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巅崔
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1 目錄 1 實數函數和數列的定義不等式和經典公理實數函數和數列的定義不等式經典公理歷史上第一個大數學家畢達格拉斯習題函數的極限函數的運算函數極限的定義函數極限的定理右極限和左極限函數極限存在和不存在的例子蘇格拉底柏拉圖和亞里士多德習題函數的連續函數連續的定義連續函數三大優異定理連續函數六大經典定理連續和不連續函數的例子大數學家阿基米德習題 ix

2 x 目錄 4 函數的導數函數導數的概念函數導數的定義函數導數三大基本定理均值定理可微函數與其導函數之間彼此關係密切可微和不可微函數的例子數學家笛卡兒之網路故事數學家笛卡兒習題導函數的應用曲線的切線斜率切線方程和法線方程均值定理的應用函數的增減極值凹凸反曲點和漸近線畫函數的圖形法國大數學家費馬瑞士馬特洪峰習題函數的積分可積函數積分運算定理積分均值定理微積分基本定理積分的應用求面積和體積數學家巴斯卡習題

3 目錄 7 初等函數 xi 反函數定理三角函數和反三角函數對數函數指數函數雙曲函數和反雙曲函數通世數學家牛頓習題積分法分部積分法變數變換積分法部份分式積分法三角函數積分法三角函數替換積分法數學大師歐伊勒習題數列收斂數列定理發散數列運算定理上極限和下極限一筆畫習題級數收斂級數和發散級數正項級數廣義交錯級數絕對收斂級數

4 目錄 xii 10.5 數學王子高斯習題泰勒理論泰勒定理的由來泰勒定理泰勒級數馬克勞林級數泰勒定理救人一命天才數學家歌洛怡習題數值方法牛頓求根法壓縮映射定理求定點法 n 次逼近求函數值法弦梯積分法辛浦森積分法千山獨行擘創宇宙大業愛因斯坦習題函數極限的推廣不定型瑕積分和 Γ 函數函數極限的推廣不定型瑕積分 Γ 函數法國龐加萊和德國希爾伯特習題

5 目錄 14 函數列和函數級數 xiii 函數列函數級數數學家在哪裡思考數學? 習題線性空間線性變換與矩陣空間和歐氏空間線性空間線性變換空間與矩陣空間歐氏空間黃金比例數習題二變數純量函數的極限和連續二變數純量函數的極限二變數純量函數的連續數學家陳省身習題向量函數的極限和連續一變數向量函數的極限一變數向量函數的連續向量場的極限向量場的連續國際數學聯合會和國際數學家會議習題二變數純量函數的微導全導數方向導數偏導數梯度和微分全導數鏈法則

6 目錄 xiv 18.3 均值定理隱函數定理高階偏導數和泰勒定理極值和鞍點拉格宏機乘子定理鳥和青蛙習題向量函數的微導單變數向量函數的微導向量場的微導美國普林斯頓大學習題重積分二重可積函數二重積分運算定理二重積分均值定理微分與積分有界集上的二重積分三重積分開發新領域習題重積分之計算與應用二重積分之計算與應用三重積分之計算與應用數學的嚴謹與抽象習題

7 目錄 xv 22 純量場和向量場的線積分與面積分純量場向量場散度旋度和梯度維純量場和向量場的線積分維純量場和向量場的線積分純量場和向量場的面積分多變數微積分基本定理解決持久問題習題微分方程初值微分方程和積分方程一階微分方程初值微分方程組和向量積分方程二階微分方程數學的力與美習題索引 Index

8 1 實數函數和數列的定義不等式和經典公理本章第 1.1 節介紹數學的基石實數我們先介紹自然數集接著由自然數集構造出整數集由整數集構造出有理數集由有理數集構造出無理數集因而構造出實數集最後介紹實數集的序稠密性體和拓樸等結構第 1.2 節介紹各種函數和數列的定義以便刻劃實數諸子集有多少元素第 1.3 節介紹數學的靈魂不等式代數運算使用有限次的加減乘除故出現在代數學上的式子都是等式英國大數學家牛頓 (Isaac Newton ) 說分析是無限的代數分析利用極限和估計做無限次的加減乘除而得不等式不等式包含等式事實上自然界諸多奧妙現象要用科學方法研究無法直接求得真值而須利用極限和不等式來求實驗值或近似值公理是數學的根源公理要遵守法國大數學家巴斯卡 (Blaise Pascal ) 的公理法則不管已經多清楚或多明顯只要是必須的原則就用來當公理完全明白的東西才可以用來當作公理第 1.4 節介紹四個數學經典公理實數完備性公理 (completeness axiom) 阿基米德公理 (Archimedean axiom) 區間套公理 (nested interval axiom) 和數列緊緻公理 (sequential compactness axiom) 第 1.5 節介紹史上第一個大數學家畢達格拉斯有趣的生平第 1.6 節介紹各種習題 1.1 實數本節首先依序介紹構成實數集的諸子集自然數集整數集有理數集無理數集代數數集超越數集和實數集組成接著介紹實數集有趣和奧妙的各種性質實數集的序實數集的稠密性實數體和實數集的拓樸結構自然數集自然數集 (set of natural numbers) 用N 來表示是取自自然數英文字 natural number 的第一個字母定義. 自然數集為 N = {1, 2,, n, } 1

2 第 1 章實數函數和數列的定義不等式和經典公理誰創造自然數德國數學家克羅內克 (Leopold Kronecker 1823-1891) 認為上帝創造自然數人類創造整數有理數無理數和實數等其他的數但是義大利邏輯大師佩亞諾 (Giuseppe Peano 1858 1932)

自然數集 N 滿足下述五公設公設 1 1 N 公設 2 若 n N 則 n 必有一繼承數 n N 公設 3 1 不是任一 n N 的繼承數 n : 1 6= n 公設 4 若 n, m N 滿足 n = m 則 n = m 公設 5 (數學歸納法 ): 設

9 2 第 1 章實數函數和數列的定義不等式和經典公理誰創造自然數德國數學家克羅內克 (Leopold Kronecker ) 認為上帝創造自然數人類創造整數有理數無理數和實數等其他的數但是義大利邏輯大師佩亞諾 (Giuseppe Peano ) 不同意克羅內克的看法他認為自然數也是人類創造的佩亞諾利用五公設來刻劃自然數集其中公設 5 是著名的數學歸納法 (mathematical induction) 圖 1.1: 克羅內克(左)和佩亞諾(右) 佩亞諾五公設 (the Peano five axioms) 公設. 自然數集 N 滿足下述五公設公設 1 1 N 公設 2 若 n N 則 n 必有一繼承數 n N 公設 3 1 不是任一 n N 的繼承數 n : 1 6= n 公設 4 若 n, m N 滿足 n = m 則 n = m 公設 5 (數學歸納法 ): 設 S N 滿足 1 S 且 n S n S 則 S = N 整數集自然數集 N, {0} 和負自然數集 N 組成整數集 (set of integers) 整數集用 Z 來表示是取自數德文字 Zahlen 的第一個字母定義. 整數集為 Z = ( N) {0} N = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }

10 3 1.1 實數整數集中有一些特定子集 1. 正整數集 (set of positive integers) 等於自然數集 N 即 {1, 2, 3, } 2. 負整數集 (set of negative integers) 為 {, 3, 2, 1} 3. 非負整數集 (set of nonnegative integers) 為 {0, 1, 2, 3, } 4. 非正整數集 (set of nonpositive integers) 為 {, 3, 2, 1, 0} 整數論是一門很重要的古老數學整數論中充滿許多淺顯易懂的問題以及迷人的憶測如費馬最後問題(參見5.5節 (頁 188)) 整數論介紹整數的基本概念因數倍數質數算術基本定理 (即整數的惟一分解定理)和同餘運算整數論在資訊科學上的應用越來越重要有理數集整數集形成有理數集 (set of rational numbers) 有理數集用 Q 來表示是取自商英文字 quotient 的第一個字母定義. 有理數集為 Q= nm n o (m, n) = 1 n 6= 0 且 m, n Z 其中 (m, n) 表示整數 m 與 n 的最大公因數對任一 m Z 規定 m 2m 3m = = = 得整數集為有理數集的子集 Z Q m= 幾何作圖古希臘數學家柏拉圖 (Plato 西元前西元前 347) 規定幾何作圖只能用沒刻度的直尺和沒刻度的圓規作有限多次的作圖如圖1.2 在一設定好原點單位長和正向的直線上我們可用幾何作圖作出任一有理數 m 所對應的點 n 我們介紹有理數的運算定義. 設 a c, 為二有理數則 b d 1. 加法法則規定 a b + dc = ad+bc a 得 bd b + dc Q

11 4 第 1 章實數函數和數列的定義不等式和經典公理 x 圖 1.2: 2 3 的作圖 a 2. 減法法則 : 規定 b c d = ad bc a 3. 乘法法則 : 規定 b c d = ac c 4. 除法法則 : 設 d 0, a 規定 5. 相等法則 : a b = c ad = bc d bd, a 得 b c d Q bd, a 得 b c d Q b c d = ad bc, a 得 b c d Q 6. 大小法則 : 設 b > 0, d > 0, 則 a b < c d ad bc bd < 0 ad < bc 有理數集具有稠密性 (density) 定理. 若 r, s 為二有理數且滿足 r < s, 則存在一有理數 t, 使得 r < t < s 證. 令 t = r+s 2, 則 r < t < s 由定義 1.1-5( 頁 3) 得 t Q 無理數集我們介紹無理數集 (set of irrational numbers)γ 無理數之誕生

5 1.1 實數古希臘數學家畢達格拉斯 (Pythagoras of Samos 西元前 559 - 西元前 475) 誤以為世界只有有理數認為舉凡一切天體運轉物理和天文等現象都可以用有理數來解釋畢達格拉斯也是樂器之父首創弦短一半則音高八度之說畢達格拉斯最偉大的作品是畢氏定理直角三角形斜邊的平方等於兩股的平方和詭辯家季諾 (Zeno of Elea 西元前 500 -

學發展史上的一個重大事件此事件促成畢達格拉斯以降的許多數學家對無理數的熱心研究也因而產生許許多多的數學新定理圖 1.3: 季諾(左)和畢達格拉斯(右) 在一有原點單位長和正向的直線上我們在前一子節中已經知道可用幾何作圖作出任一有理數點在此一直線上其他的點就是無理數點故此一直線稱為數線數線的點集與實數集存在一雙射 (參見定義 1.

12 5 1.1 實數古希臘數學家畢達格拉斯 (Pythagoras of Samos 西元前西元前 475) 誤以為世界只有有理數認為舉凡一切天體運轉物理和天文等現象都可以用有理數來解釋畢達格拉斯也是樂器之父首創弦短一半則音高八度之說畢達格拉斯最偉大的作品是畢氏定理直角三角形斜邊的平方等於兩股的平方和詭辯家季諾 (Zeno of Elea 西元前西元前 425) 以其人之矛畢氏定理攻其人之盾數只有有理數季諾問畢達格拉斯等腰直角三角形兩股長各為 1 時斜邊是那一個有理數因為三角形邊長取正的 x2 = = 2 x = 2 就是說季諾問畢達格拉斯 2 是否為有理數此時畢達格拉斯大為震驚猛然發現 2 非為有理數有理數並無法完全解釋宇宙的一切現象要解釋宇宙萬象的確還需要無理數這是數學發展史上的一個重大事件此事件促成畢達格拉斯以降的許多數學家對無理數的熱心研究也因而產生許許多多的數學新定理圖 1.3: 季諾(左)和畢達格拉斯(右) 在一有原點單位長和正向的直線上我們在前一子節中已經知道可用幾何作圖作出任一有理數點在此一直線上其他的點就是無理數點故此一直線稱為數線數線的點集與實數集存在一雙射 (參見定義 (頁 19)) 然而有些無理數點如 2 也可用幾何作圖作出如圖定理. 求證 2 是無理數證. 用歸謬法 (by contradiction) 證明假設 2 是有理數存在二互質正整數 p, q 使 p 得 2 = 故 p2 = 2q 2 有 p = 2r 得 q 2 = 2r 2 即 q = 2t 其中 r, t N 這與 p 和 q 互 q 質矛盾故 2 是無理數雖然古希臘開創無理數的研究但是要得到無理數較完整的理論就像在黑暗中走路多方摸索艱苦萬分經過下列數學家

6 第 1 章實數函數和數列的定義不等式和經典公理 y 2 0 圖 1.4: 1 1 x 2 2 的作圖 1. 費馬 (法國 Pierre de Fermat 1601-1665) 2. 牛頓 (英國 Isaac Newton 1642-1727) 3.

13 6 第 1 章實數函數和數列的定義不等式和經典公理 y 2 0 圖 1.4: 1 1 x 2 2 的作圖 1. 費馬 (法國 Pierre de Fermat ) 2. 牛頓 (英國 Isaac Newton ) 3. 高斯 (德國 Carl Friedrich Gauss ) 4. 維爾斯特拉斯 (德國 Karl Weierstrass ) 5. 黎曼 (德國 Bernhard Riemann ) 6. 戴德金 (德國 Richard Dedekind ) 7. 康托爾 (德國 Georg Cantor ) 等人的努力終於在十七十八和十九世紀無理數的定義降臨人間主要的貢獻是下列三位數學家維爾斯特拉斯用區間套 (nested interval) (參見參考書目(頁 37) CourantJohn [3]) 戴德金用切 (cut) (參考書目(頁 37) Courant-John [3])和康托爾用收斂有理數數列 (convergent sequence of rational numbers) 來定義無理數圖 1.5: 戴德金(左)和康托爾(右)

14 1.1 實數 7 康托爾用收斂有理數數列定義無理數收斂數列的定義, 參見定義 9.1-1( 頁 301) 定理. 康托爾發現實數集如下 : 1. 若收斂有理數數列 {a n }, 滿足 lim n a n = a,a Q, 則稱收斂有理數數列 {a n } 為一有理數 a 如收斂有理數數列 {2.1, 2.1, 2.1,, 2.1, } 為有理數 2.1 和收斂有理數數列 { 5 2, 2, 11 } 3n+2,, 6 2n, 為有理數若收斂有理數數列 {a n }, 滿足 lim n a n = a,a / Q, 則稱收斂有理數數列 {a n } 為一無理數 a 如收斂有理數數列為無理數 2 和收斂有理數數列 {1.4, 1.41, 1.414, , } {2, 2.7, 2.71, 2.718, } 為無理數 e 3. 所有收斂有理數數列 {a n } 形成實數集 R, 故實數集是有理數集 Q 和無理數集 Γ 的聯集, 且有理數集 Q 和無理數集 Γ 的交集為空 :R = Q Γ 且 = Q Γ 任一無理數可表為一不循環的無窮小數, 如下列無理數 : 1. 2 = = π = log 10 3 = e =

6-1-1極限的概念

6-1-1極限的概念選修數學 (I-4 多項式函數的極限與導數 - 導數與切線斜率定義. f ( 在的導數 : f ( h 對實函數 f ( 若極限存在 h h 則稱 f ( 在點可微分而此極限值稱為 f ( 在的導數以 f ( 表示 f ( f ( 函數 f ( 在的導數也可以表成 f ( 註 : 為了