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1 M ATLAB 8 问 /9 一. 入 门 篇 MATLAB 有 哪 些 主 要 功 能? 初 学 者 应 如 何 利 用 这 一 数 学 软 件 去 解 决 自 己 的 问 题? 要 解 决 这 些 问 题, 应 该 尽 快 熟 悉 一 些 常 用 命 令, 了 解 它 们 的 功 能 和 使 用 格 式.MATLAB 的 特 点 是 什 么? MATLAB 是 Matrix Laboratory 的 缩 写, 是 Mathworks 公 司 于 984 年 推 出 的 一 套 科 学 计 算 软 件, 分 为 总 包 和 若 干 工 具 箱 具 有 强 大 的 矩 阵 计 算 和 数 据 可 视 化 能 力 一 方 面 可 以 实 现 数 值 分 析 优 化 统 计 偏 微 分 方 程 数 值 解 自 动 控 制 信 号 处 理 系 统 仿 真 等 若 干 个 领 域 的 数 学 计 算, 另 一 方 面 可 以 实 现 二 维 三 维 图 形 绘 制 三 维 场 景 创 建 和 渲 染 科 学 计 算 可 视 化 图 像 处 理 虚 拟 现 实 和 地 图 制 作 等 图 形 图 象 方 面 的 处 理 同 时,MATLAB 是 一 种 解 释 式 语 言. 简 单 易 学 代 码 短 小 高 效 计 算 功 能 强 大 图 形 绘 制 和 处 理 容 易 可 扩 展 性 强. 其 优 势 在 于 : 矩 阵 的 数 值 运 算 数 值 分 析 模 拟 数 据 可 视 化 D/3D 的 绘 图 可 以 与 FORTRAN C/C++ 做 数 据 链 接 几 百 个 核 心 内 部 函 数 大 量 可 选 用 的 工 具 箱 目 前 MATLAB 的 最 新 版 本 是 7. 版, 它 包 括 了 MATLAB 的 各 种 工 具 箱, 功 能 强 大, 适 合 于 较 高 配 置 的 计 算 机 ; 同 学 们 在 安 装 MATLAB 的 时 候, 应 该 根 据 自 己 的 机 器 情 况 选 用 不 同 的 版 本

2 M ATLAB 8 问 /9. 如 何 启 动 MATLAB? 常 用 的 进 入 MATLAB 方 法 是 鼠 标 双 击 Windows 桌 面 上 的 MATLAB 图 标, 以 快 捷 方 式 进 入 ( 如 果 没 有 图 标, 可 在 桌 面 上 新 建 快 捷 方 式, 将 MATLAB 图 标 置 于 桌 面 ) 下 图 展 示 了 进 入 MATLAB 后 的 工 作 桌 面 ( 窗 口 ), 例 如, 用 键 盘 输 入 正 弦 函 数 符 号 及 其 四 个 不 同 的 自 变 量 π /6,π /5,π /4,π /3, 图 -3 从 开 始 菜 单 进 入 MATLAB 可 计 算 出 对 应 的 函 数 值 第 二 种 进 入 方 法 是 鼠 标 点 击 Windows 桌 面 左 下 角 的 开 始 按 钮, 选 择 程 序, 然 后 在 第 二 级 菜 单 中 选 择 MATLAB, 最 后 再 从 第 三 级 菜 单 中 选 择 MATLAB6.5 进 入 了 MATLAB 系 统, 如 下 图 所 示

3 M ATLAB 8 问 3/9 在 MATLAB 的 环 境 中, 键 入 quit( 或 exit) 并 回 车, 将 退 出 MATLAB, 返 回 到 Windows 桌 面 也 可 以 用 鼠 标 单 击 MATLAB 命 令 窗 口 右 上 方 的 关 闭 按 钮 退 出 MATLAB 如 果 想 用 计 算 机 做 另 外 的 工 作 而 不 退 出 MATLAB, 这 时 可 以 单 击 MATLAB 命 令 窗 口 右 上 方 的 极 小 化 按 钮, 暂 时 退 出 ( 并 没 有 真 正 退 出 )MATLAB 并 保 留 了 工 作 现 场, 随 时 可 以 单 击 Windows 任 务 栏 ( 屏 幕 下 方 ) 中 的 MATLAB 标 记 以 恢 复 命 令 窗 口 继 续 工 作 3. 如 何 用 MATLAB 计 算 三 角 函 数 值 在 MATLAB 环 境 下, 计 算 三 角 函 数 的 一 个 值 或 一 组 值 非 常 方 便, 只 要 给 定 自 变 量 的 数 据 并 知 道 函 数 名 就 可 以 计 算 出 对 应 函 数 值 常 用 的 三 角 函 数 和 反 三 角 函 数 见 表 - 表 - 常 用 三 角 函 数 函 数 名 称 函 数 名 称 sin(x) 正 弦 函 数 asin(x) 反 正 弦 函 数 cos(x) 余 弦 函 数 acos(x) 反 余 弦 函 数 tan(x) 正 切 函 数 atan(x) 反 正 切 函 数 通 常 MATLAB 自 变 量 采 用 弧 度 制, 例 如 计 算 正 弦 函 数 在 45 ( 即 π / 4 ) 处 的 值, 只 须 在 MATLAB 环 境 下 键 入 sin(pi/4), 计 算 机 屏 幕 将 显 示 出 计 算 结 果 ans =.77 如 果 需 计 算 出 正 弦 函 数 sin 3, sin 45, sin 6 的 值, 可 键 入 x=[pi/6,pi/4,pi/3];sin(x) 计 算 机 屏 幕 将 显 示 计 算 结 果 ans = 这 说 明 MATLAB 可 以 同 时 计 算 出 某 一 函 数 在 多 个 点 处 的 值, 而 且 所 用 的 格 式 与 数 学 书 写 格 式 几 乎 是 完 全 一 致 的 4. MATLAB 有 哪 些 基 本 数 学 函 数? 除 了 三 角 函 数 和 反 三 角 函 数 以 外,MATLAB 的 内 部 函 数 还 包 括 基 本 初 等 函 数 在 内 的 一 些 函 数 这 些 函 数 的 使 用 如 同 正 弦 函 数 一 样, 需 要 给 定 自 变 量 数 据, 然 后 键 入 函 数 名 括 号 自 变 量 名 并 回 车, 便 可 得 对 应 的 函 数 值 数 据 表 -

4 M ATLAB 8 问 4/9 中 列 出 了 部 分 数 学 函 数 表 - 常 用 基 本 函 数 函 数 名 称 函 数 名 称 abs(x) 绝 对 值 max(x) 最 大 值 min(x) 最 小 值 sum(x) 元 素 的 总 和 sqrt(x) 开 平 方 exp(x) 以 e 为 底 的 指 数 log(x) 自 然 对 数 log(x) 以 为 底 的 对 数 sign(x) 符 号 函 数 fix(x) 取 整 如 果 想 进 一 步 了 解 MATLAB 有 哪 些 函 数, 请 键 入 help matlab\elfun ( 回 车 ) 计 算 机 屏 幕 将 显 示 出 更 多 的 细 节, 其 中 还 有 双 曲 函 数 和 反 双 曲 函 数 等 注 意, 计 算 函 数 值 时 必 须 首 先 确 定 自 变 量 的 数 据 ( 一 个 或 一 组 ) 例 如, 随 机 抽 取 名 大 学 生 的 高 等 数 学 课 程 考 试 成 绩, 并 统 计 他 们 中 的 最 高 分 最 低 分 以 及 这 人 的 平 均 分 可 以 利 用 表 - 中 的 函 数 max min sum 来 实 现 首 先 在 MATLAB 环 境 下 输 入 个 分 数 值 并 赋 值 给 f f=[88,84,73,69,78,8,9,96,86,77] 然 后 分 别 计 算 这 个 数 据 的 最 大 值 最 小 值 平 均 值 : h=max(f) l=min(f) m=sum(f)/ 计 算 机 屏 幕 显 示 最 高 分 h = 96; 最 低 分 l = 69; 平 均 分 m = 8. 虽 然 MATLAB 的 内 部 函 数 已 经 相 当 多, 但 是 还 是 不 能 完 全 满 足 人 们 的 需 求 如 果 需 要 计 算 一 个 复 杂 的 函 数 值, 我 们 必 须 利 用 字 处 理 软 件 编 写 一 个 新 的 函 数 文 件 ( 参 考 下 一 部 分 基 础 篇 ), 才 能 实 现 对 函 数 值 的 计 算 5. 如 何 用 plot 命 令 绘 平 面 图 形? plot 是 MATLAB 的 最 基 本 的 绘 制 二 维 图 形 指 令 其 主 要 功 能 是 根 据 函 数 表 X x x x n Y y y y n 绘 制 出 函 数 的 图 形 用 plot 命 令 绘 图 必 须 要 输 入 自 变 量 的 一 组 值, 并 计 算 出 对 应 的 函 数 值, 其 基 本 调 用 格 式 有 下 面 几 种 : () plot(x,y) 绘 制 出 以 X = [x x x n ] 为 横 坐 标, 以 Y =[y y y n ] 为 纵 坐 标 的 平 面 上 点 的 连 线 图 ;

5 M ATLAB 8 问 5/9 ()plot(y) 绘 出 以 Y =[y y y n ] 为 纵 坐 标, X =[ n] 为 横 坐 标 的 二 维 图 形 ; (3) plot(x,y,x,y) 同 时 绘 出 两 个 函 数 表 (X, Y) 及 (X, Y) 所 描 述 的 函 数 ; (4) plot(x,y, s ) 中 的 选 项 s 可 以 控 制 图 形 的 颜 色 及 图 形 的 线 方 式 ( 或 点 方 式 ) 表 -3 图 形 控 制 选 项 列 表 线 方 式 点 方 式 颜 色 实 线 - 点. 红 r 虚 线 -- 加 号 + 绿 g 冒 号 : 星 号 * 兰 b 横 点 -. 圆 o 白 w 叉 x 例 如, 要 绘 制 正 弦 函 数 在, ] [ π 内 变 化 的 曲 线, 可 以 先 确 定 出 到 π 之 间, 间 隔 为. 的 一 组 自 变 量 数 据, 然 后 计 算 正 弦 函 数 在 这 些 点 处 的 函 数 值, 最 后 根 据 所 得 数 据 绘 制 出 函 数 图 形 x=:.:*pi;y=sin(x);plot(x,y) 图 - 5 正 弦 函 数 图 形 6. 如 何 在 MATLAB 中 创 建 矩 阵?

6 M ATLAB 8 问 6/9 计 算 函 数 值 须 输 入 自 变 量 数 据, 计 算 机 程 序 也 必 须 在 数 据 集 合 上 才 能 运 行, 所 以 初 始 数 据 的 输 入 十 分 必 要 在 计 算 机 程 序 设 计 中 人 们 习 惯 将 矩 阵 称 为 二 维 数 组, 将 向 量 称 为 一 维 数 组 向 量 本 质 上 是 一 类 特 殊 的 矩 阵, 矩 阵 可 以 分 解 为 一 系 列 行 向 量 或 列 向 量, 有 限 个 同 维 行 ( 列 ) 向 量 也 可 以 构 成 一 个 矩 阵 MATLAB 以 矩 阵 为 数 据 单 元, 数 据 的 输 入 实 际 上 是 创 建 矩 阵 () 对 于 小 型 矩 阵 的 创 建 可 以 用 方 括 号 方 法 如 : A=[ 3;4 5 6;7 8 9 ]; 就 创 建 了 一 个 3 3 的 矩 阵 注 意 : 矩 阵 中 同 一 行 的 元 素 用 空 隔 或, 隔 开, 行 与 行 之 间 用 分 号 ; 隔 开 也 可 以 用 回 车 换 行 来 代 替 分 号 如 A=[ ]; 仍 然 可 以 创 建 同 样 的 3 3 矩 阵 () 利 用 矩 阵 的 剪 裁 和 拼 装 创 建 新 的 矩 阵 例 如 在 MATLAB 中 键 入 命 令 a=[ 3;4 5 6;7 8 9];b=[;;]; 得 到 矩 阵 和 向 量 3 a = 4 5 6, b = 命 令 A=[a b ], 将 矩 阵 a 和 向 量 b 拼 装 成 新 的 矩 阵 3 A = 而 命 令 a = a(:,:3) 将 得 到 新 的 阶 矩 阵 a = (3) 对 于 大 型 矩 阵 的 创 建 可 以 用 数 据 文 件 的 方 法 首 先, 用 编 辑 器 编 辑 一 个 数 据 文 件, 在 这 个 文 件 中 逐 行 录 入 矩 阵 的 所 有 数 据 ; 然 后, 在 MATLAB 环 境 下 用 load 指 令 将 这 一 矩 阵 调 入 工 作 空 间 ( 计 算 机 内 存 ) 使 用 这 种 方 法 时 须 注 意, 文 件 名 即 是 变 量 名 例 如, 某 地 区 有 个 气 象 观 测 站, 记 录 了 年 以 来 所 测 得 的 每 年 的 年 降 雨 量 数 据 每 一 个 站 点 的 十 个 数 据 构 成 了 矩 阵 的 一 个 行 向 量, 个 站 点 的 数 据 就 构 成 了 一 个 的 矩 阵 用 编 辑 器 如 记 事 本 编 辑 器 编 辑 这 个 具 有 个 数 据 的 文

7 M ATLAB 8 问 7/9 件 名 为 a.dat 的 数 据 文 件 的 步 骤 如 下 : 第 一 步 : 在 MATLAB 环 境 中 键 入 edit a.dat ( 回 车 ) 进 入 编 辑 环 境 ; 第 二 步 : 逐 行 录 入 矩 阵 的 所 有 数 据 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 将 文 件 存 盘 后 退 出 EDIT 环 境, 回 到 MATLAB 环 境 中 第 三 步 : 键 入 load a.dat ( 回 车 ) 便 将 数 据 调 入 内 存 键 入 a ( 回 车 ) 计 算 机 屏 幕 将 显 示 矩 阵 a 的 的 全 部 数 据 7. 创 建 向 量 有 哪 些 方 法? 向 量 在 计 算 机 中 称 为 一 维 数 组, 在 计 算 某 一 函 数 的 一 组 值 时, 需 要 给 定 一 组 自 变 量 的 值, 即 创 建 向 量 () 创 建 向 量 的 通 用 方 法 是 冒 号 法 使 用 格 式 为 x = 初 值 : 步 长 : 终 值 注 意 : 当 初 值 小 于 终 值 时, 步 长 必 须 为 正 数 ; 当 初 值 大 于 终 值 时, 步 长 必 须 为 负 数 当 步 长 为 时, 可 以 省 略 不 写 如 果 初 值 为, 步 长 为, 终 值 为 则 可 以 键 入 x=: 则 创 建 了 向 量 x=[ ] 如 果 初 值 为, 步 长 为.5, 终 值 为 则 可 以 键 入 x=:.5: 则 创 建 具 了 向 量 x=[ ] () 利 用 linspace 和 logspace 指 令 创 建 向 量 命 令 linspace(x,x) 将 产 生 一 个 具 有 个 元 素 的 行 向 量, 这 个 行 向 量 的 元 素 是 介 于

8 M ATLAB 8 问 8/9 x 和 x 之 间 的 有 限 等 差 数 列, 即 行 向 量 的 第 一 个 元 素 为 x, 最 后 一 个 元 素 是 x 命 令 linspace(x, x, N) 将 产 生 介 于 x 和 x 之 间 的 N 个 点 形 成 的 行 向 量, 向 量 的 第 一 个 元 素 为 x 最 后 一 个 元 素 为 x, 仍 是 等 差 数 列 例 如 x=linspace(,6,8) 将 得 到 介 于 到 6 之 间 的 八 个 元 素 的 行 向 量 x =[ ] logspace(d, d) 将 产 生 具 有 5 个 对 数 等 距 点 的 行 向 量, 其 中 向 量 的 元 素 介 于 d 和 d 之 间 logspace(d, d, N) 将 产 生 N 个 对 数 等 距 点 的 行 向 量 (3) 利 用 已 有 的 矩 阵 剪 裁 方 法 创 建 向 量 例 如, 在 MATLAB 中 用 下 面 的 命 令 A=[ 3;4 5 6;7 8 9 ]; 创 建 了 矩 阵 3 A = 键 入 p = A(,: ), 可 得 行 向 量 p = [ 3] 这 是 矩 阵 A 的 第 一 行 行 向 量 键 入 p = A( :, ), 可 得 列 向 量 p = [ 4 7] T 这 是 矩 阵 A 的 第 一 列 列 向 量 同 理, A(,:) A(3,:) 分 别 得 到 矩 阵 A 的 第 二 行 和 第 三 行 两 个 行 向 量 ; A(:,) A(:,3) 分 别 得 到 矩 阵 A 的 第 二 列 和 第 三 列 两 个 列 向 量 8. 特 殊 符 号 ; 和 : 有 何 用 处? 在 MATLAB 中, 分 号 ; 的 用 处 通 常 有 两 个, 一 是 是 用 于 矩 阵 数 据 输 入 时 将 相 邻 两 行 数 据 分 隔 开 ; 二 是 将 它 用 于 一 条 MATLAB 命 令 之 后, 使 该 命 令 被 执 行 后 所 产 生 的 数 据 结 果 ( 如 果 有 数 据 结 果 ) 不 显 示 在 计 算 机 屏 幕 上 ( 因 为 计 算 机 CPU 运 行 速 度 远 高 于 屏 幕 显 示 速 度, 在 程 序 运 行 时 不 显 示 一 些 中 间 数 据 将 节 约 不 少 时 间 ) 例 如, 在 MATLAB 中 键 入 y=sin(pi/5); 计 算 机 将 计 算 出 正 弦 函 数 在 π / 5 处 的 函 数 值, 并 把 计 算 所 得 的 值 赋 值 给 y, 但 是 计 算 机 屏 幕 上 却 不 显 示 出 任 何 数 据 如 果 想 知 道 y 的 值 是 多 少, 只 须 键 入 y 并 回 车, 屏 幕 上 将 显 示 出 y 的 数 据 在 MATLAB 中 冒 号 : 的 用 处 通 常 也 有 两 个, 一 是 用 于 循 环, 二 是 用 于 矩 阵 的 裁 剪

9 M ATLAB 8 问 9/9 如, 语 句 x=:6 将 产 生 一 个 具 有 六 个 元 素 的 向 量 x = [ ] x=:-5: 将 产 生 一 个 具 有 十 九 个 元 素 的 向 量 对 于 矩 阵 x = [ ] A = 4 7 A(,: ) 表 示 矩 阵 A 的 第 一 行 之 所 有 元 素 形 成 的 行 向 量 3 A( :, ) 则 表 示 矩 阵 A 的 第 一 列 所 有 的 元 素 4 7 形 成 的 列 向 量 而 A(:, :) 则 表 示 矩 阵 A 的 前 两 行 和 前 两 列 的 元 素 形 成 的 阶 矩 阵 如 何 求 解 一 元 n 次 方 程 求 一 元 n 次 方 程 的 根 用 命 令 roots 我 们 都 知 道, 一 元 二 次 方 程 ax + bx + c = 的 求 根 公 式 为 x, = b ± b 4ac a 例 如 对 于 方 程 式 x + 5x + 8 =, 首 先 输 入 系 数, 然 后 按 公 式 计 算 两 个 根 的 值, 在 MATLAB 中 键 入 a=;b=5;c=8; p=sqrt(b^-4*a*c); x=(-b-p)/(*a) x=(-b+p)/(*a) 计 算 机 屏 幕 将 显 示 此 方 程 的 两 个 根 : x = i x = i 对 于 高 次 方 程, 比 如 5 次 以 上 的 方 程, 我 们 无 法 用 求 根 公 式 求 解 但 是 用 MATLAB 的 求 多 项 式 零 点 的 命 令 可 以 求 出 高 次 方 程 的 全 部 根 以 上 面 的 例 子 为 例, 只 须 键 入 roots([,5,8]) 并 回 车, 计 算 机 将 显 示 ans =

10 M ATLAB 8 问 / i i 这 与 前 面 计 算 结 果 相 同, 由 此 可 知 命 令 roots([,5,8]) 求 出 了 一 元 二 次 方 程 x + 5x + 8 = 的 全 部 根 所 以 对 于 一 个 高 次 代 数 方 程 a L n n x + ax + + an x + an = 用 命 令 roots([a a a n ]) 可 以 求 出 该 n 次 方 程 的 全 部 根. 如 何 求 解 线 性 方 程 组? 当 一 个 方 程 组 Ax=b 有 唯 一 解 时 可 用 指 令 A\b 直 接 求 解, 其 中,A 是 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵,b 是 方 程 组 的 右 端 向 量 例 如 给 定 线 性 方 程 组 x x 5 x 3 x = 可 以 先 输 入 系 数 矩 阵 和 右 端 向 量, 然 后 直 接 求 解, 在 MATLAB 中 键 入 A=[ -; 5 3 -; ; 3 3]; b=[4;7;-;]; x=a\b 计 算 机 执 行 后, 将 显 示 数 据 结 果 x= - - 由 此 得 知 方 程 组 的 解 为 x =,x = -,x 3 =,x 4 = - 上 面 这 一 种 方 法 非 常 适 用 于 方 程 组 有 唯 一 解 的 情 形, 在 处 理 实 际 问 题 时, 有 些 方 程 组 有 无 穷 多 组 解, 这 时 可 用 另 一 条 指 令 rref([a b]) 化 简 方 程 组 的 增 广 矩 阵, 然 后 利 用 线 性 代 数 的 方 法 得 出 方 程 组 的 通 解 当 方 程 组 有 唯 一 解 时, 仍 然 可 以 用 这 一 指 令, 例 如 求 解 上 面 例 子 在 MATLAB 中 键 入 A=[ -; 5 3 -; ; 3 3]; b=[4;7;-;]; rref([a b])

11 M ATLAB 8 问 /9 计 算 机 执 行 后, 屏 幕 将 显 示 数 据 结 果 ans = - - 这 一 矩 阵 与 增 广 矩 阵 等 价 (4 个 非 零 行 5 列 ), 由 此 写 出 与 原 方 程 等 价 的 方 程 组, 即 x =,x = -,x 3 =,x 4 = - 如 果 用 rref([a b]) 命 令 得 到 最 后 的 矩 阵 中 非 零 行 数 小 于 列 数 减, 则 可 求 出 线 性 方 程 组 的 通 解 有 关 线 性 方 程 组 的 通 解 和 基 础 解 系 的 概 念 请 参 考 线 性 代 数 教 材. 如 何 求 解 矩 阵 方 程? 在 一 个 矩 阵 方 程 中, 未 知 元 素 是 一 个 矩 阵 线 性 代 数 中 的 矩 阵 方 程 总 可 以 写 成 如 下 两 种 形 式 中 的 一 种 AX = B 或 XA = B 这 里,X 是 未 知 矩 阵, 而 A B 则 是 已 知 的 矩 阵 这 两 种 类 型 的 矩 阵 方 程 的 解 分 别 为 X = A - B 或 X = BA - 在 MATLAB 环 境 中, 可 以 分 别 用 下 面 两 条 命 令 求 解 这 两 类 方 程 X = A\B 或 X = B/A 注 意,A 左 除 B( 用 反 斜 杠 ) 相 当 于 用 A 的 逆 矩 阵 左 乘 矩 阵 B;A 右 除 B( 用 斜 杠 ) 相 当 于 用 A 的 逆 矩 阵 右 乘 矩 阵 B 例 如 求 矩 阵 方 程 可 用 如 下 命 令 A = [ -; ; - ]; B = [ -; ; ]; X = A\B 计 算 机 运 行 后, 显 示 数 据 结 果 X = X =

12 M ATLAB 8 问 / 这 就 是 矩 阵 方 程 的 解 显 然,X 是 一 个 3 阶 的 矩 阵 再 例 如, 求 矩 阵 方 程 X = 可 用 如 下 命 令 A = [ -; ; - ]; B = [ - ; ]; X = B/A 计 算 机 运 行 后, 显 示 数 据 结 果 X = 显 然, 这 一 矩 阵 方 程 的 解 是 一 个 3 的 矩 阵. 如 何 求 一 个 n 阶 行 列 式 的 值? 如 果 已 经 输 入 了 一 个 方 阵 A 的 全 部 数 据, 那 么 只 须 用 命 令 det(a) 就 能 求 出 A 的 行 列 式 的 值 对 于 一 个 特 殊 的 n 阶 行 列 式 的 计 算 必 须 先 分 析 行 列 式 中 数 据 分 布 的 规 律, 用 算 法 产 生 对 应 的 矩 阵 A, 然 后 用 命 令 det(a) 计 算 出 具 体 的 行 列 式 的 值 例 如 对 于 n 阶 行 列 式 3 L L L L L L L L L n 分 析 数 据 分 布 的 规 律 可 知, 对 应 的 矩 阵 主 对 角 元 素 是 3 n, 而 其 余 的 元 素 均 为 另 外, 当 行 列 式 的 阶 数 不 同 时 数 据 结 果 也 不 一 样, 所 以 n 扮 演 参 数 的 角 色 请 参 考 下 面 的 程 序 段 计 算 行 列 式 的 值 n=input('input n=?');

13 M ATLAB 8 问 3/9 A=*ones(n,n); for k=:n A(k,k)=k; end det(a) 这 里, 第 一 条 语 句 是 要 求 从 键 盘 上 输 入 一 个 n 的 值, 第 二 条 语 句 是 创 建 全 部 元 素 为 的 n 阶 方 阵, 接 下 来 用 for end 语 句 将 方 阵 的 主 对 角 元 修 改 为 3 n, 最 后 用 求 行 列 式 命 令 计 算 并 显 示 出 该 行 列 式 的 值 如 果 将 n 的 值 输 入 为 5, 计 算 结 果 为 -; 如 果 将 n 的 值 输 入 为 6, 则 计 算 结 果 为 -48;, 从 多 次 试 验 的 数 据 结 果 可 以 猜 测 出 本 题 答 案 为 -(n-)! 但 是, 这 样 多 次 使 用 这 段 程 序 计 算 必 须 将 程 序 作 为 一 个 方 件 保 存 在 磁 盘 上, 关 于 MATLAB 的 文 件 操 作 请 参 考 问 题 3. 如 何 使 用 MATLAB 的 在 线 帮 助? MATLAB 的 命 令 非 常 多, 即 使 是 经 常 使 用 这 一 软 件 的 人, 也 会 忘 记 常 用 的 MATLAB 命 令 对 于 记 住 的 一 些 命 令, 在 使 用 时 又 可 能 忘 记 了 格 式 这 时, 可 以 向 MATLAB 系 统 寻 求 帮 助 获 取 MATLAB 指 令 的 帮 助 信 息 有 多 种 方 法, 这 里 介 绍 常 用 的 三 种 () 知 道 命 令 名 称, 不 熟 悉 使 用 格 式, 可 以 用 help 的 命 令 获 得 帮 助, 格 式 如 下 help <MATLAB 的 具 体 指 令 > ( 回 车 ) 例 如 : 键 入 help magic ( 回 车 ) 屏 幕 将 显 示 怎 样 使 用 magic 命 令 求 n 阶 幻 方 MAGIC(N) is an N-by-N matrix constructed from the integers through N^ with equal row and column sums. 根 据 帮 助 信 息, 在 MATLAB 环 境 下 键 入 magic(3) ( 回 车 ), 屏 幕 上 会 出 现 3 阶 幻 方 矩 阵 : 这 一 矩 阵 的 每 一 行 元 素 之 和 均 为 5, 每 一 列 元 素 之 和 也 均 为 5 由 此 可 以 体 会 到 magic 这 条 指 令 的 使 用 方 法 以 及 它 的 具 体 功 能 () 知 道 命 令 名 称 的 第 一 个 英 文 字 母, 可 用 鼠 标 选 择 MATLAB 命 令 窗 口 上 方 菜 单 栏 中 的 help 选 项, 再 从 下 拉 菜 单 中 选 择 Index 这 时, 屏 幕 上 将 出 现 MATLAB 的 帮 助 窗 口, 窗 口 首 先 出 现 MATLAB 全 部 命 令 名 称 的 索 引, 索 引 的 命 令 名 按 英 文 字 母 顺 序 排 列 找 到 你 所 需 要 的 命 令 名, 用 鼠 标 单 击 它, 将 会 得 到 该 命 令 的 英 文 帮 助 信 息

14 M ATLAB 8 问 4/9 (3) 如 果 忘 记 了 所 要 使 用 的 命 令 的 名 称, 可 以 根 据 命 令 的 功 能 属 于 哪 一 类 来 进 行 分 类 的 查 找 MATLAB 的 所 有 命 令 和 语 句 被 划 分 为 3 类 在 MATLAB 环 境 下 键 入 指 令 help ( 回 车 ) 屏 幕 将 显 示 出 关 于 MATLAB 的 3 个 类 的 名 称 toolbox\local 本 地 函 数 库 ( 启 动 MATLAB 时 所 需 的 文 件 ) matlab\datafun 数 据 分 析 和 付 里 叶 变 换 ( 统 计 计 算 离 散 卷 积 快 速 付 里 叶 变 换 ) matlab\elfun 基 本 数 学 函 数 ( 三 角 函 数 双 曲 函 数 指 数 函 数 对 数 函 数 等 ) matlab\elmat 基 本 矩 阵 和 矩 阵 操 作 ( 常 用 矩 阵 特 殊 变 量 和 常 数 时 钟 函 数 ) matlab\funfun 函 数 操 作 非 线 性 数 值 方 法 ( 数 值 积 分 常 微 分 方 程 求 解 等 ) matlab\general 常 用 操 作 命 令 ( 用 于 日 常 管 理 窗 口 控 制 的 命 令 和 变 量 ) matlab\color 色 彩 控 制 和 灯 光 效 果 ( 关 于 图 形 的 色 彩 和 灯 光 效 果 控 制 命 令 ) matlab\graphics 图 形 窗 口 控 制 及 一 般 绘 图 命 令 ( 清 除 保 持 图 形 做 动 画 等 ) matlab\iofun 低 级 文 件 输 入 / 输 出 命 令 ( 打 开 关 闭 文 件, 读 写 二 进 制 文 件 等 ) matlab\lang 语 言 结 构 和 调 试 (MATLAB 编 程 常 用 的 一 些 命 令 和 语 句 ) matlab\matfun 矩 阵 函 数 和 数 值 线 性 代 数 ( 矩 阵 变 换 矩 阵 分 解 特 征 值 等 ) matlab\ops 运 算 符 和 特 殊 符 号 ( 算 术 运 算 逻 辑 运 算 以 及 特 殊 符 号 ) matlab\plotxy 二 维 图 形 绘 图 命 令 ( 绘 制 平 面 图 形 的 各 种 命 令 ) matlab\plotxyz 三 维 图 形 绘 图 命 令 ( 绘 制 空 间 图 形 的 各 种 命 令 ) matlab\polyfun 多 项 式 函 数 与 插 值 函 数 ( 有 关 多 项 式 运 算 以 及 代 数 插 值 样 条 ) matlab\sounds 声 音 处 理 函 数 ( 声 音 的 读 写 变 换 等 ) matlab\sparfun 稀 疏 矩 阵 函 数 ( 稀 疏 矩 阵 的 创 建 图 论 中 的 图 的 绘 制 等 命 令 ) matlab\specfun 特 殊 数 学 函 数 ( 贝 塞 尔 函 数 误 差 函 数 椭 圆 积 分 等 ) matlab\specmat 特 殊 矩 阵 ( 希 尔 伯 特 矩 阵 幻 方 矩 阵 多 项 式 的 伴 随 友 阵 等 ) matlab\strfun 字 符 串 函 数 ( 关 于 字 符 串 的 操 作, 字 符 比 较 字 符 变 换 等 ) matlab\dde 动 态 数 据 交 换 工 具 箱 matlab\demos MATLAB 自 动 演 示 系 统 所 用 的 主 程 序 和 全 部 M 文 件 根 据 分 类 的 信 息, 可 以 再 次 用 help 命 令 例 如 键 入 help elfun 将 获 得 MATLAB 中 全 部 基 本 数 学 函 数 的 清 单 最 后 可 以 用 help 命 令 获 取 具 体 命 令 的 帮 助 信 息 4. MATLAB 有 哪 些 运 算 符 号 及 特 殊 字 符? MATLAB 具 有 其 它 计 算 机 高 级 语 言 ( 如 BASIC FORTRAN C) 所 具 有 的 内 部 函 数 和 用 于 算 术 运 算 和 逻 辑 运 算 的 运 算 符 号 和 关 系 符 号

15 M ATLAB 8 问 5/9 早 期 的 MATLAB 主 要 是 针 对 矩 阵 进 行 运 算 (MATLAB 的 名 称 来 源 于 矩 阵 实 验 室 ), 所 以 它 还 具 有 一 些 特 殊 的 运 算 符 号 如 点 乘 点 除 点 方 幂 等, 正 是 这 些 特 殊 的 功 能 使 得 这 一 软 件 具 有 高 效 的 编 程 环 境 无 论 是 在 MATLAB 的 交 互 式 环 境 下 使 用 各 种 指 令, 还 是 利 用 批 处 理 进 行 编 程, 这 些 运 算 符 号 和 特 殊 字 符 都 是 使 用 者 所 必 须 熟 悉 的 + 加 法 运 算 适 用 于 两 个 数 相 加 或 两 个 同 阶 矩 阵 相 加 - 减 法 运 算 * 乘 法 运 算 适 用 于 两 个 数 相 乘 或 两 个 矩 阵 相 乘.* 点 乘 运 算 适 用 于 两 个 同 阶 矩 阵 对 应 元 素 相 乘 例 如 : [ 3].*[ ] 其 结 果 为 :[ 4 6]./ 点 除 运 算 例 如 : [ 3]./[ ] 其 结 果 为 :[.5] ^ 乘 幂 运 算 \ 反 斜 杠 表 示 左 除 如, x = A \ B 可 以 得 到 矩 阵 方 程 Ax = B 的 解 pi 数 学 常 数 π 即, ! 惊 叹 号 用 于 后 接 DOS 操 作 命 令 ( 不 退 出 MATLAB 执 行 DOS 命 令 ) 如, 使 用 DOS 的 编 辑 器 EDIT.EXE 编 写 MATLAB 程 序, 可 以 键 入!EDIT <LAB.M> ( 回 车 ) 就 进 入 编 辑 环 境, 编 写 文 件 名 为 LAB.M 的 MATLAB 程 序 == 双 等 号 表 示 相 等 关 系 符 号 另 外, < 和 > 分 别 表 示 小 于 和 大 于 关 系 符 号 % 用 于 注 释 行 开 始 在 程 序 中 某 行 的 第 一 列 加 上 %, 将 不 执 行 这 一 行 & 逻 辑 与 运 算 符 号 另 外, 和 ~ 分 别 表 示 逻 辑 或 和 逻 辑 非 运 算 符 号 ( 注 意 : ~ 这 个 符 号 在 计 算 机 键 盘 左 上 角, 与 ` 在 同 一 键 上 ) 5.WHO 和 CLEAR 有 什 么 用 处? 这 两 条 指 令 主 要 用 于 管 理 MATLAB 的 工 作 空 间 计 算 机 内 存 是 非 常 宝 贵 的 资 源, 如 果 连 续 使 用 MATLAB 的 时 间 较 长, 已 经 创 建 或 产 的 很 多 变 量, 就 会 占 用 相 当 多 的 空 间 而 一 些 过 时 无 用 的 变 量 长 时 间 滞 留 于 内 存, 对 另 外 的 一 些 数 据 产 生 干 扰 这 时, 应 当 清 理 工 作 空 间, 删 除 一 些 过 时 不 用 的 变 量 以 释 放 计 算 机 内 存 这 样 就 可 以 保 持 一 个 正 常 良 好 的 工 作 环 境, 使 工 作 可 以 不 间 断 地 进 行 下 去 指 令 WHO 用 于 显 示 出 当 前 工 作 空 间 中 存 在 的 所 有 变 量 列 表, 而 另 一 指 令 CLEAR 则 可 以 用 于 清 除 多 余 的 变 量 CLEAR x 仅 仅 清 除 变 量 x CLEAR x y z 将 清 除 变 量 x y z 注 意 : 单 独 使 用 CLEAR 将 清 除 掉 所 有 工 作 空 间 的 变 量, 这 样 等 同 于 退 出 MATLAB 再 重 新 进 入 另 外, 指 令 WHOS 不 仅 列 出 当 前 工 作 空 间 中 的 所 有 变 量, 还 将 每 一 变 量 所 占 用 的 空 间 大 小 列 表 显 示 出 来 从 所 显 示 出 的 信 息 还 可 以 得 知 这 些 变 量 中 哪 些

16 M ATLAB 8 问 6/9 是 矩 阵, 哪 些 是 向 量, 哪 些 是 单 个 的 数 据 6. 如 何 用 MATLAB 绘 制 标 志 的 图 形? MATLAB 软 件 系 统 的 图 标 的 雏 形 是 二 元 函 数 ( x y ) f ( x, y) = e +. 3 x 8., 5. y 5. 所 对 应 曲 面 图 形 这 一 曲 面 图 形 和 MATLAB 的 系 统 图 标 有 一 些 微 小 的 差 别 在 MATLAB 环 境 中 键 入 如 下 指 令 x= -.3:.:.8;y=x+.8; % 确 定 离 散 点 横 坐 标 和 纵 坐 标 [x,y] = meshgrid(x,y); % 产 生 二 元 函 数 自 变 量 域 的 离 散 点 z=exp(-(x.^+y.^)); % 计 算 各 离 散 点 处 函 数 值 z(:3,:4)=zeros(3,4); % 修 改 部 分 函 数 值 为 零 mesh(z) % 根 据 离 散 点 处 函 数 值 绘 图 这 五 行 指 令 被 计 算 机 执 行 后, 屏 幕 上 将 显 图 -6 中 的 图 形 Mesh 是 绘 制 曲 面 的 命 令, 具 体 使 用 格 式 请 参 考 问 题 47 图 -6 系 统 标 志 图 形

17 M ATLAB 8 问 7/9 7. 如 何 保 存 计 算 所 得 的 数 据 结 果? 保 存 数 据 结 果 是 非 常 有 用 的, 例 如 第 6 问 题 中 通 过 计 算 获 得 了 图 -6 中 曲 面 上 各 点 处 的 高 度 值, 这 些 数 据 以 变 量 z 的 名 义 保 存 在 计 算 机 内 存 中, 一 旦 退 出 MATLAB, 变 量 z 所 含 的 数 据 就 会 丢 失 在 这 种 情 况 下 可 用 命 令 save date z 将 变 量 z 的 数 据 保 存 在 磁 盘 上, 下 一 次 使 用 MATLAB 时 用 命 令 load date 将 所 保 存 的 数 据 从 磁 盘 上 调 入 内 存, 可 以 再 次 使 用 这 里,date 是 数 据 文 件 名 Save 命 令 的 具 体 使 用 格 式 如 下 save 文 件 名 变 量 名 变 量 名 变 量 名 n ( 回 车 ) 如 果 将 文 件 名 取 为 date, 则 MATLAB 将 在 磁 盘 上 产 生 一 个 文 件, 文 件 名 为 date.mat, 这 一 文 件 保 存 了 变 量 变 量 变 量 n 这 n 个 变 量 的 数 据 使 用 这 一 命 令 时 缺 省 了 变 量 名, 即 只 用 命 令 save date, 则 MATLAB 会 将 当 前 工 作 空 间 中 所 有 的 变 量 ( 数 据 ) 保 存 在 文 件 date.mat 中 将 数 据 恢 复 ( 即 从 磁 盘 上 将 数 据 读 入 内 存 ) 所 用 命 令 的 格 式 如 下 load 文 件 名 ( 回 车 ) 如 果 执 行 命 令 load date,matlab 会 将 date.mat 文 件 中 所 含 变 量 ( 数 据 ) 调 入 工 作 空 间 8. 如 何 观 看 MATLAB 的 入 门 演 示?

18 M ATLAB 8 问 8/9 在 MATLAB 的 命 令 窗 口 中 键 入 demos 并 回 车, 将 进 入 下 图 所 示 的 help 窗 口 初 学 者 在 观 看 入 门 演 示 中 将 获 得 MATLAB 的 基 础 知 识 用 鼠 标 点 击 窗 口 左 栏 选 项 ( 如 Graphics), 将 展 开 可 选 的 演 示 项 ( 见 上 图 ). 再 用 鼠 标 点 击 需 要 了 解 的 内 容, 再 右 栏 点 击 run this demo, 将 进 入 示 例 演 示 程 序, 同 时 matlab 的 基 本 命 令 及 使 用 方 法 将 显 示 在 迷 你 命 令

19 M ATLAB 8 问 9/9 窗 口 里 下 面, 我 们 以 3-D Plots 为 例 演 示 操 作 步 骤. 从 这 些 基 本 指 令 的 介 绍 中, 你 可 以 看 到 MATLAB 用 于 数 值 计 算 和 图 形 绘 制 的 强 大 功 能 和 易 学 易 用 的 特 点 Demo 中 每 一 步 的 观 看 可 用 鼠 标 操 作, 初 学 者 可 以 多 做 一 些 尝 试 以 获 得 对 数 学 软 件 MATLAB 的 初 步 印 象, 点 击 close 会 关 闭 演 示. 9. 如 何 将 MATLAB 计 算 结 果 保 存 到 WORD 文 稿 中? WORD 是 微 软 公 司 出 品 的 一 个 优 秀 文 字 处 理 软 件, 除 了 可 以 方 便 输 入 中 英 文 文 字 和 编 辑 排 版 外, 它 的 另 一 优 点 就 是 能 快 速 编 辑 数 学 公 式 目 前 世 界 上 很 多 科 技 工 作 者 都 用 这 一 软 件 写 作 论 文 为 了 保 证 数 据 结 果 的 正 确 性, 在 MATLAB 与 WORD 之 间 进 行 数 据 传 送 是 很 重 要 的 数 据 传 送 应 该 是 双 向 进 行, 传 送 的 意 义 包 括 两 方 面 一 是 将 MATLAB 工 作 环 境 中 计 算 获 得 的 数 据 结 果 快 速 而 且 准 确 无 误 地 保 存 到 WORD 文 稿 中 二 是 检 验 WORD 文 稿 中 某

20 M ATLAB 8 问 /9 一 数 据 结 果, 如 积 分 值 方 程 的 根 等 是 否 正 确 这 两 种 传 送 都 可 以 利 用 Windows98 中 剪 贴 板 的 粘 贴 功 能 实 现 通 常 用 得 较 多 的 是 第 一 种 数 据 传 送, 即 由 MATLAB 到 WORD 的 数 据 单 向 传 送 数 据 结 果 可 以 是 单 独 一 个 的 数 据, 也 可 以 是 多 个 数 据 ( 向 量 或 矩 阵 ), 具 体 的 操 作 如 下 () 在 MATLAB 命 令 窗 口 中, 将 数 据 结 果 选 定 ; () 在 MATLAB 命 令 窗 口 上 方 菜 单 栏 中, 用 鼠 标 单 击 EDIT, 在 下 拉 菜 单 中 选 择 COPY ; (3) 切 换 到 WORD 文 稿 的 窗 口, 将 光 标 移 到 数 据 应 该 出 现 的 位 置 ; (4) 用 鼠 标 单 击 WORD 工 具 栏 上 的 粘 贴 按 钮 例 如, 计 算 定 积 分 π sin x dx 的 值 在 MATLAB 窗 口 中 键 入 quat( sin,,pi), 并 回 车, 得 ans = 据 的 单 向 传 送. 按 上 面 四 步 操 作 将 数 据 结 果 粘 贴 到 WORD 文 稿 中, 这 是 单 个 数 我 们 可 以 利 用 WORD 所 带 的 公 式 编 缉 器 输 入 符 号 π sin xdx =, 然 后 将 积 分 的 数 据 结 果 从 MATLAB 命 令 窗 口 中 粘 贴 到 等 号 后 面 得 图 -7 选 定 MATLAB 命 令 窗 口 中 的 数 据 π sin xdx =. 也 可 以 按 上 面 介 绍 的 操 作 步 骤, 将 MATLAB 计 算 所 得 的 多 个 数 据 结 果 粘 贴 至 WORD 文 稿 中 的 合 适 位 置, 然 后 用 WORD 的 编 辑 功 能 将 数 据 转 换 为 表 格 在 WORD 工 作 窗 口 中, 用 鼠 标 将 粘 贴 而 来 的 多 个 数 据 选 定, 然 后 选 择 表 格 菜 单 中 的 将 文 字 转 换 成 表 格 即 可 完 成 这 项 工 作 例 如 计 算 下 列 函 数 值

21 M ATLAB 8 问 /9 f ( x ) = j x j exp( π t ) dt,( x =,x =,x 3 =3 ) 可 以 用 MATLAB 计 算 出 三 个 函 数 值 并 粘 贴 后, 在 WORD 文 稿 中 创 建 下 面 表 格 表 -5 x 3 f (x) 表 格 的 具 体 操 作 请 参 考 WORD 的 有 关 书 籍, 如 表 格 居 中 表 格 内 各 单 元 的 文 字 符 号 居 中 表 格 中 各 单 元 的 高 度 和 宽 度 设 置 值 的 调 整 结 合 这 些 命 令 可 以 制 做 出 美 观 大 方 的 数 据 表 格. 如 何 将 MATLAB 所 绘 图 形 置 入 WORD 文 稿 文 字 处 理 软 件 WORD 的 另 一 个 突 出 的 优 点 就 是 图 文 混 排, 我 们 可 以 在 WORD 文 稿 中 置 入 图 形 图 片, 使 得 WORD 所 编 辑 的 文 稿 丰 富 多 彩 而 MATLAB 的 绘 制 图 形 功 能 可 以 很 方 便 地 绘 出 函 数 的 图 形, 或 由 数 据 结 果 绘 出 所 需 要 的 空 间 曲 线 图 形 统 计 直 方 图 复 杂 的 二 维 曲 面 图 等 等 这 些 图 形 都 显 示 在 MATLAB 的 图 形 窗 口 中, 我 们 可 以 通 过 Windows98 的 剪 贴 板 功 能 将 图 形 直 接 粘 贴 到 WORD 文 稿 中 例 如 已 知 曲 线 的 方 程 为 y = e.5x sin 5x 现 绘 制 对 应 的 曲 线 图 形 在 MATLAB 命 令 窗 口 中 键 入 x=:.:8; y=exp(-.5*x).* sin(5*x); plot(x,y) MATLAB 的 图 形 窗 口 中 将 绘 出 衰 减 振 荡 曲 线 为 了 将 图 形 置 入 WORD 文 稿 中, 可 以 按 如 下 操 作 进 行 () 在 MATLAB 的 图 形 窗 口 中 用 鼠 标 单 击 菜 单 栏 中 的 Edit, 在 下 拉 菜 单 中 选 择 Copy ; () 切 换 到 WORD 文 稿 的 编 辑 窗 口, 用 鼠 标 单 击 菜 单 栏 中 的 插 入 菜 单, 在 下 拉 菜 单 中 选 择 文 本 框, 横 排 ; (3) 将 鼠 标 光 标 ( 十 字 架 ) 移 到 文 稿 中 适 当 的 位 置 处, 按 住 鼠 标 左 键 向 右 下 方 拖 动, 出 现 文 本 框 ;

22 M ATLAB 8 问 /9 (4) 用 鼠 标 单 击 WORD 工 具 栏 上 的 粘 贴 按 钮 此 时,MATLAB 绘 制 出 的 图 形 就 被 置 入 WORD 文 稿 的 文 本 框 中 注 意 :MATLAB 图 形 窗 口 背 景 是 黑 色, 如 果 事 先 将 曲 线 颜 色 设 置 为 白 色, 图 片 粘 贴 到 WORD 文 稿 后 自 动 反 色, 将 得 到 白 色 背 景 的 黑 色 曲 线 图 形 图 -8 在 MATLAB 图 形 窗 口 中 选 择 图 形 拷 贝 将 图 形 粘 贴 到 WORD 文 稿 的 文 本 框 内 后, 可 以 设 置 文 本 框 格 式, 如 文 本 框 边 框 的 颜 色 文 本 框 的 环 绕 方 式 等, 有 关 操 作 请 参 考 有 关 WORD 的 书 籍 图 -9 粘 贴 到 WORD 文 稿 中 的 图 形

23 M ATLAB 8 问 3/9 二. 基 础 篇 用 MATLAB 解 决 一 般 的 数 学 问 题 时 应 熟 悉 最 基 本 的 命 令, 如 求 积 分 求 函 数 极 值 求 解 常 微 分 方 程 初 值 问 题 以 及 绘 制 函 数 图 形 等 等 有 时, 为 了 研 究 函 数 需 要 编 辑 函 数 文 件, 为 了 提 高 解 决 问 题 的 效 率 需 要 编 写 程 序, 这 些 正 是 本 篇 要 介 绍 的. 什 么 是 MATLAB 的 命 令 操 作 方 式? 所 谓 命 令 操 作 方 式 就 是 常 用 的 简 单 操 作 方 式 为 了 完 成 一 个 作 业, 用 户 在 MATLAB 的 命 令 窗 口 中 键 入 一 条 ( 或 几 条 ) 命 令, 计 算 机 执 行 后 显 示 出 计 算 结 果 用 户 观 察 结 果 后, 修 改 或 重 新 输 入 命 令, 计 算 机 再 次 执 行, 再 次 输 出 数 据 结 果 这 种 操 作 方 式 也 称 为 交 互 式 操 作 方 式 或 人 机 对 话 方 式 它 的 特 点 是 () 计 算 机 处 理 及 时 当 用 户 输 入 数 据 或 键 入 MATLAB 指 令 时, 计 算 机 将 即 时 接 受 及 时 处 理, 给 出 计 算 结 果, 并 等 待 人 工 的 下 一 步 操 作 () 人 工 干 预 性 强 完 成 作 业 过 程 中 的 每 一 步 都 需 人 工 键 入 命 令, 即 使 数 据 有 误 或 某 一 指 令 输 入 有 错, 也 可 以 重 新 调 出 前 次 或 再 前 次 的 操 作 指 令 进 行 修 改 后 重 新 执 行 例 如 用 海 伦 公 式 计 算 三 角 形 面 积 已 知 ΔABC 的 三 条 边 长 分 别 为 a = 3, b = 5, c = 7 由 海 伦 公 式, 三 角 形 面 积 为 S = p( p a)( p b)( p c) 其 中,p=(a + b + c)/ 为 三 角 形 半 周 长 在 MATLAB 命 令 窗 口 中 键 入 a=3, b=5, c=7 p=(a + b + c)/ % 输 入 三 条 边 的 长 度 % 计 算 三 角 形 半 周 长 s=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) % 计 算 三 角 形 面 积 每 键 入 一 行 命 令, 计 算 机 都 会 显 示 出 计 算 结 果 p = 7.5,s = 这 说 明, 边 长 为 a = 3, b = 5, c = 7 的 三 角 形 的 半 周 长 为 7.5, 面 积 为 MATLAB 的 命 令 窗 口 中 命 令 的 输 入 是 行 编 辑 方 式, 可 以 在 一 个 命 令 行 上 输 入 一 条 命 令, 也 可 以 在 一 个 命 令 行 上 输 入 几 条 命 令 当 用 户 输 入 一 条 命 令 后 再

24 M ATLAB 8 问 4/9 击 回 车 键,MATLAB 将 执 行 这 条 命 令, 当 命 令 正 确 无 误 将 显 示 正 确 的 结 果, 当 命 令 有 误 将 给 出 错 误 信 息 如 果 在 一 个 命 令 行 上 同 时 输 入 两 条 以 上 的 命 令, 则 应 在 指 令 和 指 令 之 间 用 逗 号, ( 或 分 号 ; ) 隔 开, 输 入 完 最 后 一 条 命 令 后 击 回 车 键,MATALAB 将 按 先 后 顺 序 逐 条 执 行 这 一 命 令 行 上 的 每 一 命 令 注 意, 如 果 在 某 一 条 指 令 结 束 处 用 了 分 号, 则 MATLAB 执 行 该 指 令 后 计 算 所 得 的 数 据 结 果 将 不 会 在 屏 幕 上 显 示 出 来 表 - 列 出 了 MATLAB 命 令 窗 口 中 常 用 的 一 些 热 键, 使 用 这 些 热 键, 可 在 MATLAB 的 环 境 中 充 分 发 挥 行 编 辑 功 能, 提 高 解 决 问 题 的 效 率 表 - 热 键 功 能 热 键 功 能 重 调 出 前 一 命 令 Home 光 标 移 行 首 重 调 出 下 一 命 令 End 光 标 移 行 尾 光 标 左 移 一 个 字 符 Esc 擦 掉 当 前 行 光 标 右 移 一 个 字 符 Ins 在 光 标 处 插 入 ^ 右 移 一 个 字 Del 删 除 光 标 处 字 符 ^ 左 移 一 个 字 Backspace 删 除 光 标 左 字 符. 什 么 是 MATLAB 的 文 件 操 作 方 式? 文 件 操 作 方 式 主 要 是 指 编 写 MATLAB 程 序, 然 后 在 MATLAB 环 境 中 执 行 程 序, 如 果 程 序 正 确, 最 后 可 获 得 计 算 的 数 据 结 果 程 序 是 静 态 实 体, 以 文 件 方 式 存 入 在 磁 盘 上 在 MATLAB 桌 面 上 点 击 File 按 钮, 在 下 拉 菜 单 中 选 择 new, 从 而 新 建 m 文 件, 进 入 Editor 进 行 文 件 操 作 ; 也 可 以 利 用 文 字 处 理 软 件 如 DOS 系 统 中 的 屏 幕 编 辑 软 件 EDIT.EXE 或 Windows 中 的 记 事 本 NOTEPAD, 在 字 处 理 软 件 的 编 辑 窗 口 编 写 程 序 ( 输 入 MATLAB 的 命 令 ), 当 程 序 编 写 好 之 后 将 其 保 存 在 MATLAB 的 工 作 目 录 下 ( 程 序 的 文 件 名 以.m 为 后 缀 ); 然 后 切 换 到 MATLAB 的 命 令 窗 口 执 行 程 序 让 MATLAB 执 行 程 序 时, 只 须 键 入 该 程 序 的 文 件 名 即 可 这 种 文 件 操 作 方 式 又 称 为 批 处 理 操 作 方 式, 其 特 点 有 : () 自 动 性 在 顺 利 的 情 况 下 ( 机 器 运 行 正 常 程 序 编 写 无 误 ), 程 序 中 的 一 批 指 令 能 自 动 地 逐 个 被 执 行, 无 须 人 工 干 预

25 M ATLAB 8 问 5/9 () 顺 序 性 程 序 中 的 各 条 指 令 是 按 先 后 顺 序 被 MATLAB 所 执 行, 各 条 指 令 执 行 的 顺 序 与 它 们 在 程 序 中 的 顺 序 是 完 全 相 同 的 例 如 用 海 伦 公 式 计 算 三 角 形 面 积 的 作 业 可 以 编 写 MATLAB 的 程 序 来 完 成 在 MATLAB 的 命 令 窗 口 中 键 入 : edit herno.m ( 回 车 ) 此 时 将 进 入 文 字 编 辑 环 境, 在 这 一 环 境 中 输 入 以 下 几 行 命 令 a=input('put a='); b=input('put b='); c=input('put c='); p=(a+b+c)/; s=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) 输 入 完 成 后, 将 这 一 文 件 ( 文 件 名 为 herno.m) 保 存 在 当 前 目 录 下, 退 出 文 字 编 辑 环 境 回 到 MATLAB 的 命 令 窗 口, 只 须 键 入 文 件 名 herno( 不 须 后 缀 m) 并 回 车,MATLAB 将 自 动 执 行 上 面 的 五 行 命 令 前 三 行 命 令 是 从 键 盘 输 入 三 角 形 的 三 条 边 长 数 据, 最 后 一 条 命 令 是 用 边 长 和 半 周 长 计 算 三 角 形 面 积 并 将 计 算 结 果 显 示 在 计 算 机 的 屏 幕 上 根 据 屏 幕 出 现 提 示 信 息, 依 次 输 入 三 个 数 据 : 3( 回 车 ) 4( 回 车 ) 5( 回 车 ) 计 算 机 运 行 后, 显 示 所 求 三 角 形 面 积 :s = 6. MATLAB 的 程 序 实 际 上 是 一 个 有 序 的 指 令 集 合, 所 以 这 种 操 作 方 式 又 称 为 批 处 理 方 式 批 处 理 方 式 实 际 上 是 从 第 一 条 指 令 开 始, 按 顺 序 连 续 执 行 指 令 集 合 中 的 各 条 指 令, 直 到 最 后 一 条 指 令 执 行 完 毕 如 果 程 序 中 某 一 条 指 令 有 错, 将 输 出 出 错 信 息, 并 停 止 程 序 的 执 行 如 果 一 个 程 序 中 有 n 条 指 令,MATLAB 批 处 理 操 作 方 式 的 工 作 流 程 将 如 图 - 所 示 b C a A c B 图 -

26 M ATLAB 8 问 6/9 k k k+ 置 第 k 条 指 令 为 当 前 指 N 当 前 指 令 正 确 Y 执 行 当 前 指 k=n Y 结 束 N 输 出 错 误 信 息, 退 出 图 - 批 处 理 方 式 的 工 作 流 程 图 3. 如 何 编 缉 MATLAB 的 函 数 文 件 由 于 MATLAB 内 部 函 数 有 限, 为 了 研 究 某 一 个 函 数 的 各 种 性 态 ( 极 大 极 小 值 积 分 值 等 ) 需 要 为 MATLAB 定 义 新 函 数, 为 此 必 须 编 写 函 数 文 件 函 数 文 件 的 文 件 名 也 是 以.m 为 后 缀, 这 类 文 件 的 第 一 行 必 须 以 字 符 function 开 始, 格 式 如 下 function 因 变 量 名 = 函 数 名 ( 自 变 量 名 ) 函 数 体 MATLAB 函 数 文 件 第 一 行 特 殊 字 符 及 格 式 决 定 了 它 与 一 般 MATLAB 程 序 的 区 别, 函 数 体 主 要 是 根 据 函 数 结 构 由 形 式 自 变 量 计 算 所 得 结 果 赋 值 给 因 变 量 为 了 区 别,MATLAB 的 程 序 一 般 又 称 为 非 函 数 文 件, 尽 管 函 数 文 件 和 非 函 数 文 件 都 是 以. m 为 文 件 名 的 后 缀, 但 两 种 文 件 不 能 混 在 一 起, 函 数 和 程 序 不 能 编 写 在 一 个 文 件 中 可 以 在 命 令 窗 口 中 或 程 序 中 调 用 已 编 辑 好 的 函 数 例 如 为 了 研 究 函 数 f ( x) = ( x ) + + ( x ) +

27 M ATLAB 8 问 7/9 的 极 值 点, 首 先 要 编 写 MATLAB 能 识 别 的 函 数 文 件 在 Matlab 环 境 下 用 鼠 标 点 击 菜 单 栏 上 的 File, 并 在 下 拉 菜 单 中 选 择 new M-file 将 进 入 Matlab 的 EDITOR 环 境, 在 其 中 录 入 下 列 两 行 : function yy=f(x) yy=sqrt((x-).^+^)+sqrt((x- 65 ).^+^); 注 意, 函 数 名 和 文 件 名 相 同, 6 均 是 f 另 外,x 是 函 数 中 的 自 变 55 量, 而 yy 是 函 数 因 变 量 函 数 定 义 中 实 际 上 是 将 自 变 量 数 据 经 过 5 计 算 并 赋 值 给 因 变 量 因 为 自 变 量 45 数 据 一 般 是 数 组, 故 涉 及 自 变 量 的 乘 法 和 方 幂 均 应 该 用 点 乘 和 点 方 幂 录 入 完 毕 后, 将 文 件 存 盘 并 退 出 EDIT, 然 后 重 新 回 到 MATLAB 环 境 下 这 时, 可 用 指 令 x=:;y=f(x); plot(x,y) 图 -3 确 定 自 变 量 值 并 计 算 对 应 的 函 数 值 数 据, 最 后 再 绘 出 函 数 的 图 形 ( 图 -3), 从 图 形 可 以 得 知, 该 函 数 有 一 个 极 小 值 点 大 约 在 x = 65 处 也 可 以 用 指 令 x=6:7;y=f(x) 计 算 出 当 自 变 量 取 6,6,6,,7 时, 对 应 的 函 数 值 数 据 为 : 显 然, 第 六 个 数 据 最 小 这 正 是 该 函 数 在 x = 65 处 的 函 数 值 如 果 函 数 的 结 构 比 较 简 单, 可 以 使 用 inline 函 数 在 内 存 中 定 义 一 个 临 时 函 数. 例 如, 我 们 计 算 一 个 半 径 为 R 的 圆 内 正 n 边 形 面 积. 取 α = π / n ( 见 图 -4), 根 据 面 积 公 式 有 π π S ( n ) = R n sin cos n n 令 R=, 在 Matlab 的 命 令 窗 口 中 键 入 S=inline( n*sin(pi/n)*cos(pi/n), n ) [s(3),s(6),s(),s(),s(),s(5),s()]

28 M ATLAB 8 问 8/9 可 得 下 面 一 系 列 数 据 由 此 可 见, 多 边 形 面 积 逐 步 逼 近 圆 面 积, 即 有 lim S( n) = πr n 图 什 么 是 MATLAB 中 的. 运 算 为 了 使 两 个 同 维 的 矩 阵 ( 或 向 量 ) 的 每 一 对 元 素 同 时 作 相 同 的 运 算, 可 以 用 这 种. 运 算, 又 称 为 按 元 素 运 算 在 编 写 MATLAB 的 函 数 文 件 时, 为 了 同 时 计 算 出 函 数 在 一 组 自 变 量 数 据 处 的 值, 一 般 都 要 用 到 这 种. 运 算 如 果 在 一 个 函 数 文 件 中, 只 用 一 般 的 乘 除 乘 幂 运 算 而 不 用 点 运 算, 这 样 的 函 数 一 次 只 能 计 算 单 个 自 变 量 数 据 的 值 例 如, 下 面 两 个 矩 阵 3 A = 4 5 6, B = 做 点 运 算, 可 以 分 别 考 虑 点 乘 点 除 和 点 乘 幂 三 种 运 算 () 点 乘. * ( 按 元 素 乘 ) 运 算 A.*B 实 际 所 做 运 算 为 计 算 结 果 为 ans = () 点 除. / 或. \ ( 按 元 素 右 除 或 按 元 素 左 除 ) 运 算 A. /B 或 A.\B 计 算 结 果 为 ans = ans = 3 3

29 M ATLAB 8 问 9/ (3) 点 乘 幂. ^ ( 按 元 素 乘 幂 ) 运 算 A.^B 计 算 结 果 为 ans = 如 果 欲 求 B 矩 阵 的 每 个 元 素 的 倒 数 形 成 的 同 型 矩 阵, 应 该 用 命 令. /B 而 不 能 用 / B. / B 的 计 算 结 果 为 ans = / / / /3 /3 /3 5. 如 何 建 立 和 使 用 自 己 的 工 作 目 录? MATLAB 安 装 成 功 以 后, 在 硬 盘 上 将 形 成 一 个 MATLAB 目 录 ( 从 WINDOWS 桌 面 我 的 电 脑 进 入 C 盘 可 看 到 一 个 MATLAB 文 件 夹 ), 在 这 一 目 录 中 包 含 了 四 个 子 目 录, 其 中 子 目 录 \work 非 常 重 要, 它 包 含 了 MATLAB 系 统 运 行 文 件 帮 助 文 件 以 及 一 些 必 要 的 二 进 制 文 件 当 我 们 进 入 MATLAB 后,C:\MATLAB\WORK 将 自 动 成 为 当 前 目 录 用 户 如 果 不 加 修 改, 那 么 我 们 在 MATLAB 工 作 环 境 下 所 创 建 的 所 有 函 数 程 序 以 及 产 生 的 数 据 文 件 等 等, 都 将 保 存 在 这 一 当 前 目 录 下 为 了 管 理 好 自 己 的 M 文 件 和 其 它 文 件, 用 户 应 该 建 立 和 使 用 自 己 的 工 作 目 录 例 如 在 C 盘 上 建 立 一 个 名 为 USER 的 目 录, 将 用 户 自 己 的 文 件 都 存 放 在 这

30 M ATLAB 8 问 3/9 一 目 录 中 将 会 大 有 好 处 具 体 操 作 如 下 : () 从 Windows 桌 面 我 的 电 脑 进 入 C 盘 ; () 用 鼠 标 选 择 屏 幕 上 方 文 件 菜 单 中 的 新 建 文 件 夹,C 盘 上 将 出 现 一 个 名 为 新 建 文 件 夹 的 文 件 夹 ; (3) 将 新 建 文 件 夹 改 名 为 USER 这 时 用 户 在 C 盘 上 有 了 自 己 的 工 作 目 录 :USER 为 了 使 用 自 己 的 工 作 目 录, 在 进 入 MATLAB 后, 在 MATLAB 环 境 下 键 入 以 下 命 令 : CD C:\USER ( 回 车 ) 就 将 用 户 目 录 指 定 为 MATLAB 当 前 工 作 目 录 系 统 的 当 前 目 录 不 再 是 C: \MATLAB\BIN 而 是 C:\USER 以 后 用 户 在 MATLAB 环 境 下 工 作 时 所 创 建 的 所 有 函 数 程 序, 保 存 的 变 量 ( 数 据 ) 也 都 将 存 放 在 这 一 目 录 下 6. 如 何 绘 制 函 数 sin x y( x) = 的 图 形? x sin x 考 察 微 积 分 中 重 要 的 函 数 极 限 之 一, 即 y( x) = 当 x 趋 于 零 时 的 极 限 x 绘 制 该 函 数 图 形 的 困 难 之 处 在 于 当 x= 时, 分 母 为 零 由 于 该 函 数 在 零 点 的 极 限 值 为, 故 当 x 接 近 于 时, 有 y ( x) 可 补 充 定 义 函 数 如 下 sin x / x, f ( x) =, x x = 为 了 避 免 分 母 为 零, 可 作 如 下 特 殊 处 理, 在 操 作 时 将 x = 处 理 为 非 常 接 近 于 零 的 数, 使 其 误 差 可 忽 略 不 计 为 了 达 到 这 一 效 果 可 以 借 用 MATLAB 中 的 一 个 特 殊 常 数 eps = 6 ( 浮 点 数 的 相 对 误 差 ), 将 所 有 自 变 量 的 离 散 数 据 统 一 都 加 上 eps 这 样 既 使 得 x 在 零 点 处 的 值 只 是 机 器 数 零, 又 使 得 x 在 其 它 点 处 的 值 不 会 与 正 确 值 有 较 大 的 误 差 可 以 用 如 下 程 序 段 绘 图 x=-:.5:;x=x+eps; % 取 x 的 离 散 值 并 做 特 殊 处 理 y=sin(x)./x; % 计 算 对 应 的 函 数 值 plot(x,y) % 根 据 函 数 的 离 散 数 据 绘 图 计 算 机 运 行 后,MATLAB 的 图 形 窗 口 将 出 现 图 -4 中 的 曲 线 图 形

31 M ATLAB 8 问 3/9 图 -4 函 数 y=sin x / x 的 图 形 x 7. 如 何 绘 制 函 数 y ( x) = ( + ) 的 图 形? x x 另 一 个 重 要 的 函 数 极 限 是 y ( x) = ( + ) 当 x 趋 于 无 穷 大 时 的 极 限, 即 x x lim ( + ) = e x x 由 于 y () = , 故 这 一 数 据 可 以 用 作 该 极 限 的 近 似 值 表 - 给 出 了 五 个 点 处 的 函 数 值 数 据, 显 然 当 x 在 以 内 时, 函 数 值 变 化 很 大 ; 而 当 x 在 到 范 围 内 时, 函 数 值 变 化 较 小 所 以 在 取 有 限 个 自 变 量 数 据 时 应 选 取 自 变 量 点 的 间 隔 为 对 数 步 长, 即 当 x 的 值 越 大 时 离 散 点 的 间 隔 越 大 表 - x y 为 了 用 有 限 个 点 的 函 数 值 绘 出 较 为 光 滑 的 函 数 曲 线 图 形, 可 利 用 MATLAB 中 的 对 数 步 长 命 令 产 生 自 变 量 的 离 散 数 据 用 下 面 程 序 段 绘 图 x=logspace(,3); % 取 到 之 间 有 限 个 对 数 步 长 的 自 变 量 值 y=(+ones(size(x))./x).^x; % 计 算 对 应 的 函 数 值 数 据 plot(x,y) % 绘 图

32 M ATLAB 8 问 3/9 计 算 机 运 行 后,MATLAB 的 图 形 窗 口 将 出 现 图 -5 中 的 图 形 x 图 -5 函 数 y = ( + / x) 的 图 形 8. 如 何 计 算 定 积 分 b a f ( x) dx 的 值? MATLAB 中 求 定 积 分 的 指 令 为 quad, 具 体 使 用 这 一 命 令 的 格 式 为 quad( 函 数 名, a, b) 使 用 中, 要 用 到 被 积 函 数 的 调 用, 也 要 注 意 给 定 积 分 上 下 限 例 如 求 定 积 分 I = π sin x dx 的 值, 在 MATLAB 环 境 下 直 接 键 入 下 面 指 令 quad('sin',,pi) 计 算 机 运 行 后, 屏 幕 将 显 示 ans =. 这 表 明 用 指 令 quad 直 接 计 算 出 积 分 I = π sin x dx = 在 上 面 的 计 算 中 由 于 正 弦 函 数 是 MATLAB 的 一 个 内 部 函 数, 所 以 可 以 直 接 调 用, 而 对 于 任 意 一 个 连 续 函 数 的 定 积 分 计 算, 就 必 须 先 定 义 被 积 函 数 才 能 用 quad 指 令 求 积 分 值 例 如 求 定 积 分

33 M ATLAB 8 问 33/9 π + 的 值, 必 须 先 编 辑 被 积 函 数 的 文 件 ( 函 数 文 件 名 :ff3.m) 如 下 : function y=ff3(x) y=exp(-x.^/)/sqrt(*pi); 将 这 一 函 数 文 件 保 存 在 当 前 工 作 目 录 下 后, 可 以 直 接 调 用 函 数 ff3(x), 在 MATLAB 环 境 下 用 有 穷 积 分 来 求 该 积 分 的 近 似 值, 选 取 积 分 限 为 -4 到 +4 积 分 : quad('ff3',-4,4) MATLAB 计 算 出 积 分 的 近 似 值 为 ans =.9999 这 实 际 上 是 用 有 限 定 积 分 e x dx π 代 替 原 来 的 无 穷 区 间 上 积 分 的 值 e x dx 9. 如 何 求 椭 圆 周 长? 如 果 已 知 椭 圆 长 半 轴 a 和 短 半 轴 b, 则 该 椭 圆 的 参 数 方 程 为 x = a cost y = bsin t 根 据 求 曲 线 弧 长 的 定 积 分 公 式, 椭 圆 周 长 为 在 上 面 的 定 积 分 中 被 积 函 数 为 π S = a sin t + b cos t dt f ( t) = a sin t + b 例 如, 求 长 半 轴 为, 短 半 轴 为 的 椭 圆 周 长 首 先 编 辑 如 下 函 数 文 件 : function y=f3(t) y=*sqrt((*sin(t)).^+(*cos(t)).^); 将 这 一 函 数 文 件 录 入 后 存 放 在 工 作 目 录 下, 回 到 MATLAB 环 境 中 可 以 进 接 调 用 这 一 被 积 函 数 做 定 积 分, 键 入 如 下 命 令 : quad('f3',,pi) 计 算 机 屏 幕 将 显 示 ans = cos t

34 M ATLAB 8 问 34/9 这 说 明, 所 求 的 椭 圆 周 长 为 怎 样 用 fplot 画 一 元 函 数 的 图 形? 在 MATLAB 中 绘 制 一 元 函 数 的 图 形 ( 即 平 面 曲 线 图 形 ) 除 了 用 plot 命 令 绘 画 外, 还 可 以 用 fplot 直 接 画 一 元 函 数 图 形 使 用 fplot 这 一 指 令 绘 图 的 最 大 特 点 是 不 用 确 定 自 变 量 的 离 散 数 据 并 计 算 对 应 的 函 数 值 计 算 机 在 执 行 这 一 条 指 令 时, 将 根 据 所 给 自 变 量 取 值 区 间 来 自 动 选 取 自 变 量 结 点 ( 离 散 数 据 ), 并 计 算 出 对 应 的 函 数 值 数 据, 然 后 绘 图 这 对 于 一 般 用 户 来 讲, 更 有 利 于 提 高 工 作 效 率 使 用 这 一 指 令 时, 需 要 先 定 义 函 数, 同 时 还 要 在 指 令 中 使 用 方 括 号, 在 方 括 号 内 给 定 四 个 数 据 作 为 自 变 量 取 值 区 间 和 函 数 值 显 示 范 围 例 如 绘 制 正 切 函 数 的 部 分 图 形 ( 图 -6), 可 直 接 用 下 面 指 令 形 fplot('tan',[-*pi *pi -*pi *pi]) 由 于 正 切 函 数 是 MATLAB 的 内 部 函 数, 所 以 不 需 要 编 缉 函 数 文 件 定 义 函 数 而 可 以 直 接 调 用 ; 方 括 号 中 的 四 个 数 据 分 别 表 明 所 绘 图 形 在 X 和 Y 两 个 方 向 上 均 是 由 π 到 π 之 间 如 果 要 直 接 绘 制 出 任 意 的 一 个 函 数 图 形, 则 必 须 事 先 编 辑 函 数 文 件, 然 后 再 使 用 直 接 绘 图 命 令 fplot 命 令 使 用 格 式 为 fplot( 函 数 名,[Xmin Xmax Ymin Ymax]) 或 fplot( 函 数 名,[xmim xmax]) 例 如, 绘 制 函 数 f x) = ( x.3) 图 -6 正 切 函 数 图 + +. ( x.9) ( +.4 6

35 M ATLAB 8 问 35/9 在 区 间 [,] 内 的 图 形 首 先 编 辑 函 数 文 件 ( 文 件 名 为 hh.m) function y=hh(x) y =./ ((x-.3).^ +.) +./ ((x-.9).^ +.4) - 6; 将 这 一 文 件 保 存 在 当 前 目 录 下, 在 MATLAB 环 境 中 用 命 令 fplot('hh',[,]); 将 绘 出 该 函 数 的 图 形 如 图 所 示 如 果 用 如 下 命 令 [x y] = fplot('hh',[,]); 图 形 窗 口 中 将 不 绘 出 该 函 数 的 图 形, 而 只 是 自 动 选 取 有 限 个 自 变 量 的 离 散 点 的 值 并 计 算 出 该 函 数 在 对 应 自 变 量 离 散 点 处 的 函 数 值 图 如 何 求 一 元 函 数 的 极 小 值? 求 一 元 函 数 极 小 值 用 命 令 fmin 这 一 命 令 的 使 用 格 式 为 fmin(' 文 件 名 ',x,x) 通 常, 要 事 先 编 写 好 函 数 文 件 用 以 定 义 所 研 究 的 函 数 F, 同 时 在 使 用 这 一 命 令 时 要 给 定 极 小 值 点 存 在 的 区 间 [x,x ] 计 算 机 执 行 这 一 指 令 后, 将 求 出 函 数 F(x) 在 区 间 (x, x) 内 的 局 部 极 小 值 点 其 中,F 是 所 考 虑 的 函 数 的 函 数 文 件 名 例 如, 键 入 : fmin('cos',3,4) ( 回 车 ) 计 算 机 将 计 算 出 余 弦 函 数 在 区 间 (3, 4) 内 的 局 部 极 小 值 点 ans = 3.46 一 般 情 况 下, 对 所 考 虑 的 函 数 必 须 要 事 先 编 缉 该 函 数 的 函 数 文 件, 然 后 再 使 用 求 函 数 极 小 值 点 的 指 令 而 极 小 值 点 存 在 的 范 围 也 要 人 为 给 定, 在 对 该 函 数

36 M ATLAB 8 问 36/9 不 太 了 解 时 不 能 给 出 合 适 的 极 值 点 范 围, 这 时 可 以 结 合 fplot 指 令 直 接 绘 出 该 函 数 的 局 部 图 形, 通 过 观 察 函 数 曲 线 的 变 化 情 况, 估 计 出 极 小 值 点 的 范 围 ( 极 小 值 点 存 在 的 区 间 ) 如 果 要 求 一 个 函 数 在 某 一 区 间 内 的 极 大 值, 只 须 在 编 写 函 数 文 件 时, 人 为 地 将 函 数 值 取 反 号 在 MATLAB 命 令 窗 口 仍 可 以 用 fmin 命 令 求 极 大 值 3. 如 何 求 一 元 函 数 的 零 点? 求 一 元 函 数 零 点 用 指 令 fzero, 但 是 必 须 要 事 先 给 出 一 个 初 值 x ( 零 点 的 初 始 近 似 值 ) 具 体 使 用 格 式 为 fzero( f name, x ) 由 此 可 计 算 出 函 数 名 为 fname.m 的 函 数 在 点 x 点 附 近 的 零 点. 例 如, 在 MATLAB 环 境 下 输 入 fzero('sin',3) 计 算 机 运 行 后 可 计 算 出 ans = 这 一 零 点 的 值 实 际 上 是 π 的 值 注 意 : 在 一 般 情 况 下, 要 首 先 编 辑 函 数 文 件 以 定 义 函 数, 并 且 大 概 估 计 出 所 研 究 的 函 数 的 零 点 的 位 置 ( 初 始 点 近 似 值 ), 最 后 再 使 用 fzero 指 令 求 函 数 的 零 点 本 问 题 中 正 弦 函 数 是 MATLAB 中 的 内 部 函 数, 所 以 不 用 编 写 函 数 文 件 33. 如 何 求 一 阶 常 微 分 方 程 初 值 问 题 的 数 值 解? 常 微 分 方 程 初 值 问 题 的 数 学 描 述 如 下 : dy = f ( x, y) dx y( x ) = y 这 里, f ( x, y) 为 常 微 分 方 程 的 右 端 函 数, 而 y 为 所 求 未 知 函 数 的 初 始 值 求 解 常 微 分 方 程 初 值 问 题 用 指 令 ode3 或 ode45 使 用 这 两 条 命 令 中 的 任 何 一 条 都 必 须 事 先 编 写 好 函 数 文 件 并 保 存 在 工 作 目 录 下 ( 如 取 文 件 名 为 yprime.m) 命 令 的 具 体 使 用 格 式 为 [x,y] = ode3('yprime', x, x n, y ) 其 中,yprime 为 描 述 常 微 分 方 程 右 端 函 数 的 函 数 文 件 名, 而 x 和 x n 分 别 为 自 变 量 的 初 始 点 和 终 值 点,y 为 未 知 函 数 的 初 值

37 M ATLAB 8 问 37/9 例 如 求 一 阶 常 微 分 方 程 dy = x y +, dx y() = x > 在 (,) 区 间 内 的 数 值 解, 并 与 该 初 值 问 题 的 解 析 解 y( x) = x + e 进 行 比 较 首 先 编 缉 两 个 函 数 文 件, 第 一 个 用 于 描 述 微 分 方 程 右 端 函 数 ( 文 件 名 :ff.m): function z=ff(x,y) z=x-y+; 另 一 个 用 于 描 述 微 分 方 程 的 解 析 解 ( 文 件 名 :ff.m): function y=ff(x) y=x+exp(-x); 将 这 两 个 函 数 文 件 保 存 在 工 作 目 录 下, 然 后 求 出 初 值 问 题 的 数 值 解 以 及 微 分 方 程 解 析 解 在 对 应 自 变 量 的 离 散 点 处 的 函 数 值, 最 后 同 时 绘 出 两 个 函 数 的 图 形 加 以 比 较 在 MATLAB 环 境 中 键 入 下 列 指 令 : [x,y]=ode3('ff',,,); y=ff(x); plot(x,y, o,x,y) 计 算 机 屏 将 显 示 出 数 值 解 ( 用 小 圆 o 表 示 ) 和 解 析 解 的 图 形 如 图 -8 x 图 -8 数 值 解 与 解 析 解 的 比 较

38 M ATLAB 8 问 38/9 34. 如 何 求 高 阶 常 微 分 方 程 初 值 问 题 的 数 值 解? 根 据 常 微 分 方 程 求 解 理 论, 高 阶 常 微 分 方 程 初 值 问 题 可 以 化 为 与 之 等 价 的 一 阶 常 微 分 方 程 组 初 值 问 题 来 求 解 所 以 仍 然 可 以 用 ode3 指 令 求 解 高 阶 常 微 分 方 程 初 值 问 题 例 如, 著 名 的 追 赶 曲 线 问 题 : 有 动 点 Q 从 点 Q (, ) 出 发, 以 米 / 秒 的 速 度 平 行 于 Y 轴 的 正 向 方 向 运 动, 另 一 动 点 P 从 原 点 O(, ) 出 发, 以 米 / 秒 的 速 度 追 赶 Q 点,P 在 运 动 过 程 中 方 向 总 是 指 向 Q 点 已 求 得 P 点 的 轨 迹 满 足 的 微 分 方 程 为 求 解 该 方 程 并 画 出 追 赶 曲 线 + y y = x (, ) ( x) y =, y =. x= x= 首 先, 将 问 题 转 化 为 一 阶 常 微 分 方 程 组 的 初 值 问 题 dy dx dy dx = y, y ( ) = + y = y = ( x), ( ) 为 了 求 解 上 面 的 一 阶 常 微 分 方 程 初 值 问 题, 首 先 编 辑 描 述 常 微 分 方 程 右 端 函 数 的 函 数 文 件 ( 文 件 名 :rab.m) function z=rab(x,y) z()=y(); z()=sqrt(+y().^)./(*(-x)); 将 这 一 函 数 文 件 保 存 在 工 作 目 录 下, 并 在 MATLAB 环 境 中 键 入 下 面 指 令 : y=[ ]; [x,y]=ode3('rab',,99.99,y); plot(x,y(:,),'o')

39 M ATLAB 8 问 39/9 计 算 机 屏 幕 将 显 示 出 追 赶 曲 线 的 图 形 如 图 -9 图 -9 追 赶 曲 线 图 形 35.MATLAB 的 局 部 变 量 和 全 局 变 量 有 何 区 别? MATLAB 的 函 数 文 件 中 除 了 自 变 量 因 变 量 以 外, 在 计 算 过 程 中 如 果 用 到 了 中 间 变 量 或 其 它 的 变 量, 这 些 都 将 是 局 部 变 量 局 部 变 量 只 在 这 一 函 数 中 有 效, 在 其 它 函 数 或 程 序 中 无 效 例 如, 将 三 角 形 面 积 S 视 为 三 条 边 长 a,b,c 的 函 数, 则 可 以 编 缉 一 个 函 数 文 件 ( 文 件 名 为 :heron.m) 来 实 现 海 伦 公 式 的 计 算 : function s=heron(a, b, c) p=(a+b+c)/; s=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)); 将 这 一 函 数 文 件 保 存 在 工 作 目 录 下, 在 MATLAB 环 境 中, 键 入 如 下 指 令 heron(3, 4, 5) 计 算 机 执 行 后, 将 显 示 出 计 算 结 果 :ans= 6 在 这 一 函 数 文 件 中, 三 角 形 的 半 周 长 p 就 是 一 个 局 部 变 量 调 用 这 一 函 数 时, 计 算 机 用 实 际 的 数 据 代 替 形 式 变 量 a b c 计 算 出 变 量 p 的 值, 然 后 再 计 算 出 s 的 值, 最 后 将 数 据 结 果 输 出 到 屏 幕 上 但 是 只 要 计 算 出 函 数 值, 则 自 变 量 的 实 际 数 据 和 中 间 变 量 都 将 被 自 动 删 除, 计 算 机 内 存 中 只 保 留 了 函 数 值 变 量 ( 缺 省 变 量 名 为 ans)

40 M ATLAB 8 问 4/9 如 果 想 保 留 中 间 变 量 p 的 值, 就 必 须 将 它 定 义 为 全 局 变 量 定 义 p 为 全 局 变 量 用 命 令 global p 注 意 : 这 一 命 令 必 须 出 现 在 两 个 地 方, 一 是 函 数 文 件 中 第 一 次 使 用 变 量 p 之 前 ; 二 是 在 命 令 窗 口 第 一 次 调 用 这 一 函 数 文 件 之 前 当 一 个 作 业 的 初 始 数 据 较 多 或 算 法 比 较 复 杂 时, 用 函 数 文 件 的 方 法 来 完 成 作 业 不 太 方 便, 这 时 常 用 非 函 数 文 件 ( 即 程 序 ) 来 实 现 算 法, 这 不 但 方 便, 更 利 于 调 试 36. 多 项 式 运 算 有 哪 些 命 令? 数 常 用 多 项 式 运 算 命 令 有 多 项 式 的 创 建 和 多 项 式 求 值 等 一 个 n 次 多 项 式 函 n n Px ( ) = ax + ax + L + a x+ a 的 各 项 系 数 确 定 了 一 个 (n+) 维 向 量 n p = [ a a a L a n ] 反 之, 如 果 给 定 了 一 个 (n+) 维 向 量 p = [ a a a L a n ], 则 可 以 将 各 元 素 作 为 多 项 式 的 系 数 按 降 幂 形 式 写 出 一 个 多 项 式 () 用 创 建 向 量 的 方 法 创 建 一 个 n 次 多 项 式 例 如 创 建 一 个 8 次 多 项 式 p(x)= x 8-36x x x x x 3 +84x x+43 可 以 用 命 令 p=[ ] () 用 命 令 p=poly(r) 创 建 多 项 式 如 果 知 道 一 个 n 次 多 项 式 的 全 部 根 r r r n 则 可 以 用 向 量 R = [ r r L r n ], 结 合 命 令 p=poly(r) 创 建 n 次 多 项 式 即 产 生 出 该 多 项 式 的 系 数 p(x) = x n + a x n- + a x n- + + a n- x + a n n

41 M ATLAB 8 问 4/9 p = [ a a L a n ] 显 然, 有 n n n ( x r )( x r ) L( x r ) = x + a x + a x + L + a x+ a n 若 R 是 n 阶 方 阵, 则 p=poly(r) 将 获 得 R 的 特 征 多 项 式 (3) 求 一 个 多 项 式 的 全 部 零 点 多 项 式 的 零 点 ( 高 次 代 数 方 程 的 根 ) 用 命 令 roots(p) 例 如 求 8 次 代 数 方 程 x 8-36x x x x x 3 +84x -9584x+43 = 的 根, 可 以 用 MATLAB 语 句 p=[ ]; roots(p) 得 8 个 根 分 别 为 : 如 果 修 改 7 次 幂 的 系 数 -36 为 -37 再 求 新 的 8 次 方 程 的 根, 可 用 下 面 的 命 令 p()=-37; roots(p) 得 新 的 8 次 方 程 的 根 如 下 ans = i i i i i i.9998 比 较 两 次 求 根 结 果, 发 现 多 项 式 系 数 的 微 小 变 动 会 引 起 多 项 式 的 根 的 显 著 变 化 (4) 计 算 一 个 多 项 式 在 x = s 处 的 值 用 命 令 :polyval(p, s) 这 里,s 可 以 是 自 变 量 的 某 一 个 确 定 的 数 据,s 也 可 以 是 自 变 量 的 一 组 确 定 的 数 据 n n 37. 如 何 求 多 元 函 数 的 极 小 值? 求 多 元 函 数 的 极 小 值 用 指 令 fzeros, 使 用 的 具 体 格 式 为 fzeros( fname,x ) 使 用 这 一 指 令 时, 必 须 事 先 编 缉 文 件 名 为 fname.m 的 函 数 文 件 ( 文 件 名 可 由 操 作 者 自 己 选 定 ), 用 以 描 述 所 研 究 的 多 元 函 数 ; 同 时 还 要 给 出 极 小 值 点 的 近 似

42 M ATLAB 8 问 4/9 值 ( 初 始 值 )x, 对 于 多 元 函 数 而 言,x 是 一 个 常 向 量 考 虑 三 村 短 路 问 题 (Steiner 问 题 ): 已 知 A B C 三 地,AB=5( 公 里 ),BC=6( 公 里 ),AC=7( 公 里 ) 现 要 找 一 地 H, 使 AH+BH+CH 为 最 短, 并 求 出 AH+BH+CH 的 最 小 值 以 A 为 原 点 建 立 平 面 直 角 坐 标 系, 让 X 轴 通 过 AC 连 线 ( 如 图 所 示 ) 设 H 点 的 坐 标 为 ( x, y ), 则 A(,),C(7,),B(x,y ),(B 点 坐 标 可 以 通 过 计 算 获 得 ) 于 是 问 题 转 化 为 求 二 元 函 数 的 最 小 值 问 题 S( x, y) = x + y + ( x ) + y 7 + ( x x ) + ( y y ) 由 于 AB=5,BC=6, 于 是 B 点 坐 标 ( x, y ) 满 面 足 方 程 组 求 解, 得 x + y = 5 ( x 7 ) + y = 36 x =.743, y =4.99 首 先 定 义 目 标 函 数 S(x), 注 意, 这 时 自 变 量 x 是 含 有 两 个 元 素 的 向 量 建 立 文 件 名 为 s.m 的 函 数 文 件 如 下 : function w=s(x) x=[ ];x=[7 ]; A O 图 - C x w=sqrt(x*x')+sqrt((x-x)*(x-x)')+sqrt((x-x)*(x-x)'); 将 上 述 函 数 文 件 存 放 于 工 作 目 录 下 然 后 取 初 始 点 为 B 点 的 坐 标, 编 缉 如 下 文 件 名 为 steiner.m 的 程 序 如 下 : x=[ ];x=[7 ]; % 输 入 B 点 和 C 点 的 坐 标 h=fmins('s',x) % 求 目 标 函 数 的 最 小 值 点 并 输 出 结 果 d()=sqrt(h*h'); d()=sqrt((h-x)*(h-x)'); d(3)=sqrt((h-x)*(h-x)'); d % 输 出 AH,BH,CH 的 ( 距 离 ) 数 据 s=sum(d) % 求 目 标 函 数 最 小 值 并 输 出 数 据 结 果 B H

43 M ATLAB 8 问 43/9 在 MATLAB 环 境 下 运 行 程 序 steiner.m,( 即 直 接 键 入 文 件 名 steiner 并 回 车 ) 屏 幕 将 显 示 计 算 结 果 如 下 : h= % H 点 的 坐 标 d= % AH,BH,CH 的 数 据 s=.93 % AH+BH+CH 的 值 38. MATLAB 有 哪 些 数 据 输 出 格 式? 在 MATLAB 工 作 环 境 中, 所 有 参 加 运 算 的 数 据 都 是 以 双 精 度 存 贮 方 式 进 行, 即 具 有 十 进 制 的 十 五 位 有 效 数 但 是, 如 果 没 有 特 殊 的 要 求, 数 据 只 以 五 位 十 进 制 数 被 显 示 出 来 例 如, 在 MATLAB 环 境 中 键 入 pi 并 回 车, 屏 幕 将 显 示 出 数 学 常 数 π 的 值 3.46 如 果 键 入 exp() 并 回 车, 屏 幕 将 显 示 出 数 学 常 数 e 的 值.783 这 两 个 数 都 是 精 度 不 太 高 的 近 似 值, 它 们 的 位 数 只 有 五 位, 这 种 显 示 方 法 被 称 为 短 格 式 方 式 如 果 我 们 要 想 看 到 π 的 更 精 确 的 数 据 值, 可 以 利 用 数 据 显 示 的 长 格 式 方 式 键 入 指 令 format long, 再 键 入 pi, 屏 幕 将 显 示 出 数 据 , 这 是 具 有 十 五 位 的 数 据 如 果 再 键 入 format, 以 后 的 数 据 显 示 方 式 将 以 短 格 式 的 方 式 进 行 选 择 数 据 输 出 格 式 的 方 法 有 两 种 : 一 是 用 键 盘 命 令, 二 是 用 菜 单 选 择 () MATLAB 可 以 用 键 盘 命 令 format 加 不 同 的 开 关 使 数 据 具 有 不 同 的 输 出 格 式 表 -3 改 变 数 据 输 出 格 式 命 令 命 令 开 关 功 能 format 缺 省 时 为 默 认 短 格 式 方 式 与 format short 相 同 format short 短 格 式 方 式, 显 示 5 位 定 点 十 进 制 数 format long 长 格 式 方 式, 显 示 5 位 定 点 十 进 制 数 format hex 十 六 进 制 格 式 方 式 format bank 银 行 格 式 按 元 角 分 ( 小 数 点 后 具 有 两 位 ) 的 固 定 格 式 format + + 格 式, 以 +, 和 空 格 分 别 表 示 中 的 正 数, 负 数 和 零 元 素 format short e 短 格 式 e 方 式, 显 示 5 位 浮 点 十 进 制 数 format long e 长 格 式 e 方 式, 显 示 5 位 浮 点 十 进 制 数 format rat 分 数 格 式 形 式 用 有 理 数 逼 近 显 示 数 据 如 pi 显 示 为

44 M ATLAB 8 问 44/9 355/3 format loose 松 散 格 式 数 据 之 间 有 空 行 format compact 紧 凑 格 式 数 据 之 间 无 空 行 () 在 MATLAB 命 令 窗 口 中 也 可 以 用 鼠 标 选 择 菜 单 Options 如 图 - 所 示 图 - 数 据 输 出 格 式 的 菜 单 选 择 在 下 拉 菜 单 中 选 择 第 一 条 Numeric Format, 会 出 现 十 种 数 据 输 出 格 式 的 选 择 菜 单 再 用 鼠 标 单 击 即 可 39. 在 M ATLAB 中 如 何 使 用 特 殊 矩 阵? MATLAB 中 的 特 殊 矩 阵 比 较 多, 常 用 的 有 下 面 几 类 : () 单 位 矩 阵 产 生 n 阶 单 位 矩 阵 用 命 令 eye(n) 例 如,eye(4) 将 产 生 4 阶 单 位 矩 阵 () 全 矩 阵 产 生 m n 阶 全 矩 阵 用 命 令 ones(m,n) 例 如,ones(3,4) 将 产 生 3 4 阶 的 全 矩 阵

45 M ATLAB 8 问 45/9 (3) 全 零 矩 阵 产 生 m n 阶 全 矩 阵 用 命 令 zeros(m,n) 例 如,zeros(3,4) 将 产 生 3 4 阶 的 全 矩 阵 (4) 对 角 矩 阵 产 生 n 阶 对 角 矩 阵 用 命 令 diag([a a a n ]) 例 如,diag([ 3 4]) 将 产 生 4 阶 对 角 矩 阵 3 4 如 果 要 提 取 一 个 矩 阵 A 的 主 对 角 元 素, 可 以 用 命 令 diag(a) 例 如, 在 MATLAB 工 作 环 境 中 已 经 创 建 了 一 个 3 阶 矩 阵 3 A = 则 命 令 diag(a) 将 提 取 出 矩 阵 A 的 主 对 角 元 素 并 形 成 一 个 列 向 量 ans = [ 5 9 ] T (5) 范 德 蒙 矩 阵 命 令 vander([ 3]) 将 产 生 一 个 3 阶 范 德 蒙 矩 阵 (6) 幻 方 矩 阵 命 令 magic(3) 将 产 生 一 个 3 阶 幻 方 矩 阵 ( 纵 横 相 加 得 数 均 相 等 )

46 M ATLAB 8 问 46/9 4 9 (7) 希 尔 伯 特 矩 阵 命 令 hilb(3) 将 产 生 一 个 3 阶 希 尔 伯 特 矩 阵 / /3 / /3 /4 /3 /4 /5 ( 这 种 输 出 格 式 是 分 数 形 式, 在 产 生 矩 阵 之 前 用 了 命 令 format rat ) 4. 如 何 求 一 个 方 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量? 求 一 个 方 阵 A 的 特 征 值 用 命 令 eig(a), 求 特 征 向 量 也 用 同 一 命 令 即 取 如 下 格 式 例 如, 求 矩 阵 [v d] = eig(a) A = 4 的 特 征 值 和 特 征 向 量, 可 以 用 命 令 [v d] = eig(a) MATLAB 执 行 这 条 命 令 后, 屏 幕 将 显 示 出 特 征 值 和 特 征 向 量 v = d = 这 里, 对 角 矩 阵 d 中 的 三 个 对 角 元 是 A 矩 阵 的 三 个 特 征 值, 即 而 矩 阵 v 的 三 个 列 向 量 3 λ =, λ =, λ 3 =

47 M ATLAB 8 问 47/ α =, α =.865, α = 分 别 对 应 于 上 面 三 个 特 征 值, 即 α 是 λ = 的 特 征 向 量, α 是 λ = 的 特 征 向 量, α 3 是 λ 3 = 的 特 征 向 量 ( 这 种 数 据 输 出 格 式 是 默 认 的 定 点 数 短 格 式 ) 4. 如 何 用 正 交 变 换 将 一 个 二 次 型 化 为 标 准 形 式? 利 用 正 交 变 换 化 二 次 型 为 标 准 型, 应 首 先 写 出 二 次 型 所 对 应 的 对 称 矩 阵, 然 后 用 正 交 变 换 将 这 一 对 称 矩 阵 化 为 对 角 矩 阵 在 MATLAB 中 用 schur 分 解 的 指 令 可 以 求 出 所 需 对 角 矩 阵 和 所 用 的 正 交 矩 阵, 从 而 完 成 这 一 任 务 例 如, 有 下 面 的 二 次 型 3 3 f( x, x, x ) = x + x + 3x + 4x x 4x x 为 了 将 其 化 为 标 准 形, 首 先 写 出 二 次 型 所 对 应 的 矩 阵 3 A = 3 现 在 对 A 作 schur 分 解, 可 以 获 得 二 次 型 标 准 型 所 对 应 的 对 角 阵 以 及 用 于 正 交 变 换 的 正 交 矩 阵 为 了 适 应 于 一 般 的 线 性 代 数 习 题, 还 需 要 将 数 据 格 式 转 换 为 有 理 数 ( 分 数 ) 形 式 A=[ ; -; - 3];format rat [u, t]=schur(a) 上 面 三 行 指 令 运 行 后, 可 由 矩 阵 A 分 解 出 正 交 矩 阵 u 和 对 角 矩 阵 t 所 得 数 据 结 果 为 u = , t = 5

48 M ATLAB 8 问 48/9 矩 阵 u 正 是 用 于 将 矩 阵 A 正 交 对 角 化 的 正 交 矩 阵 三 个 矩 阵 A,u,t 满 足 如 下 关 系 A = u*t*u' 和 u'*u = I 如 果 令 [ y y y3 ] = [ x x x3 ] u, 则 有 [x x x 3 ] = [y y y 3 ] u - 而 u T = u, 由 此 可 知, 所 用 正 交 变 换 及 所 求 标 准 二 次 型 分 别 为 : x x x = y y y 3, f( x, x, x3) = y + y + 5y 3 4. 如 何 计 算 出 3 个 概 率 积 分 值? 设 随 机 变 量 X 服 从 标 准 正 态 分 布, 即 X ~ N(, ) 现 分 别 取 为 了 计 算 出 3 个 概 率 积 分 值 P { X u α =.,.,.3,,.9,3. > u α } = x + uα e π dx 4 uα e π 可 以 选 取 定 积 分 中 的 不 同 积 分 下 限 值, 用 MATLAB 的 求 积 分 指 令 quad 配 合 循 环 语 句 来 达 到 所 求 的 数 据 首 先 编 辑 描 述 被 积 函 数 的 函 数 文 件, 取 文 件 名 为 fai.m function y=fai(x) y=exp(-x.^/)/sqrt(*pi); 将 这 一 文 件 保 存 在 工 作 目 录 下, 然 后 再 编 辑 一 个 文 件 名 为 prop.m 的 程 序 如 下 : a=;h=.; for k=:3 a=a+h; p(k)=quad('fai',a,4); end 将 这 一 文 件 保 存 在 工 作 目 录 下, 回 到 MATLAB 环 境 下, 运 行 名 为 prop.m 的 程 序, 只 需 要 键 入 x dx

49 M ATLAB 8 问 49/9 prop 并 回 车, 就 可 以 计 算 出 3 个 概 率 积 分 值 ( 保 存 在 数 组 变 量 p 中 ) 在 MATLAB 环 境 中 直 接 键 入 p 并 回 车, 屏 幕 将 显 示 出 所 计 算 出 的 数 据 结 果 如 表 -4 所 示 表 -4 编 号 积 分 值 编 号 积 分 值 编 号 积 分 值 如 何 产 生 两 类 常 用 的 随 机 数? 在 MATLAB 中 有 专 用 的 随 机 数 发 生 器, 可 以 产 生 均 匀 分 布 的 随 机 数 以 及 标 准 正 态 分 布 的 随 机 数 这 两 个 命 令 分 别 为 rand 和 randn rand(m,n) 将 产 生 出 一 个 m n 阶 的 矩 阵, 矩 阵 的 每 个 元 素 均 为 区 间 (, ) 中 的 数 即 rand 产 生 服 从 均 匀 分 布 U(,) 的 随 机 变 量 X 的 伪 随 机 数 ( 由 计 算 机 模 拟 ) 若 为 了 模 拟 某 一 随 机 事 件, 需 要 八 个 均 匀 随 机 数, 用 如 下 命 令 x = rand(,) 将 得 到 八 个 元 素 的 行 向 量, 例 如 x = [ ] 如 果 用 这 八 个 随 机 数 模 拟 八 次 掷 硬 币 的 结 果, 并 规 定 掷 出 硬 币 为 正 面 的 结 果 用 随 机 数 大 于.5 表 示 则 上 面 的 随 机 数 依 次 代 表 了 掷 硬 币 结 果 为 正 反 正 反 正 正 正 反 同 理, 命 令 randn(m,n) 将 产 生 出 一 个 m n 阶 的 随 机 数 矩 阵, 矩 阵 的 每 个 元 素 均 为 区 间 (-3,3) 中 的 数 由 于 标 准 正 态 随 机 变 量 其 均 值 μ =, 方 差 σ =, 根 据 概 率 论 中 著 名 的 3σ 原 则, randn 产 生 服 从 标 准 正 态 分 布 N(,) 的 随 机 变 量 X 的 伪 随 机 数 例 如, 为 了 模 拟 某 一 学 生 班 3 个 同 学 的 高 等 数 学 期 末 考 试 成 绩, 已 知

50 M ATLAB 8 问 5/9 最 高 分 数 不 超 过 分, 最 低 分 数 不 低 于 4 分, 平 均 分 数 为 7 分, 为 了 模 拟 这 一 随 机 事 件, 可 用 如 下 命 令 f = randn(3,)* + 7 产 生 3 个 随 机 数 的 列 向 量, 例 如 表 -5 表 -5 f k 分 数 f k 分 数 f k 分 数 f f 6.43 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 7.79 f 由 表 -5 中 数 据 可 知, 最 高 分 为 学 号 第 7 号 的 同 学, 分 数 为 , 最 低 分 为 学 号 为 8 号 的 同 学, 分 数 为 4.75 经 计 算 可 得, 这 3 个 同 学 的 平 均 分 数 为 如 何 绘 制 极 坐 标 所 描 述 的 曲 线 图 形? 有 时 人 们 须 用 极 坐 标 来 描 述 平 面 曲 线,MATLAB 可 以 通 过 曲 线 的 极 坐 标 方 程 的 两 个 变 量 来 绘 制 对 应 的 曲 线 图 形, 这 时 可 以 用 polar 指 令 具 体 使 用 格 式 为 : polar(theta, RHO) 这 里, THETA 为 角 度 变 量, 而 RHO 为 极 径 变 量 例 如 用 极 坐 标 绘 图 指 令 绘 制 四 叶 玟 瑰 线 的 图 形, 其 极 坐 标 方 程 为 r = cos θ, ( θ π ) 在 MATLAB 环 境 中 键 入 下 面 指 令 : theta=:.:*pi;

51 M ATLAB 8 问 5/9 r=cos(*theta); polar(theta,r) 运 行 上 面 三 条 语 句, 可 得 图 - 所 示 图 形 图 - 四 叶 玟 瑰 线 图 形 45. 如 何 绘 制 统 计 直 方 图? 统 计 直 方 图 是 人 们 根 据 已 经 得 到 的 数 据, 将 数 据 按 不 同 的 小 区 间 分 类, 统 计 各 小 区 间 内 数 据 出 现 的 频 率 由 频 率 值 画 出 的 一 种 条 形 图 画 直 方 图 指 令 用 hist 已 知 某 班 36 个 大 学 生 的 单 科 成 绩, 根 据 这 些 分 数 的 数 据 画 统 计 直 方 图 X=[ ]; hist(x) 上 面 第 一 条 语 句 是 给 变 量 X 赋 值,X 代 表 36 名 大 学 生 的 成 绩 分 数 数 据 ; 第 二 条 指 令 是 用 绘 直 方 图 指 令 hist 绘 制 出 十 等 分 直 方 图 如 果 将 hist(x) 改 为 指 令 hist(x,4) 则 绘 出 的 是 4 等 分 直 方 图, 如 图 -3 所 示,4 等 分 直 方 图 表 示 6~69,7~79,8~89,9~ 图 -3 四 等 分 直 方 四 个 分 数 段 内 的 分 数 出 现 的 频 率 大 小 由 图 此 可 知, 绘 直 方 图 指 令 中 第 一 个 参 数 代 表 数 据 集 合, 第 二 个 参 数 控 制 直 方 图 中 的 等 分 数, 其 默 认 值 为, 要 改 变 默 认 值 就 必 须 给 出 具 体 的 数 据 46. 如 何 绘 制 空 间 曲 线 的 图 形? 在 MATLAB 中 绘 制 一 条 或 多 条 空 间 曲 线 用 命 令 plot3 它 的 使 用 方 法 类 似 于 绘 制 平 面 曲 线 命 令 plot 设 空 间 曲 线 L 的 表 达 式 为 x = x( t) y = y( t) α t β z = z( t) 首 先 确 定 出 曲 线 中 参 数 t 的 离 散 点 数 据, 然 后 根 据 t 的 数 据 计 算 出 曲 线 上 坐 标 x,y,z 的 值 ( 所 得 x,y,z 是 同 维 数 的 向 量 ), 最 后 按 如 下 命 令 格 式 绘 图

52 M ATLAB 8 问 5/9 plot3(x,y,z) 其 中,x,y,z 为 空 间 空 间 曲 线 上 点 的 坐 标 例 如, 用 下 面 程 序 段 t = :pi /5:5* pi; x =.* t.* sin(t);y =.* t.* cos(t);z = t; plot3(x,y,z) 可 以 绘 出 曲 线 x =. t sin t y =. t cos t t 5π z = t 的 图 形 如 下 所 示 图 -4 空 间 曲 线 图 形 如 果 x,y,z 是 三 个 同 型 矩 阵, 则 命 令 plot3(x,y,z) 将 同 时 绘 出 以 三 个 矩 阵 的 列 向 量 为 坐 标 的 几 条 空 间 曲 线 图 形 另 外, 与 二 维 曲 线 绘 图 命 令 一 样, 对 曲 线 的 颜 色 与 画 线 方 式 也 可 以 作 不 同 选 择 下 面 命 令 中 plot3(x,y,z, s ) s 是 一 个 或 两 个 选 择 参 数 对 于 不 同 的 颜 色 选 取 和 画 线 方 式 选 取 可 以 参 考 二 维 绘 图 命 令 plot 中 的 参 数 列 表 47. 如 何 用 MATLAB 绘 制 曲 面 的 图 形?

53 M ATLAB 8 问 53/9 MATLAB 绘 制 三 维 曲 面 的 网 面 图 形 指 令 用 mesh, 在 使 用 这 一 指 令 之 前 必 须 给 出 曲 面 在 X-Y 平 面 内 的 规 则 离 散 点 所 对 应 的 函 数 值 ( 曲 面 高 度 ) 数 据 例 如, 绘 制 二 元 函 数 sin x + y z = x + y 的 三 维 网 面 图 这 一 函 数 的 图 形 很 类 似 一 顶 巴 拿 马 草 帽, 如 图 -6 所 示 下 面 的 程 序 体 现 的 主 要 算 法 是, 先 产 生 34 个 介 于 -8 到 +8 之 间 的 X 坐 标 数 据, 以 行 向 量 x 表 示 ; 再 产 生 同 样 多 的 Y 坐 标 数 据 以 y 表 示 ; 然 后 用 命 令 meshgrid 将 这 两 个 向 量 分 别 扩 展 为 矩 阵 ( 第 一 个 矩 阵 x 每 一 列 元 素 相 同, 图 -5 巴 拿 马 草 帽 第 二 个 矩 阵 y 的 每 一 行 元 素 相 同 ) 图 形 这 两 个 矩 阵 分 别 代 表 了 X-Y 平 面 上 十 分 规 则 的 网 格 结 点 的 坐 标, 任 取 两 个 矩 阵 在 某 一 位 置 的 对 应 元 素 形 成 的 数 据 对 代 表 了 平 面 上 某 个 点 处 的 坐 标 根 据 坐 标 数 据 计 算 出 对 应 的 二 元 函 值 数 据, 最 后 绘 出 图 -5 中 图 形 程 序 如 下 : x=-8:.5:8;y=x; [x, y]=meshgrid(x,y); r=sqrt(x,^+y.^)+eps; z=sin(r)./r; mesh(z) 运 行 上 面 程 序,MATLAB 的 图 形 窗 口 将 出 现 图 -5 所 显 示 的 图 形 48. 如 何 绘 制 圆 域 上 的 曲 面 图 形? 图 -7 中 的 空 间 曲 面 图 形 是 由 二 元 函 数 f(x,y) = 3( x + y ) - x 3 在 圆 域 D = { (x,y) x + y 4 } 上 绘 出 的 图 形

54 M ATLAB 8 问 54/9 图 -6 圆 域 上 的 曲 面 图 形 绘 制 这 一 曲 面 需 要 用 到 MATLAB 的 命 令 mesh(x,y,z), 使 用 这 一 命 令 时 要 求 x,y,z 是 同 型 的 矩 阵 为 了 达 到 要 求, 可 以 作 如 下 变 换, 令 x = r cosθ r 4, θ π y = r sinθ 由 于 (r,θ ) 的 变 化 范 围 是 规 则 的 矩 形 区 域 G = [,4] [,π ], 可 以 将 [, 4] 分 为 等 分, 将 [,π ] 分 为 7 等 分 于 是, 由 G 上 的 离 散 点 坐 标 所 算 出 的 x 离 散 值 和 y 的 离 散 值 就 形 成 了 同 型 矩 阵, 由 这 两 个 同 型 矩 阵 按. 运 算 计 算 出 z = f(x,y) 函 数 值 也 是 同 型 的 矩 阵 用 如 下 程 序 段 绘 出 曲 面 图 形 r=(:)/5;tha=(:7)*pi/36; x=r'*cos(tha);y=r'*sin(tha); z=3*(x.^+y.^)-x.^3; mesh(x,y,z) 为 了 从 另 一 个 角 度 来 观 察 该 图 形, 再 加 上 命 令 view(5,5) 可 得 到 上 面 所 示 的 图 形 49. 如 何 用 从 不 同 角 度 观 察 一 个 三 维 曲 面 图 形?

55 M ATLAB 8 问 55/9 MATLAB 允 许 用 户 从 各 种 不 同 的 角 度 去 观 察 一 个 已 存 在 的 三 维 图 形 从 用 户 自 己 定 义 的 视 角 观 察 三 维 图 用 命 令 view, 这 一 命 令 的 使 用 格 式 为 view(az,el) 命 令 中 的 两 个 参 数,az 和 el 分 别 表 示 方 位 角 和 俯 视 角 方 位 角 相 当 于 球 坐 标 z 中 的 经 度, 俯 视 角 相 当 于 球 坐 标 中 的 纬 度, 这 两 个 角 度 的 基 准 面 和 方 向 如 图 el -7 所 示 一 般 用 三 维 曲 面 绘 图 命 令 mesh 所 O y 绘 出 的 曲 面 图 形 默 认 视 角 为 az az = x el = 3 一 般 用 二 维 绘 图 命 令 例 如 plot 所 绘 出 的 图 形 ( 在 y-z 平 面 上 ) 默 认 视 角 为 图 -7 方 位 角 和 俯 视 角 az = el = 9 例 如,48 问 题 中 的 圆 域 上 的 曲 面 ( 形 如 座 椅 ), 用 命 令 view(3,5) 可 得 如 下 图 形 图 -8 自 选 角 度 观 看 曲 面 图 形