Microsoft Word - 第二題三角函數圖形小論文(New).docx

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屋叶牛
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1 投稿類別 : 工程技術類題目 : 利用 Visual Basic 程式實現多變的函數波形作者 : 陳宇崎國立臺南高級海事水產職業學校二年乙班賴俊瑋國立臺南高級海事水產職業學校二年乙班郭欣慈國立臺南高級海事水產職業學校二年乙班指導老師 : 林育助老師曾慧萍老師

2 壹前言一研究動機與目的在學習數學的過程當中, 學生往往會對數字方程式圖形和邏輯所代表的涵義感到困惑, 常常無法深入了解, 導致逐漸隊數學的學習失去信心, 但是, 數學在生活中卻是常常扮演很重要的腳色, 不僅購物時隨時需要數學來幫助衡量物品價值, 在許多科學研究上也需要運用數學運算來得到準確的數值, 尤其是三角函數的應用, 在科學研究中計算角度時經常會看到它們的蹤跡上高中第一次接觸三角函數時, 一直搞不清楚它的涵義, 也一直都不知道它們實際上的用途, 這種情形已經困擾我很久不僅我如此, 很多班上的同學也是一樣, 於是乎同學間互相傳授三角函數背誦法, 老師也提供了一些方法, 比如說八卦圖背誦法果真, 這種死背的方式, 搭配口訣, 能夠讓學生拼命地將各式各樣的三角函數公式背下來, 雖然可以倒背如流, 公式之間的轉換與代換也非常熟悉, 但是對於我這種實事求是的人而言, 我非常疑惑, 這樣背誦有用嗎? 我希望能夠真正理解它們的用途正好, 本學期開始學習程式設計, 老師也提到三角函數可以利用圖形來顯示, 如此一來就會更容易記住公式, 將來也比較容易發揮於是我和我的組員便開始著手這個研究計畫根據許多研究顯示, 函數如果可以利用圖形呈現的方式, 它對數學學習者的幫助遠勝於公式的死背學生在學習三角函數的過程當中常會因為不知所措而利用各種方式死背公式, 導致學完之後不知如何運用本研究的目的就是針對目前高中生正在學習卻容易感到困惑的三角函數為出發點, 利用撰寫 Visual Basic 程式來呈現三角函數的各種圖形, 使學生學習三角函數不再是那麼死板無趣, 提高學生的數學學習動機, 讓學生能夠經由本程式的三角函數圖形的呈現, 能更快速記憶與理解三角函數 2

3 二研究流程研究動機與目的收集相關資料三角函數波形選擇撰寫程式碼程式碼除錯與修改結論研究流程表 ( 圖一 ) 貳正文一三角函數的定義 ( 圖二 )( 註一 ) 3

4 如 ( 圖二 ), 以直角三角形為例, 在直角三角形中僅有銳角 ( 大小在 0 到 90 度之間的角 ) 三角函數的定義給定一個銳角 θ, 可以做出一個直角三角形, 使得其中的一個內角是 θ 設這個三角形中, θ 的對邊鄰邊和斜邊長度分別是 a b h, 那麼 θ 的 Sin 正弦是對邊與斜邊的比值 : sinθ =!! θ 的 Csc 餘割是斜邊與對邊的比值 : csc θ =!! θ 的 Cos 餘弦是鄰邊與斜邊的比值 : cos θ =!! θ 的 Sec 正割是斜邊與鄰邊的比值 : sec θ =!! θ 的 Tan 正切是對邊與鄰邊的比值 :tan θ =!! θ 的 Cot 餘切是鄰邊與對邊的比值 :cot θ =!! 由上面的方程式可以得知 sin 和 csc 互為倒數,cos 和 sec 互為倒數,tan 和 cot 互為倒數這些都可以利用程式的撰寫, 將它們的圖形化出來因此, 三角函數圖形會有以下幾種 : A. 正弦函數圖形 (Sin 圖形 ) B. 餘弦函數圖形 (Cos 圖形 ) C. 正切函數圖形 (Tan 圖形 ) D. 餘切函數圖形 (Cot 圖形 ) E. 正割函數圖形 (Sec 圖形 ) F. 餘割函數圖形 (Cos 圖形 ) 本次研究選用基礎的三個三角函數 sin cos tan 來繪製圖形二撰寫程式碼 ( 一 ) 專題作品操作畫面 4

tan ( 註二 ) 而以下波形是結合函數繪製圖形的語法 Graphics( 註三 ) 所繪製而成

5 ( 圖三 ) 主畫面在程式執行後, 會先在 PictureBox1 內繪製出座標 GroupBox 內, 可以看到波型的名稱波長和振幅在 VisualBasic 中有三個與三角函數有關的內定數學函數, 語法為 math.cos math.sin math.tan ( 註二 ) 而以下波形是結合函數繪製圖形的語法 Graphics( 註三 ) 所繪製而成程式大概架構是將使用者所輸入的數值轉換成波長和頻率, 轉換完使用 For 迴圈和函數去找出波每一個點的座標, 然後使用繪製填滿圖形的語法, 繪製出波形 1. SIN 波與 COS 波相位比較 ( 圖四 )SIN 波 ( 圖五 )COS 波 5

6 在三角函數的定義中, 三角函數是一個有向角對應到一個數的函數 ( 註四 ) 在三角函數圖形中向角慣用上非一般的角度, 而是使用徑度, 而徑度為!"#! θ 角度 (π = ), 在三角函數中,SIN 跟 COS 的關係為餘角關係 ( 即 sin 90 θ = cos θ), 所以在圖四圖五中可以看到 COS 波比 SIN 波提前!! 弧度 (90 ) ( 註四 ) 2. SIN 波形與程式碼 (1) 當 Button1 按下時, 對按鈕 (Button1) 產生了點按事件, 於是我們定義變數 g 為一個在 Picturebox1 圖形控制項物件中的物件變數, 並將此變數在 Picturebox1 控制項物件中重新繪製圖形為了增加徑度範圍, 我們在這裡定義了四個變數, 分別為 t1 ta z1 f1, 其中 z1 的資料型態為整數型態, 其餘皆為倍精數 (Double) 型態 (2) 運用 Visual Basic 之內建函數做 Sin 運算並將所得的值以點的方式繪出運用 For 迴圈去繪製圖形, 首先先定義兩個變數 X1 和 Y1 為單精數,X1 的數值從 0 遞增至 PictureBox1 的寬, 每跑一次迴圈遞增量為 0.1, 由這裡可以控制繪圖點的數量, 而繪圖點越多, 繪圖速度則越慢然而, 在 Y1 座標的部分, 程式碼第一個數值為執行時預先繪製的 Y 軸座標起點, 第二個數值則是因波形繪製出的振幅太小所乘上的放大倍數, 最後做 Sin 運算 Private Sub Button1_Click(sender As System.Object, e As System.EventArgs) Handles Button1.Click Dim g As Graphics = PictureBox1.CreateGraphics PictureBox1.Refresh() Dim t1 As Double = Val(TextBox1.Text) ' 波長 Dim ta As Double = t1 * 0.1 Dim z1 As Integer = Val(ComboBox1.Text) ' 振幅 Dim f1 As Double = 1 / ta ' 頻率為波長之倒數 Dim x1, y1 As Single For x1 = 0 To PictureBox1.Width Step 0.1 y1 = * z1 * Math.Sin(f1 * x1 * pi / 180) g.fillellipse(brushes.blue, x1, y1, 2, 2) 6

3. Cos 波形與程式碼 Cos 波形的產生方式與 Sin 波形的產生方式雷同, 為了區分兩者之間的差異, 我們將變數名稱做了修正 Private Sub Button2_Click(sender As System.Object, e As System.EventArgs) Handles Button1.Click Dim g As Graphics = PictureBox1.

7 3. Cos 波形與程式碼 Cos 波形的產生方式與 Sin 波形的產生方式雷同, 為了區分兩者之間的差異, 我們將變數名稱做了修正 Private Sub Button2_Click(sender As System.Object, e As System.EventArgs) Handles Button1.Click Dim g As Graphics = PictureBox1.CreateGraphics PictureBox1.Refresh() Dim t2 As Double = Val(TextBox1.Text) ' 波長 Dim ta As Double = t2* 0.1 Dim z2 As Integer = Val(ComboBox1.Text) ' 振幅 Dim f2 As Double = 1 / ta ' 頻率為波長之倒數 Dim x2, y2 As Single For x2 = 0 To PictureBox1.Width Step 0.1 Y2 = * z2 * Math.Cos(f1 * x1 * pi / 180) g.fillellipse(brushes.blue, x2, y2, 2, 4. Tan 波形與程式碼 ( 圖六 )Tan 波形如圖六 Tan() 函數圖形所示, 當 x 的值為 0 的時候,y = tan x 的值為 0( 原點 ), 當從 0 增加到!! 時,y = tan x 值趨近於無限大 ( ), 而從!! 增加到 π 時, 7

8 y = tan x 值從增加到 0 由此可知, 當角度介在 0 與 π 之間時,tan x 的值可為任意實數, 即 0 x < π 2 或 π 2 < x π 之間,tan x 之值可為任意實數 ( 註四 ) Private Sub Button3_Click(sender As System.Object, e As 5. Tan 波形程式碼 System.EventArgs) Handles Button1.Click Dim g As Graphics = PictureBox1.CreateGraphics PictureBox1.Refresh() Dim t3 As Double = Val(TextBox1.Text) ' 波長 Dim ta As Double = t3 * 0.1 Dim z3 As Integer = Val(ComboBox1.Text) ' 振幅 Dim f3 As Double = 1 / ta ' 頻率為波長之倒數 Dim x3, y1 As Single For x3 = 0 To PictureBox1.Width Step 0.1 y3 = * z3 * Math.Tan(f3 * x3 * pi / 180) g.fillellipse(brushes.blue, x3, y3, 2, 2) Next 利用 Visual Basic 內建的 Tan() 函數來做運算, 並將結果以點的方式描繪在 PictureBox1 內而繪製點的原理皆與上述繪製 Cos 圖形相同參結論寫程式對中學生而言可以說是一件挑戰的工作, 但是, 經由我與組員之間的合作無間與不斷的討論修正, 最後終於完成了本項研究與作品, 心中充滿成就感然而, 在製作的過程當中也遇到許多瓶頸需要克服, 經過我們請教我們的程式設計老師以及數學老師, 慢慢的, 問題一件一件的順利解決我們將製作的過程當中所遇到的問題分類如下 : 一函數的引用錯誤二繪製波形的速度有時會變慢問題三坐標軸謀和問題四波長值得設定與謀合問題當然, 過程當中的錯誤, 有些是人為問題, 有些是電腦問題人為問題很容易就會在討論中發現, 但是, 在不同電腦執行時, 我們發現在繪製波形時有時 8

9 候過慢, 是因每台電腦的 CPU 等級不同,RAM 的大小與硬體設備不同, 所以在運算繪圖點座標並繪製出來的時間會有所不同, 而改進的方法是將點座標的 X 軸座標數值變大, 假設原本數值為 0.01, 則將數值增加至 0.1 在此製作的過程當中, 因需使用到三角函數的理論和概念, 在查找資料的部分花了比較長的時間去理解和歸納, 而在撰寫程式的部分則是在一些邏輯思考上面有問題, 還好經過老師的指導後, 思考更為清楚, 而程式的精簡度也提升期望此程式可以為在三角函數學習不佳的學生提供很好的幫助肆引註資料 ( 註一 ) 維基百科 - 三角函數 2015/01/11 ( 註二 ) 旗立研究室 (2012) 程式語言設計-VisualBasic Ⅰ 台北市: 旗力資訊股份有限公司 ( 註三 ) 旗立研究室 (2012) 程式語言設計-VisualBasic Ⅱ 台北市: 旗力資訊股份有限公司 ( 註四 ) 姚敏庭李士蘭 (2012) 數學 C (I) 台中市: 信樺 ( 註五 ) 黃仲宇梁正 ( 編著 ) (2014) 基本電學 II 新北市: 台科大 9

第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒一有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負角度與弧度 : 1() 1() 弧度弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角

第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒一有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負角度與弧度 : 1() 1() 弧度弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角一有向角及其度量. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 8. 角度與弧度 : () () 弧度 57.957 弧度 = 8 只有代表弧度時為 8, 其餘皆為.4 ( D ). 角為 (A) 直角 (B) 鈍角 (C) 平角 (D) 銳角. 5 等於 5 8 弧度角度弧度 6 45 4 6 9 5 5 6 8 7 6 看到角度弧度, 8 擺分母 ; 看到弧度角度, 擺分母. 扇形的弧長與面積

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