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1 , 2, 4, 級數, 2, 4, 8, 無窮級數 r = r < = 2 = ( ) + + ( )

2 ( + ( )) + ( + ( )) (( ) + ) + (( ) + ) +... {a n } = a, a 2, a 3,..., a n,... S n = a + a 2 + a a n = n k= a k S n partial sum n a n n= lim S n = lim n a k = S k= 2

3 n S n = + ( ) = n S n = + ( ) ( ) = 0 lim S n S n 0 r = n a + a r a r n = a ( r n ) r S n a a ( r n ), r < S = lim S n = lim r r, r < a r S n = a ( r n ) lim S n r 2 n n! 3

4 A B a n b n A B c m. ca n ca 2. (a n + b n ) A + B 3. a n n=m a n + cb n c a n b n a 0 a m 4

5 ( ) 2 n ( ) 6 n ( ) 2 n ( ) 6 n = = 0 2 n + 3 n 6 n 2 n + 3 n 6 n = 2n 6 n + 3n 6 n = 3 n + 2 n 3 n + 2 n = = 7 2 5

6 3 n+ π n n ( 3 n π π) = 3 n 3 π e 3n ( e 3 ) n e 3 6

7 a n b n c n c m. ca n 2. (a n + c n ) 3. (a n + b n ) 4. a n n=m 0 a n = 3 n n b n = n a n +b n = 3 n a n = ( ) n b n = ( ) n+ a n + b n = 0 a n 0 L L 7

8 Theorem.. a n n= lim a n = 0 an S S n = a a n S n = a a n a n S n S n lim a n = lim (S n S n ) = lim S n lim S n = S S = 0 lim a n = a n n () + ( 2 ) + ( ) + ( ) n n= () + ( 2 ) + ( ) + ( ) +... () + ( 2 ) + ( ) + ( )

9 () + ( 2 ) + ( ) + ( ) +... = () + ( 2 ) + (2 4 ) + (4 8 ) +... = n +... n 2 3n + 6 2n 2 + 8n 3 n2 3n + 6 2n 2 + 8n 3 lim n 2 3n + 6 2n 2 + 8n 3 = 2 0 9

10 sin(n) lim sin(n) n= n(n + ) n(n + ) = n n + n S n = k(k + ) k= n = k k + k= ( ) ( ) ( ) = = n + 0 ( n ) n +

11 n= n(n + ) = lim S n = lim n + = telescoping series Oxford Advanced Learner's Dictionary telescope. to become shorter, or make something shorter, by sliding sections inside one another. 2. to reduce something so that it happens in less time. 嵌疊級數 n + 3 n + 2 n S n = k + 3 k + 2 k=0 = ( 3 2 ) + ( 4 3 ) ( n + 3 n + 2 ) = n + 3 2

12 n= n + 3 n + 2 = lim S n = lim n = arctan(n + ) arctan(n) S n = n arctan(k + ) arctan(k) k=0 = (arctan() arctan(0)) (arctan(n + ) arctan(n)) = arctan(n + ) arctan(0) = arctan(n + ) arctan(n + ) arctan(n) = lim S n = lim arctan(n + ) = π 2 2

56,,,,, :,, 1953,, 1953,1953,,1953,,,,,,,,, () ,30118, 34, ;,4912 %,5614 %, 1,1953, 1119, ,, , , 1111 (

56,,,,, :,, 1953,, 1953,1953,,1953,,,,,,,,, () ,30118, 34, ;,4912 %,5614 %, 1,1953, 1119, ,, , , 1111 ( 2003 1 1812 ( 200433) :,,,,,, :1812 19 :, ;,,20, 1887 ;,1822 1887,,,1812 ( ) 9 :, ;,,;,,,,9,,,,,, :,1991,232 301 ::, :,1988 92 56,,,,, :,, 1953,, 1953,1953,,1953,,,,,,,,, () 1953 1 9518,30118, 34, 13313

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