2009 Fall: Regression Analysis Mid-term Exam 02 Pre-Test 1 迴歸分析第 2 次期中考參考重點 1 (10%) 是非題與簡答題 1. 樣本平均值的抽樣分配 (Sampling distribution) 2. 中央極限定理應用 (Central

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秦华
5 years ago
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1 2009 Fall: Regression Analysis Mid-term Exam 02 Pre-Test 1 迴歸分析第 2 次期中考參考重點 1 (10%) 是非題與簡答題 1. 樣本平均值的抽樣分配 (Sampling distribution) 2. 中央極限定理應用 (Central limit theorey) 3. 科學假說 (Scieitific hypothesis) 4. 統計假說 (Statistical Hypothesis) 5. 點估計 (Point estimator and point estimate) 6. 區間估計 (Interval estimator and interval estimate) 7. 檢定統計量 (Test Statistic) 8. 檢定 (Testing hypothesis) 9. 型一誤差與型二誤差 Type I error and Type II error 10. P-value 11. 何謂統計學? 12. 何謂迴歸分析? 13. 迴歸分析的用途? 14. 何謂複迴歸分析? 2 (10%) 是非題與簡答題 Example 1: 比較 2 種運動治療對保齡球成績之影響一位研究者想要比較 2 種運動治療對年輕且喜好保齡球運動之病患, 在肢體損傷後復建的治療效應, 進行一個前導性的預備研究, 收集了 60 位同意參與的個體, 分成 2 組 (Method), 分別進行 2 種不同運動治療. 在運動治療開始前, 紀錄基本變數包含年紀 ( 歲, age), 身高 (HT), 體重 (WT), 使用保齡球重量 (Ball). 然後預測 2 局保齡球賽局, 紀錄成績 (Test0), 球瓶一球全倒次數 (Strike0), 球瓶兩球全倒次數 (Spare0). 接著 2 組分別進行運動治療六週後, 再次進行 2 局保齡球賽局, 同樣紀錄成績 (Test1), 球瓶一球全倒次數 (Strike1), 球瓶兩球全倒次數 (Strike1). 部分個體資料在表 1, 資料在檔案 ExTherBowling.csv. Table 1: 比較 2 種運動治療對保齡球成績之影響 : 部份個體資料 ID Method Age HT WT Ball Test0 Strike0 Spare0 Test1 Strike1 Spare November 19, 2009 c Jeff Lin

2 Fall: Regression Analysis Mid-term Exam 02 Pre-Test 利用本資料說明. 1. 本研究的目的 2. 本研究的母體 (Population) 3. 本研究的研究設計 (Study design) 4. 本研究的抽樣方法 (Sampling method) 5. 本研究的主要的反應變數 (Response variable) 6. 本研究的主要的解釋變數 (Explanatory variables) 7. 那些變數為型連續變數, 那些變數為離散型變數 8. 本研究的樣本空間 (Sample space) 9. 本研究的基本事件 (Elementary Event) 10. 本研究的隨機變數 (Random variable) 11. 本研究隨機變數的機率分配 (Probability distribution) 12. 本研究隨機變數的機率分配之參數 (Parameter) 13. 本研究樣本平均的抽樣分配 (Sampling distribution) 14. 本研究的科學假說 (Scieitific hypothesis) 15. 本研究的統計假說 (Statistical Hypothesis) 16. 分析本研究的合適的統計分析方法 (Statistical method) 3 (60%) 複迴歸模型 Example 2: 血壓與身體質量指數一個關於血壓與身體質量指數的調查研究, 研究者收集 32 為自願者的資料, 測量收縮壓 (sbp, mmhg), 身體質量指數 (bmi, kg/m 2 ), 年紀 (age, years old) 與抽菸習慣 (smk), smk = 0, 無抽菸, smk = 1, 有抽菸習慣. 資料在檔案 HTBMI.xls, 資料如表 2. Table 2: 血壓與身體質量指數 : 資料 id sbp bmi age smk id sbp bmi age smk 考慮配適複迴歸模型, 反應變數為 sbp, 解釋變數為 bmi 與 age, 分析結果的參數估計與變異數分析表, 如下表 3. c Jeff Lin November 19, 2009

3 2009 Fall: Regression Analysis Mid-term Exam 02 Pre-Test 3 Table 3: 血壓與身體質量指數 : 複迴歸模型 > m1<-lm(sbp bmi+age) > summary(m1) sbp bmi + age Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) bmi ? age Residual standard error: on 29 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 2 and 29 DF, p-value: < > anova(m1) Response: sbp Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) bmi < age ? Residuals??? Total? 依據資料, 請寫下複迴歸模型. 2. 說明上述複迴歸模型的統計假設. 3. 依據資料, 計算參數估計表中的 t value 空格, 請寫其虛無假說 H 0 與對立假說 H A. 4. 依據資料, 參數估計表 bmi 與 age 的迴歸係數 ( Estimate ) 估計值的意義如何解釋? 5. 變異數分析表中的虛無假說 H 0 與對立假說 H A? 6. 完成變異數分析表中空格?. 7. 依據資料, 解釋 R 2. Example 3: 高血壓, 年紀與壓力指數一個醫學研究探討高血壓, 年紀與壓力指數的關係, 資料為隨機抽樣 20 位成年人的調查結果, 變數說明如表 4, 資料如表 5. Table 4: 血壓, 年紀與壓力指數關係變數說明變數說明 bp (Y) 平均動脈壓 (mean arterial blood pressure), 單位 ; mmhg. age (X 1 ) 年紀, 單位 ; 年. wt (X 2 ) 重量, 單位 ; 公斤. bsa (X 3 ) 身體表面積 (body surface area), 單位 ; 平方公尺. dur (X 4 ) 患有高血壓時間, 單位 ; 年. hr (X 5 ) 基礎心跳速率, 單位 ; 次數 / 分. stress (X 6 ) 壓力指數. November 19, 2009 c Jeff Lin

4 Fall: Regression Analysis Mid-term Exam 02 Pre-Test Table 5: 血壓, 年紀與壓力指數關係 : 部分資料 bp age wt bsa dur hr stress 研究者配適多變數線性迴歸分析, m1 : y i = β 0 + β 1 age + β 2 wt + β 3 bsa + β 4 dur + β 5 hr + β 6 stress + ε i, i = 1, 2,..., 20. (3.1) 模型變異是分析結果如表 6 中第 1 個 ANOVA table, 研究者配適另一個模型, m2 : y i = β 0 + β 1 age + β 2 wt + β 3 bsa + ε i, i = 1, 2,..., 20. (3.2) 模型變異是分析結果如表 6 中第 2 個 ANOVA table, 研究者想要比較 2 個模型, 分析 dur, hr, stress 是否同時為重要的解釋變數, 使用變異數分析. 1. 依據資料, 請寫變異數分析表中的虛無假說 H 0 與對立假說 H A, 2. 請完成變異數分析表 6 中第 3 個 ANOVA table. c Jeff Lin November 19, 2009

5 2009 Fall: Regression Analysis Mid-term Exam 02 Pre-Test 5 Table 6: 血壓, 年紀與壓力指數 : 變異數分析表 (1) > m1<-lm(bp age+wt+bsa+dur+hr+stress) Response: bp Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) age < wt < bsa dur hr stress Residuals (2) > m2<-lm(bp age+wt+bsa) Response: bp Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) age < wt < bsa Residuals (3) Analysis of Variance Table Model 1: bp age + wt + bsa Model 2: bp age + wt + bsa + dur + hr + stress Res.Df RSS Df Sum of Sq F 1?? 2????? 例題 3 中, 令 X 3 = age bsa, 研究者配適另一個模型, 參數估計如表 7. m4 : y i = β 0 + β 1 age + β 2 wt + β 3 x 3 + ε i, i = 1, 2,..., 20. (3.3) Table 7: 血壓, 年紀與壓力指數 : 交互作用 (4) > x3<-age*bsa > in.fit<-lm(bp age+wt+bsa+x3) Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) age wt < bsa x November 19, 2009 c Jeff Lin

6 Fall: Regression Analysis Mid-term Exam 02 Pre-Test 1. 依據資料, 參數估計 ˆβ 3 如何解釋? 2. 若 age = X 1 增加 1 單位, 則 bp = Y 會增加多少? 3. 在表 6 中的 (1) 與 (2), 都顯示 age, wt, bsa 為顯著重要的解釋變數, 為何表 7 中的 (4) age 與 bsa 不再是顯著重要的解釋變數? 例題 3 中, 令 X 4 = age age, 研究者配適另一個模型, 參數估計如表 8. m5 : y i = β 0 + β 1 age + β 2 X 4 + ε i, i = 1, 2,..., 20. (3.4) Table 8: 血壓, 年紀與壓力指數 : 二次項 (5) > x4<-age*age > quad.fit<-lm(bp age+x4) Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) age x 依據資料, 參數估計 ˆβ 3 如何解釋? 2. 若 age = X 1 增加 1 單位, 則 bp = Y 會增加多少? Example 4: 老鼠腦組織與血液中甲苯濃度甲苯 (Toluene) 是一種無色的液體, 但具有明顯的味道, 是一種常見的有機溶劑, 常存在於油漆, 稀釋劑, 黏著劑, 指甲油與汽油. 甲苯對健康的影響以腦部最受到關切, 甲苯會引起頭痛, 恍惚與喪失記憶. 一個關於甲苯的醫學研究, 將 60 隻新生老鼠暴露於甲苯環境, 分別為 50, 100, 500 或 1000 ppm 甲苯 (tol, 單位 : ppm), 暴露時間共 3 小時, 將老鼠繼續飼養, 並在在老鼠不同年紀 (age), 測量老鼠血液中甲苯濃度 (bloodtol, 單位 : ppm) 老鼠腦組織甲苯濃度 (braintol, 單位 : ppm) 老鼠腦組織甲苯重量 (weight, 單位 : gm), 研究者探討老鼠暴露於甲苯的量 (tol), 暴露後老鼠在不同的年紀 (age), 老鼠血液中甲苯濃度 (bloodtol), 對老鼠腦組織甲苯重量 (weight) 的影響, 資料在檔案 TolueneRat.xls, 部分資料如表 9. Table 9: 老鼠腦組織與血液中甲苯濃度 : 部分資料 RAT blood brain tol bwt age c Jeff Lin November 19, 2009

7 2009 Fall: Regression Analysis Mid-term Exam 02 Pre-Test 7 考慮建構以下幾個簡單迴歸模型如下, log 10 (Y i ) = λ 0 + λ 1 log 10 (x 1i ) + ε i. (3.5) 參數估計結果如表 10. Table 10: 老鼠腦組織與血液中甲苯濃度 : 變數轉換 > m7<-lm(log10(brain) log10(blood)) Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < log10(blood) < 依據資料, 參數估計中 log 10 (blood) 的迴歸係數 ˆβ 1 如何解釋? 2. 若 blood = 100 blood, 則 brain 會增加多少? 4 10% 迴歸理論假設研究的觀測資料為 (y i, x i ), i = 1, 2,..., n, i 代表觀測單位, 假設簡單線性迴歸為 Y i = β 0 + β 1 X i + ε i, i = 1, 2,..., n. (4.1) 令 n 1 行向量 y n 1 = y 1 y 2. 1 x 1 1 x 與 n 2 矩陣 X n 2 = 2.. (4.2) y n 1 x n 令迴歸係數 β 為 2 1 行向量, 且誤差項 ε 為 n 1 行向量, β 2 1 = ( β 0 β 1 ) ε 1 ε ε n 1 = 2. (4.3) ε n 則迴歸模型可以寫成為 y 1 y 2 =. 1 x 1 ( 1 x 2.. β 0 β 1 ε 1 ) ε + 2. (4.4) y n 1 x n ε n 若 (X T X) 1 存在, 則請證明 β 的最小平方估計式為 y n 1 = X n 2 β ε n 1. (4.5) ˆβ = (X T X) 1 X T y. (4.6) November 19, 2009 c Jeff Lin

8 8 5 (10%) 其他 2009 Fall: Regression Analysis Mid-term Exam 02 Pre-Test c Jeff Lin November 19, 2009

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015 年 ( 第四届 ) 全国大学生统计建模大赛参赛论文论文名称 : 打车软件影响下的西安市出租车运营市场研究和统计分析参赛学校 : 西安理工大学参赛队员 : 刘二嫚余菲王赵汉指导教师 : 王金霞肖燕婷提交日期 :015 年 6 月 9 日 1