简介模型讨论一些应用总结.. 隐马尔科夫链模型 理论及其在 R 中的应用 陆银波 中国人民大学统计学院 第 5 届 R 语言会议, 陆银波 隐马氏 (HMM)

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1 隐马尔科夫链模型 理论及其在 R 中的应用 中国人民大学统计学院 第 5 届 R 语言会议, 2012

2 大纲 1 简介引入模型设定 2 模型讨论估计自相关性预测检验 3 一些应用应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间

3 Outline 引入模型设定 1 简介引入模型设定 2 模型讨论估计自相关性预测检验 3 一些应用应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间

4 从伯努利到隐马氏 引入模型设定 伯努利模型 : 抛一枚硬币, 记下结果, 重复实验, 估计参数 p 混合模型 : 从若干枚硬币中选出一枚, 抛出, 记下结果, 重复实验, 估计参数 p 和 π 隐马氏模型 : 从若干枚硬币中, 以马尔可夫过程 ( 未知 ) 选择一枚, 抛出, 估计参数

5 从伯努利到隐马氏 引入模型设定 伯努利模型 : 抛一枚硬币, 记下结果, 重复实验, 估计参数 p 混合模型 : 从若干枚硬币中选出一枚, 抛出, 记下结果, 重复实验, 估计参数 p 和 π 隐马氏模型 : 从若干枚硬币中, 以马尔可夫过程 ( 未知 ) 选择一枚, 抛出, 估计参数

6 从伯努利到隐马氏 引入模型设定 伯努利模型 : 抛一枚硬币, 记下结果, 重复实验, 估计参数 p 混合模型 : 从若干枚硬币中选出一枚, 抛出, 记下结果, 重复实验, 估计参数 p 和 π 隐马氏模型 : 从若干枚硬币中, 以马尔可夫过程 ( 未知 ) 选择一枚, 抛出, 估计参数

7 Outline 引入模型设定 1 简介引入模型设定 2 模型讨论估计自相关性预测检验 3 一些应用应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间

8 示意图 引入模型设定 X i 均取值于离散状态空间 {1, 2,k}k 事先给定 X 0 由初始状态分布 ( 多项式分布 ) 产生, 之后以状态转移矩阵 A 产生 X 1 X T 1 B 表示不同状态下, 观测值所服从的分布的参数 通常假定马氏过程具有平稳分布 :πa = π

9 示意图 引入模型设定 X i 均取值于离散状态空间 {1, 2,k}k 事先给定 X 0 由初始状态分布 ( 多项式分布 ) 产生, 之后以状态转移矩阵 A 产生 X 1 X T 1 B 表示不同状态下, 观测值所服从的分布的参数 通常假定马氏过程具有平稳分布 :πa = π

10 小结 引入模型设定 一个简单的隐马氏模型由以下 5 个要素定义 k 状态数 O 观测序列 π 初始状态分布 A 状态转移矩阵 B 依赖于状态的分布参数 k,o 已知 π, A, B, 需要估计, 被称为模型参数

11 Outline 估计自相关性预测检验 1 简介引入模型设定 2 模型讨论估计自相关性预测检验 3 一些应用应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间

12 3 个问题 估计自相关性预测检验 问题 1 已知模型参数, 计算似然函数 问题 2 估计最优模型参数 ( 最大似然 ) 问题 3 已知模型参数, 估计最优状态序列 X i

13 3 个问题 估计自相关性预测检验 问题 1 已知模型参数, 计算似然函数 问题 2 估计最优模型参数 ( 最大似然 ) 问题 3 已知模型参数, 估计最优状态序列 X i

14 3 个问题 估计自相关性预测检验 问题 1 已知模型参数, 计算似然函数 问题 2 估计最优模型参数 ( 最大似然 ) 问题 3 已知模型参数, 估计最优状态序列 X i

15 算法 估计自相关性预测检验 前向行算法 ; 递推过程 BaumWelch 算法 ; 即 EM 算法 Viterbi 算法 ; 动态规划过程

16 Outline 估计自相关性预测检验 1 简介引入模型设定 2 模型讨论估计自相关性预测检验 3 一些应用应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间

17 估计自相关性预测检验 Fact 在平稳分布的假定下, 观测值边际分布为混合分布 ; 混合比例为初 始状态分布均值, 方差等各级矩均易求得 Fact cov(g(o t ), g(o t+k )) = cov(g(o t ), g(o t+k ) X t, X t+k )Pr(X t )Pr(X t+k X t )= E(g(O t ) X t )E(g(O t+k ) X t+k )Pr(X t )A k X t X t+k

18 估计自相关性预测检验 Fact 在平稳分布的假定下, 观测值边际分布为混合分布 ; 混合比例为初 始状态分布均值, 方差等各级矩均易求得 Fact cov(g(o t ), g(o t+k )) = cov(g(o t ), g(o t+k ) X t, X t+k )Pr(X t )Pr(X t+k X t )= E(g(O t ) X t )E(g(O t+k ) X t+k )Pr(X t )A k X t X t+k

19 Outline 估计自相关性预测检验 1 简介引入模型设定 2 模型讨论估计自相关性预测检验 3 一些应用应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间

20 估计自相关性预测检验 对缺失值的估计 Pr(O t O ( t) ) = Pr(O 模型参数 )/pr(o ( t) 模型参数 ) 对未来值的预测 Pr(O T+k O)=Pr(O T+k 模型参数 )/Pr(O 模型参数 )

21 估计自相关性预测检验 对缺失值的估计 Pr(O t O ( t) ) = Pr(O 模型参数 )/pr(o ( t) 模型参数 ) 对未来值的预测 Pr(O T+k O)=Pr(O T+k 模型参数 )/Pr(O 模型参数 )

22 Outline 估计自相关性预测检验 1 简介引入模型设定 2 模型讨论估计自相关性预测检验 3 一些应用应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间

23 检验 估计自相关性预测检验 Theorem Φ 1 (F(X)) N(0, 1) ṛesidual=φ 1 (F t (X t x t ))

24 Outline 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 1 简介引入模型设定 2 模型讨论估计自相关性预测检验 3 一些应用应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间

25 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 数据 数据 : 年世界范围内震级 7 级以上地震发生数 数据来源 : R 包 : HiddenMarkov 特点 : 简单, 直观, 用于处理简单的隐马氏模型 ; 观测序列为单变量 ; 边际分布为一些常见的混合分布, 如泊松, 伯努利, 高斯, 指数等 ; 状态转移矩阵不随时间变化 ;

26 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 数据 数据 : 年世界范围内震级 7 级以上地震发生数 数据来源 : R 包 : HiddenMarkov 特点 : 简单, 直观, 用于处理简单的隐马氏模型 ; 观测序列为单变量 ; 边际分布为一些常见的混合分布, 如泊松, 伯努利, 高斯, 指数等 ; 状态转移矩阵不随时间变化 ;

27 主要的函数 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 dthmm(): 设定模型参数的初始值, 数据 BaumWelch(): 估计模型参数 forward(): 前向型算法, 预测时需要用到一些中间值 simulate(): 给出数据拟合值 residuals(): 计算残差

28 主要的函数 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 dthmm(): 设定模型参数的初始值, 数据 BaumWelch(): 估计模型参数 forward(): 前向型算法, 预测时需要用到一些中间值 simulate(): 给出数据拟合值 residuals(): 计算残差

29 主要的函数 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 dthmm(): 设定模型参数的初始值, 数据 BaumWelch(): 估计模型参数 forward(): 前向型算法, 预测时需要用到一些中间值 simulate(): 给出数据拟合值 residuals(): 计算残差

30 最优状态数 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 均值方差 AIC 样本 状态 状态 状态 状态 状态 Table: 选择合适的状态空间 状态数选为 3

31 预测 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 Pr([15, 20]) 真实值 Table: 预测 年发生 次的地震的概率

32 自相关性 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 Figure: 自相关性比较

33 残差检验 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 Figure: 模性拟合优度检验

34 残差检验 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 Figure: 自相关性检验

35 Outline 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 1 简介引入模型设定 2 模型讨论估计自相关性预测检验 3 一些应用应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间

36 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 数据 数据 :ALV,DBK,DCX,SIE 股票日收益率从 2003 年 3 月 4 日至 2005 年 2 月 17 日 数据来源 : R 包 : depmixs4 特点 : 功能更为强大 ; 不够直观观测序列可以为多变量 ( 例 2); 边际分布可以为一些不常见的混合分布, 如广义 t 分布, 指数高斯分布等 ; 状态转移矩阵可以随时间变化 ( 例 3);

37 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 数据 数据 :ALV,DBK,DCX,SIE 股票日收益率从 2003 年 3 月 4 日至 2005 年 2 月 17 日 数据来源 : R 包 : depmixs4 特点 : 功能更为强大 ; 不够直观观测序列可以为多变量 ( 例 2); 边际分布可以为一些不常见的混合分布, 如广义 t 分布, 指数高斯分布等 ; 状态转移矩阵可以随时间变化 ( 例 3);

38 主要的函数 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 depmix(): 设定初始模型 fit(): 估计参数 transinit: 设置转移概率矩阵及初始状态分布 response: 设置边际分布 makedepmix(): 设定初始模型 fit(): 估计参数

39 主要的函数 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 depmix(): 设定初始模型 fit(): 估计参数 transinit: 设置转移概率矩阵及初始状态分布 response: 设置边际分布 makedepmix(): 设定初始模型 fit(): 估计参数

40 模型 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 Figure: 多变量隐马氏图示 给定状态下, 观测值服从多元正太分布

41 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 ALV DBK DCX SIE 状态 1 下均值 状态 2 下均值 Table: 均值比较 ALV DBK DCX SIE 状态 1 下方差 状态 2 下方差 Table: 方差比较

42 协方差 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 Table: 状态 1 下协方差在 之间 Table: 状态 2 下协方差在 之间

43 Outline 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 1 简介引入模型设定 2 模型讨论估计自相关性预测检验 3 一些应用应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间

44 数据 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 实验数据 每次判定一串字母是否为英文单词 ; 每次要求不一, 可能要求以最短的时间, 也可能要求以最高的准确度数据变量 :rt( 反应时间 );corr(0-1, 答对与否 );Pacc( 时间与 准确度的权衡 ) 目的 当对时间的要求越来越高时, 是否有一个临界点, 使得准确度从 思考水平到猜谜水平 R 包 :depmixs4 运用协变量

45 数据 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 实验数据 每次判定一串字母是否为英文单词 ; 每次要求不一, 可能要求以最短的时间, 也可能要求以最高的准确度数据变量 :rt( 反应时间 );corr(0-1, 答对与否 );Pacc( 时间与 准确度的权衡 ) 目的 当对时间的要求越来越高时, 是否有一个临界点, 使得准确度从 思考水平到猜谜水平 R 包 :depmixs4 运用协变量

46 数据 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 实验数据 每次判定一串字母是否为英文单词 ; 每次要求不一, 可能要求以最短的时间, 也可能要求以最高的准确度数据变量 :rt( 反应时间 );corr(0-1, 答对与否 );Pacc( 时间与 准确度的权衡 ) 目的 当对时间的要求越来越高时, 是否有一个临界点, 使得准确度从 思考水平到猜谜水平 R 包 :depmixs4 运用协变量

47 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 Figure: 图示 :2 观测变量条件独立, 转移矩阵与变量 pacc 有关 Fact ta = [ ta 11 t a 12 ta 21 t a 22 ] [ = 1 1+exp(a1+b1 y t ) 1 1+exp(a2+b2 y t ) exp(a1+b1 y t ) 1+exp(a1+b1 y t ) exp(a2+b2 y t ) 1+exp(a2+b2 y t ) Fact 给定 t 时刻状态 ;rt 服从正太分布,corr 服从 0-1 分布 ;rt 与 corr 独立 ]

48 应用 1: 地震应用 2: 股票收益率应用 3: 反应时间 rt 均值 rt 标准差答错概率答对概率 状态 状态 Table: 结果展示 思考状态的时间区间 (2 倍标准差 ) 大概为 [593,685] 猜谜状态的时间区间 (2 倍标准差 ) 大概为 [513,589]

49 总结 隐马氏模型的模型参数 :τ = {π,a,b}; forward,baumwelch 算法 简单隐马氏模型可以用 HiddenMarkov 包 ; 复杂的用 depmixs4

50 参考资料 : A Revealing introduction to Hidden Markov Models Mark Stamp,2003 Hidden Markov Models for Time Series An Introduction Using R,Walter Zucchini &Iain L MacDonald,2009 depmixs4_a R package for hidden markov model,ingmar Visser,2010 Hidden Markov Models application to Financial Economics Hidden Markov models for bioinformatics Image segmentation and compression using hidden Markov models

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