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1 無母數統計講義 賴耀宗編 3 年 月

2 目 錄 第一章課程回顧. 一 傳統統計推論法. 二 無母數統計方法. 三 隨機變數及其分布. 四 統計推論. 6 五 量度 第二章單一樣本之推論方法 Sec.. 適合度檢定 Sec... 卡方適合度檢定... Sec... Kolmogorov-Smrov Test Sec...3 Lllefors Test.. 9 Sec.. 獨立性檢定 Sec..3 聯立係數 5 Sec..4 符合檢定 5 Sec..5 Wlcoxo 符號等級檢定法... 9 Sec..6 母體中位數之區間估計 3 Sec..6. 利用 Sg Test-Thompso-Saver 法.. 3 Sec..6. 利用 Wlcoxo Sged-rak Test-odges-Lehma 法. 33 Sec..7 隨機性檢定 34 Sec..7. 連檢定 34 Sec..7. Rus-up-ad-dow Test.. 36 Sec..8 Cox-Stuart 檢定法 Sec..9 Jackkfe 方法... 4 習題二....4 第三章兩組獨立樣本之推論方法 44 Sec.3. 齊一性檢定 44 Sec.3.. 卡方檢定 Sec.3.. Kolmogorov-Smrov 兩樣本檢定法.. 47 Sec.3. Tukey 快速檢定法... 49

3 Sec.3.3 Westeberg-Mood 檢定法. 5 Sec.3.4 Fsher 真實檢定法.. 53 Sec.3.5 Wlcoxo 檢定法.. 55 Sec.3.6 Ma-Whtey Wlcoxo 檢定法. 56 Sec.3.7 Mood 檢定法 Sec.3.8 Moses 檢定法... 6 Sec.3.9 Wald-Wolfowtz 檢定法 Sec.3.7 ollader 極端反應檢定法 習題三 第四章兩組相關樣本之推論方法 7 Sec.4. 符號檢定法 7 Sec.4. Wlcoxo 檢定法 Sec.4.3 差額 D 之中位數 D 之區間估計.. 77 Sec.4.4 McNemar 符號檢定法 習題四....8 第五章多組獨立樣本之推論方法 8 Sec.5. 齊一性檢定法 8 Sec.5.Brow-Mood 檢定法.. 83 Sec.5.3 Kruskal-Walls 齊一性檢定法 Sec.5.4 Jockheere-Terpstra 檢定法.. 87 Sec.5.5Du 多重比較檢定法 Sec.5.6 Tukey 多重比較法....9 習題五 第六章多組相關樣本之推論方法 96 Sec.6. Fredma 檢定法 Sec.6. ollader-wolfe 檢定法 Sec.6.3 Page 檢定法..... Sec.6.4 Durb 檢定法及多重比較..... Sec.6.5 Cochra 檢定法 Sec.6.5 相對重要指數及其推論....6 習題六

4 無母數統計第一章 第一章課程回顧 一 傳統統計推論法 通常是假設母體之分布為常態分布, 而欲推論母體之平均數 或變異數 的值為何? * 為何總是假設母體分配為常態分配?. 自然界大多數現象之分布多屬常態分布. 計算容易因取自常態分布之獨立隨機樣本, 其線性組合亦是常態分布 3. 各種推論法之相關統計量的分布, 多易於求得, 如 :z 檢定法 t 檢定法 檢定法及 f 檢定法 * 若母體分布不為常態時, 要如何? --- 可引用中央極限定理 (Cetral Lmt Theorem CLT) 設一個母體之平均數為, 變異數為, 由該母體取出 個獨立之隨 機樣本 X, X,, X, 令 Z 之近似分布為 N (,) X X X, 而 Z, 當 趨近於 時, / 二 無母數統計方法 (oparametrc statstcs). 參數 ( 或母數 ): 描述母體特徵的量數謂之參數 (parameter), 常見者有位置參數 (locato parameter) 尺度參數(scale parameter) 及相關係數 (correlato coeffcet) 等. 無母數乃指未知資料來源之分布狀況, 故無涉任何參數, 所以稱為 無母數 3. 自由分配法 (dstrbuto-free method) 指統計方法之應用不受限於母體分布之型式, 即母體分配未知 ( 或母體分配不是常態分配 ) 時, 均可應用無母數統計方法 4. 無母數統計方法在推論母體之位置參數時, 不以母體位置參數 -- 平均數 為主要對象, 而常以中位數 為主要標的 5. 無母數統計方法在做資料分析時首重排序 ( 即比較大小 ), 或再賦予相關的等級 (rak)為使排序時, 避免產生打結 (te), 通常會假設相關變數為連續型

5 無母數統計第一章 三 隨機變數及其分布. 隨機變數 (radom varable r.v.) () 隨機變數為定義於樣本空間上之一個實數值函數 r.v. X : S R () 一隨機變數通常代表一種特定的現象, 即個體之某種特質, 其觀測值會因個體的不同而異 (3) 之所以引用隨機變數, 乃為了方便 (4) 統計量 (statstc) 即一個隨機變數 ( 統計量是描述樣本特徵的量數 ) (5) 隨機變數可分為間斷型隨機變數 (dscrete r.v.) 及連續型隨機變數 (cotuous r.v.). 樣本空間 (sample space) 在一個隨機實驗下, 所有可能結果所形成的集合謂之 3. 機率密度函數 (probablty desty fucto pdf) () 描述一個實驗之各樣本點的發生頻率 ( 比重 ) 的函數 () 設 r.v. X 之 pdf 為 f(x), 則 f ( x), x R, 且 () 當 X 為 dscrete r.v. 時, f ( x ) xr () 當 X 為 cotuous r.v. 時, f ( x ) dx R 4. 累計分布函數 (cumulatve dstrbuto fucto cdf) 設 r.v. X 之 pdf 為 f(x), 令 F( x) P( X x), 則 F(x) 稱為 r.v. X 之 cdf 而 () P( a X b) F( b) F( a) () Lm F( x) 且 Lm F( x) x x (3) F(x) 為遞增函數 5. 二項分布 () 將一個伯努利試行重覆獨立地做 次, 設 r.v. X 表 次實驗中成功的總次數, 則 X 稱為二項隨機變數 () 設伯努利試行之成功率為 p, 則 X 之 pdf 為

6 無母數統計第一章 C f ( x) x x p ( p) x, x,,,, ow. 而比分佈稱為二項分佈, 記為 X ~ B(, p) (3) 設 r.v. X ~ B(, p), 則 X 之動差母函數為 M ( t) ) (4) 設 r.v. X ~ B(, p), 則 E[ X ] p, Var[ X ] p( p) (5) 設 r.v. X ~ B(, p), 而 Y = - X, 則 Y ~ B(, p) (6) 設 r.v. X ~ B(, p), Y ~ B(, p), 且 X 與 Y 獨立, 則 X Y ~ B(, p) X t ( q pe (7) 設 r.v. X ~ B(, p), 若, 則 X 之近似分布為 N( p, p( p)) 上述近似情況須滿足以下二條件 :() p 5 且 () ( p) 5 (8) 利用常態分布, 求二項分布之近似機率時, 應做連續性修正 (cotuous adjustmet), 即上下界需各延伸.5, 亦即 P ( axb) P( a.5x b.5), 其中 a 與 b 為非負整數 (9) 設 r.v. X ~ B(, p), 若 且 p, 則 X 之近似分布為 P ( p ) o 6. 幾何分布 () 將一個伯努利試行重複獨立地做, 設 r.v. X 表直到首次出現成功為止, 其實驗的總次數, 則 X 稱為幾何隨機變數 () 設該伯努利試行之成功率為 p, 則 X 之 pdf 為 p( p) f ( x) x-, x,,, ow. 而此分布稱為幾何分布, 記為 X~G(p) (3) 設 r.v. X ~ G(p), 則 E[ X] / p, Var[ X ] ( p) / p 7. 負二項分布 () 將一個伯努利試行重複獨立地做, 設 r.v. X 表直到第 k 次出現成功為止, 其失敗之總次數, 則 X 稱為負二項隨機變數 (egatve bomal r.v.) () 設該伯努利試行之成功率為 p, 則 r.v. X 之 pdf 為 C p p x f( x), ow. xk x k k ( ),,, 而此分布稱為負二項分布, 記為 X ~ NB(k, p) 3

7 無母數統計第一章 (3) 幾何分布為負二項分布之特例, 即 k = 8. 卜瓦松分布 () 卜瓦松過程 若一個試驗滿足以下三條件, 則稱其為卜瓦松過程 (Posso process): () 在極短的範圍 ( 區間 ) 內, 其發生一個以上事件之機率趨近 () 在極短的範圍 ( 區間 ) 內, 其發生一個事件之機率與該區間長度成正 比 () 若二區間互斥, 則此在二區間中, 所發生事件之次數彼此獨立 () 設一個卜瓦松過程, 在單位時間內平均發生 個事件, 設 r.v. X 表在此 單位時間內事件發生之次數, 則 X 稱為卜瓦松隨機變數, 其 pdf 為 x e, x,, f( x) x!, ow. 則此分布稱為卜瓦松分布, 記為 X ~ Po ( ) ( e ) (3) 設 r.v. X ~ P ( ), 則 r.v. X 之動差母函數為 M () t e o (4) 設 r.v. X ~ Po ( ), 則 EX [ ], Var[ X ] (5) 設 X ~ Po ( ) 及 X ~ Po( ), 且 X 與 X 獨立, 則 X X ~ Po( ) X t 9. 珈瑪分布 () 在卜瓦松過程下, 設 r.v. X 表其發生 個事件所經歷的時間, 而該卜瓦松過程發生一個事件平均所經歷的時間為, 則 X 稱為珈瑪隨機變數, 其 pdf 為 x x e, x f( x) ( ), ow. 則此分布稱為珈瑪分布, 記為 X ~ Gamma (, ) () 設 r.v. X ~ Gamma (, ), 則 X 之動差母函數為 M ( t) ( t) (3) 設 r.v. X ~ Gamma (, ), 則 EX [ ], Var[ X ] (4) 設 r.v. X ~ Gamma (, ), X ~ Gamma (, ), 且 X 與 X 獨立, 則 X X ~ Gamma (, ) X 4

8 無母數統計第一章. 指數分布 () 設 r.v. X 之 pdf 為 x e, x f( x), ow. 則此分布稱為指數分布, 記為 X ~ Eep( ) () 設 r.v. X ~ Eep( ), 則 r.v. X 之動差母函數為 M ( t) /( t) (3) 設 r.v. X ~ Eep( ), 則 EX [ ] /, Var[ X ] / (4) 指數隨機變數表卜瓦松過程下, 發生一個事件所經歷之時間, 故指數 分布是珈瑪分布的特例, 即 (5) 具失憶性 (memoryless property), 即 P( X a b X b) P( X a) X. 均勻分布 () 設 r.v. X 之 pdf 為, a x b f( x) b a, ow. 則 X 稱為均勻隨機變數 (uform r.v.), 其分布稱為布於 (a, b) 上之均勻分 布, 記為 X ~ U( a, b ) () 設 r.v. X ~ U( a, b ), 則 E[ X ] ( a b) /, Var[ X ] ( b a) / (3) 設 c.r.v. X 之 cdf 為 Fx, ( ) 令 Y F( x), 則 Y ~ U (,). 常態分布 () 設 r.v. X 之 pdf 為 ( x) e, x R f( x), ow. 則稱 X 為常態隨機變數, 而其分布為常態分布, 記為 5 X ~ N(, ), 其 中 EX [ ] 決定分布之中心位置 ( 對稱中心 ) Var[ X ] 決定鐘形之 形狀 t () 設 r.v. X ~ N(, ), 則 X 之動差母函數為 () t M t e (3) 設 r.v. X ~ N(, ),,,,, 且 X, X,, X 彼此獨立, 則 X, X,, X 之線性組合亦為常態分布, X

9 無母數統計第一章 亦即 : a X ~ N(, ) 其中 a, a (4) 標準常態分布 : 若 Z ~ N (,), 則 Z 之分布為標準常態分布 四 統計推論. 點估計 () 可利用 () 最大概率估計量 (maxmum lkelhood estmator MLE) () 估計量之性質 () 動差法 (momet method MM) () 最小平方法 (least square method LSM) () 不偏性 (ubasedess) * 意義 : 長期為之, 平均做對 ( 猜對 ) 了 * 定義 : 設 X, X,, X 為取自 pdf 為 f( x ) 之母體的 個獨立隨機樣本, 其中 為參數令 ˆ ˆ( X,,, ) X X, 若 E[ ˆ ], 則稱 ˆ 為 之不偏估計量 () 一致性 (cosstecy) * 意義 : 在資源無限下, 理應做對 ( 猜對 ) 了 * 定義 : 設 X, X,, X 為取自 pdf 為 f( x ) 之母體的 個獨立隨機樣本, 其中 為參數令 ˆ ˆ (,,, ) X X X, 若 Lm P( ˆ ),, 則稱 ˆ 為 之一致估計量 * 若 ˆ 為 之不偏估計量, 且 LmVar[ ˆ ] 估計量 () 有效性 (effectveess), 則稱 ˆ 為 之一致 * 意義 : 指在不偏的要求下, 所需承擔之風險 ( 變異數 ) 為最小者 * 定義 : 設 X, X,, X 為取自 pdf 為 f( x ) 之母體的 個獨立隨機樣本, 其中 為參數令 ˆ ˆ( X,,, ) X X, 且 E [ ˆ] 若 Var ˆ] Var[ ˆ ], ˆ st E[ ˆ ], 則稱 ˆ 為 之最有效估計量 [ 對參數 之二不偏估計量而言, 吾人稱其變異數較小者比變 異數較大者有效 參數 之所有不偏估計量中, 其變異數最小者稱之為 之最 有效估計量 6

10 無母數統計第一章 (v) 充分性 (suffcecy) * 意義 : 指統計量已涵蓋樣本 ( 資料 ) 之所有訊息 * 定義 : 設 X, X,, X 為取自 pdf 為 f( x ) 之母體的 個獨立隨機樣本, 其中 為參數令 ˆ ˆ( X,,, ) X X, 在給定 ˆ 之 值的情況下, 若 X, X,, X 之條件機率密度函數 (codtoal probablty desty fucto) 與 無關, 則稱 ˆ 為 之充分估計量 * 分解定理 重要結論 : () 設 X, X,, X 為取自分布為 中 與 均未知, 且無關, 則 X N (, ) () X 為 之最佳點估計量 () S ( X X ) 為 之最佳點估計量 () 設 r.v. X ~ B(, p ), 則 p 之最佳點估計量為 pˆ 之母體的 個獨立隨機樣本, 其 X (3) 設 X, X,, X 為取自分布為 Po ( ) 之母體的 個獨立隨機樣本, 則 之最佳點估計量為 ˆ X. 區間估計 () 設 X, X,, X 為取自 pdf 為 f( x ) 之母體的 個獨立隨機樣本, 其中 為參數令 a a( X, X,, X ), b b( X, X,, X ) P( a( X, X,, X ) b( X, X,, X )), 則 (a, b) 為 之信賴 若 度為 ( )% 的信賴區間 (cofdece terval CI) () 區間估計之步驟 Step-: 先求所欲估參數 最佳點估計量 ˆ Step-: 決定統計量之分布 Step-3: 求 CI 3. 檢定 () 利用樣本觀測值, 判斷有關母體未知情況之假設的真偽 () 假設 (hypothess): 即有關母體之未知情況的描述 (3) 假設依主從可分為 : 7

11 無母數統計第一章 () 虛無假設 (ull hypothess) * 是檢定的主要對象 * 在設定假設時, 通常把懷疑的項目擺在虛無假設而希望檢定的結果 能推翻它 * 通常記為 * 虛無假設決定於 : 研究的企圖心 與歷史資料的比較 理論的認知 及與 的比較 ( 常見於迴歸分析 ) () 對立假設 (alteratve hypothess) * 是附屬於虛無假設的, 主要用以確定檢定的型式 * 虛無假設與對立假設必須互斥, 且最好二者具有周全性 對 vs : : ( ) 而言, 其實它與 : vs : * 通常記為 a 或 (3) 檢定可能發生之錯誤 () 第一型錯誤 (Type I error): 同義 當 為真, 而檢定的結果為棄卻 (reject) () 第二型錯誤 (Type II error): 當 為不真, 而檢定的結果為接受 (accept) 行 動 結果 狀 況 為真 為假 接受 rght Type II error 棄卻 Type I error rght (4) 檢定的哲理 () 檢定犯錯是在所難免的 () 若欲使檢定不犯錯, 代價何其高!? 盡信書, 不如無書 盡信統計, 不如無統計 () 基於資源有限, 故吾人限制 Type I error 之發生率須小於某一個程 度, 亦即我們盡全力保護 (v) 當檢定的結果為棄卻 時, 將獲致一個十分肯定的結果 -- 確實 不真, 這是我們所稱的 統計顯著性 (statstcal sgfcace) 統計顯著性 : 指在虛無假設下, 發生如此結果之機率是微乎其微, 8

12 無母數統計第一章 所以推翻虛無假設是具統計顯著性, 亦即 顯著不真舉例來說, 投擲一個公正的銅板 次, 理應正反面出現的次數相去不至於太 大, 如今卻看見正面出現 9 次, 故認為銅板不可能是公正的 (v) 相對的, 當檢定的結果為接受 時, 其結果是弱的, 不過可由檢定 的效力來探討它實質的意義 (v) 檢定的陷阱 -- 統計顯著性的迷失 在資源充足 ( 無限 ) 之情況下, 只要真實情況與虛無假設有些許差 異, 在檢定時都會是棄卻虛無假設 (v) 實用顯著性 考量成本與效益, 有些情況即使是無法達到統計顯著性, 但在實際 應用上仍有其價值的 (5) 檢定型式 : () 左尾檢定 : vs a : () 右尾檢定 : vs a : () 雙尾檢定 : vs a : (6)Neyma-Pearso Theorem( 由此定理便可以推得相關的檢定規則 ) (7) p-value(tal probablty) () 一般來說, 檢定的規則與統計假設有關, 亦即在雙尾檢定時, 通常是 相關檢定統計量之觀測值偏大或偏小時, 檢定具統計顯著性 在右尾 檢定時, 通常是相關檢定統計量之觀測值偏大時, 檢定具統計顯著 性 又在左尾檢定時, 通常是相關檢定統計量之觀測值偏小時, 檢定 具統計顯著性 () p-value 乃檢定統計量之尾部機率設檢定統計量為 S, 檢定時之觀 測值為 s * : 在右尾檢定時,p-value P S s ) ( * 在左尾檢定時,p-value P S s ) ( * 9

13 無母數統計第一章 在雙尾檢定時,p-value M ( P( S s ), P( S )) * s* () 引用 p-value 來判定檢定之結果時, 其 Decso rule 為 If p value reject ow accept. (8) 檢定的基本步驟 : () 設立統計假設 () 選取顯著水準 () 選取檢定統計量 檢定統計量為何? 檢定統計量之分布為何? (v) 決定檢定規則 (v) 計算, 並下決策 五 量度. 統計方法要處理的資料通常是數量化的 (Quattatve), 簡單說就是數字若資料為質量化 (Qualtatve) 時, 往往須先將其數字化. 量度 (Measuremet): 即利用某種器具 (Istrumet, 工具 ) 來度量 (Measure, 評量 評估 量或測量 ) 人或物具有某一種特質的量 ( 程度 ), 而這個量是必須用數字來描述或紀錄的 3. 任何要度量的特質即所謂的變數, 而量度便是將模糊的概念轉換成明確定義之變數的過程 4. 量度的尺度 () 量度尺度 (Scale) 的種類有 : (a) 名目尺度 (Nomal scale) (b) 順序尺度 (Ordal scale) (c) 區間尺度 (Iterval scale) (d) 比例尺度 (Rato scale) 名義尺度 次序尺度 等距尺度 等比尺度

14 無母數統計第一章 5. 名目尺度如果一個性質的量度, 只是依據這個性質決定個體分屬的類別, 則稱此量度為名目尺度例如 : 性別 年級 居住區域 種族等 名目尺度之資料只能做分類, 不得比較大小及做算數運算 6. 順序尺度如果一個性質的量度, 能分辨任兩個個體中到底何者擁有這個性質的程度高, 則稱此量度為順序尺度例如 : 名次 優先順序等 順序尺度之資料只能比較大小, 不得做算數運算 順序尺度之資料間之差距及比值均無特定的意義 7. 區間尺度如果一個性質的量度, 能分辨任兩個個體所擁有這個性質之程度的差異, 則稱此量度為區間尺度例如 : 溫度 重量 長度 時間 金額 年齡等 區間尺度之資料除了可比較大小外, 亦可做算數運算 區間尺度之資料間之差距是有特定的意義, 但彼此間的比值則無意義例如 :6 C 比 C 熱 4 C, 但 6 C 並非 C 的 3 倍熱 8. 比例尺度如果一個性質的量度, 不但能分辨任兩個個體所擁有這個性質之程度的差異, 尚可說明彼此間擁有這個性質之程度的比值, 則稱此量度為比例尺度例如 : 重量 長度 時間 金額 年齡等 比例尺度之資料除了可比較大小外, 亦可做算數運算 比例尺度之資料間之差距及比值均有特定的意義例如 :4kg 比 kg 重 3kg, 同時 4kg 是 kg 的 4 倍重 比例尺度必為區間尺度, 但區間尺度未必為比例尺度 之所以為比例尺度, 端視其是否有一個有意義的 ( 亦即所謂的絕對原點 ) 9. 量度的尺度與統計方法 * 切記 : 量度的尺度深刻影響統計分析方法, 以下表揭示其端倪 :

15 無母數統計第一章 結果 量度之尺度名目尺度順序尺度區間尺度比例尺度 眾數 中位數 平均數 標示 者, 表示其結果有意義

16 無母數統計第二章 第二章單一樣本之推論方法 Sec.. 適合度檢定 適合度檢定乃在檢定母體之分布的型式常用之適合度檢定法有卡方檢定法 及 K-S 檢定法 Sec... 卡方適合度檢定 卡方檢定法是最常用的適合度檢定法, 除了可檢定適合度外, 尚可檢定獨立性與齊一性. 基本假設 () 個樣本須由母體隨機 獨立取得 () 資料量度的尺度, 只要是名目尺度即可 (3) 樣本可依某一種特性, 分成 k 類 ( 組 ) 令各類之觀測次數, 依序為 O, O,, Ok, 且 O. 統計假設 母體之分布為 F ( x) vs a : 母體之分布不為 F( ) : x 3. 檢定之統計量 ()Uder, 計算出各類 ( 組 ) 之發生率 k, p, pk, 其滿足 p, () 利用 e p, 計算各類 ( 組 ) 之期望次數 e, e,, ek (3) 求相關殘差平方和 Uder k ( o e) ~ ( k r) e p 其中 ()k 為組數 ()r 為所需估計之參數的個數 () 為總額的限制 4. 檢定規則 () 當 為真的, 期望次數與觀測次數應相去不遠, 亦即相關殘差平方和 應 不至於太大, 故相關殘差平方和偏大時, 表 不真 () 檢定規則為 If ( k r ) reject o. w. accept. 3

17 無母數統計第二章 (3) 卡方分布之機率表可查閱 p.644 附表 5. 注意事項 : () 在分組時, 各組之期望次數宜不小於 5, 若小於 5, 宜與鄰近組合併 () 組數太少, 會降低檢定的敏感度 (3) 當 之自由度為 時, 應做葉氏修正 (Yate s adjustmet) k ( o e ) 亦即 : ~ () e 例. 真理公司之人事部門欲了解員工離職情況是否與季節因素影響, 乃收集前 一年度員工離職情況, 如下表所示 : 季節春夏秋冬 辭職人數 9 9 試在顯著水準. 5 下, 檢定該公司員工離職是否與季節因素有關 ( 亦即是否員 工在每一季節離職機率都相同 )? 解 :() 設立統計假設 : 員工在各季節離職機率均相同 vs員工在各季節離職機率不全相同 () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 組別 觀測次數 o 機率 p e p ( o e ) e Total Uder (4) 檢定規則為 4 ( o e) ~ (4 ) (3) e If (.5 3) 7.84 reject ow accept. (5) 決策 4

18 無母數統計第二章 reject 例. 某工廠在 9 年中每週機器故障的次數如下表所示 : 機器故障次數 或更多 週數 試在顯著水準. 5 下, 檢定該工廠每週機器故障的次數是否呈平均數為.之卜瓦松分布? 解 : 設 X 表該工廠每週機器故障的次數 () : X ~ Po (.) vs : X 的分布非 Po (.) () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 組別 故障數觀測次數 o 機率 p e p ( o e ) e 或以上 Total Uder (4) 檢定規則為 4 ( o e) ~ (4 ) (3) e If (.5 3) 7.84 reject ow accept. (5) 決策 accept 例. ( 續 ) 試在顯著水準. 5 下, 檢定該工廠每週機器故障的次數是否呈卜瓦 松分布? 解 : 設 X 表該工廠每週機器故障的次數 () : X ~ Po( ) vs : X 的分布非 Po( ) () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 5

19 無母數統計第二章 先估計參數 之值 : ˆ X ( ) 5 組別 故障數觀測次數 o 機率 p e p ( o e ) e 或以上 Total Uder 宜做葉氏修正 (4) 檢定規則為 3 ( o e) ~ (3) () e If (.5 ) reject ow accept. (5) 決策 accept Sec... Kolmogorov-Smrov Test (K-S Test). 基本假設 () 設 X, X,, X 為取自分布為 F(x) 之母體的 個獨立隨機樣本 () 變數的尺度至少為順序尺度. 統計假設 : F( x) F ( x) vs : F( x) F ( x) () a : F( x) F ( x) vs : F( x) F ( x) () a : F( x) F ( x) vs : F( x) F ( x) (3) a 3. 統計量及分布 () 對樣本 X, X,, X 而言, 其樣本之經驗分布 (emprcal dstrbuto) 為 6

20 無母數統計第二章 S 個樣本中其觀測值 x之個數 ( x) () 各種假設可利用之統計量 () 當 a : F( x) F ( x) D Sup S x F x x ( ) ( ) () 當 a : F( x) F ( x) D Sup( F ( x) S ( x)) () 當 a : F( x) F ( x) x D Sup( S ( x) F ( x)) x 有關統計量 D( 或 D, D ) 之機率表可查閱 p.676 附表 4. 檢定規則 () 當 則真時,D( 或 D, D ) 不至於太大, 故當 D( 或 D, D ) 偏大時, 表 不真 () 各檢定型式之檢定規則 : () 當 a : F( x) F ( x), 檢定規則為 If D D / ( ) reject ow accept. () 當 a : F( x) F ( x), 檢定規則為 If D D ( ) reject ow accept. () 當 a : F( x) F ( x),decso rule 為 If D D ( ) reject ow accept. 5. test 與 K-S test 之比較 () 資料之尺度至少為順序尺度方可用 K-S 檢定法, 而 檢定法適用於各種尺 度 () 對樣本數而言, 檢定法須較大之樣本數, 而 K-S 檢定法無須太大 (3) 無論統計假設之型式為何, 檢定法均為右尾檢定 而 K-S 檢定法則不然 7

21 無母數統計第二章 例 3. 為探討大學生對新稅制的看法, 乃隨機抽出 4 人調查他們的意見, 得以 下資料 : 意見反應等級 人數 試在顯著水準. 5 下, 檢定大學生對新稅制的看法是否有特別傾向? 解 :() : p p j, j vs : p p j, for some j () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 (4) 檢定規則為 D Sup S x F x x ( ) ( ) If D D.5(4) reject ow accept..36 其中 D (4). 49 (5) 計算與決策.5 4 意見等級人數累計人數 S (x) F ( ) S ( x) F ( x) x D D..49 reject 例 4. 真理超市觀察早上 9:~9: 顧客入場的情況, 得以下資料 : 顧客入場人數 天數 試在顯著水準. 5 下, 檢定該超市每日早上 9:~9: 到場顧客人數是否呈 平均數為 之卜瓦松分布? 8

22 無母數統計第二章 解 : 設 X 表每日早上 9:~9: 到場之顧客人數 () : X ~ Po () vs : X 的分布非 Po () () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 (4) 檢定規則為 D Sup S x F x x ( ) ( ) If D D.5() reject ow accept..36 其中 D (). 36 (5) 計算與決策.5 到場人數天數累計天數 S (x) P( X x) F ( ) S ( x) F ( x) D D accept x Sec...3 Lllefors Test 在引用 K-S test 時, 其所假設之機率分布的參數必須為已知而當所假設之分布為常態分布, 且二參數為未知時, 則可引用 Lllefors test, 故 Lllefors test 為 K-S test 之變形, 而相關機率可查附表 34(p.765) 例 5. 由真理燈具公司所生產之省電燈泡隨機抽出 8 件量其壽命, 得壽命值如下 所示 : 試在顯著水準. 5 下, 檢定該型燈泡之壽命是否呈常態分布? 解 : 設 X 表該型燈泡之壽命 9

23 無母數統計第二章 () : X ~ N(, ) vs : X之分布不是常態分布 () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量為 D Sup S ( ) ( ) x F x (4) 檢定規則為 x If D D.5(8) reject ow accept. 其中 D (8) (5) 計算與決策先估計參數 : ˆ X 673.5, ˆ S x z ˆ x ˆ S ( ) x F ( x) ( z) S x F x ( ) ( ) D accept Sec.. 獨立性檢定 旨在探討有關母體之二分類因子 ( 即二變數 ) 是否彼此獨立?. 基本假設 : () 由母體取出 個獨立隨機樣本 () 行因子有 c 個 level, 列因子計有 r 個 level 令第 列第 j 行之 cell 之觀測次 數為 o,,,, r j,,, c, 且 j r c o j j 第 列之觀測次數為,,,, r. r, 且. c 第 j 行之觀測次數為. j, j,,, c, 且. j (3) 相關資料之列聯表如下所示 : j

24 無母數統計第二章 觀測次數 o j 行因子 C C. C c 列 R o o. c 因 R o o. c 合計 o. o. ( ) o. o. ( ) 子 R r o r r o. rc o r. o r. ( ) 合計. ( o.). ( o.).. c( o. c) o (..). 統計假設 : : 行因子與列因子彼此獨立 ( 無關 ) vs a : 行因子與列因子彼此不獨立 ( 有關 ) 3. 統計量及分布 () 符號 r c () 設 p j 表第 列第 j 行之發生率, 且 pj j r () 設 p. 表第 列之發生率, 且 p. c () 設 p. j 表第 j 行之發生率, 且 p. j ()Uder : j () p p. p.,,,, r j,,, c j j.. j () pˆ ˆ ˆ j p. p. j,,,, r j,,, c, 其中 p p j. 及 p. j 分別 依序為 p j p. 及 p. j 之估計量 () 第 列第 j 行之期望次數為.. j e ˆ ˆ ˆ j pj p. p. j,,,, r j,,, c (3) 相關殘差平方和 r c ( o j ej ) Uder : ~ (( r)( c)) e 4. 檢定規則 j j () 當 為真的, 期望次數與觀測次數應相去不遠, 亦即相關殘差平方和 應 不至於太大, 故相關殘差平方和偏大時, 表 不真

25 無母數統計第二章 () 檢定規則為 If ( ( r )( c )) reject o. w. accept. 5. 注意事項 () 當 r = c = 時, 即列聯表如下所示 : B 標準 A 標準 B 非 B A 非 A Total a c b d a+b c+d Total a+c b+d a+b+c+d = 之值可簡化如下 : () 未做葉氏修正 : ( o e ) ( ad bc) ~ () e ( a b)( c d)( a c)( b d) j j j j () 做葉氏修正 : ( o e ) ( ad bc ) ~ () e ( a b)( c d)( a c)( b d) j j j j 例 6. 今隨機由全國抽出 3 名 3~4 歲的居民, 以了解城鄉居民的受教情況, 得以下資料 : 區域 教育 國中 ( 含 ) 以下高中 職大專研究所和 都市 鄉村 和 試在顯著水準為.5 之情況下, 檢定該國 3~4 歲的居民受教育之情況是否與 居住區域有關? 解 :() 受教育之情況與居住地無關 ( 獨立 ) vs : 兩者有關 : () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 :

26 無母數統計第二章 Uder : 4 ( o j ej ) ~ (( r)( c)) (3) e j j (4) 檢定規則為 If (.53) reject ow accept. 其中 (.53) (5) 計算與決策 教育區域 國中 ( 含 ) 以下 高中 職 大專 研究所 和 都市 () (5) (55) (5) 5 鄉村 () (5) (55) (5) 5 和 ( o ) j ej (9 ) (39 5) ( 5) e 5 5 j j reject. 例 7. (Smpso s paradox ) A 校在 年入學申請審查結果, 如以下各表 ( 表一 ~ 表三 ) 所示 : 表一 : 性別 電機學程接受拒絕 男性 5 75 女性 3 5 表二 : 性別 外文學程接受拒絕 男性 6 女性 6 8 表三 : 性別 電機及外文學程接受拒絕 男性 7 35 女性

27 無母數統計第二章 試在顯著水準為.5 之情況下, 檢定 :. 對電機學程而言, 審察結果是否與性別有關?. 對外文學程而言, 審察結果是否與性別有關? 3. 對 A 校 ( 包括電機與外文學程 ) 而言, 審察結果是否與性別有關? 解 :. 對電機學程而言, 審察結果是否與性別有關 : () : 電機學程之審查結果與性別無關 ( 獨立 ) vs : 兩者有關 () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 : Uder : (4) 檢定規則為 ( ad bc ) ~ () ( a b)( c d)( a c)( b d) If (.5) reject ow accept. 其中 (.5) 3.84 (5) 計算與決策 ( ad bc ) ( a b)( c d)( a c)( b d) 7 ( ) 7 (5 75)(3 5)(5 3)(75 5) accept.. 對外文學程而言, 審察結果是否與性別有關 : () : 外文學程之審查結果與性別無關 ( 獨立 ) vs : 兩者有關 () (3) 及 (4) 同前 (5) 計算與決策 ( ad bc ) ( a b)( c d)( a c)( b d) 3 ( 8 66 ) 3 ( 6)(6 8)( 6)(6 8) accept. 3. 對全校 ( 包括電機與外文學程 ) 而言, 審察結果是否與性別有關 : 4

28 無母數統計第二章 () : 全校之審查結果與性別無關 ( 獨立 ) vs : 兩者有關 () (3) 及 (4) 同前 (5) 計算與決策 ( ad bc ) ( a b)( c d)( a c)( b d) 59 ( ) 59 (7 35)(9 95)(7 9)(35 95) reject. 辛普森詭論 (Smpso s paradox ): 指將數組資料合併後, 變數間之相聯性 的強度可能改變, 甚至方向也改變的現象 Sec..3 聯立係數 乃卡方獨立性檢定之延申, 旨在了解二分類因子之相關程度, 而以聯立係數 C 表示該二因子之相關程度,C 定義為 C 其中 為相關殘差平方和, 為樣本數 例 6. ( 續 ) 求教育程度與居住區域之聯立係數 C? 解 :.866 C Sec..4 符號檢定 (Sg Test) * 常見的集中量數有 : () 平均數 (mea) EX [ ], 其代表隨機變數 X 分布之集中位置, 而 經常是傳 統統計推論工作主要推論的對象 ( 當 X 分布近似對稱時, 以 來描述分布 之中心位置是再恰當也不過 ) 5

29 無母數統計第二章 () 中位數 (meda) () 設 X 為一個 r.v., 若 PX ( ) / 且 PX ( ) /, 則 為 r.v.x 之中位 數 () 當 X 之分布為對稱時, 則 () 當 X 之分布不為對稱時, 以 來描分布的中間位置較為恰當 (v) 對位置參數而言, 無母數統計主要推論的對象為 (3) 眾數 (Mode) M o () 設 r.v.x 之 pdf 為 f(x), 若 f ( Mo) Max f ( x) 則 M o 為 r.v.x 之之眾數 () 當 X 之分布為單峰且對稱時, 則 M () 通常 M 不是恰當的位置指標 o x o * 符號檢定通常用於檢定一母體之中位數, 相關規定說明如下 :. 基本假設 () 設 X, X,, X 為取自中位數為 之母體的 個獨立隨機樣本 () 變數的尺度至少為順序尺度 (3) 變數為連續型. 統計假設 : vs a : () : vs a : () : vs a : (3) 3. 統計量 () 令 D X,,,, () 設 T 表 D, D,, D 之正號數 (3)Uder : T ~ B(,.5) 二項機率表見 p.654 附表 5 (4) 當 夠大 ( ) 時 T 之近似分布為 N( /, / 4) 常態機率表見 p.643 附表 4. 檢定規則 () 為小樣本時 6

30 無母數統計第二章 () 當 a : 雙尾檢定故檢定規則為 If T b(,.5) or T b (,.5) reject ow accept. () 當 a : 左尾檢定故檢定規則為 If T b (,.5) reject ow accept. () 當 a : 右尾檢定故檢定規則為 If T b (,.5) reject ow accept. () 當 為大樣本時 () 當 a :, 檢定規則為 If Z Z reject ow accept. () 當 a :, 檢定規則為 If Z Z reject ow accept. () 當 a :, 檢定規則為 If Z Z reject ow accept. 5. 注意事項 : () 引用常態分布來求二項分布之近似機率時, 宜做連續性修正 () 產生 D 時, 應把該項資料刪除 例 8. 今由一母體隨機抽出一組獨立樣本, 量其某一性質 ( 如直徑 ) 得由小而大排 列之觀測值如下 :( 單位 : 毫米 ) 7

31 無母數統計第二章.6, 3.8, 4.5, 4.6, 4.8, 5., 5., 5., 5.4, 5.5, 5.7, 5.8, 6. 試在顯著水準為.5 之情況下, 利用 Sg Test 檢定母體中位數是否小於 5.8? 解 : 設母體中位數為 () 5.8 vs : 5. 8 : () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 : 設 T 表 X 5.8,,,, 之正號數 Uder : T ~ B (,.5) ( 註 : 樣本 5.8 被刪除 ) (4) 檢定規則為 If T b.5() reject ow accept. 其中 b.5() ( 其實 b.9() ) (5) 計算與決策 T reject 另解 : () 與 () 同前 (3) 檢定統計量 : 設 T 表 X 5.8,,,, 之正號數 Uder : T ~ B (,.5) 因 = 為大樣本, 故 T 之近似分布為 N (6,3) (4) 檢定規則為 (5) 計算與決策 T If Z z reject ow accept. T 6 6 而 z reject. 例 9. 由一產線上按一定時間間隔取出樣本度量重量, 在由小而大排列得以下資 料 : 8

32 無母數統計第二章 65.8, 66., 66.3, 66.8, 67., 67., 67., 67.5, 67.6, 67.7, 67.9, 68., 68., 68.3, 68.4, 68.5 ( 單位公克 ) 試在顯著水準為.5 之情況下, 利用符號檢定法, 以檢定產品重量之中位數 是 否大於 66 公克? 解 :() 66. vs : 66. : () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 : 設 T 表 X 66.,,,, 之正號數 Uder : T ~ B (5,.5) ( 註 : 樣本 66. 被刪除 ) (4) 檢定規則為 If p value.5 reject ow accept. (5) 計算與決策 : T = 4, p value P( T 4).5.5 reject Sec..5 Wlcoxo 符號等級檢定法 (Wlcoxo Sged-raks Test) * 符號檢定法有一個比較明顯的缺點, 乃在於只在乎觀測值是否大於 ( 或小於 ) 中 位數 而忽略二者差異的大小, 如此必然會損失部分資訊 例如 : 5 時, X 55 得 個 + X 55 亦得 個 +, 顯然損失了很多資訊. 基本假設 () 設 X, X,, X 為取自中位數為 之母體的 個獨立隨機樣本 () 變數為連續型 (3) 母體之分布為對稱的 (4) 至少為區間尺度. 統計假設 9

33 無母數統計第二章 () : vs a : () : vs a : (3) : vs a : 3. 統計量 () 令 D X,,,, () 將 D,,,, 由小而大排列, 依序分別賦予等級 (rak) 值,,, (3) 累加 D 為正號之等級值, 令其為 W 累加 D 為負號之等級值, 令其為 W 又令 W M( W, W ) 明顯地 : () W ( ) (W 亦同 ) () W W ( ) (4) 當 為真時, W ( W, W ) 應不至於太大 ( 或太小 ), 所以當上述統計量偏大 ( 或偏小 ) 時, 表 為不真 4. 檢定法則 () 當 a : 雙尾檢定故檢定規則為 If W W ( ) reject ow accept. () 當 a : 左尾檢定故檢定規則為 If W W ( ) reject ow accept. (3) 當 a : 右尾檢定故檢定規則為 If W W ( ) reject ow accept. W () 之值可查 p.679 附表 3

34 無母數統計第二章 5. 注意事項 : () 當 夠大 ( 3 ) 時 W ( W ) 之近似分布為 N(, ), 其中 ( ) 4, ( )( ) 4 故當 夠大時, 此檢定之檢定規則與 z 檢定相同 () 產生 D 時, 應把該項資料刪除 (3) 產生打結 (te) ( 即某些 D 之絕對值相同 ) 時, 則平分該等級和 例. 今由一母體隨機抽出一組獨立樣本, 量其某一性質 ( 如血壓 ) 得由小而大排 列之觀測值如下 :, 5, 8,, 3, 5, 3, 34, 35, 45, 5, 55, 58, 6 試在顯著水準為.5 之情況下, 利用 Wlcoxo 符號等級檢定法檢定母體中位數 是否小於 55? 解 : 設母體中位數為 () 55 vs : 55 : () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 X D X 55 D 之等級 W.5 3.5, ( W W ( ) W 9 3.5) (4) 檢定規則為 If W W.5(3) reject ow accept. 其中 W.5(3) (5) 計算與決策 W 3.5 reject 例. ( 續 ) 試在顯著水準為.5 之情況下, 利用 Wlcoxo 符號等級檢定法檢定 母體中位數是否大於? 3

35 無母數統計第二章 解 : 設母體中位數為 () vs : : () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 : X D X D 之等級 W , W (4) 檢定規則為 If W W.5(4) reject ow accept. 其中 W.5(4) 6 (5) 計算與決策 W.5 6 reject Sec..6 母體中位數 之區間估計 Sec..6. 利用 Sg Test--Thompso-Saver 法. 設 X, X,, X 為取自中位數為 之母體的 個獨立隨機樣本, 令 T 為 X,,,, 之正號數 Uder : T ~ B(,.5). 當 較小時 () 求 T 滿足 P( T T,.5) / 之最大整數 () 之信賴度為 ( )% 之 CI 為 [ M, M ], 其中 M 為 X, X,, X 由小而大排列在第 T 位置上之觀測值 L M 為 X, X,, X 由小而大排列在第 T 位置上之觀測值 U 3. 當 夠大 ( ) 時 T 之近似分布為 N( /, / 4) () T 為與 最接近之整數 Z 3 L U

36 無母數統計第二章 () 之信賴度為 ( )% 之 CI 為 [ ML, M U], 其中 M L 與 M U 同上 例. 由一養雞場隨機抽出 6 隻一月大的雞隻量其重量, 將其由小而大排列得 以下資料 ( 單位公克 ): 65.8, 66., 66.3, 66.8, 67., 67., 67., 67.5, 67.6, 67.7, 67.9, 68., 68., 68.3, 68.4, 試在顯著水準為.5 之情況下, 檢定該養雞場一月大的雞隻之重量的中位數 是否大於 66. 公克?. 試求 之 95 %信賴區間? 解 :. 檢定中位數 之值 : () 66. vs : 66. : () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 : 設 T 表 66.,,,, 之正號數 Uder X : T ~ B(5,.5) ( 註 : 樣本 66. 被刪除 ) (4) 檢定規則為 If p value.5 reject ow accept. (5) 計算與決策 : T = 4, p value P( T 4).5.5 reject. 求中位數 之 95% 信賴區間 : 6 6 因為 z 而 T 4 L 4 U 6 3 3, ( 亦可求滿足 P( T T,.5) / 之最大整數 T 值, 得 T = 3) 故中位數 之 95% 信賴區間為 [ M, M ] [66.8, 68.] L U Sec..6. 利用 Wlcoxo Sged-raks Test--odges-Lehma 法 設 X, X,, X 為取自中位數為 之母體的 個獨立隨機樣本 : Step-: 令 u j ( X X ), j Step-: 將 u ( j ) 由小而大排列 j 33

37 無母數統計第二章 Step-3: uj ( j ) 之中位數, 即 X, X,, X 之中位數, 即以 u j 之中位數來估計 Step-4: 由附表, 查 W ( ), 令 T W ( ), 則 之 ( )% 之 CI 為 [ ML, M U], 其中 M 與 M 同上 L U Sec..7 隨機性檢定 * 名詞介紹 : 樣本觀測值依某特性可成兩類, 記為 S 與 F, 依取得之順序, 將樣本排成一列, 相同類排在一起, 謂之 連 (ru), 而連的個數, 稱為 連長 (legth of ru), 以 R 表之例如 :SSFSFFFSSFFF 之連長為 6 Sec..7. 連檢定. 基本假設 () 將樣本依取得之順序排成一 ( 數 ) 列 () 樣本觀測值可依某特性分兩類, 名為 S 與 F (3)S 類計有 個元素, 而 F 類計有 個元素. 統計假設 樣本 ( 數列 ) 具隨機性 vs : 樣本 ( 數列 ) 不具隨機性 : a 3. 統計量 : 即樣本所成數列之連長 R () 當 與 均小於 時, 相關機率可查 p.68 附表 3 () 當 與 均大於或等於 時 R 之近似分布為 N(, ), 其中 ( ), ( ) ( ) R E[ R] 亦即 : Z 之近似分布為 N (,) Var[ R] 4. 檢定法則 () 當 為真 R 不至於太大或太小, 故當 R 偏大或偏小表 不真 () 當 與 均小於 時, 檢定法則為 34

38 無母數統計第二章 If R RL or R RU reject ow accept. (3) 當 與 均大於或等於 時, 檢定法則為 If Z Z reject ow accept. 例. 某次考試, 計有 3 題是非題, 答案依序排列如下 : 試在顯著水準為.5 下, 以連檢定法 (Ru test) 檢定此答案的排列是否具有隨機 性? 解 :() 答案排列具隨機性 vs : 答案排列不具隨機性 : () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量為連長 R (4) 檢定規則為 If R RL or R R ow accept. U reject 其中 R L, RU ( 6, 4 ) (5) 計算與決策 : R = 9 R L reject 例 3. 已知以下資料是取自中位數為 3. 之母體的 個樣本 : 7.3, 3., 3., 8.4, 3.9, 6.8, 34., 9.8, 5.9, 33., 8.4, 9., 3.6, 7.8, 3.5, 3.5, 7.7, 33., 3., 8.5 試在顯著水準為.5 之情況下, 檢定資料的取得是否具隨機性? 解 :() 資料取得具隨機性 vs : 資料取得不具隨機性 : () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量為連長 R 令 D X 3,,,, 依序得以下正 負號 : 得,, R 5 (4) 檢定規則為 35

39 無母數統計第二章 If R RL or R R ow accept. U reject 其中 R 6, R 6 L U (5) 計算與決策 : R = 5, 而 accept Sec..7. Rus-up-ad-dow Test 此檢定法旨在檢定一組樣本 ( 數列 ) 是否具有上昇或下降的趨勢 ( 有上昇或下 降的趨勢, 即樣本不具隨機性 ). 基本假設 () 資料量度之尺度至少為順序尺度 () 變數為連續型 (3) 設 X, X,, X 為一組依順序取得之樣本. 統計假設 : 樣本 ( 數列 ) 具隨機性 vs a : 樣本 ( 數列 ) 具上升或下降的趨勢 ( 即樣本不具隨機性 ) 3. 統計量 () 若 X X,,,,, 則得一正號 反之, 得一負號 () 個樣本可得一串 - 個正 負號, 設 R 為其連長 (3) 當 夠大 ( ) 時 R 之近似分布為 N(, ), 其中 6 9, 3 9 R E[ R] 亦即 : Z 之近似分布為 N (,) Var[ R] 4. 檢定法則 () 當 為真 R 不至於太小, 故當 R 偏小表 不真 () 當 夠大 ( ) 時, 檢定法則為 If Z Z reject ow accept. 36

40 無母數統計第二章 5. 注意事項 () 產生打結之處理方式 : 令 R, R 分別表最小與最大連長值, 可取 R ( R R ) 例 4. 連續 5 年觀測 A 地區全年的雨量, 依序得以下資料 ( 單位 : 公釐 ): 556, 548, 56, 536, 58, 533, 59, 55, 5, 5, 5, 58, 5, 498, 54, 58, 5, 495, 497, 5, 54, 5, 58, 499, 485 試在顯著水準為.5 之情況下, 利用 Rus-up-ad-dow Test, 檢定 A 地區全年 雨量是否有上升或下降的趨勢? 解 :() 雨量不具上升或下降的趨勢 vs : 雨量具上升或下降的趨勢 : () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量為連長 R 因 夠大 ( ) R 之近似分布為 N(, ), 其中 6 9, 3 9 R E[ R] 亦即 : Z 之近似分布為 N (,) Var[ R] (4) 檢定規則為 If Z z reject ow accept. (5) 計算與決策 : 令 D X X,,, 4, 依序得以下正 負號 : 得 R 5 又 4. 67, ,. 3, 9 9 R 4.67 而 Z Z reject 37

41 無母數統計第二章 Sec..8 Cox-Stuart 檢定法 * 主要在檢定樣本 ( 數列 ) 是否有上昇或者下降的趨勢?. 基本假設 : () 設 X, X,, X 為一組依順序取得之樣本 () 樣本具獨立性 (3) 至少為順序尺度 (4) 變數為連續型. 統計假設 () : 樣本 ( 數列 ) 不具趨勢 ( 即樣本具隨機性 ) vs a : 樣本 ( 數列 ) 具上升或下降的趨勢 ( 即樣本不具隨機性 ) () : 樣本 ( 數列 ) 不具趨勢 vs a : 樣本 ( 數列 ) 具上升的趨勢 (3) : 樣本 ( 數列 ) 不具趨勢 vs a : 樣本 ( 數列 ) 具下降的趨勢 3. 統計量 () 令 c, s eve c, s eve, 又 m, s odd. c, s odd. () 將樣本依下列方式配對 ( X, X ),( X, X ),,( X, X ) c C m c m (3) 正負號 () 若 X c X 得一正號,,,, m () 若 X c X 得一負號,,,, m () 若 X c X 刪除此項,,,, m (4) 令 T 表前述之正號數,Uder : T ~ B( m,.5) 4. 檢定法則 () 當 為真時 正號數 T 不至於偏大或偏小, 故當 T 偏大或偏小表 不真 () 當 T 偏大 數列有上昇的趨勢 38

42 無母數統計第二章 () 當 T 偏小 數列有下降的趨勢 () 當 T 偏大或偏小 數列具上昇或下降的趨勢 () 當 a : 樣本 ( 數列 ) 具上升或下降的趨勢時, 檢定規則為 If T b( m,.5) or T b (,.5) m reject ow accept. (3) 當 a : 樣本 ( 數列 ) 具上升的趨勢時, 檢定規則為 If T b ( m,.5) reject ow accept. (4) 當 a : 樣本 ( 數列 ) 具下降的趨勢時, 檢定規則為 If T b ( m,.5) reject ow accept. (5) 當 夠大 ( ) 時, 則檢定規則與 z 檢定法雷同 例 5. 連續 5 年觀測 A 地區全年的雨量, 依序得以下資料 ( 單位 : 公釐 ): 556, 548, 56, 536, 58, 533, 59, 55, 5, 5, 5, 58, 5, 498, 54, 58, 5, 495, 497, 5, 54, 5, 58, 499, 485 試在顯著水準為.5 之情況下, 利用 Cox-Stuart 檢定法, 檢定 A 地區全年雨量 是否有上升或下降的趨勢? 解 :() : 雨量不具上升或下降的趨勢 vs : 雨量具上升或下降的趨勢 () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 (a)c = 3 (b)m = (c) 配對資料為 X, X ), ( X, X ),,( X, ) ( 4 5 X 5 (d) 令 D X X,,,, 之正號數為 T c Uder : T ~ B(,.5) (4) 檢定規則為 If T b.5() or T ow accept. b.975 () reject 其中 b ), b () (5) 計算與決策 :.5(

43 無母數統計第二章 D Xc X,,,, 之符號為, 得 T = T b reject.5() Sec..9 Jackkfe 方法. 是一種利用電腦處理方法, 將樣本分割, 以求參數之估計值.Jackkfe 方法之演算法 : 設 X, X,, X 為取自某母體之 個獨立隨機樣本, 今欲求相關參數 之 ( )% 之 CI, 其相關步驟如下 : () 以 X, X,, X 求 之估計量, 令其為 ˆ () 將 X, X,, X 刪除 X, 再以剩下樣本估計 之值, 記為 ˆ,,,, (3) 計算虛擬值 J ˆ ( ) ˆ ˆ ( )( ˆ ˆ ),,,,. (4) 求虛擬值 J, J,, J 之平均數 J 與標準差 S J J J, S ( ) J J J (5) J 即 之點估計, 而 之 ( )% 之 CI 為 S J [ J t(, ) ] 3. Jackkfe 方法之優點 : () 其比一般方法來的精確 () 其為一標準之樣本分割的方法 (3) 其具有標準的 CI 之計算方法 (4) Jackkfe 方法可却除, 原有估計方法之偏誤 4. 吾人常用 Jackkfe 法推論標準差與成長率之值 例 6. 由真理公司 年 月所成交之所有金額隨機取出 7 件, 得成交金額為 ( 萬元 ) 試以 Jackkfe 法, 求真理公司每一交易之成交金額的標準差 之 95% 信賴區間? 4

44 無母數統計第二章 解 :() 求 ˆ : X ( )/7 6.7 ˆ S {(.3 6.7) (. 6.7) (.7 6.7) } ˆ = () 求 J ( 去除 X. 3 ): X ( )/ S {(. 5.48) ( ) } S (3) 依此類推, 分別求 S, S3,, S7, 彙整如下 : 去除 X S J 7 (4.5) (7 ) S (4) J ( )/ S S J J 7 {( ) 6.86 (5) 之 95% CI 為.6 ( ) ( ) } 6.86 SJ.6 [ J t( ) ] [ ] [.83, 6.67] 7 4

45 無母數統計第二章 習題二. 便利大賣場觀察每分鐘顧客到達之人數, 得以下次數分配表 : 顧客到達人數 3 4 總和 觀察次數 (a) 試在顯著水準為.5 之情況下, 利用卡方檢定法, 以檢定便宜大賣場每分鐘顧客到達之人數是否為 Posso 分布? (b) 試在顯著水準為.5 之情況下, 利用 K-S 檢定法, 以檢定便宜大賣場每分鐘顧客到達之人數是否為平均數為 之 Posso 分布?. 抽查 4 個家庭, 得居住地區與去年支出之列聯表如下所示 : 支出地區 3 萬以下 3~6 萬 6 萬以上 總和 北區 南區 總和 8 4 試在顯著水準為.5 之情況下, 檢定一個家庭去年支出與其居住地區是否有 關?.3 由一產線上按一定時間間隔取出樣本度量重量, 在由小而大排列得以下資料 : 75., 76., 76.3, 76.8, 77., 77., 77., 77.5, 77.6, 77.7, 77.9, 78., 78., 78.3, 78.5, 78.8 ( 單位公克 ) (a) 試在顯著水準為.5 之情況下, 利用符號檢定法, 以檢定產品重量之中位數 是否大於 76. 公克? (b) 試求產品重量之中位數 得 95 %信賴區間?.4 資料同題 (.3), 試在顯著水準為.5 之情況下, 利用 Wlcoxo 符號等級檢定 法, 以檢定產品重量之中位數 是否小於 78. 公克?.5 某次考試, 計有 4 題是非題, 答案依序排列如下 : 試在顯著水準為.5 下, 以連檢定法 (Ru test) 檢定此答案的排列是否具有 隨機性?.6 各隨機抽出若干成年男女, 調查他們對減稅政策的看法, 得以下資料 ( 單位 : 人 ): 4

46 無母數統計第二章 性別 教育程度極不滿意不滿意普通滿意極滿意 男 女 試在顯著水準為.5 下, 檢定成年男女對減稅政策的滿意程度是否有齊一 性?.7 A 國 年來每年新生兒的人數依序如下所示 :( 單位 : 萬人 ) 38, 4, 4, 4, 43, 44, 46, 46, 43, 43, 4, 4, 39, 39, 37, 36, 35, 34, 35, 35, 34 試在顯著水準為.5 下, 試以 Cox-Stuart 檢定法檢定 A 國各年之新生兒人數是否有下降的趨勢?.8 大陸大賣場觀察某 天 :~:3 顧客到達之人數, 得以下次數分配表 : 顧客到達人數 3 4 總和觀察次數 () 試在顯著水準為.5 之情況下, 利用卡方檢定法, 以檢定大陸大賣場 : :3 顧客到達人數是否為 Posso 分布? () 試在顯著水準為.5 之情況下, 利用 K-S 檢定法, 以檢定大陸大賣場 : ~:3 顧客到達之人數是否為平均數為 之 Posso 分布?.9 今由一母體隨機抽出一組獨立樣本, 量其某一性質 ( 如血壓 ) 得由小而大排列 之觀測值如下 :,, 5,,, 6, 9, 3, 38, 44, 49, 54, 6, 68 () 試在顯著水準為. 之情況下, 利用符號檢定法檢定母體中位數是否大於 6? 又此時真正的 rsk 為何? () 試在顯著水準為.5 之情況下, 利用 Wlcoxo 符號等級檢定法檢定母體 中位數是否小於 5? (3) 求母體中位數之 95% 的信賴區間? 43

47 無母數統計 第三章 第三章兩組獨立樣本之推論方法 Sec.3. 齊一性檢定. 齊一性檢定 (homogeety test) 乃在檢定兩組獨立樣本是否來自同一個母體? 亦即兩組樣本分別來自之二個母體的分布是否相同?. 齊一性檢定與獨立性檢定之比較 () 獨立性檢定由一個母體, 隨機取出一組樣本, 而樣本可依兩種不同的屬性來分類, 吾人想檢定該二個屬性是否彼此獨立? () 齊一性檢定由二個母體分別隨機抽出兩組樣本, 根據此兩組樣本, 欲檢定該二個母體之分布是否相同? (3) 獨立性檢定在判斷不同分類因子是否彼此獨立? 而齊一性檢定在判斷兩組樣本是否來自同一分布之母體? Sec.3.. 卡方檢定. 基本假設 () 設分別由二個母體取出 及 個獨立隨機樣本 () 設樣本觀測值可分成 c 種不同的情況, 設 o j 表第 組樣本, 屬第 j 種情況之 次數,, j,,, c 相關之列聯表如下所示: c observatos 其中 o,, j 可能情況 C C. C c 母 R o o. c 體 R o o. c TOT. j o. o. c TOT o o. o o. o.. 統計假設 : 二個母體之分布相同 vs a : 二個母體之分布不同 44

48 無母數統計 第三章 亦即 : : p j p j, j,,, c vs a : p j p j, for some j, 其中 pj 表第 個母體發生第 j 種情況之機率, j,,, c, p,, c j j 3. 統計量 () 在 為真之情況下, 以 第 個母體在第 j 種情況之期望數為 e () Uder o. j pˆ. j 來估計 p. j, j,,, c o. j o. o. j pˆ. j,, j,, c j,, 相關殘差平方和 c ( o ) j ej ~ ( c ) e j j 4. 檢定法則 () 在 為真之情況下, 觀測次數與期望次數應相去不遠, 故相關殘差平方和 應不至於太大, 所以當 偏大時, 表 () 檢定規則為 不真 If ( c ) reject ow accept. 5. 注意事項 () 當 之自由度為 時, 須作葉氏修正 () 卡方齊一性檢定法, 可將二個母體推廣至 r 個母體 例. 分別在 A B 兩地各隨機抽出 名成年男子, 調查他們對新稅制的看法, 得以下資料 : 意見地區 支持 無意見 反對 和 A B 和 試在顯著水準為.5 下, 以卡方檢定法檢定 A B 兩地區之成年男子對新稅制 的看法是否一致? 解 :() : A, B兩地成年男子對新稅制看法一致 vs : 兩者看法不一致 45

49 無母數統計 第三章 () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 Uder 3 ( o j ej ) ~ (3) () e j j (4) 檢定規則為 If (.5 ) 5.99reject ow accept. (5) 計算與決策 地區 A 意見 B 支持無意見反對和 (35) (5) (4) (35) (5) (4) 和 (43 35) ( 5) accept. (35 4) 4 (45 4) 4 例. 各隨機由成年男女各抽出若干人, 調查他們的教育程度, 得以下資料 ( 單 位 : 人 ): 性別 教育程度 國中高中職專科大學研究所 男 女 試在顯著水準為.5 下, 以卡方檢定法檢定成年男女之教育程度是否有齊一性? 解 :() : 成年男女之教育情況是一致 vs : 兩者不一致 () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 Uder 5 ( o j ej ) ~ (5 ) (4) e j j 46

50 無母數統計 第三章 (4) 檢定規則為 If (.5 4) reject ow accept. (5) 計算與決策 性別 男 女 教育程度 國中高中職專科大學研究所 4 (3) 4 (3) 4 (35) 66 (35) 46 (6) 74 (6) 7 (44) 6 (44) 38 (9) (9) 合計 5 5 合計 (4 3) (4 35) (46 6) ( 9) reject. Sec.3.. Kolmogorov-Smrov 兩樣本檢定法. 基本假設 : () 設 X,, X, X 為取自分布為 F ( x ) 之母體的 個獨立隨機樣本 Y, Y,, Y 為取自分布為 F ( x ) 之母體的 個獨立隨機樣本 () 資料的量度尺度至少為順序尺度. 統計假設 () F ( x) F ( x), x vs a : F ( x) F ( x), for some x : () F ( x) F ( x), x vs a : F ( x) F ( x), for some x : (3) F ( x) F ( x), x vs a : F ( x) F ( x), for some x : 3. 統計量設 S ( x ) 為 X,, X, X 所形成之經驗分布函數 S ( x ) 為 Y, Y,, Y 所形成之經驗分布函數 () D Sup S x) S ( ) x ( x 47

51 無母數統計 第三章 () D Sup S ( x) S ( )) x ( x (3) D Sup S ( x) S ( )) 4. 檢定法則 x ( x () 當 為真時, 則 S ( ) 與 S ( ) 不至於相差太大, 故 D( 或 D, x x 太大所以當 D( 或 D, D ) 偏大時, 表 不真 () 當 a : F ( x) F ( x), for some x 時,Decso rule 為 If D D (, ) reject ow accept. (3) 當 a : F ( x) F ( x), for some x 時,Decso rule 為 If D D (, ) reject ow accept. (4) 當 a : F ( x) F ( x), for some x 時,Decso rule 為 If D D (, ) reject ow accept. D, ) 之值可查 p.68 附表 4 ( D ) 應不至於 例 3. 分別在 A B 兩地各隨機抽出 名成年男子, 調查他們對新稅制的看法, 得以下資料 : 地區 意見 A B 極反對反對無意見贊成極贊成 試在顯著水準為.5 下, 以 K-S 檢定法檢定 A B 兩地區之成年男子對新稅制 的看法是否一致? 解 :() : A, B兩地成年男子對新稅制看法一致 vs : 兩者看法不一致 () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量為 D Max S x) S ( ) (4) 檢定規則為 x ( x 48

52 無母數統計 第三章 If D D.5( ) reject ow accept. 其中 D, ) (5) 計算與決策.5( 看法地區 A 地區 B S ( ) S ( ) S x ) S ( ) 極反對 6(6) 38(38).3.9. x x ( x 反對 5(4) 4(78) D 無意見 38(5) 4() 贊成 6(78) 44(64) 極贊成 () 36()... D.8.36 reject Sec.3. Tukey 快速檢定法 * 用於檢定兩組獨立樣本是否來自同一母體, 或者兩個相同分布之母體?. 基本假設 : () 設 X, X,, X N 為取自分布為 F ( x ) 之母體的 N 個獨立隨機樣本, Y, Y 為取自分布為 ( x ) Y, () 至少為順序尺度 (3) 兩組樣本彼此獨立 (4) 變數屬連續型 F 之母體的 個獨立隨機樣本, 且 N. 統計假設 F ( x) F ( x), x vs a : F( x) F( x), : forsome x 3. 統計量及檢定法則 () 合併兩組樣本, 由小而大排列, 令最大者為 M, 最小值為 m () 若 M 與 m 同屬一組, 則 accept 否則進行下一步 (3)WLOG, 令 m 屬 X 組,M 屬 Y 組, 求 Y 組之最小值 m 及 X 組之最大值 M 49

53 無母數統計 第三章 (4) 求 X 組中比 m 小之觀測值的個數 S Y 組中比 M 大之觀測值的個數 S (5) 令 T S S (6) 當 為真時 T 不至於太大, 故 T 偏大時表 不真 (7) 檢定規則為 () If T t ( N, ) reject ow accept. 其中 t 可查閱 p.73 附表 3 () 利用公式 p value P( T h) ( ) 故檢定規則為 h N, 其中 If p value reject ow accept. 4 此方法 N 與 須滿足 4 N 3, 且 N 注意事項產生打結時, 按比例平分次數 例 4. 將 塊大小相同 條件相似的土地隨機分成兩組, 分別栽種 A B 二品種 的稻子, 所得的收成如下 ( 單位 : 公斤 ): 品種 A 品種 B 試在顯著水準為.5 下, 以 Tukey 快速檢定法檢定此二品種稻子之平均產量是 否相同? 解 : 設此二品種稻子之平均產量分別為, : vs : () () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 ()M = 85 屬品種 B,m = 66 屬品種 A () m 74 S 7 M 83 S 3 5

54 無母數統計 第三章 () T S S 7 3 (4) 檢定規則為 If T t ( N, ) t.5() reject ow accept. 其中 t (,) 7.5 (5) 決策 T 7 reject 例 5. 由 A B 兩個城市分別隨機抽出 名從業人員, 調查他們的薪資 ( 月薪, 單位 : 萬元 ) 得以下資料 ( 已由小而大排序 ): A B 試在顯著水準為.5 之情況下, 以 Tukey 檢定法, 檢定 A B 兩市從業人員之 薪資的分布是否一致? 解 :() : A, B 二市從業人員之薪資分布是一致的 vs : 兩者不一致 () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 ()M = 7. 屬城市 B,m = 4. 屬城市 A () m 4.88 S 4 M 6.35 S 4 () T S S (4) 檢定規則為 If T t ( N, ) t.5() reject ow accept. 其中 t (,) 7.5 (5) 決策 T 8 7 reject Sec.3.3 Westeberg-Mood 中位數檢定法 * 用於檢定二個母體之中位數是否相等? 此方法即卡方檢定之應用 5

55 無母數統計 第三章. 基本假設 () 設 X,, X, X 為取自中位數為 之母體的 個獨立隨機樣本 Y, Y,, Y 為取自中位數為 之母體的 個獨立隨機樣本 () 兩組樣本彼此獨立 (3) 至少為順序尺度. 統計假設 vs a: : 3. 統計量 () 依中位數及母體別將資料分類, 得以下列聯表 : Observatos 樣本 I 樣本 II TOT 大於中位數之個數 a b a + b 小於中位數之個數 c d c + d TOT a c b d () 相關殘差平方和為 ( o e ) j j ( ad bc ) ~ () e ( a b)( c d)( a c)( b d) j j (3)Uder ~ () 4. 檢定規則為 If ( ) reject ow accept. 例 6. 由真理小學隨機各抽出 3 名男 女學童, 調查他們每週上網次數, 得以下資料 ( 已排序 ): 男童 :,,,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3,4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7,, 4 女童 :,,,,,,,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 8, 9,, 3 試在顯著水準為.5 之情況下, 以 Westeberg-Mood 中位數檢定法, 檢定男 5

56 無母數統計 第三章 女學童, 每週上網次數之中位數是否相同? 解 : 設男 女學童每週上網次數之中位數分別為, () : vs : () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 ( ad bc ) Uder ~ () ( a b)( c d)( a c)( b d) (4) 檢定規則為 If (.5) reject ow accept. 其中 (.5) 3.84 (5) 計算與決策 合併男女學童上網資料得共同中位數為 3, 可得下列列聯表 : 性質男童女童合計 大於中位數之個數 小於中位數之個數 合計 ( ad bc ) ( a b)( c d)( a c)( b d) 49 (63 9 ) (6 )(9 3)(6 9)(3) accept Sec.3.4 Fsher 真實檢定法 * 用於檢定二個母體之母體比例 p 與 p 是否相等? * 此方法可用於小樣本. 基本假設 () 分由二個母體各取出一組獨立隨機樣本, 樣本數分別為 A 與 B () 樣本觀測值可依某一個性質分成互斥的兩類, 二組樣本具此性質之個數分 53

57 無母數統計 第三章 別為 a 與 b (3) 二個母體具上述性質之比例分別為 p 與 p. 統計假設 : a p p p p vs : 3. 統計量 () 相關列聯表 Observatos 具某一性質未具某一性質 TOT 樣本 I a A - a A 樣本 II b B - b B TOT a + b A B a b A + B () 此檢定是在限定 A, B, A B 且 a A b B 之情況下為之 (3) 檢定時, 設定 a,a 與 B 為固定, 而 b 為變數 ( 即檢定之統計量 ) 4. 檢定法則 If b b ( A, B, a) reject ow accept. 其中 b ( A, B, a) 查 p.689 附表 6 5. 注意事項 : 當樣本數夠大時, 可採用 z 檢定法或卡方檢定 例 7. 隨機各抽出 名男 女大學生, 詢問他們對未婚生子的看法, 得男 女大 學生依序各有 7 人及 3 人表示可以接受試在顯著水準為.5 下, 以 Fsher 真 實檢定法檢定男 女大學生對未婚生子的看法是否有顯著差異? 解 :() : 男女生對未婚生子的看法是一致的 vs : 兩者看法不一致 () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 54

58 無母數統計 第三章 母體贊成反對合計 男大學生 女大學生 合計 由上表可知 : A, B, a 7, b 3 (4) 檢定規則為 If b b ( A, B, a) b.5(,, 7) reject ow accept. 其中 b.5 (,, 7) (5) 決策 b 3 accept Sec.3.5 Wlcoxo 檢定法 此方法用於檢定二個獨立母體之二個位置參數 ( 如中位數 ) 是否相等?. 基本假設 () 設 X,, X, X 為取自中位數為 之母體的 個獨立隨機樣本 Y, Y,, Y 為取自中位數為 之母體的 個獨立隨機樣本 () 兩組樣本彼此獨立 (3) 至少為順序尺度 (4) 變數為連續型 (5) 二個母體具同型分布, 差異僅止於位置而已. 統計假設 () : vs a : () : vs a : (3) : vs a : 3. 統計量 () 合併此二組資料, 由小而大排列, 再依序賦予 rak 值,,,, 大小相 55

59 無母數統計 第三章 同時, 平分其 rak 和 () 累計第一組樣本 (X) 之 rak 和, 令其為 W 同樣的, 求得 W (3) 性質 : () W W )( ) ( () ) W ( ) ( () ) W ( ) ( (4) W ( 或 W ) 為本檢定法所引用之統計量 (5) 本檢定法之相關機率可引用 U, ), 詳見下一節, 其機率值可查 p.684 附表 5 4. 檢定法則 ( 參照下一節 ) ( Sec.3.6 Ma-Whtey Wlcoxo 檢定法 其實此檢定法與 wlcoxo samples test 是對等的此方法也是用於檢定二 個獨立母體之二個位置參數 ( 如中位數 ) 是否相等?. 基本假設 () 設 X,, X, X 為取自中位數為 之母體的 個獨立隨機樣本 Y, Y,, Y 為取自中位數為 之母體的 個獨立隨機樣本 () 兩組樣本彼此獨立 (3) 至少為順序尺度 (4) 變數為連續型 (5) 二個母體具同型分布, 差異僅止於位置而已. 統計假設 () : vs a : () : vs a : (3) : vs a : 3. 統計量 () 設 U 表第一組樣本 (X) 中之觀測值小於第二組樣本 (Y) 中之觀測值之個數 U 表第二組樣本 (Y) 中之觀測值小於第一組樣本 (X) 中之觀測值之個數 56

60 無母數統計 第三章 () 令 Z j, X Yj,, X Yj. Z j j U (3) 性質 : () U ( ) W () U ( ) W () U U (v) U W ( ) (v) U (4) 令 U U, 亦即 U W ( ), 此為本檢定法所引用之統計量 (5) P U a) P( U ), 亦即 U, ) U (, ) ( a U, ) 之值可查 p.684 附表 5 ( ( 4. 檢定法則 當 為真時 U 之值應不至於太大 ( 或太小 ), 故當 U 值偏大 ( 或偏小 ) 時, 表 不真 () 當 a : 時, 檢定規則為 If U U (, ) or U U ow accept. () 當 a : 時, 檢定規則為 (, ) reject If U U (, ow accept. ) reject (3) 當 a : 時, 檢定規則為 If U U (, ) reject ow accept. 5. 注意事項 () 當 與 均夠大 ( 大於 ) 時,U 之近似分布為 N (, ), 其中 E[ U], Var[ U] ( ) 57

61 無母數統計 第三章 U () 令 Z, 則 Z 之近似分布為 N (, ) ) ( 例 8. 真理公司招考 名業務代表, 給予訓練後, 將其分成兩組, 分別以 A B 兩種行銷法推廣業務, 一年後之業績為 :( 單位 : 百萬元 ) A 法 B 法 試在顯著水準為.5 下, 以 Ma-Whtey-Wlcoxo 檢定法檢定 B 法是否顯著 優於 A 法? 解 : 設 A B 兩種行銷法推廣業務之業績之中位數分別為, () : vs : () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量為 U (4) 檢定規則為 If U U.95(5, 6) reject ow accept. 其中 U.95 U.5 (5) 計算與決策 (5, 6) 56 (5, 6) U reject 例 9. 由真理大學抽出 5 學生, 隨機分成兩組, 針對 A 課程分別施以新 舊兩 種教學法授課, 學成後之成就測驗成績 ( 已排序 ) 如下表所示 : 新教學法 舊教學法 試在顯著水準為.5 下, 以 Ma-Whtey-Wlcoxo 檢定法檢定新教學法是否顯 著優於舊教學法? 解 : 設新 舊教學法授課後之成就測驗成績之中位數分別為, : vs : () () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量為 U 58

62 無母數統計 第三章 (4) 檢定規則為 If U U.5(7, 8) reject ow accept. 其中 U.5 (7, 8) 3 (5) 計算與決策 U reject Sec.3.7 Mood 檢定法 此檢定法用於檢定二個母體是否具有相同的變異數?. 基本假設 () 設 X,, X, X 為取自標準差為 之母體的 個獨立隨機樣本 Y, Y,, Y 為取自標準差為 之母體的 個獨立隨機樣本, 且 () 兩組樣本彼此獨立 (3) 至少為順序尺度 (4) 變數為連續型 (5) 二個母體之分布, 除標準差可能不同外, 其他性狀均相同. 統計假設 () : vs a : () : vs a : (3) : vs a : 3. 統計量 () 合併此二組資料, 由小而大排列, 再依序賦予等級值,,,, 設 X 之 rak 為 r,,,, N () 令 M ( r ), 其中 N M 之意義等同殘差平方和 M 之機率表可查閱 p.75 附表 4 (3)Uder E[ M ] ( N )( N ) 59

63 無母數統計 第三章 Var[ M ] ( N )( N )( N ) 8 M E[ M ] (4) 當 N 3 時 Z 之近似分布為 N (, ) Var[ M ] (5) 當 N 3 時 M E[ M ] Z 之近似分布為 N (, ) Var[ M ] Var[ M ] 4. 檢定法則 * 當 為真時 M 之值理應不會太大 ( 或太小 ), 故當 M 偏大 ( 或偏小 ) 時表 不 真 () 當 a : 時, 檢定規則為 If M M (, ) or M M ow accept. () 當 a : 時, 檢定規則為 (, ) reject If M M (, ow accept. ) reject (3) 當 a : 時, 檢定規則為 If M M (, ) reject ow accept. 例 9. 隨機將 個病人分成兩組, 分別以 A B 兩種藥物進行治療, 得痊癒所歷 時間為 :( 單位 : 天 ) A 藥 B 藥 試在顯著水準為.5 下, 以 Mood 檢定法檢定以 A B 兩種藥物治療, 痊癒所歷 時間的變異數是否顯著不同? 解 : 設 A B 兩種藥物治療, 痊癒所歷時間的變異數分別為, () vs : : () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量為 M ( r N ) 6

64 無母數統計 第三章 其中 N (4) 檢定規則為 If M M (, ) or M ow accept. M (, ) reject 其中 M, ) M (5, 5) 5.5, M (, ) M (5, 5) (5) 計算與決策 ( 合併排序 :5.3 < 7.5 < 9.8 <.6 <.6 < 4.3 < 6.9 < 7.8 <.4 < 8. Rak: M ( r ( 5.5) N ) (4 5.5) (8 5.5) accept (9 5.5) ( 5.5) Sec.3.8 Moses 檢定法 * 用於檢定二個母體是否具有相同的變異數? * 此方法乃 Ma-Whtey Test 之應用. 基本假設 () 設 X,, X, X 為取自標準差為 之母體的 個獨立隨機樣本 Y, Y,, Y 為取自標準差為 之母體的 個獨立隨機樣本 () 兩組樣本彼此獨立 (3) 至少為區間尺度 (4) 變數為連續型 (5) 二個母體具相同分布型式. 統計假設 () : vs a : () : vs a : (3) : vs a : 6

65 無母數統計 第三章 3. 統計量 () 將 X,, X, X 隨機等分為 m 個小組之樣本數為 k 之子樣本 ( 刪除多餘者 ) () 將 Y, Y,, Y 隨機等分為 m 個小組之樣本數為 k 之子樣本 ( 刪除多餘者 ) 小組之樣本數 k 由決策者自定之 (3) 求各子樣本之偏差平方和 (sum of square devato) ( X ) X 及 ( ) Y Y (4) 將 m m 個平方和混合, 由小而大排列, 依序賦予等級值,,, m m (5) 求 X 之各組的等級和, 令其為 S (6) 令 T S m m ), 此即 Ma-Whtey 檢定法之統計量 (7) 性質 : ( () T mm () m m ) S m m m ( m ) ( 4. 檢定法則 不真 當 為真時 理論上 T 值不至於太大 ( 或太小 ), 故當 T 值偏大 ( 或偏小 ) 時表 () 當 a : 時, 檢定規則為 If T U ( m, m ) or T U ( m, m ) reject ow accept. () 當 a : 時, 檢定規則為 If T U ( m, m ) reject ow accept. (3) 當 a : 時, 檢定規則為 If T U ( m, m ) reject ow accept. U ( m, m ) 之值可查 p.684 附表 5 5. 注意事項 大樣本時, 請參考 Ma-Whtey 檢定法 例. 由 A B 二母體隨機各抽出 4 及 個樣本, 量其重量, 得以下資料 : 6

66 無母數統計 第三章 A B 試在顯著水準為.5 下, 以 Moses 檢定法檢定以 A B 二母體的變異數是否顯 著不同? 解 : 設 A B 二母體的變異數分別為, () vs : : () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量 取子樣本數為 4, 將二組樣本隨機各分成 6 組及 5 組, 情況如下 : () 母體 A: 組別樣本觀測值偏差平方和 S rak () 母體 B: 組別樣本觀測值偏差平方和 S rak B 母體所屬之子樣本偏差平方和之 rak 和為 S 故檢定統計量為 T S m m ) (4) 檢定規則為 ( If T U ( m, m) or T ow accept. U ( m, m ) reject 其中 U m, m ) U (5, 6) 3, M ( m, m ) M (5, 6) 7 (

67 無母數統計 第三章 (5) 計算與決策 T 7, 而 accept Sec.3.9 Wald-Wolfowtz 檢定法 此方法乃連檢定法之應用, 乃用於檢定二個母體之分布是否相同?. 基本假設 () 設 X,, X, X 為取自分布為 F ( x ) 之母體的 個獨立隨機樣本 Y, Y,, Y 為取自分布為 F ( x ) 之母體的 個獨立隨機樣本 () 兩組樣本彼此獨立 (3) 變數為連續型. 統計假設 F ( x) F ( x), x vs a : F ( x) F ( x), : for some x 3. 統計量 () 合併此二組資料, 由小而大排列, 設 R 表所得之連長 () 產生打結時 ( 指不同組樣本, 產生相同之觀測值的情形 ), 則計算可能最大之 連長 R 及可能最小之連長 R, 令 R ( R R ) 4. 檢定法則 * 當 為真時 理論上 R 值不至於太小, 故當 R 值偏小時表 不真, 所以檢定規 則為 If R rl reject ow accept. r L 之值可查閱 p.736 附表 5 5. 注意事項 ( ) () 當 為真時 E [ R], Var [ R] ( ) ( ) () 當 與 均夠大 ( 均大於 ) 時 64 R E[ R] Z 之近似分布為 N (, ), 此時檢定 Var[ R]

68 無母數統計 第三章 規則與 z 檢定法雷同 例. 由 A B 兩種品牌的燈泡隨機各抽出 9 個, 測其壽命 ( 小時 ), 得以下資料 : A 牌 B 牌 試在顯著水準為. 下, 以 Wald-Wolfowtz 連檢定法檢定 A B 兩種品牌燈泡之 壽命的分布是否有顯著差異? 解 : 設 A B 二品牌燈泡之壽命的分布分別為 F x), F ( ) ( x () F ( x) F ( x), x vs : F ( x) F ( x), for some x : () 顯著水準. (3) 檢定統計量為連長 R (4) 檢定法則為 If R rl reject ow accept. 其中 r 6 L (5) 計算與決策合併二組樣本, 並排序得 BBBABBBBBBAAAAAAAA, 故 R = 4 R 4 6 r reject L 例. 將 塊大小相同 條件相似的土地隨機分成兩組, 分別栽種 A B 二品 種的稻子, 所得的收成如下 ( 單位 : 公斤 ): 品種 A 品種 B 試在顯著水準為.5 下, 試以 Wald-Wolfowtz 檢定法檢定此二品種稻子之產量 之分布是否相同? 解 : 設 A B 二品種稻子之產量的分布分別為 F x), F ( ) ( x () F ( x) F ( x), x vs : F ( x) F ( x), for some x : () 顯著水準.5 (3) 檢定統計量為連長 R Uder : 65

69 無母數統計 第三章 ()() ER [ ].48 ( ) Var[ R] ( ) ( ) R E[ R], Z ~ N(, ). Var[ R] (4) 檢定法則為 If Z z reject ow accept. (5) 計算與決策合併二組樣本, 並排序得 AAAAAAABABB ABBB, 故 R R R R R, 8 ( ) ( 8) 9 R E[ R] 9.48 Z..645 Accept Var[ R].3 Sec.3. ollader 極端反應檢定法 此檢定法用於檢定實驗組是否兩極反應?. 基本假設 () 設 X,, X, X 為控制組之 個獨立隨機樣本 Y, Y,, Y 為實驗組之 個獨立隨機樣本 () 兩組樣本彼此獨立 (3) 變數為連續型 (4) 至少為順序尺度. 統計假設 : 兩組有相同分布 vs a : 實驗組有兩極反應 3. 統計量 () 合併此二組資料, 由小而大排列, 再依序賦予 rak 值,,,, 設 r 表 66

70 無母數統計 第三章 X 之 rak, () 令 G ( r r),,,, 而 r r, 此即本檢定法引用之統計量 G 為控制組之離差平方和, 表控制組之分散情況若實驗組有兩極反應, 控制組之觀測值應多數落在中間, 故 G 值理應較小 4. 檢定法則 當 為真時 理論上 G 值不至於太小, 故當 G 值偏小時表 不真, 所以檢 定規則為 If G G ( N, ) reject ow accept. N G N, ) 之值可查閱 p.737 附表 6 ( 5. 注意事項 () 產生 Te 時, 須試算所有可能之 G 值, 若最大 G 值小於或等於 G N, ), 則 reject () 當 與 均為大樣本 Uder E[ G] ( )( N N), E[ G ] 7 ( 6 ) [ ( N 故當 與 均夠大時 z 檢定法雷同 4 N 3 N ) ( )(5N 4 6N 3 5N ( 6N)] G E[ G] Z 之近似分布為 N (, ), 此時檢定規則與 Var[ G] 例 3. 隨機將 3 名小學生分成兩組, 分別以 A B 兩種方法敎授游泳 ( 其中 A 為控制組,B 為實驗組 ), 訓練完畢後測其成績, 得以下資料 ( 單位 : 秒 ) A 法 B 法 試在顯著水準為.5 下, 以 ollader 檢定法檢定以 B 方法訓練的成效是否有兩極反應? 67

71 無母數統計 第三章 解 :() 兩組有相同分布 vs : 實驗組有兩極反應 : () 顯著水準. 5 (3) 檢定統計量為 G (4) 檢定法則為 ( r r) If G G ( N, ) reject ow accept. 其中 G N, ) G (3, 7) (5) 計算與決策 (. 5 合併二組樣本, 並排序得 : 47.5<48.<49.3<49.7<5.5<53.<55.<57.8<6.3<6.9<6.5<65.3<66.9 r r G r 3 5 ( ) ( r r) 6 8 r 9 r G accept

72 無母數統計 第三章 習題三 3. 隨機分別由男 女生各抽出 人, 調查他們對 A 計畫的反應態度, 得以下 資料 : 人數 反應態度極不滿意不滿意無所謂滿意極滿意 性 男 別 女 試在顯著水準為.5 之情況下, 分別以下列兩種檢定法, 檢定男 女生對 A 計畫的反應態度是否一致? () 卡方齊一性檢定法 () K-S 兩樣本檢定法 3. 由 A B 兩市分別隨機抽出 名從業人員, 調查他們的薪資 ( 月薪, 單位 : 萬元 ) 得以下資料 ( 已由小而大排序 ): A B 試在顯著水準為.5 之情況下, 以 Tukey 檢定法, 檢定 A B 兩市從業人 員之薪資的分布是否一致? 3.3 由 A B 兩條生產線各隨機抽驗幾件產品, 得以下資料 : 個數 良品 不良品 TOT A 9 B 6 8 TOT 試在顯著水準為.5 之情況下, 以 Fsher 檢定法, 檢定 A B 兩生產線所 生產之產品的良率是否相同? 3.4 由 A B 兩種品牌之電池分別隨機抽出 5 個產品, 加以檢驗得其壽命, 由小而大排序如下 : B, B, B, A, B, B, A, A, A, B, B, B, B, A, A, A, A, B, B, B, A, A, B, B, B, A, A, A, A, A 試在顯著水準為.5 之情況下, 分別以下列兩種檢定法, 檢定 A B 兩種品牌電池之壽命的分布是否一致? ()Ma-Whtey Wlcoxo Test ()Wald-Wolfowtz Test 69

73 無母數統計 第三章 3.5 已知 A B 兩種品牌電池有相同的平均壽命, 今分別各隨機抽出 5 個產品, 加以檢驗得其壽命, 由小而大排序如下 : B, B, B, A, B, B, A, A, A, B, A, A, B, A, A, A, A, B, A, B, A, A, B, B, B, A, A, B, B, B 試在顯著水準為.5 之情況下, 以 Mood 檢定法檢定 A B 兩種品牌電池之壽命的標準差是否相同? 3.6 隨機抽出 名學生等分成兩組, 控制組 (C) 以傳統教學法, 實驗組 (E) 以創新教學法, 教導他們閱讀, 再測驗他們的理解程度, 將他們的成績由小而大排列, 得以下資料 : E, E, E, C, E, E, C, E, E, E, C, C, C, C, C, E, C, C, C, E, E, C, C, E, E, C, C, C, E, E 試在顯著水準為.5 之情況下, 以 ollader 極端反應檢定法檢定創新閱讀教學法之學生的理解程度是否有兩極反應? 3.7 將 塊大小相同 條件相似的土地隨機分成兩組, 分別栽種 A B 二品種的 稻子, 所得的收成如下 ( 單位 : 公斤 ): 品種 A 品種 B 試在顯著水準為.5 下, 以 Tukey 快速檢定法檢定此二品種稻子之平均產量 是否相同? 7

74 無母數統計第四章 第四章 兩組相關樣本之推論方法 前言. 有關兩組相關樣本其通常是配對產生的, 可能情況有 : () 同一個體在實施某一處理前 (treatmet) 後, 度量該個體之同一性質之值的變化, 例如 :( 吃藥前之血壓, 吃藥後之血壓 ) () 對同一個體量度其兩個性質的值, 例如 :( 身高, 體重 ) (3) 二相關個體在某一特質上的表現, 例如 :( 父之 IQ, 子之 IQ). 針對狀況 () 之相關資料, 我們通常以事前 (pror) 與事後 (posteror) 二個變量之差, 來分析 推論該處理效果 (treatmet effect) 3. 針對狀況 () 及 (3), 我們常用相關分析 (correlato aalyss) 或迴歸分析 (regresso aalyss) 來探究二個相關變數的關聯性問題 Sec.4. 符號檢定法 此檢定法可用於推論二相關變數之差的位置參數 ( 如中位數 ) 之值. 基本假設 () 設 ( X, Y ),,, 為在某一處理前後度度量 個個體之某一性質之值,, 所得之 個配對樣本 () 此 個配對樣本彼此獨立 (3) 令 D X Y,,, 樣本, (4) 量度的尺度至少為順序尺度 (5) 變數為連續型, 可視為取自中位數為 D 之母體的 個獨立隨機. 統計假設 () : D vs a : D () : D vs a : D (3) : D vs a : D 通常以 來推論處理是否有效? 以下概以 來推導 D D 3. 統計量 7

75 無母數統計第四章 () 令 T 表 D X Y,,, 之正號數當 D, 則刪除該項, ()Uder T ~ B(,.5) 4. 檢定規則 當 為真時 T 之值不至於偏大 ( 或偏小 ), 故當 T 之值偏大 ( 或偏小 ) 時, 表 不真 () 當 : 時, 檢定規則為 a D If T b ( ) or T b ow accept. () 當 : 時, 檢定規則為 a D ( ) reject If T b ( ) reject ow accept. (3) 當 : 時, 檢定規則為 a D If T b ( ) reject ow accept. 5. 注意事項 當 夠大 ( ) 時 檢定法雷同 T.5 Z 之近似分布為 N (, ), 其檢定規則與 z.5 例. 隨機抽出 5 名學生測驗他們對 A, B 兩種刺激的反應, 得以下資料 ( 單位 : 秒 ) 學生 A B 試在顯著水準為.5 下, 以 Sg test 檢定學生對 A B 兩種刺激的反應時間是 否有顯著差異? 解 : 設 D X Y,,,, () vs : : D D () 顯著水準為.5, 之中位數為 D (3) 檢定統計量為 D, D,, D 之正號數 7

76 無母數統計第四章 學生 A B D Uder T ~ B(4,.5), 而 T = ( 已刪除其中一項為 者 ) (4) 檢定規則 If T b.5(4) or T ow accept. b.975 (4) reject 其中 b 4), b (4) (5) 計算與決策.5(. 975 T b reject.975(4) 例. 隨機抽出 8 名胖子參加減肥計畫 A, 先量其重量, 俟計畫完成後, 再量其 重量, 得以下資料 ( 單位 : 公斤 ): 計畫前 計畫後 試在顯著水準為.5 下, 以 Sg test 檢定減肥計畫 A 是否有顯著有效 ( 註 : 檢重 量大於 公斤謂之有效 )? 解 : 設 D X Y,,,, () vs : : D D () 顯著水準為.5 (3) 檢定統計量, 之中位數為 D 計畫前 計畫後 D Uder T ~ B(8,.5), 而 T = 7 (4) 檢定規則 If p value.5 reject ow accept. (5) 計算與決策 p value P( T 7).35.5 reject 73

77 無母數統計第四章 Sec.4. Wlcoxo 檢定法 此檢定法亦可用於推論二個相關變數之差的位置參數 ( 如中位數 ) 之值. 基本假設 () 設 ( X, Y ),,, 為度量 個個體之某一性質之值, 所得之 個配對樣 本, () 此 個配對樣本彼此獨立 (3) 令 D X Y,,,, 個獨立隨機樣本 (4) 量度的尺度至少為區間尺度 (5) 變數為連續型, 可視為取自分布為對稱, 中位數為 D 之母體的. 統計假設 () : vs : D a D () : vs : D a D (3) : vs : D a D 3. 統計量 () 令 D X Y,,,, 刪除 D 者, () 將 D,,,, 由小而大排列, 依序分別賦予 rak 值,,, (3) 累加 D 為正號之 rak 值, 令其為 T 累加 D 為負號之 rak 值, 令其為 T, 而 T M ( T, T ) (4) 性質 () T ( or T ) ( ) () T T ( ) 4. 檢定規則 為真時 T( 或 T, T ) 之值不至於偏大 ( 或偏小 ), 故當 T( 或 T, T ) 當 之值偏大 ( 或偏小 ) 時, 表 不真 () 當 : 時, 檢定規則為 a D If T W ( ) reject ow accept. 74

78 無母數統計第四章 () 當 : 時, 檢定規則為 a D If T W ( ) reject ow accept. (3) 當 : 時, 檢定規則為 a D If T W ( ) reject ow accept. W () 之值可查 p.679 附表 5. 注意事項 ()Uder () 當 夠大 ( 3 ) 時 檢定法雷同 E[ T] ( ), Var[ T] ( )( ) 4 4 T E[ T] Z 之近似分布為 N (, ), 其檢定規則與 z Var[ T] 例 3. 隨機抽出 名作業員要求他們分別以 A B 兩種作業方式實際操作, 以完 成產品製作, 並量其作業時間, 得以下資料 ( 單位 : 分 ) 作業員 A B 試在顯著水準為.5 下, 檢定作業員以 A B 兩種作業方式實際操作, 以完成產 品製作所需的時間是否有顯著差異? 解 : 設 D X Y,,,, () vs : : D D () 顯著水準為.5 (3) 檢定統計量, 之中位數為 D 作業員 A B D D rak 檢定統計量為 T M( T, T ) 75

79 無母數統計第四章 (4) 檢定規則 If T W ( ) reject ow accept. 其中 W ) W () 4 (5) 計算與決策 T ( , T ( ) T T M( T, T ) M(69.5, 8.5) 8.5 T W reject.5() 例 4. 隨機抽出 名學童, 先測驗他們閱讀速度, 再教授他們 A 式速讀法後, 再測驗他們閱讀速度, 得以下資料 ( 單位 : 分 ) 學童 訓練前 訓練後 試在顯著水準為.5 下, 檢定 A 式速讀法是否有顯著有效 ( 註 : 閱讀速度進步 5 分謂之有效 )? 解 : 設 D X Y 5,,,, 之中位數為 D, () vs : : D D () 顯著水準為.5 (3) 檢定統計量為 (4) 檢定規則 T If T W ( ) reject ow accept. W () W () 其中.5 (5) 計算與決策 學童 訓練前 訓練後 D D rak

80 無母數統計第四章 T T 8 W () reject.5 Sec.4.3 差額 D 之中位數 D 之區間估計 可參考 Sec..6 母體中位數 之區間估計, 分別利用符號檢定法及 Wlcoxo 檢定法來求 摘要 : 取 T z 最接近的整數, L T, U T D 之 ( )% 信賴度之信賴區間為 M, M ] [ L U Sec.4.4 McNemar 檢定法 此檢定法用於檢定二個母體之母體比例是否相等? 母體比例是指一個母體中之所有元素具有某一特性之比例. 資料型態 ( 列聯表 ). 說明 : 控制組 實驗組 Yes No 合計 Yes A B A+B No C D C+D 合計 A+C B+D = A+B+C+D 配對 ( X, Y) 中 X 屬實驗組,Y 屬控制組 Yes 表具某一特性 ( 如達成目標 )No 表未具某一特性 (): 表配對樣本之對數 ()A: 表配對樣本中皆具某一特性的個數 (3)B: 表配對樣本中屬實驗組者未具某一特性, 而屬控制組者具某一特性的個 數 (4)C: 表配對樣本中屬實驗組者具某一特性, 而屬控制組者未具某一特性的個 77

81 無母數統計第四章 數 (5)D: 表配對樣本中皆未具某一特性的個數 (6)A+B: 表配對樣本中屬控制組者具某一特性的個數 (7)C+D: 表配對樣本中屬控制組者未具某一特性的個數 (8)A+C: 表配對樣本中屬實驗組者具某一特性的個數 (9)B+D: 表配對樣本中屬實驗組者未具某一特性的個數 *McNemar test for two related samples. 基本假設 () 資料包含隨機取得之 個個體, 或 對個體, 分別在實驗組中, 或控制組 中受測, 以取得實驗資料 () 變數的量度只要名目尺度即可 (3) 對樣本彼此是獨立的, 但同一對樣本內之二變數是相關的 (4) 控制組中具某一種特性的比例為 p 實驗組中具某一種特性的比例為 p. 統計假設 () : p p vs a : p p () : p p vs a : p p (3) : p p vs a : p p 3. 統計量 () p 之估計量為 () p p 之估計量為 A B A C pˆ, p 之估計量為 pˆ B C pˆ pˆ B C B C B C (3)Uder E [ pˆ ˆ p], 亦即 E [ ], 又 Var[ ] B C (4)McNemar 檢定法所引用之統計量為 Z B C B C (5)Uder, 當 B C Z 之近似分布為 N (, ) B C 4. 檢定規則 () 當 a : p p 時, 檢定規則為 78

82 無母數統計第四章 If Z Z reject ow accept. () 當 a : p p 時, 檢定規則為 If Z Z reject ow accept. (3) 當 a : p p 時, 檢定規則為 If Z Z reject ow accept. 例 5. 隨機抽出 名偏頭痛婦女參與新藥 A 之實驗, 分別施以新藥 A 及安慰劑, 各經過 個月後, 得結果如下所示 : 安慰劑 有效 無效 新藥 A 有效無效合計 合計 試在顯著水準為.5 下, 檢定新藥 A 是否有顯著有效? 解 : 設服用安慰劑與新藥 A 呈現有效之機率依序分別為 p, p : p p vs : p p () () 顯著水準為.5 (3) 檢定統計量 B C 當 B C,Uder Z ~ N(,) B C (4) 檢定規則 If Z Z reject ow accept. 其中 Z Z (5) 計算與決策 BC 5 45 Z reject BC

83 無母數統計第四章 習題四 4. 隨機抽出 名肌肉萎縮症患者, 先做肌力測驗, 經過一個藥物與運動並行的診治療程後, 再做一次肌力測驗, 得以下資料 :( 單位 : 磅 ) 患者 診療前 診療後 試在顯著水準為.5 下, 分別以符號檢定法及 Wlcoxo 符號等級檢定法檢定該診治療程使肌肉萎縮症患者之肌力增長是否顯著有效? 並利用符號檢定法求該診治療程使肌肉萎縮症患者之肌力增長的中位數的 95% CI? 4. 隨機抽出 3 名學生先測驗他們跑百米的速度, 經過一個速度訓練課程 A 後, 再行測驗, 得以下資料 ( 單位 : 秒 ) 學生 訓練前 訓練後 試在顯著水準為.5 下, 分別以符號檢定法及 Wlcoxo 符號等級檢定法檢定速度訓練課程 A 使學生跑百米進步時間之中位數是否顯著超過 秒鐘? 並利用符號檢定法求速度訓練課程 A 使學生跑百米進步時間之中位數的 95% CI? 4.3 隨機抽出 7 名糖尿病患者進行新藥 A 之藥效研究, 隨機讓他們依序服用新 藥 A 或舊藥 B 各 個月, 觀察他們的症狀之控制情況, 得以下資料 :(Y: 症狀在控制下 N: 症狀不穩定 ) 人數 服用新藥 A Y N TOT 服用 Y 舊藥 B N TOT 試在顯著水準為.5 下, 以 McNemar 檢定法檢定新藥 A 之藥效是否顯著優 於舊藥 B? 8

84 無母數統計 第五章 第五章多組獨立樣本之推論方法 Sec.5. 齊一性檢定 乃在檢定 r(r>) 個母體之分布是否全相同?. 基本假設 () 設分別由 r 個母體取出,,, r 個獨立隨機樣本, 且此 r 組樣本彼此獨立 () 樣本觀測值可分成 c 種不同情況, 設 o j 表屬第 個母體在第 j 種情況之觀測 次數,,,, r j,,,, 其相關列聯表如下 : 觀測次數 o j 母 體 可能情況 C C C 3 C c R o o o 3 c R o o o 3 c 合計 o o. o o. R r o r o r r3 合計 o. o.. 3 o rc o c o r o r. o. (3) 設 p j 表屬第 個母體在第 j 種情況之發生率, p j, 且 p j,,,,r j. 統計假設 : 此 r 個母體之分布均相同 vs : 此 r 個母體之分布不全相同 a 亦即 : : pj pkj, j,,, c k vs a : pj pkj, for some k ad j 3. 統計量 ()Uder p j p j prj, j,,, c o. j p. j 之估計量為 pˆ. j, j,,, c () 第 個母體發生在第 j 種情況之期望次數為 o. j o. o. j e pˆ j,,,, r j,, (3) 相關殘差平方和 j., 8 c