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1 A reconstruction of Smogulecki and Xue s table of trigonometrical logarithms (ca. 1653) Denis Roegel 21 October 2011 This document is part of the LOCOMAT project:

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3 1 Smogulecki s life Jan Mikołaj (Nicholas) Smogulecki ( ) 1 was the eldest son of Maciej Smogulecki, a reputed starosta (elder official). After the death of his father in 1617, Smogulecki was sent to the University of Freiburg in Germany. At the age of 15 or 16, he published a Latin tract with the title Sol illustratus ac propugnatus [24]. Smogulecki s tract was cited by the mathematician and astronomer Christoph Scheiner in his book Rosa Ursina ( ). Scheiner was one of the first to observe sunspots in In 1628, Smogulecki was in Rome studying law and philosophy at the Jesuit University. He also briefly studied in Padua in After having completed his philosophical studies, he returned to Poland, probably in Smogulecki then became involved in politics, in the footsteps of his father. In 1634, he was in charge of paying the army. For an unknown reason, Smogulecki entered the convent of Cracow in He spent two years in this convent and the following two years at the College of Saint Peter in Cracow. In 1640, he returned to Rome in order to study at the Collegio Romano and was probably ordinated in 1641 or In 1641, he requested to be sent on a mission. In 1643, Smogulecki left Rome for Portugal and in 1644 he embarked on a boat for China. He sent a letter from Java on January 2, 1645 in which he wrote that he had spent ten months on sea without any stops. Smogulecki arrived in China at the very end of the Ming dynasty and wrote about the suicide of its last Emperor, the Chongzhen Emperor ( ). Smogulecki only reached China in 1646 and was assigned to Nanjing. It is at that time that he took his Chinese name, Mù ní gé [ 穆尼閣 ]. At that time, Nanjing was still in the hands of the Ming loyalists, but it was soon taken over by the Manchus. The church and the residence of the Jesuits were destroyed by fire. Smogulecki escaped being lynched as a Manchu supporter and eventually took position in Fujian, where he stayed from 1647 to This was a very difficult period when the southern provinces only little by little became conquered and pacified by the Manchus. Smogulecki returned to Nanjing where he taught mathematics and came in touch with his most distinguished disciple, Xue Fengzuo [ 薛鳳祚, xuēfèngzuò]. Xue had come to Nanjing on 11 January In 1653, the Emperor called Smogulecki to the capital and granted Smogulecki permission to go wherever he wished in China. Smogulecki had intended to go to Yunnan, but never reached this province. In 1655 he was in Guangdong province and he died shortly later, having spent several months in Hainan. 2 Smogulecki and Xue s tables Xue Fengzuo ( ) was one of the scholars who gained a profound knowledge of both Chinese and Western (Jesuit) astronomical methods [10, p. 370]. Before he met Smogulecki, Xue Fengzuo studied traditional methods for the computation of the 1 Most of the biographical information used here is taken from Kosibowiez note [12] and Witkowska s article [31]. 3

4 calendar. When he came to Nanjing, he learned about European astronomy through Smogulecki, and this led to his publication of several works which were going to relate Chinese and Western astronomy. Smogulecki and Xue s first work in this direction was the Tianbu zhenyuan treatise (1653). It contains in particular two tables of logarithms, one giving the logarithms of numbers (Bili duishu biao [ 比例对数表 ]), and another giving the logarithms of trigonometrical functions ( 比例四線新表 ). These tables were edited by Xue, but the first version was certainly by Smogulecki. It is likely that Smogulecki first produced a table of logarithms of numbers, certainly copying it from Vlacq s Arithmetica logarithmica or another book, and that this table was then adapted to Chinese by Xue Fengzuo. This table was apparently the first Chinese table of logarithms. We describe this table in a separate document [18]. The Tianbu zhenyuan 天步真原 was itself included in the Lixue huitong 曆學會通 published in 1664 [22]. 3 Logarithms of trigonometric functions The Tianbu zhenyuan 天步真原 (1653) contains a second table of logarithms giving the logarithms of trigonometric functions to six decimal places after a short introduction. The title of the table is 比例四線新表 and it is the centesimal version of Smogulecki s 比例四線表. 2 From left to right, the table gives the logarithms of the cotangent ( 切餘 ), tangent ( 切正 ), cosine ( 線餘 ), and sine ( 線正 ), all increased by 10. The headers must be read from right to left. Each degree covers four pages and is divided centesimally. The headers are to be used with the divisions on the right, and the complementary functions are obtained by using the footers and the divisions on the left. So, on the last page of the table (here appearing at the beginning), the values are, from left to right, 10 + log cot 45 = 10, 10 + log tan 45 = 10, 10 + log cos 45 = , and 10+log sin 45 = On the first page, we have 10+log cot 0.10 = , 10 + log tan 0.10 = , 10 + log cos 0.10 = , and 10 + log sin 0.10 = All the values are written from right to left, and some digits are omitted when they are repeated. How these digits are omitted depends on whether the function increases or decreases. For instance, on the first page of the table, the value of log cot is not written in full for 0, but for 0.30, because this column decreases when the angles increase. On the other hand, the tangent increases, and the value is written in full on the first line. Similar remarks apply to the sines and cosines. We can also observe that the last page of each degree is more than half empty, and this is very unusual. Almost every other table tries to optimize the layout on a page. The title in the middle of each double page is 中法四線 (zhōngfǎsìxiàn). Smogulecki and Xue s table was printed with woodcuts, the main technique for printing in China until the 19th century. 3 2 The 比例四線新表 is reproduced in [32]. 3 On the history of xylography in China, see [6]. 4

5 4 Xue s transformations In the table of logarithms of numbers, it is difficult to know exactly what Xue did. But in the table of logarithms of trigonometric functions, we can clearly distinguish Smogulecki s work and Xue s work. Indeed Xue Fengzuo wrote: I came to Nanjing in the Spring Day of the year renchen 壬辰 (11 Jan. 1652) and learnt trigonometry from Mr. Mu [Nige]. In addition, I also learnt from him logarithm and the table of logarithms of the four trigonometric lines.... However, when I was engaged in the project of emendation and integration recently, I found that, whereas the Chinese method was too scattered and simple, the old [trigonometric] method was in sexagesimal system, both being incompatible with each other. Therefore, I integrated them by converting the sexagesimal system in both the eight 4 trigonometric lines and the related books into centesimal system, so that the old and new, Chinese and Western can be unified into one system, which might become a ladder for this study [i.e. astronomy]. [22] It is therefore likely that Smogulecki brought a Western (sexagesimal) table, and perhaps translated it into a sexagesimal Chinese table, and that Xue Fengzuo later adapted the sexagesimal division into a centesimal one, by doing interpolations. Shi Yunli writes moreover: (... ) Xue Fengzuo really revised these works in accordance with the centesimal system, and the Bili sixian xinbiao is actually an independent work by himself, rather than by Smogulecki and him together as was believed before. Mei Wending also observed that the Bili sixian 比例四線 (Proportions of the Four Trigonometric Lines) was taught by Mr. Mu [Nige], while Yifu [i.e. Xue Fengzuo] compiled again the Sixian xinbili 四線新比例 (New Proportions of the Four Trigonometric Lines), which gives the values of the four trigonometric lines. He uses degree in the same way [as Mu Nige does], but divides one degree into hundred minutes. [22] 5 Accuracy of the tables An examination of the table reveals that the values of the trigonometric lines are almost all correct for multiples of There are only a few deviations, for instance for log cot 0.05 = (instead of the correct 3), log cot 0.40 = (instead of the correct 6), log cot 0.60 = (instead of the correct 6), etc. This was of course to be expected, because 0.05 = 3 and this value can be found in a sexagesimal table of logarithms. Vlacq s 1628 table [30], for instance, gave the logarithms of the trigonometric functions for every minute. The values in between, that is i+j The tables only give four trigonometric functions, but these eight lines probably refer to the six usual lines, as well as the 正矢 (versine) and 餘矢 (coversine) functions, which can be obtained indirectly from the values in the table. 5

6 where j is not a multiple of 5, are not found in a sexagesimal table giving the logarithms every minute, or even every 10 seconds. These values therefore needed to be interpolated. Indeed, it also appears that all these values are much less accurate than the first ones. It is in fact easy to see that these values were computed by a mere linear interpolation. 5 For instance, we have in the original table and 10 + log sin 0.10 = (1) 10 + log sin 0.11 = (2) 10 + log sin 0.12 = (3) 10 + log sin 0.13 = (4) 10 + log sin 0.14 = (5) 10 + log sin 0.15 = (6) ( ) = (7) ( ) = (8) In this case, we have a perfect agreement with what is obtained by a linear interpolation. In other cases, we may have a discrepancy on the last digit, but this discrepancy can probably be explained by the use of more accurate values for the pivots (every 0.05) than those put in the table. Angle log sin log cot Table 1: The first values of log sin and log cot in Smogulecki and Xue s table. A special case concerns the first values of the table, which starts with the angle The values of the functions for 0.01 = 36 are not found in common tables of logarithms. In Smogulecki and Xue s table, 10+log cos 0.01 was taken to be 10, but 10+log sin 0.01 and 10 + log tan 0.01 were both taken to be , and 10 + log cot 0.01 was taken to 5 Linear interpolation was well known and appears for instance as the Yingbuzu in the classical Nine chapters [15, pp ]. 6

7 be (see table 1). These three values are seriously wrong, but it is easy to see that the values for 0.02, 0.03, and 0.04 were obtained by linear interpolation between the values for 0.01 and This therefore raises the question of the source of the values of the logarithms for It is likely that the values of log sin 0.01 and log tan 0.01 were obtained by linear extrapolation between the values given in a sexagesimal table for 1 and 2. Indeed, Vlacq s 1636 table gives for instance 10 + log sin 1 = and 10 + log sin 2 = , and ( ) = which is very close to the value given by Xue ( ). The same remarks apply to the computation of log tan But the first value of log cot was apparently not found by such a linear interpolation and the question remains open. Moreover, no attempt was made to derive the logarithms of the cotangents from those of the tangents, although we have 10 + log cot x = 20 (10 + log tan x). The fact that Xue only used linear interpolation is somewhat surprising, as more elaborate interpolation schemes were available, and as Xue is considered as having had a deep knowledge of Chinese and Western astronomical methods, as we pointed out above. At the beginning of the table (around 0 ), the values of the logarithms vary a lot and a linear interpolation produces four or five wrong digits for the logarithms of sines, tangents and cotangents. At the end of the table (around 45 ), these same functions vary very little, and usually only the last digit of the value of the logarithm is wrong. In addition to interpolation errors, there are also some last digit errors on pivot values, perhaps due to errors in the original sources. There are also some typos: log cot 0.30 is for instance given as , instead of the correct Reconstruction The reconstruction of the table is based on the published table [32]. We have tried to build the table following systematic rules and the original table departs from our rules in a few cases. 7 Acknowledgements It is our pleasure to thank here a number of persons who helped us locate Smogulecki s table or provided additional sources about Smogulecki, in particular Leung Wingfong at the Institut des Hautes Études Chinoises in Paris, Jean-Claude Martzloff, Shi Yunli ( 石云里 ), Wang Guangchao ( 王广超 ), Han Qi ( 韩琦 ), Nicolas Staendert, Artur K. Wardega ( 万德化 ), and Sylwia Witkowska. Moreover, 钱赛 helped us with the introduction to the table. 7

8 Figure 1: Excerpt of Smogulecki and Xue s original table of logarithms (from [32]). 8

9 References The following list covers the most important references 6 related to Smogulecki and Xue s tables. Not all items of this list are mentioned in the text, and the sources which have not been seen are marked so. We have added notes about the contents of the articles in certain cases. [1] Henri Bernard-Maître. Les adaptations chinoises d ouvrages européens, bibliographie chronologique depuis la venue des Portugais à Canton jusqu à la mission française de Pékin ( ). Monumenta Serica, 10:1 57, , [not seen] [2] Henri Bernard-Maître. Les adaptations chinoises d ouvrages européens : deuxième partie, depuis la fondation de la Mission française de Pékin jusqu à la mort de l empereur K ien-long Monumenta Serica, 19: , [not seen] [3] Alan K. L. Chan, Gregory K. Clancey, and Hui-Chieh Loy, editors. Historical perspectives on East Asian science, technology and medicine. Singapore: World Scientific, [4] Colloquia Copernicana. Études sur l audience de la théorie héliocentrique, conférences du Symposium de l UIHPS, Toruń, 1973, volume 2. Zakład Narodowy Imiena Ossolińskich, [not seen] [5] Stanisław Cynarski. Reception of the Copernican theory in Poland in the seventeenth and eighteenth centuries. Krakow: Uniwersytet Jagielloński, [not seen] [6] Jean-Pierre Drège. Poirier et jujubier : la technique de la xylographie en Chine. In Frédéric Barbier et al., editors, Le livre et l historien : Études offertes en l honneur du Professeur Henri-Jean Martin, volume 24 of Histoire et civilisation du livre, pages Genève: Librairie Droz, [7] James Whitbread Lee Glaisher. Report of the committee on mathematical tables. London: Taylor and Francis, [Also published as part of the Report of the forty-third meeting of the British Association for the advancement of science, London: John Murray, A review by R. Radau was published in the Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, volume 11, 1876, pp. 7 27] [8] James Whitbread Lee Glaisher. Table, mathematical. In Hugh Chisholm, editor, The Encyclopædia Britannica, 11th edition, volume 26, pages Cambridge, England: at the University Press, Note on the titles of the works: Original titles come with many idiosyncrasies and features (line splitting, size, fonts, etc.) which can often not be reproduced in a list of references. It has therefore seemed pointless to capitalize works according to conventions which not only have no relation with the original work, but also do not restore the title entirely. In the following list of references, most title words (except in German) will therefore be left uncapitalized. The names of the authors have also been homogenized and initials expanded, as much as possible. The reader should keep in mind that this list is not meant as a facsimile of the original works. The original style information could no doubt have been added as a note, but we have not done it here. 9

10 [9] Luther Carrington Goodrich and Fang Zhaoying, editors. Dictionary of Ming biography, New York: Columbia University Press, [two volumes] [10] Han Qi. Astronomy, Chinese and Western: The influence of Xu Guangqi s views in the early and mid-qing. In Catherine Jami, Peter M. Engelfriet, and Gregory Blue, editors, Statecraft and intellectual renewal in late Ming China: the cross-cultural synthesis of Xu Guangqi ( ), volume 50 of Sinica Leidensia, pages Brill, [11] Catherine Jami. Teachers of mathematics in China: The Jesuits and their textbooks ( ). In Luís Saraiva, editor, History of mathematical sciences: Portugal and East Asia II, pages Singapore: World Scientific, [12] Edward Kosibowiez. Un missionnaire polonais oublié : le Père Jean Nicolas Smogulecki S.J., missionnaire en Chine au XVII e siècle. Revue d histoire des missions, 22: , [13] Liu Jingjing. 穆尼閣 : 薛鳳祚之師 (Jan Mikołaj Smogulecki The Teacher of Xue Fengzuo). In 全國首届薛鳳祚研討會 (Essays from the First National Conference on Xue Fengzuo s Scholarly Thought). 山東大學出版社 (Jinan: Shandong University Press), [not seen] [14] Roman Malek, editor. Western learning and Christianity in China: the contribution and impact of Johann Adam Schall von Bell, S.J. ( ). Sankt Augustin: China-Zentrum, [not seen] [15] Jean-Claude Martzloff. A history of Chinese mathematics. Berlin: Springer-Verlag, [16] Qu Anjing. Interpolations in medieval Chinese mathematical astronomy. In Yung Sik Kim and Francesca Bray, editors, Current perspectives in the history of science in East Asia, pages Seoul: Seoul National University Press, [17] Denis Roegel. A reconstruction of De Decker-Vlacq s tables in the Arithmetica logarithmica (1628). Technical report, LORIA, Nancy, [This is a recalculation of the tables of [30].] [18] Denis Roegel. A reconstruction of Smogulecki and Xue s table of logarithms of numbers (ca. 1653). Technical report, LORIA, Nancy, [This is a recalculation of the tables of [25].] [19] Denis Roegel. A reconstruction of the tables of the Shuli Jingyun ( ). Technical report, LORIA, Nancy, [An introduction to the reconstruction, supplemented by 36 volumes of tables.] [20] Denis Roegel. Vlacq s tables in Chinese: Introduction to Chinese and Japanese tables of logarithms and review of secondary sources (second edition). Technical report, LORIA, Nancy,

11 [21] Luís Saraiva and Catherine Jami, editors. The Jesuits, the Padroado and East Asian Science ( ). Singapore: World Scientific, [Smogulecki is briefly mentioned on page 57] [22] Shi Yunli. Nikolaus Smogulecki and Xue Fengzuo s Tianbu Zhenyuan 天步真原 : Its production, publication, and reception. East Asian Science, Technology and Medicine, 27:63 126, [23] Nathan Sivin. Science in ancient China: Researches and reflections. Aldershot: Ashgate, [24] Nicholas Smogulecki. Sol illustratus ac propugnatus etc. Freiburg: Theodorus Meyer, [25] Nicholas Smogulecki and Xue Fengzuo. 比例數表, ca [reconstructed in [18]] [26] Nicholas Smogulecki and Xue Fengzuo. 比例四线新表, ca [27] Nicolas Standaert. European astrology in early Qing China: Xue Fengzuo s and Smogulecki s translation of Cardano s Commentaries on Ptolemy s Tetrabiblos. Sino-Western Cultural Relations Journal, 23:50 79, [not seen] [28] Bolesław Szczesniak. Notes on the penetration of Copernican theory into China, XVII-XIX centuries. The Journal of the Royal Asiatic Society, pages 30 38, [not seen] [29] Bolesław Szczesniak. Note on Kepler s Tabulae Rudolfinae in the Library of Pei-t ang in Peking. Isis, 40(4): , [30] Adriaan Vlacq. Arithmetica logarithmica. Gouda: Pieter Rammazeyn, [The introduction was reprinted in 1976 by Olms and the tables were reconstructed by D. Roegel in [17]] [31] Sylwia Witkowska. Jan Mikołaj Smogulecki, the man who brought logarithms to China. In Alfred F. Majewicz, Maciej Gaca, and Elżbieta Majewicz, editors, Linguistic and oriental studies from Poznań, volume 9, pages Poznań: Wydawnictwo Naukowe, [32] 中國科學技術典籍通彙, 天文卷六. 鄭州 : 河南教育出版社, 1995? [33] 薮內清 (Yabuuti Kiyosi). 中国の数学 (A history of Chinese mathematics). 東京都 (Tokyo) : 岩波書店 (Iwanami Shoten), [French translation Une histoire des mathématiques chinoises in 2000] 11

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13 切餘切正線餘線正四四中 九四六三一六三六八九九九六六一二 八八四八九一 八三一二一七八七八一九 八七八八二 七一六 一九三九八五一 五八九四五九八三 六 一九 九 九九三九 三 九四 五八五七 二四二九四六八六 一九五 四六 六 四九三九八八七二八一九六 三五五四 五四五九二一七七五二九七 二三 三 七九六九七三六三三三九八 一 二五一 八四八九 一六五 九 四九 九 一 一 五八四九四八九 五八四九 百 五四 法 四 線 九十 切正切餘線正線餘

14 中法四線 切餘切正線餘線正四四 九 二一九五 八八 四九九九 一二四 九 五六四八九 一 八 一六七五 九三二四 六四三 五八五六 二 七 九 六五 一九三四 二七二 二六六六 三 六 八五四五 二四五四 七九一 九三七六 四 五 六 三五 四九六四 二二一 六一八六 五 四 四五一五 六四八四 七四 二五八九 二九八六 六 三 三 五 七九九四 二七九 九六九六 七 二 一五八四 九四一五 七九八 六四 七 八 一 七四 三五 二二八 二二一七 九 三 八四五四 二五四五 七四七 九九一七 七 九 六九三四 四 六五 二七六 六七二七 一 八 五四二四 五五七五 七九五 二五三七 二 七 三九 四 七 九五 二二五 九二四七 三 六 二四九三 八五 六 七四四 五 五七 四 五 九七三 一二六 二七三 二八五七 五 四 八三六三 二六三六 七九二 八五六七 六 三 七八四三 三一五六 一二二 五三七七 七 二 五三三三 五六六六 六四一 一一八七 八 一 四八一三 六一八六 一七 一五八九 七八八七 九 二 二三 三 八六九六 六九九 四六九七 八 九十 九 八八二 二一七 二九 四 八 一 八 九二七二 一七二七 五四八 六一一八 二 七 七七五二 三二四七 七七 三九一八 三 六 六二四二 四七五七 四九六 九六二八 四 五 四七二二 六二七七 九一六 五四三八 五 四二二一二八七八七四四五一二四八六 三一七九一九二 八八六四七九四八七 二九一八一一八一八三九三四七五八八 一八六六一二三三八七一三 五六八九 一 六一五一 一 四八四八 二四二 五八九 六二七八 九 五四 切正 切餘 線正 線餘

15 切餘切正線餘線正四四中 九一六四 九三五九八九九三五六一九一四四八九一 八 一三 九六九九七五九六二四二 七八五一 二四八九五 五七四三四三 六六 一 一四九九九一三四四二四四四 五五五八九五四一 九九九六五三二 五四五 四三 七九七九二 二八二九七五四六 三一五五九九四四 八 二七五六四七 二 四九 六 四三一四三七四八 一八四二九二五七 六 四五八九二一八四九 六 七九 九三 九 六八九九八八四 四 九五四九八五五 一一一九七六九四一 八三九七八七 二一七三八四四 五二 七二四六八八五三一三六七一二一五三 六 九四八 一五一九八六九九一五四 五八三三八二六六一四一六六七二五五 四七八一八三一八一 四五三五三五六 三五三 八五六九一五六四 三四五七 二三八八七七一一二一九三七 五五八 一二三七七八六二二七一三五八五五九 五 八五七 二四二二四二二六六五 五 九九二四七一七五二八六一九三七五一八八七七二七三二七二三九 六一八五二十九七五二一七五七八二八一 三五八九三九八五三 六四七九六六二 三四四九 七九五四 五二二八六八七一三九六八七四 六五 四一七六六九二三三五九七四二一六六 三九一五六一八四三 二七一 二六七 二七六三六三三六三五四六八七二六八 一六一二六四八七三一七五五五三六九 四 四六 六 一 六三九三 六九四二五八九 二三四六 六 切正 切餘 線正 線餘 法 四 線

16 中法四線 切餘切正線餘線正四四 九 一一 五 九八九四八九九 一六八 五八一四八九 一 八 九五八四 一四一五 八八七 八二九一 二 七 八 七四 二九二五 四一七 七 二 三 六 六五五四 四四四五 一四六 五八 二 四 五 四 四四 六九五五 八六五 三六一二 五 四 三五二四 七四七五 四九四 二四二二 六 三 一 一四 九九八五 一二四 二三二 七 二 九四九三 一五 六 八四三 八九三二 八 一 八九七三 二 二六 四七二 七七四二 九 九 六四六三 四五三六 一 二 五五五二 一 九 四九四三 六 五六 七二一 三三六二 一 八 三四三三 七五六六 四五 六五八九 一一七二 二 七 一九一三 九 八六 八九 九八七二 三 六 九三 三 一六九六 七 九 七六八二 四 五 八八八二 二一一七 三三八 六四九二 五 四 六三七二 四六二七 六七 四二 三 六 三 四八五二 六一四七 六八六 二 一三 七 二 三三四二 七六五七 二一六 八一三 八 一 一八二二 九一七七 九三五 八五二三 九 八 九二一二 一七八七 五六四 六三三三 二 八十九 九 八七九一 二二 八 一九三 四一四三 一 八 六二八一 四七一八 八一三 一九四三 二 七 四七六一 六二三八 四四二 九六五三 三 六 三二五一 七七四八 七一 七四六三 四 五 一七三一 九二六八 六九 五二七三 五 四九一二一一八七八二二 五五八九三 八三六 三八六 一二三九八八四九一八八三七 二六一九 四八 九四七八八五九三八 一五六七 五三二九一 八六三 四九 七 三一六 一 一 七八三九 七二七四五八九 四一一四 三 五四 切正 切餘 線正 線餘

17 切餘切正線餘線正三四中 九八二五六二七四三八九九二九五四六 一四八九一 八六七三六四二六三九一五二四一一二 七五二二六五七七三六四四一二二一三 六三七 六七二九三三七三 三一四 五一二九五九七 四 三八七三一五 四 七七五 三二四七二二七五四一六 三八一六五二八三四四五一六三五一七 二六六四五四三五四 八 四一六一八 一 五一三五 五八六四 七 七五八九 三九六一 九 三六一五一 一 七三八四 四三九六五八九 一七七一 百 六四 法 四 線 八十八 切正切餘線正線餘

18 中法四線 切餘切正線餘線正三四 九 八 一 二九八七九九 九六七 九八六八三八九 一 八 九二九 一七 九 七九六 九六七八 二 七 七七七 三二二九 五二六 八四八八 三 六 五二六 五七三九 三五五 八二九八 四 五 三七四 七二五九 八四 七 九 五 四 一二三 九七六九 八 四 七八 九 六 三 七一 三八九 六三三 六六一九 七 二 八一 二 一 二八九九 三六二 五四二九 八 一 六六八九 四三一 八九九 一九一 五二三九 九 三 四一七九 六八二 九一一 四 四九 七 九 三六五九 七三四 六四 九五八九 三八四九 一 八 一一四九 九八五 四七九 三六五九 二 七 九五二九 一四七 一 九 二四六九 三 六 七 一九 三九八 九二八 一二七九 四 五 六五九八 四四 一 六五七 八九 五 四 四 八八 六九一一 三八六 八八九 六 三 二五六八 八四三一 一一六 九五九九 七 二 五八 五一 八三五 八三 四八九 八 一 九四三八 一五六一 六六四 七一一 九 二 七九一八 三 八一 三九三 六九一 八 八十八 九 五四 八 五五九一 二三 五七二 一 八 四九八七 六 一二 八四二 四五三 二 七 二四七七 八五二二 五七一 三三四 三 六 九五七 一四二 二 一 二一五 四 五 八三四七 二六五二 九二 八五八九 一九五 五 四七八二七三一七二六五九 七六 六 三五三一七五六八二四八八九四七 七 二三八九六七一 三一一八七二八 八 一二三八六八六一三八三七六 九 九 一 八六六一 一 二三三 五六六七五八九 五八九 九 六四 切正 切餘 線正 線餘

19 切餘切正線餘線正三四中 九五三六五五六三四七九九四二九 九二六三八九一 八三八四五七一五四三五八 七三六二 七一三三五九六六四一八七 五四六三 六九七一五一二八四 一七一三五六四 五七二 五三七九四八三六一一六六五 四六七八四四二一五七六五一九六六六 三四二七四六七二五五九四一七七六七 二二七五四八二四五四二四二五八六八 一 二四四 八五五二五三二三九六九 六 八六二四二三七五 八二二一 七 四 九六一一四四八八五九 二二九 七一 八五六九三五三 六七三一二七一七二 七三一八三七八一六五六 一六八九二五二七三 六一六六三九三三六三九九二三三七四 五九 五三一九四六二二九二一四七五 四七五三三三四六六 五八二九四七六 三五 二三五九七六八七七二七五七七 二四五 三六四九六六 七二五六七八 一二 九二八九 七四三六二三七七九 五 五七二 五二七二六五二一八七 五 九八九五二二 四七 九四二九八七一八八六四四二四五五七八一四二七九七二十七七五九二二五 七七六四三二五 八三 六三四一二七五八七四七二一三一八四 五一九九一九 八二 二一一二八五 四九三八一一六一八 三一一九二八六 三七八六一三一三八八五 六八九一七三八七 二六三五一四六四八六八九 五四八八 一四八三一六一六八四一九 三五八九 四 二三二一二 一 八六七八 二四八九五八九 一六八 六 切正 切餘 線正 線餘 法 四 線

20 中法四線 切餘切正線餘線正三四 九 二九一 八 八九六九九 七五 四六八九 五六八三三八九 一 八 四 三 一 六九九 六八九 六四九三 二 七 八八八九 二一一 七九九 五一九 七二 四 三 六 六三七九 四六二 五四八 八 一四 四 五 四八五九 六一四 四七七 九八一四 五 四 二三四九 八六五 三 七 一七二四 六 三 八二九 二七 二三六 二五三四 七 二 九二一九 一七八 一六五 三三四四 八 一 七七九八 三二 一 九四 四一五四 九 九 五二八八 五七一一 九一四 五九五四 一 九 三七六八 七二三一 八四三 六七六四 一 八 一二五八 九七四一 七七二 七五七四 二 七 九六三八 一三六一 六 二 八三八四 三 六 七一二八 三八七一 五三一 九一九四 四 五 五六 八 五三九一 四六 三六八九 九九九四 五 四 三一九七 七八 二 三九九 八 五 六 三 一六七七 九三二二 二二九 一六一五 七 二 九 六七 一九三二 一五八 二四二五 八 一 七五四七 三四五二 八七 三二三五 九 八 五 三七 五九六二 九 七 三 四五 二 八十七 九 四五一七 六四八二 八三六 四八四五 一 八 二 七 八九九二 六六五 五六五五 二 七 五八六 五一三 五九四 五四六五 三 六 八九六六 二 三三 四二四 六二七五 四 五 六四五六 四五四三 三五三 七 八五 五 四四九三六六 六三一八二七八八五六 三二四二六八五七三 一二八六九五七 二 九 六 一九三九三一八四 六八 一九三九五一六 四七六 二六八九九二一六九 七 七八七五二 一 三一二四 六九九一六八九 九 二六 三 六四 切正 切餘 線正 線餘

21 切餘切正線餘線正二四中 九二一七一八八二八六九九三六七一五 三三八九一 八 六五一 四四八二九六二三一三二 七八 四一二九五八二二六四一二三三 六六五二一四四七八一五五五九二三四 五四 一一六九八八一八四七七三三五 四二五九 八四 九 一四八五四三六 三 八 二九九三三九三五三七 二八四六 二五三九九六二一二六三八 一 六九四 四 五九 八九一 二 七三 九 四四三 三 一 六五六九 七二一四六八九 三八七三 百 七四 法 四 線 八十六 切正切餘線正線餘

22 中法四線 切餘切正線餘線正二四 九 四七二六 六二七三六九九 五六八 二九五 三八九 一 八 二二一六 八七八三 六九七 四七六 二 七 七九五 三 四 六二七 六五七 三 六 八一八五 二八一四 六五六 九三八 四 五 五六六五 五三三四 六八五 一二九 五 四 三一五五 七八四四 六一五 三 一 六 三 一六三五 九三六四 七四四 五八 一 七 二 九 二五 一九七四 七七三 八六一一 八 一 七五 五 三四九四 七 三 五二一 九 三 五 九四 五九 五 七三二 二三三一 七 九 三五七四 七四二五 七六一 四一四一 一 八 一 六四 九九三五 七九 六九四一 二 七 九四四四 一五五五 七二 六六八九 八七五一 三 六 七九二四 三 七五 七五九 六六一 四 五 五四一四 五五八五 七八八 二四七一 五 四 二九九三 八 六 七一八 四二八一 六 三 四八三 六一六 七四七 六 九一 七 二 八八六三 二一三六 七七六 八八九一 八 一 六三五三 四六四六 六 六 七 二 九 二 四八三三 六一六六 六三五 二五一二 八 八十六 九 二三二三 八六七六 六六四 四三二二 一 八 八 三 二九六 六九三 六一三二 二 七 八二九二 二七 七 六二三 七九三二 三 六 六七七二 四二二七 五五二 九七四二 四 五 四二六二 六七三七 五八一 一六五二 五 四二七四二八二五七五一一三四六二六 三 二三二 八六七四四 五六八九四二七二七 二八六一二二三八七四七九六 八二八 一六一 二四八九七三 九七八八二九 一 四六八一三 一 六三一八 三三八四六八九 九六九二 九 七四 切正 切餘 線正 線餘

23 切餘切正線餘線正二四中 九 四八 六一九五九九六四九六 一八二八九一 八七八六 三一三九七七八 九一八二 七五三五 五六四九八 八三七二八三 六三八三 七一六九九三七六五三八四 五一三二 九六七九 七六九三四八五 四八七 四 一二二九九一 六二二五八六 三六二九九四七 六九九二三五六 六八七 二四七七九六二二 三六四九八六八八 一二二六九八七三 三九三二七七八九 六 七四九 三五 四二三五五八八 四 九七一三九三八六 五五二八三九八一 八五六一九五三八 六八一一二 九二 七三一 九七八九 六一一四 一九三 六一六八八九三一一七四 八六八九七八一九四 五八 七八二九二一八七九九六二九五 四六五五八四四四一九 九二五三九六 三四 四八六九五一九三八五三四九七 二二五二八八四七一 七七八一五九八 一 一八 九一 七一 六九九 五 八四九七二五 二一三六三八六九 五 九五九七七五 二二一六五六六七九一八八三四六七七五三二二九四九四八九二十五七一九四七九 五二二二四一三九九三 六九三三七一六六二三五三四一 三八九四 五七八一七三一八二三八二七九 五 四五三 七五六九二四一二九七一 六 三二八八六八一一三四四一二六二 七 二 三七六 七二三四七 四四三 八 一八七五六二二四三五 七六八九七二四 九 四 六二四六三 一 四七五三 五三九六六八九 九 五 六 切正 切餘 線正 線餘 法 四 線

24 中法四線 切餘切正線餘線正二四 九 一四五 九五四五九九 五 一七八九 五九五五二八九 一 八 八五二五 二四七四 七三九 九七六五 二 七 五 一五 五九八四 九六八 三六七五 三 六 三五九四 七四 五 八 七四八五 四 五 八四 二五 二三七 一三九五 五 四 八四六四 二五三五 四六六 五一 六 六 三 六九四四 四 五五 五九五 九九 六 七 二 三四三四 七五六五 七二五 三八一六 八 一 一九一四 九 八五 八五四 七六二六 九 九 九三 四 一六九五 九三 一五三六 一 九 六八八三 四一一六 一二三 五三四六 一 八 四三七三 六六二六 三五二 九一五六 二 七 一八五三 九一四六 四八一 三 六六 三 六 九二四三 一七五六 六一一 七八六六 四 五 七七二三 三二七六 七四 七八九 七七六 五 四 四二一三 六七八六 八七九 四五八六 六 三 二七九二 八二 七 一九 八三九六 七 二 二八二 八一七 一四八 一二 七 八 一 七六六二 三三三七 二七七 五 一七 九 八 五一五二 五八四七 四 七 九八一七 二 八十五 九 三六三二 七三六七 五三六 二七二七 一 八 一二二 九七七 六六五 六五三七 二 七 八五 二 二四九七 七九四 九三四七 三 六 六 九一 四九 八 九二四 三二五七 四 五 三五七一 七四二八 六三 六 六七 五 四一 六一九九三八一九二 九六七六 三九四四一一五五八二二二三七七七七 二七九二一三 七八三五一六五八七八 一四四一一六五八八四八 四九七九 七 二九九 四 一 八 九 五一 九六八九 三二 八 三 七四 切正 切餘 線正 線餘

25 切餘切正線餘線正一四中 九五三九六五六 三五九九七八六二五七四二八九一 八二八七六八一二三九一六六三八四二 七 三六六 七三三一五五一二九四三 六七七四六三二五三三八四五 五四 五五二三六五七六三四一四 九 五五 四二七一六八二八三六四三四七一五六 三 二 六 八九三八七二八五二五七 二七六八五三三一四 一二二四三五八 一 五一七五 五八二四 二四一 七二四五 九 三六五五四 一 七三四四 三七 一七八九 一一五五 百 八四 法 四 線 八十四 切正切餘線正線餘

26 中法四線 切餘切正線餘線正一四 九 二一五一 八八四八四九九 七一七 五 二二二八九 一 八 九五三一 一四六八 五六 一九二二 二 七 七 二一 三九七八 二八五 六七三二 三 六 四五 一 六四九八 五一五 一六四二 四 五 一 九 九九 九 八四四 六四五二 五 四 九四七 一五二九 八三 二三六二 六 三 六九五 四 四九 三一三 七一七二 七 二 三四四 七五五九 五四二 二 八二 八 一 一九二 九 七九 八七一 七八八二 九 三 八三一 五 一 二六八九 一一 二七九二 七 九 六八九九 四一 五九九 三四 三七八九 七五 三 一 八 三三八九 七六一 五七九 二四一三 二 七 八六九 二三 七 九 七二二三 三 六 八二五九 二七四 四八 二一三三 四 五 五七三九 五二六 二七七 七九三三 五 四 三二二九 七七七 五 七 二八四三 六 三 七 九 三九 七三六 七六五三 七 二 七一九八 三八 一 九六五 二五六三 八 一 五六七八 五三二一 一 五 七三七三 九 二 二一六八 八八三一 四三四 一二八三 八 八十四 九 六四八 四五一 六六三 六 九三 一 八 七 三八 三九六一 八九二 一九九三 二 七 五五一八 五四八一 三二 六七 四 三 六 二 八 八九九一 二六一 六一四 四 五 五八七 五一二 五九 五四二四 五 四七九六七三 三二七二 二七八九九二三四六 三五四五七五五四二九五九四一四四七 二二九三七八 六二一九八九九四四八 一 四二七 六七二三二八三八五四九 一 七八 七四 一 三一九二 五五七一七八九 八六六四 九 八四 切正 切餘 線正 線餘

27 切餘切正線餘線正一四中 九五九 六五 九三四九九六二七一三六九一八九一 八二四九五八五 四九五六八一七九二 七九八七五一一二四三九五四 八九三 六六三六五四六三四六二五 九八九四 五三八四五七一五四九五四六七九九五 四一三三五九六六四三九三二六 二八九六 三八七一五二二八四六二三八四一 七 二五二 五五七九四九五二四三二 八 一二七八四八二一五二九一 二三 九 六 九一七四一八二五六二一六 四 四 九六六五四四三四五九五 五七八九二九四 一 八四一四四六八五五二九九八七五 二 七一六二四九三七五五二九四六六 三 六八 一四二九八五八五八 五七 四 五五五九三五四 六一九七六三八 五 四三 八三七九一六四二七二二九 六 三 五六三 五三六七五六七 一七 二七九四三三 五六 九五三九 一八 一四四三三六五六六三二五九七一一九 五 二九一三八 八六六五四五六二一 五 九九三 三一六九六九八三 五三一一八八六八八二四一一七二二三六三四一二十三七三三七二七六二七五五二一二五一三 六一八五二九一四七八八一七 六一四 五八二四二二七五七一二一三九六一五 四五七二二五二七七三五 四七八九八七七一六 三三二一二七七八七六八九四六八一七 二 七九一 三 八九一九九四九一八 一七一八一三八一八二五八四三 二九 四 五六六一五 一 五三三八 四八七三七八九 二一二 六 切正 切餘 線正 線餘 法 四 線

28 中法四線 切餘切正線餘線正一四 九 四八六 六一三九三九九 四一七 三 七一八九 一 八 一三五 九六四九 八四六 七一一七 二 七 八七三 二二六九 二八五 四 二七 三 六 五二二 五七七九 六一五 一九二七 四 五 二七 六 一 八二九九 五四 九七三七 五 四 九一九九 一八 四九九 四八三 六六四七 六 三 六六七九 四三二 八一三 三五五七 七 二 二一六九 八八三 二五二 四六七 八 一 九五四九 一四五 六八一 六二七七 九 九 六 三九 四九六 二一 三一八七 一 九 三五一九 七四八 四五 七七八九 九七 一 八 九 一 七八九 七八九七 二 七 七四八八 三五一一 一二九 四七 八 三 六 四九六八 六 三一 五五八 一六一八 四 五 一四五八 九五四一 九八七 七四二八 五 四 八八三八 二一六一 三二七 四三三八 六 三 六三二八 四六七一 六五六 一二四八 七 二 三八 八 七一九一 九五 七 五八 八 一 三九七 七 二 四二五 四九五八 九 八 七七七七 三二二二 七五四 一八六八 二 八十三 九 四二六七 六七三二 一九三 七六七八 一 八 一七四七 九二五二 五二三 四五八八 二 七 八一三七 二八六二 八五二 四九八 三 六 五六一七 五三八二 二九一 七二 九 四 五 二一 七 八八九二 五二一 三一一九 五 四九五八六一四一三九五 六七八九 二九六 三六 七六四九二三二九九六八二九七 二三五五六七四四三六二九二七三九八 一 四六 六三九五八九五四九九 七 八四二六五 一 二五七三 三九七五七八九 五四五九 三 八四 切正 切餘 線正 線餘

29 切餘切正線餘線正 四中 九五一二二五八七七三九九二七三七五一六一八九一 八二六 二八三九七六 三四四二六二 七九 九一一九 八一四二二三三六三 六六五七一四四二八五七一九一四六四 五二 六一八九三八九 一七 五六五 四九四四一一五五八三四 八七八九四九五六六 三六九二一四 七八七七九一八六六七 二三四一一七五八八二一九八六七六八 一 九九 一 九 六四八 六五八六 九 七三八 六 一 三六一九 八七七七八九 三四九六 百 九四 法 四 線 八十二 切正切餘線正線餘

30 中法四線 切餘切正線餘線正 四 九 三一八六 七八一三三九九 二三三 九一五三一八九 一 八 六六六 四三三 七六二 七 六三 二 七 六 五六 四九四三 二 二 六九六三 三 六 三五三六 七四六三 七三一 四八七三 四 五 二六 八三 二七 二七八三 五 四 六四 六 四五九三 七 八八九 六九三 六 三 三九八五 七 一四 二四九 九四 四 七 二 四七五 六二四 七七八 七三一四 八 一 六八五五 四一四四 一一八 五二二四 九 三 三三四五 七六五四 六四七 三一三四 七 九 八二五 二七四 一八六 一 四四 一 八 六二一五 四七八四 六一六 九八四四 二 七 三七九四 七二 五 五五 七七五四 三 六 二八四 八一五 五八四 五六六四 四 五 七六六四 三三三五 二四 三五七四 五 四 三一五四 七八四五 五五三 一四八四 六 三 六三四 四六五 九八二 九二九四 七 二 七 二四 三九七五 四二二 七一 五 八 一 三五 四 七四九五 八五一 五 一五 九 二 九三 一六 三九 三九一五 八 八十二 九 七四七三 三五二六 八二 九七八九 一八二五 一 八 四九五三 六 四六 二六九 八六三五 二 七 一四四三 九五五六 七九八 六五四五 三 六 七八二三 三一七六 一三八 四四五五 四 五 四三一三 六六八六 六六七 二三六五 五 四一八九二九一 七 七九一七五六 三八二八二二七一七四三六七 八五七 二五七六二五二三七九六五四九八五八 一一二五二九七四七三 五二八九五九 一 八六三二六 一 二三六七 八三四八七八九 九六 六 九 九四 切正 切餘 線正 線餘

31 切餘切正線餘線正 四中 九九一四一一八五八二九九一七二三五八 一八九一 八五六二一五三七八七 二二四九 二 七二一一一八八八八三四一一三 一三 六八五九 二四 九八七 二一一四 五四 八 六九一九四一 二八八九 一二一五 四一五六 九四三九 五九九九二一六 三七九四 三 五九五八八八八三一七 二四四三 六五六九一二八七七四一八 一 九一 一八九六五七六六五一九 六 六三 七 一四六九九二九六五五六一 四 九三八八九七一一 三九九七二六四四七一一 八九二七九一七二 三六五三三八一二 七六七五九四二四 八九四二二九一三 六二二四九八七五 四三四一一 二四 五九六二九一三七 九六三 一二五 四五一一九五八八 四 三九八一二六 三二六九八八三 一 四二八七二二七 二八 八八二九一一五七一七六三二八 一五五六八五四三一 一一六五四二九 五 一 五八九九四一六四 一八八九四四五二 五 九八四三八二五六一一八九三三六二一八八四九一八六 八一六一九二二七二二十一七一四 八九五九一一五八一一八二三 六七八八七三一一二六八七九九八二四 五四三七七六六二二二二七八八九二五 四 八五七 二四二七五六六七 三六 三七二四七三七五二二九五五六一三七 二三七二七七二七二七二五三五二三八 一 二一七 八八二二六四二四三三九 四 七六九六六 一 三三 三 七九三 八八九 三四三 六 切正 切餘 線正 線餘 法 四 線

32 中法四線 切餘切正線餘線正 四 九 三三 六 七六九三二九九 九一 八五一八 八九 一 八 九七八五 一二一四 七二一 八四二八 二 七 五二七五 五七二四 三六 四八八九 八三三八 三 六 一七五五 九二四四 九九九 九二四八 四 五 七一四五 三八五四 六三九 九一五八 五 四 三六二五 七三七四 二七八 九 六八 六 三 九 一五 一九八四 八 八 九九六八 七 二 五五九四 五四 五 四四七 九八七八 八 一 一 八四 九九一五 一八六 九七八八 九 九 八四六四 二五三五 七一六 九六九八 一 九 四九四四 六 五五 三五五 九五 九 一 八 四三四 六六五 九八四 九四一九 二 七 六八一四 四一八五 五二四 九三二九 三 六 二三 四 八六九五 一六三 九二三九 四 五 八七八三 二二一六 七九二 九一四九 五 四 五二七三 五七二六 三三二 九 五九 六 三 一七五三 九二四六 九六一 九九五九 七 二 七一四三 三八五六 五 一 八八六九 八 一 三六二三 七三七六 一四 三八八九 八七七九 九 八 一一三 九八六 七七九 八六八九 二 八十一 九 六五九二 四四 七 三一九 七五九九 一 八 二 八二 八九一七 九四八 七四 一八九 二 七 八四六二 二五三七 五八七 七三一 三 六 五九四二 五 五七 一二七 六二二 四 五 一四三二 九五六七 七五六 六一三 五 四七八一二三一八七三九五五 四 六 三四三 二六六九七八二五五九四 七 二 八八一 二一八四六四四八五 八 一六二七一四七二八 四四七六 九 七 三七五一七 一 七二四八 六三三二八八九 三六七 三 九四 切正 切餘 線正 線餘

33 切餘切正線餘線正九三中 九二七五七八二四二二九九五二八三五二七 八九一 八八一四七二八五二二六七四四三七二 七四六二七六三七二九九六四三四七三 六 一一七 九八二五三六五二五七四 五六五九六四四 三二七五五一六七五 四二 八六八九一三八 五六 七七六 三八四六六二五三三五四四六九七七七 二四九四六六 五三一八三七八八七八 一 四三六 六六三 八一三 七七九七 九 六八一六七 一 四一八三 四五二四八八九 七六 八 百 五 法 四 線 八十 切正切餘線正線餘

34 中法四線 切餘切正線餘線正九三 九 七九一二 三 八七一九九 七一七 二五四 八九 一 八 三四 二 七五九七 五五六 二一六四 二 七 九八八一 一一一八 二九五 三 七四 三 六 四三七一 六六二八 九二五 五九七四 四 五 八五一 二四八 六六四 六八八四 五 四 六二四一 四七五八 三 四 八七九四 六 三 二七二一 八二七八 一四三 九六 五 七 二 七一一一 三八八八 八七二 六一五 八 一 三六九 七三 九 五一二 二五二五 九 三 九 八 一九一九 二五一 三四三五 七 九 五五六 五四三九 九八 四三四五 一 八 五 五九 六二 六八八九 六二五五 二 七 六四三 四五六九 三六九 七一六五 三 六 二九一 八 八九 九 八 七五 四 五 八三 八 一 二六九九 七三八 九九七五 五 四 四八八九 六一一 二九九 四七七 九八五 六 三 三七九 七二 一一七 一八九五 七 二 五七五九 五二四 八四六 二七 六 八 一 一二四九 九七五 五八五 三六一六 九 二 七六二九 三三七 二二五 四五二六 八 八十 九 三一一九 七八八 八五四 五四三六 一 八 九五九八 一四 一 五九三 六三四六 二 七 五 八八 五九一一 二三三 七二五六 三 六 一五六八 九四三一 九六二 八一六六 四 五 七九四八 三 五一 五 二 九 七六 五 四三四三八七五六一二四一 八六六 三八八一八二一八一九七 九八六七 二四三 八六六九一六一 五八八九一八九六八 一 八八七 二一二二五九二七 七九 一 六二七七七 一 四七二二 九八八四八八九 三六一七 九 五 切正 切餘 線正 線餘

35 切餘切正線餘線正九三中 九二三八六八六一三一九九九八五八五七一 八九一 八七七六六三二三三七二五 五八一二 七二二五六八七四三五六四三四九一三 六八六三六二三六三三 四五三 二四 五三一二六七八七三一四三八二一二五 四九五 六一四九三九七二 二二二六 三四 九五六九 四六一二二一三二七 二 五七五 五二四四五一五 四二八 一五九五五五 四四二九 七九四二九 六 四四五 六五四 三 八八八九九八五二 四 九六八二五四一七四八六九二八六二一 八一三一五九六八四五 九四七七二二 七七七九四三二 五三四八六六八二三 六二二八四八七一五一八七八五九二四 五八六六四二三三五八一七 五 三五 四三一五四七八四五六五六二四一三六 三九五三四一四六五三九五五三二三七 二四 二四六九七五一三五七二三三八 一 五 四 五九五九六四九一四三九 五 六九八三四 一六六 四一一五三 五 九一四七三九五二六四四三二 六三一七八七八五三三一四六一八二四九六三二十九七二三四三八六五六九一二六八七三三 六八七二三二二七六六五一八七八三四 五三二一三七七八六三九 七九三五 四九六九二一三 七一三 七八八九二六 四六 三五一八二五八一七八六九三五一四七 二 六六二 四三七五 九五四二四八 一六 五二四九四七三四八七三三四九 四 二五三二八 一 八四六七 八七六八八九 八二四四 六 切正 切餘 線正 線餘 法 四 線

36 中法四線 切餘切正線餘線正九三 九 六七四一 四二五八 九九 一四四 五六九八九七九 一 八 一二三一 九七六八 八三 九五 九 二 七 六六一一 四三八八 八一三 二五一九 三 六 一一 一 九八九八 七五二 六四二九 四 五 六五八 四四一九 五九一 九三三九 五 四 一 七 九九二九 四三一 三三四九 六 三 六四五 四五四九 二七 六二五九 七 二 一九三 九 六九 一一 九八九 二六九 八 一 六三二 四六七九 九四九 三一七九 九 九 二八 九 一 八一九九 八八八 六 八九 一 九 七二九九 三七 一九九 六二八 九九八九 一 八 二七七九 八二二 四六七 三九九九 二 七 七一六九 三八三 三 七 六八 八九 三 六 二六四九 八三五 一四六 九七一 四 五 七 三九 三九六 九七五 二七二 五 四 三五一九 七四八 八一五 五六三 六 三 八九九八 二 一 六五四 八五四 七 二 三四八八 七五一一 四九三 一五五 八 一 八八六八 二一三一 二三三 四四六 九 八 三三五八 七六四一 一七二 七三七 二 七十九 九 九七三八 一二六一 九 二 三八 一 八 四二二八 六七七一 七四一 三二九 二 七 九六 八 一三九一 五八 六一 一 三 六 四一九七 六八 二 三二 九八八九 九 一一 四 五 六七七 四二二 一六九 一 二一 五 四五 六七五九三二九九八四九二一六 三 五四七 五五二七三八七八三一七 二六九二七四 七二五七七 八四一八 一一四一七九五八二三一七二七五一九 七 六八九六八 一 四一 三 一五六八八八九 五六六一 三 五 切正 切餘 線正 線餘

37 切餘切正線餘線正八三中 九六二 三四七九六 九九四五 一九八九八二 八九七九一 八一七八二九二一七三九九二二一八二 七六一七二四八二七二三九六一二八三 六一六五二九三四七 七八 一三八四 五六 四二四九五七九 八三 四八五 四一五二二九四七七八四七七九四八六 三六九 二四 九七七八六一九五八七 二一四九一九五 八五二六五八六八八 一 六八七一 四一二八 四六五 八七七八 九 一三六一九 一 九六三八 三 五 九八九 二七八八 百 一五 法 四 線 七十八 切正切餘線正線餘

38 中法四線 切餘切正線餘線正八三 九 四八六七 六一三二 九九 八八 六九一五九七九 一 八 九二五七 一七四二 九一八 一九二五 二 七 三七三七 七二六二 九五七 五八三五 三 六 八一二七 二八七二 八九六 八四五 四 五 二六 七 八三九二 八三六 五七五五 五 四 七 九六 三九 三 七七五 七六五 六 三 二五七六 八四二三 六一五 五六七五 七 二 六九五六 四 四三 六五四 九五八五 八 一 一四四六 九五五三 五九三 四五九五 九 三 六八二六 四一七三 四三三 九四 六 七 九 三一六 七八三 三七二 三四一六 一 八 五七九五 五二 四 三一二 八三二六 二 七 二八五 八一四 二五一 二三三六 三 六 四六六五 六三三四 一九 七二四六 四 五 九 五五 一九四四 三 二九八九 一二五六 五 四 四五三五 六四六四 九六九 六一六六 六 三 九九一五 一 八四 九 九 一七六 七 二 三四 五 七五九四 八四八 四 八六 八 一 八八八四 二一一五 七八七 九九八六 九 二 三三七四 七六二五 六二七 三九九六 八 七十八 九 八七五四 二二四五 五六六 七八 七 一 八 二二四四 八七五五 四 六 二八一七 二 七 七六二四 三三七五 三四五 六七二七 三 六 二一一四 八八八五 二八四 七三七 四 五 七五九三 三四 六 一二四 四六四七 五 四二 八三八九一六 六三八五五七六 三七四六三三五三六九九二二五六七七 二一九四三九 五六八三二六四七七八 一六三三三四六六六六七一 四八七九 一 一八一三九 一 九一八六 五一一一九八九 四三九七 九 一五 切正 切餘 線正 線餘

39 切餘切正線餘線正八三中 九三五三二七四六七九八九六八六三三三二九七九一 八七九一二三 八七六二六九二四二二 七二四 二八五九七六六五五二五二三 六六八八一四一一八六 五一二六二四 五 三七一 七二八六四四六一七二五 四四七五一六二四八六八三二一八二六 三八一四一二八五八六二三八 九二七 二三六二一七三七八六六二四 三八 一七 一一三九八八六 二九九 三九 六 一五九 九四 九六四一五九一三 四 九六九七 四 二九六八 一九二三一 八 四六 六三九六二 四九八九六八三三二 七四八四 六一五九六六九二八四三三 六九二三 一七六九六 九七七五三四 五三七一 七二八九六四八三七六三五 四七一 一 一三八九九五八七八六七三六 三二六八九八三一 九九五二七四六八三七 二六 七九四九二 五六六九五九三八 一 五五九 五四 五 六四五 四九 五 五九三九五 六 四四五 五一四 五 九九三二九一六七 四八四五四二四一七八四八 九六一九 四二四 四三四二十七七八二九八二七 一三六三五三四四三 六三七七八七二二一三 三 三五四四 五七一六八三八三一三四二六二六四五 四二六四八八三五一二八一一二七四六 三六 三八四九六一二二一六一八四七 二一五一八九四八一一六 一一九四八 一五九九七五 二一 三九八九六 五九 四 四八七九 一 六一二 四九二九八九 一 一五 六 切正 切餘 線正 線餘 法 四 線

40 中法四線 切餘切正線餘線正八三 九 四三 七 六六九二九八九 三七四 九三四九八七九 一 八 八七八六 二二一三 四一四 六三五九 二 七 二二七六 八七二三 四五三 三三六九 三 六 五六五六 五三四三 五九二 三七九 四 五 九 四六 一九五三 六三二 七二八九 五 四 三五二六 七四七三 六七一 三二九九 六 三 七九 六 三 九三 七一一 二 九七九 七 二 一四九五 九五 四 八五 六九八九 七一一 八 一 五八七五 五一二四 八九九 四一二 九 九 八二六五 二七三四 九三九 一三 一 九 二七四五 八二五四 九七八 七 四 一 八 六一三五 四八六四 二八 四 五 二 七 六一五 四八四 六七 六 三 六 四 五 六九九四 一 七 七九六 四 五 八四八四 二五一五 一四六 三九七 五 四 二九六四 八 三五 二八五 九八 六 三 六三五四 四六四五 二二五 六八九 七 二 八三四 二六五 三六四 三八 一 八 一 四二二四 六七七五 三 四 九七一一 九 八 八六 四 二三九五 三四三 五七二一 二 七十七 九 二一九三 八八 六 四八二 二七三一 一 八 六五七三 四四二六 四二二 八六四一 二 七 六三 四六 四六一 四六五一 三 六 四四四三 六五五六 五 一 六六一 四 五 八八二三 二一七六 五四 五九八九 七五七一 五 四三三一三七六八六五八九三五八一六 三七七九二三二 七五二九九四九一七 二一二八二九七一七六六八五四 二八 一五六六二五三三七六 八一四一二九 七 九 五二 一 一 一九四七 六四七四九八九 七三二二 三 一五 切正 切餘 線正 線餘

41 切餘切正線餘線正七三中 九七九五八三 四一九八九四六 七六四八八七九一 八一四四八九五五一五 七九八九五六五八二 七四八二八六一七一六四九二六六八三 六八二一八二七八一七八八九五七八四 五二七九七八二 二八二八六五八八五 四五一八七五八一二九六七四五九八六 三九五六七一四三二 一七一五 九七 二三 五七七九四二一五六八四一九八 一 六四三七 四五六二 一九五 五四二九 九 九一七 一 一 一八二 二三五六九八九 二四三九 百 二五 法 四 線 七十六 切正切餘線正線餘

42 中法四線 切餘切正線餘線正七三 九 四九二三 六 七六八八九 六二八 二三五五八七九 一 八 七三一三 三六八六 七六七 三六五 二 七 八九二 二 七 九 七 八二七五 三 六 四二八二 六七一七 五六 七二八五 四 五 七六六二 三三三七 二九五 五二九五 五 四 一五二 九四七 三三五 三二 六 六 三 四五三二 六四六七 五七四 一二一六 七 二 七九一二 三 八七 六一四 九一二六 八 一 四 二 六九七 八五三 八一三六 九 三 四八八一 六一一八 九九二 六一四六 七 九 七二七一 三七二八 一四二 四一五六 一 八 七五一 三四八 二八一 二一六六 二 七 四一四一 六八五八 三二一 一七六 三 六 七五二一 三四七八 五六 八 八六 四 五 一一 九八 六 八九八九 六 九六 五 四 四四九 六五 九 七四九 三 七 六 三 七八七 三一二九 九八八 一 一七 七 二 一三六 九六三九 三八 九九一七 八 一 四七四 六二五九 一七七 七九二七 九 二 八一三 二八六九 二一七 五九三七 八 七十六 九 一六一 九三八九 三五六 二九四七 一 八 五 一一 一 五九九九 五九五 九五七 二 七 八四八九 二五一 九八九 六三五 八八六七 三 六 二九六九 八 三 七七四 五八七七 四 五 五三五九 五六四 八一四 三八八七 五 四九七三九一二六 九五三 八九七六 三二二二九八七七 三八七 八七 二六六 九四三九 一四二五七一八八 一 一九八 九 一二八一三七二八九 一 三五七八 一 一 七四二一 三二一七九八九 七三八 九 二五 切正 切餘 線正 線餘

43 切餘切正線餘線正七三中 九四 八六九九一八八九八六五四六五二八七九一 八七四八七三五一二 一五三六六二二 七 九六七 一三二二五四三六七二三 六三三五七七六四二五九三二六八二四 五五七三七五二六二七三三一六九二五 四八一二七二八七二九七二一六 三六 三一六 七九三九二一二二 六一三七 二四 九六六九 三三六一九五二三八 一七四七六三五二三五 一八五三三九 六 九五六 一四三七四 九九八五四三 四 九三三四六七六五三九八九七五五三一 八六七二六四二七三一三九六五六三二 七九一一六一八八三三七八五五七三三 六一六九五九三 四五一八四五八三四 五四 八五六九一四七五七三五九三五 四七四六五三五三四九九六二五 四六 三 九四五 一五四一四六一五一四七 二三三三五七六六四三八五九四二四八 一六七一五四二八四五二五八四三四九 五 二 五 八九四七六四七四四四 五 九三六八四七三一五八 四六四五四一七八六 七四四九二五 五三五四六四二十五七九四五四一五四五二九二三四七四三 六二九三四八 六五四三二二四八四四 五五三二四五六七五六七一一四九四五 四八七 四二二九五七一一九三 五六 三一二九三九七 六九五 八三一五七 二四六七三六三二六一 九九八九六三二五八 一八 六三二九三六二四九五三三五九 四 一五四三一一 一 九四五六 四八八八九八九 三三四五 六 切正 切餘 線正 線餘 法 四 線

44 中法四線 切餘切正線餘線正七三 九 八二七二 二七二七七八九 一九二 四六五九七七九 一 八 七五二 三四七 四三二 四六六九 二 七 三一四二 七八五七 七七一 五六七九 三 六 五五二二 五四七七 二一 五六八九 四 五 七九 二 三 九七 三六 六六九九 五 四 四九一 六 八 六 二 九九 六六 八七九 六 三 二八七一 八一二八 八四九 六六一 七 二 四二六一 六七三八 一九八 七六二 八 一 七六四一 三三五八 四三八 七六三 九 九 九 三一 一九六八 六七七 七六四 一 九 二五一一 八四八八 九一七 七六五 一 八 四九九 六 九 二六六 七六六 二 七 七三八 三六一九 四 六 八六七 三 六 九七六 一二三九 七四五 八六八 四 五 二二五 八七四九 九四 八六九 五 四 四六三 六三六九 二三四 八六 一 六 三 七 二 三九七九 五七三 八六一一 七 二 九四 二一 一 一五九九 七一三 八六二一 八 一 二九八九 八 一 八八九 六二 八六三一 九 八 五三七九 五六二 二 二 八六四一 二 七十五 九 七七五九 三二四 五四一 七六五一 一 八 二四九 八五 七八 七六六一 二 七 二六二九 八三七 九二 一 九九 七六七一 三 六 五 一九 五九八 二七九 七六八一 四 五 八四九八 二五 一 四一九 六六九一 五 四 九七八 一二一七五八六六 二六 三三三六八七六三一九九七六六一二七 二六七四八四二五一一四七五六二二八 一九一三八一八六一三八六五六三二九 七 一六一八一一 一 九三八一 六二六 九九 四六四二 三 二五 切正 切餘 線正 線餘

45 切餘切正線餘線正六三中 九六 三四四九六五七八九二六八六五五八七七九一 八八四一四二五八五五 八七五六八二 七 九九三 一 六八四七八五七八三 六二三八三八六一六一九六九五八八四 五四七六三六二三六四三六 六九八五 四七一五三三八四六七七五 六 九六 三九五三三一四六六 二五一六一九七 二一 二三九九七六三六四二六二九八 一 三四 三 七五九六 六 四 二六三九 九 六八八二二一 一 四一一七 九四三二 九九 三六四九 百 三五 法 四 線 七十四 切正切餘線正線餘

46 中法四線 切餘切正線餘線正六三 九 八四 九 二五九 七八九 一六五 二一五五七七九 一 八 九八八 一一一 四 五 四一六五 二 七 二三七八 八六二一 八四四 六一七五 三 六 三七五八 七二四一 一九三 八一八五 四 五 五一四八 五八五一 五三三 二九五 五 四 七五二八 三四七一 九七二 二二 六 六 三 九九 八 一 九一 二二二 四二一六 七 二 四九七 六 二 六六一 五二二六 八 一 二八七七 八一二二 九 一 七二三六 九 三 四二六七 六七三二 三五 四 九九 九二四六 七 九 六六四七 四三五二 六九九 一三五六 一 八 八 三七 二九六二 四九 二三六六 二 七 九四一七 一五八二 三八八 四三七六 三 六 一九九六 九 三 七二八 五三八六 四 五 三三八六 七六一三 七七 七三九六 五 四 五七六六 五二三三 三一七 八三 七 六 三 七一五六 三八四三 七五六 四一七 七 二 九五三六 一四六三 六 一四二七 八 一 一 二六 九九七三 四四五 三四三七 九 二 三四 六 七五九三 七八四 四四四七 八 七十四 九 五八八五 五一一四 三四 五四五七 一 八 七二七五 三七二四 三七三 七四六七 二 七 九六五五 一三四四 七一三 八四七七 三 六 一一四五 九八五四 六二 九四八七 四 五 三五二五 七四七四 三 二 五九七 五 四五九 五五 九四六四一一五 八六 三七三九四三六 五九八 二五一八七 二九七七四一二二五三三 三 九九三五二八八 一一二六四九七三五六七九四五三八九 一 三六四四二一 一 七三五五 九一九二 九九 五五四八 九 三五 切正 切餘 線正 線餘

47 切餘切正線餘線正六三中 九六 八三四九一六六八九一四二五三四二七七九一 八七四六三三五三六五八一八三五二二 七八八四三二一五六九二一一四六二三 六 三三三 七六六四七 四四七二四 五一七一三九二八六八一 六 九九七四八二五 四二一 三八八九六二六九 五九二六 三三五八二七四一七六 九三五 三七 二五九六二五 三七 五八六五一三八 一六三五二四六四七四九七九五二三九 六 七七三二三二六七九三七一六三三 四 九九一二二一八七七三八六四六四三一 八 六 二 四九七七二六七六五三二 七一 九一九九 八一七五 七六三三 六三四七一七五二八五一五二七七三四 五四八五一六一四八九五四五七八三五 四五二四一五七五八三 四八七九三六 三七六二一三三七八七四三 八 四七 二八 一一二九八八一九二三八一四八 一 五九 五 九五三二五八二四九 五 一九七 九 二九九七一八八三四 五 九三三六 七六三九三二一 九四四一七八四七四 六二五九七六 二九五四二十三七六一三 四八六九 一 五 九九五九六四三 六七五一 三一 一三四八九四五九七九七四四 五九九九九一 七八九八九八九九八四五 四 四八九 六一 二四八二 五六 三二八六九八一三 六八七四 一五七 二三二五九七七四 九二七六 二五八 一五六三九五三六 三七六八 三五九 四 七 二九二一 一 三九七 七一六四 九九 一四五 六 切正 切餘 線正 線餘 法 四 線

48 中法四線 切餘切正線餘線正六三 九 八五八 二四一六八九 三 九 三二三九六七九 一 八 二四八 八五一 七四八 七二四九 二 七 一六二八 九三七一 二九七 一三五九 三 六 二 一八 八九八一 七三七 六三六九 四 五 二四九七 八五 二 二八六 四七九 五 四 三八七七 七一二二 七二六 四四八九 六 三 四二六七 六七三二 二七五 八四九九 七 二 四六四七 六三五二 六一五 二五 七七九 八 一 五 三七 五九六二 一六四 六五一 九 九 六四一七 四五八二 六 四 六二 一 九 七八九六 三一 三 一五三 四六三 一 八 七二八六 三七一三 五九二 八六四 二 七 八六六六 二三三三 四二 二七五 三 六 九 五六 一九四三 五八一 六七六 四 五 五三六 五六三 九二一 九七七 五 四 一九一六 九 八三 四七 三八八 六 三 二三 六 八六九三 九一 七 九九 七八九 七 二 三七八五 七二一四 三六九 九 一 八 一 四一七五 六八二四 八 九 四九一一 九 八 五五五五 五四四四 二五八 八九二一 二 七十三 九 六九三五 四 六四 七九七 一 四一 一 八 七三二五 三六七四 一四七 五 五一 二 七 八七 五 二二九四 六八六 八 六一 三 六 九一九四 一八 五 三六 二一七一 四 五 六七四 四二五 五七五 五一八一 五 四一 六四九九三五九一五八一九一六 三二四四四八五五五三六四二二 二七 二三八二四七一七五八 四五二一二八 一四二一四六七八五二五三八二二二九 七 五六九三三一 一 五三 六 六九二六 九九 一三三二 三 三五 切正 切餘 線正 線餘

49 切餘切正線餘線正五三中 九四七一 六二八九五八九二五四八七二八六七九一 八五一 四一 一五八九九八九三三八三八二 七五五八九五四一 六八九三四三七八四八三 六六九六九四 三 八八二二九五八四 五六三五九四六四 三三二七九六八五 四七七三九三二六 八七一一 八八六 三七一二九三八七 三二一六 九八七 二八五 九二四九 八六 一 九八 一 八九八八 二 一一 三一 八 九九 四一一九 九 九三七八三一 一 一六二一 八五九七 九九 九一二九 百 四五 法 四 線 七十二 切正切餘線正線餘

50 中法四線 切餘切正線餘線正五三 九 九六九四 一三 五五八九 九 一二一五六七九 一 八 九 八四 一九一五 六三 一九九 六二二五 二 七 九四六四 一五三五 一八九 二三三五 三 六 九八四四 一一五五 七二九 八三四五 四 五 九二三四 一七六五 三七八 四四五五 五 四 九六一四 一三八五 八一八 九四六五 六 三 九 四 一九九五 四六七 五五七五 七 二 九四八三 一五一六 一七 六八五 八 一 九八六三 一一三六 五五六 六六九五 九 三 九二五三 一七四六 一 六 二七 六 七 九 九六三三 一三六六 六四五 七七一六 一 八 九 二三 一九七六 二九四 二八二六 二 七 九四 三 一五九六 七三四 八八三六 三 六 九八二 一一七 三八三 三九四六 四 五 三七二 七二七 八二三 八九五六 五 四 七五二 三四七 四七二 四 七六 六 三 一四二 九五七 九一二 九 八六 七 二 五二二 五七七 四六一 四一九六 八 一 九 二 一九七 一一 九一 七 九 二 一三九一 九六 八 五五 四二一七 八 七十二 九 一七七一 九二二八 九 九九 三二七 一 八 一一六一 九八三八 六四九 五三三七 二 七 一五四一 九四五八 一九八 四四七 三 六 二九二一 八 七八 六三八 五四五七 四 五 二三一一 八六八八 一八七 九四六七 五 四二七九 八二 九七二七四五七七六 三三一八 七八一九二七六九五八七七 二三五六 七四三九七一六四六九七八 一三九四 七 五九二六五九六 八九 一 四三三 四一 一 六六六九 七 五八 九九 三七一八 九 四五 切正 切餘 線正 線餘

51 切餘切正線餘線正五三中 九二八七九八一二 五八九 一七八二九一六七九一 八一二六九九七三 六五六五三 二二 七 六四九 四五 二 六二四一二三 六 三九 七 九四五九四二二四 五九三一九一六八 五九四六五三二五 四九七九八一二 一一四四二六四二六 三八一八八二八一一七八三九六五二七 二七五六八三四三一三三三六七六二八 一七九四八三 五一 八二三八七二九 六 六三三八四六六一六二二九八八二 四 九六七一八四二八一二七一六九九二一 八五一 八五八九一八一一三 一三二 七五五八七五四一二四六 九 二三三 六四九六七六 三二 一 一一九九六一三三四 五四三五七六六四二六五九二二四三五 四三七三七七二六二二 九九二五三六 三三一二七七八七二八四八五三六三七 二三五 七七四九二四九七一四七三八 一二九八六八 一三 四七八四八三九 五 二三七六八六二三六八六四五九三 五 九二七五六八二四三二三六 六 四一七八一一四六九八五三八七五六六一四二十一七一五二六九四七三四二五三七二四三 六一九 六九 九三 七四九七三四四 五一三九五九六 四五一四五八四四五 四 七七五 三二四一六三一九五四六 三 一六五 九三四七 三七九六四七 二 五四五 五五四三五二三 八四八 一 九二五 一七四九九一九 九四九 四 三一五四一 一 七八四 四四一 一九九 五一 五 六 切正 切餘 線正 線餘 法 四 線

52 中法四線 切餘切正線餘線正五三 九 二一六四 八八三五四八九 一一三 七八五七九 一 八 一五四四 九四五五 八五二 八 八八 二 七 九八二四 一一七五 五 二 六一九八 三 六 八二一四 二七八五 二五一 四二 九 四 五 七六九三 三三 六 九九 二三一九 五 四 六 八三 四九一六 六四 三一九九 四二九 六 三 四四六三 六五三六 三九九 八四三九 七 二 三八四三 七一五六 九三九 六五四九 八 一 二二三三 八七六六 六八八 四六五九 九 九 一六一三 九三八六 三三八 二七六九 一 九 三 七 八七 八七九 一 八 九三八二 一六一七 六二七 七八八九 二 七 八七六二 二二三七 三七六 五九九九 三 六 七一五二 三八四七 二六 三 一 六七九 四 五 六五三二 四四六七 六六五 一一二 五 四 五九一二 五 八七 三一五 八一三 六 三 四三 二 六六九七 九五四 六二四 七 二 三七八一 七二一八 六 四 三三五 八 一 二一七一 八八二八 三五三 一四六 九 八 一五五一 九四四八 九九二 八四七 二 七十一 九 九三一 一六八 六四二 六五八 一 八 九二二一 一七七八 二九一 三六九 二 七 八六 一 二三九八 九三一 七 一 三 六 七 九 三九 九 五八 八七一一 四 五 六四七 四五二九 一三 二一九九 五八二一 五 四六八五 四一四九八七九二九三一六 三五二四 五七五九四二九 五一七 二四六二 六三七九一七八七 六一八 一三 一 五一 一七九八九七一八四一七一九 七 三四九九四一 一 七五 五八九 三六七一一九九 一二八一 三 四五 切正 切餘 線正 線餘

53 切餘切正線餘線正四三中 九六二二六四七七三四八九一四八五一六七五七九一 八四六 六六三九三八八七四二七七二 七三 九五七九 四六三七三三八七三 六二四七五八五二四三八六一四九七四 五 八五五 二四四 三六 五 八五 四九一四五一八五四七七五八五一八六 三七五二五三四七四四二五六六二八七 二六九 五四 九四一七四五七三八八 一 五三九四 五六 五 八一四 三八四八 九 三七七四五一 一 七二二五 五六三三一九九 一九五八 百 五五 法 四 線 七十 切正切餘線正線餘

54 中法四線 切餘切正線餘線正四三 九 一八 一 九一九八三八九 九一四 九三三四五七九 一 八 九一九 一八 九 七六三 九四四四 二 七 七五七 三四二九 五一三 八五五四 三 六 四九五 六 四九 二六二 八六六四 四 五 二三四 八六五九 一二 八七七四 五 四 七二 三七九 八五一 七八八四 六 三 八 一 六一 一 二九八九 五 一 七九九四 七 二 六四九九 四五 四八九 三五 七 一五 八 一 四八七九 六一二 五一九九 六一二五 九 三 二二六九 八七三 八四九 六二三五 七 九 六四九 四五 五九八 五三四五 一 八 八九二九 二 七 三四八 四四五五 二 七 七三一九 三六八 九七 四五六五 三 六 五七九八 五二 一 八三七 三六七五 四 五 三一八八 七八一一 五八六 二七八五 五 四 一五六八 九四三一 三三六 二八九五 六 三 九八四八 一一五一 八五 一九 六 七 二 七二三八 三七六一 七二五 二六 八 一 六六一八 四三八一 五七四 九 三六 九 二 四 八 六九九一 二二四 八一四六 八 七十 九 二四八七 八五一二 九六三 七二五六 一 八 八六七 二三二 七一三 六三六六 二 七 九一五七 一八四二 四六二 五四七六 三 六 七五三七 三四六二 一一二 四五八六 四 五 五九一七 五 八二 八五一 三六九六 五 四四三 七六六九二六 一二七 七六 三二七八六八二一三三五 一八一七七 二一一七六九八二三 四一九九九八二七八 一九四五六一五四三七四九八九三七九 一 八八三六五一 一 二一六三 四九八三一九九 七 五七 九 五五 切正 切餘 線正 線餘

55 切餘切正線餘線正四三中 九五五九五五四 四三八九 八九五二 一五七九一 八二九七五八 二四八二九六三一一二 七九二六五一七三四七七八七四二一三 六七六四五三三五四五二八八五三一四 五四 三五六九六四三七七九六四一五 四一四一五九五八四一二七 八五一六 三九七九四一二 五九六六一九六一七 二六一八四四八一五七一六二 八一八 一三五六四七四三五六六五二一九一九 六 一九四四九 五五四一五三二 二 四 九八二三四二七六五二六四四三一二一 八五六一四五三八五 一四四四二二二 七三 四七九九五八五三五五三二三 六 四八三 六一六六 三六六四二四 五八七六三二二三六四五二六七五二五 四五一五三五八四六二 二七八六二六 三三五三三七四六六 五一七九七二七 二 九一三 一八六八九 七 九二八 一八二 三二七九六六四 六一九九八一 三九 五 六六八二四三一七四九九八二一三 五 九三 七二七九二七二四九八三二三一六八一四五二九五四七九八八九四三三二十九七九七三二一二六七七三八九五四三三 六六一二二四八七七五八七九六五三四 五四五 二六四九七三三七九七六三五 四二九八一八 一八一八六九八七三六 三 三七一 七二八九二六九九八三七 二七六五一三三四八六七五九 四八 一五 四一五九五八四二五九一一四九 四 三四二一六一 一 七五七八 二七四五一九九 九二二四 六 切正 切餘 線正 線餘 法 四 線

56 中法四線 切餘切正線餘線正四三 九 九四八 一五一九二八九 三二五 四七六七四七九 一 八 六八六 四一三九 二七四 六八七七 二 七 二二五 八七四九 一二四 九九八七 三 六 九五三 一四六九 七三 一一 八 四 五 五九一 五 八九 八一三 三二一八 五 四 二三 七一 一 八六九九 七六二 五三二八 六 三 九六八九 一三一 三八九 六一二 七四三八 七 二 五 七九 五九二 五六一 九五四八 八 一 二四五九 八五四 三一一 一七五八 九 九 九七三九 一二六 二六 三八六八 一 九 五一二九 五八七 一一 八一九九 五九七八 一 八 二五 九 八四九 九五九 七 九八 二 七 九八八八 一一一一 八 九 九一 九 三 六 六二七八 四七二一 七五八 一三一九 四 五 三六五八 七三四一 五 八 三四二九 五 四 九九三八 一 六一 四五七 四五三九 六 三 六三二八 四六七一 二 七 六六四九 七 二 三七 八 七二九一 一五六 八七五九 八 一 一九七 九 二 九九五 九八六九 九 八 七四七七 三五二二 八四五 一 八九 二 六十九 九 四八五七 六一四二 六九四 二一九九 一 八 一二四七 九七五二 五四四 四二 五七九 二 七 八五二七 二四七二 三九三 五三一 三 六 五九 七 五 九二 二四三 七四二 四 五 二三九六 八六 三 九二 八五三 五 四九六七六一三二三八三二九六四 六 三六 六六四九三三七八一 八五 七 二三四四六七五五三五三一二九六 八 一一八二六九一七三三八 三 八 九 七 八一一六六一 一 二八八三 二三 七一九九 四一九 三 五五 切正 切餘 線正 線餘

57 切餘切正線餘線正三三中 九五八四二五一五七二八九四三 九一九九九四五六四七九一 八一二三二九七六七三八九一六六六二 七八五一二二四八七二三九四七七六三 六四九九一六 八一八八七八八六四 五 三八一 七一八 三八九九九六五 四七六六一三三三八九七七二一一七六 三三 五一七九四八八二七四二二七七 二 四三一 六六八六七六七三三七八 一 六七一一 四二八八 五二六 九四四七 九 三一 一七一 一 七八九八 四七五八一九九 二六五七 百 六五 法 四 線 六十八 切正切餘線正線餘

58 中法四線 切餘切正線餘線正三三 九 七 四七 三九五二二八九 四五五 七四一三四七九 一 八 三四二七 七五七二 三 五 一六二三 二 七 八七 七 二二九二 三五四 五七三三 三 六 四一九六 六八 三 二 四 九八四三 四 五 九四七六 一五二三 二五三 二 六三 五 四 五八五六 五一四三 一 三 六一七三 六 三 一二四六 九七五三 一五二 三八三 七 二 七五二六 三四七三 二 四四九三 八 一 二九 六 八 九三 五一 八五 四 九 三 八二九五 二七 四 九九 一七一四 七 九 四六七五 六三二四 九四 二九九 五八二四 一 八 六五 四四 八九九 八九三四 二 七 六三四五 四六五四 八四九 二一五四 三 六 二七二五 八二七四 七九八 六二六四 四 五 七 一五 三九八四 六四八 九三七四 五 四 三四九四 七五 五 六九七 二五八四 六 三 九七七四 一二二五 五四七 六六九四 七 二 五一六四 五八三五 四九六 九七 五 八 一 一五四四 九四五五 四四六 二九一五 九 二 七八二四 三一七五 三九五 六 三五 八 六十八 九 三二一四 七七八五 二四五 九一四五 一 八 九五九三 一四 六 一九四 二三五五 二 七 五九七三 五 二六 一四四 五四六五 三 六 二三六三 八六三六 九三 八五七五 四 五 八六四三 二三五六 九三三 一七八五 五 四四 三三六九六六八八二四八九五六 三 四一三 六八六七三二七九 六七 二六七九二四二 七六八一 一二六八 一二一八二八八一七五三一三二三六九 一 九四六二七一 一 一五三七 五八 九一九九 六三四六 九 六五 切正 切餘 線正 線餘

59 切餘切正線餘線正三三中 九一五三二九四六七一八九六五 六 七九三七九一 八五八一二五一八七七 二二九九一二八九二 七 二 二 八九七七五九六三九九三 六五五八一五四一八七 九二五 四七九四 五 九六一 一三八七五八七六一 五 四五二五一五七四八七 八二八二 六 三 六三一 四六八七五七七九三 七 二五九一一五 八八七 七二一五 八 一 三 一 七九八七五六七二六 九 六 五六八 五三一九七 六二四七 四 九 七 三九七五五七五八 一 八五三五 五六四九七 五二七九 二 七一七三 九二六九七五四七八 一三 六六 二 四九七九七 四二 二一四 五一四 八一 一九五九九七五三六一三一五 四六七八九四二一 二八九七 三一三四一六 三一一七九九八二 七五二六四五一七 二七四五九三五四 七 二 六六一八 一二八三九八一六 七五一五七七一九 五 七一二九三八七 七 一九八八一 五 九二五 九八四九 六五 四 二一六八八八八八二一一一六 一二九九八一一二二十七七三二七八七七二一六五九三三二二三 六九五五八一四四一六 九七四三二四 五四九三八六 六一六五八二六四二五 四九二二八一七七一五 八六七五二六 三五六 八五三九一五五七 九六二七 二 九七 一二五 七四 八二八 一六三七七四六二二四五六八一九二九 四 一七五七七一 一 九二四二 四 六 二九九 三三 三 六 切正 切餘 線正 線餘 法 四 線

60 中法四線 切餘切正線餘線正三三 九 七一三七 三八六二一八九 二四五 五二二六三七九 一 八 一五一七 九四八二 三九四 二四三六 二 七 五八九六 五一 三 四四四 九五四六 三 六 九一八六 一八一三 四九三 五七五六 四 五 三五六六 七四三三 五四三 二九六六 五 四 七八四六 三一五三 六九二 八 八六 六 三 二二三六 八七六三 六四二 五二九六 七 二 六五一六 四四八三 七九一 一四 七 八 一 九九五 一 四 八四一 七五一七 九 九 四二八五 六七一四 八九 四七二七 一 九 九五六五 一四三四 九四 三二九九 九三七 一 八 三九四五 七 五四 九九九 六 五七 二 七 八二三五 二七六四 五九 二二六七 三 六 二六一五 八三八四 九 八三七七 四 五 六九九四 四 五 一五八 五五八七 五 四 一三八四 九六一五 一 八 一七九七 六 三 五六六四 五三三五 二五七 七八 八 七 二 五四 五五 二 七 三 二八 八 一 四三三四 六六六五 三五六 八一三八 九 八 九六一四 一三八五 三 六 四三四八 二 六十七 九 三 四 七九九五 四五五 五五八 一 八 八三八三 二六一六 四 五 六六六八 二 七 三七六三 七二三六 四五四 二八七八 三 六 七 五三 三九四六 五 四 七九八八 四 五 二四三三 八五六六 五五三 三一 九 五 四七七一三三二八六五 三八二一九六 三一一 三九八九六五五二四四二九七 二六四八二四五一七六 二 六三九八 一一八六二九一三七六五一五七四九九 七 六一五二八一 一 四八四七 六 一二二九九 九五九 三 六五 切正 切餘 線正 線餘

61 切餘切正線餘線正二三中 九七七九八三二 一一八九四三 四二九九六五 五三七九一 八一一八八九八一一五八九四七一五二 七五四六八五五三一六三九一九二五三 六九七四八一二五一六八八八 四五四 五三一三八七八六一七三八五二五五五 四七四一八三五八一八八七二四六五六 三一八九七九一 二九三七八五七五七 二五一八七五八一二 九六五七八五八 一 九四六七 一五三二 一四六 二九九五 九 三八四七八一 一 七一五二 一九五三二九九 九 一六 百 七五 法 四 線 六十六 切正切餘線正線餘

62 中法四線 切餘切正線餘線正二三 九 四七九三 六二 六 八九 七九四 三二五一三七九 一 八 七 八三 三九一六 八四四 一四六一 二 七 四六三 六三六 四 九五七一 三 六 四七四三 六二五六 一五三 八七八一 四 五 七 三三 三九六六 三 三 六九九一 五 四 四一三 六八六 四五二 四一一二 六 三 三七九二 七二 七 六 二 三三二二 七 二 六 八二 四九一七 七五一 一五三二 八 一 九三六二 一六三七 八 一 九六四二 九 三 三七四二 七二五七 六 七八五二 七 九 六 三二 四九六七 一一 五二九九 五 七二 一 八 九三一二 一六八七 二六九 三二八二 二 七 三七九一 七二 八 四一九 一四九二 三 六 六 八一 四九一八 五六八 九五 三 四 五 九三六一 一六三八 六一八 七七一三 五 四 三七四一 七二五八 七六七 五九二三 六 三 六 三一 四九六八 九一七 二一四三 七 二 四一一 六八八 七六 三五三 八 一 三七九 七二 九 一二六 八四六三 九 二 七 八 三九一九 二七五 五六七三 八 六十六 九 四六 六三九 三二五 三八八三 一 八 四七四 六二五九 四七四 一 四 二 七 七 三 三九六九 六二四 八一一四 三 六 一四一 九一 一 九五八九 七七三 六三二四 四 五 五七九九 五二 一八九 八二三 三五三四 五 四八 八九二九一 九七二 七四四六 三二四六九八五三 三二八八五四七 二六七四九四二五 一八一五 七四八 一 一三九 九六 二三一二二八四九 一 三四一九八一 一 七五八 三八 四二九九 九三九四 九 七五 切正 切餘 線正 線餘

63 切餘切正線餘線正二三中 九六九九八四 一 八九三四九八四九七二七九一 八八二八八二七一一五九八七六 八二 七 六六八 四三一七四八七八一八三 六二九四八八 五一九九七七 三八四 五五二三八五七六一一五七七二四八五 四七五一八三四八一三 七六四五八六 三九八九七一一 二五五六六六六八七 二二二八七八七一二七 六五八七八八 一四五六七六四三二九五五五 九八九 六 七八四七三一五二一一五四二 九 四 九九一三七一八六二三六四四四一九一 八二五一七八四八二五一四三六二九二 七四八九六六一 三七六三三八三九三 六七一八六三八一三九一三二 五九四 五九四六六一五三三 七二一二六九五 四二八四六八一五三二二二 四七九六 三五一三六五八六三四七一九五八九七 二七四一六三五八三六二一八七九九八 一 八九五 二 四七七 八九 三七九九 五 三一八五七八一四九二 六二九九七一二 五 九五四六五五五三四一八九五三三 一六八八七四五二二五四三三九四五四 二十五七一一三五九八六四四八八三七五 三 六四四一五六五八四六三八二九六 四 五七七九四三二 五八八七一一八 五 四 一八四 九一五九三七 三九 六 三二四六四八五三五一九六八四 一七 二五七四四五二五五二四六七六一一八 一八 三四二九六五四九五五八二一九 四 一四一四九一 一 九五八五 五四五五二九九 四 四一 六 切正 切餘 線正 線餘 法 四 線

64 中法四線 切餘切正線餘線正二三 九 二四 四 八五九五九七九 三七三 一三三四二七九 一 八 三七八三 七二一六 六二三 二五四四 二 七 五 七三 五九二六 八七二 三七五四 三 六 六三五三 四六四六 一三二 五九六四 四 五 八六三三 二三六六 三八一 六一八四 五 四 九九一三 一 八六 六三一 七三九四 六 三 一三 三 九六九六 八八 八五 五 七 二 二六八二 八三一七 一四 八二九九 九七一五 八 一 四九六二 六 三七 三九九 三五 九 九 六二五二 四七四七 六四九 二四五 一 九 七五三二 三四六七 八九八 一四五五 一 八 九八一二 一一八七 一五八 二六六五 二 七 一二 二 九七九七 三 八 三八七五 三 六 二五八一 八四一八 六五七 三 九五 四 五 四八六一 六一三八 八 七 四二 六 五 四 六一五一 四八四八 六六 五四一六 六 三 八四三一 二五六八 三一六 五六二六 七 二 九七一一 一二八八 五六五 六八三六 八 一 一一 一 九八九八 七一五 六 五六 九 八 三四八 七五一九 七四 六二六六 二 六十五 九 五七六 五二三九 二二四 七四七六 一 八 七 五 三九四九 四七三 七六八六 二 七 九三三 一六六九 六二三 七八九六 三 六 一七一 九二八九 八七二 七 一七 四 五 三 二 一 七九九九 一三二 八二二七 五 四五三八九五六一 八九三八一八四三七六 三七六六九三三三 五三一八六四七七 二九九四九一 五 七八 八八五七八 一一三三九九六六 九三 七二九九八 七七九 七 四六一九九一 一 六三八 一九九六二九九 八二八七 三 七五 切正 切餘 線正 線餘

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48 東華漢學 第20期 2014年12月 後 卿 由三軍將佐取代 此後 中大夫 極可能回歸原本職司 由 於重要性已然不再 故而此後便不見 中大夫 記載於 左傳 及 國 語 關鍵詞 左傳 中大夫 里克 丕鄭 卿 東華漢學 第 20 期 47-98 頁 東華大學中國語文學系 華文文學系 2014 年 12 月 春秋晉國 中大夫 考 黃聖松** 摘要 本文討論 左傳 國語 所載 中大夫 之含義及職司內容 認為 中大夫 不可與 上大夫 下大夫 排比 視為 大夫 等 第 左傳 所載 大夫 一詞前常冠以其他名詞 如 中軍大夫 上軍大夫 下軍大夫 七輿大夫 公族大夫 及 僕大 夫 筆者認為 冠諸 大夫 前名詞即是該大夫職司範圍

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