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寿舟闻
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Data Structure Ch.1 Introduction Dr. He Emil Huang School of Computer Science and Technology Soochow University 与课本对应关系严蔚敏老师课本的第一章 Kruse 教材 P0 Chapter 7.6 Asymptotics 渐进 E-mail: huangh@suda.edu.

1 Data Structure Ch.1 Introduction Dr. He Emil Huang School of Computer Science and Technology Soochow University 与课本对应关系严蔚敏老师课本的第一章 Kruse 教材 P0 Chapter 7.6 Asymptotics 渐进 Prerequisite Introduction C++ Programming, High School Mathematics, Discrete Mathematics Textbook: Robert L. Kruse and Alexander J. Ryba, Data Structures And Program Design In C++, Pearson Education 001 Ch.1 Introduction Importance of the Data Structure Information Period (Big data) Computing Everywhere and Every time Give me a level and a place to stand, and I shall move the earth Give me a function, and I shall drive the earth 4 Ch.1 Introduction Importance of the Data Structure Computers: Hardware & Software Algorithms + Data Structures = Programs Two Issues:Data Representation and Processing Data representation and organization influence the efficiency of data processing. Along with the fast development of data based applications, amount of the information increase sharply, and structure of the programs are becoming more and more complicated. 5 Ch.1 Introduction Designing program for an application: How to character the problem to be solved using proper mathematical models? What is the amount of the data, and how is the data correlated with each other? What is the difference between representation of the data with the storage of the data? What operations will be performed on the data? How is the performance of the program? Above questions will be answered by this course! 6 1

Case#:File System Name Phone Number Hai Chen 16145588 Sifeng Li 10561145 There are many subdirectories and files in the root of the file system.

This example illustrates the tree structure which is characterized by one-to-many relationship of data.

This is a classical problem of graph structure which could represent many-to-many relationship of data.

2 Case#:File System Name Phone Number Hai Chen Sifeng Li There are many subdirectories and files in the root of the file system. Each subdirectory could also have some subdirectories and files. In another word, a directory may contain several subdirectories, while a subdirectory has only one father directory. This example illustrates the tree structure which is characterized by one-to-many relationship of data. List of Contact Records 7 树形结构 8 CASE#:Transportation Network There are always multiple paths from one place to another place. This is a classical problem of graph structure which could represent many-to-many relationship of data. Xuzhou Nanjing Shanghai Suzhou Changzhou Hangzhou Hefei Graph Structure 9 数据 : 信息载体客观事物的符号表示, 能由计算机程序识别存储和加工处理的符号集合所有能够数字化的信息均可认为是数据数据元素 : 组成数据的有一定意义的基本单位, 在程序中通常作为一个整体来进行考虑和处理同义词 : 元素结点顶点记录对象元组等数据项 : 具有独立含义的最小标识单位, 客观事物某一方面特性的数据描述同义词 : 字段域属性等 10 Fundamental Terms Data Layers: Data ( 数据 ):A set of all the symbols that computer can manage. 所有能输入到计算机中并被计算机所识别和处理的符号的总称 Data Elements ( 数据元素 ): A character + or a student when it is stored in a computer. Data Item ( 数据项 ): When the data element is a record, it can be divided into data items. Example: a student record may be combined by number, name, score and so on. Data Structure:a particular way of organizing data in a computer so that it can be used efficiently Data structure at logical level: Logical relationships between data elements; Data structure at physical level: How the data is stored in memory Depending on the OS and program language Operations:Performed on the data structure Define at the logical level, implement at the physical level 1

3 1.1 基本概念和术语数据结构 : 没有统一定义, 通常指数据元素之间的相互关系, 即数据的组织形式数据的逻辑结构 : 数据元素之间的逻辑关系数据的存储结构 : 数据元素及其关系在计算机存储器内的表示 ( 逻辑结构在存储器中的映像, 通过计算机语言来实现, 依赖于计算机语言 ) 数据的运算 : 对数据施加的操作 ( 定义在数据的逻辑结构上, 而在存储结构上实现 ) Data type:determines the possible values and all allowed operations, could be deemed as the data structure provided by the program language. Atomic type:undividable & Primitive int,char, boolean, +, -, *, /, Structure type:combinatorial & Userdefined array, struct, queue, Traverse, Insert, Delete, Clear, Search, 1 14 数据结构举例 ( 科研业绩统计表 ) 系别姓名职称 SCI EI 经费 1 张明教授王华教授 6 15 李立教授行 : 结点 ( 对象记录元组等 ); 列 : 数据项 ( 属性域字段等 ) 逻辑结构 : 开始结点? 终端结点? 内部结点? 结点之间的逻辑关系 : 有且仅有 1 个开始结点和 1 个终端结点, 表中任 1 结点最多只有 1 个直接前驱和 1 个直接后继线性关系存储结构 : 用数组实现, 还是用指针实现? 15 运算 : 创建插入删除查找等 1.1 基本概念和术语逻辑结构线性结构 : 任一结点最多只有 1 个直接前驱和 1 个直接后继非线性结构 : 一结点可有多个直接前驱和多个直接后继集合结构 : 元素间无关系, 只有元素是否属于集合的关系存储结构 (1) 顺序存储方法逻辑上相邻的结点存储在物理位置上相邻的存储单元里结点间的逻辑关系由存储单元的邻接关系来体现借助于数组描述应用于线性的数据结构, 非线性的数据结构的线性化基本概念和术语存储结构 () 链接存储方法该方法不要求逻辑上相邻的结点在物理位置上亦相邻借助于指针来表示结点间的逻辑关系 () 索引存储方法在存储结点信息的同时, 建立附加的索引表表中每项称为索引项 ( 关键字, 地址 ) 稠密索引 : 每个结点对应 1 个索引项稀疏索引 : 一组结点对应 1 个索引项 Data Structure: Collection of relational Data Elements Logical Structure( 逻辑结构 ): the intrinsic relations between data elements. According to the difference of the relation, we can mainly classify them into four kinds. List Tree Graph Set (4) 散列存储方法根据结点的 Key 直接计算出该结点的存储地址 17

4 Storage Structure( 存储结构 ): Physical Structure in computer Contiguous ( 临近的 ) structure // 顺序结构 Linked structure // 链式结构务必记牢英文表达! Operations ⑴ Construct a new structure; ⑵ Destroy an structure; ⑶ Remove an element from the data structure; ⑷ Insert an element into the data structure; ⑸ Traverse the data structure; ⑹ Replace/Modify an element; ⑺ Sort the elements; ⑻ Search an element given some conditions 基本概念和术语数据结构方面之联系同一逻辑结构的不同存储结构, 则用不同名称称谓例如, 线性表顺序表, 链表, 散列表运算不同, 称谓也不同线性表栈队列顺序栈顺序队列数据的逻辑结构和物理结构是密不可分的两个方面, 一个算法的设计取决于所选定的逻辑结构, 而算法的实现依赖于所采用的存储结构在 C 语言中, 用一维数组表示顺序存储结构 ; 用结一般线性表逻辑结构线性表数据的逻辑结构非线性结构构体类型表示链式存储结构 1 数据逻辑结构层次关系图树图线性结构受限线性表栈和队列逻辑结构与所采用的存储结构线性表推广串数组集合广义表物理结构顺序存储结构链式存储结构复合存储结构一般树树形结构二叉树有向图图状结构无向图抽象数据类型 (Abstract Data Type, Page 71 Section.5) 数据类型 : 值的范围, 执行的操作 ADT: 抽象的数据组织和与之相关的操作, 可看作是数据的逻辑结构及其在逻辑结构上定义的抽象操作特点 1 封装与隐藏 : 将数据和操作封装在一起, 内部结构和实现细节对外屏蔽, 实现信息隐藏抽象 : 用户只能通过 ADT 里定义的接口和说明来访问和操作数据他反映了程序设计的两层抽象 : 概念层 ( 抽象 )---ADT 类说明实现层 --- 类实现, 相当于普通类型应用层 ---- 如 main(){, 通过操作对象解决实际 Abstract Data Type ADT ADT_Name{ Data: 数据结构说明 Operations: Constructor:// 构造函数, 创建对象实例 Operation1:// 用 C++ 或 C 函数原型描述 input: Preconditions:// 初始条件, 执行本操作前系统 // 需满足的状态 process:// 对数据执行的操作 output:// 对返回数据的说明 Postconditions:// 执行本操作后系统的状态 Operation: 问题 4 4

5 Example: ADT definition of complex number ADT Complex { // 复数的抽象数据类型表示数据对象 :D={e1,e e1,e RealSet 数据关系 :R1={<e1,e> e1 是复数的实数部分,e 是复数的虚数部分基本操作 : InitComplex( &Z, v1, v ) 操作结果 : 构造复数 Z, 其实部和虚部分别被赋以参数 v1 和 v 的值 DestroyComplex( &Z) 操作结果 : 复数 Z 被销毁 GetReal( Z, &realpart) 初始条件 : 复数已存在操作结果 : 用 realpart 返回复数 Z 的实部值 GetImag( Z, &ImagPart) 初始条件 : 复数已存在操作结果 : 用 ImagPart 返回复数 Z 的虚部值 Add( z1,z, &sum ) 初始条件 :z1, z 是复数操作结果 : 用 sum 返回两个复数 z1 z 的和值 ADT Complex 5 Representation and implementation of ADT Differences by using different programming language C ADT 无 Data Object structure Operation function C++,Java ADT Class Data Object Data member Operations Class method 6 Representation of complex number in C typedef struct { double realpart; double imagpart; Complex; boolean assign(complex *psrc, Complex *pdes){ if (psrc ==NULL pdes==null ) return ERROR; pdes->realpart = psrc->realpart; pdes->imagpart = psrc->imagpart; return TRUE; Complex *add(complex *pz1, Complex *pz){ Complex *psum = (Complex *)malloc(sizeof(complex)); if ( psum==null )return NULL; psum->realpart = pz1->realpart + pz->realpart; psum->imagpart = pz1->imagpart + pz->imagpart; return psum; Representation of complex number in C++ class Complex{ // 类的声明 protected: double realpart; 类的保护数据成员 double imagpart; public: 构造 Complex( ); 函数 Complex(double realval,double imagval); 重载 Complex(Complex& z) { assign(z); ~Complex( ); 类的成员函数 ( 方法 ) void assign(complex& z); double getreal(void) const { return realpart; // 该函数不允许修改类的数据成员, 作为一种良好的编程风格, 在声明一个成员函数时, 若该成员函数并不对数据成员进行修改操作, 应尽可能将该成员函数声明为 const 成员函数因为 const 成员函数中不允许对数据成员进行修改, 如果修改, 编译器将报错, 这大大提高了程序的健壮性 double getimag(void) const { return imagpart; 7 friend Complex add(complex& z1, Complex& z); 8 ; // 类的实现部分 Complex::Complex(double realval, double imagval){ // realpart = realval; imagpart= imagval; void Complex::assign(Complex& z){ realpart = z.realpart; imagpart = z.imagpart; Complex add(complex& z1, Complex& z){ Complex sum(z1); // 创建 sum 对象, 并用 z1 对其初始化 sum.realpart += z.realpart; sum.imagpart += z.imagpart; return sum; 9 Processing problems by computer Outside Representation Management Demand Question Build Model Logical Structure Basic Operation Mathematic model Refine Storage Structure Algorithm Implementation 在 C++ 中实现时通常以类来实现数据结构及其上的操作 5

6 Processing problems by computer Fundamental Tasks: Problems of Large Programs The patchwork approach is doomed to fail. Definition of Data Structure (including logical structure and base operations); Realization of Data Structure (including storage structure and base operations); Estimation and Selection of Data Structure (analysis of algorithms) 1. Problem specification ( 需求分析 ). Program organization. Choice of data structures 4. Algorithm analysis 5. write the whole program 6. Debugging 7. Testing and verification 8. Maintenance 维护 Asymptotic Time Complexity( 时间复杂度 ) Asymptotic Space Complexity( 空间复杂度 ) And we must also be careful to observe important principles of program design. Program Design in C++ C++ features: Data Abstraction ( 数据抽象 ) Object-oriented design ( 面向对象的设计 ) Top-down approach Code reuse ( 代码重用 ) Refinement, improvement, extension of C Introduction of OO (Object Oriented) Encapsulation ( 封装性 ) Inheritance ( 继承性 ) 1. 算法描述分析 Algorithm ( 算法 ) 重要性 : 数据的运算是通过算法描述的定义 : 非形式地说, 算法是任意一个良定义的计算过程, 它以一个或多个值作为输入, 并产生一个或多个值作为输出因此, 一个算法就是一系列将输入转换为输出的计算步骤 Essential Elements 5 要素输入输出有穷性 ( 每条指令的执行次数须有限 ) 确定性可行性 ( 每条指令执行时间须有限 ) 算法与程序的联系与区别 Polymorphism ( 多态性 ) 4 1. 算法描述分析输入实例一个问题的输入实例是由满足问题陈述中的限制并能计算出该问题解的所有输入构成的算法描述自然语言数学语言伪语言程序语言等均可本课程以 C & C++ 为主, 但不拘泥于细节算法评价正确性可读性健壮性时空性能 5 1. 算法描述分析 Description of the particular steps of the process of a problem( 处理某一问题的步骤的描述 ) Characteristics Finite Certainty Feasibility Input interface Output interface Format is flexible,it can be described by Natural Language, Advanced Language, and the syntax is not the most important thing. Nothing to do with the environment 6

7 1. 算法描述分析 As an end-user of a program, its running time, refer to the wall-clock time.( 绝对时间 ) Program: The whole process of the problem ( 用计算机处理问题的全部代码的整体 ) May be Infinite Syntax must be accurate Closely linked with the environment It is not necessarily a reliable means of knowing whether a program is fast or slow, since there may be several other factors that cloud the issue. 绝对时间量并不是衡量一个程序好坏的客观标准 Program A and B, wall-clock time 10 and 5 seconds respectively. Speed of your CPU? Other programs running at the same time? What is the language? Same environment to make fair comparison. CPU 的性能, 是否有其他程序在同时运行, 比较应该在一个公平的环境下进行 1. 算法描述分析算法分析算法效率的度量事后统计 : 利用计算机内部的计时功能缺陷必须先运行依据算法编制的程序时间统计量依赖于计算机的软硬件环境 double start, stop; time (&start); main process(n, ); time (&stop); double runtime = stop -start; printf ("%d%d\n", n, runtime ); 9 1. 算法描述分析事前分析估算 ( 时间 ) 求出该算法的一个时间界限函数一些影响因素 : 算法的策略问题的规模书写程序的语言编译器产生的机器代码的质量机器执行指令的速度算法描述与分析算法分析算法的时间是每条语句执行时间的总和每条语句的执行时间 = 该语句执行次数 ( 频度 ) X 该语句执行 1 次的时间假定 : 每语句执行 1 次的时间为 1 个时间单位则 : 算法的执行时间 = 各语句频度问题的规模 (Size)n 输入量的大小, 如图的顶点数时间复杂度 : 算法的运行时间, 是问题规模的函数如何理解问题规模? 算法描述与分析时间复杂度例 1: 矩阵乘法 for ( i=0; i<n; i++) //n+1 for ( j=0; j<n; j++) { //n(n+1) C[i] [j]=0; //n for ( k=0;k<n; k++) //n (n+1) C[i][j]=C[i][j]+A[i][k]*B[k][j]; //n 详细分析 : T(n)=n +n +n+1 简单分析 : 频度最大的语句 T(n) =n 4 7

8 1. 算法描述与分析渐近时间复杂度 ( 简称时间复杂度 ) asymptotic ( 教材 P0-P1 Sec. 7.6) 从宏观上评价时间性能, 只关心当 n 趋向无穷大时, T(n) 的数量级 ( 阶, Orders of Magnitude) lim n lim n T ( n ) / ( n limt( n) / n n lim(n n n n n n 1) / n n 即 :T(n) 和 n 同阶, 数量级相同 1 ) / n 1. 算法描述与分析 The idea is for us to compare our function f(n) with some well-known function g(n) whose behavior we already understand. In fact, some of the most common choices for the function g(n) against which we compare f(n) are: 为了衡量 f(n) 我们的想法是让 f(n) 与一些经典的或众所周知的 g(n) 进行比较, 如下列经典函数 g(n)=1 Constant function ( 常函数 ) g(n)= logn Logarithmic function ( 对数函数 ) g(n)= n Linear function ( 线性函数 ) g(n)= n Quadratic function ( 二次函数 ) g(n)= n Cubic function ( 三次函数 ) g(n)= n Exponential function ( 指数函数 ) 4 记作 :T(n)=O(n 44 ) 1. 算法描述与分析 To compare f(n) against g(n), we take their quotient f(n)/g(n) and take the limit of this quotient as n increases without bound. Depending on the outcome, we have one of the following cases: 为了用 g(n) 比较 f(n), 我们的做法是计算当 n 趋于无穷时,f(n)/g(n) 的极限 :P04 1. 算法描述与分析 Some Assumptions and Definitions 假设对所有足够大的 n, 存在 f(n)>0, and g(n)>0 假设存在如果, 则 f(n) 有比 g(n) 严格小的数量级如果, 为非零有限值, 则 f(n) 与 g(n) 数量级相同 45 如果, 则 f(n) 有比 g(n) 严格高的数量级算法描述与分析 Some Assumptions and Definitions (cont.) 与具有同样的意义对数的数量级不依赖于对数的底数 ( 洛必达法则 ), log a n 与 log b n 具有相同的数量级 (a>1, b>1) 对任意实数 a>1 和任意正整数 r, 任何指数函数 a n 有比 n 的任何次幂 n r 严格高的数量级 ( 见教材 7.6.) 算法描述与分析大 Θ 的数学定义 ( 渐进紧致界 ) 对一个给定函数 g(n), 用 Θ(g(n)) 来表示以下的函数集合 : Θ(g(n))={f(n): 存在正常量 c 1, c, n 0, 使得对所有 n>n 0, 有 0 c 1 g(n) f(n) c g(n) 存在正常量 c 1, c 使得对于足够大的 n, 函数 f(n) 能够被夹在 c 1 g(n) 和 c g(n) 之间, 则 f(n) 属于集合 Θ(g(n)), f(n)=θ(g(n)) 因为 Θ(g(n)) 是一个集合, 所以我们也可以记为 f(n) Θ(g(n)) 我们称 g(n) 是 f(n) 的一个渐进紧致界 (asymptotically tight bound) 48 8

9 1. 算法描述与分析大 O 的数学定义 ( 渐进上界 ) 若 g(n) 和 f(n) 是定义在正整数集合上的两个函数, 则 f(n)=o(g(n)) 表示存在两个正的常数 c 和 n 0, 使得当 n n 0 时都满足 0 f(n) c g(n) 函数 f(n) 是集合 O(g(n)) 的成员 ; f(n)=θ(g(n)) 蕴含 f(n)=o(g(n)), 因为 Θ 是一个比 O 记号更强的概念 ; 我们称 g(n) 是 f(n) 的一个渐进上界 (asymptotically upper bound), 限制算法最坏情况运行时间 ; 几乎所有的数据结构书籍用 O 记号非形式化地描述渐进紧致界 ( 1. 算法描述与分析大 Ω 的数学定义 ( 渐进下界 ) 对一个给定函数 g(n), 用 Ω(g(n)) 来表示以下的函数集合 : Ω(g(n))={f(n): 存在正常量 c, n 0, 使得对所有 n n 0 0, 有 0 cg(n) f(n) 存在正常量 c 使得对于 n0 及其右边的所有 n 值, 函数 f(n) 值总大于等于 cg(n), 则 f(n) 属于 Ω(g(n)) 我们称 g(n) 是 f(n) 的渐进下界 (asymptotically lower bound) 确界 ) 算法描述与分析例 {++x; s=0 ; 将 x 自增看成是基本操作, 则语句频度为 1, 即时间复杂度为 O(1) 如果将 s=0 也看成是基本操作, 则语句频度为, 其时间复杂度仍为 O(1), 即常量阶 1. 算法描述与分析例 for(i=1; i<=n; ++i) { ++x; s+=x ; 语句频度为 :n, 其时间复杂度为 :O(n), 即为线性阶例 4 for(i=1; i<=n; ++i) for(j=1; j<=n; ++j) { ++x; s+=x ; 语句频度为 :n, 其时间复杂度为 :O(n ), 即为平方阶算法描述与分析定理 : 若 A(n)=a m n m +a m-1 n m-1 + +a 1 n+a 0 是一个 m 次多项式, 则 A(n)=O(n m ) 一个渐进时间为 O(1) 的算法, 它的基本运算执行的次数是固定的因此, 总的时间由一个常数 ( 即零次多项式 ) 来限界而一个时间为 O(n ) 的算法则由一个二次多项式来限界 1. 算法描述与分析以下六种计算算法时间的多项式是最常用的其关系为 : O(1)<O( logn)<o(n)<o(nlogn)<o(n )<O(n ) 指数时间的关系为 : O( n )<O(n!)<O(n n ) 当 n 取值很大时, 指数时间算法和多项式时间算法在所需时间上非常悬殊因此, 只要有人能将现有指数时间算法中的任何一个算法化简为多项式时间算法, 那就取得了一个伟大的成就有的情况下, 算法中基本操作重复执行的次数还随问题的输入数据集不同而不同

10 例 5: 素数的判断算法 void prime( int n) /* n 是一个正整数 */ { int i= ; while ( (n% i)!=0 && i*1.0< sqrt(n) ) i++ ; if (i*1.0>sqrt(n) ) printf( &d 是一个素数 \n, n) ; else printf( &d 不是一个素数 \n, n) ; 嵌套的最深层语句是 i++; 其频度由条件 ( (n% i)!=0 && i*1.0< sqrt(n) ) 决定, 显然 i*1.0< sqrt(n), 时间复杂度 O(n 1/ ) 55 乘法规则针对嵌套程序段 T (n, m) = T 1 (n) * T (m) = O(f (n)*g (m)) 两个并列循环的例子 void exam (float x[ ][ ], int m, int n) { float sum [ ]; for (int i = 0; i < m; i++) { //x 中各行 sum[i] = 0.0; // 数据累加 for (int j = 0; j < n; j++) sum[i] += x[i][j]; for (i = 0; i < m; i++) // 打印各行数据和 cout << i << : <<sum [i] << endl; 渐进时间复杂度为 O(max (m*n, m)) 1. 算法描述与分析空间复杂度 (Space complexity) : 是指算法编写成程序后, 在计算机中运行时所需存储空间大小的度量记作 : S(n)=O(f(n)) 其中 : n 为问题的规模 ( 或大小 ) 该存储空间一般包括三个方面 : 指令常数变量所占用的存储空间 ; 输入数据所占用的存储空间 ; 辅助 ( 存储 ) 空间一般地, 算法的空间复杂度指的是辅助空间一维数组 a[n]: 空间复杂度 O(n) 二维数组 a[n][m]: 空间复杂度 O(n*m) 58 习题 1 若求解同一问题的两个算法 A 和 B 的时间复杂度分别为 T 1 (n) 和 T (n), 则 A 的时间性能优于 B 的时间性能, 是指 ( ) A. 对于所有的 n>=0,t 1 (n)>t (n); B. 对于所有的 n>=0,t 1 (n)<t (n); C. 存在一个常数 n 0 >0, 若 n>=n 0, 则 T 1 (n)>t (n) D. 存在一个正常数 n 0, 若 n>=n 0, 则 T 1 (n)<t (n) 习题通常我们说一个算法的时间复杂度是指 () A. 算法在最坏情况下的时间复杂度 ; B. 算法的平均时间复杂度 ; C. 算法在最好情况下的时间复杂度 ; D. 算法的期望运行时间 ;

11 习题当 n 充分大时, 按从小到大的次序将下述时间排序 T 1 (n)=5n -n+60lgn T (n)=n +1000n+lgn T (n)=8n +0000lgn+5000 T 4 (n)=1.5n +6000nlgn T 5 (n)=8n +n 习题 4 算法的执行时间取决于 A. 问题的规模 B. 语句的条数 C. 输入实例的初始状态 D. A&C T 6 (n)= n n 61 6 习题 5 以下不能独立于计算机的是 A. 数据的逻辑结构 B. 算法的设计和分析 C. 存储结构 D. ADT 的定义 6 11

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Microsoft PowerPoint - DS_Ch1.ppt [兼容模式] 014/4/7 数据结构计算机学院肖明军 Email: xiaomj@ustc.edu.c http://staff.ustc.edu.c/~xiaomj 1 课程简介先修课程及条件程序设计的经验 C 离散数学概率分析教材 : 数据结构, 黄刘生, 经济科学出版社数据结构 (C 语言版 ), 严蔚敏, 清华大学出版社考核 : 考试作业上机参考书 C 数据结构,William Ford