绪论

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融钰宫
7 years ago
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1 微分方程数值解法信息与计算科学专业核心课程数学科学学院

2 课程基本情况课程名称 : 微分方程数值解法法 Nmerical Soltio of Eqatio 课程类型 : 专业核心课课程设立 :995: 年开课范围 : 信息与计算科学专业学分 4 学时 64 必修 ( 国家特色专业建设点省级示范性专业 ) 开课对象与届数 : 本科三级学生十六届修读规模 : 近五届平均每届 9 人 8 年被评为国家精品课程

3 授课方式课堂授课 :64: 学时计算实验 :4: 学时考试方法总评成绩平时作业课堂测验期末考试成绩期末试题 : 涵盖了全书的基本知识点, 特点是题量较大, 知识点较多, 无偏题和难题评分标准 : 作业成绩 ( 按 A\B\C 记载 ) 占 % 左右, 课堂测验占 % 左右, 期末考试成绩占 8% 左右

$按 A\B\C 记载 ) 占 % 左右, 课堂测验占 % 左右, 期末考试成绩占 8% 左$

4 主讲教材微分方程数值解法 ( 第三版 ) 李荣华冯果忱编高等教育出版社

5 参考书目 (Referece) 科学计算中的偏微分方程有限差分法张文生编著 ( 高等教育出版社 ) 微分方程数值方法胡建伟汤怀民著 ( 科学出版社 )

6 知识, 只有当它靠积极的思考得来而不是凭记忆得来的时候, 才是真正的知识列夫托尔斯泰

7 微分方程包括 : 常微分方程 (ODE) 和偏微分方程 (PDE) 在科学技术和工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述, 很多近代自然科学的基本方程本身是微分方程人们一直用微分方程来解释预见各种自然现象, 不断取得了显著成绩遗憾的是, 绝大多数微分方程定解问题的解不能以实用的解析形式来表示这就产生了理论和应用的矛盾 : 一方面, 人们列出了反应客观现象的各类微分方程, 建立了大量实用的数学模型 ; 一方面, 人们又无法得到这些方程的准确解以定量的描述客观过程随着计算机技术的出现和发展, 解决上述矛盾的一门科学微分方程的数值解法, 得到了前所未有的发展和应用

式来表示这就产生了理论和应用的矛盾 : 一方面, 人们列出了反应客观现象的各类微分方程, 建立了大量实用的数学模型 ; 一方面, 人们又无法得到这

8 所谓微分方程数值解法, 就是研究利用计算机求解微分方程的近似解的数值方法及相关理论微分方程数值解法是信息与计算科学专业的专业基础课程之一, 与数值代数数值逼近和计算几何统称三大核心课程

9 本课程主要研究用计算机求解微分方程问题的数值计算方法及其理论与软件实现主要内容包括 : 常微分方程初值问题数值解法偏微分方程数值解法有限差分法有限元法单步法线性多步法 Δ f f ( t, ) ( t ) a f t x a t x

10 课程的特点 : 一通过对典型常用的数值方法的研究, 进一步了解构造数值方法的基本思想技巧 ; 二通过掌握数值方法所涉及的基本概念和基本理论 ( 如稳定性收敛性误差估计等 ), 使我们具有一定的理论分析能力 ; 三通过数值实验, 运用所学的数值方法求出数值结果, 培养实际解题能力

11 数学界的战略科学家吴文俊吴文俊,99 年出生, 早年毕业于上海交通大学数学系,949 年获法国 Strassborg 大学博士学位,957 年当选中科院学部委员 ( 后改为院士 ) 现任中国科学院系统科学研究所名誉所长 99 年当选第三世界科学院院士 99 年, 吴文俊任国家科委攀登项目机器证明及其应用首席科学家从 956 年到年, 他曾先后获得国家自然科学一等奖第三世界科学院数学奖陈嘉庚数理科学奖香港求是科技基金会杰出科学家奖国际 Herbrad 自动推理杰出成就奖首届国家最高科技奖等八十年代, 美国计算机科学界的权威曾联名写信给我国中央领导, 认为吴先生的工作是第一流的, 独自使中国在该领域走上了世界领导的岗位他所以能取得如此的成就, 一个重要的因素是他对中国古代数学的深刻理解中国古代数学是构造性的, 可计算的, 而只有构造性的数学才可能在计算机上实现

奖香港求是科技基金会杰出科学家奖国际 Herbrad 自动推理杰出成就奖首届国家最高科技奖等八十年代, 美国计算机科学界的权威曾联名写信给我国中央领导, 认为吴先生的工作是第一流的, 独自

12 第章常微分方程初值问题数值解法

13 常微分方程的数值解法常微分方程数值解法主要分为两大部分, 初值问题的数值解法与边值问题的数值解法本章仅限于讨论初值问题的数值解法, 不涉及边值问题因为边值问题的典型问题与椭圆型方程边值问题具有某些近性, 我们放在后面讨论

14 考虑如下一阶常微分方程的初值问题 f ( t, ), 或与其等价的积分方程 ' ( a) t a t () f( τ, ( τ))dτ 若 f(t,) 关于满足 Lipschitz 条件, 即存在常数 L, 对任意 t [a,b] 和, (-, ) 均成立着 a t b (.) a (.) b f (, t) f(, t) L 则 (.) 的解存在且唯一 (.)

15 不是所有的初值问题 (.) 都有解析解 (t) 的因此, 对于科学和工程目的, 有必要用逼近方法求出其近似解, 若要求解有多位有效数字, 则需要更多的计算量和复杂的算法逼近方法求解初值问题一般可分为两类 : 近似解析方法级数法和 Picard 逐步逼近法数值解法

16 什么是数值解法? 它是一种离散化方法, 利用这种方法, 可以在一系列事先取定的 [a,b] 中的离散点 ( 称为节点 ), 如 a < t < t < L < t b ( 通常取成等距, 即 t i t ih,i,,n 其中 h> 称为步长 ) 上求出未知函数 (t) 之值 ( t ), ( t ), L, ( t N 的近似值,, L, N 而, L, N 通常称为数值解求, L, N 的方法通常称为数值解法 )

17 . Eler 法考虑初值问题 (.), 首先将区间 [t,t] 划分为 N 个等距小区间, 小区间长度 T t N h 并选取网格点, 点列 t i ih,i,,,n( 不妨设 t ) 已知 (), 则可计算 ( t ( t )) f ( t, ) ( ), f, t 利用 Taylor 公式, 在 tt 处将 (t ) 展开 t t t h ξ h! 其中 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R ξ h! t f t, h R, ( ) ( ) R, 记得 :, 若步长 h 足够小, 则可忽略二次项 h f( t, ) (.3)

18 这里是 (t ) 的近似值, 利用又可以算出, 如此下去可算出 (t) 在所有节点上的近似值一般的计算公式为 : h f ( t, ),,, L, N (.4) 这就是求解初值问题的 Eler 公式 Eler 方法是最简单的数值方法

19 例 : 用 Eler 公式计算如下初值问题 t t < t ( ) ( ) 的解 (t) 在 t.3 处的数值解 3 ( 取步长 h., 小数点后保留 4 位 ) 解 : 相应的 Eler 公式 : ( t ) h 由初值 ( ), 计算得 (.) (.) (.3) 3 ( t ). ( ). t.. (..). ( ). t (..) ( t ).... ( ( ) )

20 Eler 法 ( 切线法 ) 的几何解释 ( t ) h f ( t, ) h f ( t, ) h ( t ) o ( t ) ( t ) t t L t N ( t) t ( t ) h h f, ( t ) h f,

21 利用 Taylor 公式, 在 tt 处将 (t ) 展开成 : ( ) ( ) ( ) ( ) t t t h ξ h!,! ξ h 用近似代替 (t ) 得 : 舍去二次项 ( ) 一般的计算公式为 : h f( t, ),,,, N L (.5) 这就是求解初值问题的隐式 Eler 公式将 Eler 与隐式 Eler 公式做算术平均, 可得梯形公式 : h [ ] f( t, ) f( t, ) (.6),,, L, N

22 也可用数值积分法推导 Eler 公式和梯形公式, 将 (.) 写成等价的积分形式 : t t f tt dt ( ) ( ) (, ( )) t 若用左矩形数值积分公式近似右端积分 : t t f (, tt ()) dt 则用替代 (t ) 得 : t hf( t, t ( )) 若用梯形形数值积分公式近似右端积分 : t h f (, tt ()) dt [ f ( t, ( )) ( ] t f t, ( t )) t h 则用替代 (t ) 得 : f( t, ) f( t, ) h f( t, ) [ ]

23 右端积分项使用右矩形求积公式, 则得 t t f(, t ()) t dt h f( t, ( t )) h f( t, ) 则用替代 (t ) 得 : 隐 Eler 公式, 又称右矩形公式显然梯形公式与 Eler 公式相比要精确的多 ( 由于两种数值积分公式的代数精度不同 ) 但是梯形公式的计算量要大一些每步计算要解一个非线性关于方程

24 从而要用如下迭代公式 : [ 取初值为 ], 反复迭代, 即 3 h [ f ( t, ) f ( t, ) ] 一般的迭代公式表示为 :k,,,, [ k ] h [ [ ] (, ) (, ) ] k f t f t

25 如此迭代下去得到迭代序列 : [ ] [ ] [ ],, L, { } k, [ k ] * 若序列收敛于, 当 k 时, 得到 : h [ ] ( f ( t, ) f ( t, )) [] * [] * [ ] * 则取为第个近似值 [ k ] [ k ] < [ k ], L 在实际计算中, 通常要求满足如下不等式 : 此时取 [ k ] 作为的近似做为终止条件, ( t ) 值 ε

26 为了避免求解非线性代数方程, 可以用 Eler 法将它显化, 建立预测校正系统 : hf ( t, h ) ( f ( t, ) f ( t, )) ( t ) (.7) 求解公式 (.7) 称为改进的 Eler 法, 其中称为预测值, 称为校正值. 其求解顺序为 : L N N

27 改进的 Eler 法还可写成如下形式 : h [ f ( t, ) f ( t, (.8) 如果 f(t,(t)) 关于是线性函数, 则隐式公式可以显式化例, 若方程为 : ( t) t 5 隐式 Eler 公式 : h t 5) ( 5h,,,, L, N t h h t t 梯形公式 : ( ) h t h,,, L, N t 5h h f t, ) )] (

28 现在分析 Eler 法和梯形公式的误差在用任何数值法 ( 离散变量法 ) 近似求解初值问题时, 有两个误差源 : 截断误差 ( 离散或方法误差 ) 和舍入误差由 (.3) 或更一般的递推式精确成立, 其中 ( ) ( ) ( ) ( ) t t f t t h R, R t h O h! ( ) ( 3) 由 (.4) 到 (.9) 的差别是舍去 R, 由代替 (t ) 因此 R 是衡量 Eler 法精度的主要标志 L; h f t, h 则记, 算子 [ ] ( ) R L ( t); h, ( ) t t f t t h ( ) ( ) ( ), (.9) 称 R 为 Eler 法的局部截断误差, 它是在单步过程 t 到 t 之间产生的误差, 也即当 (t ) 为精确时, 由 (.4) 计算出所产生的误差

29 显然 Eler 法的局部截断误差的阶为 R O(h ) 若每一步的误差唯一, 则进行了 N 步之后, 在区间 [t,t] 的末端积累误差为 : ε N ( h) N i R i ( h) N h i h ( ξ i ) N ( ξ k ) Nh ( ξ ) k h ( T t ) ( ξ ) k h O( h) 我们可以认为这就是 Eler 法的整体截断误差

30 局部截断误和差整体截断误差的几何解释 ( t ) o ( t) t t R t ( t ) ( ) ( ) h t ε ( h)

31 R 下面利用 Taylor 展开, 求 Eler 法的局部截断误差 ( ) ( ) h t ( t ) [ h f ( t, )] ( t ) [ ( t ) h f ( t ( t ))], ( t ) [ ( t ) h ( t )] h h! ( ) ( ) ( ) ( 3 t h t t O h )! ( t ) h ( ) t ( ) ( 3 t O h ) ( O h )

32 误差则有现在我们用数值积分公式来推导梯形公式的局部截断 ( ) R, 注意到 : t ( ) ( ) ( ) t R ( ) L t ; h h ( t ) ( t ) f t ( t ) f t t 现在估计 (, ) (, ( )) h f t t f t t ( ) t t t f (, tt ()) dt, f (, tt ()) t 将 t [t,t ] 表成 tt th, t, 由带余项的 Lagrag 线性插值多项式, 可知 dt (, ) (, ( ))

33 f (, tt ()) t t τ h () ( ) t t t t t ( ) ( t ) t t t t ( τ ) h τ h t h h ( ) ( t ) t h t t t t! ( )( )( ) θ t θh τ τ h! ( ) ( ) 于是! ( τ ) ( t ) τ ( t ) ( t θh) τ ( τ ) h ( ) ( ) ( ) t t t τ t h h! ( θ ) τ ( τ )

34 ( ) t f (, tt ()) dt ( ) τ ( ) ( ) t 则 ( ) R t t t h dτ 3 h ( ) ( )! 3 h ( t ) h ( t ) ( ζ ) t θh τ τ dτ ( ) ζ t, t (, ( )), ( ) ( ) f t t f t t t f (, tt ()) dt ( ) t h h f t t f t t (, ) (, ( )) 3 h ( ζ ) 故 ( ) R ( 3 O h ) 足见梯形法的局部截断误差阶要比 Eler 法高一阶, 即为 O(h 3 )

35 定义设 {( )} N t, 为数值数值解的集合, 而 (t) 为初值问题的精确解, 则记整体截断误差为 : e (t )-,,,,N 即以 t 点处的初值为出发点, 用某种数值方法推进到点 t 所得到的近似值与精确解 (t ) 的偏差现考察 Eler 法的整体截断误差, 将 (.4) 与 (.9), 即 ( ) ( ) ( ) h ( t, 相减, 得误差方程 : f ( ) t t f t t h R, ) ( ( ) ) ( ) ε ε f t, t f t, h R

36 由于 f(t,) 关于满足 Lipschtz 条件, 则 ε ε Lh ε R Lh ε ( ) R 其中 R max R 由此递推性质, 得 ε h ( Lh) ε R Lh Lh R R ( ) ( ) ε ( Lh) ( ) L ( Lh) ε ( ) R Lh j ( ) R ( ) Lh ε Lh Lh Lh ε R R j

37 注意 t t h T, T t Lh L, ( ) 而 ( ) T t L Lh t t T h t ( ) ( ), T t L 进一步有 T t L ( ) T t L ( ) e T t L 则 ε e R T t L ε e T t L ( ) ( ) Lh 不等式的右端依赖于初始误差 e 和局部截断误差界 R

38 在 Eler 法中,RCh, 若 e ((t ) ) 则有 ε C ( ( ) ) e T t L h Mh L 故 e O(h),Eler 法的整体截断误差阶比其局部截断误差阶低一阶同样我们可以证得梯形公式的整体截断误差阶为 ε () Mh

39 在实际计算时, 我们还要求所用算法是稳定的, 即传递误差连续依赖初始误差, 否则就是不稳定不稳定的算法不能用和 Eler 法的稳定性 ( 带舍入误差 ) 设由初值与 v 算出的近似值分别为 { } 和 {v }, 即有 v ( t ) hf, ( t v ) v hf,,, L, N,, L, N 两式相减, 并记 e -v, 得 : 则 e [ f ( t ) f ( t v )] e h,, LT e e hl e e e ( h T ) ( hl) e L 这说明 e 连续依赖于初始误差 e 即 Eler 法是稳定的同样可以证明梯形法和改进的 Eler 法是稳定的

40 Mile 公式若在区间 [t,t ] 上, 对右端的积分使用 Simpso 求积公式, 得 t t f ( t, ( t)) dt h 6 令 [ f ( t, ) 4 f ( t, ) f ( t, )] 进一步可写成 t 6 其中 f f t, ), h 4 3 ( t [ f ( t, ( t )) 4 f ( t, ( t )) f ( t, ( t ))] [ f f f ] f f t, ), f f t, ) ( 此为二步方法, 需要已知和, 才能由上式计算出的值二步以上的方法也称为多步法 (

41 .3 线性差分方程设 a (),a (),,a k () 和 b (,,,) 已知 a( ) ak ( ) 称序列 { } 满足的方程 a a L a b ( ) ( ) ( ) k k k k,, L (.5) 为 k 阶线性差分方程, 序列 { } 是线性差分方程的解当右端 b (,, ) 时, 称为齐方程为确定上述差分方程的解, 需要给定 k 个初值,,, k- 例如, 当时, 要求线性差分方程解为 k, 则此差分方程为 a a L a b ( ) ( ) ( ) 且 k k k k 当时, 有差分方程 a a L a b ( ) ( ) ( ) k k k k 要求的线性差分方程解为 k,( 逐次算出,k,k, )

42 Eler 法为 k 的一阶常系数线性差分方程 : hf, ( t ) 此时 a (),a ()-,b h f(t, ), 初值为 (t ) 若记 - 为向前差分, 则 Δ Δ Δ Δ 即可用和的一阶差分表示 ; 又从而, Δ Δ Δ Δ 即可用和的一阶二阶差分表示, 以此类推, 可知 k 可用以及的一阶二阶直到 k 阶的差分表示为 : k j k jδ j c 所以 (.5) 为最高阶为 k 的差分方程

43 c 也是此方程的解, 其中 c j (j,,,k) 任一常数 ( j ) k 阶线性差分方程是 k 阶线性常微分方程的离散模拟, 二者之间的许多基本性质是平行的 () 叠加原理若 ( ) ( ) ( l ),, L, ( j ) ( j ),,, k L 唯一确定是齐差分方程的解, 则它们的线性组合 l j k j j c ( j ) j ( j ) ( ) { j } ()k 阶齐差分方程存在 k 个线性无关解 (j,,,k), 且方程的任意解可表示为, 其中常数 c j 由初值当 c j (j,,,k) 任意常数时, 称之为齐方程的通解

44 解组 ( ) ( ), ( ( j) ( j) ( j) ) k, L, ( k ) T L (,,, k ),,,, ( ) ( ) ( k ) L ( ) ( ) ( k ) L M M O M ( ) ( ) ( k ) L 是线性无关的充要条件是初始向量 j L 线性无关, 即行列式 k k k 也称为齐方程的基本解组 (3) 非齐方程 (.5) 的通解可以表示成它的一个特解与齐方程的通解之和

45 现在考察常系数 k 阶线性差分方程的基本解组对于变系数 k 阶线性差分方程 (.5) 的基本解组一般很难求出, 但当 a j ()a j 与无关时, 即为常系数差分方程时, 其基本解组可用代数方法求出, 设 k a j j a k k ak k L a b,,, L j 相应齐方程为 k j a, jξ j j (.6),, L (.7) 考虑齐方程形如 x ( x 待定 ) 的解, 已知代到 (.7), 可知 x 应满足代数多项式方程 a k 从而得到 ξ a k k ak ξ L aξ aξ k k ξ a k k ξ L aξ a

46 即 x 应是代数方程 a k kλ a k k λ L aλ a (.8) 的根反之, 若 x 是 (.8) 的任一根, 则必 x 为 (.7) 的解下面分几种情况 : (i) 方程 (.8) 有 k 个互异实根 x,x,,x k, 则 ξ ξ, L, ξ, 是方程 (.7) k 个线性无关解 ( 基本解组 ) 因为 ξ ξ L ξ k ξ ξ L ξ M M O M ξ ξ L ξ k k k k 则 (.7) 的通解为 k c j j L ξ ξ L ξ ξ j M M O M ξ ξ L ξ k k k k,, L, k

47 (ⅱ) 方程 (.8) 有实的重根 j, ξ ξ j, r j ξ j, 比如 x j 是 r j 重根, 则,, L 是方程 (.7)r j 个线性无关解, 其基本解组为 : ξ, r ξ, ξ, ξ, r ξ, ξ, 因此通解形如 ξ, ξ m, m m j r j l r m ξ m c jl l ξ, j (.9) m 是方程 (.8) 互异根的个数 (r r r m k)

48 (ⅲ) 若方程 (.8) 有复根 x j, 则其共轭由 Eler 公式 : 则 ξ iθ ρe ρ( θ i θ) j j cos si, iθ ξ ρ e ρ ( cos θ isi θ) iθ ξ ρ e ρ ( cosθ isi θ ) j 由齐方程的解的叠加原理知 ξ j ξ j ρ cos θ, ξ ρe iθ ρ( cosθ isiθ ) ξ 也是齐方程的解, 但 r cosq 和 r siq 已是实函数, 且线性无关此时可用 r cosq 和 r siq 替换 ξ j, ξ j j j ξ i j ξ j si θ 也是根

49 例, 求下列二阶常系数线性差分方程的通解 q h 此为二阶微分方程 q 的差分近似, 其解为微分方程解的近似相应的特征方程为 : 其根为 : 解 : 此时有 λ, ( h q) λ ( h ( hq) ± 4( hq) 4 q) λ ± ( hq) h q( hq) (i) 当 q 时, 有 x x ( 二重根 ) 此时二阶差分方程的通解为 (m,r ): j r j l c jl l ξ j c l l ξ l c cξ cξ c

50 (ⅱ) 当 q> 时, 有两个互异根 : ξ ( h q) h q( hq) (ⅲ) 当 q< 时, 有一对共轭复根 (r), ( 当 h 充分小时, q(hq)<): ξ ( h q) ih q( hq) cosθ isiθ ξ ( h q) ih q( hq) cosθ isiθ h j j cosθ q, ξ ξ ξ ξ j i 此时二阶差分方程的通解为 : cξ cξ j siθ ξ ( h q) h q( hq) 此时二阶差分方程的通解为 ( 当 h 充分小时 x >,x <); c ih q( hq) h q( hq) i cosθ c si θ

51 例, 试求差分方程初值问题 ,, 4, 的通解解 : 由于方程的右端为常数, 当不是特征方程根时, 可试出它的一个常数解令 c, 以之代入方程, 得到故通解为 : c 4 c 5c 4c 4c 4 c ( λ )( λ ) 即为一个特解对应齐方程的特征方程为它的根分别是 : ( 二重 ) 和 c π π π π i cos isi ± i, i cos isi, π π c c3 cos c4 si

52 c c c c c c c c c c c c c 3 c 4 c ( ) si cos π π 所以, 此问题的定解为 : 在由初始条件, 可以定出常数 :

53 U 现在给出非齐方程 (.6) 的通解表达式 (,,, ) T k k L a a a a L a a a a L C O O M M O O M 将 (.6) a k k ak k L a b 改写成 U k k k k k k ( ) ak k a ak b k ak L 进一步可写成向量形式 : 逐次递推, 得 U CU C U - l 和 k k 阶矩阵 b ( b a b,, L, ) T Cb l l,, L, k T h 引进 k 维向量 : < h < h (.) (.6) (.)

54 U 引理. 矩阵 {C }(,,,,) 有界的充要条件是 : 方程 (.8) 的所有根在单位圆内, 而位于单位圆周上的都是单根 k k a λ a λ L a λ a (.8) 证明 : 用相似变换 S 将矩阵 C 化为 Jorda 标准型, 即 J - C k k SJS O Jm L m 与单特征值对应的一阶 Jorda 块记为 (l), 与重特征值对应的 Jorda 块为 (,, L ) T k k, 其中, 且第一项是相应的齐方程得通解, 第二项是非齐方程的特解 ( 初值 k, k L ) k J r ( λ ) λ k λ O O λ λ r r k k (r 为 l 的重数 ), k r,, L,

55 因为 C SJ S -, J 也是分块矩阵, 每一块形如 (l) (l ), 或 J r r J I N r 注, 则 λ λ L L L C λ λ λ O M O O M O O M O λ λ J λi N ( λ ) r r k, 其中 k C λ k N k O O N O N k k ( r) k λ I C λ N L C λ N L I

56 O O O M O L N k L O O O O O O M N k -; 或 N k,k 而, 且 (li)nn(li), 则 k

57 det 注, 若将行列式 det(c-li) 按列展开, 即 ( C λi ) ( λ ak ak ) λ ak a λ λ k λ a k a a k k λ k k a k a λ O O λ k L L ( k ) ( k ) a k a k a a k a L O M M O O M λ 可知 (.8) 的右端就是矩阵 C 的特征多项式, 也就是说, C 的特征值为 (.8) 的特征根综上所述, 显然结论真 a λ a a a a L a a a a k k k k 3 k k λ L a a k O O M M O O M λ

58 .4 Growall 不等式作解的先验性估计时经常要用到 Growall 不等式下面先介绍连续形式的 Growall( 也称 Bellma) 不等式引理. 设连续函数 h(t) (a t b) 满足 η ξ η 其中 a,b 为非负常数, 则 t () t β α η( τ ) dτ a ( ) α ( t a) t β e 证明 : 先设 b>, 令则由 (.) 得 dξ t () dt () t β α η( τ ) dτ ( ) t a ( a t b) ( ) β α η τ dτ a t αη t α ( ) (.) (.3) α ξ ( t)

59 显然 x(t) >, 故于 [a,t] 上积分 ( 注意初值 x(a)b ), 则 t ξ () t dτ lξ( t) lξ( a) a ξ ( t) 利用 (.) 得 (.3), 即 ξ ( t) ( t a e α ), β η η ( t) ( t) () t δ α η( τ ) dτ η t a α ( t a) ( t) δ e α ( t a) ξ β e 今设 b, 只须证 h(t) 对于任给 d>, 有利用已得到的结论, 应有 ξ ( t) ξ ( t) ξ l ( t ) α β 由于 d 的任意性, 推出 h(t) # t ατ d αt a a ( )

60 离散形式的 Growall 不等式引理 3. 设 a,b 为非负常数, 序列 {h } 满足 η β α h η j k, k, L h T (.4) 其中 h> 是步长, 则 η α e T ( β α ) khm k, h T (.5) 其中 ( ) M max η, η, L, ηk

61 THE END

62 欧拉 Léoard Eler 莱昂纳尔欧拉 (Léoard Eler, 77~783) 是历史上著作最多的数学家, 被同时代的人称为分析的化身人们评价他 : 欧拉计算毫不费力, 就像人呼吸或者鹰在风中保持平衡一样, 欧拉 -- 算法学家, 为解决特殊类型的问题设计算法的数学家欧拉的数学事业开始于牛顿去世的那一年 (77 年 ) 他在 748 年 755 年和 768~77 所著关于微积分的伟大论著 ( 无穷小分析引论微分学原理积分学原理 ), 立即就成为了经典著作, 并且在四分之三个世纪中, 继续鼓舞着想成为大数学家的的年轻人欧拉 77 年 4 月 5 日出生于瑞士的巴塞尔, 其父是牧师, 欧拉是能在任何地方任何条件下工作的几个大数学家之一他常常抱着一个婴儿写作他的论文, 同时稍大一点的孩子们在他周围嬉戏着据说, 在家人两次叫他吃饭的半个小时左右的间隔中, 他就能草就一篇数学文章欧拉是为月球问题形成一个可计算解 ( 月球理论 ) 的第一人在生命最后 7 年中他完全失明, 这并没有妨碍他的无以伦比的多产的 ; 他既靠知觉又靠听觉记忆它还有惊人的心算本领, 不仅心算算术类型的问题, 也心算高等代数和微积分学中要求的更难的问题他那个时代整个数学领域中的全部主要公式, 都精确地储藏在他的记忆中欧拉直到他临终的那一刻仍然神志清醒思想敏捷, 他享年 77 岁, 于 783 年 9 月 8 日去世那天下午他计算气球上升的规律消遣像往常一样, 在他的石板上计算, 然后他和家人一起吃晚饭天王星是新近发现的, 欧拉略述了对它的轨道的计算过了一会儿, 他让人把他的孙子带进来在与孩子玩和喝茶的时候, 欧拉突然中风, 烟斗从他的手里掉下来, 他说了一句我死了, 就中止了他的生命和计算

63 如今几乎每一个数学领域都可以看到 Eler 的名字, 从初等几何的 Eler 线, 多面体的 Eler 定理, 立体解析何的 Eler 变换公式, 四次方程的 Eler 解法到数论中的 Eler 函数, 微分方程的 Eler 方程, 级数论的 Eler 常数, 分学的 Eler 方程, 复变函数的 Eler 公式等等, 数也数清, 他对数学分析的贡献更独具匠心, 无穷小分析引一书便是他划时代的代表作, 当时数学家们称他为分学的化身 9 世纪伟大数学家 Gass 曾说 : 研究 Eler 著作永远是了解数学的最好方法著名数学家 Laplace 曾过 : 读读 Eler 读读 Eler, 它是我们大家的老师! 欧拉的一生, 是为数学发展而奋斗的一生, 他那杰出的智慧, 顽强的毅力, 孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德, 永远是值得我们学习的

基础班讲义

基础班讲义年考研数学基础班讲义高等数学第一章函数极限连续一函数函数的概念 : 函数的性态 : 单调性奇偶性周期性有界性有界性 : 定义 : M >, I, M ; 复合函数与反函数函数的复合, 求反函数 4 基本的初等函数与初等函数基本初等函数 :