104 安徽师范大学学报 ( 自然科学版 ) 2017 年 = 狋 1 犛犔 ( 狋, 狇, 狇 ) 犱狋 (6) 狋 0 考虑时间和坐标的无穷小变换狋 = 狋 +εξ0( 狋, 狇, 狇 ) 狇 狊 ( 狋 )= 狇狊 ( 狋 )+εξ 狊 ( 狋, 狇, 狇 ) ( 7) 本文利用求和约定, 式

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1 第 40 卷 2 期 2017 年 3 月 安徽师范大学学报 ( 自然科学版 ) 犑狅狌狉狀犪犾狅犳犃狀犺狌犻犖狅狉犿犪犾犝狀犻狏犲狉狊犻狋狔 ( 犖犪狋狌狉犪犾犛犮犻犲狀犮犲 ) 犇犗犐 : / 犑. 犮狀犽犻 推广到多维系统的钱德拉塞卡方法丁光涛 ( 安徽师范大学物理与电子信息学院, 安徽芜湖 24100) 摘要 : 将钱德拉塞卡等提出的构造拉格朗日函数方法从一维系统推广到多维系统, 并讨论其中存在的问题. 举例说明所得结果的应用. 关键词 : 钱德拉塞卡方法 ; 多维系统 ; 拉格朗日函数 ; 第一积分中图分类号 : 犗 320 文献标志码 : 犃文章编号 : (2017) 引言钱德拉塞卡 ( 犞. 犓. 犆犺犪狀犱狉犪狊犲犽犪狉 ) 等学者多年来一直研究若干典型非线性非保守一维系统, 取得了一系列重要的结果, 其中一个重要方面是给出实现这种系统的分析力学化的一种方法 [1-6]. 对于一维系统狓 =φ( 狓, 狓 ) ( 1) 得到不含时的第一积分犐 = 犐 ( 狓, 狓 ) ( 2) 假设此积分与系统哈密顿函数相等, 并根据勒让德变换理论写成 犐 ( 狓,)= 狓犎 ( 狓, 狆 )= 犔 狓 - 狓犔 = 狆狓 - 犔 (3) 式中犔 犎和狆分别是拉格朗日函数 哈密顿函数和正则共轭动量. 从式 (3) 导出下列关系式犐狓 = 犐 狓 = 狆 狓 + 狓狆 - 犔 狓 = 狆狓 狓 (4) 式中物理量的右下标表示对此变量的偏导数. 从式 (4) 和 (5) 分别得到 = 犐狓 狆 狓犱狓 + 犳 ( 狓 ) (5) 根据 (3)-(5) 式, 可以导出系统 (1) 的拉格朗日函数 哈密顿函数和正则共轭动量. 钱德拉塞卡等指出式 (5) 中的函数犳 ( 狓 ) 是任意函数, 可以选择为 0. 上述就是导出系统 (1) 拉格朗日函数的钱德拉塞卡方法 ( 以下简称钱方法 ). 最近, 我们论证钱方法的理论基础是诺特 ( 犈. 犖狅犲狋犺犲狉 ) 的关于对称性和守恒量理论, 这种方法是诺特理论逆问题的一种特殊情况, 同时指出钱方法存在一种重大缺陷, 虽然可以用于一维系统, 但是, 如果推广到多维系统就会显示出来, 使求解困难 [7]. 本文将把钱方法推广到多维情况, 并通过理论上讨论和实例计算来说明这种方法的缺陷. 1 钱方法的理论基础是诺特理论诺特理论给出力学系统对称变换和守恒量之间的关系. 设系统的拉格朗日函数为犔 = 犔 ( 狋, 狇, 狇 ), 哈密顿作用量为 收稿日期 : 基金项目 : 国家自然科学基金项目 ( ). 作者简介 : 丁光涛 (1941-), 男, 安徽枞阳人, 教授. 引用格式 : 丁光涛. 推广到多维系统的钱德拉塞卡方法 [ 犑 ]. 安徽师范大学学报 : 自然科学版,2017,40(2): 犞狅犾.40 犖狅.2 犕犪狉.2017

2 104 安徽师范大学学报 ( 自然科学版 ) 2017 年 = 狋 1 犛犔 ( 狋, 狇, 狇 ) 犱狋 (6) 狋 0 考虑时间和坐标的无穷小变换狋 = 狋 +εξ0( 狋, 狇, 狇 ) 狇 狊 ( 狋 )= 狇狊 ( 狋 )+εξ 狊 ( 狋, 狇, 狇 ) ( 7) 本文利用求和约定, 式中 ε 为一无限小参数,ξ0,ξ 狊为无限小生成元, 狊 =1,2,, 狀. 如果变换满足下列诺特等式犔 ξ0+ 犡 (1)( 犔 )+ 犌犖 =0 式中犌犖 = 犌犖 ( 狋, 狇, 狇 ) 称为规范函数, 算子犡 (1) =ξ0 狋 +ξ 狊 +(ξ 狇狊狊 - 狇 ξ 狊狊 ) 狇 (9) 狊那么变换 (7) 是诺特 ( 准 ) 对称变换, 在此变换下, 系统作用量 (6) 不变, 且运动中存在诺特守恒量犐犖 = 犔 ξ0+ 犔 狇狊 (ξ 狊 - 狇 ξ0)+ 狊犌犖 (10) 上述条件 (8) 和结论 (10), 构成拉格朗日系统的诺特定理. 诺特定理存在逆定理, 讨论对已知拉格朗日函数和守恒量的系统, 如何确定对应的对称变换 ( 即导出对称变换的生成元与规范函数 ); 这种逆问题可以推广, 即从系统运动性质 ( 运动积分 ), 根据诺特等式 (8) 和式 (10) 来导出系统的拉格朗日函数, 并确定对称变换 [8-10]. 一般说来, 求解推广的诺特定理逆问题是比较复杂的, 一种可行的方法是先设定系统的对称变换, 再利用诺特定理由第一积分导出系统拉格朗日函数. 对于一维系统, 式 (3) 就是式 (10) 在 ξ0=-1,ξ=0, 犌犖 = 0 的特殊情况. 这样的变换正是系统时间平移的无限小变换, 与这种对称性对应的是广义能量 ( 雅可比 ) 积分, 这表明钱方法是诺特理论广义逆问题的一种特殊方法, 或者说, 诺特理论是钱方法的理论基础. 由式 (6) 得到动量狆表达式后, 可以直接从式 (3) 导出系统的拉格朗日函数为犔 ( 狓, 狓 )= 狆 ( 狓, 狓 ) 狓 - 犐 ( 狓, 狓 ). (11) 2 推广到多维系统的钱方法及其缺陷分析根据钱方法的理论基础, 可以将一维系统的钱方法推广到多维系统. 设多维系统为狇 狊 = 犙狊 ( 狇, 狇 )( 狊 =1,2,, 狀 ) (12) 导出系统一个不显含时间的第一积分犐 = 犐 ( 狇, 狇 ) ( 13) 仍然假设它是雅可比积分, 即将式 (3) 推广成犐 ( 狇,)= 狇狆狊狇 狊 - 犔 ( 狇,)= 狇犔 狇狊狇狊 - 犔 ( 狇,) 狇 ( 14) 显然, 式 (14) 是式 (10) 在 ξ0=-1,ξ 狊 =0, 犌犖 =0 时的特殊情况, 在这种变换下, 由式 (14) 导出犔的不显含时间狋, 保证了对应的诺特等式成立. 从式 (14) 出发, 有两条路径导出拉格朗日函数. 第一条路径是将式 (14) 写成 犐 ( 狇,)= 狇犔 狇狊狇狊 - 犔 ( 狇,) 狇 ( 15) 这个方程可以看作函数犔的偏微分方程. 第二条路径是与前述从式 (3) 导出式 (4) 相似, 由式 (14) 导出下列方程组犐 狇 = 狆 β α 狇狇 β(α,β=1,2, 狀 ) (16) α 对于一维系统, 方程组 (16) 就是方程 (4), 可由式 (5) 解出广义动量狆, 再得到拉格朗日函数. 但是, 对多维系统, 方程 (15) 和 (16) 的解是不确定的, 原因在于方程中只有一个已知的第一积分犐, 其中所包含的信息量少于方程组 (12) 的信息量. 与一维系统不同, 仅得到多维系统一个第一积分是不能与方程组 (12) 等价的, 将式 (13) 第一积分对时间求微商, 得到

3 40 卷第 2 期丁光涛 : 推广到多维系统的钱德拉塞卡方法 犐 狇狊狇狊 + 犐 狇狊狇狊 =0 (17) 如果将微分方程组 (12) 代入, 式 (17) 成立, 但是, 却不能由这一个方程 (17) 导出微分方程组 (12). 此外, 对多 维情况, 还有可能出现不同的系统会存在相同的一种第一积分. 因此, 在多维情况下, 在得到第一积分 (13) 后, 仍然需要将方程 (15) 或方程组 (16) 与原方程组 (12) 联合, 才能确定待求的拉格朗日函数. 当然, 多维系统 (12) 还可能导出其它的第一积分, 甚至也是与时间无关的第一积分, 但是, 这些积分已经不能再作为雅可比积分, 对这些积分不能再列出式 (14) 类型的方程了. 换句话说, 推广到多维情况时, 钱方法在一维情况下的特点和优势将消失. 与此相关的是, 一维情况下的式 (5) 推广到多维系统时, 附加的坐标函数就不能任意取值了. 3 二维系统算例和问题讨论 下面将以一个二维系统为例, 说明钱方法如何推广到多维系统, 以及推广中存在的问题. 例二维正负交叉阻尼系统 狓 + 犫狔 =0, 狔 - 犫狓 =0 (18) 首先, 通过此例说明仅从一个积分不能确定系统的拉格朗日函数. 系统 (18) 的一个不含时的第一积分为犐 = 1 2 ( 2 狓 + 2 狔 ) ( 19) 由于上述积分表示系统动能不变, 故作为雅可比积分代入方程 (14), 得到 1 2 ( 2 狓 + 2 狔 ) = 犔 狓 + 狓犔 狔 - 狔犔 (20) 这个方程存在多个不同的解, 例如犔 = 1 2 ( 2 狓 + 2 狔 ) ( 21) 犔 = 1 2 ( 2 狓 ( 狓狔 - 狓狔 ) ( 22) 犔 = 1 2 ( 2 狓 ( 狓狔 + 狓狔 ) ( 23) 等等, 选择哪个解为系统的拉格朗日函数? 如果将上述三个解代入拉格朗日方程, 并与原来的运动方程对照, 那么就会确定式 (22) 中的犔 是系统 (18) 的拉格朗日函数. 这里指出, 式 (21) 和 (23) 的解是自由粒子运动的两个规范等效的拉格朗日函数, 这就是前面所说的在多维情况下, 可能出现不同的系统存在一个相同的第一积分, 这是值得关注的情况. 从另一条路径构造拉格朗日函数, 即将积分 (19) 代入方程 (16), 得到 = 狓狆狓 狓 + 狓狆狔 狓, 狔 = 狔狆狓 狔 + 狓狆狔 狔, 狔 ( 24) 这个方程组的解也不是唯一的, 其中一组解是狆狓 狓 = 狆狔 狔 =1, 狆狓 狔 = 狆狔 狓 =0 (25) 这组解是合理的狆狓 狔 = 狆狔 狓 = 2 犔 狓 狔 (26) 同时由于它们满足下列条件 2 狆狓 狓 狔 = 2 狆狓 狔, 狓 2 狆狔 狓 狔 = 2 狆狔 狔 狓 (27) 故可以利用积分得到 = 狆狓 [ 狆狓 狓犱狓 + 狆狓 狔犱狔 ]+ 犳 ( 狓, 狔 )= + 狓犳 ( 狓, 狔 ) = 狆狔 [ 狆狔 狓犱狓 + 狆狔 狔犱狔 ]+ 犵 ( 狓, 狔 )= + 狔犵 ( 狓, 狔 ) 代入式 (14), 得到系统的拉格朗日函数为 105 (28)

4 106 安徽师范大学学报 ( 自然科学版 ) 2017 年 犔 = 1 2 ( 2 狓 + 2 狔 ) + 犳狓 + 犵狔 (29) 这里与一维情况不同, 不能任意地取两个函数犳和犵为 0, 而是要利用运动方程 (18) 来确定这两个函数. 将式 (29) 中的犔代入拉格朗日方程, 得到 狓 +( 犳 狔 - 犵狓 ) =0, 狔 狔 +( 犵 狓 - (30) 犳 狔 ) =0 狓与方程组 (18) 比较, 可以解得多组解, 例如犳 = 1 2 犫狔, 犵 =- 1 2 犫狓 (31) 犳 = 犫狔, 犵 =0 (32) 等等. 取式 (31) 代入式 (29), 得到二维系统 (18) 拉格朗日函数为犔 = 1 2 ( 2 狓 ( 狓狔 - 狓狔 ) ( 33) 这个拉格朗日函数与式 (22) 相同. 取式 (32) 代入式 (29), 则得到二维系统 (18) 的另一个拉格朗日函数为犔 = 1 2 ( 2 狓 + 2 狔狓 (34) 式 (33) 和 (34) 中的两个拉格朗日函数是规范等效的. 但是, 钱方法中还有一个重要问题没有解决, 在系统多个不显含时间的第一积分中如何确定雅可比积分, 并建立式 (14) 形式的方程以构造拉格朗日函数? 仍以系统 (18) 为例, 除积分 (19) 外, 容易导出两个不显含时间的第一积分犐 1= + 狓犫狔, 犐 2= - 狔犫狓 (35) 利用上述两个积分可以构成其它不显含时间的积分, 如犐 3= + 狓 - 狔犫 ( 狓 - 狔 ) (36) 犐 4= 狓 狔 + 犫 ( 狔狔 - 狓狓 )- 犫 2 狓狔 (37) 犐 5= 1 2 ( 狓 2 + 狔 2 ) + 犫 ( 狓 狔 - 狓狔 )+ 犫 2 2 ( 狓 2 + 狔 2 ) ( 38) 等等. 显然, 如果取式 (19) 积分为对应时间平移不变性的雅可比积分, 那么, 其余的不含时积分就不能再取为雅可比积分, 不能再列出式 (14) 形式的方程了, 问题在于钱方法中并没有确定雅可比积分的判据. 再次用实例说明, 仅由一个积分不能确定原来的方程组. 由式 (36) 对时间求微商得到狓 + 狔 - 犫 ( 狓 - 狔 )=0 与此对应的方程组很多, 例如狓 - 犫狓 =0, 狔 + 犫狔 =0 狓 =0, 狔 - 犫 ( 狓 - 狔 )=0 狓 + 犫狔 =0, 狔 - 犫狓 =0 等等, 原方程组 (18) 只是其中一个可能的方程组. 这种情况表明与其它从第一积分构造拉格朗日函数方法相比较 [11-14], 在多维系统中推广的钱方法并不实用. 4 结论在我们以前的研究中, 给出构造力学系统拉格朗日函数钱方法的理论基础是诺特理论, 并指出这种方法存在理论上的缺陷, 但是, 在一维情况下有些问题被掩盖了 [7]. 本文我们将钱方法从一维系统推广到多维系统, 通过理论分析和实例演算表明在多维系统情况仅从一个与时间无关的第一积分出发, 不能确定系统的拉格朗日函数, 必须利用原来的方程组. 在多维情况下, 钱方法的两个相关的理论缺陷比较明显, 一是系统可能存在多个不同的与时间无关的第一积分, 而钱方法没有给出如何在其中确定雅可比积分的判据, 而选择了一个积分是雅可比积分后, 其他的积分就不能再是雅可比积分了 ; 二是一个第一积分与原来的方法组不等价, 或者说, 不同的系统可能存在同一样的积分. 这些缺陷使得对多维系统钱方法的实用价值不大.

5 40 卷第 2 期丁光涛 : 推广到多维系统的钱德拉塞卡方法 参考文献 : [1] 犆犎犃犖犇犚犃犛犈犓犃犚犞犓, 犛犈犖犜犎犐犔犞犈犔犃犖犕, 犔犃犓犛犎犕犃犖犃犖犕. 犝狀狌狊狌犪犾犔犻犲狀犪狉犱 狋狔狆犲狀狅狀犾犻狀犲犪狉狅狊犮犻犾犪狋狅狉 [ 犑 ]. 犘犺狔狊犚犲狏犈,2005,72, [2] 犆犎犃犖犇犚犃犛犈犓犃犚犞犓, 犘犃犖犇犈犢犛犖, 犛犈犖犜犎犐犔犞犈犔犃犖犕, 犔犃犓犛犎犕犃犖犃犖犕. 犃狊犻犿狆犾犲犪狀犱狌狀犻犳犻犲犱犪狆狆狉狅犪犮犺狋狅犻犱犲狀狋犻犳狔犻狀狋犲犵狉犪犫犾犲狀狅狀犾犻狀犲犪狉狅狊犮犻犾犪狋狅狉狊犪狀犱狊狔狊狋犲犿狊 [ 犑 ]. 犑犕犪狋犺犘犺狔狊,2006,47, [3] 犆犎犃犖犇犚犃犛犈犓犃犚犞犓, 犛犈犖犜犎犐犔犞犈犔犃犖犕, 犔犃犓犛犎犕犃犖犃犖犕. 犗狀狋犺犲犔犪犵狉犪狀犵犻犪狀犪狀犱犎犪犿犻犾狋狅狀犻犪狀犱犲狊犮狉犻狆狋犻狅狀狅犳狋犺犲犱犪犿狆犲犱犾犻狀犲犪狉犺犪狉犿狅狀犻犮狅狊犮犻犾犪狋狅狉 [ 犑 ]. 犑犕犪狋犺犘犺狔狊,2007,48, [4] 犆犎犃犖犇犚犃犛犈犓犃犚犞犓, 犛犈犖犜犎犐犔犞犈犔犃犖犕, 犔犃犓犛犎犕犃犖犃犖犕. 犗狀狋犺犲犵犲狀犲狉犪犾狊狅犾狌狋犻狅狀犳狅狉狋犺犲犿狅犱犻犳犻犲犱犈犿犱犲狀狋狔狆犲犲狇狌犪狋犻狅狀 [ 犑 ]. 犑犘犺狔狊犃 : 犕犪狋犺犜犺犲狅狉,2007,40,4717. [5] 犌犔犃犇犠犐犖犘狉犪犱犲犲狆犚, 犆犎犃犖犇犚犃犛犈犓犃犚犞犓, 犛犈犖犜犎犐犔犞犈犔犃犖犕, 犔犃犓犛犎犕犃犖犃犖犕. 犖狅狀狊狋犪狀犱犪狉犱犮狅狀狊犲狉狏犲犱犎犪犿犻犾狋狅狀犻犪狀狊狋狉狌犮狋狌狉犲狊犻狀犱犻狊狊犻狆犪狋犻狏犲 / 犱犪犿狆犲犱狊狔狊狋犲犿狊 : 犖狅狀犾犻狀犲犪狉犵犲狀犲狉犪犾犻狕犪狋犻狅狀狅犳犱犪犿狆犲犱犺犪狉犿狅狀犻犮狅狊犮犻犾犪狋狅狉 [ 犑 ]. 犑犕犪狋犺犘犺狔狊,2009,50, [6] 犃犑犈犢犓. 犜犻狑犪狉犻, 犘犃犖犇犈犢犛犖, 犆犎犃犖犇犚犃犛犈犓犃犚犞犓, 犛犈犖犜犎犐犔犞犈犔犃犖犕, 犔犃犓犛犎犕犃犖犃犖犕. 犜犺犲犻狀狏犲狉狊犲狆狉狅犫犾犲犿狅犳犪犿犻狓犲犱犔犻犲狀犪狉犱 狋狔狆犲狀狅狀犾犻狀犲犪狉狅狊犮犻犾犪狋狅狉犲狇狌犪狋犻狅狀犳狉狅犿狊狔犿犿犲狋狉狔狆犲狉狊狆犲犮狋犻狏犲 [ 犑 ]. 犃犮狋犪犕犲犮犺犪狀犻犮犪,2016,227(7): [7] 丁光涛. 关于钱德拉塞卡构造拉格朗日函数方法的若干问题 [ 犑 ]. 安徽师范大学学报 : 自然科学版,2017,40(1):1-6. [8] 犕犈犐犉犡, 犠犝犎犅. 犇狔狀犪犿犻犮狊狅犳犮狅狀狊狋狉犪犻狀犲犱犿犲犮犺犪狀犻犮犪犾狊狔狊狋犲犿狊 [ 犕 ].2009, 犅犲犻犼犻狀犵 : 犅犲犻犼犻狀犵犐狀狊狋犻狋狌狋犲狅犳犜犲犮犺狀狅犾狅犵狔犘狉犲狊狊. [9] 梅凤翔. 动力学逆问题 [ 犕 ]. 北京 : 国防工业出版社,2009. [10] 丁光涛. 犖狅犲狋犺犲狉 犅犻狉犽犺狅犳动力学逆问题 [ 犑 ]. 中国科学 : 物理学 力学 天文学,2010,40: [11] 丁光涛. 从第一积分构造犔犪犵狉犪狀犵犲函数的直接方法 [ 犑 ]. 动力学与控制学报,2011,9: [12] 犛犃犚犔犈犜犠. 犛狔犿犿犲狋狉犻犲狊, 犳犻狉狊狋犻狀狋犲犵狉犪犾狊犪狀犱狋犺犲犻狀狏犲狉狊犲狆狉狅犫犾犲犿狅犳犔犪犵狉犪狀犵犻犪狀犿犲犮犺犪狀犻犮狊 [ 犑 ]. 犑犘犺狔狊犃 : 犕犪狋犺犌犲狀,1981,14: [13] 犎犗犑犕犃犖犛. 犆狅狀狊狋狉狌犮狋犻狅狀狅犳犔犪犵狉犪狀犵犻犪狀犪狀犱犎犪犿犻犾狋狅狀犻犪狀狊狋狉狌犮狋狉狌狉犲狊狊狋犪狉狋犻狀犵犳狉狅犿狅狀犲犮狅狀狊狋犪狀狋狅犳犿狅狋犻狅狀 [ 犑 ]. 犃犮狋犪犕犲犮犺,2015,226: [14] 丁光涛. 变分法逆问题研究的若干进展 [ 犑 ]. 北京大学学报 自然科学版,2016,52(4): 犗狀犆犺犪狀犱狉犪狊犲犽犪狉 狊犃狆狆狉狅犪犮犺犈狓狋犲狀犱犲犱狋狅犕狌犾狋犻 犇犻犿犲狀狊犻狅狀犪犾犛狔狊狋犲犿 犇犐犖犌犌狌犪狀犵 犜犪狅 ( 犆狅犾犲犵犲狅犳犘犺狔狊犻犮狊犪狀犱犈犾犲犮狋狉狅狀犻犮犐狀犳狅狉犿犪狋犻狅狀, 犃狀犺狌犻犖狅狉犿犪犾犝狀犻狏犲狉狊犻狋狔, 犠狌犺狌 24100, 犆犺犻狀犪 ) 犃犫狊狋狉犪犮狋 : 犃狀犪狆狆狉狅犪犮犺狋狅犮狅狀狊狋狉狌犮狋犻狅狀狅犳犔犪犵狉犪狀犵犻犪狀狆狉犲狊犲狀狋犲犱犫狔犆犺犪狀犱狉犪狊犲犽犪狉犲狋犪犾犻狊犲狓狋犲狀犱犲犱犳狉狅犿狅狀犲 犱犻犿犲狀狊犻狅狀犪犾狊狔狊狋犲犿狋狅犿狌犾狋犻 犱犻犿犲狀狊犻狅狀犪犾狊狔狊狋犲犿. 犜犺犲狆狉狅犫犾犲犿狊犻狀犵犲狀犲狉犪犾犻狕犲犱犆犺犪狀犱狉犪狊犲犽犪狉 狊犪狆狆狉狅犪犮犺犪狉犲狊狋狌犱犻犲犱. 犃狀犲狓犪犿狆犾犲犻狊犵犻狏犲狀狋狅犻犾狌狊狋狉犪狋犲狋犺犲犪狆狆犾犻犮犪狋犻狅狀狅犳狋犺犲狉犲狊狌犾狋狊. 犓犲狔狑狅狉犱狊 : 犆犺犪狀犱狉犪狊犲犽犪狉 狊犪狆狆狉狅犪犮犺 ; 犿狌犾狋犻 犱犻犿犲狀狊犻狅狀犪犾狊狔狊狋犲犿 ; 犔犪犵狉犪狀犵犻犪狀 ; 犳犻狉狊狋犻狀狋犲犵狉犪犾 107

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166 有色金属材料与工程 2016 年第 37 卷 在军事 航空和汽车等工程领域中, 齿轮等机械零件之间相互运动产生的摩擦磨损现象, 导致了大量机械的故障和失效, 给工业生产造成了重大损失 [1-3]. 据统计, 在工业生产的各个工程领域中, 因摩擦磨损而导致的机械失效, 占零件失效总量的 60%

166 有色金属材料与工程 2016 年第 37 卷 在军事 航空和汽车等工程领域中, 齿轮等机械零件之间相互运动产生的摩擦磨损现象, 导致了大量机械的故障和失效, 给工业生产造成了重大损失 [1-3]. 据统计, 在工业生产的各个工程领域中, 因摩擦磨损而导致的机械失效, 占零件失效总量的 60% 有色金属材料与工程 第 37 卷 第 4 期 犖犗犖犉犈犚犚犗犝犛犕犈犜犃犔犕犃犜犈犚犐犃犔犛犃犖犇犈犖犌犐犖犈犈犚犐犖犌 犞狅犾.37 犖狅.4 2016 文章编号 :1005-2046(2016)04-0165-06 犇犗犐 :10.13258/ 犼. 犮狀犽犻. 狀犿犿犲.2016.04.008 金属基固体自润滑复合材料研究现状及展望 胡艳艳 1,2, 刘耀 1,2, 张建波 1,2, 胡美俊

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