现代信号处理 Modern Signal Processing

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辅祝
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1 现代信号处理 Modern Sgnal Processng 清华大学自动化系张贤达电话 : Emal:

2 序言信号 : 信息的载体信号处理 : 从观测信号中获得隐含的信息经典信号处理 : 非参数化信号处理 ( 工具 :FFT) 现代信号处理 : 参数化信号处理现代信号处理研究的问题估计 (estmaton): 参数估计信道估计功率谱估计波达方向估计特征提取时频分析信号检测 ( 多用户检测 ) 滤波 (flterng): 自适应滤波信号处理的机器学习辨识 (dentfcaton): 系统辨识目标识别信号分类反卷积与均衡

3 课程特点及考核课程内容随机信号参数估计现代谱估计自适应滤波高阶统计分析时频信号分析课程特点现代信号处理的主要理论方法和应用与前沿接轨数学知识 ( 矩阵分析数理统计最优化 ) 创新能力的培养考核方式习题 (26%) 计算机仿真 ( 实验 3 次,24%) 考试 (50%)

4 教材与参考书教材 : 张贤达, 现代信号处理 ( 第 2 版 ), 清华大学出版社,2002 年 0 月第次印刷,2004 年月第 4 次印刷 (4,000 册 ), 本书已经正式确定为北京市高等教育精品教材参考书 : [] S.M. Kay, Modern Spectral Estmaton, Prentce-Hall, 988 [2] S. Haykn, Adaptve Flter Theory (3rd Ed.), Prentce-Hall, 996 [3] 张贤达, 现代信号处理习题与解答, 清华大学出版社,2003 年第版

5 第一章随机信号本章主要介绍随机信号的基本概念 : 相关函数功率谱密度两个信号的正交统计不相关和统计独立相干信号以及它们的几个典型应用

6 . 信号分类信号信息的载体连续时间信号离散时间信号 st () sk ( ) < t< k为整数确定性信号 ( 按某函数取值, 每时刻值可知 ), 例如, t 0, t 0 ut ( ) = sgn( t) = 0, 其它 0, t < 0 随机信号 ( 每时刻取值未知 ): ⑴ 取值是随机的 ( 不能确切已知 ) ⑵ 取值服从概率分布规律 ( 统计特性确定, 但未知 )

7 统计特性二阶统计量相关函数 : 信号 xt R t Extx t 协方差函数 : * () xx(;) τ {() ( τ)} C t E x t m t x t m t * xx( τ; ) {[ ( ) x( )][ ( τ) x( τ)]} 高阶统计量 ( k 3) k阶矩 : μ( t,, t) = Ext { ( + t) xt ( + t) xt ( + t)} k 阶累积量 (cumulant) k 2 ct (,, t) = cum{ xt ( + t), xt ( + t2),, xt ( + t k )} k k

8 按概率分布分类随机信号 : 也叫随机过程时间序列离散随机信号 : x( k) 离散时间序列 :{ x( k)}, 其中 k =,2,, N 随机信号按概率密度分类, 分为高斯信号 : 概率密度函数服从正态 ( 高斯 ) 分布的随机信号非高斯信号 : 概率密度函数服从非正态 ( 非高斯 ) 分布的随机信号

9 平稳信号平稳信号 ( 统计量与时间无关 ) 广义平稳 ( 弱平稳协方差平稳 ) 狭义平稳广义平稳的条件 ⑴ 均值 μ () t = E{ x()} t = 常数 x ⑵ C ( τ ) < ( 有界 ), τ ⑶ xx C ( τ; t) = C ( τ) xx xx 强平稳狭义平稳若 m ( t, t,, t ) = m ( t + τ, t + τ,, t + τ) ( 其中 k =,, n) kx 2 k kx 2 k 成立, 则称为 n 阶平稳

10 平稳信号 ( 续 ) 严格平稳广义平稳, 但反之一般不成立高斯信号 : 严格平稳 = 广义平稳非平稳信号 (nonstatonary sgnal) 不是广义平稳的信号统称非平稳信号遍历性 2 N 若 lm E x( t+ t) x( t+ tk) μ( t,, tk) = 0 N 2N + t= N 则 { xt ( )} 称为均方遍 ( 态 ) 历 ( 经 ) 信号遍态历经信号 : 总体平均 μ( t,, t ) = E{ x( t+ t ) x( t+ t )} 可以用足够长的时间平均 2N + k N t= N xt ( + t) xt ( + t) 代替 k k

11 2. 两个随机信号的二阶统计量互相关函数 * R ( τ) E{ x( t) y ( t τ)} xy 共变部分相乘 ( 取相同符号 ) + 不同变化 ( 随机 ) 部分相乘 ( 有时取正, 有时取负, 平均意义上相互抵消 ) 互相关函数描述的是两个信号共同的部分 ( 特征 ) 随机信号 = 不变部分 ( 均值 ) + 变化部分 R ( τ ) 包含直流分量直流分量交流分量 ( 不感兴趣, 多余 ) xy

12 2. 两个随机信号的二阶统计量 ( 续 ) 互协方差函数 { τ * } C ( τ) = E [ x( t) m ][ y( t ) m ] 不含直流分量 xy x y 功率谱 : 协方差函数的 Fourer 变换 j2π fτ Pxy ( f) Cxy ( τ) e d = τ 零均值化 : 均值不为 0的信号减去其均值注 : 一些书将零均值化信号的相关函数的 Fourer变换定义为功率谱

13 2. 两个随机信号的二阶统计量 ( 续 ) 互相关系数 ρ ( τ ) = xy C xx C ( τ ) (0) C (0) 相干信号 (coherent) 拷贝信号 0 xy 0 0 xy yy 若对某一滞后 τ, 有 ρ ( τ ) =, 则称 xt () 和 yt () 为相干信号, 并且 jφc 此时有 yt () = Ce xt ( τ ), 即 yt () 是 xt () 的拷贝信号注 : 若 ρ xy ( τ) 接近于, 则称高相关信号相干积累 : 收集相干信号, 以提高接收机信噪比 ( 典型应用 :RAKE 接收机, 雷达与无线通信 )

14 3. 两个随机信号的统计关系统计独立 : f X, Y( x, y) = fx( x) fy( y) 统计不相关 : 若 C ( τ ) = 0, τ, 则称 x() t 和 y() t 统计不相关 xy 正交 : 若 R E x t y t * xy ( τ) = { ( ) ( τ)} = 0, τ, xt () 与 yt () 正交, 记作 xt () yt () 则称随机信号

15 正交的几何解释. 常数向量的正交 ( 常数向量 : 元素为常量的向量 ) 夹角 : xy, cosθ = = xx, yy, H x y x y H 正交 : xy, = x y= 0 两常数向量夹角为 90

16 正交的几何解释 ( 续 ) 2. 函数向量的正交夹角 : H xy, x () t y() t dt a cosθ = = b,, 2 b xx yy 2 x() t dt y() t dt a b a 正交 : b H xy, = x ( t) y( t) dt = 0 a 两函数向量夹角为 90

17 正交的几何解释 ( 续 ) 3. 随机向量的正交两个随机变量 x( ξ) 和 y( ξ) 之间的夹角 : { * ( ξ) y( ξ) } x( ξ), y( ξ) E x cosθ = = x( ξ), x( ξ) y( ξ), y( ξ) E x( ξ) E y( ξ) { * } 称随机变量 x( ξ) 与 y( ξ) 正交, 若 E x ( ξ) y( ξ ) = 0 { 2 } { 2 }

18 正交的几何解释 ( 续 ) x( ξ) = [ x( ξ), x2( ξ), xm ( ξ) ] [ y y T y ] y( ξ) = ( ξ), ( ξ), ( ξ) 两个随机向量 2 x ( ξ) 都与另一个随机变量 y ( ξ) 正交 n { ( ) H ( )} j T 和正交, 系指任何一个随机变量正交条件 : Rxy = E x ξ y ξ = 0m n ( 零矩阵 )

19 正交的物理意义两个向量正交任何一个向量到另外一个向量的投影为零两个向量互不干扰

20 正交的两个典型应用. 在多址通信技术中的应用通信理论的基本结论 : 若多个用户的信号可以做到正交, 则这些用户可共享一个发射媒介时分多址 (TDMA: tme-dvson multple access): 各个用户的信号波形在时域上无重叠正交 ( 时域正交 ) 用户和用户 2之间有一个保护时隙 b * () j() 0, s t s t dt = j a 共享 : 整个频带

21 正交的两个典型应用 ( 续 ) 频分多址 (FDMA: frequency-dvson multple access): 各个用户的信号波形在频域上无重叠频域正交用户和用户 2之间有一个保护频隙 F 2 S * ( f ) S j( f ) df = 0, j F 共享 : 整个时区

22 正交的两个典型应用 ( 续 ) 码分多址 (CDMA: code-dvson multple access): 各个用户的信号波形在时域和频域都有重叠, 但信号之间正交扩频码之间正交直接序列 CDMA 共享 : 整个时区和频带跳频 CDMA: 在相同时区, 各个用户的信号在频域不重叠正交

23 正交的两个典型应用 ( 续 ) 2. 离散 Karhunen-Loeve 变换 T [ ] { H x }, x2,, xm 零均值随机向量, 自相关矩阵 x E x = R = xx H H 线性变换 w = Q x( Q为酉矩阵, Q = Q ) H w = q x, =,2, M M H 级数展开 : x= Qw = wq, q q = 0, j ( 正交 ) = j 基向量目的 : 希望减少 w的系数个数, 又能够重构原信号 x

24 正交的两个典型应用 ( 续 ) m 逼近 : xˆ = wq, m M = 逼近误差 : e = x xˆ = w q M m = m+ M { } { } M 2 { 2 } H H H m = emem = q q = q q = m+ = m+ 均方误差 : E E E w E w { 2 } { } { } 由 w = q x得 : E w = E q x x q = q E xx q = q R q H H H H H H x

25 正交的两个典型应用 ( 续 ) 优化问题 : J ( q ) q * Lagrange mn 拉格朗日乘子法 : 代价函数 M H m = mn q Rxq = m+ H = M M H H = x + λ = m+ = m+ J ( q ) q R q ( q q ) = Rq λq = 0 Rq = λq x x E 约束条件 : q q 乘子 λ 和基向量必须分别选取为自相关矩阵 R 的特征值 λ 和特征向量 u x

26 正交的两个典型应用 ( 续 ) 离散 K-L变换 xˆ = x xˆ = 此时, 均方误差 m = K = w u 若 R 只有 K个大特征值, 其余 M K个特征值可忽略, 则 w u M M M M H H H EK = q Rxq = u λju ju j u = λ = K+ = K+ j= = K+ 可达到最小

27 正交的两个典型应用 ( 续 ) 结论 : K 用 xˆ = wu 逼近 x, 可使逼近 ( 信号重构 ) 的均方误差 = 最小化, 离散 K-L 变换是原信号的最优逼近

28 正交的两个典型应用 ( 续 ) 利用离散 K-L 变换进行信号编码及解码待发射信号 : x, x,, x R 信号编码 : w x 2 H M 特征值分解, 确定大特征值个数 K, 并存储 K 个 K [ ] 特征向量 u,, u 令 U = u,, u = U x M个原数据 x,, x K个变换系数 w,, w 实际发射 : 发射 K 个系数 w,, w K, 求样本自相关矩阵 R M M 即可 x K = M = xx K H

29 正交的两个典型应用 ( 续 ) K 接收端 : 利用 xˆ = w ˆ ˆ ˆ u重构信号 x, x2,, xm ( 信号解码 ) = 发射端和接收端 : 必须有 u,, u M 压缩比 : K 若 M K, 则可实现大压缩比的信号压缩 K 的信息信号编码信号压缩 : 通信图像等

30 统计相关的应用 CDMA 接收机接收信号 : K rt () = Ab[] s( t T) + nt () k = k k k T * r () t sk () t dt k 0 相关接收可提取用户的发射信号 T * r t sk t dt r t 0 原理 : 相关运算 () () 可抽取接收信号 () 与用户 k扩频信号 s( t) 之间的共同部分 k

31 相干的应用无线通信中的多径信号为典型的相干信号加权系数选择 : L z () t = c() t z () t c() t = = L k= z () t 2 z () t 2 k 多径信号

32 相干的应用 ( 续 ) RAKE 接收 : 将所有具有较大能量的信号收集起来, 并相加这是一个典型的相干积累, 可提高信干噪比 ( 因为总的信号能量增加 )

33 4. 信号变换 * k = () k() k() 2 有限能量信号 : E{ x( t) } < ( 平方可积信号 ) ⑴ Φ 级数展开 : xt () = CΦ () t k C k 展开系数 ; Φ 基函数应满足的条件 : () t 线性独立 k k = 基 ( 本 ) 函数 ⑵ 若 <Φ (), t x() t >= 0, 则 x() t = 0, k( 完备性 ) k C x t g t dt g t k 基函数 k

34 4. 信号变换 ( 续 ) 正交信号变换 ⑴ Φ () t = g () t k k, 若 k = ⑵ <Φ k(), t Φ l() t >= δ ( k - l) = 0, 其它 jwt jwt 标准正交基 : 如, e,, e, l 双正交信号变换 ⑴Φ () t g () t ⑵ < Φ (), t g () t >= 0 k k k l 非正交信号变换 ⑴Φ () t g () t ⑵ < Φ (), t g () t > 0 k k k l

35 5. 随机信号通过线性系统 x() t y() t 线性系统冲激响应 ( 系数 ) ht ( ) * yt () = xt () ht () xuh ( ) ( t udu ) * ht ( ) xt ( ) hux ( ) ( t udu ) = 今后均假设讨论的信号已零均值化, 这里 x(t) 已零均值化

36 5. 随机信号通过线性系统 ( 续 ) { * } R () τ = C () τ = E y() t y ( t τ) yy yy = C ( τ u + u ) hu ( ) h ( u ) dudu xx * * 2 yy( ) = xx( ) ( ) ( ) = xx( ) ( ) P f P f H f H f P f H f 其中 j2π ft H( f) = ht ( ) e dt 称为传递函数

37 5. 随机信号通过线性系统 ( 续 ) 稳定系统 (stable system) 有界输入必导致有界输出的系统对连续系统 : 对离散系统 : ht () dt < ( 绝对可积分 ) ht () < ( 绝对可求和 ) k =

38 5. 随机信号通过线性系统 ( 续 ) 因果系统 (causal system) 输出必在输入之后 ht () = 0, t< 0 H( z) 零点部分 = = 极点部分 N = M = ( z z ) ( p z )

39 5. 随机信号通过线性系统 ( 续 ) 稳定系统 :h(t) 绝对可积分 = 极点不在单位圆上因果系统 : 传递函数的极点全部在单位圆内反因果 (ant-causal) 系统 : 极点全部在单位圆外非因果 : 极点有些在圆外, 有些在圆内最小相位系统 :H(z) 全部零点在单位圆内最大相位系统 : 零点全在圆外非最小相位系统 : 一些零点在外, 一些在内可逆系统 : 无在单位圆上零点的系统

40 本章习题题.5( 平稳性 ) 题.8( 计算均值方差协方差函数, 统计不相关 ) 题.23( 正交,Gram-Schmdt 正交化 )

第9章排队论

第9章排队论 9, 9. 9.. Nt () [, t] t Nt () { Nt ( ) t [, T]} t< t< t< t + N ( ( t+ ) i+ N( t) i, N( t) i,, N( t) i N + + N ( ( t ) i ( t ) i ) (9-) { Nt ( ) t [, T)} 9- t t + t, t,, t t t { Nt ( ) t [, T] } t< t,,