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3 给 力 数 学 丛 书 主 编 王 国 江 陆 建 国 高 考 数 学 应 用 题 解 题 策 略 分 析 : 历 届 应 用 题 题 型 大 全 + 高 考 数 学 满 分 必 备 本 书 主 编 任 升 录 副 主 编 王 海 平 王 国 江 编 者 ( 排 名 不 分 选 后 ) 王 国 江 王 建 宏 王 海 平 任 升 录 曹 卯 林 彭 家 麒 薛 立 新

4 图 书 在 版 编 目 (CIP) 数 据 高 考 数 学 应 用 题 解 题 策 略 分 析 : 历 届 应 用 题 题 型 大 全 + 高 考 数 学 满 分 必 备 / 任 升 录 本 书 主 编. 上 海 : 华 东 理 工 大 学 出 版 社, ( 给 力 数 学 ) ISBN Ⅰ.1 高 Ⅱ.1 任 Ⅲ.1 应 用 题 高 中 题 解 升 学 参 考 资 料 Ⅳ. 1G 中 国 版 本 图 书 馆 CIP 数 据 核 字 (2014) 第 号 给 力 数 学 高 考 数 学 应 用 题 解 题 策 略 分 析 : 历 届 应 用 题 题 型 大 全 + 高 考 数 学 满 分 必 备 主 编 / 任 升 录 策 划 编 辑 / 庄 晓 明 责 任 编 辑 / 陈 月 姣 责 任 校 对 / 金 慧 娟 封 面 设 计 / 裘 幼 华 出 版 发 行 / 华 东 理 工 大 学 出 版 社 有 限 公 司 地 址 : 上 海 市 梅 陇 路 130 号, 电 话 :(021) ( 营 销 部 ) (021) ( 编 辑 室 ) 传 真 :(021) 网 址 :press.ecust.edu.cn 印 刷 / 常 熟 华 顺 印 刷 有 限 公 司 开 本 /787mm 1092mm 1/16 印 张 /9.25 字 数 /175 千 字 版 次 /2015 年 1 月 第 1 版 印 次 /2015 年 1 月 第 1 次 书 号 /ISBN 定 价 /24.80 元 联 系 我 们 : 电 子 邮 箱 press@ecust.edu.cn 官 方 微 博 e.weibo.com/ecustpress 淘 宝 官 网 htp://shop taobao.com

5 前 言 高 考 能 力 是 报 考 高 校 的 高 中 生 必 须 具 备 的 能 力 之 一, 数 学 是 必 考 的 一 个 科 目, 其 中 应 用 题 是 历 届 考 生 深 感 最 难 准 备 的 一 种 试 题 类 型. 如 何 提 高 解 决 应 用 题 的 能 力, 是 准 备 高 考 过 程 中 的 一 项 艰 巨 而 又 重 要 的 任 务. 培 养 学 生 解 决 高 考 应 用 题 的 能 力 也 是 学 校 数 学 教 育 的 一 项 基 本 任 务. 数 学 应 用 题 和 其 他 各 类 试 题 的 明 显 不 同 之 处 是 : 应 用 题 有 具 体 的 问 题 情 境, 数 学 模 型 具 有 一 定 的 隐 蔽 性, 正 是 这 种 不 同 导 致 应 用 题 的 解 题 策 略 与 其 他 各 类 试 题 有 所 不 同. 通 过 对 多 年 来 全 国 各 地 大 量 的 高 考 应 用 题 和 高 考 模 拟 试 卷 中 的 各 类 精 彩 纷 呈 的 应 用 题 进 行 剖 析 提 炼, 我 们 试 图 找 到 比 较 行 之 有 效 的 破 解 应 用 题 的 方 法, 为 提 升 考 生 高 考 应 考 能 力 铺 平 道 路. 为 此 要 专 门 对 应 用 题 解 题 策 略 进 行 分 析 和 研 究. 这 需 要 了 解 高 考 数 学 考 点 及 要 求. 各 地 高 考 组 织 管 理 机 构 每 年 都 会 根 据 课 程 标 准 颁 发 数 学 学 科 高 考 考 试 说 明, 明 确 规 定 了 高 考 数 学 的 性 质 内 容 要 求 考 试 方 式 和 试 卷 结 构. 它 们 既 是 高 考 命 题 依 据 又 是 考 生 备 考 复 习 的 依 据. 本 书 包 括 高 考 数 学 应 用 题 的 题 型 ( 第 一 章 ) 高 考 数 学 应 用 题 的 解 题 策 略 ( 第 二 章 ) 高 考 数 学 代 数 应 用 题 ( 第 三 章 ) 高 考 数 学 几 何 应 用 题 ( 第 四 章 ) 等 内 容. 由 于 近 年 全 国 各 省 市 高 考 试 题 对 几 何 应 用 性 问 题 主 要 考 查 学 生 对 数 学 知 识 的 灵 活 转 化 和 实 际 应 用 的 能 力, 出 现 较 多 代 数 与 几 何 内 容 综 合 的 应 用 题, 所 涉 及 的 数 学 知 识 有 三 角 函 数 图 像 应 用 函 数 方 程 及 数 形 结 合 应 用 圆 锥 曲 线 应 用 不 等 式 ( 线 性 规 划 问 题 ) 面 积 类 数 列 问 题 平 面 向 量 应 用 立 体 几 何 应 用 图 形 背 景 概 率 与 统 计 应 用 等 高 中 数 学 中 最 基 本 最 重 要 的 内 容. 这 类 问 题 情 景 新 颖, 内 容 深 刻, 解 法 灵 活 多 样, 且 较 易 与 几 何 不 等 式 几 何 数 列 几 何 图 形 函 数 图 像 等 几 何 内 容 相 关 联. 因 此, 代 数 与 几 何 的 分 界 已 经 不 是 十 分 明 确, 第 四 章 以 三 角 向 量 解 析 几 何 立 体 几 何 线 性 规 划 图 形 背 景 计 数 或 概 率 统 计 问 题 等 知 识 领 域 为 专 题 线 索, 按 几 何 特 征 进 行 归 类 编 写, 通 过 典 型 例 题 展 现 几 何 应 用 题 的 解 题 策 略. 本 书 各 章 内 容 既 以 高 考 考 纲 为 依 据, 构 成 较 为 完 整 的 高 中 数 学 知 识 应 用 体 系, 每 章 又 自 成 体 系, 方 便 读 者 根 据 需 要 灵 活 选 择 使 用. 各 章 所 选 例 题 涵 盖 了 近 二 十 年 来 高 考 数 学 应 用 题 的 所 有 类 型, 也 精 选 了 各 地 部 分 高 考 模 拟 考 试 中 的 应 用 题. 本 书 编 者 对 这 些 精 彩 纷 呈 的 试 题 进 行 分 析 和 研 究, 汇 编 在 一 起, 以 供 读 者 参 考, 由 于 时 间 仓 促, 不 足 与 错 漏 之 处 在 所 难 免, 望 广 大 读 者 批 评 指 正.

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7 目 录 001 第 一 章 高 考 数 学 应 用 题 题 型 分 析 001 第 一 节 客 观 应 用 题 和 主 观 应 用 题 007 第 二 节 改 编 应 用 题 和 原 创 应 用 题 017 第 二 章 高 考 数 学 应 用 题 解 题 策 略 019 一 数 学 应 用 题 建 模 方 法 023 二 高 考 数 学 解 应 用 题 的 基 础 知 识 025 三 高 考 数 学 应 用 题 的 解 题 方 法 指 导 029 四 高 考 数 学 应 用 题 的 解 题 策 略 总 结 031 第 三 章 高 考 代 数 应 用 题 专 题 解 析 031 第 一 节 高 考 代 数 应 用 题 解 题 策 略 032 第 二 节 高 考 代 数 应 用 题 专 题 评 析 099 第 四 章 高 考 几 何 应 用 题 专 题 解 析 099 第 一 节 高 考 几 何 应 用 题 解 题 策 略 100 第 二 节 高 考 几 何 应 用 题 专 题 评 析

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9 第 一 章 高 考 数 学 应 用 题 题 型 分 析 高 考 数 学 应 用 题 的 题 型, 按 照 目 前 高 考 试 卷 呈 现 的 特 点 可 分 为 客 观 应 用 题 和 主 观 应 用 题, 客 观 应 用 题 多 表 现 为 填 空 题, 也 有 少 量 的 选 择 题 ; 主 观 应 用 题 是 高 考 应 用 题 的 主 要 表 现 形 式, 需 要 书 写 必 要 的 解 答 过 程. 按 照 高 考 应 用 题 的 来 源 分, 有 对 教 材 或 者 教 参 中 应 用 问 题 的 改 编, 也 有 对 国 外 相 关 资 料 的 改 编 或 对 报 纸 杂 志 中 情 境 问 题 的 改 造 ; 有 来 源 于 生 活 生 产 实 际 问 题 的 模 型, 也 有 的 是 命 题 者 个 人 的 生 活 工 作 经 历 的 反 映 等 等, 十 分 丰 富. 高 考 数 学 应 用 题 蕴 含 考 查 数 学 建 模 数 学 表 达 问 题 解 决 决 策 分 析 等 能 力 方 面 的 功 能, 考 查 学 生 在 应 用 数 学 内 容 过 程 中 相 关 认 知 特 征 及 其 水 平, 在 知 识 要 求 方 面 几 乎 涉 及 了 所 有 高 考 必 考 知 识 领 域, 这 为 考 生 在 高 考 复 习 期 间 备 考 应 用 题 带 来 困 难. 另 一 方 面, 以 应 用 题 为 载 体 进 行 高 考 复 习, 又 可 以 带 动 学 生 对 所 学 知 识 的 融 会 贯 通 和 学 以 致 用, 在 短 时 间 内 较 快 提 高 数 学 应 用 水 平. 本 章 以 高 考 中 已 经 出 现 过 的 各 种 应 用 题 为 基 本 依 据, 对 高 考 数 学 应 用 题 题 型 作 概 要 分 析. 第 一 节 客 观 应 用 题 和 主 观 应 用 题 无 论 是 客 观 应 用 题 还 是 主 观 应 用 题, 在 命 题 设 计 过 程 中, 构 造 应 用 题 的 着 力 点 是 问 题 情 境 与 数 学 相 关 知 识 及 原 理 的 有 效 关 联, 这 个 着 力 点 客 观 要 求 既 要 注 重 问 题 情 境 的 真 实 性 公 平 性 及 数 学 知 识 应 用 的 适 切 性, 又 要 注 意 从 问 题 情 境 与 数 学 考 点 的 内 在 逻 辑 统 一 来 构 造 应 用 题. 一 客 观 应 用 题 鉴 于 应 用 题 蕴 含 的 考 查 功 能, 各 地 历 年 高 考 数 学 考 试 都 设 法 运 用 不 同 的 题 型 将 其 设 计 为 考 题. 作 为 以 填 空 题 或 者 选 择 题 形 式 出 现 的 应 用 题, 虽 然 只 要 求 写 出 结 果, 但 其 中 同 样 有 着 丰 富 多 彩 的 题 型 变 化. 1. 政 策 中 的 数 学 应 用 题 政 府 工 作 报 告 国 家 或 者 地 区 发 展 规 划 经 济 普 查 的 相 关 数 据 等 都 大 量 蕴 含 着 数 学 和 数 学 问 题, 对 于 这 些 政 策 性 的 文 件 中 的 数 据 进 行 挖 掘, 既 能 够 得 到 较 好 的 数 学 试 题, 又 能 够 对 考 生 加 强 国 情 民 情 教 育. 例 1 (2000 年 上 海 ) 根 据 上 海 市 人 大 十 一 届 三 次 会 议 上 的 市 政 府 工 作 报 告,1999 年 上 海 市 完 成 GDP(GDP 是 指 国 内 生 产 总 值 )4035 亿 元,2000 年 上 海 市 GDP 预 期 增 长 9%, 市 委 市 府 提 001

10 高 考 数 学 应 用 题 解 题 策 略 分 析 : 历 届 应 用 题 题 型 大 全 + 高 考 数 学 满 分 必 备 出 本 市 常 住 人 口 每 年 的 自 然 增 长 率 将 控 制 在 0.08%, 若 GDP 与 人 口 均 按 这 样 的 速 度 增 长, 则 要 使 本 市 年 人 均 GDP 达 到 或 超 过 1999 年 的 2 倍, 至 少 需 年. ( 按 :1999 年 本 市 常 住 人 口 总 数 约 1300 万 ) [ 点 评 ] 当 时 的 时 代 背 景 是, 东 南 亚 金 融 危 机 还 没 有 完 全 过 去, 我 国 的 经 济 则 欣 欣 向 荣, 另 一 方 面, 上 海 的 人 口 增 长 压 力 还 很 大. 人 均 GDP 能 够 比 较 真 实 反 映 一 个 地 区 的 经 济 实 力 和 状 态, 从 数 学 角 度 解 读 和 理 解 政 府 工 作 报 告, 考 查 考 生 是 否 真 正 做 到 学 以 致 用. [ 答 案 ] 9 例 2 (2002 年 全 国 ) 据 2002 年 3 月 5 日 九 届 人 大 五 次 会 议 ( 政 府 工 作 报 告 ): 2001 年 国 内 生 产 总 值 达 到 亿 元, 比 上 年 增 长 7.3%. 如 果 十 五 期 间 (2001 年 2005 年 ) 每 年 的 国 内 生 产 总 值 都 按 此 年 增 长 率 增 长, 那 么 到 十 五 末 我 国 国 内 年 生 产 总 值 约 为. A 亿 元 B 亿 元 C 亿 元 D 亿 元 [ 点 评 ] 每 年 3 月 全 国 人 大 的 政 府 工 作 报 告 都 会 对 前 一 年 的 经 济 情 况 作 总 结. 根 据 上 一 年 的 发 展 趋 势, 预 测 今 后 一 段 时 间 内 的 经 济 发 展 态 势, 是 政 府 的 一 项 重 要 基 础 工 作. 本 考 题 以 真 实 的 数 据 为 依 据, 让 考 生 判 断 整 个 十 五 我 国 的 经 济 总 量, 既 能 感 受 到 国 家 在 发 展 又 能 够 增 强 为 国 家 的 发 展 而 勤 奋 学 习 的 动 力. [ 答 案 ] C 2. 生 活 实 际 中 的 应 用 题 例 3 (2001 年 上 海 ) 甲 乙 两 人 于 同 一 天 分 别 携 款 1 万 元 到 银 行 储 蓄, 甲 存 五 年 期 定 期 储 蓄, 年 利 率 为 2.88%. 乙 存 一 年 期 定 期 储 蓄, 年 利 率 为 2.25%, 并 在 每 年 到 期 时 将 本 息 续 存 一 年 期 定 期 储 蓄. 按 规 定 每 次 计 息 时, 储 户 须 交 纳 利 息 的 20% 作 为 利 息 税, 若 存 满 五 年 后 两 人 同 时 从 银 行 取 出 存 款, 则 甲 与 乙 所 得 本 息 之 和 的 差 为 元.( 假 定 利 率 五 年 内 保 持 不 变, 结 果 精 确 到 1 分 ). [ 点 评 ] 储 蓄 是 人 民 生 活 中 十 分 常 见 的 一 种 经 济 活 动, 储 蓄 利 率 根 据 国 家 国 民 经 济 发 展 的 不 同 时 期 的 需 要, 会 进 行 调 整. 利 息 税 作 为 调 节 城 乡 居 民 储 蓄 的 杠 杆, 有 时 取 消 有 时 征 收,2001 年 储 户 须 交 纳 利 息 的 20% 作 为 利 息 税, 最 近 很 长 一 段 时 期 内 都 不 需 要 交 纳. 比 较 不 同 存 期 的 收 益, 可 以 感 受 到 数 学 知 识 在 实 际 生 活 中 的 应 用. [ 答 案 ] 例 4 (2004 年 上 海 ) 某 地 2004 年 第 一 季 度 应 聘 和 招 聘 人 数 排 行 榜 前 五 个 行 业 的 情 况 列 表 如 下 : 002 行 业 名 称 计 算 机 机 械 营 销 物 流 贸 易 应 聘 人 数

11 第 一 章 高 考 数 学 应 用 题 题 型 分 析 行 业 名 称 计 算 机 营 销 机 械 建 筑 化 工 招 聘 人 数 若 用 同 一 行 业 中 应 聘 人 数 与 招 聘 人 数 比 值 的 大 小 来 衡 量 该 行 业 的 就 业 情 况. 则 根 据 表 中 数 据, 就 业 形 势 一 定 是 ( ). A. 计 算 机 行 业 好 于 化 工 行 业 B. 建 筑 行 业 好 于 物 流 行 业 C. 机 械 行 业 最 紧 张 D. 营 销 行 业 比 贸 易 行 业 紧 张 [ 点 评 ] 我 们 常 讲 用 数 学 的 眼 光 来 看 待 问 题, 能 否 检 测 一 位 学 习 了 12 年 数 学 的 考 生 数 学 眼 光 怎 么 样? 本 应 用 题 是 一 个 例 子, 这 与 你 学 习 多 少 数 学 知 识 关 系 不 大, 而 与 你 是 否 能 够 运 用 适 当 的 数 学 方 法 解 决 问 题 有 关. 一 般 来 说, 应 聘 人 数 多 而 招 聘 人 数 少, 则 该 行 业 的 就 业 形 势 就 紧 张, 这 是 常 理. 能 否 在 遇 到 具 体 问 题 时, 把 这 个 常 理 用 来 正 确 判 断, 是 能 力 高 低 的 表 现. [ 答 案 ] B 例 5 (2003 年 江 苏 ) 某 城 市 在 中 心 广 场 建 造 一 个 花 圃, 花 圃 分 为 6 个 部 分 ( 如 图 1 1 1). 现 要 栽 种 4 种 不 同 颜 色 的 花, 每 部 分 栽 种 一 种 且 相 邻 部 分 不 能 栽 种 同 样 颜 色 的 花, 不 同 的 栽 种 方 法 有 种. ( 以 数 字 作 答 ) [ 点 评 ] 在 城 镇 的 公 共 场 所 建 造 花 圃 或 者 花 坛 是 司 空 见 惯 的. 如 何 图 在 花 圃 内 栽 种 各 种 花 卉, 这 里 面 包 含 着 数 学 中 的 计 数 原 理. 由 于 第 1 部 分 与 其 他 5 部 分 都 相 邻, 先 确 定 该 部 分 栽 种 什 么 颜 色 的 花, 共 有 4 种 选 择, 再 依 次 确 定 其 他 各 部 分 栽 种 花 卉 的 颜 色, 第 2 部 分 有 3 种 选 择, 当 第 3 部 分 从 余 下 的 2 种 颜 色 中 选 择 1 种 后, 第 4 部 分 可 以 选 择 最 后 一 种 颜 色 也 可 以 与 第 2 部 分 同 色. 如 果 第 4 部 分 选 择 最 后 一 种 颜 色, 则 第 5 部 分 可 以 从 第 2 3 部 分 栽 种 的 颜 色 中 选 取 一 种, 而 第 6 部 分 的 选 择 依 赖 于 第 5 部 分 选 择 的 颜 色, 共 有 3 种 可 能 ; 如 果 第 4 部 分 选 择 与 第 2 部 分 同 色, 则 第 5 部 分 或 者 第 6 部 分 必 须 栽 种 剩 下 的 一 种 颜 色 花 卉, 而 另 一 部 分 只 能 有 唯 一 选 择. [ 答 案 ] (3+2)=120 例 6 (2005 年 湖 南 )4 位 同 学 参 加 某 种 形 式 的 竞 赛, 竞 赛 规 则 规 定 : 每 位 同 学 必 须 从 甲 乙 两 道 题 中 任 选 一 题 作 答, 选 甲 题 答 对 得 100 分, 答 错 得 -100 分 ; 选 乙 题 答 对 得 90 分, 答 错 得 -90 分. 若 4 位 同 学 的 总 分 为 0, 则 这 4 位 同 学 不 同 得 分 情 况 的 种 数 是 ( ). A.48 B.36 C.24 D.18 [ 点 评 ] 该 题 从 考 生 熟 悉 的 竞 赛 答 题 规 则 出 发, 命 制 考 题, 由 于 规 则 是 命 题 者 规 定 的, 需 要 考 生 仔 细 阅 读 准 确 理 解, 方 能 解 答 试 题. [ 答 案 ] B 003

12 高 考 数 学 应 用 题 解 题 策 略 分 析 : 历 届 应 用 题 题 型 大 全 + 高 考 数 学 满 分 必 备 3. 以 重 大 事 件 为 背 景 的 应 用 题 例 7 (2009 年 上 海 ) 在 发 生 某 公 共 卫 生 事 件 期 间, 有 专 业 机 构 认 为 该 事 件 一 段 时 间 内 没 有 发 生 大 规 模 群 体 感 染 的 标 志 为 连 续 10 天, 每 天 新 增 疑 似 病 例 不 超 过 7 人. 根 据 过 去 10 天 甲 乙 丙 丁 四 地 新 增 疑 似 病 例 数 据, 一 定 符 合 该 标 志 的 是 ( ) A. 甲 地 : 总 体 均 值 为 3, 中 位 数 为 4. B. 乙 地 : 总 体 均 值 为 1, 总 体 方 差 大 于 0. C. 丙 地 : 中 位 数 为 2, 众 数 为 3. D. 丁 地 : 总 体 均 值 为 2, 总 体 方 差 为 3. [ 点 评 ] 2009 年 大 范 围 暴 发 禽 流 感, 何 时 解 除 疫 情 警 戒, 需 要 有 明 确 的 判 断 标 准. 能 否 从 各 地 的 统 计 数 据 来 判 断 是 否 符 合 该 标 准, 需 要 用 到 所 学 的 统 计 知 识, 本 题 以 此 为 背 景 命 制. [ 答 案 ] D 例 8 (2010 年 上 海 )2010 年 上 海 世 博 会 园 区 每 天 9:00 开 园,20:00 停 止 入 园. 在 如 图 的 框 图 中,S 表 示 上 海 世 博 会 官 方 网 站 在 每 个 整 点 报 道 的 入 园 总 人 数,a 表 示 整 点 报 道 前 1 个 小 时 内 入 园 人 数, 则 空 白 的 执 行 框 内 应 填 入. [ 点 评 ] 2010 上 海 世 博 会, 举 世 瞩 目. 每 小 时 整 点 播 报 入 园 人 数, 可 以 让 园 内 外 的 观 众 实 时 了 解 园 内 人 数, 决 定 自 己 是 进 园 还 是 出 园, 统 计 数 据 需 要 算 法 支 持. 本 题 就 是 在 这 样 的 背 景 下 编 制 的. [ 答 案 ] S S+a T 9, S 0 DT, S T19 T T+1 Da 二 主 观 应 用 题 解 答 题 中 的 应 用 题 是 高 考 应 用 题 题 型 的 主 要 类 型. 从 历 年 来 已 经 出 现 的 高 考 应 用 题, 我 们 可 以 发 现 教 材 报 刊 视 听 媒 体 研 究 应 用 题 的 著 作 等 成 为 4 图 编 制 高 考 应 用 题 的 基 本 素 材 来 源, 也 是 主 要 的 主 观 应 用 题 的 题 型 变 化 方 式. 常 见 的 有 决 策 型 最 值 型 生 活 实 际 情 境 型 方 案 设 计 型 预 测 型 等. 1. 决 策 型 应 用 题 此 类 问 题 往 往 是 在 计 算 分 析 比 较 的 基 础 上 确 定 方 案 的 一 类 实 际 问 题, 它 的 解 决 常 需 要 建 立 方 程 函 数 等 代 数 模 型 或 三 角 模 型. 此 类 问 题 通 常 选 用 解 答 题 题 型. 例 9 (2010 年 上 海 ) 如 图 所 示, 当 甲 船 位 于 A 处 时 获 悉, 在 其 正 东 方 向 相 距 20 海 里 的 B 处 有 一 艘 渔 船 遇 险 等 待 营 救. 甲 船 立 即 前 往 救 援, 同 时 把 消 息 告 知 在 甲 船 的 南 偏 西 30, 相 C A 图 B 004

13 第 一 章 高 考 数 学 应 用 题 题 型 分 析 距 10 海 里 C 处 的 乙 船, 试 问 乙 船 应 朝 北 偏 东 多 少 度 的 方 向 沿 直 线 前 往 B 处 救 援 ( 角 度 精 确 到 1 )? 解 析 连 接 BC, 由 余 弦 定 理 得 BC 2 = cos120 =700, sin ACB 于 是,BC=10 7. 因 为 20 =sin120, 所 以 sin ACB= , 因 为 ACB<90, 所 以 ACB 41, 所 以, 乙 船 应 朝 北 偏 东 71 方 向 沿 直 线 前 往 B 处 救 援. [ 点 评 ] 诸 如 航 行 台 风 救 援 等 以 方 位 角 为 素 材 命 制 的 高 考 应 用 题 已 经 多 次 出 现, 解 决 此 类 问 题 重 要 的 是 标 识 清 楚 所 给 出 的 各 种 长 度 和 角 度, 明 确 需 要 解 决 的 问 题. 除 了 方 位 角 仰 角 俯 角 以 及 把 角 的 关 系 转 化 为 三 角 函 数, 或 把 三 角 形 中 的 边 角 关 系, 用 正 余 弦 定 理 解 决, 都 是 常 见 的 命 题 素 材. 2. 生 活 实 际 中 的 最 值 型 应 用 题 此 类 问 题 指 与 数 学 模 型 中 的 最 值 有 关 的 实 际 问 题, 它 常 用 来 考 查 学 生 建 立 数 学 模 型 求 解 数 学 模 型 并 解 决 实 际 问 题 的 能 力, 基 于 充 分 利 用 其 问 题 模 型 考 试 价 值 的 需 要, 多 数 情 况 下 使 用 解 答 题 型 形 式 表 述 试 题. 例 10 (2004 年 上 海 ) 某 单 位 用 木 料 制 作 如 图 所 示 的 框 架, 框 架 的 下 部 是 边 长 分 别 为 x,y( 单 位 :m) 的 矩 形, 上 部 是 等 腰 直 角 三 角 形. 要 求 框 架 围 成 的 总 面 积 为 8m 2, 问 x,y 分 别 为 多 少 ( 精 确 到 0.001m) 时 用 料 最 省? 解 析 由 题 意 得 :x y+ 1 2 x x 2 =8 (x>0,y>0), y 所 以 y= 8 x -x 4, 因 为 y= 8 x -x 4 >0, 所 以 0<x<4 2. æ 设 框 架 用 料 长 度 为 l, 则 l=2x +2y + 2x = 3 ç è2 + 2 ö x + 16 ø x 4 x 图 (=8+4 2). æ3 当 且 仅 当 ç è2 + 2 ö x= 16 ø x, x=8-4 2,y=2 2, 满 足 0<x<4 2. 所 以 当 x=2.432m,y=2.828m 时, 用 料 最 省. [ 点 评 ] 该 高 考 题 是 源 自 学 校 一 种 类 型 的 窗 框 构 造. 解 决 此 类 问 题 最 为 重 要 的 环 节 是 列 式 不 能 出 错. 本 题 很 容 易 忽 略 的 是 框 架 中 间 的 横 梁 需 要 计 算 在 用 料 之 内. 3. 生 活 实 际 中 问 题 的 方 案 设 计 此 类 问 题 指 一 类 源 于 生 活 实 际, 基 于 优 化 决 策 的 目 的, 问 题 的 解 决 需 要 建 立 数 学 模 型, 问 题 蕴 含 考 查 从 图 表 文 字 中 获 取 信 息 及 运 算 判 断 分 析 能 力 的 要 求. 由 于 问 题 的 解 决 要 求 体 现 出 必 要 的 过 程, 因 而 在 试 题 编 制 中 往 往 需 要 运 用 解 答 题 型 将 这 类 问 题 设 计 为 试 题. 005

14 高 考 数 学 应 用 题 解 题 策 略 分 析 : 历 届 应 用 题 题 型 大 全 + 高 考 数 学 满 分 必 备 例 11 (2006 年 江 苏 ) 请 您 设 计 一 个 帐 篷. 它 下 部 的 形 状 是 高 为 1m 的 正 六 棱 柱, 上 部 的 形 状 是 侧 棱 长 为 3m 的 正 六 棱 锥 ( 如 图 所 示 ). 试 问 当 帐 篷 的 顶 点 O 到 底 面 中 心 O 1 的 距 离 为 多 少 时, 帐 篷 的 体 积 最 大? 解 析 设 OO 1 为 x m, 则 由 题 设 可 得 正 六 棱 锥 底 面 边 长 为 ( 单 位 :m) O 3 2 -(x-1) 2 = 8+2x-x 2 于 是 底 面 正 六 边 形 的 面 积 为 ( 单 位 :m 2 ) ( 8+2x-x 2 ) 2 = ( 8+2x-x 2 ) O 1 图 帐 篷 的 体 积 为 ( 单 位 :m 3 )V(x)= ( 8+2x-x 2 ) é 1 3 ( ù ê x-1)+1 ú = 3 ë û 2 ( 16+12x-x 3 ) 求 导 数, 得 V'(x)= 3 2 ( 12-3x 2 ) 令 V'(x)=0 解 得 x=-2( 不 合 题 意, 舍 去 ),x=2. 当 1<x<2 时,V'(x)>0,V(x) 为 增 函 数 ; 当 2<x<4 时,V'(x)<0,V(x) 为 减 函 数. 所 以 当 x=2 时,V(x) 最 大. 答 : 当 OO 1 为 2m 时, 帐 篷 的 体 积 最 大. [ 点 评 ] 本 题 主 要 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值 的 基 础 知 识, 以 及 运 用 数 学 知 识 解 决 实 际 问 题 的 能 力. 4. 预 警 预 测 型 应 用 题 006 例 12 (2002 年 北 京 ) 假 设 A 型 进 口 汽 车 关 税 税 率 在 2001 年 是 100%, 在 2006 年 是 25%, 2001 年 A 型 进 口 车 每 辆 价 格 为 64 万 元 ( 其 中 含 32 万 元 关 税 税 款 ). (1) 已 知 与 A 型 车 性 能 相 近 的 B 型 国 产 车,2001 年 每 辆 价 格 为 46 万 元. 若 A 型 车 的 价 格 只 受 关 税 降 低 影 响, 为 了 保 证 2006 年 B 型 车 的 价 格 不 高 于 A 型 车 价 格 的 90%,B 型 车 价 格 要 逐 年 降 低, 问 平 均 每 年 至 少 下 降 多 少 万 元? (2) 某 人 在 2001 年 将 33 万 元 存 入 银 行, 假 如 该 银 行 扣 利 息 税 后 的 年 利 率 为 1.8%( 五 年 内 不 变 ), 且 每 年 按 复 利 计 算 ( 例 如, 第 一 年 的 利 息 记 入 第 二 年 的 本 金 ), 那 么 五 年 到 期 时 这 笔 钱 连 本 带 息 是 否 一 定 够 买 一 辆 按 (1) 中 所 述 降 价 后 的 B 型 汽 车? [ 点 评 ] 应 用 数 学 知 识 对 经 济 活 动 中 的 规 律 进 行 探 讨, 增 强 把 控 能 力, 提 高 计 划 性 和 预 见 性, 是 未 来 公 民 较 好 的 一 种 素 养, 这 种 素 养 也 是 素 质 教 育 所 追 求 的. 本 题 以 即 将 到 来 的 轿 车 进 入 大 众 化 时 代 为 背 景, 从 汽 车 的 价 格 到 居 民 计 划 五 年 后 购 买 汽 车 切 题, 编 制 高 考 应 用 题, 能 够 较 好 地 考 查 考 生 数 学 应 用 能 力.

15 第 一 章 高 考 数 学 应 用 题 题 型 分 析 [ 答 案 ] (1)2 万 元 ;(2)5 年 后 本 息 和 为 >36, 可 以. 例 13 (2005 年 湖 北 ) 某 地 最 近 出 台 一 项 机 动 车 驾 照 考 试 规 定 : 每 位 考 试 者 一 年 之 内 最 多 有 4 次 参 加 考 试 的 机 会, 一 旦 某 次 考 试 通 过, 便 可 领 取 驾 照, 不 再 参 加 以 后 的 考 试, 否 则 就 一 直 考 到 第 4 次 为 止. 如 果 李 明 决 定 参 加 驾 照 考 试, 设 他 每 次 参 加 考 试 通 过 的 概 率 依 次 为 0.6,0.7,0.8, 0.9, 求 在 一 年 内 李 明 参 加 驾 照 考 试 次 数 ξ 的 分 布 列 和 ξ 的 期 望, 并 求 李 明 在 一 年 内 领 到 驾 照 的 概 率. 解 析 ξ 的 取 值 分 别 为 1,2,3,4. ξ=1, 表 明 李 明 第 一 次 参 加 驾 照 考 试 就 通 过 了, 故 P( ξ =1)=0.6. ξ=2, 表 明 李 明 在 第 一 次 考 试 未 通 过, 第 二 次 通 过 了, 故 P( ξ =2)=(1-0.6) 0.7=0.28. ξ=3, 表 明 李 明 在 第 一 二 次 考 试 未 通 过, 第 三 次 通 过 了, 故 P( ξ =3)=(1-0.6) (1-0.7) 0.8= ξ=4, 表 明 李 明 第 一 二 三 次 考 试 都 未 通 过, 故 P( ξ =4)=(1-0.6) (1-0.7) (1-0.8)= 所 以 李 明 实 际 参 加 考 试 次 数 ξ 的 分 布 列 为 ξ P 所 以 ξ 的 期 望 Eξ= = 李 明 在 一 年 内 领 到 驾 照 的 概 率 为 1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)(1-0.9)= [ 点 评 ] 机 动 车 驾 照 考 试 在 当 今 社 会 已 经 越 来 越 普 遍, 但 是 在 2005 年 还 没 有 十 分 普 及. 本 题 以 此 为 背 景, 主 要 考 查 随 机 变 量 的 分 布 列 和 数 学 期 望 的 概 念 和 运 算, 以 及 运 用 概 率 统 计 的 知 识 解 决 实 际 问 题 的 能 力. 第 二 节 改 编 应 用 题 和 原 创 应 用 题 对 于 应 用 题 而 言, 问 题 情 境 来 源 于 实 际 的 相 关 材 料, 情 境 的 表 述 则 为 明 确 对 象 形 成 问 题 条 件 明 确 需 要 解 决 的 问 题 建 立 了 前 提. 应 用 题 所 对 应 的 对 象 及 条 件 往 往 蕴 含 形 成 数 学 问 题 中 必 要 的 数 学 概 念 图 像 图 形 等 ; 所 提 出 的 任 务 要 么 可 以 直 接 表 示 为 有 关 的 数 学 事 实 ( 模 型 ), 要 么 通 过 适 当 转 化 有 关 的 数 学 事 实 ( 模 型 ), 蕴 含 考 查 运 用 数 学 解 决 实 际 问 题 能 力 的 功 能. 由 于 高 考 命 题 的 特 点, 命 题 专 家 不 可 能 在 较 短 时 间 内 进 行 实 地 调 查, 通 过 考 察 取 证 获 取 原 始 007

16 高 考 数 学 应 用 题 解 题 策 略 分 析 : 历 届 应 用 题 题 型 大 全 + 高 考 数 学 满 分 必 备 数 据, 因 此 现 有 的 媒 体 材 料 报 纸 杂 志 个 人 经 验 积 累 的 素 材 以 及 国 内 外 经 典 问 题, 包 括 教 材 中 原 有 的 应 用 题 素 材, 就 成 了 拟 制 应 用 题 的 一 个 主 要 原 始 问 题 来 源. 从 现 有 材 料 改 编 成 高 考 应 用 题 是 基 本 的 命 题 方 式, 这 种 方 式 出 现 的 高 考 应 用 题, 通 常 叙 述 准 确 简 练 ; 以 实 际 生 活 情 景 或 现 实 背 景 原 创 应 用 题 是 另 一 种 方 式 出 现 的 高 考 应 用 题, 这 种 题 型 通 常 为 了 描 述 清 楚, 需 要 较 多 的 文 字, 与 生 活 用 语 结 合 在 一 起, 有 时 容 易 产 生 不 同 的 理 解, 因 此 真 正 的 原 创 应 用 题 在 高 考 中 并 不 多 见, 多 为 在 现 实 材 料 基 础 上 的 以 某 一 数 学 模 型 为 载 体 的 应 用 题. 一 改 编 应 用 题 1. 改 编 自 教 材 的 应 用 题 例 14 (2009 年 上 海 ) 有 时 可 用 函 数 ìï ln a a-x, x 6, ï f(x)= í ïx-4.4 ï x-4, x>6 î 描 述 学 习 某 学 科 知 识 的 掌 握 程 度. 其 中 x 表 示 某 学 科 知 识 的 学 习 次 数 (x N * ),f(x) 表 示 对 该 学 科 知 识 的 掌 握 程 度, 正 实 数 a 与 学 科 知 识 有 关. (1) 证 明 : 当 x 7 时, 掌 握 程 度 的 增 长 量 f(x+1)-f(x) 总 是 下 降 ; (2) 根 据 经 验, 学 科 甲 乙 丙 对 应 的 a 的 取 值 区 间 分 别 为 ( 115,121 ], ( 121,127 ], ( 127,133 ]. 当 学 习 某 学 科 知 识 6 次 时, 掌 握 程 度 是 85%, 请 确 定 相 应 的 学 科. 解 析 0.4 (1)[ 证 明 ] 当 x 7 时,f(x+1)-f(x)= (x-3)(x-4). 008 而 当 x 7 时, 函 数 y=(x-3)(x-4) 单 调 递 增, 且 (x-3)(x-4)>0. 故 f(x+1)-f(x) 单 调 递 减. 所 以 当 x 7 时, 掌 握 程 度 的 增 长 量 f(x+1)-f(x) 总 是 下 降. (2)[ 解 ] 由 题 意 知 ln a a-6 =0.85. a 整 理 得 =e0.05, a-6 e0.05 解 得 a= ( 121,127 ] e =123.0, 由 此 可 知, 该 学 科 是 乙 学 科. [ 点 评 ] 本 题 改 编 自 教 材 后 的 阅 读 材 料. 由 于 教 材 是 所 有 考 生 都 拥 有 的 基 本 学 习 材 料, 从 教 材 中 寻 找 命 制 应 用 题 的 切 入 点, 可 以 保 证 背 景 的 公 平, 也 容 易 编 制 出 可 靠 的 试 题.

17 第 一 章 高 考 数 学 应 用 题 题 型 分 析 2. 改 编 自 国 外 资 料 的 应 用 题 例 15 (2000 年 上 海 ) 根 据 指 令 (r,θ)(r 0,-180 <θ 180 ), 机 器 人 在 平 面 上 能 完 成 下 列 动 作 : 先 原 地 旋 转 角 度 θ(θ 为 正 时, 按 逆 时 针 方 向 旋 转 θ,θ 为 负 时, 按 顺 时 针 方 向 旋 转 -θ), 再 朝 其 面 对 的 方 向 沿 直 线 行 走 距 离 r. (1) 现 机 器 人 在 直 角 坐 标 系 的 坐 标 原 点, 且 面 对 x 轴 正 方 向, 试 给 机 器 人 下 一 个 指 令, 使 其 移 动 到 点 (4,4) 如 图 y 所 示. 4 (2) 机 器 人 在 完 成 该 指 令 后, 发 现 在 点 (17,0) 处 有 一 小 球 正 向 坐 标 原 点 作 匀 速 直 线 滚 动, 已 知 小 球 滚 动 的 速 度 为 机 器 人 O 4 17 x 直 线 行 走 速 度 的 2 倍, 若 忽 略 机 器 人 原 地 旋 转 所 需 的 时 间, 问 机 图 器 人 最 快 可 在 何 处 截 住 小 球? 并 给 出 机 器 人 截 住 小 球 所 需 的 指 令 ( 结 果 精 确 到 小 数 点 后 两 位 ). 解 析 (1)r=4 2,θ=45, 得 指 令 为 (4 2,45 ), (2) 设 机 器 人 最 快 在 点 P(x,0) 处 截 住 小 球, 则 因 为 小 球 速 度 是 机 器 人 速 度 的 2 倍, 所 以 在 相 同 时 间 内 有 17 - x = 2 (x-4) 2 +(0-4) 2, 即 3x 2 +2x-161=0, 得 x=- 23 或 x=7, 3 因 为 要 求 机 器 人 最 快 地 去 截 住 小 球, 即 小 球 滚 动 距 离 最 短, 所 以 x=7, 故 机 器 人 最 快 可 在 点 P(7,0) 处 截 住 小 球, 所 给 的 指 令 为 (5, ). [ 点 评 ] 该 高 考 题 由 美 国 的 一 本 数 学 的 原 理 与 实 践 书 中 案 例 经 过 改 编 而 来, 由 于 改 编 幅 度 很 大, 因 此 用 于 高 考 仍 具 有 很 高 的 公 平 性 和 区 分 性. 3. 改 编 自 常 规 习 题 的 应 用 题 例 16 (2001 年 上 海 ) 用 一 块 钢 锭 浇 铸 一 个 厚 度 均 匀, 且 D C 全 面 积 为 2m 2 的 正 四 棱 锥 形 有 盖 容 器 ( 如 图 所 示 ), 设 A B 容 器 的 高 为 h m, 盖 子 边 长 为 a m. (1) 求 a 关 于 h 的 函 数 解 析 式 ; (2) 设 容 器 的 容 积 为 V m 3, 则 当 h 为 何 值 时,V 最 大? 求 出 V 的 最 大 值. ( 求 解 本 题 时, 不 计 容 器 的 厚 度 ) P 图

18 高 考 数 学 应 用 题 解 题 策 略 分 析 : 历 届 应 用 题 题 型 大 全 + 高 考 数 学 满 分 必 备 解 析 (1) 设 h' 为 正 四 棱 锥 的 斜 高. ìï a h'a=2, ï 由 已 知 í ï ïh a2 =h' 2, î 解 得 a= 1 (h>0). h 2 +1 (2)V= 1 3 ha2 = h 3(h 2 +1) ( h>0), 易 得 V= 1 3h+ 1. æ ö ç è h ø 因 为 h+ 1 2 h 1 h h =2, 所 以 V 1 6. 等 式 当 且 仅 当 h= 1 h, 即 h=1 时 取 得. 1 故 当 h=1m 时,V 有 最 大 值,V 的 最 大 值 为 6 m3. [ 点 评 ] 该 题 改 编 自 教 材 中 一 道 常 规 的 习 题, 原 习 题 没 有 实 际 背 景, 用 作 高 考 题 时, 通 过 赋 予 其 实 际 意 义, 而 成 为 一 道 立 体 几 何 应 用 题. 类 似 的 问 题 还 有 2008 年 上 海 高 考 的 制 作 灯 笼 应 用 题. 例 17 (2004 年 上 海 ) 某 市 2003 年 共 有 1 万 辆 燃 油 型 公 交 车. 有 关 部 门 计 划 于 2004 年 投 入 128 辆 电 力 型 公 交 车, 随 后 电 力 型 公 交 车 每 年 的 投 入 比 上 一 年 增 加 50%, 试 问 : (1) 该 市 在 2010 年 应 该 投 入 多 少 辆 电 力 型 公 交 车? 1 (2) 到 哪 一 年 底, 电 力 型 公 交 车 的 数 量 开 始 超 过 该 市 公 交 车 总 量 的 3? 解 析 (1) 该 市 逐 年 投 入 的 电 力 型 公 交 车 的 数 量 组 成 等 比 数 列 {a n }, 其 中 a 1 =128,q=1.5, 010 则 在 2010 年 应 该 投 入 的 电 力 型 公 交 车 为 a 7 =a 1 q 6 = =1458( 辆 ). S n (2) 记 S n =a 1 +a 2 + +a n, 依 据 题 意, 得 > S n 3. 于 是 S n = 128 (1-1.5 n ) > 5000( 辆 ), 即 1.5 n > , 则 有 n 7.5, 因 此 n 8. 所 以, 到 2011 年 底, 电 力 型 公 交 车 的 数 量 开 始 1 超 过 该 市 公 交 车 总 量 的 3. [ 点 评 ] 发 展 绿 色 能 源 交 通 是 一 项 国 家 战 略. 该 高 考 题 把 常 规 习 题 融 入 公 交 部 门 投 入 电 力 型 公 交 背 景 中, 变 成 一 道 既 常 规 又 极 富 应 用 味 道 的 试 题. 考 生 在 解 答 过 程 中 不 仅 展 现 所 学 等 比 数 列

19 第 一 章 高 考 数 学 应 用 题 题 型 分 析 知 识, 还 受 到 潜 在 的 环 保 教 育. 例 18 (2005 年 上 海 ) 某 市 2004 年 底 有 住 房 面 积 1200 万 平 方 米, 计 划 从 2005 年 起, 每 年 拆 除 20 万 平 方 米 的 旧 住 房. 假 定 该 市 每 年 新 建 住 房 面 积 是 上 年 年 底 住 房 面 积 的 5%. (1) 分 别 求 2005 年 底 和 2006 年 底 的 住 房 面 积 ; (2) 求 2024 年 底 的 住 房 面 积.( 计 算 结 果 以 万 平 方 米 为 单 位, 且 精 确 到 0.01) 解 析 (1)2005 年 底 的 住 房 面 积 为 1200(1+5%)-20=1240( 万 平 方 米 ), 2006 年 底 的 住 房 面 积 为 1200(1+5%) 2-20(1+5%)-20=1282( 万 平 方 米 ). 所 以 2005 年 底 的 住 房 面 积 为 1240 万 平 方 米,2006 年 底 的 住 房 面 积 为 1282 万 平 方 米. (2)2024 年 底 的 住 房 面 积 为 1200(1+5%) 20-20(1+5%) 19-20(1+5%) (1+5%)-20 =1200(1+5%) ( 万 平 方 米 ) 所 以 2024 年 底 的 住 房 面 积 约 为 万 平 方 米. [ 点 评 ] 从 连 续 两 年 上 海 春 季 高 考 试 题, 我 们 看 到, 应 用 题 的 考 查 并 不 因 为 前 一 年 考 过 什 么 知 识, 下 一 年 就 回 避. 事 实 上, 高 考 中 应 用 题 选 择 的 知 识 点 具 有 重 要 的 平 衡 功 能, 由 于 应 用 题 负 载 大, 选 择 知 识 领 域 自 由, 因 此 在 高 考 试 卷 中 的 表 现 既 十 分 自 由 又 相 当 一 贯, 自 由 的 是 试 题 考 点 和 放 置 题 序, 一 贯 的 是 每 年 的 高 考 试 卷 中 都 有 应 用 题. 二 原 创 应 用 题 1. 原 创 于 生 活 环 境 的 应 用 题 例 19 (2001 年 江 西 山 西 天 津 ) 一 间 平 房 的 屋 顶 有 如 图 所 示 的 三 种 不 同 的 盖 法 : 1 单 向 倾 斜 ;2 双 向 倾 斜 ;3 四 向 倾 斜. 记 三 种 盖 法 屋 顶 面 积 分 别 为 P 1 P 2 P 3 图 若 屋 顶 斜 面 与 水 平 面 所 成 的 角 都 是 α, 则 ( ) A.P 3 >P 2 >P 1 B.P 3 >P 2 =P 1 C.P 3 =P 2 >P 1 D.P 3 =P 2 =P 1 [ 点 评 ] 我 们 居 住 的 房 屋 屋 顶 各 种 形 状, 本 题 抽 象 出 比 较 常 见 的 3 种, 不 同 盖 法 的 屋 顶, 面 积 是 否 相 等? 从 我 们 熟 悉 的 环 境 切 入, 构 造 原 创 的 高 考 应 用 题, 既 清 新 又 独 具 匠 心. [ 答 案 ] D 011

20 高 考 数 学 应 用 题 解 题 策 略 分 析 : 历 届 应 用 题 题 型 大 全 + 高 考 数 学 满 分 必 备 例 20 (2008 年 上 海 ) 如 图 所 示, 某 住 宅 小 区 的 平 面 图 呈 扇 形 AOB. 小 区 的 两 个 出 入 口 设 置 在 点 A 及 点 C 处. 小 区 里 有 一 条 平 行 于 BO 的 小 路 CD. 已 知 某 人 从 C 沿 CD 走 到 D 用 了 10 分 A C B 钟, 从 D 沿 DA 走 到 A 用 了 6 分 钟, 若 此 人 步 行 速 度 为 每 分 钟 50 m, 求 该 扇 形 的 半 径 OA 的 长 ( 精 确 到 1 m). D O 图 解 析 [ 解 法 一 ] 设 该 扇 形 半 径 为 r m, 连 接 CO, 如 图 所 示, 由 题 意, 得 CD=500(m),DA=300(m), CDO=60 在 CDO 中,CD 2 +OD 2-2CD OD cos60 =OC 2 C A B 即 (r-300) (r-300) 1 2 =r2 解 得 :r= (m) D O 图 所 以, 该 扇 形 的 半 径 OA 的 长 约 445m. [ 解 法 二 ] 连 接 AC, 作 OH AC, 交 AC 于 H, 如 图 所 示. 由 题 意, 得 CD=500m,AD=300m, CDA=120, 在 ACD 中, H C AC 2 =CD 2 +AD 2-2CD AD cos120 A B = =7002 D O 故 AC=700(m),cos ACD= AC2 +AD 2 -CD 2 2AC AD =11 14, 图 在 Rt HAO 中,AH =350(m),cos HAO= 11 14, 所 以,OA= AH cos HAO = (m). 答 : 该 扇 形 的 半 径 OA 的 长 约 445m. [ 点 评 ] 命 题 者 居 住 地 有 一 个 呈 扇 形 的 花 园, 园 中 有 一 便 道, 据 此 原 型 命 制 出 上 述 高 考 试 题. 从 这 里 我 们 看 到 任 何 一 道 精 彩 的 高 考 试 题, 都 凝 结 着 命 题 专 家 大 量 的 心 血, 也 与 命 题 专 家 的 经 历 和 阅 历 密 不 可 分 的. 2. 原 创 于 体 育 休 闲 设 施 的 应 用 题 例 21 (2009 年 福 建 ) 如 图 所 示, 某 市 拟 在 长 为 8km 的 道 路 OP 的 一 侧 修 建 一 条 运 动 赛 道, 赛 道 的 前 一 部 分 为 曲 线 段 OSM, 该 曲 线 段 为 函 数 y=asinωx(a>0ὠ>0)x [0,4] 的 012

21 第 一 章 高 考 数 学 应 用 题 题 型 分 析 图 像, 且 图 像 的 最 高 点 为 S(3,2 3); 赛 道 的 后 一 部 分 为 折 线 段 MNP, 为 保 证 参 赛 运 动 员 的 安 全, 限 定 MNP=120 (1) 求 A,ω 的 值 和 M,P 两 点 间 的 距 离 ; (2) 应 如 何 设 计, 才 能 使 折 线 段 赛 道 MNP 最 长? y 2 3 S M 解 析 [ 解 法 一 ] (1) 依 题 意, 有 A=2 3, T 4 =3, N 又 T= 2π ω, 所 以 ω= π 6. 所 以 y=2 3sin π 6 x 当 x=4 时, 所 以 y=2 3sin 2π 3 =3 O 图 P x 所 以 M (4,3), 又 p(8,0) 所 以 MP= =5. (2) 在 MNP 中 MNP=120,MP=5, 设 PMN =θ, 则 0 <θ<60, 如 图 所 示. MP 由 正 弦 定 理 得 sin120 =NP sinθ = MN sin(60 -θ), y 2 3 S M 5 N 所 以 NP= sinθ, 所 以 MN = sin (60 -θ) O P x 故 NP+MN = sinθ sin (60 -θ) 图 = æ1 2 sinθ+ 3 ö ç è 3 cosθ = 10 3 ø 3 sin (θ+60 ) 因 为 0 <θ<60, 所 以 当 θ=30 时, 折 线 段 赛 道 MNP 最 长. 亦 即, 将 PMN 设 计 为 30 时, 折 线 段 赛 道 MNP 最 长. [ 解 法 二 ] (1) 同 解 法 一 (2) 在 MNP 中, MNP=120,MP=5, 由 余 弦 定 理 得 MN 2 +NP 2-2MN NP cos MNP=MP 2 即 MN 2 +NP 2 +MN NP=25 æmn +NP ö 故 (MN +NP) 2-25=MN NP ç è 2 ø 3 从 而 4 ( MN +NP) 2 25, 即 MN +NP 当 且 仅 当 MN =NP 时, 折 线 段 赛 道 MNP 最 长 注 : 本 题 第 (2) 问 答 案 及 其 呈 现 方 式 均 不 唯 一, 除 了 解 法 一 解 法 二 给 出 的 两 种 设 计 方 式, 还 可 以 æ 设 计 为 :1N ,9+43 ö æ ç ;2N 12-3 è 6 ø 2,9-43 ö ç ;3 点 N 在 线 段 MP 的 垂 直 平 分 线 上 等. è 6 ø 2 013

22 高 考 数 学 应 用 题 解 题 策 略 分 析 : 历 届 应 用 题 题 型 大 全 + 高 考 数 学 满 分 必 备 [ 点 评 ] 本 小 题 主 要 考 查 三 角 函 数 的 图 像 与 性 质 解 三 角 形 等 基 础 知 识, 考 查 运 算 求 解 能 力 以 及 应 用 数 学 知 识 分 析 和 解 决 实 际 问 题 的 能 力, 考 查 化 归 与 转 化 思 想 数 形 结 合 思 想. 3. 原 创 于 社 会 经 济 的 应 用 题 例 22 (2001 年 北 京 内 蒙 古 安 徽 ) 某 摩 托 车 生 产 企 业, 上 年 度 生 产 摩 托 车 的 投 入 成 本 为 1 万 元 / 辆, 出 厂 价 为 1.2 万 元 / 辆, 年 销 售 量 为 1000 辆. 本 年 度 为 适 应 市 场 需 求, 计 划 提 高 产 品 档 次, 适 度 增 加 投 入 成 本. 若 每 辆 车 投 入 成 本 增 加 的 比 例 为 x(0<x<1), 则 出 厂 价 相 应 提 高 的 比 例 为 0.75x, 同 时 预 计 年 销 售 量 增 加 的 比 例 为 0.6x. 已 知 年 利 润 =( 出 厂 价 - 投 入 成 本 ) 年 销 售 量. (1) 写 出 本 年 度 预 计 的 年 利 润 y 与 投 入 成 本 增 加 的 比 例 x 的 关 系 式 ; (2) 为 使 本 年 度 的 年 利 润 比 上 年 有 所 增 加, 问 投 入 成 本 增 加 的 比 例 x 应 在 什 么 范 围 内? 解 析 (1) 由 题 意 得 y=[1.2 (1+0.75x)-1 (1+x)] 1000 (1+0.6x)(0<x<1), 整 理 得 y=-60x 2 +20x+200 (0<x<1). (2) 要 保 证 本 年 度 的 利 润 比 上 年 度 有 所 增 加, 当 且 仅 当 { 0<x<1. y-(1.2-1) 1000>0, 即 { 0<x<1. -60x 2 +20x>0, 解 不 等 式 得 0<x< 1 3. 答 : 为 保 证 本 年 度 的 年 利 润 比 上 年 度 有 所 增 加, 投 入 成 本 增 加 的 比 例 x 应 满 足 0<x<0.33. [ 点 评 ] 本 小 题 主 要 考 查 建 立 函 数 关 系 不 等 式 的 性 质 和 解 法 等 内 容, 考 查 运 用 数 学 知 识 解 决 实 际 问 题 的 能 力. 例 23 (2012 年 福 建 ) 受 轿 车 在 保 修 期 内 维 修 费 等 因 素 的 影 响, 企 业 生 产 每 辆 轿 车 的 利 润 与 该 轿 车 首 次 出 现 故 障 的 时 间 有 关. 某 轿 车 制 造 厂 生 产 甲 乙 两 种 品 牌 轿 车, 保 修 期 均 为 2 年, 现 从 该 厂 已 售 出 的 两 种 品 牌 轿 车 中 各 随 机 抽 取 50 辆, 统 计 数 据 如 下 : 品 牌 甲 乙 首 次 出 现 故 障 时 间 x( 年 ) 0<x 1 1<x 2 x>2 0<x 2 x>2 轿 车 数 量 ( 辆 ) 每 辆 利 润 ( 万 元 ) 将 频 率 视 为 概 率, 解 答 下 列 问 题 : (1) 从 该 厂 生 产 的 甲 品 牌 轿 车 中 随 机 抽 取 一 辆, 求 其 首 次 出 现 故 障 发 生 在 保 修 期 内 的 概 率 ;

23 第 一 章 高 考 数 学 应 用 题 题 型 分 析 (2) 若 该 厂 生 产 的 轿 车 均 能 售 出, 记 生 产 一 辆 甲 品 牌 轿 车 的 利 润 为 X 1, 生 产 一 辆 乙 品 牌 轿 车 的 利 润 为 X 2, 分 别 求 X 1,X 2 的 分 布 列 ; (3) 该 厂 预 计 今 后 这 两 种 品 牌 轿 车 销 量 相 当, 由 于 资 金 限 制, 只 能 生 产 其 中 一 种 品 牌 的 轿 车. 若 从 经 济 效 益 的 角 度 考 虑, 你 认 为 应 生 产 哪 种 品 牌 的 轿 车? 说 明 理 由. 解 析 (1) 设 甲 品 牌 轿 车 首 次 出 现 故 障 发 生 在 保 修 期 内 为 事 件 A. 则 P(A)= = (2) 依 题 意 得,X 1 的 分 布 列 为 X P X 2 的 分 布 列 为 X P (3) 由 (2) 得,E(X 1 )= = =2.86 ( 万 元 ), E(X 2 )= =2.79 ( 万 元 ). 因 为 E(X 1 )>E(X 2 ), 所 以 应 生 产 甲 品 牌 轿 车. 4. 原 创 于 报 刊 媒 体 的 应 用 题 例 24 (2003 年 上 海 ) 如 图, 某 隧 道 设 计 为 双 向 四 车 道, 车 道 总 宽 22m, 要 求 通 行 车 辆 限 高 4.5 m, 隧 道 全 长 2.5km, 隧 道 的 拱 线 近 似 地 看 成 半 个 椭 圆 形 状. (1) 若 最 大 拱 高 h 为 6m, 则 隧 道 设 计 的 拱 宽 l 是 多 少? (2) 若 最 大 拱 高 h 不 小 于 6m, 则 应 如 何 设 计 拱 高 h 和 拱 h 22 l 4.5 宽 l, 才 能 使 半 个 椭 圆 形 隧 道 的 土 方 工 程 量 最 小? 图 ( 半 个 椭 圆 的 面 积 公 式 为 S= π 4 lh, 柱 体 体 积 为 : 底 面 积 乘 以 高. 本 题 结 果 精 确 到 0.1m) 015

24 高 考 数 学 应 用 题 解 题 策 略 分 析 : 历 届 应 用 题 题 型 大 全 + 高 考 数 学 满 分 必 备 解 析 (1) 如 图 所 示, 建 立 直 角 坐 标 x 2 系, 则 点 P(11,4.5), 椭 圆 方 程 为 + y 2 =1. a 2 b 2 将 b=h=6 与 点 P 坐 标 代 入 椭 圆 方 程, 得 4.5 y O 22 l P h x a= , 此 时 l=2a= 因 此 隧 道 的 拱 图 UU1U 宽 约 为 33.3m. (2)[ 解 法 一 ] x 2 由 椭 圆 方 程 + y 2 =1, 得 a 2 b =1. a 2 b 因 为 即 ab 99, 且 l=2a,h=b, a 2 b 2 ab 所 以 S= π 4 lh=πab 2 99π 当 S 取 最 小 值 时, 有 = = 1 a 2 b 2 2, 得 a=11 2,b= 此 时 l=2a= ,h=b 6.4 故 当 拱 高 约 为 6.4m 拱 宽 约 为 31.1m 时, 土 方 工 程 量 最 小. x 2 [ 解 法 二 ] 由 椭 圆 方 程 + y =1, 得 =1. 于 是 b 2 = 81 a 2 b 2 a 2 b 2 4 a 2 a 2-121, a 2 b 2 = 81 æ ç 4 a è a ö 81 ø 4 ( )=81 121, 即 ab 99, 当 S 取 最 小 值 时, 有 a 2-121= 1212 a 2-121, 得 a=11 2,b= 以 下 同 解 一. [ 点 评 ] 该 题 源 自 于 当 年 新 民 晚 报 刊 登 的 一 篇 报 道 : 上 海 市 大 连 路 隧 道 工 程 建 设 获 突 破 性 进 展, 两 台 超 大 型 盾 构 联 袂 向 黄 浦 江 进 发, 形 成 我 国 大 型 越 江 隧 道 双 龙 竞 发 的 新 壮 举. 大 连 路 隧 道 设 计 线 路 总 长 为 2.5km, 设 双 向 4 车 道, 预 计 工 程 9 月 完 工. 届 时 将 极 大 地 缓 解 延 安 东 路 隧 道 和 杨 浦 大 桥 的 交 通 压 力, 促 进 浦 江 两 岸 的 经 济 文 化 交 流, 提 升 上 海 城 市 综 合 竞 争 力, 构 筑 国 际 一 流 大 都 市. 以 在 建 的 上 海 隧 道 为 背 景, 查 阅 适 当 的 数 据, 如 隧 道 要 求 通 行 净 高 4.5m, 大 连 路 隧 道 江 中 段 为 双 管 椭 圆 形 等. 根 据 手 头 的 数 据 资 料 和 高 中 生 建 模 能 力 要 求 进 行 试 题 的 原 创 工 作, 具 体 命 题 思 路, 有 兴 趣 的 读 者 可 参 见 熊 斌, 张 思 明, 任 升 录 主 编 中 学 数 学 原 创 题 集 ( 华 东 师 大 出 版 社 2010 年 ) 第 页 : 隧 道 设 计 问 题 的 数 学 命 题 思 路 ( 虞 涛 ) 016

25 第 一 章 高 考 数 学 应 用 题 题 型 分 析 第 二 章 高 考 数 学 应 用 题 解 题 策 略 高 考 数 学 考 查 的 重 要 能 力 之 一 是 应 用 能 力, 就 是 从 数 学 的 角 度 观 察 事 物 阐 释 现 象 分 析 问 题. 从 广 义 上 讲, 解 决 任 何 一 个 数 学 问 题 都 是 应 用, 是 运 用 已 经 学 过 的 数 学 知 识 和 数 学 思 想 方 法 解 决 新 的 问 题 ; 从 狭 义 上 讲, 数 学 应 用 能 力 可 以 指 运 用 建 模 思 想 将 生 活 实 际 问 题 化 为 数 学 问 题 加 以 解 决 的 能 力. 应 用 题 作 为 高 考 的 热 点 问 题 而 备 受 人 们 关 注, 已 经 成 为 每 年 高 考 必 考 题. 新 课 程 的 全 面 实 施 和 新 教 材 的 全 面 推 广 使 用, 为 进 一 步 加 大 数 学 应 用 能 力 考 查 的 力 度 提 供 了 更 为 广 泛 的 内 容 载 体. 素 质 教 育 呼 唤 应 用 意 识, 近 几 年 来 的 高 考 试 题 增 强 了 对 密 切 联 系 生 产 和 生 活 实 际 的 应 用 性 问 题 的 考 查 力 度, 突 出 对 能 力 的 考 查 重 视 应 用, 培 养 应 用 数 学 的 意 识, 培 养 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力. 分 析 近 几 年 高 考 应 用 性 问 题 不 难 得 出, 试 题 从 实 际 出 发 提 供 公 平 背 景, 设 问 新 颖 灵 活, 而 解 决 这 些 问 题 所 涉 及 的 数 学 知 识 数 学 思 想 和 方 法 又 都 是 高 中 数 学 大 纲 所 要 求 掌 握 的 概 念 公 式 定 理 和 法 则 等 基 础 知 识 和 基 本 方 法. 新 课 程 理 念 强 调 数 学 与 现 实 生 活 的 联 系, 应 用 题 已 成 为 高 考 的 热 点. 这 类 试 题 的 特 点 是 : (1) 信 息 来 源 真 实 可 靠 ;(2) 注 重 考 查 学 生 的 阅 读 建 模 及 应 用 能 力. 数 学 应 用 性 问 题 是 历 年 高 考 命 题 的 主 要 题 型 之 一, 也 是 考 生 失 分 较 多 的 一 种 题 型. 高 考 中 一 般 命 制 一 道 解 答 题 和 两 道 填 空 选 择 题. 解 答 这 类 问 题 的 关 键 是 深 刻 理 解 题 意, 学 会 将 文 字 语 言 向 数 学 的 符 号 语 言 的 翻 译 转 化, 这 就 需 要 建 立 恰 当 的 数 学 模 型, 其 中, 函 数 数 列 不 等 式 排 列 组 合 是 较 为 常 见 的 模 型, 而 三 角 立 体 几 何 解 析 几 何 等 模 型 也 应 在 复 习 时 引 起 重 视. 由 于 数 学 问 题 的 广 泛 性, 实 际 问 题 的 复 杂 性, 干 扰 因 素 的 多 元 性, 更 由 于 实 际 问 题 的 专 一 性, 这 些 都 给 学 生 能 读 懂 题 目 提 供 了 条 件 和 要 求, 在 陌 生 的 情 景 中 找 出 本 质 的 内 容, 转 化 为 函 数 方 程 不 等 式 数 列 排 列 组 合 概 率 曲 线 解 三 角 形 等 问 题. 考 试 手 册 对 于 解 决 实 际 问 题 的 能 力 的 界 定 是 : 能 阅 读 理 解 对 问 题 进 行 陈 述 的 材 料 ; 能 综 合 应 用 所 学 数 学 知 识 思 想 和 方 法 解 决 问 题, 包 括 提 炼 解 决 在 相 关 学 科 生 产 生 活 中 的 数 学 问 题, 并 能 用 数 学 语 言 正 确 地 加 以 表 述. 并 且 指 出 : 对 数 学 应 用 问 题, 要 把 握 好 提 出 问 题 所 涉 及 的 数 学 知 识 和 方 法 的 深 度 和 广 度, 切 合 中 学 数 学 教 学 实 际. 全 国 各 地 试 卷 的 应 用 题, 涵 盖 了 中 学 数 学 的 大 部 分 重 要 内 容 ;2011 年 全 国 37 套 试 卷 的 应 用 题 中, 只 有 湖 北 湖 南 为 分 段 函 数, 湖 南 为 数 列, 山 东 为 函 数 与 导 数, 上 海 浙 江 没 有 主 观 应 用 题 ( 含 概 率 ), 其 余 省 市 都 是 考 查 概 率 与 统 计.2010 年 全 国 37 套 试 卷 的 应 用 题 中, 只 有 陕 西 福 建 考 查 解 三 角 形, 其 余 省 市 都 是 考 查 概 率 与 统 计.2009 年 全 国 37 套 试 卷 应 用 题 中, 只 有 湖 北 考 查 基 本 017

26 高 考 数 学 应 用 题 解 题 策 略 分 析 : 历 届 应 用 题 题 型 大 全 + 高 考 数 学 满 分 必 备 不 等 式 ( 函 数 ), 福 建 理 辽 宁 宁 夏 考 查 解 三 角 形, 上 海 考 查 函 数, 其 余 都 是 概 率 与 统 计. 以 上 海 市 高 考 数 学 和 江 苏 省 高 考 数 学 最 近 七 年 已 有 问 题 的 知 识 点 和 背 景 分 析, 不 难 看 出, 两 地 高 考 数 学 的 应 用 问 题, 题 材 广 泛, 知 识 点 丰 富, 上 海 高 考 数 学, 对 数 学 的 应 用, 更 为 重 视. 年 份 上 海 市 江 苏 省 知 识 点 背 景 知 识 点 背 景 2014 概 率 问 题 解 三 角 形 紧 急 疏 散 演 练 统 计 最 值 建 广 告 牌 直 方 图 解 析 几 何 应 用 抽 测 树 木 底 周 长 保 护 河 上 古 桥 2013 概 率 问 题 购 物 问 题 利 润 问 题 概 率 背 景 代 数 背 景 销 售 背 景 旅 游 景 区 索 道 问 题 三 角 背 景 2012 概 率 问 题 方 差 海 事 救 援 概 率 背 景 统 计 背 景 三 角 背 景 炮 弹 射 程 问 题 物 理 背 景 2011 数 学 期 望 概 率 问 题 统 计 背 景 概 率 背 景 包 装 盒 面 积 和 体 积 问 题 几 何 背 景 2010 世 博 会 入 园 人 数 扑 克 概 率 灯 笼 制 作 算 法 框 图 概 率 背 景 几 何 背 景 测 量 问 题 几 何 背 景 2009 志 愿 者 数 学 期 望 病 例 数 据 知 识 掌 握 程 度 统 计 背 景 函 数 背 景 利 润 问 题 销 售 背 景 2008 方 差 问 题 孤 岛 航 灯 住 宅 小 区 问 题 统 计 背 景 三 角 背 景 距 离 问 题 几 何 背 景 应 用 问 题 的 考 试 要 求 是 考 查 考 生 的 应 用 意 识 和 运 用 数 学 知 识 与 方 法 来 分 析 问 题 解 决 问 题 的 能 力, 这 个 要 求 分 解 为 三 个 要 点 : 1. 要 求 考 生 关 心 国 家 大 事, 了 解 信 息 社 会, 讲 究 联 系 实 际, 重 视 数 学 在 生 产 生 活 及 科 学 中 的 应 用, 明 确 数 学 有 用, 要 用 数 学, 并 积 累 处 理 实 际 问 题 的 经 验. 2. 考 查 理 解 语 言 的 能 力, 要 求 考 生 能 够 从 普 通 语 言 中 捕 捉 信 息, 将 普 通 语 言 转 化 为 数 学 语 言, 以 数 学 语 言 为 工 具 进 行 数 学 思 维 与 交 流. 3. 考 查 建 立 数 学 模 型 的 初 步 能 力, 并 能 运 用 考 试 说 明 所 规 定 的 数 学 知 识 和 方 法 来 求 解. 由 于 文 字 较 多, 又 涉 及 学 生 的 实 际 生 活 经 验, 因 而 应 用 题 的 得 分 情 况 往 往 不 理 想. 为 此, 我 们 有 必 要 对 数 学 应 用 题 的 解 题 策 略 作 一 些 研 究. 018

27 第 二 章 高 考 数 学 应 用 题 解 题 策 略 一 数 学 应 用 题 建 模 方 法 传 统 的 数 学 教 学 内 容, 把 求 解 应 用 题 的 一 般 步 骤 归 纳 为 : 1. 审 清 题 意 : 认 真 分 析 题 目 所 给 的 有 关 材 料, 弄 清 题 意, 理 顺 问 题 中 的 条 件 和 结 论, 找 到 关 键 量, 进 而 明 确 其 中 的 数 量 关 系 ( 等 量 或 大 小 关 系 ) 2. 建 立 文 字 数 量 关 系 式 : 把 问 题 中 所 包 含 的 关 系 可 先 用 文 字 语 言 描 述 关 键 量 之 间 的 数 量 关 系, 这 是 解 决 问 题 的 一 把 钥 匙. 3. 转 化 为 数 学 模 型 : 将 文 字 语 言 所 表 达 的 数 量 关 系 转 化 为 数 学 语 言, 建 立 相 应 的 数 学 模 型 ( 一 般 要 列 出 函 数 式 三 角 式 不 等 式 数 列 排 列 组 合 式 概 率 以 及 利 用 几 何 图 形 等 进 行 分 析 ), 转 化 为 一 个 数 学 问 题. 4. 解 决 数 学 问 题 : 利 用 所 学 数 学 知 识 解 决 转 化 后 的 数 学 问 题, 得 到 相 应 的 数 学 结 论. 5. 返 本 还 原 : 把 所 得 到 的 关 于 应 用 问 题 的 数 学 结 论, 还 原 为 实 际 问 题 本 身 所 具 有 的 意 义. 数 学 建 模 是 将 实 际 问 题 转 化 为 数 学 问 题 的 过 程, 是 解 决 实 际 问 题 的 常 用 方 法. 具 体 步 骤 如 下 : 1. 读 题 ( 审 题 设 元 ): 读 懂 和 深 刻 理 解, 译 为 数 学 语 言, 找 出 主 要 关 系 ; 读 懂 题 目, 应 包 括 对 题 意 的 整 体 理 解 和 局 部 理 解, 以 及 分 析 关 系 领 悟 实 质. 了 解 问 题 的 实 际 背 景, 分 析 题 目 中 的 各 种 信 息, 用 数 学 语 言 来 描 述 问 题, 此 环 节 注 重 理 解 题 意, 分 清 已 知 与 未 知, 画 出 示 意 图. 设 未 知 量. 所 谓 深 刻 理 解, 有 下 列 思 维 层 次 : (1) 整 体 理 解 就 是 弄 清 题 目 所 述 的 事 件 和 研 究 对 象 ; (2) 局 部 理 解 是 指 抓 住 题 目 中 的 关 键 字 句, 正 确 把 握 其 含 义 ; (3) 分 析 关 系 就 是 根 据 题 意, 弄 清 题 中 各 有 关 量 的 数 量 关 系 ; (4) 领 悟 实 质 是 指 抓 住 题 目 中 的 主 要 问 题 正 确 识 别 其 类 型. 2. 建 模 : 将 实 际 问 题 抽 象 为 数 学 问 题, 从 各 种 关 系 中 找 出 最 关 键 的 数 量 关 系, 将 这 些 关 系 用 有 关 的 量 及 数 字 符 号 表 示 出 来. 把 主 要 关 系 近 似 化 形 式 化, 抽 象 成 数 学 问 题 ; 根 据 实 际 问 题 的 特 征 和 建 立 数 学 模 型 的 目 的, 对 问 题 进 行 必 要 的 简 化, 并 用 精 确 的 语 言 提 出 一 些 恰 当 的 假 设. 在 假 设 基 础 上, 用 适 当 的 数 学 工 具 来 表 达 各 变 量 之 间 的 数 学 关 系, 建 立 相 应 的 数 学 结 构. 3. 解 模 : 根 据 建 立 的 数 学 模 型, 选 择 合 适 的 方 法, 设 计 合 理 简 捷 的 运 算 途 径, 求 出 数 学 问 题 的 解. 化 归 为 常 规 问 题, 选 择 合 适 的 数 学 方 法 求 解 ; 利 用 获 取 的 数 据 资 料, 对 模 型 的 所 有 参 数 做 出 计 算 ( 或 估 计 ). 4. 检 验 评 价 : 既 要 检 验 所 得 结 果 是 否 适 合 数 学 模 型, 又 要 评 判 所 得 结 果 是 否 符 合 实 际 问 题 的 要 求. 对 结 果 进 行 验 证 或 评 估, 对 错 误 加 以 调 节, 最 后 将 结 果 应 用 于 现 实, 作 出 解 释 或 验 证. 对 所 得 的 结 果 进 行 数 学 上 的 分 析, 将 模 型 分 析 结 果 与 实 际 情 形 进 行 比 较, 以 此 来 验 证 模 型 的 准 确 性 合 理 性 和 适 用 性. 如 果 模 型 与 实 际 较 吻 合, 则 要 对 计 算 结 果 给 出 其 实 际 含 义, 并 进 行 解 释. 否 则 应 该 修 改 假 设, 再 次 重 复 建 模 过 程. 019

28 高 考 数 学 应 用 题 解 题 策 略 分 析 : 历 届 应 用 题 题 型 大 全 + 高 考 数 学 满 分 必 备 即 : KKM A. ) $ 0 KKM+? EA +? 对 应 用 题, 要 求 能 阅 读 理 解 陈 述 的 材 料, 能 结 合 应 用 所 学 数 学 知 识 思 想 方 法 解 决 问 题, 包 括 解 决 带 有 实 际 意 义 的 或 者 相 关 学 科 生 产 生 活 中 的 数 学 问 题. 并 能 用 数 学 语 言 正 确 的 加 以 表 述. 考 生 的 弱 点 主 要 表 现 在 将 实 际 问 题 转 化 成 数 学 问 题 的 能 力 上. 实 际 问 题 转 化 为 数 学 问 题, 关 键 是 提 高 阅 读 能 力 即 数 学 审 题 能 力, 审 出 函 数 方 程 不 等 式 等 式, 要 求 我 们 读 懂 材 料, 辨 析 文 字 叙 述 所 反 应 的 实 际 背 景, 领 悟 从 背 景 中 概 括 出 来 的 数 学 实 质, 抽 象 其 中 的 数 量 关 系, 将 文 字 语 言 叙 述 转 译 成 数 学 式 符 号 语 言, 建 立 对 应 的 数 学 模 型 解 答. 可 以 说, 求 解 数 学 应 用 题 必 须 突 破 四 关 : 第 一 关, 事 理 关. 即 找 出 关 键 词, 弄 清 题 意, 明 白 问 题 说 了 什 么 事, 学 会 数 学 应 用 的 建 模 分 析 ; 需 要 一 定 的 阅 读 理 解 能 力. 第 二 关, 文 理 关. 即 把 文 字 语 言 转 化 为 数 学 的 符 号 语 言, 把 好 阅 读 理 解 关, 一 般 数 学 应 用 题 的 文 字 阅 读 量 较 大, 通 过 审 题 找 出 关 键 词 和 句, 并 理 解 其 意 义. 第 三 关, 数 理 关. 用 恰 当 的 数 学 方 法 去 解 数 学 模 型, 构 建 之 后 还 需 要 扎 实 的 基 础 知 识 和 较 强 的 数 理 能 力, 运 用 恰 当 的 数 学 方 法 解 决 数 学 模 型. 第 四 关, 还 原 关. 将 数 学 结 论 还 原 成 实 际 问 题. 上 述 四 关 的 突 破 口 在 于 阅 读 与 转 译. 建 议 从 四 个 方 面 入 手 : 第 一, 划 分 题 目 的 层 次. 鉴 于 应 用 题 题 目 篇 幅 长, 信 息 容 量 大, 阅 读 时 有 必 要 划 分 段 落 层 次, 弄 清 每 一 层 次 独 立 的 含 义 和 相 互 间 的 关 系. 第 二, 领 悟 关 键 词 语. 题 目 中 难 免 出 现 一 些 专 业 术 语 或 新 名 词, 有 的 词 语 采 用 即 时 定 义 来 解 释, 认 真 阅 读, 认 真 领 会 即 时 定 义 的 内 涵 和 外 延, 是 解 决 问 题 的 关 键. 第 三, 弄 清 题 图 联 系. 认 真 阅 读 题 目, 弄 清 题 目 条 件 与 图 形 元 素 间 的 对 应 关 系, 也 是 审 题 过 程 中 不 可 缺 少 的 环 节 ; 第 四, 重 视 条 件 转 译. 将 题 设 材 料 呈 现 的 文 字 语 言 图 形 语 言 转 化 为 符 号 语 言. 在 解 答 应 用 问 题 中, 最 常 见 的 是 以 下 几 种 模 型, 即 : 函 数 模 型 不 等 式 模 型 数 列 模 型 三 角 模 型. 此 外, 其 他 的 几 种 应 用 问 题 模 型 有 : 与 排 列 组 合 有 关 的 应 用 问 题, 特 征 比 较 明 显, 属 于 排 列 组 合 模 型, 解 答 时 一 定 要 分 清 楚 是 分 类 还 是 分 步, 是 排 列 还 是 组 合, 是 否 有 重 复 和 遗 漏 ; 与 光 学 力 学 轨 迹 等 有 关 方 面 的 应 用 问 题, 可 通 过 建 立 适 当 的 坐 标 系, 运 用 曲 线 的 知 识 建 立 数 学 模 型 来 解 答, 且 曲 线 研 究 主 要 是 二 次 曲 线, 所 以 可 称 之 为 二 次 曲 线 模 型. 让 我 们 追 溯 到 早 年 的 数 学 高 考 应 用 题, 采 用 几 道 经 典 问 题, 从 中 感 悟 数 学 应 用 题 求 解 思 想 通 法 和 建 模 方 法 的 一 般 步 骤. 020

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