2015 年第 11 屆 IMC 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Eleventh IMC International Mathematics Contest (singapore), 2015 國中二年級決賽試題解答 第 1-16 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 題需在試題空白處寫出

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1 05 年第 屆 I 國際數學競賽 ( 新加坡 ) leventh I International athematics ontest (singapore), 05 國中二年級決賽試題解答 第 -6 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 7-8 題需在試題空白處寫出計算過程, 否則不予計分! 選擇題 答案 填空題 答案 一 選擇題 ( 每小題 5 分, 共 40 分 ). 0 5 計算結果的整數部分為 ( ) 答案 : 解答 : 整數部分 如圖 中,=60 =0, 將 繞 邊中 點 順時針旋轉 0 至, 設 與 交於點, 與 交於點, 那麼 的角度為 ( ) 答案 : 解答 : 設 與 分別由 0 與 0 旋轉而得解答 : 則 0, 0, 且 解答 : 作等腰 0 0 的高 Q 解答 : 則,Q, 故 Q=90 解答 : 又 0 0 QQ0 0 0 Q 解答 : 易知 =Q I 國際數學八年級決賽第 頁 / 共 7 頁

2 . 桌上放著六張牌全部正面朝下, 已知其中恰有兩張 K, 現隨機翻開兩張牌, 至 少翻出一張 K 與 翻出兩張都不是 K 的機率相比 ( ). 前者大. 後者大. 二者一樣大. 無法比較 答案 : 解答 : 設前者機率, 後者機率,, 6 5, 5 5 > Quadrilateral at the right is a square with area of square unit( 單位正方形 ) such that,.what s the length of?.. 答案 : 6. 翻譯 : 如圖 為單位正方形,,//, 則 長為 ( ) 解答 : 作 O 於 O, 於, 則 O 為正方形 的中心, 易知四邊形 O 為矩形, 又,OO 知 Rt 的三內角為 OO 6. 4 O 5. 將一個正整數表示為 的不同非負整數冪相加減的形式 ( 每個整數冪算一項 ), 例如 5 ( 共有 項 ), 那麼 05 寫成上述類似形式會出現 ( ) 項 答案 : 解答 : a x 6. 函數 y 的圖像是一個中心對稱圖形, 對稱中心為 (4,b), 則 ab( ) x a 答案 : 解答 : 化簡得 y 為函數 y 右移 a 單位, 下移 單位 x a x 解答 : 故對稱中心為 (a,),a4,b,ab I 國際數學八年級決賽第 頁 / 共 7 頁

3 05 7. 設 (5 7), 其小數部分為, 則 的值為 ( ) 答案 : 05 解答 : 由 , 知 0 (5 7) ; 解答 : 又易知 (5 7) (5 7) 為整數, 故 (5 7) ; 解答 : (7 5 ) (5 7) 8. 如圖 中,0,0, 分別以邊 為邊向三角形外作正方形 G HI, 設 H 交於點, 正方形 G 的中心為 O, 則 O 的最大值為 ( ) H I 答案 : 解答 : 設 繞 點逆時針轉 90 可與 H 重合 H 且 H; =90 G 令 為 中點, 則 5, 又 O5; OO0 O 當 為等腰三角形時達到最大值 G 二 填空題 ( 每小題 5 分, 共 40 分 ) 9. 一種液晶螢幕恰好可以顯示 4 個數字, 每個數字均由 ~7 條線段組成 ( 如圖 ) 當旋轉觀看時有些顯示沒有意義, 有些顯示不變, 還有些顯示成另一個數, 那麼旋轉後可以正常顯示成另一個數的共有 個 ( 正常顯示必須嚴格符合圖例給出的正確樣式 ) 數字顯示正確樣式正確錯誤錯誤 答案 :60 解答 : 中心旋轉有意義的, 只能含 , 共 6 4 解答 : 排除自身中心對稱的 6 ( 只選千位和百位即可 ), 種 0. In an isosceles trapezoid( 等腰梯形 ), the longest side is cm, the shortest side is 5cm, and the perimeter( 周長 )is 8cm. etermine the area of this trapezoid in cm?. I 國際數學八年級決賽第 頁 / 共 7 頁

4 答案 :7 翻譯 : 已知等腰梯形的最長邊長為 cm, 最短邊長為 5cm, 周長為 8cm, 則它 的面積為多少平方公分? 解答 :()8, 故上底 5, 下底, 腰長為 5 解答 :() 高. ompute: 5 5, 故 S 7 5 ( ) I 國際數學八年級決賽第 4 頁 / 共 7 頁 答案 :4094 n n n n ( n ) ( n ) n 解答 : ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) n n 0b. 滿足 a a b 原式 b 0a a b, 答案 : 0b 5 a a b 解答 : 由已知條件可以推出 0a 4 b a b 4 的正整數對 a,b 共 組 解答 : 由 ba 得 05ab4ba,ab5b4a00,a5b0 解答 : 得 b, 代入 得 5aa 4,a 或 4 解答 :, 和 4, 為原方程組的兩組整數解 a a a5. 已知分式.. ( x )( x )( x )( x 4)( x 5) x x x 5 ( 其中 a a 5 為常數 ), 等式右邊稱為等式左邊的部分分式形式, 則 a a a a 4 a 5 答案 :0 解答 : 兩邊同時乘以 ( x )( x ) ( x 5) 變為整式恆等式 解答 : 再將整式中的 x 用 xk 分別代入 (k= 5) 解答 : 則 a 0! 4!,a,a!!!!,a 4,a!! 5 4! 0! 解答 :a a a a 4 a 5

5 4. 已知 5 個正整數 x x x x4 x5 滿足 x x x x x, 則 x x 的 最大值是 答案 : 解答 : 顯然應使 x,x 盡可能小,x 盡可能大解答 :x,x,x 4 x,x 5 x 解答 : 05 x x x x x ( x ) ( x ) x 4 5 解答 : 即 (x ) 008,x 5,x 4 解答 : x x 5. 如圖 G H 分別是正方形 四邊 上的點, 且 G H 三線共點, 線段 G G H H 的長度都是整數公分, 又知 S Hcm, S GH6cm,S 4cm, 那麼則 S 正方形 cm 答案 :8 S 解答 :() 由 G,H, 三線共點, 知 G H S () 設 Hx,Gy, 正方形邊長為 a (ax)(ay)s H6,xyS GH 解得 x,y4,a9 S 正方形 9 8 GH H G x y z 6 x y x y z 6 z y 5 6. 解方程組 :,xyz x y z x z 5 答案 :0 解答 : 方程組中每個方程兩邊取倒數得 : I 國際數學八年級決賽第 5 頁 / 共 7 頁

6 x y 6 y z x z y z 5 解答 : x z x y 6, 解得 z x 5 y x y z 解答 : 三式相乘得 4 x y z 6 x 9 y z 6 y 4 x z 6 z x y 6 解答 : 4 得 x9, 4 得 y4, 4 得 z 解答 : 故 xyz 三 簡答題 ( 每小題 0 分, 共 0 分, 請簡要寫出解答過程 ) 7. * 是在全體實數上定義的二元運算, 滿足如下恆等式 : () a a a () ( ka) ( kb) k ( a b) () a b ( a a ) ( b b ) ( a b ) ( a b ) (4) a b b ( ) 以上恆等式對任意實數 a b k a a b b 都成立, 求 05 ( 04) 答案 :67 解答 : 對於任意給定的實數 x y, a a x 解答 : 方程組 bb y a b a b x y a x y a 解答 : 有解如, b 0 b y x y x y x y 解答 : 將上述解代入恆等式 () 得 x y 解答 : 可驗證 : 按上式定義 運算滿足題中 4 條性質, 解答 : 故 05 ( 04) 67 I 國際數學八年級決賽第 6 頁 / 共 7 頁

7 8. 如圖 為 的 邊中點, 於點, 於點, 設 的中垂線與 的中垂線交於點, 求證 證明 : 取 的中點 及 的中點 N; 連接 N N; 在 與 N 中 ( 在 的中垂線上 ) N( 在 N 的中垂線上 ) 又 N 分別為 Rt 與 Rt 斜邊的中線 故 N ; 4 N(SSS) N (NN) (N)N ()N N N (90 )(90 ) N I 國際數學八年級決賽第 7 頁 / 共 7 頁

2016 年第 12 屆 IMC 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IMC International Mathematics Contest (singapore), 2016 國中三年級決賽試題解答 第 1-16 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 題需在試題空白處寫出計

2016 年第 12 屆 IMC 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IMC International Mathematics Contest (singapore), 2016 國中三年級決賽試題解答 第 1-16 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 題需在試題空白處寫出計 01 年第 1 屆 IM 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IM International Mathematics ontest (singapore), 01 國中三年級決賽試題解答 第 1-1 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 17-18 題需在試題空白處寫出計算過程, 否則不予計分! 選擇題 1 7 8 答案 填空題 9 10 11 1 1 1 1 1 答案 01 017 9

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