變異與管制圖 VARIAION AND CONTROL CHART

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融莞孙
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1 統計製程管制楊素芬特聘教授 Distinguished Prof. Su-fen Yang Department of Statistics National Chengchi University Taipei, 116, Taiwan, ROC SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 1

2 1. 統計學的意義問題 --- 資料收集 -- - 資料整理與解釋 -- - 資料分析 --- 資訊獲得 --- 決策 (sample or population) (for samples) DOE Figure, Table Statistical Inference Quality Problem Process Shape of Distri. Regression Analysis Problem Solving Questionnaire Central Tendency ANOVA( 因果關係 ) Decision Making Dispersion (To know property of population) Ex: 欲了解產品特定品質特性 (X) 之製程能力已知製程穩定下收集約 30 個樣本組次數分配圖表 Shape of Distri.,Central Tendency( X ),Dispersion( 2 S ) 推論, 計算 Ca, Cp, Cpk 製程能力需改進? µ, σ 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 2

Regression Analysis Problem Solving Questionnaire Central Tendency ANOVA( 因果關係 ) Decision Making Dispersion (To know property of population) Ex: 欲了

3 2. 資料種類與來源 2.1 資料種類 (1) 文字資料 : 意見或問題等以文字表達 (2) 類別資料 (or 屬性資料 ): 職業別, 滿意度, 性別 (3) 計數值 (discrete data or attribute data): 不合格數, 缺點數, (4) 計量值 (variable data or continuous data): 長度, 強度經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 3

4 2.2 資料來源初級資料 : 由實驗或問卷調查或觀察收集到的資料 ( 科技, 醫, 農, 生, 化 ) 次級資料 : 得到的資料乃經由他人或機關收集及整理過的, 如 : 行政院主計處的家庭所得調查報告, 施政滿意度調查報告... ( 人文社會, 衛生署 ) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 4

5 3. 母體與樣本 3.1 母體 (population): 有興趣的個體 (or 對象 ) 之所有觀測值所形成之集合 EX: 一盒子內螺絲長度之全部測定值所形成之集合 EX: 全校員工之薪水所形成之集合 EX: 全校同學之身高所形成之集合經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 5

6 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 6 參數 (parameter): N x x N i i N i i = = = = ) (, N µ σ µ

7 3.2 樣本 (sample): 母體之一部份 EX: 公司隨機抽出 10 個螺絲其長度測定值所形成之集合 EX: 全公司抽取 120 員工之薪水所形成之集合 EX: 全校抽取 1000 同學, 其身高所形成之集合經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 7

8 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 8 統計量 (statistic): n x X n i i = = 1 1 ) ( = = n x x S n i i Random Variable

9 4. 抽樣方法 4.1 普查缺點 : 費時, 費力, 成本高, 人為錯誤優點 : 可得母體資料, 結果可能較可靠 4.2 抽樣調查缺點 : 若樣本不具母體代表性推論, 結果較不可靠優點 : 省時, 省力, 成本低經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 9

10 4.3 抽樣方法 : 簡單隨機抽樣 (Simple random sampling): 假設母體中全體元素能編列成抽樣名冊, 元素個數為 N, 由其中隨機抽 n 個元素形成隨機樣本, 而每一組可能的隨機樣本都有相同被抽中的機會, 此種抽樣方法稱為簡單隨機抽樣經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 10

11 EX: N=3, {1,2,3}, n=2 ( 不放回 ) <sol> 可能的樣本組數 =3, 分別為 (1,2),(1,3),(2,3) 每一組可能的隨機樣本被抽中的機會 =1/3. (note, a random sample, X1,X2,,Xn~iid) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 11

12 分層隨機抽樣 (Stratified Random Sampling) 將母體依某特性分成數個互斥的層別, 然後就各層別分別進行簡單隨機抽樣, 此種抽樣方法稱為分層隨機抽樣 Note: 層間差異大, 層內差異小經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 12

13 EX: 全公司有 2000 位員工, 依部門人數比例共抽取 20 人代表公司出國考察, 則應如何抽樣? <sol> 各部門為層別設部門 1, 500 位, 佔公司人數比例 0.25 部門 2, 1000 位, 佔公司人數比例 0.50 部門 3, 500 位, 佔公司人數比例 0.25, 則部門 1, 應用簡單隨機抽樣法抽取 5 位部門 2, 應用簡單隨機抽樣法抽取 10 位部門 3, 應用簡單隨機抽樣法抽取 5 位經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 13

14 EX: 全公司有 2000 位員工, 依性別人數比例共抽取 20 人代表公司出國考察, 則應如何抽樣? 已知男性 1500 人, 女性 500 人. <sol> 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 14

15 EX: 已知公司某原料來自 3 個供應商 (40%,35%,25%), 欲知公司該原料之不良情形, 則應如何抽樣? <sol> 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 15

16 系統抽樣 (Systematic Sampling): 將母體之 N 元素以某特性排序, 再依樣本大小 (n) 將 N 元素分成 N/n 個組, 每組各有 r 個元素以簡單隨機抽樣法由 1 至 r 中抽取一個隨機亂數, 令其為序號 k, 則其他組之第 k 個元素都被取出形成一個樣本組經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 16

17 EX: 由含 100 個號碼 ( 元素 ) 之母體以系統抽樣法抽取 10 個 (n=10), 則此樣本組為何? <sol> 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,,21,22,.,31,32,, 91,92,,100, 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 17

18 部落抽樣 (Cluster sampling) 將母體分成 k 個部落並予編號, 再以簡單隨機抽樣法自 k 個部落抽取 r 個部落並就其全部元素進行調查 Note: 部落內差異大, 部落間差異小優點 : 不必有母體全部元素之名冊經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 18

19 EX: 對台北市學童蛀牙 ( 或家户年所得 ) 情形做調查, 則以行政區為部落, 抽取三區, 再以學校為部落抽取 4 學校, 再以學校為部落抽取 10 班級進行全檢經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 19

20 5. 資料整體與解釋乳牛吃草 (input) 牛乳 (output) 統計方法要有數据 --- 訊息. 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 20

21 5.1 discrete and continuous data (1) discrete data ( 計數值資料 ---attribute data): EX: 缺點數, 不合格數, 受傷人數, 意外事件數.. (2) continuous data ( 計量值資料 ---variable data): EX: 強度, 身高, 重量, 收入, 股價... 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 21

22 5.2 直方圖 ( histogram) 的建立了解數據之分配直方圖的應用非常廣泛直方圖的製作方法介紹如下 : (1) 依資料個數決定分組數, 分組數 k= ( 2 * 資料個數 ) (2) 將數據排序, 計算全距, ex: R= =3.1 (3) 將數據分 k(=7) 組 (4) 組距, 為方便分組取組距 =R/k=3.1/7=0.44, 取 0.5 (5) 以 1.45(< 最小值 ) 為第一組之下界, 則 =1.95 為第一組之上界, 於是決定各組界 (6) 次數分配表 : 再統計各組發生的次數, 做成一個表 (7) 根據此表, 可進一步做直方圖經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 22

23 表 : 電池壽命的次數分配表組界組中點次數相對次數累積相對次數合計經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 23

24 依數據多少決定組數及組距, 再計算組距內次數 15 次數 10 統計軟體壽命 distribution 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 24

25 5.3 直方圖的應用 (1)Shape of distribution, 集中趨勢, 離中趨勢 EX: 全國國民所得之水準普查國民薪資所得 ---- 次數分配圖表 --- Shape of Distri. 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 25

26 常態型直方圖雙峰直方圖經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 26

27 M 型社會台灣國民薪資所得分配是多少個峰?? 日本製, 德國製工具机產出零件之長度分配不同!! 數据合併後之分配為何? 實務上收集的 data 分配不一定是常態!! Why? 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 27

28 望大望小望目經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 28

29 Central Tendency ( µ )[ 所得水準 =GDP] US$16274(Taiwan), $19624 (South Korea) 2010 $18303 $ Tai--- 大學畢起薪 NT$26k, SK--NT$71, NT$24,655 不同供應商提供一批 5mm 螺絲之好壞 ( 準確度 ) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 29

30 Dispersion (, range)[ 所得差異 ] 台灣兒童貧富差距至少達 19 倍 =range σ 大學畢起薪差距 =NT$ =NT$22000=range (Range=~6sigma----sigma=22000/6=3667) 不同供應商提供 5mm 螺絲之整齊度 ( 精密度 ) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 30

31 σ (2) 比較風險 EX: 欲比較兩上市公司股價變化之風險收集近三個月之股價資料 --- 次數分配圖表比較 Shape of Distri., Central Tendency, Dispersion 那公司風險高? 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 31

32 20 Frequency 金寶電子 N1 Mean1 StDev1 Variance1 C.V.1=StDev1/Mean /21.475= 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 32

33 15 Frequency 日月光 N2 Mean2 StDev2 Variance2 C.V.2=StDev2/Mean /36.538= 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 33

34 (3) 比較 5mm 螺絲供應商品質之精密度 A: Mean= 4.5 StDev=1.0 ( 準而不精 ) B: Mean= 2.0 StDev=0.1 ( 精而不準 ) CV(A)=1.0/4.5=22.22% < CV(B)=0.5/2.0=5% 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 34

35 (3) 計算製程 ( 或流程 ) 能力 (process capability) 已知 USL, LSL 不合格率 =P(X>USL, X<LSL) 不合格率 < 目標 (or 要求 )----- 能力好不合格率 > 目標 (or 要求 ) 能力不好經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 35

36 (3) 計算製程 ( 或流程 ) 能力 (process capability) 不合格率 =P( X<LSL) 望大經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 36

37 5.4 直方圖不全是鐘型的常態型直方圖 -- 望目特性, 合理抽樣 (a random sample, X1,X2, Xn iid) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 37

38 雙峰直方圖 -- 望目, 大多是不合理抽樣經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 38

39 EX: 不合理的抽樣 machine A output----sampling machine B 合理的抽樣 machine A output A---sampling machine B output B---sampling 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 39

40 削壁型直方圖 -- 望目, 全檢經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 40

41 國中能力分班之分配? Let 能力 = 學業成績放牛班資優班分配非常態經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 41

42 離島型直方圖 -- 異常值 ( 望目 or 望小 : 品質不合格望大 : 品質特優 ) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 42

43 右偏分配 -- 望大 or 望小經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 43

44 梳型直方圖 -- 分組不當或量測值有誤差經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 44

45 LSL USL LSL USL 圖 : 製程能力較規格好得多圖 : 中心偏左製程能力 LSL USL LSL USL 圖 : 中心偏右製程能力圖 : 分散度過大製程能力經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 45

46 實務上不合理的抽樣情形常發生 EX: Samples come from 3 different groups of operators Samples come from different machines not a random sample, not iid obs 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 46

47 合理抽樣 =a random sample X1, X2,,Xn~ iid works for Statistical inference or analysis 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 47

48 5.4 Checking Sheet 檢核圖 ( 收集和統計數據 ) 檢核表是以圖或表呈現出問題所在的一種簡單方法檢核表並無固定的格式, 使用者可依問題的特性自己設計表或圖, 並以簡單的符號填註, 用以了解問題的現況, 做分析或做檢核之用經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 48

49 圖 : 電冰箱外觀之檢核表經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 49

50 表 : 記錄用檢核表作業員打字錯誤檢核表作業員劃記次數總和 50 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 50

51 5.5 柏拉圖柏拉圖首由義大利經濟學家 Vilfredo Pareto 提出, 主要用在分析財富的分配上 1960 年代, 品管大師裘蘭 (Juran) 將柏拉圖應用在品管資料分析上在品管活動中, 柏拉圖通常用來區分造成品質問題的少數重要原因和多數不重要的原因針對少數重要原因做改善, 可以使品質有顯著的改進經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 51

52 柏拉圖通常依據記錄用檢核表上各項目的統計次數繪製圖 : 柏拉圖經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 52

53 柏拉圖可提供的信息如下 : 了解哪些問題或原因是重要的明白欲解決問題的先後順序知道每個項目在整體中所佔的比率可以比較各項目在改善前後的差異經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 53

54 左縱軸應以成本表示, 才能顯示真正的重要項目經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 54

55 繪製柏拉圖的注意事項 : 柏拉圖的左軸除可以項目發生的次數表示外, 尚可以發生的成本表示倘若每一個項目所造成的成本不同, 則左縱軸應以成本表示, 才能顯示真正的重要項目若有很多發生次數少或成本低的項目, 則宜合併為其它項目, 並將置於圖的最右邊不過, 有些學者則建議將包含其它項目的所有項目由大至小排序各項目的發生次數或成本若差異大即像新的山較陡, 則橫軸中排序在前的項目是重要的, 應優先解決然而, 若各項目的發生次數或成本彼此差異不大, 即像老的山較平坦, 則無法顯示各項目的重要性經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 55

56 6. 機率與機率分配的定義 6.1 機率的定義 (1) 古典機率 : 每個樣本點發生的機率相等, S 有 n 個樣本點, Event 含 a 個樣本點, P(E)=a/n EX: 5pad, 3 台故障, 任挑 1 台, S={ 良品, 不良品 }, 則 P( 良品 )=1/2=0.5 (2) 相對次數 : m: 實驗次數, b: Event 的發生次數, P(E)=b/m EX: 5pad, 3 台故障, 任挑 1 台, 則 P( 良品 )=3/5=0.6 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 56

57 生男生女之機率古典機率 : P( 生男 )=0.5 相對次數 : : P( 生男 )= 出生男生數 / 出生人數經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 57

58 6.2 重要的機率分配 (1) 二項分配 (2) 二項分配之應用 (np and p charts) (3) 波氏分配 (4) 波氏分配之應用 (c and u Charts) (5) 常態分配 (6) 常態分配之應用 ( 樣本平均數 ( X ) 的抽樣分配, X and R charts, X and S charts, X and MR charts) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 58

59 (1) 二項分配 a. 條件 : a Bernoulli trial, P(success)=p, P(fail)=1-p 重覆 n times Observe the number of success b. r.v. X= the number of success with p.m.f P(X=x)= c. E(X)=np C p n x ( 1 p), x 0,1,2,..., n. n x x = d. V(X)=np(1-p) e. p , symmetric distri., p---0, right skewness, p , left skewness f. np>5, n(1-p)>5, x~n(np, np(1-p)) g. n>20, np<= x~poisson(np) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 59

60 (1) 二項分配 EX: 公司機器故障之機率為 0.1, 今有 6 台機率, 求最多 2 台故障之機率? 平均故障數? 故障數之變異數? Sol: 最多 2 台故障之機率 0.1 p=p(x=0)+p(x=1)+p(x=2) E(X)=6*0.1=0.6 V(X)=6*0.1*0.9=0.54 X C ~ B(6,0.1), x = 0.9, x 6 x n x x = 0,1,2,...,6. 0,1,2,..., n. 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 60

61 (2) 二項分配之應用不合格數 (np) 管制圖 (control chart) r.v. X: 抽出 n 件裡的不合格數, X~B(n,p), 製程穩定下 CL=np, LCL=np-3 p 已知 np( 1 p np( 1 p), ), UCL= np+3 不合格率 (p) 管制圖 (control chart) 不合格率 =X/n, E(X/n)=p, V(X/n)= p ( 1 p) n p ( 1 p) n CL=p, LCL=p-3, UCL= p+3 p ( 1 p) n 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 61

62 (3) 波氏分配 a. 條件 : 觀察特定時間內或特定面積內事件發生之次數, 事件之發生相互獨立, 很短時間內發生之事件數最多 1. b. r.v. X= 特定時間內或特定面積內事件發生之次數 wit p.m.f P(X=x)= x λ λ e, x=0,1,2,..., λ >0. x! c. E(X)= λ d. V(X)= λ e. small λ, right skewness, large symmetric distri.. λ 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 62

63 EX: 已知每碼布之平均斑點數為 6, 今自布批中抽取 1 碼, 若斑點個數少於 2 則允收該批布, 試求允收之機率? Sol: r.v X= 每碼布之斑點個數允收之機率 =P(X<2)=P(X=0)+P(X=1). Ex: 公司生產產品 A 之不合格率為 0.1, 今隨機抽取 25 個, 求最多 2 個不合格之機率? 平均不合格數? 故不合格數之標準差? Sol: 以波氏分配計算近似值 ( 原為二項分配問題 ) r.v. X= 不合格數 ~Po(2.5) P(X<=2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= E(X)=2.5=V(X) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 63

64 (4) 波氏分配之應用 a. 缺點數管制圖 ( 製程穩定下 ) r.v. X= 抽取 n 件之缺點數, E(X)=V(X)= λ λ λ CL=, LCL= -3 λ, UCL= +3 b. 單位缺點數管制圖單位缺點數 = X/ni, E(X/ni)=u, V(X/ni)=u/ni λ λ CL=u, LCL= u u 3, UCL= ni u + 3 u ni 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 64

65 (5) 常態分配 (Normal Distri.) A. 鐘型對稱於平均數, 反曲點到的距離為標準差 2 2 B. r.v. X~N ( µ,σ ) ( x µ ) 2 2σ e pdf f(x)= f ( x) =, 2πσ µ µ C. P(X< )=P(X> )=0.5 µ = X σ D. Z ~N (0,1) E. P(Z<0)=P(Z>0)=0.5 F. P( µ -k σ <X< µ +k σ )=P(-k<Z<k) If k=1 then P=0.645, If k=2 then P= If k=3 then P= µ µ σ < x < 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 65

66 (5) 常態分配 (Normal Distri.) EX: 若公司生產的 E 機壽命呈常態分配, 平均壽命 2500 小時, 壽命標準差 50 小時, 公司訂定的保證期限為 1500 小時, 試問 (1) 顧客購買的 E 機在保證期限內故障之機率為何? (2) 不在保證期限內故障之機率為何?(3) E 機壽命超過 2550 小時之機率為何? Sol: X~N(2500, 2500) X (1)P(X<1500)= P( < ) 50 = P( Z < 20) = 0 50 (2)P(X>1500)=1-0=1 (3)P(X>2550)= X P( > ) = P( Z > 1) = 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 66

67 樣本平均數 ( X ) 的抽樣分配 2 一隨機樣本組 X, X,... X }, 抽自母體 X~ N( µ, σ ), { 1 2 n n 2 2 則 = X σ σ i ~ N( µ,, E( )= µ,v( )= X ) i=1 n n X X n 2 Note: 若母體分配未知或不為常態分配, 但 µ,σ 已知, 則利用中央極限定理 (CLT), 可知 2 σ X ~ N( µ, ), n 30 n 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 67

68 Ex: 已知公司生產的 E 機平均壽命 2500 小時, 壽命標準差 100 小時, 公司訂定的保證期限為 2450 小時, 試 (1) 顧客購買 36 個 E 機之平均壽命在保證期限內的機率為? (2) 此 9 個 E 機平均壽命超過 3500 小時之機率為何? Sol: X ~ N(2500, ) 36 (1)P( X X u <2450)=P( < )=P(Z<-3)= , σ / n 即顧客購買 36 個 E 機之平均壽命在保證期限內的機率 = X (2)P( >3500)=P( 100 / 36> )=P(Z>60)=0, X 100 即顧客購買 36 個 E 機之平均壽命超過 3500 小時的機率 =0 36 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 68

69 (6) 常態分配的應用 ( 管制圖的建立 ) A. X 和 MR 管制圖的建立 (n=1) 2 X~ N( µ, σ ), 2 µ and σ 己知. X chart: UCL= CL= LCL= µ + 3σ µ µ 3σ 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 69

70 X B. and R chart 的建立 2 已知 X ~ N( 2 σ µ E( d 2 σ, n chart: X UCL= CL= LCL= R chart: UCL= CL = LCL= ) µ and σ R ) =, 2 2 µ + 3 V(R) µ µ 3 D 2 σ d 2 σ D 1 σ σ σ = d 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 70 n n 3 σ D 2 = D1 = 0, n = 2 ( 見管制圖之附表 )

71 C. S chart 的建立 E(S)= C 4 σ V(S)= ( 1 C σ 2 4 ) 2 C 4 S chart: = 2 ) n ( n Γ( ) 2 n 1 Γ( ) 2 C4σ C C 4 σ 2 4 C4σ 3 1 C σ 2 4 σ = B 6 σ = B 5 σ B5, B6, c4 ( 見管制圖之附表 ) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 71

72 附表 : Z 值表 ( 標準常態機率表 ) 1-α=P(Z < z), where Z~N(0,1) z 經濟部標準局 SPC 政治大學楊素芬特聘教授

73 管制圖之附表

74 7. 品管 7 手法 1. Checking Sheet 檢核圖 2. Pareto chart 柏拉圖 3. Cause-effect diagram 特性要因圖 4. Control chart 管制圖 5. Histogram 直方圖 6. Scatter plot 散佈圖 7. Stratification 層別法 (or 腦力激當法 ) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 74

75 特性要因圖經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 75

76 特性要因圖經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 76

77 散佈圖了解產品的兩個品質特性之關係了解產品的品質特性是否受到要因的影響判斷異常值經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 77

78 散佈圖表示兩個變數配對數據的分佈情形, 其可據以了解兩個變數間的相關性散佈圖的橫軸 (X 軸 ) 和縱軸 (Y 軸 ) 分別代表成對的兩變數之數據正相關的散佈圖完全負相關的散佈圖不相關的散佈圖經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 78

79 層別法分析品質變異的重要原因, 來自原料商, 機器商, 人員或操作方法等將這些因素依特性分門別類, 找出其間的差異或問題, 再據以改善的方法稱為層別法公司的 20 件專案預算被發現專案預算超出或不專案預算超出或不有失控的情形足百分比足百分比小中中小中中小小小中小小小小中小中中小小經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 79

80 層別法一因子變異數分析經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 80

81 8. 管制圖 8.1. 變異 (variation) 的原理 Data( 數據 ) 不一致? Ex: 相同製造環境下的可樂容量也不全相等於設定的目標值自己名字寫 10 次也不全相同經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 81

82 只要有數据變異總是存在著經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 82

83 統計學之各種分配來自 data 之 variation ex, 常態, Chi-square, Gamma 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 83

84 in practice Homogeneous data? Is it available? variation? 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 84

85 EX: 製造的 1 萬罐可樂容量若全相等, 分配是什麽? 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 85

86 產品或服務品質好壞 Variation 大 quality 差 Variation 小 quality 好經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 86

87 變異不只發生在同一時間點收集之數据裡不同時間點收集之數据亦有變異經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 87

88 data 在時間數列的 variation EX: 金寶公司近三個月股價之推移圖金寶電子 Date/Time 10/13 10/26 11/8 11/21 12/4 倘若圖為製造之可樂容量之推移圖? Variation is unacceptable!! 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 88

89 Variation existed? 合格材料設備操作方法作業員及環境產出仍存在變異 why? 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 89

90 Source of Variation Special Causes 特殊因 Common Causes 共同因經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 90

91 C.C. of Variation: 特性在製程中, 任何時刻都存在, 影響力隨時不同個別影響力很小, 但個數多就整體而言, 它可以加總成不小變異 S.C. of Variation: 特性並不常在流程中, 其發生通常是來自流程外的, 對變異有大的影響, 個數少經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 91

92 process is in-control? In-Control: C.C. Out-of-Control: S.C.+C.C. SC: 材料作業員機器設備操作方法 (4M),. CC: 設計機器老舊環境因素材質退化,. 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 92

93 如何知道 process is out-of-control? 如何看見數據之變異? How to know the occurrence of special cause?? 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 93

94 collect data and plots it 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 94

95 使變異看的見管制圖管制圖的解釋 : 流程是否穩定? 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 95

96 out-of-control process. Action: find SC and remove it, process back in-control 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 96

97 action for out-of-control process remove SC out-of-control distribution in-control distribution 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 97

98 in-control process. next step: process capability? need process improvement? Continuous improvement 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 98

99 In-control distribution distribution after process improvement cpk=1 reduce variation of cc cpk=1.6 改善前後的製程分配經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 99

100 How to make a control chart 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 100

101 管制圖的建立步驟 1. 選擇品質特性 2. 決定管制圖之種類 3. 決定樣本大小 (n) 抽樣頻率 (h) 和抽樣方式 4. 收集 m 組樣本數據 ( 母體參數未知 ) 5. 計算試驗管制圖之 CL ULC 和 LCL 6. 將描點繪在圖上, 判斷收集 m 組樣本數據是否來自穩定製程? 若點出界是因可歸屬原因, 則點應剔除後, 重新計算管制界限, 若描點已呈隨機分佈, 表示剩餘樣本數據來自穩定製程 (phase I) 製程則管制界限才可用來監視未來之製程 7. 用於監控製程 : 每 h 小時收集 n 筆數據, 計算追蹤統計量, 點於管制圖上以判斷製程是否失控.(phase II) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 101

102 合理樣本組製程上收集的樣本數據必需是合理的樣本組這表示當特殊因出現時, 樣本組間差異大而樣本組內差異小是以管制圖可偵測出製程是否失控抽樣方式 : 1. 瞬時法 : 常用之方法, 用於製程平均值瞬間跳動 2. 定時法或分散式抽樣 : 用於製程平均值定期調動經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 102

103 管制圖的統計原理 Based on in-control distribution of quality variable 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 103

104 Shewhart w 管制圖的架構 UCLw =μw+3σw CLw =μw LCLw =μw-3σw 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 104

105 Viewpoint of Statistics UCL=meanw+3sigmaw LCL=meanw-3sigmaw Alpha=0.0027=false alarm rate ARL0=1/alpha=370.4 H0: process is in control ( parameter no shift) H1: process is out of control (shifts) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 105

106 管制圖的判讀一點子 (w) 落在 A 區以外, 即舒華特判讀製程失控之法則 Determine n, h and k monitoring statistic w 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 106

107 CONS not sensitive for small shift in process parameter ( mean or variance) =poor detection ability (that is, power,1-beta, is not good) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 107

108 西方電器公司管制圖的判讀 A B C C B A µ w+3σ w = UCL µ w+2σ w µ w+σ w µ w = CL µ w σ w µ w 2σ w µ w 3σ w = LCL 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 108

109 區域檢定的法則如下連續三點中有兩點落在 A 區或 A 區之外經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 109

110 連續五點中有四點落在 B 區或 B 區之外經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 110

111 連續八點在中心線之同一側經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 111

112 區域檢定的法則增加 Shewhart 管制圖的偵測力 (for small shift in process parameter) increase power (1-beta) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 112

113 其他檢定的法則趨勢變化平均值的漂移作業員疲勞或機器老化, 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 113

114 製程平均值的平移作業員執行錯誤或機器故障, 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 114

115 循環變化不合理抽樣, 季節變化, 作業員疲勞 or 溫度變化, 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 115

116 系統性變化不合理抽樣經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 116

117 混合變化不合理抽樣 ( 數據來自兩個有交集之分配 ) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 117

118 層別變化不合理抽樣 or 錯誤的管制界限經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 118

119 CONS Shewhart charts+ 區域檢定的法則 + 其他檢定的法則膨帳錯誤警訊率 (alpha)

120 數據種類決定管制圖類型 1. 計量值 : 品質特性可以計量或連續尺度表示, 如 : 長度重量強度 2. 計數值 : 如不合格數, 通過數, 缺點數計量值 : 計量管制圖,Xbar-R, Xbar-S charts X-MR charts 計數值 : 計數管制圖,np, p, c, u charts 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 120

121 8.2 - MR charts X 偵測 in-control 平均值, 變異數 or 二者是否發生變動 X ~ N ( σ µ, n 2 ) µ,σ 未知 2 如何估計? 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 121

122 m (>=25) 組樣本, 樣本大小 n No x1 x2 x3 xn Xbar R 1 x11 x12 x13 x1n x1bar R1 2 x21 x22 x23 x2n x2bar R2 m xm1 xm2 xm3 xmn xmbar Rm X R 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 122

123 µ,σ 如何估計? 2 X R d σ µ 2, 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 123

124 X - MR charts X Trial charts R chart:, D 值決定於 n chart: D 4 RR D 3 R X + A2 X X A2 R R D4 3 A2 值決定於 n 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 124

125 Phase I : 點子隨機分布 (1) 若點子 xibar and Ri, i=1,2,3, m, 隨機分布於 - MR charts samples from in-control process 則建立的 X X - MR charts 可用以追蹤未來製程 Phase II 以建立的 X - MR charts 追蹤製程經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 125

126 Phase I : 點子出界或不隨機分布 (2) 若點子 Xibar and Ri, i=1,2,3, m, 出界或不隨機分布於 X - MR charts, 找是否受 SC 影響, 若是出界樣本刪除, 再用剩餘樣本資料重新算和和更新 X - MR charts 的 UCL and LCL 直到剩餘點子 xibar and Ri, i=1,2,3, m, 隨機分布. X R Phase II 則建立的 X - MR charts 可用以追蹤製程經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 126

127 [ 例 ] 品質工程師欲以 Xbar-R 管制圖追蹤製程中的 E 型物內徑是否在管制狀態, 是以自 3/12~3/16 分別由製程中抽樣, 每日抽取六組樣本表陳列 30 組 E 型物內徑的樣本資料, 每組樣本有 5 個觀察值, 其測定單位為 (1 =0.001mm) E 型物內徑的 USL=5.0615,LSL=5.0645, 且 T=5.063 請同時計算製程之不良率. 首先, 計算 R 圖中的 Rbar = 本例是 n=5, 故我們從附表一可以得到 D 3 =0 和 D 4 =2.114 因此,R 圖之上下管制界限與中心線為 : _ d3 UCL= R + 3 R d = D R _ 4 =2.114( )= _ CL= R = _ d3 LCL= R - 3 R = =0( )=0 d D R _ 3 2 繪製 R 圖經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 127

128 表 :30 組觀察值 No. x1 x2 x3 x4 x5 Range X 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 128 = X R _

129 R Chart UCL= Sample Range R= LCL= Sample Number 30 發現第 16 筆跳出管制上限之外, 經查發現機器失控造成這就表示第 16 點是製程失控下得到的資料, 因此我們需要對試用管制圖作修正修正的步驟是先把有跳出管制上限的第 16 筆樣本資料去除, 然後再用剩餘的 29 組樣本資料繪製 R 圖. 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 129

130 R Chart UCL= Sample Range R= LCL= Sample Number 圖 : 修正後之 R 圖沒有點跳出管制界限外, 並且利用西方電器法則的檢查, 點的分佈是隨機的, 顯示製程變異數是穩定的經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 130

131 接著, 繪製 Xbar chart 首先計算 : = 本例 n=5, 查附表一後得到 A 2 =0.577 因此, Xbar 圖之管制上下界與中心線為 : = x 2 UCL= + A R = ( )= CL= x = LCL= = = ( )= A R x 2 = x 繪製 Xbar 圖 : X-bar Chart UCL=5.064 沒有點跳出管制界限外, 並且利用西方電器法則的檢查, 點的分佈是隨機的, 這表示以上的製程平均值是穩定的 Sample Mean Sample Number Mean=5.063 LCL= 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 131

132 因此我們可以追蹤未來製程的 Xbar 和 R 管制圖之管制界限為 UCLxbar =5.064 UCL R = CLxbar =5.063 CL R = LCLxbar=5.062 LCL R =0 追蹤製程 : 每隔 h 小時取一新樣本 n=5, 計算 Rbar and Xbar, 點於 R 管制圖和 Xbar 管制圖, 若出界, 搜尋是否受某特殊因影響, 是受某特殊因影響, 則採取排除行動, 製程回復穩定後, 隔 h 小時再取一新樣本追蹤. 非受某特殊因影響, 則不處理,, 隔 h 小時再取一新樣本追蹤. 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 132

133 製程穩定下的製程能力為了確定其分配是否為常態, 我們先要對 29 個樣本組的資料作直方圖或常態機率圖 Frequency 觀察 Normal Probability Plot for 觀察 ML Estimates - 95% CI Percent ML Estimates Mean StDev Goodness of Fit AD* 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 Data

134 由圖可以知道, 製程的分配為常態因此,X 在製程穩定下的分配為 : X ~ N( x,( R / X~N( , ) P( 不良 )=P(X< or X> X~( ,( ) 2 )) d 2 ) 2 ) ( = ) =1-P(5.0615< X < X~N( ,( ) 2 )) =1-P(-2.56 <Z <2.53)=1-( ( ))= =10930PPM 製程能力不佳, 需改善經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 134

135 8.3 X - S charts m (>=25) 組樣本, 樣本大小 n No x1 x2 x3 xn Xbar S 1 x11 x12 x13 x1n x1bar S1 2 x21 x22 x23 x2n x2bar S2 m xm1 xm2 xm3 xmn xmbar Sm X S 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 135

136 8.3 X - S charts S chart: B 4 S X chart: S B 3 S X + A3 S X X S c σ µ 2, X A3 S 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 136

137 [ 同例一 ] No. x1 x2 x3 x4 x5 X S 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 137 = X _ S

138 UCL= B 4 s=2.089( )= CL= LCL= B 3 =0( )=0 s S Chart Sample StDev UCL= S=5.78E LCL= Sample Number S 圖經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 138

139 第 16 筆樣本資料去除 S Chart UCL= Sample StDev S=5.51E LCL= Sample Number 修正後之 S 圖 30 沒有點跳出管制界限外, 並且利用西方電器法則的檢查, 點的分佈是隨機的, 這表示以上的製程變異數是穩定的經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 139

140 用 29 筆樣本資料建立 X-bar 管制圖 UCL= x + A3 s = ( )=5.064 CL= x = LCL= x - A3 s = ( )=5.062 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 140

141 X-bar Chart UCL=5.064 Sample Mean Mean= Sample Number 30 LCL=5.062 沒有點跳出管制界限外, 並且利用西方電器法則的檢查, 點的分佈是隨機的, 這表示以上的製程平均值是穩定的 X-bar and S charts 資料來自穩定製程, 管制圖可用以追蹤未來製程經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 141

142 X ~ N( x, _ S ( c 4 ) 2 ) X~N( ,( ) 2 ) P( 不良 )=P(X< or X> X~N( ,( ) 2 )) =1-P( <X< X~N( ,( ) 2 )) =1-P( <Z< 2.543)=1-(0.994-( ))=0.011 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 142

143 8.4 X- MR charts (n=1) No. X MR 1 x1 2 x2 MR1= x2-x1 n=2 3 x3 MR2= x3-x2 M xm MRm-1= Xm-Xm-1 xbar MR-bar 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 143

144 X ~ N( µ, σ X- MR charts (n=1) ) X MR / d µ 2 σ MR chart: MR, 值決定於 n=2 D 3 MR chart: D 4 MR X + E2 X E 2 =2.66 X E2 MR D 3 MR D 4 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 144

145 X 8.5 np chart ~ ( n, p) p 已知 E( X ) = np V(X) = np(1 p) UCL = np + 3 np(1 p) LCL = np 3 np(1 p) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 145

146 8.5 np chart X ~ ( n, p) p 未知 No n X 1 n x1 2 n x2 m n Xm pˆ pˆ pˆ 1 2 pˆ m P 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 146

147 np chart X~B(n, p), p 未知, P p np np np + 3 np(1 P) 3 np(1 P) 標準化管制圖 Z i = x i n p np( 1 P) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 147

148 欲知 E 型物的不合格數是否在管制狀態, 是以由製程中抽取 24 組樣本資料, 決定試用 np 管制圖建立可以追蹤未來不合格數變化的 np 管制圖組數 Xi n P = Xi = 組 E 型物的樣本資料 Sample Count NP Chart for Xi UCL= NP= LCL= Sample Number 資料來自穩定製程, 管制圖可用以追蹤未來製程經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 148

149 8.6 p chart X ~ ( ni, p) p 已知 pˆ = X / n i, E( pˆ) = p, V( pˆ) = p(1 ni p) UCL = p + 3 p(1 n p) CL = p LCL = p 3 p(1 p) ni 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 149

150 X~B(n, p), p 未知, P p UCL = p + 3 p(1 ni p) CL = p LCL = p 3 p(1 ni p) 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 150

151 Pi = Xi ni Week Xi ni Week Xi ni 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 151 P = Pi = Xi ni Xi = ni

152 P Chart for Xi UCL= Proportion P= LCL= Sample Number 第 11 筆資料出界, 查受特殊因影響, 刪除第 11 點樣本資料後, 重製管制圖經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 152

153 P Chart for Xi UCL= Proportion P= LCL= Sample Number 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 153

154 標準化 p chart 4 Standard P Chart 3 UCL= Mean=0-1 Z -2-3 LCL= Observation Number 40 刪除第 11 點樣本資料後, 重製管制圖經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 154

155 標準化 p chart Standard P Chart 3 UCL= Mean=0-1 Z -2-3 LCL= Observation Number 資料來自穩定製程, 管制圖可用以追蹤未來製程經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 155

156 8.7 c chart X ~ P o ( c) c 已知 E ( X ) = V ( X ) = c UCL = c + 3 c CL = c LCL = c 3 c 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 156

157 c 未知 No n X 1 n x1 2 n x2 m c = x m m n Xm i / i= 1 UCL = c + 3 c CL = c LCL = c 3 c 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 157

158 [ 例 ] 欲知每頁紙張的打字錯字數是否在管制狀態,5 月 1 日 ~6 月 15 日每日抽取 10 頁打好的紙張檢查其錯字數如表陳列錯字數的樣本資料 (1) 畫試用 C 管制圖 (2) 決定可用以追蹤未來製程的 C 管制圖 Day i Ci Day i Ci C = Ci 46 = 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 158

159 前面 9 點發生不隨機分佈的情形 --- 連續 9 點在同一側 --- 查第 9 點受特殊因影響, 刪除第 9 點後, 重製管制圖 20 C Chart for ci UCL=17.53 Sample Count 10 C= LCL= Sample Number 資料來自穩定製程, 管制圖可用以追蹤未來製程經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 159

160 8.8 u chart 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 160 已知 ) ( ~ / o u u P n X i i i i i i i n u n X u n X / ) / V( ) / E( = = i i n u u LCL u CL n u u UCL 3 3 = = + =

161 X i / n ~ Po ( u) u i 未知 No n X ui 1 n1 x1 u1 2 n2 x2 u2 m n3 Xm um u = m i= 1 u i UCL = u + 3 u n i CL = u LCL = u 3 u n i 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 161

162 [ 例 ] 欲知布匹斑點數是否在管制狀態, 是以每星期自製程中, 隨機抽取長寬不相同之布匹檢驗其缺點數表陳列布匹斑點數的樣本資料 (1) 試畫出試用 U 管制圖 (2) 決定可用以追蹤未來製程的 U 管制圖之管制界限 (3) 畫出標準化 U 管制圖 week Ci ni Ui= U Chart for Ci UCL= U= LCL= Sample Number Ci U = = ni 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 Ci ni Sample Count

163 標準化 u chart 3 Standard U Chart UCL=3 z = ( u i u n i u) Mean=0 E(Z) = 0 Z -1-2 V(Z) = 1-3 LCL= Observation Number 30 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 163

164 當流程數据以時間數列呈現時管制圖是 (1) 分析流程 (or 製程 ) 是否穩定 (2) 變異是否減少 (3) 確認改善效果簡易且有效的工具經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 164

165 其他應用 1. 行銷流程 2. 製造流程 3. 員工聘僱流程 4. 顧客抱怨處理流程 5. 教務工作流程 6. 行政工作, 其他. 持續降低變異 = 提升品貭 =six sigma 持續降低變異 + 速度 =lean six sigma 經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 165

166 清楚的了解統計方法的原理 ( 統計觀念 ) 及製程才能正確的應用統計品管方法使統計品管方法發揮最大的功效有效管制和改善製程經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 166

167 Thank you 謝謝經濟部標準局 SPC2013 政治大學楊素芬特聘教授 167

6-1-1極限的概念

6-1-1極限的概念選修數學 (I-4 多項式函數的極限與導數 - 導數與切線斜率定義. f ( 在的導數 : f ( h 對實函數 f ( 若極限存在 h h 則稱 f ( 在點可微分而此極限值稱為 f ( 在的導數以 f ( 表示 f ( f ( 函數 f ( 在的導數也可以表成 f ( 註 : 為了