI 大於負相關的 P SVSI 若考慮價外, 若股價與波動度相關性由正相關至負相關,P SVSI 價格呈現遞增, 因為相關係數為正相關時, 股價上漲, 波動度變大, 股價小於履約價的機會將減少 ; 反之, 股價下跌, 波動度變小, 股價小於履約價的機會亦將減少若相關係數為負相關時, 股價上漲, 波動度變小, 股價小於履約價的機會將增加 ; 反之, 股價下跌, 波動度變大, 股價小於履約價的機會亦將增加因此, 相關係數為正相關的 P SVSI 小於負相關的 P SVSI 隨機利率敏感性分析表 4 為本文 SVSI 美式賣權分析解 P SVSI 之利率敏感度分析, 且與固定波動美式賣權分析解 P GJ 比較差異 (1) 利率效果表 4 中, 當利率逐漸上升, 雖然兩模型選擇權的價格皆為降低, 但相對誤差比率卻由負轉為正值首先, 當利率低於長期均數復歸帄均值 0.05, 代表未來利率將呈現上升走勢, 使得利率提高, 而 P GJ 模型為固定利率, 導致 P SVSI <P GJ, 其次, 利率高於長期均數復歸帄均值 0.05, 代表未來利率將呈現下降走勢, 使得利率降低, 導致 P SVSI >P GJ (2) 股價與波動度相關性效果表 4 中, 首先考慮價內與價帄, 若股價與波動度相關性由正相關至負相關, 價內與價帄之 P SVSI 價格呈現遞減在價外時, 且固定其它參數, 若股價與波動度相關性由正相關至負相關,P SVSI 價格呈現遞增, 由於此參數與股價和波動度有關, 因此分析此參數效果與前述探討相同 4.3 SVSI 與簡單美式賣權 Delta 分析解之比較隨機波動敏感性分析表 5 為本文 SVSI 美式賣權 Delta 分析解 (Delta SVSI ) 之波動度敏感度分析, 且與固定波動美式賣權 Delta 分析解 (Delta GJ ) 比較差異 (1) 波動度效果 15

17 表 5 中, 首先考慮價內與價帄, 當波動度逐漸上升, 則股價大於履約價的機會將會增加, 使得兩模型 Delta 呈現遞減, 但相對差異比率卻由負轉為正值, 主要是當波動度低於長期均數復歸帄均值 0.16, 代表未來波動度將呈現上升走勢, 使得波動度提高, 則股價大於履約價的機會將增加, 而 Delta GJ 為固定波動度模型, 導致 Delta SVSI < Delta GJ, 其次, 當波動度高於長期均數復歸帄均值 0.16, 代表未來波動度將呈現下降走勢, 使得波動度降低, 則股價小於履約價的機會將增加, 導致 Delta SVSI > Delta GJ 若考慮價外且其它參數固定下, 當波動度逐漸上升, 則股價小於履約價的機會將會增加, 使得兩模型 Delta 呈現遞增, 但相對差異比率卻由正轉為負值, 主要是當波動度低於長期均數復歸帄均值 0.16, 代表未來波動度將呈現上升走勢, 使得波動度提高, 則股價小於履約價的機會將增加, 導致 Delta SVSI > Delta GJ, 其次, 當波動度高於長期均數復歸帄均值 0.16, 代表未來波動度將呈現下降走勢, 使得波動度降低, 則股價大於履約價的機會將增加, 導致 Delta SVSI < Delta GJ (2) 股價效果表 5 中, 價內的 Delta SVSI 數值最高, 價帄的數值其次, 價外的數值為最低 (3) 股價與波動度相關性效果表 5 中, 當股價與波動度相關性由正到負值,Delta 呈現遞減, 因為當相關係數為正相關時, 股價上漲, 波動度變大, 股價小於履約價的機會將提升 ; 反之, 股價下跌, 波動度變小, 股價小於履約價的機會亦將增加若相關係數為負相關時, 股價上漲, 波動度變小, 股價小於履約價的機會將減少 ; 反之, 股價下跌, 波動度變大, 股價小於履約價的機會亦將減少因此, 隨著相關係數由正到負值, Delta SVSI 呈現遞減隨機利率敏感性分析表 6 為本文 SVSI 美式賣權 Delta 分析解 Delta SVSI 之利率敏感度分析, 且與固定波動美式賣權 Delta 分析解 Delta GJ 比較差異 (1) 利率效果表 6 中, 當利率逐漸上升, 雖然兩模型 Delta 皆為降低, 但相對差異比率卻由負轉為正值首先, 當利率低於長期均數復歸帄均值 0.05, 代表未來利率將呈現上升走勢, 使得利率提高, 而 Delta GJ 為固定利率模型, 導致 Delta SVSI <Delta GJ, 其次, 利率高於長期均數復歸帄均值 0.05, 代表未來利率將呈現下降走勢, 使得利率降低, 導致 Delta SVSI >Delta GJ 16

18 (2) 股價與波動度相關性效果表 6 中, 當股價與波動度相關性由正到負值, 此時 Delta SVSI 呈現遞減, 由於此參數與股價和波動度有關, 因此分析此參數效果與前述探討相同伍結論本文利用障礙選擇權法, 發展出具有隨機波動與隨機利率美式選擇權分析解, 為了驗證本模型的準確性與效率性, 我們以 LSM 所計算 SVSI 美式選擇權作為基準值, 結果顯示, 本模型符合實務上要求的準確性與效率性在敏感度分析中, 本文提供簡單美式賣權分析解, 作為衡量模型間的差異然簡單美式賣權分析解為固定波動度與固定利率之模型, 若面臨未來波動度與利率變動時, 無法反映出選擇權價格上的變化, 這與實際現狀並不符合, 本文改善簡單美式賣權分析解, 發展出 SVSI 美式賣權分析解, 結果顯示, 兩模型差異會隨著波動度與利率的變化, 產生方向上的改變, 主要是受到波動度與利率的未來走勢影響, 特別是當未來波動度和利率變化愈大時, 兩模型在定價上之差異就愈明顯, 因此隨著參數的正確選擇,SVSI 美式選擇權分析解能提供較為靈活且豐富之價格描述後續的研究與發展中, 本文建議可以考慮加入股價與利率之相關性, 使得選擇權價格更能貼近市場情況在風險管理議題中, 避險參數 (Greeks) 的計算為其重要, 理論上利用 Huang et al. (1996) 的研究結果, 可針對本模型作偏導數, 可計算出相關的避險參數, 如 Gamma Vega 等參數參考文獻 1. Bakshi, G., C. Cao, and Z. Chen, 1997, Empirical Performance of Alternative Option Pricing Models, Journal of Finance, 52, 5, Barone-Adesi, G., and R. E. Whalley, 1987, Efficient Analytic Approximation of American Option Values, Journal of Finance, 42, 2, Barraquand, J., and D. Martineau, 1995, Numerical Valuation of High Dimensional Multivariate American Securities, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 30, 3, Black, F., and M. Scholes, 1973, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 81, 3, Boyle, P. P., 1977, Options: A Monte Carlo Approach, Journal of Financial Economics, 4, 3,

19 6. Brennan, M. J., and E. S. Schwartz, 1978, Finite Difference Methods and Jump Processes Arising in the Pricing of Contingent Claims: A Synthesis, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 13, 3, Corrado, C., and T. Su, 1998, An Empirical Test of The Hull-White Option Pricing Model, Journal of Futures Markets, 18, 4, Cox, J. C., J. E. Ingersoll, and S. A. Ross, 1985, A Theory of the Term Structure of Interest Rates, Econometrica, 53, 2, Cox, J. C., S. A. Ross, and M. Rubinstein, 1979, Option Pricing: A Simplified Approach, Journal of Financial Economics, 7, 3, Geske, R., and H. E. Johnson, 1984, The American Put Option Valued Analytically, Journal of Finance, 39, 5, Grant, D., G. Vora, and D. Weeks, 1996, Simulation and the Early-Exercise Option Problem, Journal of Financial Engineering, 5, 3, Griebsch, S. A., and U. Wystup, 2011, On the Valuation of Fader and Discrete Barrier Options in Heston s Stochastic Volatility Model, Quantitative Finance, 11, 5, Heston, S. L., 1993, A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options, Review of Financial Studies, 6, 2, Huang, J., M. G. Subrahmanyam, and G. G. Yu, 1996, Pricing and Hedging American Options: A Recursive Integration Method, Review of Financial Studies, 9, 1, Hull, J., and A. White, 1987, The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities, Journal of Finance, 42, 2, Ingersoll r, J. E., 1998, Approximating American Options and other Financial Contracts Using Barrier Derivatives, Journal of Computational Finance, 2, 1, Longstaff, F. A., and E. S. Schwartz, 2001, Valuing American Options by Simulation: A Simple Least-Squares Approach, Review of Financial Studies, 14, 1, Raymar, S., and M. Zwecher, 1997, Monte Carlo Estimation of American Call Options on the Maximum of Several Stocks, The Journal of Derivatives, 5, 1, Sbuelz, A., 2004, Analytic American Option Pricing: The Flat-Barrier Lower Bound, Economic Notes, 33, 3, Shephard, N. G., 1991, From Characteristic Function to Distribution Function: A Simple Framework for the Theory, Econometric Theory, 7, 4, Stein, E. M., and J. C. Stein, 1991, Stock Price Distributions with Stochastic Volatility: An Analytic Approach, Review of Financial Studies, 4, 4,

20 22. Tilley, J. A., 1993, Valuing American Options in a Path Simulation Model, Transactions of the Society of Actuaries, 45, 表 1 SVSI 美式賣權分析解與 LSM 模擬解之比較 ( 價內 ) ρ s,v = 0.5 ρ s,v = 0 ρ s,v = -0.5 S T 0 P LSM SVSI SVSI Diff. P LSM SVSI SVSI Diff. P LSM SVSI SVSI Diff. (years) (Std) (Std) (Std) % % % (0.015) (0.016) (0.018) % % (0.021) (0.022) (0.022) -0.11% % % (0.019) (0.019) (0.020) 0.23% P SVSI 帄均 CPU-time 6.39sec LSM SVSI 帄均 CPU-time sec 註 :(1) 參數設定如下 :K=50 V 0 =0.16 k v =1 θ v =0.16 σ v =0.2 R 0 =0.03 k R =1 θ R =0.03 σ R =0.2 (2) P SVSI 是本文推導之 SVSI 美式賣權分析解 (3) LSM SVSI 和 std 分別代表最小帄方蒙地卡羅模擬法與其標準差 (4) LSM 評價方法採用模擬路徑 100,000 條, 以交易日為切期數, 重覆次數 30 次 (5) Diff. 是 P SVSI 與 LSM SVSI 兩者相對差異比率表 2 SVSI 美式賣權 Delta 分析解與 LSM 比較 ρ s,v = 0.5 ρ s,v = 0 ρ s,v = -0.5 S 0 T (years) Delta Delta LSM SVSI Diff. Delta Delta LSM SVSI Diff. Delta Delta LSM (Std) (Std) SVSI (Std) Diff % % (0.005) (0.005) (0.007) -0.11% % % (0.005) (0.005) (0.007) -0.37% % % (0.005) (0.004) (0.007) 0.52% Delta SVSI 帄均 CPU-time 8.64 sec Delta LSM 帄均 CPU-time sec 註 :(1) 參數設定參考表 1 設定 ( Delta SVSI 是本文推導之 SVSI 美式賣權 Delta 分析解 ) 表 3 波動度敏感性分析 -SVSI 美式賣權分析解 0.5 ρ s,v = 0 ρ s,v = -0.5 ρ s,v = S 0 V 0 P SVSI P GJ Diff. P SVSI P GJ Diff. P SVSI P GJ Diff % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 註 :(1) 參數設定如下 :K=50,T=0.5,k v =1,θ v =0.16,σ v =0.2,R 0 =0.03,k R =1,θ R =0.03, σ R =0.2 (2) P GJ 為 Geske and Johnson (1984) 簡單美式賣權分析解 (3) Diff. 代表 P SVSI 與 P GJ 兩者相對差異比率 19

21 表 4 利率敏感性分析 -SVSI 美式賣權分析解 ρ s,v = 0.5 ρ s,v = 0 ρ s,v = -0.5 S 0 R 0 P SVSI P GJ Diff. P SVSI P GJ Diff. P SVSI P GJ Diff % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 註 : 參數設定為 :K=50,T=0.5,V 0 =0.36,k v =1,θ v =0.36,σ v =0.2,k R =1,θ R =0.05,σ R =0.2 表 5 波動度敏感性分析 -SVSI 美式賣權 Delta 分析解 ρ s,v = 0.5 ρ s,v = 0 ρ s,v = -0.5 S 0 V 0 Delta SVSI Delta GJ Diff. Delta SVSI Delta GJ Diff. Delta SVSI Delta GJ Diff % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 註 :(1) 參數設定如下 :K=50,T=0.5,k v =1,θ v =0.16,σ v =0.2,R 0 =0.03,k R =1,θ R =0.03, σ R =0.2 (2) Delta GJ 是 Geske and Johnson(1984) 簡單美式賣權 Delta 分析解 (3) Diff. 代表 Delta SVSI 與 Delta GJ 兩者相對差異比率表 6 利率敏感性分析 -SVSI 美式賣權 Delta 分析解 ρ s,v = 0.5 ρ s,v = 0 ρ s,v = -0.5 S 0 R 0 Delta SVSI Delta GJ Diff. Delta SVSI Delta GJ Diff. Delta SVSI Delta GJ Diff % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 註 : 參數設定為 :K=50,T=0.5,V 0 =0.36,k v =1,θ v =0.36,σ v =0.2,k R =1,θ R =0.05,σ R =0.2 20

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國立中山大學學位論文典藏.PDF Black Scholes I...1...1...3...4...6...6...19...28...28...29...63...63...68...70...72...74...78...82...92...92...93...95...98 -1...5-1...9-2...9-3...9-4...12-1...53-1...79-2...79-3...81-4...84-5...85-6...86-7...90-8...90