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1 第 33 卷第 6 期 Vol.33 NO.6 重庆工商大学学报 ( 自然科学版 ) J Chongqing Technol Business Univ (Nat Sci Ed) 016 年 1 月 Dec.016 doi: / j.issn x 一个解析几何定点问题引发的思考曾昌涛 1, 谭卫国 (1. 重庆市第八中学校, 重庆 ;. 重庆市第十八中学校, 重庆 40000) 摘要 : 从以学生角度解决一个具体椭圆定点问题入手, 介绍了求解定点问题的方法并进行了升华归纳 ; 通过变式拓展过渡到定值问题并归纳其解题思路, 从教师角度为方便解题和命题需要, 加强了椭圆类定点定值问题的横向探究和双曲线抛物线的纵向探究, 并形成了类题模板关键词 : 定点 ; 定值 ; 变式拓展 ; 圆锥曲线命题模板中图分类号 :O13 文献标志码 :A 文章编号 : X(016) 研究背景圆锥曲线是解析几何中的重点与热点内容, 知识综合性强, 对学生逻辑思维能力计算能力等有很高的要求定点定值问题是解析几何中的典型代表, 这类问题以圆锥曲线为载体, 重点考查学生的方程思想转化与化归思想数形结合思想运动变换思想的应用, 研究的是一个几何对象 ( 点直线等 ) 在运动变化中保持不变的性质, 问题核心是在变化中寻求不变解决这类问题长期存在两个问题 : 对学生而言, 期盼了解这类问题如何求解? 有无章法可依? 对教师而言, 关注点是这类考试题是怎样命制的? 是否有规律可寻? 下面对一道高考试题进行探究性学习, 在试题深入拓展延伸方面作些探索, 通过类比到双曲线抛物线以期达到举一反三触类旁通的教学效果例题 1(007 年高考 ) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 如图 1 所示椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3, 最小值为 1 (1) 求椭圆 C 的标准方程 ; () 若直线 l:y kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点 (A,B 不是左右顶点 ) 且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 D, 求证 : 直线 l 过定点, 并求出该定点的坐标图 1 例题 1 椭圆 C 坐标图 Fig.1 Coordinate chart of ellipsec of example 1 基于学生层面的教学.1 强化试题类型, 点拨解题思路例题 1 是典型的解析几何中椭圆的定点问题定点问题的求解方法 ( 涉及直线切线过定点曲线收稿日期 : ; 修回日期 : 作者简介 : 曾昌涛 (1968-), 男, 四川广安人, 研究员, 从事中学数学教材教法和教育教学理论研究.

2 5 重庆工商大学学报 ( 自然科学版 ) 第 33 卷过定点或其他几何图形过定点等问题形式 ): 先考虑特殊位置过定点的情形, 再由严密的推理探索一般情况下的结论 ; 直接推理, 合理引参在变形过程中消去参数, 得到定点 ( 引参消参, 变量无关 ) 求解步骤如下 : 选择恰当参变量 ( 假设为 λ); 求出动直线的方程 ; 利用含参变量的方程有无数多个解的条件或其他特点, 求出定点坐标例如 : 把直线写成形如 f(x,y) +λg(x,y) 0( 对 f(x.y) 0 λ 恒成立 ), 解关于 x,y 的方程组 { 得定 g(x,y) 0 点坐标也可写成形如 f 1 (x,y)+λ f (x,y)+λ f 3 (x,y) 0 等依据如下 : 简单直线系 ( 特殊形式 ): 点斜式 y-y 0 k ( x - x 0 ), 直线必过定点 (x 0,y 0 ); 斜截式 y kx+b, 若 b 为常量, 则直线过定点 (0,b), 若 b 为常量, 则直线过 k 定点 - b ç è k,0 ö, 若 b ak 或 k b a, 则直线过 ( -a,0) (a 为常数 ) 曲线系 : 把曲线方程变为 f 1 (x,y) +λf (x,y) 0 f 1 (x.y) 0 (λ 为常数 ), 解方程组 {, 即得定点 f (x,y) 0. 疏理解题过程, 归纳解题模型解 : x 4 + y 3 1; 思路 : 直线系求解, 直线中 k,m 为双变量, 寻求 m f(k) 或 k f(m)( 一次函数 ) x mk 3 + 4k,x 1 4(m - 3) 3 + 4k y 1 y (kx 1 + m)(k + m) k x 1 + mk(x 1 + ) + m 3(m - 4k ) 3 + 4k 因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(, 0), 所以 DA DB 0 即 (x 1 -,y 1 ) ( -,y ) 0,y 1 y +x 1 -(x 1 + ) (m -4k ) 即 + 4(m -3) + 16mk 3+4k 3+4k 3+4k + 4 0,7m + 16mk+4k 0, 解得 m 1 - k,m - k 7, 且满足 3 + 4k -m >0 当 m - k 时,l:y k( x - ), 直线过定点 (, 0), 与已知矛盾当 m - k 时,l:y k x- ö ç, 直线过定点 ç 7 è 7 综上可知, 直线过定点, 定点坐标为 ç 从上述解答过程得到以下思考 (1) 解后反思若未给出直线, 可先特值探求直线斜率不存在的情形, 找到定点, 明确解题方向后再进行一般推证 ì y n- - y n- -1 由 í 得 7n -16n+4 0, n 或 î 4 +y n ( 舍 ), 得直线过定点 ç 再进行论证 ( 图 ) 过程 : 设 A(x 1,y 1 ),B(,y ) ìy kx+m 由 í î 4 +y 3 得 1 (3 + 4k ) + 8mkx + 4(m - 3) 0 Δ 64m k - 16(3 + 4k )(m - 3) > k - m > 0 Fig. 图未给出直线的坐标图 Coordinate Chart without straigtht line

3 第 6 期曾昌涛, 等 : 一个解析几何定点问题引发的思考 53 () 变式教学其他不变, 若以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的左顶点, 求直线 l 所过的定点坐标 ( 从解答过程中寻求变化之处易得直线 l 过定点 - ç (3) 归纳模型椭圆中的顶点直角三角形的斜边所在直线过定点 ; 方法为直线系过定点 (4) 触类旁通椭圆类比到双曲线抛物线得 : 三大圆锥曲线 ( 椭圆双曲线抛物线 ) 中顶点直角三角形的斜边所在直线过定点.3 从定点到定值, 变式拓展教学为了更高效地教学, 就必须以点带面扩大试题的教学功能, 对试题进行改编, 变式拓展, 迁移引申, 力求变出精彩, 贴近高考, 使课堂教学内容丰实, 教学思路像水一样灵动 y 1 例题已知椭圆 E( 图 3) 的标准方程为 + 变式 1(009 年辽宁高考改编 ) 若点 G(,0), 动直线 l:y kx+m 与椭圆 E 交于不同两点 P,Q, 若 x 轴是 PGQ 的角平分线, 证明直线 l 过定点时, 在 x 轴上是否存在一点 R, 使得 x 轴是 ARB 的平分线? 若存在, 求出 R 的坐标变式 4 过定点 (1,0) 的直线 l 交椭圆 E 于 P Q 两点, 试问在 x 轴上是否存在一个定点 M, 使 MP MQ 为定值? 若存在, 求出这个定点 M 的坐标 ; 若不存在, 说明理由变式 5( 重庆高考改编 ) 设动点 T 满足 OT OA + OB, 其中 A B 是椭圆 E 上的点, 直线 OA OB 斜率之积为 - 1, 问是否存在两定点 F 1 F, 使 TF 1 + TF 为定值, 若存在, 求点 F 1 F 的坐标变式 6(015 年陕西高考 ) 经过 ( 1,1), 斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P Q( 均异于点 A(0,-1) ), 证明 : 直线 AP 与 AQ 的斜率之和为变式 4 5 是与存在性有关的定点定值综合问题 ; 变式 6 是证明定值的问题变后反思总结定值问题的求解方法如下 : (1) 定值问题的求解方法 ( 涉及斜率和或积数量积线段面积比例等的定值内容 ) 从特殊入手, 求出定值, 再严格推证 ( 特殊探路, 把原来一个图 3 椭圆 E 的坐标图结论未知的问题转化为一个有明确方向的证明问题 )( 特殊探路, 一般论证 ) 直接推理计算, 通过消参得定值 ( 引参消参, 变量无关 ) () 求解步骤一选, 选择参变量 ; 二求, 求出函数的解析式 ; 三定值, 化简解析式得到定值 ( 函数必为常值函数 ) Fig.3 The coordinate chart of ellipes E 变式 (01 年福建高考改编 ) 设动直线 l: y kx+m 与椭圆 E 只有一个公共点 P, 且与直线 x 交于点 Q, 在坐标平面内是否存在定点 M, 使得以 PQ 为直径的圆恒过定点 M? 若存在, 求出这个定点 M 的坐标, 若不存在, 说明理由变式 3( 变式 1 的逆向思考 ) 过定点 (1,0) 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A B, 当直线 l 变化 (3) 依据变中之不变, 函数 ( 变量 ) 值 ( 不变 ) 转化常 (4) 基本结论椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和为定值 ; 双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为定值 ; 抛物线上的任意一点到焦点的距离与到准线的距离的比等于 1 若 AB 为抛物线 y px ( p > 0) 的焦点弦,

4 54 重庆工商大学学报 ( 自然科学版 ) 第 33 卷 ì x 1 p A(x 1,y 1 ),B (,y ), 则 í 4, 三大圆锥曲线 îy 1 y -p ( 椭圆双曲线抛物线 ) 中, 若过焦点 F 不平行于坐标轴的弦为 AB, 则径长 ) 1 AF + 1 BF 为定值 3 基于教师命制试题的背景索源 4 L ( L 为通师生解题有不同的思考视角, 学生做题只须想出用什么方法解决问题, 而教师做题考虑的问题显然多得多, 既要考虑用高效的方法解决问题, 还要思考怎样给学生讲 ( 包括维系试题的支撑点通性通法前后知识网络及联系 ), 更重要的是要加强试题研究, 找到试题的源头一类题的解题规律, 形成一种思维上的解题和命题模板, 达到放马于原野之上, 牵其于暮归之时的境界 3.1 一个猜想的启发例题 1 中问题 () 的结论可翻译成 : 若动直线 l 与椭圆 4 +y 3 1 相交于 A B 两点,D 是其右顶点, 当 DA DB ( 或 DA DB 0 ) 时, 直线 l 过定点 P ç 猜想 : 定点 P ç 的横坐标与椭圆长短半轴 a,b 有必然联系, 对于例题而定义, 动直线 l 与椭圆 a +y b 1 相交于 A B 两点,D 是其右顶点, 当 DA DB( 或 DA DB a 0) 时, 直线 l 过定点 Pç èa +b,0 ö P a(a -b ) ö è a +b 或其他浅层结论由猜想出发, 推证得到 : 或 (1) 若直线 l 与椭圆 a + y b 1(a>b>0) 相交于 A B 两点, D 是其右顶点, 当 DA DB 0 ( 或 DA DB a( a -b ) ö 0) 时,l 经过定点 è a +b () 若直线 l 与椭圆 a + y b 1(a>b>0) 相交于 A B 两点, D 是其左顶点, 当 DA DB 0 ( 或 DA DB 0) 时,l 经过定点 - a ( a -b ) ö è a +b ( 注 : 两个结论后面有推论 ) 3.1. 深度思考一般情况, 对于椭圆 a + y b 1 ( a>b>0), 经过定点 M(m,0)(m 0,m ±a) 的动直线 l 与椭圆交于 A,B 两点, 在 x 轴上是否存在定点 P, 使得 PA PB 为定值? 3. 纵向探究定理 1 ( 椭圆命题模板 ) 若过定点 M( m,0) (m 0,m ±a) 且不在 x 轴上的动直线 l 与椭圆 a + y b 1 ( a>b>0) 交于 A, B 两点, 在 x 轴上存在点 P(x 0,0), 使 PA PB 为定值 0 - a ( 其中, x 0 m (a +b ) +a (a -b ) ) a m 解 : 设 l:x ty+m 代入椭圆得 b (ty+m) -a y - a b 0, 化简为 ( b t +a ) y +b my+b (m -a ) 0, 设 A(x 1,y 1 ),B(,y ),p( x 0,0), 则 : y 1 + y - b m b t + a,y 1y b (m - a ) b t + a 由 PA PB (t +1)y 1 y +t(m-x 0 )(y 1 +y )+(m-x 0 ) ( t +1) b ( m -a ) +t( m-x b t +a 0 ) -b m b t +a +( m-x 0) b ( 0 -a )t +(b m -a b +a m -a m+a 0) 系数成比例 b t +a b ( 0 -a ) b b m -a b +a m -a mx 0 +a 0 a

5 第 6 期曾昌涛, 等 : 一个解析几何定点问题引发的思考 55 即 : x 0 m (a +b ) +a (a -b ), PA PB a m b ( 0 -a )t +a ( 0 -a ) b t +a 0 -a ( 定值 ), 故在 x 轴上存在定点 P( x 0,0), 使得 PA PB 为定值 0 -a ( 其中 x 0 m (a +b ) +a (a -b ) ) a m 特别地,PA PB 0 x 0 ±a( 左右顶点横标 ) m a(a -b ) a +b (x 0 a 时 ) 或 m - a(a -b ) a +b (x 0 -a 时 ) PA PB 0 m c x 0 c (a +b )+a (a -b ) a c (a +b )c ; m - c x a 0 c (a +b ) +a (a -b ) -a c - (a +b )c 于是得到如下推论 a 推论设过定点 M(m,0)(m 0,m ±a) 且不在 x 轴上的动直线 l 与椭圆 a + y b 1 ( a>b>0) 交于 A,B 两点 (1) 设对于椭圆的左顶点 ( -a,0),pa PB 0 动直线 l 过定点 M - a ( a -b ) ö è a +b ; 对于椭圆的右顶点 ( a, 0 ), PA PB 0 动直线 l 过定点 M a ( a -b ) ö è a +b () P ( x 0,0) 为 x 轴上的点, 若 x 0 - a c+b c, a 则 PA PB 0 - a ( 定值 ) 动直线 l 过左焦点 F( -c,0), 若 x 0 a c+b c a, 则 PA PB 0 -a ( 定值 ) 动直线 l 过右焦点 F(c,0) 通过以上探究深研, 形成了一类椭圆定点定值问题的命题模版, 教师可以任意设置数据命制成真题, 把椭圆问题推广到双曲线抛物线得到类似的性质 3.3 横向探究双曲线类似性质定理 ( 双曲线命题模板 ) 若过 P(m,0)(m 0, m ±a) 且不在 x 轴上的动直线 l 与双曲线 a - y b 1( a > 0,b > 0) 交于 A,B 两点, 则在 x 轴存在定点 P(x 0,0), 使得 PA PB 0 - a ( 定值 ) ( 其中 x 0 m (a -b ) +a (a +b ) ) a m 推论设过定点 M(m,0)(m 0,m ±a) 且不在 x 轴上的动直线 l 与双曲线 a - y b 1(a>0,b>0) 交于 A B 两点 (1) 则对于双曲线 (a b) 的左顶点 P( -a,0), PA PB 0 动直线 l 过定点 M - a(a +b ) ö è a -b ; 则对于双曲线 (a b) 的右顶点 P(a,0),PA PB 0 动直线 l 过定点 M a(a +b ) ö è a -b ( ) P ( x 0, 0 ) 为 x 轴上的定点, 若 x 0 - a c-b c, 则 PA PB a 0 -a ( 定值 ) 动直线 l 过左焦点 F( -c,0); 若 x 0 a c-b c, 则 PA PB a 0 - a ( 定值 ) 动直线 l 过右焦点 F(c,0) 考题链接 :A 是双曲线 4 -y 1 的右顶点, 过 A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于 M N, 问直线 MN 是否过定点? 若过定点, 求出该点坐标 ; 如果不存在这样的点, 请说明理由答案 : 直线 MN 过定点 p 10 ç è 3,0 ö 3.3. 抛物线的性质定理 3 ( 抛物线命题模板 ) 若过定点 M(m,0) (m 0) 的动直线 l 与抛物线 y px(p>0) 交于 A, B 两点, 则在 x 轴上存在定点 P(0,0), 使得 PA PB

6 56 重庆工商大学学报 ( 自然科学版 ) 第 33 卷为定值 m(m-p) 推论 1 若动直线 l 与抛物线 y px(p>0) 交于 A,B 两点,O 为坐标原点, 则 : (1) OA OB 0 动直线 l 过定点 M(p,0); () OA OB t 0 ( t 0 > - p ) 直线 l 过定点 M(p+ p +t 0,0) 或 M(p- p +t 0,0) 推论若直线 l 与抛物线 y px(p>0) 交于 A, B 两点, P 是抛物线上一定点 ( x 0, y 0 ), 当 PA PB 0 时, 直线 l 过定点 (x 0 +p 0,-y 0 ) 考题链接 : (006 年上海高考 ) 在平面直角系 xoy 中, 直线 l 与抛物线 y x 交于 A,B 两点 (1) 求证 : 若直线 l 过点 T(3,0), 那么 OA OB 3 是真命题 ; () 写出 (1) 中命题的逆命题, 判断它是真命题还是假命题, 并说明理由解 :(1) 略 ;() 逆命题为假命题, 直线 l 过点 T(3,0) 或 T( -1,0) 参考文献 (References): [1] 柯国庆. 解析几何中的一道亮丽风景线 [ J]. 学苑教育,010(16):50 51 KE G Q.Analytic Geometry in a Beautiful Scenery Line[J]. XUE YUAN Education,010(16):50 51 [] 厉强. 圆锥曲线中的定点定值问题 [ J]. 中学数学杂志 ( 高中 ),007():7 9 LI Q. Fixed Point Problem in Conic Curve [ J]. Editorial Department of Journal of Junior Mathematics, 007 ( ): 7 9 [3] 赵玲燕. 巧用变式探究的方法, 激活学生数学思维 [ J]. 课程教学研究,004(1):08 09 ZHAO L Y. By Using the Method of Variable Inquiry, Activating Students Mathematical Thinking [ J ]. Course Education Research,004(1):08 09 [4] 张萍. 解析几何中的定点与定值问题 [ J]. 数学之友, 013(4):75 77 ZHANG P.Fixed Point Problem in Analytic Geometry[ J]. Company in Mathematics,013(4):75 77 Thinking Based on the Fixed point Problem of an Analytical Geometry ZENG Chang tao 1, TAN Wei guo (1.Chongqing No. 8 School, Chongqing , China;. Chongqing No. 18 School, Chongqing 40000, China) Abstract: Based on a solving fixed point problem of an ellipse from the student angle, this paper introduces the method for solving the fixed point problem and makes summarization, generalizes the solution path from variant extension to definite value problem, in order to be conveniently solving the problems and set a question from teacher angle, consolidates the horizontal exploration for the fixed point and definite value problem of an ellipse and vertically studies hyperbola and parabola to form a class of problem templates. Key words: fixed point; definite value; variant extension; cone curve question set template 责任编辑 : 罗姗姗

资料分享 QQ 群 65 联系电话 : ( 朝阳一模理 9)( 本小题满分分 ) 已知中心在原点焦点在轴上的椭圆 C 过点离心率为点为其右顶点过点 A B 作直线 l 与椭圆 C 相交于 E F 两点直线 AE AF 与直线分别交于点 M N ⑴ 求椭圆 C 的方程 ;

资料分享 QQ 群 65 联系电话 : ( 朝阳一模理 9)( 本小题满分分 ) 已知中心在原点焦点在轴上的椭圆 C 过点离心率为点为其右顶点过点 A B 作直线 l 与椭圆 C 相交于 E F 两点直线 AE AF 与直线分别交于点 M N ⑴ 求椭圆 C 的方程 ; 资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 解析几何题型汇编一方法建议学而思高考研究中心武洪姣曲丹老师圆锥曲线对于一些必备的核心条件进行了解以后充分的练习题目以及掌握在解决题目的必要技巧方法主要选择好的方法二题型分类 (I) 向量表达相关的问题向量的数量积与角度问题直接考查向量的数量积计算分别是证明是定值求范围和证明存在定点 ( 海淀二模文 9)( 本小题满分