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黏章
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1 本文僅作本校教學之用, 版權所有仍屬原作者及譯者主要參考書目 :. Marcello Pagano, Kimberlee Gauvreau, Principles of Biostatistics, Second Edition, Duxbury, a division of Thomson Learning, Inc, 譯者 : 林為森, 陳怡君, 陳清浩, 陳俞成, 謝秀幸, 魏美珠, 生物統計原理第二版, 新加坡商亞洲湯母生國際出版有限公司, 2002

2 第二章資料敘述 (Data Presentation) 描述性統計 (descriptive statistics) 是組織和歸納觀察數值的方法, 可用來幫助研究者對一組資料整體特質作瞭解, 在本章節我們將會提到有關於數值資料的種類和幾種常見屬於描述性統計的統計圖形介紹數值資料的種類 (Types of Numerical Data):. 類別資料 (Nominal Data) 類別資料的數值本身沒有特定的順序, 而只是代表不同的類別或組別舉例來說性別或是疾病的有無, 在實際的研究上我們通常以代表男性, 0 代表女性, 而或 0 這兩個數字沒有特別意義, 只是方便我們處理資料或分析資料 2. 序位資料 (Ordinal Data) 如果某類別資料的分類之間有順序大小 ( 強度 ) 的含意時, 我們稱這種資料為序位資料舉例來說受傷的嚴重度我們可以分為, 致死性傷害, 2 嚴重傷害, 3 中度傷害和 4 輕度傷害, 因此在此例中, 數值越小代表受傷越嚴重, 但因序位資料的不具有等距特性, 只能做大小的比較 3. 等級化資料 (Ranked Data) 等級化資料是我們將收集到的數值資料依據最大到最小給予一個數字, 例如我們將美國 992 年十大死亡原因排序, 代表第一名的心臟疾病 ( 死亡人數 77,706), 2 代表第二名的惡性腫瘤 ( 死亡人數 520,578), 以此類推 4. 離散型資料 (Discrete Data) 離散型資料, 數字本身反映出真實測量的數值含意, 通常離散型資料只有整數, 不會有小數的存在, 並具有等距特質舉例來說, 每個月出生嬰孩的數目, 或每月死於交通意外事故的人數等等 5. 連續型資料 (Continuous Data) 連續型資料用來表現資料可被測量的量, 連續型資料的數值也不受整數的限制, 例如一個病患血中膽固醇的量環境中污染物的量等, 均可用連續型資料來表現在實務上, 研究者可能會將連續型資料轉換成離散型或序位資料等等, 進行不同的資料呈現或分析統計圖形 (Graphs):. 長條圖 (Bar Charts) 長條圖是用來表現類別或序位資料分佈的圖形, 通常長條的長度是用來表示某類別的個數或百分比長條圖的長條圖形通常寬度要相同, 而條和條之間也要有適當的間隔例如圖

3 圖長條圖 2. 直方圖 (Histograms) 直方圖主要是用來表現離散資料或連續資料分佈的圖形在橫軸的表現上, 組和組之間的標示為上一組組距最高值和下一組組距最低值的中間值, 例如課本圖 2.2 的 9.5mg/00ml, 在上一組區間為 80-9, 而下一組的區間為 20-59, 所以兩組之間以 9.5 來表示直方圖的長度可以用來表示每一個組所佔的人數或相對百分比, 長條的寬度反應組距, 長條的面積總和為 00% 或圖 2 為使用 SAS 統計軟體所繪製出的直方圖, 以組距的中間值來區分不同的組別圖 2 直方圖

4 3. 盒型圖 (Box Plots) 盒型圖有時候又稱為盒鬚圖, 主要將四分位數極端值和平均值表現於圖形上以圖 3 為例, 在盒子的底端為 25 百分位數值, 頂端為 75 百分位數值, 盒子中線為中位數, 而十字 (+) 表示資料的平均數鬚的長度表示, 以四分位數距的.5 倍長度來算 ( 四分位距為 75 百分位數值和 25 百分位數值的差, 也就是盒子的長度 ), 下鬚為距離盒子的底端.5 倍四分位數距內的最小觀察值和, 上鬚為距離盒子的頂端.5 倍四分位數距內的最大觀察值圖 3 盒型圖 4. 二維散佈圖 (Two-Way Scatter Plots) 用來表現兩個連續型資料之間的相關, 如圖 4

5 SAS 軟體小教學 :( 網頁連結 ) 圖 4 二維散佈圖此章節介紹四種圖形的 SAS 程式有興趣者請自行由網頁下載操作

6 第三章數值摘要測量 (Numerical Summary Measures) 介紹幾種數值摘要測量, 可分為資料集中趨勢和離散狀態兩部分來說明, 如此可以讓我們透過一些測量更瞭解手上資料的特性集中趨勢的測量 (Measures of Central Tendency):. 平均值 (Mean) 集中趨勢的描述中, 平均值或稱算數平均數最常被使用平均值就是把所有觀察值的資料加總然後除以觀察值的個案數, 我們定義 x ( 音 x-bar) 為平均值 x n xi n i = = 假設有一群氣喘病患肺功能狀況的資料於表, 而這一群病患 FEV 的平均值計算如下 : 3 x= xi 3 i= = ( )( ) = = 表氣喘病患 FEV 值和性別個案 FEV (liters) 性別個案 FEV (liters) 性別中位數 (Median) 中位數可以用來描述序位型離散型和連續型資料的集中趨勢其定義為一組資料的第 50 百分位數值如果資料個案數 (n) 為奇數, 那中位數為第 [(n+)/2] 個觀察值, 如果資料個案數為偶數, 中位數為資料第 (n/2) 和第 [(n+)/2] 資料的平均值以表的資料為例, 先將 FEV 由小排到大, 我們就可以得到 (3+)/2=7, 第 7 個資料數值 2.82 就是這一群病患 FEV 的中位數 2.5, 2.25, 2.30, 2.60, 2.68, 2.75, 2.82, 2.85, 3.00, 3.38, 3.50, 4.02, 眾數 (Mode)

7 第三個描述集中趨勢的測量為眾數, 眾數可以適用所有型態的資料其定義為一組觀察資料中出現次數最多的數值以表例, 在 FEV 變項沒有眾數, 而性別的眾數為, 因出現的次數為 8 次, 而 0 出現的次數為 5 次離散情況的測量 (Measures of Dispersion):. 全距 (Range) 全距的定義為資料中最大值減去最小值 2. 四分位距 (Interquartile Range) 四分位距的計算方式為資料中的第 75 百分位數值減第 25 百分位數值, 因此四分位距的範圍內包含 50% 的觀察值計算表中 FEV 四分位距, 第 75 百分位數值為 3.38, 第 25 百分位數值為 2.60, 所以四分位距為 = 變異數和標準差 (Variance and Standard Deviation) 變異數主要用來量化資料平均值和每一個觀察值的分散狀況, 然而標準差為變異數的平方根在實際應用上研究者比較常使用標準差, 因為標準差的單位和觀察值的平均數單位相同如果我們比較兩組資料的標準差, 標準差較小的一組, 表示該組觀察值的同質性較高, 資料比較集中變異數 (s 2 ) 的計算公式如下 : s x x n 2 2 = ( i ) ( n ) i= 計算表中 FEV 的標準差和變異數, 計算的過程如下 : 個案 x i xi 2 x ( x x ) i s xi i= 合計 = ( 2.95) = = 0.39 (3 ) 2

8 s 2 = s = = 變異係數 (Coefficient of Variation) 當研究者想要比較兩不同單位資料離散情況時, 可以使用變異係數變異係數是將資料的標準差除以平均值後乘以 00 表中 FEV 的變異係數計算如下 : s 0.62 CV = 00% = 00% = 2.0% x 2.95 SAS 軟體小教學 :( 網頁連結 ) 在 SAS 軟體中執行 Proc Means 可以輕鬆的幫研究者計算出上述的描述性統計, 結果如下表 The MEANS Procedure Analysis Variable : fev Mean Median Range Quartile Range Std Dev Coeff of Variation

9 第七章理論機率分佈 (Theoretical Probability Distributions) 變數 (variable) 具有可以被測量或分類的特性, 如果變數擁有不同的數值, 且數值的產生是由機會 ( 機率 ) 決定的, 這種變數稱為隨機變數 (random variable) 每個隨機變數都有對應的機率分佈, 這個章節我們將介紹幾種常見的機率分佈二項式分佈卜瓦松分佈和常態分佈二項分佈 (The Binomial Distribution): 當一個二項隨機變數可以簡單分為兩類成功和失敗, 例如生或死男或女疾病或健康, 這種變數我們稱為白努力隨機變數 (Bernoulli random variable) 舉個例子來說, 如果我們隨機在一般族群選取 3 位個案來分析可能的抽煙狀況, 假設在一般族群中抽煙率為 29%, 而我們有可能會觀察到 4 種不同的可能抽煙狀況,. 沒有人抽煙,2. 一位抽煙,3. 二位抽煙,4. 三位抽煙, 四種組合其可能發生的機率如下表, 我們將抽煙機率設為 p 個案個案 2 個案 3 機率抽煙人數 (-p) (-p) (-p) p (-p) (-p) 0 0 (-p) p (-p) 0 0 (-p) (-p) p 0 p p (-p) 2 0 p (-p) p 2 0 (-p) p p 2 p p p 3 因此四種組合的機率為下,. 沒有人抽煙 P(X = 0) = (-p) 3 = (0.7) 3 = 一位抽煙 P(X = ) = p(-p) 2 + p(-p) 2 + p(-p) 2 = 3(0.29)(0.7) 2 = 二位抽煙 P(X = 2) = p 2 (-p) + p 2 (-p) + p 2 (-p) = 3(0.29) 2 (0.7) = 三位抽煙 P(X = 3) = (p) 3 = (0.29) 3 = 當我們選取 n 個白努力隨機變數, 而事件成功的機率為 p, 我們描述這 n 個隨機變數各種事件組合的機率分佈, 稱為二項式分佈 (binomial distribution), 而 n 和 p 稱為分佈的

10 參數, 所謂參數就是用來描述整個機率分佈特質的數值, 當參數決定了, 整個機率分佈函數也決定了在二項式分佈中, 如果我們要計算特定事件的發生次數, 如前面的例子在一般族群中抽出 n 為個案, 而其中有 x 位抽煙的機率可以利用下面的公式計算 n! x P( X = x) = p ( p) x!( n x)! n x n p x = ( p ) x n x 如果研究者選取 0 位個案, 想瞭解這 0 位個案中可能會有多少人吸煙, 換句話說研究者想瞭解在這個固定樣本數目之下, 平均有多少個抽煙的個案, 平均值為 np, 變異數為 np(-p) 所以在樣本數為 0 位個案的情況下, 平均的抽煙個案數為 np = 0(0.29) = 2.9 而標準差為 np( P) = 0(0.29)(0.7) = 2.059=.4 卜瓦松分佈 (The Poisson Distribution): 我們設一個隨機變數 X 為一個人一年內會發生車禍的機率, 假設這個機率為理論上車禍的發生為一個二項的狀況, 也就是有車禍和沒車禍, 但因為事件的機率很低, 通常會有比較大的研究樣本數, 描述這種狀況的機率分佈稱為卜瓦松分佈 (Poisson distribution), 有時後我們也叫稀有事件分佈 (distribution of rare events) 把隨機變數 X 作為我們有興趣事件在固定時間內的發生數目, 而 λ( 希臘文, 音 lambda) 為事件發生的平均次數如果我們想要知道隨機變數 X 會發生 x 次的機率, 計算公式如下 : x e λ λ P( X= x) = x! 還記得在二項式分佈, 事件的平均次數和變異數分別為 np 和 np(-p), 如果發生機率很低, 也就是 p 很小,(-p) 就會很接近, 因此在卜瓦松分佈, 平均值和變異數是完全相同的, 且 λ 會隨著時間的區間長度成比例假設研究者隨機抽取 0,000 位民眾, 想要來看看在一年期間內事件發生的次數, 就先前的資料已知一個人一年內發生車禍的機率約為 , 所以就這 0,000 位民眾中, 一年內平均發生車禍的次數為 λ= np = (0,000)( ) = 2.4 而其中沒有任何民眾發生車禍的機率為 e (2.4) (2.4) P( X = 0) = = = !

11 而有 2 位發生車禍的機率為 e (2.4) (2.4) P( X = 2) = = = ! 2 常態分佈 (The Normal Distribution): 在前面介紹的兩種機率分佈, 隨機變數 X 都限定為整數, 而研究者常遇到的隨機變數可能不限於整數或計數, 可能是連續型態的資料, 例如身高血壓等和隨機變數僅限定於整數的機率分佈不同, 連續型態隨機變數 X 數值會接近無限種, 且組距的寬度會近乎於零, 如果我們用圖形來表示連續型態隨機變數 X, 幾乎為一條平滑的曲線, 這條曲線也稱為機率密度 (probability density) 在連續型機率分佈, 或是機率密度下, 隨機變數 X 有無限可能的數值, 任何一特定值的機率為零, 因此在連續型機率分佈下都是求特定 x 至 x 2 之間的機率, 也就是兩個數值之間所包含曲線下的面積常見用來描述連續型態隨機變數的機率分佈為常態分佈, 有時候又稱為高斯分佈 (Gaussian distribution) 或鐘型曲線 (bell-shaped curve), 其機率密度的公式如下 : f ( x) = 2πσ e 2 x µ 2 σ 其中 - < x <,π( 音 pi) 為一常數約 3.459,μ( 音 mu) 表示平均值, 而 σ( 音 sigma) 表示標準差, 所以常態曲線兩個參數分別為 μ 和 σ 因常態分佈可能會有無限組合的平均值和標準差, 我們通常只會製作一條特定曲線的表格, 也就是 μ=0 和 σ= 的曲線, 我們稱為標準常態分佈 (standard normal distribution) 在標準常態分佈中, 隨機變數稱為 Z, 而 Z 的結果以 z 來表示如果我們想要知道特定 z 值和比這個 z 值大的機率, 也就是 z 值右邊曲線下所佔的面積, 或是說 P(Z>z), 我們就可以透過表格輕鬆的得到結果, 不需要做複雜的計算這裡列出幾個 z 值和他對應右邊曲線下的面積 z 右尾面積如果我們想要瞭解介於 z =-.00 和 z =.00 的機率, 因標準常態分佈 μ=0 和 σ=, 所以該區間面積就是等於 μ±σ 之間的面積, 可以表示成 P(- Z ) 因為我們知道 P(Z >) 與 P(Z<-) 的機率和為

12 P( Z > ) + P( Z < ) = = 0.38 所以介於 z =-.00 和 z =.00 機率就是把整個曲線下面積, 減去兩端的面積, 計算方式如下 P( Z ) = [ P( Z > ) + P( Z < )] = 0.38= 我們可以透過下面的公式把任何一種常態分佈轉換成標準常態分佈 Z = X µ σ 舉例來說, 研究者知道美國 8 至 74 歲老人的收縮壓平均值為 29 釐米水銀汞柱 (mm Hg) 和標準差為 9.8mm Hg, 而收縮壓資料的分佈接近於常態如果研究者想要找出一個收縮壓的切點 (x), 能把整個族群中收縮壓最高 2.5% 的人找出, 也就是 P(X>x)=0.025 查表得知 z=.96 的右端尾巴面積為 0.025, 我們就可計算收縮壓的切點或 z=.96 x 29 = 9.8 x = 29 + (.96)(9.8) = 67.8 因此約有 2.5% 民眾的收縮壓值高於 67.8 mm Hg, 或是說有 97.5% 民眾的收縮壓值低於 67.8 mm Hg 如果今天研究者想要瞭解在一般族群中有比率的人血壓高於 50 mm Hg, 計算方式如下 z = = 而 z =.06 的右端尾巴面積約為 0.45, 因此大約有 4.5% 的民眾血壓高於 50 mm Hg SAS 軟體小教學 :( 網頁連結 ) 變數是否符合常態分佈? 是資料分析者化研究者常問的問題, 在 SAS 軟體之中只要執行 Proc Univariate 可得到是否符合常態分佈檢定和 Q-Q Plot (quantile-quantile plots) 如以表的 FEV 來說明此變數是否符合常態分佈, 結果如下表, 以 Shapiro-Wilk 檢定來判斷,P 值為大於 0.05, 因此無法拒絕虛無假設, 即 FEV 變數為常態分佈在 Q-Q Plot( 圖 5) 中如果變項 (+) 愈落在對角直線, 此變項分佈愈接近和常態分佈, 這是用圖形來判斷資料是否遠離常態分佈的方法 Tests for Normality Test Statistic p Value Shapiro-Wilk W Pr < W Kolmogorov-Smirnov D Pr > D >0.500

13 Tests for Normality Test Statistic p Value Cramer-von Mises W-Sq Pr > W-Sq > Anderson-Darling A-Sq Pr > A-Sq > 圖 5 Q-Q Plot 主要參考書目 :.Marcello Pagano, Kimberlee Gauvreau, Principles of Biostatistics 2E, Duxbury, a division of Thomson Learning, Inc, 譯者 : 林為森, 陳怡君, 陳清浩, 陳俞成, 謝秀幸, 魏美珠, 生物統計原理第二版, 新加坡商亞洲湯母生國際出版有限公司, 2002

統計課程目錄95

統計課程目錄95 統計課程 10.0.1 起統計學上課講義 : 上課內容老師自訂講義參考書籍 : 統計學 3 版劉明德著全華出版實用統計學 ( 第二版 ) 東華書局林真真著上課內容 : 基本統計理論概念, 由老師授課學生需配合練習成績計算 : 平時 ( 含出席尚可