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1 Chapter 12 卡方檢定李水彬 Chien Hsin University of Science and Technology

2 Outline 1 簡介 2 適合度檢定實例一 : 薪資所得的分配檢定實例二 : 颱風警報的分配檢定 3 獨立性檢定實例三 : 學生曠課與上網時數的獨立性檢定 4 齊一性檢定實例四 : 請討論本校各學院學生滿意度是否有差異? 練習 : 請討論本校各年級學生滿意度是否有差異?

3 簡介 1 處理類別資料個人特徵 : 性別, 血型, 產品喜好 : 汽車廠牌喜好, 手機廠牌喜好, 意見觀點 : 滿意度, 抱怨類型等等 2 統計發生的次數單項統計 : 有幾個男生, O 型有多少人, IPhone, Samsung, htc 的持有人數交互項統計 : 男生且打工的人數, 愛打籃球又喜歡喝咖啡的人數等等

4 簡介 Table: 健行科技大學打工同學的次數分配表打工沒有打工合計人數百分比我們令 p 代表母體比例通常會有以下兩類問題 : 請估計本校打工同學的比例請問本校打工和沒有打工同學的比例是否相當

5 簡介打工同學的樣本比例為 47.4% 因為樣本比例是母體比例一個很好的估計方式, 因此, 我們估計本校打工同學的比例即為 ˆp = 47.4% 可以用信賴區間 (confidence interval) 表現估計的精確度本校打工同學比例之 95% 信賴區間為 ± 0.05

6 簡介虛無假設與對立假設 : 檢定統計量為 H 0 : p = 0.5 vs H 1 : p 0.5 (1) Z = = (2)

7 簡介拒絕域 (α = 0.05) 為 C = {Z > 1.96 或 Z < 1.96} 結論 : 因為 Z = 1.019, 故無法拒絕 H 0, 因此我們可以假設本校打工和非打工同學之比例是相當的

8 簡介 Table: 台灣地區各血型分布百分比 A B AB O 百分比 26.5% 24.8% 6.2% 42.5% Table: 本校學學生各血型分布百分比 A B AB O 合計人數百分比 21.2% 19.6% 12.7% 46.5% 100% 本校 O 型學生之比例 (p O ) 是否與台灣地區 O 型民眾之比例相當?

9 簡介兩個假設 H 0 : p O = 42.5% vs H 1 : p O 42.5% (3) 也可以問 A 型的比例 (p A ) 是否與台灣地區 A 型民眾比例相當? 即 H 0 : p A = 26.5% vs H 1 : p A 26.5% (4)

10 簡介全面性比較的問題而不是某一種血型的比例, 本校學生之血型分佈是否與台灣民眾的血型分佈相當? 即 H 0 : p A = 26.5%; p B = 24.8%; p AB = 6.2%; p O = 42.5% (5) H 1 : p A 26.5% 或 p B 24.8% 或 p AB 6.2% 或 p O 42.5% (6)

11 簡介適合度檢定適合度之意旨為某種給定的分配是否合適於代表研究對象的分配本校同學的血型比例 ( 未知 ) 是否與他們所處更大的群體台灣有所不同? 我們同學的血型分布情形有無特殊性, 特殊性是一種相對的講法, 他是與更大的群體 ( 已知 ), 更一般性的狀況比較的結果卡方檢定可以用來說明這種期待的特殊性是否存在

12 簡介獨立性檢定兩個或是以上的類別變數是否有關聯的問題重男輕女的現象是否存在, 個別家庭的父母或是長輩間或許存在, 或許無, 或者相反這種價值觀會反應在人的行為模式上, 行為模式是價值觀的具體表現我們是可以藉由觀察一些社會現象暸解一部分的內涵, 但非全部的解釋嘗試做這樣的命題因為重男輕女的觀念下, 本校女同學打工的比例高於男同學這樣推論說明把性別與打工這兩個類別變數存在關聯性

13 簡介打工與否是否與性別有關? M: 男生事件, W : 打工事件 p M = P (M) 代表本校男生的比例, p W = P (W ) 代表本校打工的比例 P (M W ) 代表本校男同學且打工的比例

14 簡介假設打工與否與性別無關, 其意就是 W 事件發生與否與 M 事件發生無關, 即 P (M W ) = P (M)P (W ) = p M p W (7)

15 簡介如何驗証式是否真的成立, 仍須用相對次數的觀點解決 Table: 本校男女生打工情形之列聯表男女合計打工沒有打工合計

16 簡介齊一性檢定 1 卡方檢定還可以用檢定不同群體間的分佈是否相同的問題 Example 本校共四個學院, 每一個學院為一個子母體, 我們可以討論學生對未來的信心程度在學院間無差異, 某個學院的學生對未來可能比較有信心, 或者有學院的學生對未來信心偏弱

17 簡介 Table: 本校各學院學生對未來信心調查之列聯表有信心普通沒信心合計管理工商電資合計

18 適合度檢定適合度檢定適合度定是用來探討一個類別變數的次數分配是否與一個已知且群體範圍更大的母體分配相同, 或者與一個假設性或理想性的機率分配是否相同 ( 這類為隨機變數的分配假設檢定 ) 將台灣民眾的血型分配就是一個已知且比健行科技大學學生更大的群體, 我們的學生是台灣民眾的一部份探討本校學生的血型分配是否與台灣民眾的血型分配相同的卡方檢定, 即為適合度檢定

19 適合度檢定 H 0 : 本校學生的血型分配與台灣民眾的血型分配相同當 H 0 為真時, 樣本資料所呈現的次數分配會如何? 根據古典機率法則, 假設群體中每一個被抽中的機率相同, 這 n 個對象分屬這 m 個類別, 若假設它們的比例為 H 0 : p i = p 0,i, i = 1,, m (8)

20 適合度檢定在 H 0 下, 期望次數為 E i = n p 0,i, i = 1,, m (9) 讓 O i, i = 1,, m 代表實際觀察的結果, 如果 H 0 為真, 則每一個 O i 應該與期望次數接近, 即 E i O i, i = 1,, m 都應接近 0

21 適合度檢定 (O i E i ) 2 χ 2 (1) (10) E i 卡方檢定統計量為 m χ 2 (O i E i ) 2 0 = χ 2 (m k) (11) E i i=1 其中 k 為限制式的數目

22 適合度檢定假設一個群體依其屬性可以分成 m 個類別 ( 例如, 血型有 m = 4 類 ), 每一個類別的比例分別為 p 1,, p m (12) 因為比例總和為 1, 所以, 必須加入條件 m p m = p p m = 1 (13) i=1

23 適合度檢定拒絕域的型態為 C = { χ 2 0 > c } (14) 這裡必須注意, 卡方檢定只有右尾型式, 沒有左尾和雙尾的拒絕域在控制顯著水準 α 下, 上式 c = χ 2 α(m k)

24 適合度檢定適合度卡方檢定的步驟摘要如下 : STEP1 兩個假設 ( 只寫虛無假設 ) STEP2 檢定統計量首先, 根據虛無假設計算每一個儲存格的期望次數, 若有期望次數低於 5, 須考慮合併儲存格, 將屬性相近的儲存格予以合併接著, 計算式 (11) 的卡方檢定統計量 STEP3 拒絕域根據顯著水準 α, 查出 χ 2 α(m k) 之值, 令拒絕域為 C = { χ 2 0 > χ 2 α(m k) } STEP4 結論清楚說明檢定後的決策

25 適合度檢定 Example 請問本校學生之血型分佈與台灣民眾血型分佈是否有差異? STEP1: 兩個假設 ( 只寫虛無假設 ) { pa = 26.5%; p H 0 : B = 24.8%; p AB = 6.2%; p O = 42.5%

26 適合度檢定 STEP2: 檢定統計量計算期望次數 Table: 台灣地區各血型分布百分比 A B AB O 合計百分比 26.5% 24.8% 6.2% 42.5% 100% 期望次數觀察值

27 適合度檢定計算檢定統計量 χ 2 0 = (O i E i ) 2 E i ( )2 ( )2 = ( )2 ( ) = = 71.46

28 適合度檢定 STEP3: 拒絕域 (α = 0.05) 查表 χ (4 1) = 拒絕域 C = { χ 2 > } STEP4: 因為 χ 2 0 = 落在拒絕域 C 中, 故拒絕 H 0, 即證據足以證實本校學生的血型分佈與台灣民眾的血型分佈不同

29 適合度檢定實例一 : 薪資所得的分配檢定在第十章估計和第十一章假設檢定中, 通常需要假設母體的分配是常態的, 但是母體是否真為常態, 或者可以接受是常態的假設適合度檢定提供一個判定常態假設的方法例如, 調查本系 50 位畢業四年內校友的薪資, 假設校友的薪資的分配為常態, 請問如何驗證此一假設是否為真?

30 適合度檢定實例一 : 薪資所得的分配檢定

31 適合度檢定實例一 : 薪資所得的分配檢定 Table: 校友的薪資 ( 月薪, 萬 )

32 適合度檢定實例一 : 薪資所得的分配檢定圖 : 本系 50 位畢業四年內校友的薪資的莖葉圖

33 適合度檢定實例一 : 薪資所得的分配檢定對於這組資料, 我們的問題是 H 0 : 薪資資料分配為 N ( 4.0, 1.0 2) H 1 : 薪資資料分配不是 N ( 4.0, 1.0 2) (15) 最大值為 6.3 萬, 最小值 2.3 萬, 平均值為萬, 標準差為萬是否可以檢定上述假設呢?

34 適合度檢定實例一 : 薪資所得的分配檢定圖 : N (4.0, ) 的機率分配曲線圖

35 適合度檢定實例一 : 薪資所得的分配檢定參考史塔克基法則 (sturge s rule), 組數 k 與樣本數 n 的關係如下 : k = log 10 n (16) 且至少分成 5 段 ; 例如, n = 50, 所以, k = log = 6.6, 取 k = 7 每一段期望次數至少有 5 個觀察值

36 適合度檢定實例一 : 薪資所得的分配檢定 h > R k = 4.0 = 0.58 (17) 7 故取 h = 0.6 我們可得如下的次數分配表

37 適合度檢定實例一 : 薪資所得的分配檢定 Table: 校友的薪資的次數分配表範圍次數累積次數相對次數相對累積 2.15 < x < x < x < x < x < x < x 合計

38 適合度檢定實例一 : 薪資所得的分配檢定

39 適合度檢定實例一 : 薪資所得的分配檢定 Table: 期望次數表範圍機率值期望次數 E i 觀察次數 O i 2.15 < x < x < x < x < x < x < x 合計

40 適合度檢定實例一 : 薪資所得的分配檢定

41 適合度檢定實例一 : 薪資所得的分配檢定 Table: 合併期望次數表範圍機率值期望次數 E i 觀察次數 O i 2.15 < x < x < x < x < x < x 合計

42 適合度檢定實例一 : 薪資所得的分配檢定檢定統計量為 χ 2 0 = (O i E i ) 2 E i (6 5.3)2 (8 7.6)2 ( )2 = ( )2 (6 8.3)2 (9 6.2) = = 2.14 因為 χ (6 1) = , 所以拒絕域為 C = { χ 2 > }

43 適合度檢定實例一 : 薪資所得的分配檢定檢定統計量 χ 2 0 = 2.14 沒有落在 C 中, 故我們無法拒絕 H 0, 表示薪資服從常態分配是可以接受的假設

44 適合度檢定實例二 : 颱風警報的分配檢定我們常假設單位時間內某特性事件發生的次數通常是一個卜瓦松分配, 台灣過去 112 多年來, 平均每年有 4.36 個颱風

45 適合度檢定實例二 : 颱風警報的分配檢定 Table: 年的颱風統計資料 ( 資料來源 : 中央氣象局 ) 一年侵襲年實際值 H 0 下的期望值台灣次數數相對次數累積次數相對次數累積次數 ( ) 合計

46 適合度檢定實例二 : 颱風警報的分配檢定我們的假設為 H 0 : 颱風侵襲台灣次數為卜瓦松分配 H 1 : 颱風侵襲台灣次數不是卜瓦松分配 (18) 卜瓦松機率密度函數為 f(x) = e λ λ x, x = 1, 2, (19) x!

47 適合度檢定實例二 : 颱風警報的分配檢定圖 : 卜瓦松 P (4.36) 的機率分配長條圖

48 適合度檢定實例二 : 颱風警報的分配檢定當 H 0 為真時, 期望次數 λ 的估計值為 ˆλ = 4.36 根據此一估計值, 我們可以計算每一年颱風侵台次數的機率值為推估發生機率的理論值 ˆf(x) = e ˆλˆλx, x = 1, 2, (20) x!

49 適合度檢定實例二 : 颱風警報的分配檢定 Table: 颱風期望次數分配表次數期望值次數期望值次數 8 的期望次數皆小於 5, 考慮合併這些儲存格

50 適合度檢定實例二 : 颱風警報的分配檢定圖 : 颱風衛星雲圖

51 適合度檢定實例二 : 颱風警報的分配檢定

52 適合度檢定實例二 : 颱風警報的分配檢定 Table: 合併後的颱風期望次數分配表次數實際值期望值

53 適合度檢定實例二 : 颱風警報的分配檢定檢定統計量為 χ 2 0 = (O i E i ) 2 E i (4 7.62)2 ( )2 ( )2 = ( )2 ( ) ( )2 (9 8.51)2 (5 8.52) = = 9.04

54 適合度檢定實例二 : 颱風警報的分配檢定因為 χ (8 2) = , 所以拒絕域為 C = { χ 2 > } 檢定統計量 χ 2 0 = 9.04 沒有落在 C 中, 故我們無法拒絕 H 0, 表示颱風侵台次數服從卜瓦松分配

55 獨立性檢定獨立性檢定是指兩個變數是否獨立的檢定方法這兩變數來自相同個體, 獨立性檢定分析變數間是否有關聯性在第 11 章連續型變數, 稱之為成對樣本, 例如身高和體重這兩個變數是否有關, 在測量方法上對每一個人做身高與體重的測量, 身高與體重是來自同一個抽樣的結果在類別型變數亦同, 例如在問卷調查中, 我們對受訪者詢問一系列的問題, 每一個問題都是一個變數, 研究者常常對這些變數的關係, 關聯和結構有興趣, 而兩變數的獨立性檢定是最初步的瞭解方法

56 獨立性檢定 Example 在探討健行科技學生的學習活動與對學校滿意度的關係之研究中, 我們直觀上可能認為學生上網時間會影響上課出席狀況, 更明確地說, 上網時間增加將使得學生曠課次數增加, 我們對此有疑問, 想予以證實

57 獨立性檢定在問卷上我們會調查 n 位受訪者上網時間 (X, 小時 ) 和每周曠課時數 (Y ) 假設這問卷共有 c 個受訪者, 令 (X k, Y k ) 代表第 k 位受訪者對這兩題的回應, k = 1,, n 假設在問卷中變數 X 有 r 選項, 用 a 1,, a r 表示之 ; 變數 Y 有 c 選項, 用表示之 b 1,, b c

58 獨立性檢定列聯表第 (i, j) 位置上的數值 O ij 代表同時勾選 X = a i 和 Y = b j 的人數此表示統計所有可能事件 {(a i, b j )} 在此次調查中發生的次數

59 獨立性檢定定義定義兩變數的聯合機率分配 (jointly probability distribution) 為 p ij = P ((X, Y ) = {a i, b j }), i = 1,, r; j = 1,, c. (21) 也就是受訪者勾選 {(a i, b j )} 的機率

60 獨立性檢定以相對次數的觀點, 可以以 ˆp ij = O ij n (22) 做為 p ij 的估計

61 獨立性檢定 Table: 獨立性檢定的列聯表 Y X b 1 b j b c 合計 a 1 O 11 O 1j O 1c O a i O i1 O ij O ic O i..... a r O r1 O rj O rc O r 合計 O 1 O j O n O

62 獨立性檢定其中 O i = c O ij = O i1 + O i2 + + O ic (23) j=1 O j = r O ij = O 1j + O 2j + + O rj (24) i=1 O = r c O ij = r O i = c O j (25) i=1 j=1 i=1 j=1

63 獨立性檢定 O i 為變數 X 在 a i 選項上的邊際次數 (marginal frequency), 也就是這份問卷中回答勾選 a i 的總人數 O j 為變數 Y 在 b j 選項上的邊際次數, 為這份問卷中回答勾選 b j 的總人數 O 洽等於 n, 因為每一個受訪者的回應結果應該是這些可能情況的其中之一

64 獨立性檢定令 p i+ = P (X = a i ) p +j = P (Y = b i ) 如式 (7) 一樣, 若兩個變數是獨立的, 則 (26) p ij = P (X = a i )P (Y = b i ) = p i+ p +j (27)

65 獨立性檢定獨立性檢定的兩個假設為 H 0 : X&Y 兩個變數相互獨立 H 1 : 兩個變數不獨立 (28) 轉換成事件機率是否獨立的假設檢定, H 0 : p ij = p i+ p +j H 1 : 不全相等 (29)

66 獨立性檢定上式 p i+, i = 1,, r 和 p +j, j = 1,, c 都是未知數可以分別利用下式估計之 ˆp i+ = O i n, i = 1,, r ˆp +j = O j n, j = 1,, c (30)

67 獨立性檢定在 H 0 的假設下, p ij 的估計為 ˆp ij = ˆp i+ˆp +j (31) 且表 14 中每一個儲存格的期望次數為 E ij = nˆp ij = nˆp i+ˆp +j = n O i n O j n = O (32) i O j O

68 獨立性檢定 Table: 獨立性檢定的列聯表 Y X b 1 b j b c 合計 a 1 E 11 E 1j E 1c O a i E i1 E ij E ic O i..... a r E r1 E rj E rc O r 合計 O 1 O j O c O

69 獨立性檢定獨立性檢定的卡方統計量為 χ 2 0 = r c (O ij E ij ) 2 (33) i=1 j=1 E ij

70 獨立性檢定關於卡方分配的自由度, 在虛無假設有 rc 個參數, 對應 rc 個儲存格, 而每一個儲存格都是一個隨機變數的結果, 有 rc 的自由度, 但因為總觀察次數為 n, 少了 1 個自由度, 儲存格有 rc 1 個自由度式 (30) 有 r + c 條方程式, 有 r + c 個參數需要估計, 每一個參數估計都是一個限制式, 但有限制總機率和為 1 的法則, 只需要估計 r + c 1 個參數卡方檢定的自由度為 v = rc (r c 1) = (r 1)(c 1) (34)

71 獨立性檢定拒絕域為 C = { χ 2 > χ 2 α((r 1)(c 1)) }

72 獨立性檢定獨立性檢定虛無假設 : 兩個變數獨立 ( 不相關 ) 卡方檢定統計量 : χ 2 0 = r i=1 c (O ij E ij ) 2 E j=1 ij 自由度 v = (r 1)(c 1) 拒絕域 C = { χ 2 > χ 2 α((r 1)(c 1)) }

73 獨立性檢定實例三 : 學生曠課與上網時數的獨立性檢定表 16 是調查本校 384 為學生每周曠課時數與上網時間的列聯表, 請檢定兩者是否有關連性? Table: 學生曠課與上網時數之列聯表曠課上網時間合次數計合計

74 獨立性檢定實例三 : 學生曠課與上網時數的獨立性檢定 [STEP1]: 兩個假設 H 0 : 學生曠課與上網時數無關 H 1 : 學生曠課與上網時數有關 (35)

75 獨立性檢定實例三 : 學生曠課與上網時數的獨立性檢定圖 : 上課或上網?? [STEP2]: 次數, 得檢定統計量首先, 利用式 (32) 計算期望

76 獨立性檢定實例三 : 學生曠課與上網時數的獨立性檢定 Table: 學生曠課與上網時數之期望次數列聯表曠課上網時間合次數計合計

77 獨立性檢定實例三 : 學生曠課與上網時數的獨立性檢定將期望次數低於 5 與相鄰儲存格合併, 得 Table: 合併後之期望次數表曠課上網時間合次數計合計

78 獨立性檢定實例三 : 學生曠課與上網時數的獨立性檢定對應於期望次數表的合併情形, 我們亦將觀察次數表的儲存格合併, 得 Table: 合併後之觀察次數曠課上網時間合次數計合計

79 獨立性檢定實例三 : 學生曠課與上網時數的獨立性檢定計算每一個儲存格的偏離量 (O i E i ) 2 E i 如下表卡方檢定統計量 Table: 個別儲存格之卡方統計量曠課上網時間次數 χ 2 0 = = 17.82

80 獨立性檢定實例三 : 學生曠課與上網時數的獨立性檢定 [STEP3]: 拒絕域根據顯著水準 α = 0.05, 自由度為 (4 1) (5 1) = 12, 查出 χ (12) = 21.03, 所以, 拒絕域為 C = { χ 2 0 > } [STEP4]: 結論因為 χ 2 0 == 沒有落在 C 內, 故證據無法證實學生曠課與上網時數是有關的, 或者說學生曠課與上網時數沒有明顯的關係

81 齊一性檢定齊一性檢定旨在數個母體在某個特性變數的分配是否一致, 如表 5 討論本校各院學生面對未來的信心程度是否相同? 在問卷調查將信心程度分成五個等第, 比較各院學生的回應在每一個等第的比例是否相同

82 齊一性檢定齊一性檢定應採用分層隨機抽樣, 將每個學院視為子母體, 控制各學院的抽樣人數, 並在學院中進行隨機抽樣假設有 A 1,, A r 層, 屬性變數 Y 的選項為 b 1,, b c, 統計各子母體屬性變數 Y 的次數分配

83 齊一性檢定在齊一性檢定中, 將層別視為另一個變數, 使得討論分配是否一致的問題轉換成獨立性檢定, 變成層別變數與屬性變數是否有關? 因此, 齊一性檢定的實施與決策法則完完全全與獨立性檢定相同, 故此不再贅述

84 齊一性檢定兩個假設為 H 0 : 本校各學院學生對學校滿意度沒有差異 H 1 : 本校各學院學生對學校滿意度有差異 (36)

85 齊一性檢定 Table: 齊一性檢定的列聯表 Y 層別 b 1 b j b c 合計 A 1 O 11 O 1j O 1c O A i O i1 O ij O ic O i..... A r O r1 O rj O rc O r 合計 O 1 O j O c O

86 齊一性檢定 Example 請依據表 5 檢定本校各院學生面對未來的信心程度是否相同? 解 : 兩個假設 H 0 : 本校各院學生面對未來的信心程度是相同的 H 1 : 本校各院學生面對未來的信心程度不相同的 (37)

87 齊一性檢定計算期望次數 Table: 本校各學院學生對未來信心調查之列聯表有信心普通沒信心合計管理工商電資合計

88 齊一性檢定計算卡方檢定統計量 Table: 本校各學院學生對未來信心調查之列聯表有信心普通沒信心合計管理工商電資合計 χ 2 0 = 15.77

89 齊一性檢定自由度 v = (4 1) (3 1) = 6 拒絕域為 C = { χ 2 0 > } 結論 : 因為 χ 2 0 = 落在 C 內, 故證實本校各院學生面對未來的信心程度是不相同的, 或者本校各院學生面對未來的信心程度有明顯的不同

90 齊一性檢定實例四 : 請討論本校各學院學生滿意度是否有差異? 請根據表 24 說明本校各學院學生對學校滿意度是否有差異? 解 : 設定兩個假設 H 0 : 本校各學院學生對學校滿意度沒有差異 H 1 : 本校各學院學生對學校滿意度有差異 (38)

91 齊一性檢定實例四 : 請討論本校各學院學生滿意度是否有差異? Table: 健行科技大學各院學生滿意度的列聯表非常贊成普通不贊成非常合計贊成不贊成管理學院工學院商學院電資學院合計

92 齊一性檢定實例四 : 請討論本校各學院學生滿意度是否有差異? 計算期望次數利用期望次數的計算公式 E ij = O i O j 得下表 : O Table: 健行科技大學各院學生滿意度的列聯表非常贊成普通不贊成非常合計贊成不贊成管理學院工學院商學院電資學院合計

93 齊一性檢定實例四 : 請討論本校各學院學生滿意度是否有差異? 合併儲存格將鄰近儲存格合併使得每一個期望次數的儲存格數值皆大於 5 Table: 合併後的期望次數非常贊成贊成普通不贊成合計管理學院工學院商學院電資學院合計

94 齊一性檢定實例四 : 請討論本校各學院學生滿意度是否有差異? 合併後的觀察次數表 Table: 合併後的觀察次數非常贊成贊成普通不贊成合計管理學院工學院商學院電資學院合計卡方檢定統計量 χ 2 0 = 11.9

95 齊一性檢定實例四 : 請討論本校各學院學生滿意度是否有差異? Table: 卡方統計量非常贊成贊成普通不贊成合計管理學院工學院商學院電資學院合計 χ 2 0 = 11.9 自由度 v = (4 1) (4 1) = 9 拒絕域 C = { χ 2 0 > } 結論 : 因為 χ 2 0 = 11.9 沒有落在 C 內, 故無法證實本校各院學生的學生滿意度有明顯不同

96 齊一性檢定練習 : 請討論本校各年級學生滿意度是否有差異? 請根據表 29, 檢定校各年級學生滿意度是否有差異? Table: 健行科技大學各年級學生滿意度的列聯表非常贊成普通不贊成非常合計贊成不贊成一年級二年級三年級四年級合計

97 齊一性檢定練習 : 請討論本校各年級學生滿意度是否有差異? 愛因斯坦 : 人生就像騎單車想保持平衡就得往前走 Life is like riding a bicycle. To keep your balance you must keep moving.

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PowerPoint 簡報機率台大電機系葉丙成微博 : weibo.com/yehbo 臉書 : facebook.com/prof.yeh 部落格 : pcyeh.blog.ntu.edu.tw 本週主題概述 8-: 聯合機率分佈 8-2: 邊際機率分佈 8-3: 雙變數期望值 2 8-: 聯合機率分佈 (JOINT PROBABILITY DISTRIBUTION) 第八週 3 當小明出國去交換時 X: 小美臉書 /QQ