joined_document.pdf

Size: px

Start display at page:

Download "joined_document.pdf"

达堕俞
5 years ago
Views:

1 The International Mathematics Contest THE CLOCK TOWER SCHOOL 17 th Edition CLASA a V-a SUBIECTUL 1 Se consideră suma s = ab + bc + ca, unde ab, bc, ca sunt numere de două cifre în baza zece. a) Arătați că s 11. b) Știind că s este pătrat perfect, să se calculeze valoarea sumei S = abc + bca + cab. Nicolae SAPOVAL, Chișinău SUBIECTUL 2 O tablă are forma unui dreptunghi 4 5 format din 20 de pătrățele 1 1. Avem la dispoziție două jetoane, fiecare putând acoperi câte un pătrățel. a) În câte moduri putem așeza jetonele pe tablă? b) În câte moduri putem așeza jetonele pe tablă, astfel încât ele să nu se afle nici pe aceeași coloană și nici pe aceeași linie? Gabriel POPA, Iași SUBIECTUL 3 La un magazin de jucării sunt roboței roșii, galbeni sau albaștri și sunt de patru tipuri: cu 9; 10;11, respectiv, 12 antene. Adrian cumpără un număr de roboței, astfel încât să aibă cel puțin unul din fiecare culoare și cel puțin unul de fiecare tip, iar numărul total al antenelor să fie egal cu 500. Constată că o treime din numărul roboțeilor galbeni reprezintă cât o pătrime din numărul celor albaștri și, respectiv, cât o cincime din numărul celor roșii. a) Câți roboței din fiecare culoare a cumpărat Adrian? b) Dacă Adrian a cumpărat un număr maxim posibil de roboței cu 12 antene, aceștia au avut aceeași culoare? Dar cei cu 9 antene? Justificați răspunsurile! Cecilia DEACONESCU, Pitești SUBIECTUL 4 M = 1;2;3;4;...;2014. Fie { } a) Să se arate că oricum am alege 1008 numere din mulțimea M, există două printre acestea care sunt prime între ele. b) Pe ecranul unui calculator sunt scrise toate elementele din mulțimea M. Mate și Geo practică următorul joc: începând cu Mate, fiecare șterge câte un număr. Pierde cel care este obligat să șteargă primul un număr multiplu al numărului 28 sau al numărului 38. Care elev câștigă, știind că amândoi joacă fără greșeală până în momentul când unul dintre ei este forțat să șteargă un număr nepermis? Justificați! Ștefan SMĂRĂNDOIU, Râmnicu Vâlcea

2 SUBIECTUL 1 a) ab, bc, ca sunt numere de două cifre în baza zece a 0; b 0; c 0. ( ) b) s = 11( a + b + c) este pătrat perfect ( ) k, s = ab + bc + ca = 11 a + b + c s 11 a 0; b 0; c 0 3 a + b + c 27 a, b, c sunt cifre N a.î. a b c k = 11 3 a + b + c 27 2 a + b + c = 11k k = 1 k N S = abc + bca + cab = 111( a + b + c) a b c k S = 11 = 11 1 = 11; = 1221 SUBIECTUL 2 a) Fixăm primul jeton într-un pătrățel. Al doilea poate fi așezat în 19 moduri. Jetoanele pot fi așezate în = 190 de moduri. 2 sau: Jetoanele pot fi așezate în = 190 de moduri. (... 2 p) b) Având o restricție, raționăm astfel: 10 așezări conțin cele două jetoane pe prima linie, 10 așezări conțin cele două jetoane pe a doua linie.... Deci 40 de așezări conțin cele două jetoane pe aceeași linie p Apoi 6 așezări conțin cele două jetoane pe aceeași coloană, = 30 așezări conțin cele două jetoane pe aceeași coloană, p Jetoanele pot fi așezate în = 120 de moduri. SUBIECTUL 3 a) Fie r, g, a N numărul roboțeilor roșii, galbeni, respectiv, albaștri. O treime din numărul roboțeilor galbeni reprezintă cât o pătrime din numărul celor albaștri și, respectiv, cât o cincime din numărul celor roșii. ( ) k N, a. i. g = 3 k, a = 4 k, r = 5 k. Fie x, y, z, t N numărul roboțeilor cu9; 10;11, respectiv, 12 antene. Atunci r + g + a = 12k = x + y + z + t ( ) ( ) 9x + 10y + 11z + 12t = x + y + z + t < 500 < 12 x + y + z + t ( ) 9 x + y + z + t < k < 500 k 4 k N 12( x + y + z + t) > k > 500 k 4 k N k 4 k = 4; r = 20; g = 12; a = 16. k 4...

3 b) x y z t ( x y z t) ( y z t) ( y + 2z + 3t ) = 500 y + 2z + 3t = = = 500 y + 2z + 3t = 68 y 1 { 3t 65, cu t N tmax = 21 2z 2 y + 2z + 3t = 68 y + 2z = 5, cu y, z N y = 1; z = 2 sau y = 3; z = 1 3t = 63 x = 24 x = 23 În cazul y = 1; z = 2 iar în cazul y = 3; z = 1 t = 21 t = 21 x = 24 x = 23 Ținând cont de r = 20; g = 12; a = 16 și sau, deducem că roboțeii cu t = 21 t = 21 9 antene și cei cu 12 antene nu pot avea aceeași culoare. SUBIECTUL 4 a) Afirmă că două numere naturale cosecutive sunt prime între ele. Realizează partiția: M { 1;2 }, M { 3;4 }, M { 5;6 },..., M { 2013;2014 } = = = = Conform principiului cutiei, oricum am alege 1008 numere, există două numere din aceeași submulțime M i, care rezolvă cerința problemei. b) Fie D și T mulțimea numerelor din M divizibile cu 28, respectiv cu = Card D = = Card T = 53 Fie I = { x Mx 28 si x 38} x 28 x 532 x = Card I = 3 Card ( D T ) = Card D + Card T Card I = = 121 Deducem că sunt = 1893 de numere care nu sunt multiplu al numărului 28 sau al numărului 38. Deoarece Mate începe jocul, va câștiga.

4 The International Mathematics Contest THE CLOCK TOWER SCHOOL 17 th Edition CLASA a VI-a SUBIECTUL I Pe laturile [OX şi [OY ale unghiului propriu încât [ OA] [ OB] XOY se iau punctele A şi, respectiv, B astfel. Semidreptele [OZ si [OT sunt situate în interiorul unghiului XOY astfel şi XOZ TOY. Dacă M se află pe bisectoarea unghiului ZOT, ca OZ Int ( XOT ) M AB, MA OZ = { N} și MB OT = { P}, arătaţi că: a) Triunghiul MAB este isoscel; b) [ AP] [ BN ] c) Q MO, unde { } Q = AP BN. SUBIECTUL II Demonstrați că printre 81 ; Prof. Sorin Furtună, Călărași de numere naturale ai căror divizori primi se află în mulțimea { 2;3;5 }, există patru al căror produs este puterea a patra a unui număr natural. G.M. SUBIECTUL III Pe ecranul unui panou de publicitate, electronic, este scris numărul abcd, număr care are proprietatea că abcd abc = După fiecare minut publicitar numărul abcd se înmulțește sau se împarte f ie la 2, fie la 19, fie la 53 ( împărțirile se efectuează numai dacă restul împărțiirii respective este egal cu zero), iar rezultatul obținut înlocuiește numărul afișat anterior. a) Care este probabilitatea ca numărul afișat după primul minut să fie 2014? b) Stabiliți dacă după un număr finit de ore de la afișarea numărului inițial abcd, este posibil să apară pe ecran numărul Ștefan SMĂRĂNDOIU, Râmnicu Vâlcea SUBIECTUL IV a) Să se demonstreze că fracția 6 n + 5 4n + 3 a + 2b b) Se știe că fracțiile şi 2 a + b a 2b 2a b este ireductibilă, oricare ar fi n N. sunt reductibile. Demonstrați că fracția a b este, de asemenea, reductibilă. Marcel TELEUCĂ, Chișinău

5 SUBIECTUL I a) AOM BOM ( LU.. L. ) (1) [ AM ] [ BM ] MAB este isoscel de bază [ AB ]. b) c) n ( 1 ) [ ] [ ] Di OMN OMP OM OM ( lat. com.) OMN OMP MON MOP [ OP] [ ON] AOP BON OAP OBN (2) [ AP] [ BN ] [ OA] [ OB ] [ AM ] [ BM ] [ MN ] [ MP] (...) [ NMQ PMQ L L L NMQ PMQ MQ este bisectoarea lui AMB Din (1) [ AN ] [ BP] Din (2) OPA ONB ANB BPA APM BNM (...) [ ] [ ] ANQ BPQ U LU NQ PQ [MO este bisectoarea lui AMB (...) AMP BMN LU L APM BNM MAP MBN Deci [MQ și [MO coincid Q MO. SUBIECTUL II Exponentul fiecărui număr prim poate fi par sau impar. Avem 8 posibilități: Având 81 de numere, le putem grupa în 9 grupe de câte 9 numere. Aplicând principiul cutiei, din 9 numere naturale oarecare și 8 posibilități, există cel puțin două care au aceeași formă a exponenților. Fie și cele două numere. Rezultă că există pătrat perfect, astfel încât Analog, din celelalte 8 grupe, obținem,,..., Formăm grupa Toate cele 9 pătrate perfecte au fiecare din cei trei exponenți (corespunzători bazelor 2, 3 și 5) de forma 4k sau 4k+2. Aplicând principiul cutiei, există 2 pătrate perfecte p i şi p j cu aceeaşi formă a exponenţilor. Atunci, ceea ce trebuia demonstrat. OBSERVAȚIE: Erau suficiente 25 de numere! Vezi problema 4 de la Juniori II!

6 SUBIECTUL III a) Condiție:. 1 b), deci suma exponenților este 4, număr par După t ore,, suma exponenților se modifică de un număr par de ori. În final suma exponenților este, număr impar 0.5 p Deci este imposibil. 0.5 p SUBIECTUL IV a) ( ) n n 0 4n 3 0 N + > condiția 4n este îndeplinită, ( )n N Presupunem, prin absurd, că fracția 6 n + 5 4n + 3 astfel încât ( 6 5;4 3) n + n + = d este reductibilă ( ) d { 1} p N (1) 6n + 5 d 12n + 10 d 4n + 3 d 1 d d = 1 ( 2 )...1p 12n + 9 d ( 4;3) = 1 (0,5 p) Din (1) și (2) contradicție presupunerea făcută este falsă 6 n + 5 este ireductibilă, de 4n + 3 oricare ar fi n N.... 0,5 p b) Condiții: a 2b 0 și 2a b 0 a + 2b Fracția d a 2b este reductibilă ( ) N { 1 }, a.î. ( 2 ; 2 ) a + b a b = d Cazul I: d este impar a + 2b d a + 2b d 2a d 4b d a d a 2a d 4b d a d b d a 2b d a 2b d ( 2; d ) = 1 ( 4; d ) = 1 b d b Cazul II: d este par este reductibilă... 1,5 p a + 2b d a + 2b 2 a + 2b 2 a ,5 p d este par d 2 2b 2 Fracția 2 a + b este reductibilă ( ) t N { 1 }, a.î. ( a + 2 b; a 2b ) = t 2a b 2a + b t 2a + b t 4a t 2b t 2a b t 2a b t i) Dacă t este impar 2a d 4b d a d a a d b d este reductibilă... 1,5 p ( 2; d ) = 1 ( 4; d ) = 1 b d b ii) Dacă t este par 2a + b t 2a + b 2 2a + b 2 b ,5 p t este par t 2 2a 2 Din a 2 a este reductibilă... 0,5 p b 2 b

7 The International Mathematics Contest THE CLOCK TOWER SCHOOL 17 th Edition CLASA a VII-a SUBIECTUL 1 Se scriu pe tablă numerele a = 7 2 6, b = şi c = 81. După un pas se șterg cele trei numere și se înlocuiește fiecare cu media geometrică a celorlalte două. a) Ce numere sunt scrise pe tablă după primul pas? b) Stabiliți dacă după un număr finit de pași este posibil ca pe tablă să obținem numerele: 2014; și Ștefan SMĂRĂNDOIU, Râmnicu Vâlcea a) b) Produsul numerelor iniţiale este abc. Produsul numerelor după primul pas este Deci produsul este un invariant. Deci nu este posibil. SUBIECTUL 2 a) Stabiliți dacă produsul a două numere naturale consecutive este pătrat perfect. b) Stabiliți dacă produsul a trei numere naturale, consecutive, nenule poate fi egal cu produsul a trei numere naturale pare consecutive. Marcel TELEUCĂ, Chişinău a) 0 şi 1 sunt două numere naturale consecutive al căror produs este pătrat perfect. Pentru avem Deoarece şi sunt două pătrate perfecte consecutive, deducem că n(n+1) nu este pătrat perfect. b) Dacă ar fi posibil, ar exista x şi y numere naturale, nenule astfel încât

8 Cazul I Dacă x = 2y, imposibil Cazul II Dacă x < 2y Cazul III Dacă x > 2y, nu convine Deci nu există astfel de numere., nu convine SUBIECTUL 3 În triunghiul ABC, punctul M este mijlocul medianei [ AD], cu D ( BC ). Notăm cu N mijlocul segmentului [ ], BE unde { } a) Arătaţi că triunghiurile ABM şi CDM au aceeaşi arie. E = BM AC şi cu O intersecţia dreptelor AD şi CN. b) Demonstraţi că perimetrul triunghiului MNO este egal cu 1 ( AD BE CN) Gheorghe RADU, Râmnicu Vâlcea a) Se aplică propoziţia Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri echivalente : - în triunghiul ABD, pentru mediana [BM] : A = A ( r.1) - în triunghiul BMC, pentru mediana [MD] : A = A ( r.2) A = A ABM BDM.1p BMD CDM 1p Din ( r.1) şi ( r.2) ABM CDM 1p b) [DN] este linie mijlocie în triunghiul BCE: DN CE şi ND = CE / 2..1p ADN DAC (ca unghiuri alterne interne). MDN MAE ( U. LU..) ND = AE; MN = ME. MN = NE / 2 = BE / 4..1p

9 Fie P mijlocul segmentului [CN]. [DP] este linie mijlocie în triunghiul BCN: DP BN şi DP = BN / 2=NE/2=MN. Din DP MN şi DP = MN rezultă că DPMN este paralelogram 1p Într-un paralelogram diagonalele se interectează în mijlocul lor. Prin urmare, OM=OD=MD/2=AD/4 şi ON=OP=NP/2=CN/4. MN+OM+ON = 1 ( AD BE CN) 4.1p SUBIECTUL 4 În triunghiul, H AC D BC piciorul înălțimii din B şi, respectiv, bisectoarei din A. BD AB a) Arătați că =. BC AB + AC ABC fie ( ) şi ( ) b) Dacă m( ADB ) = 45, să se arate că m( DHC ) = 45. Igor Fedorovich SHARYGIN, Moscova ( Cerința a este adăugată.) a) bisectoare in triunghiul ABC b) Fie astfel încât este bisectoare în triunghiul ABH. [ [ BI este bi sectoare în ABH AD este bisectoare în ABH I este centrul AD BI = { I} cercului înscris triunghiului ABH [ HI este bi sectoare în ABH 0 m( BHI ) = 45. BH este înăltime în ABC BIHD este inscriptibil (1) Din (1) şi (2) (2)

10 SUBIECTUL I Fie x, y, z numere reale, pozitive. Arătaţi că: x + y + z a) x + y + z. 3 The International Mathematics Contest THE CLOCK TOWER SCHOOL 17 th Edition CLASA a VIII-a b) Dacă x + y + z = 3, atunci x + 4y + 16z + 4x + 16y + z + 16x + y + 4z > 7. SUBIECTUL II Gheorghe CIUCĂ și Dragoș CONSTANTINESCU, Junior, Râmnicu Vâlcea Un pătrat cu latura de 2014cm este împărțit prin linii paralele cu laturile sale în pătrățele cu interiorele disjuncte, având latura de 1 cm. a) Să se calculeze raza cercului înscris în pătrat și, respectiv, raza cercului circumscris acestui pătrat. b) Determinați numărul maxim de pătrățele ce pot fi colorate cu albastru, astfel încât, orice pătrățel colorat are cel mult un vecin albastru ( se consideră vecine pătrățelele care au latură comună). Justificați! Marcel TELEUCĂ, Chișinău SUBIECTUL III Un tetraedru regulat MABC are muchia de 6 cm. a) Să se afle cosinusul unghiului dintre planele ( MBC ) și ( ABC ). b) Dacă pe suprafața tetraedrului se consideră 145 de puncte, să se arate că există două puncte printre acestea, astfel încât distanța dintre ele este cel mult egală cu 1 cm. Liviu VLĂDESCU și Ion GHERGHINARU, Râmnicu Vâlcea SUBIECTUL IV Fie un triunghi ABC dreptunghic în A și AD înălțime cu D BC. Pe planul triunghiului se ridică o perpendiculară în A pe care se ia un punct M, astfel încât MA = AD = 6 cm. Pe( MB) se ia un punct E, astfel încât 2 AE = ME BE. a) Să se afle distanța de la punctul A la planul ( MBC ). b) Dacă AH ( MBC ), cu H ( MBC ), stabiliți dacă punctele C, H, E sunt coliniare. Ștefan SMĂRĂNDOIU, Râmnicu Vâlcea

11 SUBIECTUL I a) x y z ( x y z ) b) Aplicând inegalitatea demonstrată anterior de trei ori, avem: x + 2 y + 4 z x + 4y + 16z, 3 cu egalitate pentru x = 4y = 16z cu egalitate pentru 4x = 16y = z şi cu egalitate pentru 16x = y = 4z x + y + z 2 x + y + z x + 3y + 3z x + y + z + 2 xy + 2 yz + 2 xz ( x y) + ( x z ) + ( y z ) 0, adevărat Avem egalitate pentru x = y = z 2 x + 4 y + z 4x + 16y + z x + y + 4z y + 2 Nu putem avea egalitate simultan, pentru că, de exemplu: x = 4y = 16z 4x = 16y = 64z 64z = z z = 0, ceea ce contrazice ipoteza. 4x = 16y = z Însumând cele trei inegalități obținute anterior, obţinem: 7( x + y + z) x + 4y + 16z + 4x + 16y + z + 16x + y + 4z > =7 3 SUBIECTUL II a) 1.5 p 1.5 p b) Împărţim tabla în pătrăţele 2 2 cu interioarele disjuncte două câte două. Într-un pătrat 2 2 pot fi colorate maxim două pătrăţele Deducem că numărul maxim este mai mic sau egal cu Construim un exemplu care atinge acest maxim, colorând tabla ca o tablă de şah x z SUBIECTUL III a) Fie. Demonstrează că O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Fie AT mediatoarea laturii Deci astfel încât. ; Triunghiul MOT e dreptunghic în O, deci Observaţie: Se acordă 4 puncte dacă se află cos u cu raportul dintre aria proiecţiei şi aria triunghiului care se proiectează.

12 b) 145 = Conform principiului cutiei, oricum am aşeza 145 de puncte pe suprafaţa unui tetraedru, există cel puţin 37 de puncte pe una din feţe. Faţa respectivă poate fi împărţită în 36 de triunghiuri echilaterale cu latura de 1 cm ce au interioarele disjuncte. Aplicând principiul cutiei, fiind 37 de puncte şi 36 de triunghiuri, există cel puţin 2 puncte în interiorul sau pe laturile unui triunghi mic cu latura de 1cm, caz în care distanţa dintre cele două puncte este mai mică sau egală cu 1 cm. SUBIECTUL IV a) În triunghiul MAD, fie cu, ; 1 p b) T coincide cu H. este înălţime ( 0,5p) sau mediană 0,5 p Cazul I AE este înălţime, cu. În planul (MBC): dreptele HE şi CE coincid C, H, E coliniare. 0.5 p 0.5 p 0.5 p 0.5 p Cazul II AB>AD=MA triunghiul MABeste dreptunghic neisoscel, deci mediana nu coincide cu înălțimea. În acest caz, punctele C, H, E nu sunt coliniare.

EC(2013-1 4)13 第 2 頁 (b) 把總目 100 在 2013-14 年度常額編制內所有非首長級職位按薪級中點估計的年薪總值上限提高 12,480,540 元, 即由 461,070,000 元增至 473,550

EC(2013-1 4)13 第 2 頁 (b) 把總目 100 在 2013-14 年度常額編制內所有非首長級職位按薪級中點估計的年薪總值上限提高 12,480,540 元, 即由 461,070,000 元增至 473,550 EC(2013-1 4)13 財務委員會人事編制小組委員會討論文件 2014 年 1 月 8 日總目 100- 海事處分目 000 運作開支總目 92- 律政司分目 000 運作開支總目 158- 政府總部 : 運輸及房屋局 ( 運輸科 ) 分目 000 運作開支請各委員向財務委員